Embed Size (px)
Citation preview
ARTE E MATEMÁTICA: UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DE GEOMETRIA
Ayako Outi1
Orientadoras: Márcia Cristina de Costa Trindade Cyrino – UEL
Magna Natália Marin Pires – UEL
RESUMO
Este artigo é resultado de uma experiência vivenciada no processo de aplicação e análise dos resultados obtidos com o material didático Folhas “O problema dos coelhos e o Partenon: que relação é essa?”. O trabalho foi desenvolvido com alunos da 1ª série A do Ensino Médio no Colégio Estadual Marcílio Dias, do município de Itambaracá, estado do Paraná, no ano de 2008. Esse Folhas propõe atividades relacionando Arte e Matemática e trabalha os conteúdos: proporção áurea, número irracional e algumas construções geométricas presentes nas obras dos artistas pesquisados e no célebre problema da procriação dos coelhos proposto por Fibonacci. O número irracional Φ (Phi) não é abordado como um simples número abstrato e sim como uma proporção geométrica utilizada por muitos artistas, inclusive pelos arquitetos gregos na idealização do templo Partenon. Dessa forma, o aluno tem a oportunidade de vivenciar, desenvolver melhor visualização do mundo artístico e histórico e valorizar as produções artísticas utilizadas por diferentes grupos sociais que promoveram essa relação. E de acordo com as estratégias metodológicas propostas nas Diretrizes Curriculares Estaduais a Resolução de Problemas pode contribuir para a formação do cidadão ativo e crítico porque o aluno busca a solução do problema, realizando tentativas, estabelecendo e testando hipóteses e validando os resultados. Ao final de todo o processo, as professoras regentes da turma, os professores do Grupo de Trabalho em Rede e a equipe pedagógica discutiram os pontos positivos e negativos, apresentando sugestões para minimizar as dificuldades apresentadas pelos alunos. Palavras-chave: Folhas. Arte. Proporção áurea. Número irracional. Construção
geométrica.
ABSTRACT
This article is the result of an experience lived in the process and analysis application of the results taken from the didactic material Leaves "The problem of the rabbits and Parthenon: what relationship is that? ". The project was developed with high school students in the State School Marcílio Dias, of the municipal district of Itambaracá, state of Paraná, the year of 2008. That Leaves propose activities relating Art and Mathematics, working the contents: golden proportion, irrational number and some
1 Docente da Educação Básica da Rede Pública de Ensino do Paraná e Especialista em Educação
Matemática, pela Universidade Estadual de Londrina – UEL.
2
geometric constructions found in the researched artists' work and in the famous problem of the procreation of the rabbits proposed by Fibonacci. The irrational number Φ (Phi) is not approached as a simple abstract number, but as a geometric proportion used by many artists, not to mention, the Greek architects in the idealization of the Parthenon temple. In that way, the student has the opportunity to face, to develop better visualization of the artistic and historical world and to care for the artistic productions used by different social groups which promoted that connection. And among the methodological strategies proposed in the State Curriculum Guidelines, the solution of the problem can contribute to an active and critical citizen's formation, once the student tries to find an answer to this challenge. He accomplishes attempts, establishing and testing hypotheses and validating the results.At the end of the whole process, the group and the net work group teachers and the pedagogic team discussed the positive and negative points, presenting suggestions to minimize the difficulties presented by the students.
Key words: Leaves. Art. Golden proportion. Irrational number. Geometric
construction.
INTRODUÇÃO
No relatório divulgado pelo Ministério da Educação observa-se uma
melhoria no Índice de Desenvolvimento da Educação Básica 2007 (IDEB) em todas
as modalidades de ensino. O índice apresentado pelo Ensino Fundamental – anos
finais na Rede Pública Estadual, em nível nacional, era de 3,3 em 2005 e alcançou
3,6 em 2007. E no Estado do Paraná esse mesmo índice avançou de 3,3 em 2005
para 4,0 em 2007. Apesar do avanço observado no IDEB 2007 em relação ao ano
de 2005, tanto na esfera nacional como na estadual, ainda estamos longe de atingir
a meta de 6,0 em 2021. Na opinião de muitos especialistas, os investimentos na
formação continuada e maior aplicação de recursos na área educacional são
apontados como fatores essenciais para a melhoria da “qualidade do ensino”.
