Apostila Controle - 06 - Solução de equações diferenciais

Controle de Sistemas Mecânicos

Solução de equações diferenciaisSolução de equações diferenciais

Solução da equação homogêneaEquações de primeira ordemEquações de segunda ordemExercícios MatLab


Solução da equação diferencialSolução da equação diferencial

Solução Completa = SH+SP

Uma solução para entrada-nula

• Solução para a equação homogênea com condições iniciais não nulas

Uma solução para estado-nulo

• Solução forçada para condições iniciais nulas


Equação genérica SPO e SSOEquação genérica SPO e SSO

)()()(0 tuKty

dttdy

=+τ

As equações obtidas para os casos estudados, sistemas mecânicos, sistemas elétricos e sistemas fluídicos podem ser generalizadas de acordo com

SPO

)()()(2)( 20

22

2

tuKtydttdy

dttyd

nnn ωωζω =++ SSO


Solução Completa SPO Solução Completa SPO

A Equação Diferencial

Sujeita a entrada degrau

Solução Completa = SH+SP

γ

)()()(0 tuKty

dttdy

=+τ

( ) ( )u t tγ=

0

0 / 0( )

/ 0p t

tp tγ

<= ≥

Degrau Degrau unitário 0 1γ =unitário


Solução da homogênea Solução da homogênea

Equação Diferencial e C.I.

SH

)()()(0 tuKty

dttdy

=+τ 0)0( yy =

0)()(=+ ty

dttdyτ 0)()1( =+ typτ

01 =+pτPCPC


Raiz do PC de um SPORaiz do PC de um SPO

Dado o SPO na forma padronizada

O PC da equação geral de um SPO

A raiz do PC pode ser encontrada facilmente através da equação algébrica

1)( += ppPC τ

01 =+pττ

α 1−=

)()()(0 tqKth

dttdh

e=+τ

Raiz real


Posição geométrica da raizPosição geométrica da raiz

ℑ

ℜ

τ1

−


Solução Homogênea Solução Homogênea

Como o SPO possui somente uma raiz real

01 =+pτPCPCτt

h Aey−

=

τ1

−=praizraiz


Solução ParticularSolução Particular

Equação Diferencial

SP para podemos escrever

Substituindo na ED

Portanto a SP

Byp =( ) ( )u t tγ=

)()()(0 tuKty

dttdy

=+τ

00γKB =

00γKyp =


Solução CompletaSolução Completa

000)0( yKAy =+= γ

Levando à solução

Aplicando a C.I.

00γτ KAeyyyt

ph +=+=−

0)0( yy =

000 γKyA −=

)1()( 000ττ γtt

eKeyty−−

−+=


Exercício:Exercício:

Obter a função da resposta de entrada-nula de um sistema de primeira ordem. Implementar no MatLab e obter a resposta.


Solução de entradaSolução de entrada--nulanula

Corresponde à solução natural

( ) 0u t =

τt

h eyty−

= )0()(

Observar a influência da constante de

tempo



Obter a função da resposta de estado-nula de um sistema de primeira ordem sujeita a entrada degrau. Implementar no MatLab e obter a resposta.


Solução de estado nulo entrada degrauSolução de estado nulo entrada degrau

Chegando-se à solução

)1()( 00 τγt

f eKty−

−=


ExercícioExercício

0 2000 4000 6000 8000 100000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Obter a constante de tempo considerando apenas o gráfico abaixo da resposta de um SPO de entrada nula e condição inicial de 3.


Solução:Solução:

u(t)=0

-

+ y(t)3

τ1

∫τ0K


Solução Solução MatLabMatLab::

τt

ety−

= 9)(τt

eyty−

= )0(*3)(

t τ= 0.36781 =−e

1759.1τ =3102.33678.0*9)( ==ty



0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

200

400

600

800

1000

1200

1400Step Res pons e

Ampl

itude

Obter a constante de tempo e o ganho estático da resposta abaixo obtida de um sistema de primeira ordem para uma entrada degrau de amplitude 10 e C.I. nulas

Time (s ec)


Solução Completa SSOSolução Completa SSO

Dada a Equação Diferencial Geral

Sujeita a entrada degrau

A solução Completa = SH+SP

γ

)()()()(0012

2

tubtyadttdya

dttyd

=++

( ) ( )u t tγ=

0

0 / 0( )

