Apostila de

Cálculo Sentencial e

Cálculo de Predicados

Versão 1.0

31 de Março de 2008

Críticas e sugestões para: Tyrannosaurus Rex Blog: http://tyrannosaurus.wordpress.com email: tyrannosaurus.rexxx@gmail.com

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Introdução Esta apostila não pretende ensinar Cálculo Sentencial e Cálculo de Predicados mas tão somente servir de auxílio, sendo apenas um resumo da matéria, com fórmulas e teoremas usados em deduções. O conteúdo baseia-se quase que totalmente nos dois livros de Leônidas Hegenberg sobre Cálculo Sentencial e Cálculo de Predicados, onde os teoremas paralelos foram condensados e unificados neste formulário. Alguns exemplos também foram modificados. O foco principal é a utilização do CS e CP na avaliação de argumentos.

Índice Símbolos da Linguagem .........................................................................................................4 Conectivos Sentenciais ou Operadores...................................................................................5

1) Operador NÃO (Negação) .............................................................................................5 2) Operador E (Conjunção) ................................................................................................5 3) Operador OU (Disjunção / OU Inclusivo) .....................................................................6 4) Operador IMPLICA (Condicional) ................................................................................7 5) Operador EQUIVALE (Bicondicional) .........................................................................8 6) Outros Operadores..........................................................................................................8 Ordem de Precedência ......................................................................................................11

Definição de Fórmula ...........................................................................................................11 Quantificadores.....................................................................................................................12

Escopo de um Quantificador ............................................................................................13 Negação de Fórmulas Quantificadas ................................................................................13

Enunciados Categóricos .......................................................................................................14 Definições.............................................................................................................................15 Notações ...............................................................................................................................16 Problema de Post ..................................................................................................................17 Tautologias ...........................................................................................................................18

Tautologias Notáveis ........................................................................................................18 Dedução................................................................................................................................20

Teoremas ..........................................................................................................................20 Cuidados na Eliminação e Introdução de Quanfificadores ..............................................24

Principais Teoremas do Cálculo Sentencial .........................................................................25 Principais Teoremas do Cálculo Proposicional ....................................................................27 Identidade .............................................................................................................................29

Leis da Identidade.............................................................................................................29 Teoremas da Identidade....................................................................................................29

Falácias .................................................................................................................................31 Exemplos ..............................................................................................................................35

Exemplos no Cálculo Sentencial ......................................................................................35 Exemplos no Cálculo de Predicados ................................................................................35

Bibliografia...........................................................................................................................39

Símbolos da Linguagem Conectivos : ~ . ∨ → ↔ Variáveis (Letras Sentenciais) : x, y, z , ... , x1 , y1 , z1 , ... Constantes : a, b, c, ... , a1 , b1 , c1 , ... Símbolos de predicados (Letras Predicado) : P , Q , R , S , ... Quantificadores : ∀ (universal) , ∃ (existencial) Parênteses : () , [] , {} Termos : as variáveis e as constantes são designadas

pelo nome genérico de termos os quais serão designados por: t1 , t2 , ... , tn , ...

As variáveis representam objetos que não estão identificados no Universo considerado ("alguém", "algo", etc.); As constantes representam objetos identificados do Universo ("João", "o ponto A", etc. ); Os símbolos de predicados representam propriedades ou relações entre os objetos do Universo. Exemplos: "Maria é inteligente" : Im ; onde "m" está identificando Maria e "I " a propriedade de "ser inteligente". "Alguém gosta de Maria" : Gx,m ; onde G representa a relação "gostar de" e "x" representa "alguém". De modo geral temos: Px ou P(x) significa que x tem a propriedade P ∀∀∀∀xPx ou (∀∀∀∀x)P(x) significa que a propriedade P vale para todo x, ou ainda, que todos os

objetos do Universo considerado tem a propriedade P ∃∃∃∃xPx ou (∃∃∃∃x)P(x) significa que algum x tem a propriedade P, ou ainda, que existe no

mínimo um objeto do Universo considerado que tem a propriedade P Notamos que os símbolos de predicados serão unários (monádicos), binários (diádicos) ou n-ários (n-ádicos) conforme a propriedade que representam envolver, respectivamente um, dois ou mais objetos do universo e dizemos também que o símbolo de predicado tem peso 1, peso 2 ... ou peso n. Tipo de Predicado Exemplo Exemplo de Simbolização 0-ádico chove C 1-ádico x é humano Hx 2-ádico x ama y Axy 3-ádico x está entre y e z Exyz

Conectivos Sentenciais ou Operadores

1) Operador NÃO (Negação) 1.1) Símbolo mais usado: ~ 1.2) Símbolos alternativos: ¬ 1.3) Exemplos: ~ α ¬ α � 1.4) Interpretação: não, não se dá que 1.5) Variantes estilísticas: não α não se dá que α 1.6) Tabela de Valores / Tabela-Verdade

A ~ A V F F V

2) Operador E (Conjunção) 2.1) Símbolo mais usado: . 2.2) Símbolos alternativos: & ∧ 2.3) Exemplos: α . β α & β α ∧ β 2.4) Interpretação: e 2.5) Variantes estilísticas: α e β α, mas β α, embora β tanto α como β não só α, mas também β α, apesar de β

2.6) Equivalências: (α . β) ≡ ~ (~ α ∨ ~ β) (α . β) ≡ ~ (α → ~ β) 2.7) Tabela de Valores / Tabela-Verdade

A B A . B V V V F V F V F F F F F

3) Operador OU (Disjunção / OU Inclusivo) 3.1) Símbolo mais usado: ∨ 3.2) Exemplos: α ∨ β 3.3) Interpretação: ou, e/ou 3.4) Variantes estilísticas: α ou β α e/ou β α ou β ou ambos ou α ou β (cuidado!) α, salvo quando β 3.5) Equivalências: (α ∨ β) ≡ ~ (~ α . ~ β) (α ∨ β) ≡ (~ α → β) 3.6) Tabela de Valores / Tabela-Verdade

A B A ∨ B V V V F V V V F V F F F

4) Operador IMPLICA (Condicional) 4.1) Símbolo mais usado: → 4.2) Símbolos alternativos: ⊃ 4.3) Exemplos: α → β α ⊃ β 4.4) Interpretação: se...então, apenas se, implica 4.5) Variantes estilísticas: se α então β α implica β β, se α β somente se α β, caso α β, no caso de α β, admitindo-se α quando α, β no caso de α, β β, contanto que α α é condição suficiente para β β é condição necessária para α β quando α α somente quando β α só se β α só no caso de β não α, salvo se β 4.6) Equivalências: α → β ≡ ~ (α . ~ β) α → β ≡ ~ α ∨ β 4.7) Tabela de Valores / Tabela-Verdade