A maioria das escolas públicas paranaenses atende alunos oriundos
de diferentes classes sociais e conseqüentemente com comportamentos,
desempenhos e perspectivas distintos. Diante dessa situação, o professor além de
dominar o conteúdo pedagógico e o conteúdo específico de sua disciplina, necessita
saber olhar, conhecer e intervir no contexto em que atua para criar situações de
aprendizagens que promovam o sucesso dos alunos envolvidos. A crise no setor
educacional propicia aos professores um momento de reflexão sobre o seu
3
verdadeiro papel de educadores. Os professores podem ser meros implantadores
das reformas educacionais, cumprindo os procedimentos decididos por especialistas
externos à sala de aula ou, transgredir, assumindo o papel de preparar os alunos
para se tornarem cidadãos ativos. E, para isso, devem enfrentar o desafio de
participar dos debates que envolvem as decisões sobre a educação e ocupar uma
posição essencial no processo de mudança na educação.
O governo do Estado do Paraná, em parceria com as instituições
públicas de ensino superior, iniciou no ano de 2006, o processo para ingresso num
programa de formação continuada para atender às reais necessidades de
enfrentamento de problemas na Educação Básica, o Programa de Desenvolvimento
Educacional – PDE. O objetivo desse programa é proporcionar aos professores da
rede pública estadual subsídios teórico-metodológicos para que estes
redimensionem sua prática pedagógica e implementem mudanças significativas no
interior das escolas.
Foram ofertados cursos e atividades nas modalidades presenciais e
à distância aos professores aprovados no processo de seleção. No primeiro ano o
professor PDE teve garantido o afastamento e remuneração de 100% de sua carga
horária efetiva e de 25% no segundo ano. Esse novo modelo de formação
continuada possibilitou a integração das escolas públicas paranaenses com as
Instituições de Ensino Superior (IES) envolvidas, favorecendo a articulação entre a
Educação Básica e o Ensino Superior. Os cursos, seminários e encontros ofertados
proporcionaram ao professor participante do PDE o contato com as pesquisas
desenvolvidas nas universidades na área de sua formação inicial. E ao mesmo
tempo, as universidades tiveram a oportunidade de conhecer as práticas
pedagógicas vivenciadas nas escolas públicas, situação que oportunizou uma
aproximação entre a Educação Básica e o Ensino Superior.
Nesse processo de formação continuada, a atividade inicial do
professor PDE foi a elaboração da proposta de intervenção na escola, ou seja, um
Plano de Trabalho sob orientação do professor da IES. Esse plano foi estruturado
abrangendo os seguintes eixos: a proposta de estudo, a elaboração do material
didático e a coordenação do grupo de trabalho em rede (GTR).
No ano de 2007, participamos das atividades do PDE ofertadas
pelos professores da área de Matemática da Universidade Estadual de Londrina e
4
sob a orientação da Professora Doutora Márcia Cristina de Costa Trindade Cyrino
elaboramos um plano de trabalho cujo tema de estudo era Arte e Matemática. Além
disso, tivemos a oportunidade de participar das reniões do Grupo de Estudo e
Pesquisa sobre Formação de Professores de Matemática – GEPEFOPEM, parte
integrante do Grupo de Pesquisa em Educação Matemática que está cadastrado no
Diretório dos Grupos do CNPq pela UEL. A proposta desse grupo é estudar e
investigar os fundamentos e os processos de constituição dos
conhecimentos/saberes docentes na formação inicial (curso de licenciatura em
Matemática), bem como na formação em serviço de professores de Matemática.
Construímos o material didático Folhas denominado “O Problema
dos Coelhos e o Partenon: que relação é essa?”. A problematização foi elaborada de
maneira provocativa, instigando no aluno, a curiosidade, a reflexão e a pesquisa e
estimulando-o a ter diferentes visões do conteúdo estudado a partir da relação entre
Arte, Matemática e História.