/ 0p t

tp tγ

<= ≥

Degrau Degrau unitário 0 1γ =unitário


PC SSOPC SSO

Dada a EDG

Equação Homogênea

usando o operador derivativo

0)()2( 22 =++ typp nn ωζω

)()()(2)( 20

22

2

tuKtydttdy

dttyd

nnn ωωζω =++

PCPC

0)()(2)( 22

2

=++ tydttdy

dttyd

nn ωζω

02 22 =++ nn pp ωζω


Raízes do PC de um SSORaízes do PC de um SSO

02 22 =++ nn pp ωζω

O PC da equação geral de um SSO

As raízes do PC podem ser encontradas facilmente através da equação algébrica

As duas raízes podem ser:

22 2)( nn pppPC ωζω ++=

122,1 −±−= ζωζωα nn

–Reais diferentes–Reais iguais –Um par complexo conjugado


Variação do fator de amortecimentoVariação do fator de amortecimento

ζ > 1: as raízes são reais simples

ζ = 1: raízes reais duplas

ζ < 1: raízes complexas conjugadas

122,1 −±−= ζωζωα nn

122,1 −±−= ζωζωα nn

nωα −=2,1

22,1 1 ζωζωα −±−= nn j


Relações geométricas das raízesRelações geométricas das raízes

ζ = const . ℑ

ω ζn 1 2−

−ζω n

θα

ωσλ i+=

cosα ζ=ω n const= .

•

nω

ωσλ i−= 21 ζω −− n

ℜ

ω ω ζd n= −1 2

ζα =)cos(


Solução Homogênea Solução Homogênea

tth teCeCty 21

21)( αα +=

Dependendo das raízes:• Reais diferentes

• Reais iguais

• Um par complexo conjugado

tth eCeCty 21

21)( αα +=21 αα ≠

21 αα =

nζωτ 1

=

•Constante de tempo (τ)

22,1 1 ζωζωα −±−= nn jjba +=1α

)cos()(sin)( 21 bteCbteCty atath +=jba −=2α


Solução ParticularSolução Particular

Equação Diferencial

SP para podemos escrever

Substituindo na ED

Portanto a SP

Byp =( ) ( )u t tγ=

00γKB =

00γKyp =

)()()(2)( 20

22

2

tuKtydttdy

dttyd

nnn ωωζω =++


Solução CompletaSolução Completa

Levando à solução

As constantes da solução completa são calculadas através das condições iniciais, considerando o instante t = 0

ph yyy +=

0

0

)0()0(yyyy&& =

=



Obter a função da resposta de estado-nula de um sistema de segunda ordem com amortecimento

sujeita a entrada degrau unitária. Implementar no MatLab e obter a resposta.

Dados

1<ζ

512.0

1

0

==

==

τ

ζω

K

n


Solução de estado nulo entrada degrauSolução de estado nulo entrada degrau

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

)cos()(sin)( 2100 bteCbteCKty atatf ++= γ

22,1 1 ζωζωα −±−= nn j

a b


ExercícioExercício

Obter a freqüência natural, fator de amortecimento, a constante de tempo e o ganho estático da resposta abaixo obtida de um sistema de segunda ordem para uma entrada degrau de amplitude 10.

0 5 10 15 20 25 300

20

40

60

80

Sys tem: PTime (s ec): 3.21Amplitude: 76.3

Sys tem: PTime (s ec): 16.2Amplitude: 52

Step Res pons e

Time (s ec)

Ampl

itude

+

=)(

)(ln1nTtyty

nδ

552.0

1

0

==

==

τ

ζω

K

n

Sol:Sol:

224 δπδζ

+=

)(ty



Obter o diagrama de blocos de um sistema de primeira ordem usando K0=10 e τ = 2. Implementar no simulink o DB e obter a resposta do sistema sujeita a entrada degrau unitário.



Obter o diagrama de blocos de um sistema de primeira ordem usando K0=10 e τ = 2. Implementar no simulink o DB e obter a função de transferência utilizando o comando linmod e ss2tf.


ReferênciaReferência

Solução homogênea SPOKreyszig pg 69-77

Solução homogênea SSOKreyszig pg 80-87

Documents

Apostila Controle - 06 - Solução de equações diferenciais