A B A → B V V V F V F V F V F F V

5) Operador EQUIVALE (Bicondicional) 5.1) Símbolo mais usado: ↔ 5.2) Exemplos: α ↔ β 5.3) Interpretação: se e somente se, equivale a 5.4) Variantes estilísticas: α se e só β α se β e β se α α exatamente quando β se α, β e reciprocamente α é condição necessária e suficiente para β α é equivalente a β 5.5) Equivalências: α ↔ β ≡ (α → β) . (β → α) (α ↔ β) ≡ [ (α . β) ∨ (~ α . ~ β) ] (α ↔ β) ≡ [ (~ α ∨ β) . (~ β ∨ α) ] 5.6) Tabela de Valores / Tabela-Verdade

A B A ↔ B V V V F V F V F F F F V

6) Outros Operadores 6.1) Operador OU EXCLUSIVO 6.1.1) Símbolo mais usado: + 6.1.2) Símbolos alternativos: � 6.1.3) Interpretação: ou 6.1.4) Variantes estilísticas: α ou β α ou β mas não ambos

ou α ou β 6.1.5) Equivalências: (α + β) ≡ (α ∨ β) . ~ (α . β) 6.1.6) Tabela de Valores / Tabela-Verdade

A B A + B V V F F V V V F V F F F

6.2) Conectivo de Scheffer (Negação Alternativa) 6.2.1) Símbolo mais usado: / 6.2.2) Símbolos alternativos: | 6.2.3) Interpretação: não ambos 6.2.4) Variantes estilísticas: não ambos α e β 6.2.5) Equivalências: (α / β) ≡ ~ ( α . β) 6.2.6) Tabela de Valores / Tabela-Verdade

A B A / B V V F F V V V F V F F V

6.3) Operador de Pierce (Negação Conjunta) 6.3.1) Símbolo mais usado: ↓ 6.3.2) Interpretação: não um nem outro 6.3.3) Variantes estilísticas: nem α nem β

6.3.4) Equivalências: (α ↓ β) ≡ ~ ( α ∨ β) 6.3.5) Tabela de Valores / Tabela-Verdade

A B A ↓ B V V F F V F V F F F F V

Ordem de Precedência 1) ~ 2) . e v 3) → e ↔

Definição de Fórmula 1. Toda fórmula atômica é uma fórmula. 2. Se α e β forem fórmulas então (∼α), (α . β) , (α ∨ β) , (α → β) e (α ↔ β) são fórmulas. 3. Se α for uma fórmula e x uma variável então ∀x α e ∃x α são fórmulas. 4. As únicas fórmulas são dadas por 1. 2. e 3. acima. Exemplos de fórmulas: Pxa Rybt ∀z Pxa → Rybz ∼∃x ∼Pxa ∧ Rybt ∃y ∀x Rybt Assim os argumentos dados no início podem ser representados simbolicamente como: 1) Todo amigo de Carlos é amigo de Jonas ∀x Pxc → Pxj Pedro não é amigo de Jonas ∼ Ppj ------------------------------------------------ ------------------ Logo, Pedro não é amigo de Carlos ∼ Ppc onde Pxy significa que x é amigo de y e c, p, j são constantes que representam Carlos, Pedro e Jonas respectivamente. 2) Todos os humanos são racionais ∀x Px → Qx Alguns animais são humanos ∃x Rx ∧ Px ---------------------------------------------- ---------------- Portanto, alguns animais são racionais ∃x Rx ∧ Qx onde P ,Q ,R simbolizam as propriedades de: ser humano, ser racional e ser animal respectivamente.

Quantificadores Quantificador Universal: ∀∀∀∀ a) Significado: “para todos”, “para cada”, “para qualquer”, “qualquer que seja”, “para todo”, “todos”, “tudo” b) Como regra geral ∀ é acompanhado de → . Quantificador Existencial: ∃∃∃∃ a) Significado: “existe”, “existe um elemento”, “existe pelo menos um elemento”, “existe um elemento tal que”, “algo”, “alguma coisa” b) Como regra geral ∃ é acompanhado de . (conectivo e). Alguns Exemplos de Simbolizações e Interpretações dos Quantificadores ∀x Px para qualquer x, Px qualquer um é P qualquer coisa é P tudo é P para cada x, Px para todos x, Px cada objeto é P para x arbitrário, Px qualquer que seja x, Px qualquer que seja x, x é P ∃x Px para algum x, Px alguns x são P há pelo menos um x tal que Px algum objeto é P alguma coisa é P algo é P pelo menos alguém é P pelo menos alguma coisa é P há um x que é P existe um x tal que Px ~ ∀x Px não se dá que ara todo x, x é P Px não se dá para todos os x Px não tem lugar sempre nem tudo é Px não se dá que para qualquer x, Px nem todo x é P

∀x ~ Px para todo x, não se tem Px Px sempre falha todos são não P para qualquer x, x não é P ~ ∃x Px não existe x tal que Px não há qualquer x para o qual Px não há x tal que Px ninguém é P não há coisa que seja P ∃x ~ Px para algum x, não se dá que Px alguém não é P alguma coisa é não P existe um x tal que x não é P existe um x tal que não Px ∃x (Px . Qx) alguém é P e Q (alguém é as duas coisas simultaneamente) ∃x Px . ∃x Qx alguém é P e alguém é Q (não é necessariamente o mesmo alguém) ∀x (Px ∨ Qx) todos são P ou Q ∀x Px ∨ ∀x Qx todos são P ou todos são Q

Escopo de um Quantificador Se α é uma fórmula e x uma variável, então em ∀x α ou em ∃x α dizemos que α é o escopo do quantificador ∀x ou ∃x. Por exemplo na fórmula ∃y ∀x Rybt → ∀z Pza temos os seguintes quantificadores e seus respectivos escopos: ∃∃∃∃y : ∀x Rybt → ∀z Pza ∀∀∀∀x : Rybt → ∀z Pza ∀∀∀∀z : Pza

Negação de Fórmulas Quantificadas Também chamada de Negação Quantificacional.