No primeiro semestre de 2008, sob orientação da Professora Mestre
Magna Natalia Marin Pires, retornamos à escola para o processo de implementação
com o tema Arte e Matemática: uma proposta para o Ensino de Geometria. A
proposta foi elaborada tendo em vista a preocupação com as dificuldades de
aprendizagens dos alunos, principalmente no que diz respeito à compreensão de
conceitos matemáticos e geométricos, bem como em criar situações nas quais os
alunos possam vivenciar, desenvolver melhor visualização do mundo artístico e
histórico, valorizar e apreciar as produções artísticas utilizadas por diferentes grupos
sociais que promoveram a relação Arte e Matemática, e por acreditar que o
desenvolvimento dos conteúdos trabalhados a partir desses contextos históricos,
sociais e culturais poderia enriquecer a prática pedagógica dos professores
envolvidos.
Compartilhamos com os professores de Matemática do Colégio
Estadual Marcílio Dias – Ensino Fundamental e Médio, das escolas estaduais do
município de Itambaracá e participantes do Grupo de Trabalho em Rede (GTR)
alguns tópicos de Geometria e as estratégias metodológicas estudados no curso do
Programa de Desenvolvimento Educacional.
Partindo das obras estudadas na disciplina de Artes, dentre as quais
destacam-se Mondrian e Leonardo da Vinci, os alunos elaboraram um trabalho com
5
imagens usando a criatividade. Esse trabalho foi apresentado à comunidade escolar
durante uma exposição organizada pelos alunos e professores envolvidos.
Após a aplicação do Folhas, foram analisadas as produções dos
alunos para verificar a concepção desses em relação aos conteúdos estudados e as
dificuldades apresentadas.
Ao final de todo o processo, as professoras regentes da turma e a
equipe pedagógica discutiram os pontos positivos e negativos, apresentando
sugestões para minimizar as dificuldades apresentadas pelos alunos.
ARTE E MATEMÁTICA
Nas Diretrizes Curriculares de Matemática da Rede Pública da
Educação Básica do Estado do Paraná constam como conteúdos estruturantes para
o Ensino Fundamental: números e álgebra, grandezas e medidas, geometrias,
funções e tratamento da informação. A proposta consiste em trabalhar esses
conteúdos de forma articulada, estabelecendo relações com contextos históricos,
sociais e culturais.
O ser humano relaciona-se com o mundo em que vive,
interpretando-o e a si mesmo por meio das diversas áreas do conhecimento. A
relação da Matemática com essas áreas oferece oportunidade do aluno interpretar,
compreender e atuar sobre a sua realidade.
Nesse sentido, trabalhar Geometria aliada à Arte pode ser um
caminho para o professor estabelecer diferentes práticas em sala de aula. Vários
artistas utilizaram elementos da Geometria em suas obras e a relação entre
Geometria e Arte contribuiu para a produção de obras de grande beleza e harmonia.
O trabalho associado à Arte oportuniza ao professor de Matemática
criar situações de aprendizagens significativas, pois os objetivos das duas
disciplinas convergem, no sentido de educar os alunos, possibilitando-lhes um olhar
holístico, um ouvir mais crítico, uma interpretação da realidade além das aparências,
buscando assim a formação do cidadão. Repensando a prática pedagógica e
buscando ações para criar situações que promovam aprendizagem e tendo como
foco o ensino de Geometria, propusemos o estudo das possíveis contribuições das
obras de artistas para o desenvolvimento do pensamento geométrico dos alunos. E
6
estudar as obras criadas pelos artistas implicou pesquisar o contexto histórico social
e cultural vivenciado por eles.
A busca de respostas dessa investigação direcionou nosso trabalho
ao estudo da forma geométrica considerada símbolo de harmonia, perfeição e
beleza desde a Grécia Antiga, a proporção áurea, e a manifestação desta no mundo
da Arte e da Matemática.
No campo das artes, muitas vezes, as proporções foram
incorporadas inconscientemente pelos artistas em suas criações, como resultado de
sua intuição estética ou do contexto cultural vivenciado pelo artista ou até mesmo
pela finalidade a que se destinava a obra. Em outros casos, como em algumas obras
de Leonardo da Vinci, foram utilizadas após experimentação. A proporção pode ser
entendida como uma relação entre o todo e suas partes. Em linguagem matemática,
a proporção pode ser definida como:
“ 1. Relação multiplicativa entre duas grandezas ou duas medidas expressas por dois números. A proporção de 4 para 1 entre duas medidas indica que a primeira é o quádruplo da outra. Também se diz razão de 4 para 1.
2. Igualdade entre duas razões. Assim, 1 4
2 6 é uma proporção.”
(IMENES, 2002, p. 340)
Ao longo da história, a proporção foi muito utilizada pelos artistas,
dos mais diversos tipos (1:1; 2:1; 2:3; 3:4;...), mas não podemos negar que a
proporção conhecida como áurea foi que exerceu forte influência no mundo artístico.
No século V a.C., os gregos consideravam harmonioso e agradável
aos olhos, os retângulos que obedeciam a proporção áurea. A fachada do templo do
Partenon, em Atenas, construído por Péricles, a pedido de Phídias, pode ser
encaixada num retângulo em que o lado maior dividido pelo lado menor é igual a
divisão entre o lado menor e a diferença entre o lado maior e o menor.
A seção áurea surgiu inicialmente como uma proporção geométrica
e não como um número irracional abstrato. Analisando as diversas designações
recebidas, percebemos que ela era envolvida por algo sagrado e foi utilizada nas
obras de caráter religioso e místico.
O número Φ ficou conhecido como o número áureo, razão áurea,
seção áurea, segmento áureo e divina proporção, mas o termo “seção áurea” só foi
7
usado aproximadamente dois mil anos depois, na época em que Kepler fez o
comentário a seguir.
A Geometria tem dois grandes tesouros: um é o teorema de Pitágoras; o outro, a divisão de um segmento em média e extrema razão. O primeiro pode ser comparado a uma medida de ouro; o segundo podemos chamar de jóia preciosa (BOYER, 1974, p. 37).
Os gregos valorizavam a beleza das coisas. O modelo de beleza
ideal estava associado ao número de ouro, ou seja, deveria levar em conta a
proporcionalidade de suas medidas. Esse ideal de beleza influenciou fortemente a
arquitetura grega. O Partenon é o mais famoso templo de ordem dórica.
A religião grega antiga diferenciava-se das religiões que marcaram a
civilização ocidental por ser politeísta e antropomórfica, isto é, possuía vários deuses
com formas humanas, qualidades divinas, defeitos e tentações semelhantes aos
homens. Diferenciavam-se dos seres humanos por serem imortais e viverem no
monte Olimpo.
Atena era a deusa da sabedoria, guerreira e protetora das artes e
trabalhos manuais como: fiação, tecelagem e bordado. Protetora da cidade de
Atenas e de outras cidades gregas, era cultuada em toda a Grécia.
O Partenon foi consagrado à deusa Atena Pallas ou Parthenos (a
virgem) e foi construído em mármore pentélico, na acrópole de Atenas entre 447 a
438 a.C., na época de Péricles, por Ictino e Calícrates, coordenados por Phídias. A
função principal desse templo era abrigar a estátua da deusa feita por Phídias em
ouro e marfim.
No século V a.C., os gregos consideravam as construções
harmoniosas e agradáveis aos olhos as estruturas que obedeciam à proporção
áurea. Por exemplo, a fachada do templo do Partenon pode ser encaixada em um
retângulo dividido em duas partes distintas que obedecem a seguinte relação: a
parte menor está para a maior, assim como a parte maior está para o todo.
Nessa proporção, há uma relação entre a área menor (A2) e a maior
de um plano (A1) e entre a área maior( A1) com a área total (A1+A2).
8
O retângulo que obedece essa proporção ficou conhecido como
retângulo áureo ou de ouro.
Fonte: AyakoOuti
O retângulo construído ABEF é áureo, isto é, a razão entre seus
lados é o número irracional 1,618.... E se projetarmos o lado menor sobre o lado
maior, a área total será dividida em duas partes desiguais: um quadrado e um
retângulo. E se continuarmos esse processo indefinidamente, projetando no
retângulo o lado menor sobre o maior, obteremos novamente um quadrado e um
retângulo e verificaremos que o espaço será dividido cada vez mais em áreas
menores, formando quadrados e retângulos, conforme pode ser observado na figura
a seguir. Apesar das áreas não serem iguais, as razões entre elas são mantidas.
O sentido concreto de áreas na seção áurea foi transformado em
uma relação geométrica entre segmentos correspondentes a um dos lados dos
retângulos e abstraído, no século XIII, pelo matemático Leonardo de Pisa. Essa
F
Fonte: Ayako Outi
2 1
1 1 2
A A
A A A
Fonte: Ayako Outi
9
relação ao ser transformada em uma seqüência numérica, ficou conhecida como
Seqüência de Fibonacci.