Da definição de fórmula dada acima podemos perceber que um quantificador universal ou existencial pode ser precedido de uma negação. Vejamos como podemos proceder se for necessário a eliminação dessa negação. Consideremos, por exemplo, a fórmula ∀x Px e o conjunto universo U={a,b,c}. É evidente que nesse caso temos: ∀x Px ⇔ Pa ∧ Pb ∧ Pc . Podemos considerar então que : ∼∼∼∼∀x Px ⇔ ∼ ∼ ∼ ∼ Pa ∧ Pb ∧ Pc ⇔ ∼∼∼∼Pa ∨ ∼ ∼ ∼ ∼ Pb ∨ ∼ ∼ ∼ ∼ Pc o qual significa que existe no mínimo um objeto em U tal que ∼ ∼ ∼ ∼ Px , ou seja , ∼ ∀∼ ∀∼ ∀∼ ∀x Px ⇔⇔⇔⇔ ∃∃∃∃x ∼∼∼∼Px ou ainda de modo geral para uma fórmula α qualquer temos: (1) ∼ ∀∼ ∀∼ ∀∼ ∀x α ⇔α ⇔α ⇔α ⇔ ∃∃∃∃x ∼ α∼ α∼ α∼ α Da equivalência acima segue imediatamente que : (2). ∼ ∀∼ ∀∼ ∀∼ ∀x ∼ ∼ ∼ ∼ Px ⇔⇔⇔⇔ ∃∃∃∃x Px (3). ∼ ∃∼ ∃∼ ∃∼ ∃x Px ⇔⇔⇔⇔ ∀∀∀∀x ∼ ∼ ∼ ∼ Px (4). ∼ ∃∼ ∃∼ ∃∼ ∃x ∼∼∼∼Px ⇔⇔⇔⇔ ∀∀∀∀x Px

Enunciados Categóricos Certos enunciados se apresentam freqüentemente na Lógica Clássica e tradicionalmente são chamados de Enunciados Categóricos. Relacionaremos os quatro enunciados mais comuns que são representados pelas letras A, E, I, O : simbolizados

respectivamente como

A da forma "Todo P é Q" (universal afirmativa) ∀x Px → Qx E da forma "Nenhum P é Q" ou "Todo P não é Q" (universal negativa) ∀x Px → ∼ Qx I da forma "Algum P é Q" (particular afirmativa) ∃x Px ∧ Qx O da forma "Algum P não é Q" (particular negativa) ∃x Px ∧ ∼Qx

Definições Ocorrência Livre / Ligada de uma Variável Uma ocorrência de uma variável x numa fórmula é ligada se x é uma variável de um quantificador na fórmula ou x está no escopo de um quantificador ∀x ou ∃x na fórmula. Caso contrário a ocorrência de x é livre . Variável Ligada (Livre) Se a ocorrência de x é ligada (livre) numa fórmula, dizemos que x é variável ligada (livre) na fórmula. Assim uma variável pode ser livre ou ligada numa mesma fórmula. Exemplo 1: Na fórmula: ∀x Fxy a variável x é ligada pois está no escopo do quantificador ∀x a variável y é livre Exemplo 2: Na fórmula ∃∃∃∃y (∀∀∀∀x Rybt →→→→ ∀∀∀∀z Pxa) temos cinco variáveis que estão numeradas onde: 1 2 3 4 5 1,2,3,4 são ligadas e 5 é livre. Vemos que x ocorre livre e ligada na mesma fórmula. Sentença Uma fórmula em que não há ocorrências livres de variáveis chamamos de sentença. Termo Livre para uma Variável Um termo t é livre para a variável y na fórmula α se, quando se substitui as ocorrências livres de y por t, as ocorrências de t em α assim obtidas ocorrem livres. Exemplos: 1. x é livre para y em Py . 2. x não é livre para y em ∀x Py . 3. x é livre para x em qualquer fórmula. 4. qualquer termo é livre para x numa fórmula α se em α não há ocorrência livre de x.

Notações Silogismo Exemplo Premissa Maior Todos os homens são mortais Premissa Menor Sócrates é homem −−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Conclusão Sócrates é mortal Símbolo ¢ (acarreta) α ¢ β α acarreta β ou β é dedutível de α ¢ α α é um teorema ou α é demonstrável Símbolo £ (é uma tautologia) £ α α é uma tautologia (CS) £ α α é uma verdade lógica (CP) Conseqüência Lógica α £ β β é uma conseqüência lógica de α Substituição Uniforme α )(P

β indica a fórmula obtida de α mediante substituição uniforme do átomo P pela

fórmula β Dual Seja uma fórmula α construída com átomos, negação, conjunção e disjunção. A dual de α, chamada αd é a fórmula obtida pela troca dos conectivos . e ∨ (Leis de De Morgan). Equivalência α ª β α equivale a β (não confundir com o conector ↔)

Problema de Post Dada uma tabela-verdade, obter uma fórmula que pode gerá-la. Exemplo

P Q R ? V V V F V V F F V F V V V F F V F V V V F V F F F F V V F F F V

Regra prática: Separar as linhas em que F ocorre na última linha:

P Q R ? V V V F V V F F F V F F

O resultado será falso quando ocorrer P.Q.R ou P.Q.~R ou ~P.Q.~R . Portanto a solução será: ~(P.Q.R) . ~(P.Q.~R) . ~(~P.Q.~R)

Tautologias Teorema 1 Se £ α então £ α )(P

β

Teorema 2 Se £ α e se £ α → β então £ β Teorema 3 val(α ↔ β)=V se e somente se val(α) = val(β) Teorema 4 £ (α ↔ β) → [γ → γ )(α

β ]

se £ α ↔ β então £ γ → γ )(αβ

Teorema 5 (αd)d = α Teorema 6 Se £ α então £ ~ αd Teorema 7 Se £ α → β então £ βd → αd Teorema 8 £ α ↔ β se e somente se £ αd ↔ βd Teorema 9 α £ β se e somente se £ α → β Teorema 10 α1 , ... , αm-1 , αm £ β se e somente se £ α1 , ... , αm-1 £ αm → β

Tautologias Notáveis 1) α → α Princípio da Identidade 2) α ↔ α Equivalência 3) (α . α) ↔ α Idempotência da Conjunção (α ∨ α) ↔ α Idempotência da Disjunção 4) ~ ~ α ↔ α Dupla Negação 5) α ∨ ~ α Terceiro Excluído 6) ~ (α . ~ α) Não Contradição 7) [α . (α ∨ β) ] ↔ α Eliminação / Leis de Absorção [α ∨ (α . β) ] ↔ α [ (α . β) ∨ ~ β ] ↔ (α ∨ ~ β) [ (α ∨ β) . ~ β ] ↔ (α . ~ β) 8) ~ α → (α → β) Negação do Antecedente 9) (α → β) ↔ (~ β → ~ α) Contraposição 10) [ α → (β → γ) ] ↔ [ (α . β) → γ ] Exportação-Importação 11) [ α → (β → γ) ] ↔ [ β → (α → γ) ] Troca de Premissas 12) (α → β) → [ (β → γ) → (α → γ) ] Cadeia Inferencial 13) (α . β) ↔ (β . α) Comutatividade da Conjunção 14) [ (α . β) . γ ] ↔ [ α . (β . γ) ] Associatividade da Conjunção 15) [ α . (β ∨ γ) ] ↔ [(α . β) ∨ (α . γ) ] Distributividade de . em v 16) (α ∨ β) ↔ (β ∨ α) Comutatividade da Disjunção 17) [ (α ∨ β) ∨ γ ] ↔ [ α ∨ (β ∨ γ) ] Associatividade da Disjunção 18) [ α ∨ (β . γ) ] ↔ [(α ∨ β) . (α ∨ γ) ] Distributividade de v em .

19) ~ (α . β) ↔ (~ α ∨ ~ β) Leis de De Morgan ~ (α ∨ β) ↔ (~ α . ~ β) 20) (α ∨ β) ↔ ~ (~ α . ~ β) 21) (α . β) ↔ ~ (~ α ∨ ~ β) 22) (α → β) ↔ (~ α ∨ β) Eliminação de condicionais (Lei de

Filo) 23) (α → β) ↔ ~ ( α . ~ β) Eliminação de condicionais 24) ~ (α → β) ↔ ( α . ~ β) Negação da Implicação 25) (α . β) ↔ ~ (α → ~ β) 26) (α ∨ β) ↔ (~ α → β) 27) (α ↔ β) ↔ [(α → β) . (β → α) ] 28) (α ↔ β) ↔ (β ↔ α) Comutatividade da Equivalência 29) ((α ↔ β) ↔ β) ↔ (α ↔ (β ↔ γ)) Associatividade da Equivalência 30) [ (α ↔ β) . (β ↔ γ) ] ↔ (α ↔ γ) 31) [ (α → β) . (β → γ) ] ↔ (α → γ) Transitividade de → 32) α → (β → α) Prefixação 33) (α → β) → { [ α → (β → γ) ] → (α → γ) } 34) α → [ β → (α . β)] 35) (α . β) → α (α . β) → β 36) α → (α ∨ β) β → (α ∨ β) 37) (α → γ) → { (β → γ) → [ (α ∨ β) → γ ] } 38) (α → γ) ↔ [ (α → ~ β) → ~ α ] 39) ~ ~ α → α

β → ~ ~ β

40) (α → β) → [ (β → α) ↔ (α ↔ β) ] Introdução de ↔ 41) (α ↔ β) → (α → β) (α ↔ β) → (β → α) 42) (α ↔ β) ↔ [ (α . β) ∨ (~ α . ~ β) ] Eliminação de bicondicionais (α ↔ β) ↔ [ (~ α ∨ β) . (~ β ∨ α) ] 43) [ (α → (β → γ)) ] ↔ [ (α → β) → (α → γ) ] 44) (~ β → ~ α) → [ (~ β → α) → β ] 45) (~ β → ~ α) → (α → β) 46) (α → β) → (~ β → ~ α) 47) (α → β) → [ (~ α → β) → β] 48) (α . (α → β)) → β Modus Ponens 49) (~ β . (α → β)) → ~ α Modus Tollens 50) ((α ∨ β) . ~ α) → β Silogismo Disjuntivo 51) ((α → β) . (β → γ)) → (α → γ) Silogismo Hipotético 52) ((α → β) → α) → α Lei de Peirce 53) ~ α → (α → β) Lei de Duns Scotus 54) ((α . β) → γ) ↔ ((α . ~ γ) → ~ β) Antilogismo 55) (α . ~ α) → β Princípio da Explosão

56) ∀y (∀x Fx → Fy) ∀x Fx → Fy

57) ∀y (Fy → ∃x Fx) Fy → ∃x Fx

58) ∃y (Fy → ∀x Fx) Fy → ∀x Fx

59) ∃y (∃x Fx → Fy) ∃x Fx → Fy

60) ∀x (Fx → P) ↔ ∃x (Fx → P) ∃x Fx → P

Dedução

Teoremas 1) Propriedades de ¢

1) α1 , α2 , ... , αn ¢ αi (i = 1, 2, ..., n) 2) se β é um axioma então ¢ β 3) se θ é um subconjunto de ϕ e θ ¢ β então ϕ ¢ β 4) se θ ¢ α e θ ¢ α → β então θ ¢ β (Regra do destacamento) 5) se θ ¢ β1 , ... , θ ¢ βq , e se β1 , ... , βq ¢ γ então θ ¢ γ 6) se θ ¢ α → β então θ , α ¢ β 7) se ¢ α → β então α ¢ β

2) ¢ α → α 3) Teorema da Dedução:

se α ¢ β então ¢ α → β ou se θ , α ¢ β então θ ¢ α → β ou mais genericamente: se α1 , ... , αm-1 , αm ¢ β então α1 , ... , αm-1 ¢ αm → β

4) se ¢ α então £ α 5) não há fórmula β tal que ¢ β e ¢ ~ β 6) se £ α então ¢ α (Teorema da Completude) (α → β) . α ¢ β ou α , α → β ¢ β

Modus Ponens (MP) Se α então β; α; conseqüentemente β (Ex: se choveu o chão está molhado; choveu; logo, o chão está molhado)

(α → β) . ~ β ¢ ~ α Modus Tollens (MT) Se α então β; não β; conseqüentemente não α (Ex: Se ele estudou, então tirou uma boa nota; ele não tirou uma boa nota; logo, ele não estudou )

(α → β) . (β → γ) ¢ (α → γ) Silogismo Hipotético (SH)

Se α então β; se γ então δ; conseqüentemente, se α então γ (Ex: Se o buraco na camada de ozônio aumenta, a incidência de raios UV também aumenta. Se a incidência de raios UV aumenta, o risco de contrair câncer de pele também aumenta. Logo, se o buraco na camada de ozônio aumenta, o risco de contrair câncer de pele também aumenta. )

(α ∨ β) . ~ α ¢ β Silogismo Disjuntivo (SD)

α ou β; não α; conseqüentemente, β (Ex: Certamente eu comprarei bolo de chocolate ou torta de limão. Não comprarei bolo de chocolate desta vez. Logo, comprarei torta de limão. )

(α → β) . (γ → δ) . (α ∨ γ) ¢ (β ∨ δ)

Dilema Construtivo (DC)

Se α então β; e se γ então δ; mas α ou γ; conseqüentemente β ou δ

((α → β) . (γ → δ) . (~ β ∨ ~ δ)) ¢ (~ α ∨ ~ γ)

Dilema Destrutivo (DD)

Se α então β; e se γ então δ; mas não β ou não δ; conseqüentemente não α ou não γ

(α ∨ β) ¢ α (α ∨ β) ¢ β

Simplificação (simp) (Eliminação da Conjunção)

α e β são verdadeiros; conseqüentemente α é verdadeiro.