O retângulo áureo está relacionado com a divisão áurea de um
segmento. No retângulo áureo ABDF, vamos analisar um dos seus lados (AB). Os
matemáticos antigos a conheciam como divisão em média e extrema razão. Um
ponto C divide um segmento AB em média e extrema razão se: AC CB
AB AC
isto é:
m n
m n m ( I )
Considerando m
xn
, temos:
m
xn
, então: m = nx. Substituindo em ( I ), temos:
nx n nx
nx n
Colocando o fator comum em evidência:
( 1)n x nx
nx n
1xx
x
2
2
1
1 0
1 5
2
x x
x x
x
Como trata-se de segmentos, não consideramos a raiz negativa.
Então: 1 5
2x
O valor de x é aproximadamente igual a 1,618... , o número de ouro phi (Φ). Este
número não era aceito pelos adeptos da escola pitagórica fundada pelo filósofo
Fonte: Ayako Outi
10
grego Pitágoras que viveu na Grécia entre os anos 580 e 504 a.C. Os objetivos
dessa escola eram místicos e científicos e ela tinha como símbolo o pentagrama,
construído a partir da face pentagonal do dodecaedro regular, no qual verifica-se
também a presença do número Φ que, como já foi dito, não era reconhecido pelos
pitagóricos por ser considerado incomensurável. Somente no século XIX, esse
número ficou conhecido como irracional, quando o alemão Julius Wilhelm Richard
Dedekind formalizou a noção de números inteiros, racionais e irracionais. O segredo
sobre a existência dos incomensuráveis ficou guardado pelo fato desse número não
corresponder à realidade do Universo idealizada pela Escola Pitagórica,
contrariando seus princípios.
A divina proporção foi muito utilizada pelos artistas da Antiguidade
Clássica. Os gregos e romanos reconheciam nessa proporção o ideal da anatomia
humana e a utilizaram na criação de esculturas, que obedeciam à proporção
considerada ideal: Φ, como razão entre a altura total do indivíduo e a altura do
umbigo.
No século XX, os artistas inspirados no movimento racionalista
europeu criaram a arte abstrata e na arquitetura buscaram a racionalização e
uniformização das construções, como Le Corbusier que projetou uma casa em
Paris, seguindo a proporção áurea.
Segundo Kemp, Leonardo da Vinci descreveu as proporções ideais
do rosto, com exatidão, passando a descrever para o resto do corpo:
“A distância entre a fenda da boca e a base do nariz é um sétimo do rosto [...] A distância entre a boca e abaixo do queixo será um quarto do rosto, assemelhando-se à largura do rosto. Se dividirmos em quatro partes iguais o comprimento total do nariz (ou seja, desde a ponta até a junção com as sobrancelhas), veremos que a parte inferior corresponde à distância entre acima das narinas e abaixo da ponta do nariz; a parte superior, à distância entre o duto lacrimal e o ínício das sobrancelhas; e as duas partes intermediárias, à distância entre os dois cantos de cada olho.” (APUD ATALAY, 2007, p.131)
No Renascimento, época em que se buscava retomar valores
estéticos da Grécia Antiga, a proporção áurea foi muito utilizada. Em 1492, Leonardo
da Vinci desenhou o “Homem Vitruviano”, figura masculina em que essa proporção
está presente. Nela, dividindo a medida da altura total pela altura do umbigo, obtém-
se o número de ouro. O artista criou essa obra com base nos estudos das
11
proporções do corpo humano proposta pelo arquiteto e artista romano Marcus
Vitruvius Pollo. Na figura humana construída por Leonardo da Vinci, a medida entre
as extremidades das mãos é igual à altura da figura e quando o indivíduo eleva os
braços e abre as pernas inscreve-se num círculo, cujo centro é o umbigo.
Do século V a.C. até a época do Renascimento, a Arte parece ter
adotado o número de ouro como critério estético e na Matemática, a harmonia
também é refletida por uma proporção: o número de ouro. Esse número aparece
com freqüência na natureza: no girassol, na disposição das folhas, no Nautillus, na
pinha, etc. A Matemática aliada a Arte ao interpretarem a natureza, encontraram
uma fórmula matemática para definir essa harmonia, o número de ouro.