α , β ¢ (α ∨ β) α , β ¢ α . β

Conjunção (conj) α e β são verdadeiros separadamente; conseqüentemente eles são verdadeiros conjuntamente

α ¢ (α ∨ β) β ¢ (α ∨ β)

Adição (Ad.) (Introdução da Disjunção)

α é verdadeiro; conseqüentemente a disjunção (α ou β) é verdadeira

((α → β) . (α → γ)) ¢ (α → (β . γ))

Composição Se α então β; e se α então γ; conseqüentemente se α é verdadeiro então β e γ são verdadeiros

~ (α . β) ¢ (~ α ∨ ~ β) Teorema de De Morgan (1)

A negação de (α e β) tem como conseqüência (não α ou não β)

(Ex: Não é o caso de virem ambos Fulano e Beltrano para a reunião. Logo, não virá o Fulano ou não virá o Beltrano. Obs: Como a disjunção não é exclusiva, ela não exclui o caso de não virem ambos. )

~ (α ∨ β) ¢ (~ α . ~ β) Teorema de De Morgan (2)

A negação de (α ou β) tem como conseqüência (não α e não β) (Ex: Não é o caso de vir Fulano ou vir Beltrano para a reunião. Logo, não virá o Fulano e não virá o Beltrano. )

(α ∨ β) ¢ (β ∨ α) Comutação (1) (α ou β) tem como conseqüência (β ou α)

(α . β) ¢ (β . α) Comutação (2) (α e β) tem como conseqüência (β e α)

(α ∨ (β ∨ γ)) ¢ ((α ∨ β) ∨ γ) Associatividade (1) α ou (β ou γ) tem como conseqüência (α ou β) ou γ

(α . (β . γ)) ¢ ((α . β) . γ) Associatividade (2) α e (β e γ) tem como conseqüência (α e β) e γ

(α . (β ∨ γ)) ¢ ((α . β) ∨ (α . γ))

Distributividade (1) α e (β ou γ) tem como conseqüência (α e β) ou (α e γ)

(α ∨ (β . γ)) ¢ ((α ∨ β) . (α ∨ γ))

Distributividade (2) α ou (β e γ) tem como conseqüência (α ou β) e (α ou γ)

α ¢ ~ ~ α ~ ~ α ¢ α

Dupla Negação (DN)

α tem como conseqüência a negação de não α

(α → β) ¢ (~β → ~ α) Transposição (Contraposição)

Se α então β tem como conseqüência se não β então não α (Ex: Se tudo está calmo, então estou entediado. Logo, se não estou entediado, então nem tudo está calmo. )

(α → β) ¢ (~ α ∨ β) Implicação Material Se α então β tem como conseqüência não α ou β

(α ↔ β) ¢ ((α → β) . (β → α)) Equivalência Material (1) (Bicondicional – Condicional)

(α é equivalente a β) significa que, (se α é verdadeiro então β é verdadeiro) e (se β é verdadeiro então α é verdadeiro)

(α ↔ β) ¢ ((α . β) ∨ (~ β . ~ α))

Equivalência Material (2)

(α é equivalente a β) significa que, (α e β são verdadeiros) ou (ambos α e β são falsos)

(α ↔ β) ¢ ((α ∨ ~ β) . (β ∨ ~ α))

Equivalência Material (3)

(α é equivalente a β) significa que ambos (α ou não β é verdadeiro) e (não α ou β é verdadeiro)

((α . β) → γ) ¢ (α → (β → γ)) Exportação De (se α e β são verdadeiros então γ é verdadeiro) podemos demonstrar (se β é verdadeiro então γ é verdadeiro, se α é verdadeiro)

(α → (β → γ)) ¢ ((α . β) → γ) Importação De (se α então (β então γ) é verdadeiro) podemos demonstrar que ((α ∧ β) → γ) é verdadeiro

α ¢ (α ∨ α) Tautologia (1) α é verdadeiro tem como conseqüência α é verdadeiro ou α é verdadeiro

α ¢ (α . α) Tautologia (2) α é verdadeiro tem como conseqüência α é verdadeiro e α é verdadeiro

¢ (α ∨ ~ α) Tertium non datur (Lei do Terceiro Excluído)

α ou não α é verdadeiro

α → β , β → α ¢ α ↔ β Condicional – Bicondicional (CB)

se α acarreta β e se β acarreta α, então α e β são equivalentes

α ↔ β ¢ α → β α ↔ β ¢ β → α

Bicondicional – Condicionais (BC)

se α e β são equivalentes, então α acarreta β e β acarreta α

α , β ¢ γ então α ¢ β → γ se α e βacarretam γ, então α acarreta se α então γ

α, β ¢ γ e α, δ ¢ γ então α, β ∨ δ ¢ γ

Eliminação da Disjunção

se α e β acarretam γ, e α e δ acarretam γ, então α e β ou δ acarretam γ

α . ~ ~ α ¢ β

¢ α → α α ¢ α

se α então α ou α acarreta α

~ (α . β) , α ¢ ~ β Argumento Conjuntivo

(Ex: Não é o caso de virem ambos Fulano e Beltrano à reunião. Fulano veio à reunião. Logo, Beltrano não veio. )

((α → β) → α) ¢ α Lei de Peirce ~ α ¢ (α → β) Lei de Duns Scotus α ¢ (β → α) Prefixação α . ~ α ¢ β Princípio da

Explosão

∀x α ↔ ~ ∃x ~ α ~ ∀x α ↔ ∃x ~ α ∀x ~ α ↔ ~ ∃x α

Negação de Fórmulas Quantificadas (NQ)

~ ∀x ~ α ↔ ∃x α (Negação Quantificacional)

∀x Fx → Fy ou ∀v α(v) → α(t) ou ∀v α(v) ¢ α(t)

Instanciação Universal (IU) (Eliminação de ∀)

Fy → ∃x Fx ou α(t) → ∃v α(v) ou α(t) ¢ ∃v α(v)

Generalização Existencial (GE) (Introdução de ∃)

Fy → ∀x Fx ou α(t) → ∀v α(v) ou se θ ¢ α(t) então θ ¢ ∀v ∀(v)

Generalização Universal (GU) (Introdução de ∀)

∃x Fx → Fy ou ∃v α(v) → α(t) ou se θ , α(t) ¢ γ então θ , ∃v α(v) ¢ γ

Instanciação Existencial (IE) (Eliminação de ∃)

Cuidados na Eliminação e Introdução de Quanfificado res Numa dedução podem ser empregadas as duas regras IE e IU. Convém, em tal caso, usar primeiramente a regra IE (determinando a variável de instanciação). Em seguida, usa-se a regra IU (que vale para qualquer variável e, portanto, para a particular variável de instanciação surgida no uso de IE). (Ver abaixo o exemplo 6 nos Exemplos no Cálculo de Predicados) Existem cuidados a se tomar quando da aplicação das regras IU e GE: a) a variável no escopo do quantificador deve ser livre para a variável de instanciação; Existem cuidados a se tomar quando da aplicação das regras GU e IE: a) a variável de instanciação não pode ser assinalada mais de uma vez em dada dedução; b) a variável de instanciação não figura livre na conclusão nem nas premissas de que depende essa conclusão; No caso de GU, ao se passar da linha n para a linha n+1 numa dedução:

a) a linha n+1 nos devolve a linha n por IU de modo que é preciso verificar se a substituição é livre; b) a variável de instanciação é posterior às variáveis livres da linha n+1; No caso de IE, ao se passar da linha n para a linha n+1 numa dedução: a) a linha n nos devolve a linha n+1 por GE de modo que é preciso verificar se a substituição é livre; b) a variável de instanciação é posterior às variáveis livres da linha n;

Principais Teoremas do Cálculo Sentencial 1) α → (~ α → β) 2) ~ α → (α → β) 3) ~ α → (α → ~ β) 4) α → (~ α → ~ β) 5) (α ∨ β) → (~ α → β) 6) (~ α ∨ β) → (α → β) 7) (α ∨ ~ β) → (~ α → ~ β) 8) (~ α ∨ ~ β) → (α → ~ β) 9) (α → β) → (~ β → ~ α) 10) (α → ~ β) → (β → ~ α) 11) (α → ~ β) → (~ β → α) 12) (~ α → β) → (~ β → α) 13) (~ α → ~ β) → (β → α) 14) (α → (β → γ)) → (α . β → γ) 15) (α → (β → γ)) → (β → (α → γ)) 16) (α → β) → ((β → γ) → (α → γ)) 17) (α → β) → ((γ → α) → (γ → β)) 18) (α → β) → (α . γ → β . γ) 19) (α → β) → (γ . α → γ . β) 20) (α → β) → (α ∨ γ → β ∨ γ) 21) (α → β) → (γ ∨ α → γ ∨ β) 22) α → β , β → α ¢ α ↔ β 23) α ↔ β ¢ α → β 24) α ↔ β ¢ β → α 25) α ↔ α 26) α ↔ β , β ↔ γ ¢ α ↔ γ 27) α ↔ β ¢ β ↔ α 28) α ↔ β ¢ (α ↔ γ) ↔ (β ↔ γ)

29) α ↔ β ¢ (γ ↔ α) ↔ (γ ↔ β) 30) α ↔ β ¢ (α → γ) ↔ (β → γ) 31) α ↔ β ¢ (γ → α) ↔ (γ → β) 32) α ↔ β ¢ α . γ ↔ β . γ 33) α ↔ β ¢ γ . α ↔ γ . β 34) α ↔ β ¢ α ∨ γ ↔ β ∨ γ 35) α ↔ β ¢ γ ∨ α ↔ γ ∨ β 36) α ↔ β ¢ ~ α ↔ ~ β 37) α ¢ (α ↔ β) ↔ (β ↔ α) ↔ β 38) ~ α ¢ (α ↔ β) ↔ (β ↔ α) ↔ ~ β 39) α ¢ (α → β) ↔ β 40) ~ α ¢ (α → β) ↔ ~ α 41) α ¢ (β → α) ↔ α 42) ~ α ¢ (β → α) ↔ ~ β 43) α ¢ (α . β) ↔ (β . α) ↔ β 44) ~ α ¢ (α . β) ↔ (β . α) ↔ α 45) α ¢ (α ∨ β) ↔ (β ∨ α) ↔ α 46) ~ α ¢ (α ∨ β) ↔ (β ∨ α) ↔ β

Principais Teoremas do Cálculo Proposicional 1) se θ ¢ Fx → Gx então θ ¢ ∀x Fx → ∀x Gx 2) se θ ¢ Fx → Gx então θ ¢ ∃x Fx → ∃ x Gx 3) se θ ¢ Fx ↔ Gx então θ ¢ ∀x Fx ↔ ∀x Gx 4) se θ ¢ Fx ↔ Gx então θ ¢ ∃x Fx ↔ ∃ x Gx 5) ∀x P ↔ P 6) ∃x P ↔ P 7) ∀x Fx ↔ ∀y Fy 8) ∃x Fx ↔ ∃y Fy 9) ∀x Fx → ∃x Fx 10) ∀x Fx ↔ ~ ∃x ~ Fx 11) ~ ∀x Fx ↔ ∃x ~ Fx 12) ∃x Fx ↔ ~ ∀x ~ Fx 13) ~ ∃x Fx ↔ ∀x ~ Fx 14) (∀x Fx . ∀x Gx) ↔ ∀x (Fx . Gx) 15) (∃x Fx ∨ ∃x Gx) ↔ ∃ x (Fx ∨ Gx) 16) ∃x (Fx . Gx) → (∃x Fx . ∃x Gx) 17) (∀x Fx ∨ ∀x Gx) → ∀x (Fx ∨ Gx) 18) P . ∀x Fx ↔ ∀x (P . Fx) 19) P ∨ ∃x Fx ↔ ∃x (P ∨ Fx) 20) P ∨ ∀x Fx ↔ ∀x (P ∨ Fx) 21) P . ∃x Fx ↔ ∃x (P . Fx) 22) (P → ∀x Fx) ↔ ∀x (P → Fx) 23) (∀x Fx → P) ↔ ∃x (Fx → P) 24) (P → ∃x Fx) ↔ ∃x (P → Fx) 25) (∃x Fx → P) ↔ ∀x (Fx → P) 26) (∀x Fx → ∃x Gx) ↔ ∃x (Fx → Gx) 27) (∃x Fx → ∀x Gx) ↔ ∀x (Fx → Gx) 28) ∀x ∀y Fxy ↔ ∀y ∀x Fxy (Ver Diagrama de Implicações e