A razão áurea também encontra-se na Seqüência de Fibonacci. O
célebre problema dos coelhos proposto pelo matemático Leonardo de Pisa (cerca de
1180-1250), conhecido como Fibonacci ou filho de Bonaccio, em seu livro Liber
abaci ou livro do ábaco.
Nessa seqüência, a proporção áurea é expressa por meio de uma
seqüência numérica em que cada vez o terceiro termo, além de representar a soma
dos dois termos anteriores, representa o todo. Escrevemos essa proporção
utilizando a linguagem matemática da seguinte forma:
Existem várias propriedades curiosas envolvendo o Φ. Há também o
inverso de Φ, que pode ser obtido pela razão entre os termos sucessivos da
seqüência de Fibonacci, ou seja, dividindo o primeiro termo pelo segundo, o
segundo pelo terceiro, e assim sucessivamente. Analisando os valores obtidos, é
possível percebermos que eles convergem para 0,618... (Φ-1 = 0,618...).
Atualmente, observamos a presença desse número em objetos do
cotidiano como fotos 3x5, cartões de crédito, cartas de baralho. E, na Arte, em
monumentos, nas pinturas de muitos artistas, dentre eles, Piet Mondrian e
Leonardo da Vinci, que utilizou a proporção áurea conscientemente após
experimentação e aplicação.
m M
M T
m: termo precedente
M: termo escolhido
T: termo posterior
12
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
O conhecimento foi gerado pelo ser humano na busca de respostas
aos questionamentos e problemas surgidos em seu contexto sócio-cultural. Essa
necessidade do ser humano de explicar, de conhecer, de aprender e compreender o
meio em que vive deu origem as diversas áreas do conhecimento.
A história da humanidade revela-nos a busca do ser humano em
explicar, sobreviver e transcender o seu meio e que deu “origem aos modos de
comunicação e às línguas, às religiões e às artes, assim como as ciências e as
matemáticas, enfim, a tudo que chamamos de conhecimento.” ( D’Ambrósio, 2005,
p.49)
O processo de construção do conhecimento realiza-se em várias
dimensões, dentre as quais D’Ambrósio destaca as dimensões sensorial, intuitiva,
emocional e racional. O conhecimento religioso é associado às dimensões intuitiva e
emocional, o conhecimento científico é apoiado pelo racional e o emocional
predomina nas artes.
Para D’Ambrósio, a Matemática como todo conhecimento, é
resultado da busca de sobrevivência e transcendência da espécie humana e justifica
o programa etnomatemática da seguinte forma:
Indivíduos e povos têm, ao longo de suas existências e ao longo da história criado e desenvolvido instrumentos de reflexão, de observação, instrumentos materiais e intelectuais [que chamo ticas] para explicar, entender, conhecer, aprender para saber e fazer [que chamo matema] como resposta a necessidades de sobrevivência e transcendência em diferentes ambientes naturais, sociais e culturais
[que chamo etnos]. (D’AMBRÓSIO, 2001, p .60)
A etnomatemática, além de valorizar a diversidade e buscar a
eliminação da desigualdade discriminatória, pode contribuir para o ensino de
matemática ao possibilitar ao professor e alunos pesquisarem a origem, o momento
social-histórico e o motivo pelo qual determinado conteúdo matemático foi gerado.
Trabalhar o conteúdo matemático em sala de aula, por memorização
e aplicação de fórmulas, negando a construção social, cultural e histórica do
conhecimento, não favorece uma situação de aprendizagem significativa e muito
13
menos a formação do cidadão, que constitui o objetivo da educação básica, como
consta no art. 22, da Lei nº 9394 de Diretrizes e Bases da Educação Nacional:
A educação básica tem por finalidade desenvolver o educando, assegurando-lhe a formação comum indispensável para o exercício da cidadania e fornecer-lhes meios para progredir no trabalho e em estudos posteriores.
Assim, a etnomatemática ao levar em consideração a existência de
vários e distintos conhecimentos, prioriza um ensino que valoriza a história dos
alunos pelo reconhecimento e respeito a suas origens. Seu enfoque relaciona-se
com o ambiente do indivíduo e as relações de produção e trabalho, bem como com
as manifestações culturais como arte e religião.
A Arte e a Matemática são criações humanas, com suas linguagens,
códigos e valores, são formas desenvolvidas pelo homem na busca de representar
a realidade. As necessidades dos grupos deram origem à geometria, inicialmente,
como ciência empírica. A transformação da geometria empírica em ciência
matemática deu-se com os Elementos de Euclides, tornando-se dedutiva na
Antiguidade Grega.
O homem, ao observar de forma ativa o meio em que vivia,
aprendeu a perceber as formas espaciais, e assim elaborou os conceitos
geométricos. Para sastisfazer as necessidades do seu cotidiano, ele produziu
objetos buscando regularidades. E produzindo objetos regulares e comparando, ele
conseguiu fabricar objetos de melhor qualidade.
Nas pinturas das cavernas de Lascaux há figuras retangulares
(brasões) como um tabuleiro de xadrez pintados alternadamente de cores diferentes.
Segundo Gerdes, tanto a idéia de ângulo reto, como de linhas
paralelas, espirais e formas retangulares poderiam ter sido formadas no trabalho e
arte de entrançar.
No trabalho laboral do Paleolítico, utilizavam-se caniços de
comprimentos iguais e linhas na confecção de esteiras. Esse processo contribui na
formação do conceito de ângulo reto e noção de retângulo. Após a descoberta
desses conceitos, estes eram aplicados em outras atividades, como no
entrelaçamento retangular de tiras, devido a sua praticidade.
14
Atualmente, esse tipo de entrelaçamento também é utilizado no
artesanato, como por exemplo, na fabricação de bolsas, cuja matéria-prima utilizada
é a fibra de bananeira. Inicia-se o trabalho confeccionando-se o fundo achatado da
bolsa, entrelaçando–se tiras de comprimentos iguais paralelamente umas aos lados
das outras e com outras perpendicularmente as primeiras.
A utilização de esteiras retangulares remontam há mais de oito
milênios a.C. e alguns conhecimentos sobre a forma retangular foram adquiridos
pela experiência. O homem descobriu que ao dobrar uma esteira ao meio, tanto no
sentido da comprimento ou da largura, obtinha-se metade do tamanho original.
Podemos assim identificar os eixos de simetria do retângulo.
As diagonais do retângulo têm medidas congruentes e cruzam-se no
meio, essa propriedade foi descoberta cruzando-se dois paus (não perpendiculares)
e conduzindo o fio em espiral ao redor desses paus, em quantidades iguais de
voltas, e assim obtinham formas retangulares.
O estudo do retângulo, na perspectiva da etnomatemática, pode
contribuir para que o aluno compreenda que esse conhecimento foi produzido por
diversos grupos, em diversos contextos, ou seja, ele tem uma história. Ao ressaltar
esses aspectos, a Matemática é entendida muito além de um mero conjunto de
fórmulas.
IMPLEMENTAÇÃO NA ESCOLA
É comum na 8ª série do Ensino Fundamental o conteúdo “número
irracional” ser trabalhado por meio de exercícios de reconhecimento e na maioria
das vezes a proporção áurea sequer é abordada, restando ao aluno apenas realizar
atividades de reconhecimento. O desenvolvimento desse conteúdo no Folhas “O
problema dos coelhos e o Partenon” buscou relacionar Arte e Matemática num
contexto histórico e social por meio de uma situação problema.
Por esse motivo e por não trabalharmos com turmas de 8ª séries do
Ensino Fundamental no ano de 2008, na primeira etapa da implementação,
desenvolvemos o conteúdo desse Folhas com 36 alunos na 1ª série do Ensino
15
Médio do Colégio Estadual Marcílio Dias – Ensino Fundamental e Médio do
município de Itambaracá.
Pensando em criar situações de aprendizagens que possibilitem aos
alunos estabelecer relações entre Arte e Matemática, desenvolvendo ainda a
compreensão, descrição e representação do mundo real, foram apresentados dois
filmes durante o processo de aplicação do Folhas: “Arte e Números” e “Número de
Ouro”, da série Arte e Matemática da TV Escola.
O trabalho com o Folhas proposto teve início com a apresentação da
problematização inicial na TV Pendrive. Os alunos realizaram as atividades em
grupos de 3 ou 4 que foram recolhidas ao final de cada aula. Nesse processo, a
postura desempenhada pelo professor foi de questionador e não aquele que detém
as respostas, esse fato foi relevante para o sucesso desse trabalho.