Equivalências de Quantificadores abaixo) 29) ∃x ∃y Fxy ↔ ∃y ∃x Fxy (Ver Diagrama de Implicações e

Equivalências de Quantificadores abaixo) 30) ∀x ∀y Fxy → ∃y ∀x Fxy (Ver Diagrama de Implicações e

Equivalências de Quantificadores abaixo) 31) ∃y ∀x Fxy → ∀x ∃y Fxy (Ver Diagrama de Implicações e

Equivalências de Quantificadores abaixo) 32) ∀x ∃y Fxy → ∃x ∃y Fxy (Ver Diagrama de Implicações e

Equivalências de Quantificadores abaixo) 33) ∀x ∀y Fxy → ∀x Fxx 34) ∃x Fxx → ∃x ∃y Fxy

Diagrama de Implicações e Equivalências de Quantificadores ∀x ∀y → ∃y ∀x → ∀x ∃y → ∃x ∃y

ò ò ∀y ∀x → ∃x ∀y → ∀y ∃x → ∃y ∃x

Identidade x = y x é igual a y

x é idêntico a y x é o mesmo que y

~ (x = y) x ≠ y

x não é igual a y x é diferente de y x não é idêntico a y x não é o mesmo que y

Leis da Identidade 1) x = y se e somente se x tem todas as propriedades de y e y tem todas as propriedades

de x (Leibniz). 2) x = x (todo objeto é igual / idêntico a si mesmo) 3) se x = y então y = x 4) se x = y e y = z então x = z 5) se x = z e y = z então x = y 6) se x = x então α ↔ β a) x = y → (Fx ↔ Fy) b) x = y → (Fy ↔ Fx) c) x = y → (Fx → Fy) d) x = y → (Fy → Fx) e) x = y . Fx → Fy f) x = y . Fy → Fx

Teoremas da Identidade 1) ∀x (x = x)

∀x ∀y (Rxy → Rxx . Ryy) (Quine) Reflexividade

2) x = y → y = x Simetria 3) x = y . y = z → x = z Transitividade 4) x = y ↔ y = x Simetria 5) x = y . z = y → x = z Transitividade 6) y = x . y = z → x = z Transitividade 7) y = x . z = y → x = z Transitividade 8) x = y → (Fx ↔ Fy) Princípio da Indiscernibilidade dos Idênticos

(Leibniz) 9) Fx ↔ ∀y (y = x → Fy)

10) Fx ↔ ∃y (x = y . Fy) 11) Fx . x = y ↔ Fy . x = y 12) x = y → A(x) = A(y) Postulado de Euclides 13) ∃x (x = y) 14) ∃y ∀x ( x = z ↔ x = y) Exemplos de Representações ∀x ∀y (Fx . Fy → x = y) existe no máximo um objeto com a

propriedade F ∃x Fx . ∀x ∀y (Fx . Fy → x = y) existe exatamente um objeto com a

propriedade F ∃x ∃y (Fx . Fy . x ≠ y) existem pelo menos dois objetos com a

propriedade F ∀x ∀y ∀z (Fx . Fy . Fz → x = y ∨ y = z ∨ z = x) ou ∃x Fx . ∀x ∀y (Fx . Fy → x = y)

existem no máximo dois objetos com a propriedade F

∃x [Fx . ∀y (Fy → x = y)] ou ∃!x Fx ou ∃1x Fx

existe apenas um objeto com a propriedade F

Exemplos de Deduções Ver abaixo os exemplos 7 a 10 nos Exemplos no Cálculo de Predicados.

Falácias Uma falácia (ou sofisma) é um raciocínio ou argumento inválido. Nosso interesse aqui são as falácias lógicas, ou seja, o desrespeito as regras da lógica para a construção de raciocínios válidos. No caso da lógica clássica, o raciocínio inválido é aquele que tem uma estrutura a qual não garante que a conclusão seja verdadeira caso as premissas sejam verdadeiras. No Cálculo Proposicional Clássico isto significa ter ao menos uma valoração na qual as premissas são verdadeiras enquanto a conclusão é falsa. Afirmação do conseqüente Se A, então B. (A→B) B. Logo, A. Exemplos: Se João estudar muito irá bem na prova. João foi bem na prova. Logo, João estudou muito. (João pode ter ido bem na prova, mas talvez não tenha estudado muito, pode ter colado, ou teve sorte, por exemplo) Se Pedro foi atropelado, então ele morreu. Pedro morreu. Logo, Pedro foi atropelado. (Pedro pode ter morrido, mas talvez não tenha sido atropelado.) Um raciocínio semelhante é válido: A se e somente se B. (A↔B) B. Logo, A. Exemplos: (Dado que não havia como colar, a prova estava muito difícil e o professor não é condescendente). João foi bem na prova se e somente se estudou muito. João foi bem na prova.

Logo, João estudou muito. (Dado que Pedro é um Highlander). Pedro morreu se e somente se foi decapitado. Pedro morreu. Logo, Pedro foi decapitado. Negação do antecedente Se A, então B. (A→B) Não A. (~ A) Logo, não B. (~ B) Exemplos: Se João estudou muito, então foi bem na prova. João não estudou muito. Logo, João não foi bem na prova. (João pode não ter estudado muito, mas talvez tenha ido bem na prova) Se Pedro foi atropelado, então ele morreu. Pedro não foi atropelado. Logo, Pedro não morreu. (Pedro pode não ter sido atropelado, mas talvez tenha morrido.) Um raciocínio semelhante é válido: A se e somente se B. (A↔B) Não A. (~ A) Logo, não B. (~ B) Exemplos: (Dado que não havia como colar, a prova estava muito difícil e o professor não é condescendente). João foi bem na prova se e somente se estudou muito. João não foi bem na prova. Logo, João não estudou muito. (Dado que Pedro é um Highlander). Pedro morreu se e somente se foi decapitado. Pedro não morreu. Logo, Pedro não foi decapitado.

Afirmação do disjunto A ou B. (A ∨ B) A. Logo, não B. (~ B) Exemplo: Nestas férias, T-Rex vai para Londres ou Paris. Ele já comprou passagem para Londres. Logo, ele não vai para Paris. (Talvez T-Rex tenha ido tanto a Londres quanto a Paris nas férias.) Mas caso a disjunção seja exclusiva, o raciocínio é válido: Ou A ou B. A. Logo, não B. (~ B) Comutação dos condicionais A implica em B. (A→B) Logo, B implica em A. (B→A) Exemplo: Se Luana tem carteira de motorista, ela é maior de idade. Logo, se Luana é maior de idade, ela tem carteira de motorista. (Luana pode ser maior de idade, mas não ter carteira de motorista.) A comutação é válida no caso da conjunção, disjunção e bi-implicação. Contraposição imprópria A implica em B. (A→B) Logo, não A implica em não B. (~ A → ~ B) Exemplo: Se as condições forem favoráveis para o fenômeno ocorrer, ele ocorrerá. Logo, se as condições forem desfavoráveis, o fenômeno não ocorrerá.

(Talvez o fenômeno pode ocorrer mesmo que as condições não sejam favoráveis.) Um exemplo que tornaria o caráter falacioso deste argumento evidente é: Se decapitarmos Luis XVI, ele morrerá. Logo, se não o decapitarmos, ele não morrerá. Negação de um termo conjunto Não é o caso de ambos A e B. ~ (A ∨ B) Não A. (~ A) Logo, B. Exemplo: Não é o caso do clima estar ensolarado e estar nublado ao mesmo tempo. Não está ensolarado. Logo, está nublado. (O dia poderia não estar nem ensolarado e nem nublado.)

Exemplos

Exemplos no Cálculo Sentencia l 1. Se eu trabalho, eu ganho dinheiro. Se eu não trabalho, eu me divirto. Logo, se eu não ganho dinheiro eu me divirto. Representação do problema T → G ~ T → D ----------- ~ G → D Resolução Justificativa 1) T → G premissa 2) ~ T → D premissa 3) ~ G → ~ T 1, Contraposição 4) ~ G → D 3, 2 Silogismo Hipotético Resposta: argumento válido.

Exemplos no Cálculo de Predicados 1. Todos os gatos têm garras. Tom é um gato. Tom tem garras. Representação do problema ∀x (Gx → Rx) Gt ------------------ Rt Resolução Justificativa 1) ∀x (Gx → Rx) premissa

2) Gt premissa 3) Gt → Rt 1, IU (t) 4) Rt 3, 2, MP 2. Todo mundo fala francês ou inglês. A Joana não fala inglês. A Joana fala francês. Representação do problema ∀x (Ix ∨ Fx) ~ Ij ------------------ Fj Resolução Justificativa 1) ∀x (Ix ∨ Fx) premissa 2) ~ Ij premissa 3) Ij ∨ Fj 1, IU (j) 4) Fj 2, 3 SD 3. Todos os homens são mortais. Sócrates é homem. Logo, Sócrates é mortal. Representação do problema ∀x (Hx → Mx) Hs ------------------- Ms Resolução Justificativa 1) ∀x (Hx → Mx) premissa 2) Hs premissa 3) Hs → Ms 1, IU (s) 4) Ms 2, 3 MP Resposta: argumento válido. 4. Todo amigo de Carlos é amigo de Jonas.

Pedro não é amigo de Jonas. Logo, Pedro não é amigo de Carlos. Representação do problema ∀x (Axc → Axj) ~ Apj -------------------- ~ Apc Resolução Justificativa 1) ∀x (Axc → Axj) premissa 2) ~ Apj premissa 3) Apc → Apj 1, IU (p) 4) ~ Apj → ~ Apc 3, transp. 5) ~ Apc 2, 4 MP Resposta: argumento válido. 5. Todos os humanos são racionais. Alguns animais são humanos. Portanto, alguns animais são racionais. Representação do problema ∀x (Hx → Rx) ∃x Hx ------------------ ∃x Rx Resolução Justificativa 1) ∀x (Hx → Rx) premissa 2) ∃x Hx premissa 3) Hx 2, IE (x) 4) Hx → Rx 1, IU 5) Rx 3, 4 MP 6) ∃x Rx 5 GE Resposta: argumento válido. 6. Todos os cristãos veneram Jesus. Algumas pessoas são cristãs.

Logo, algumas pessoas veneram Jesus. Representação do problema ∀x (Cx → Jx) ∃x (Px . Cx) ----------------- ∃x (Px . Jx) Resolução Justificativa 1) ∀x (Cx → Jx) premissa 2) ∃x (Px . Cx) premissa 3) Py . Cy 2, IE (y) 4) Cy → Jy 1, IU 5) Cy 3, simp. 6) Py 3, simp. 7) Jy 5, 4 MP 8)Py . Jy 6,7 conj. 9) ∃x (Px . Jx) 8, GE Resposta: argumento válido. 7. Tristão é Alceu Alceu é escritor Logo, Tristão é escritor Resolução Justificativa 1) t = a premissa 2) Ea premissa 3) Et 1, 2 leis do = 8. George Elliot escreveu “Mill on the Floss” George Elliot era o pseudônimo de Mary Ann Evans Mary era uma dama Logo, uma dama escreveu aquele livro Resolução Justificativa 1) Egl premissa 2) g = m premissa 3) Dm premissa 4) Dg 2, 3 =

5) Dg . Egl 1, 4 conj. 6) ∃x (Dx . Exl) 5 GE 9. Só os homens calvos usam peruca Ivon Cury usa peruca Este homem não é calvo Logo, este homem não é Ivon Cury Resolução Justificativa 1) ∀x (Hx . Px → Cx) premissa 2) Hi . Pi premissa 3) ~ Ct premissa 4) Hi . Pi → Ci 1, IU (i) 5) Ci 2, 4 MP 6) t ≠ a 3, 5 = 10. Alceu escreveu “Idade, Sexo e Tempo” Tristão escreveu “Idade, Sexo e Tempo” Mas esse livro é obra de um só autor Logo, Tristão é Alceu Resolução Justificativa 1) Eai premissa 2) Eti premissa 3) ∃x (Exi . ∀y (Eyi → y = x) premissa 4) Eai . ∀y (Eyi → y = a) 3, IE (a) 5) Eai 4, simp. 6) ∀y (Eyi → y = a) 4, simp. 7) Eti → t = a 6, IU 8) t = a 2, 7 MP

Bibliografia 1) Álgebra Booleana e Circuitos de Chaveamento Coleção Schaum Elliott Mendelson Editora McGraw-Hill do Brasil, Ltda.

2) Lógica – O Cálculo Sentencial Leônidas Hegenberg Editora Herder - USP 3) Lógica – O Cálculo de Predicados Leônidas Hegenberg Editora Herder - USP http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_proposicional http://www.pucsp.br/~logica/CalculodePredicados.htm http://wwmat.ptmat.fc.ul.pt/~jnsilva/logica97/node15.html http://pt.wikibooks.org/wiki/L%C3%B3gica:_C%C3%A1lculo_Proposicional_Cl%C3%A1ssico