Foram propostas diversas atividades para que o aluno pudesse
responder a problematização inicial e estabelecer a relação entre Arte e
Matemática. A seguir, transcrevemos e analisamos duas atividades integrantes do
Folhas:
O problema dos coelhos
A construção geométrica do retângulo áureo
ANÁLISE DOS TRABALHOS DOS ALUNOS - ATIVIDADE 1: PROBLEMA DOS
COELHOS
Pensamos ter aguçado a curiosidade do aluno ao propormos o
problema: “Que relação é possível estabelecer entre o problema da procriação dos
coelhos e o Partenon?”
Analise as situações propostas a seguir:
1. O célebre Problema dos Coelhos proposto pelo matemático Leonardo de Pisa
(cerca de 1180-1250), conhecido como Fibonacci ou filho de Bonaccio, em
seu livro Liber abaci ou livro do ábaco, que inspirou muitos matemáticos,
dizia:
16
Quantos pares de coelhos serão produzidos num ano, começando com um só par, se em cada mês cada par gera um novo par que se torna produtivo a partir do segundo mês? (BOYER, 1974, p. 186)
A problematização apresentada cumpriu a função de instigar a
curiosidade dos alunos que manifestaram suas dúvidas:
- Que coelhos?
- Partenon? O que é isso?
- O casal só procria uma vez?
- O coelho é ovíparo?
- São mamíferos? São herbívoros?
- Qual o tempo de gestação da coelha?
Para responder a questão inicial foi necessário conhecer o contexto
histórico e analisar cada uma das situações apresentadas.
Embora o problema dos coelhos proposto por Fibonacci em 1202
não contemple váriáveis importantes na análise do crescimento populacional como a
morte, a imigração e a falta de espaço, este instigou a curiosidade de muitos
matemáticos.
Partindo do pressuposto que coelhos tornam-se aptos a procriar no
período de dois meses, dando origem a um novo casal de coelhos, quantos pares
serão produzidos em um ano?
Imagine a situação: no primeiro mês haverá apenas um casal de
coelhos. No segundo mês, continua apenas um casal. No final de dois meses, a
fêmea dará à luz um novo casal de coelhos. Então, no terceiro mês, teremos 2
2. No século V a.C., o templo do
Partenon, em Atenas, foi
construído por Phídias a pedido de
Péricles. Existe uma relação entre
as formas que compõem sua
estrutura. Encontre essa relação.
Fonte: http://www.historiadaarte.com.br
17
casais de coelhos. Para melhor visualizar a situação, foi apresentado o diagrama a
seguir para que o aluno observasse a seqüência numérica do número de casais de
coelhos e descobrisse o próximo número da seqüência.
Tempo (mês) Esquema
1º
2º
3º
Um aluno comentou que a família criava coelhos e que a coelha
procriava a cada três meses e mesmo doando os filhotes a população crescia
rapidamente. E diferenciava-se do problema de Fibonacci por não criar somente um
casal de coelhos, mas sim 6, 7 ou mais filhotes.
Explicamos que a procriação de coelhos de Fibonacci não levava em
conta algumas variáves como morte, fuga, espaço, etc. Diante do interesse
demonstrado pela turma, sugerimos que pesquisassem sobre a vida e a
classificação científica do coelho.
Em relação à situação-problema apresentada sobre o Partenon,
disseram que não conheciam, mas ao visualizarem a imagem do templo disseram
que já haviam visto. Este fato comprova que o uso de imagem é um recurso rico e
pode ser utilizado para que o aluno tenha a oportunidade de “viajar no tempo”.
Os alunos demonstraram interesse em resolver o problema, mas a
maioria dos grupos teve dificuldade em calcular o número de casais de coelhos do
mês seguinte. Um dos grupos entendeu que a reprodução dos coelhos ocorria
somente a cada 2 meses, então, expliquei que os coelhos levavam dois meses para
estarem aptos a procriar, mas que a partir da primeira procriação, eles procriariam
todos os meses. Um grupo fez o seguinte questionamento:
- Professora, para calcular o número de casais é só somar os dois
anteriores?
Nº de Casais de Coelhos
1
1 2
Fonte: Ayako Outi
18
Não confirmamos, mas pedimos que verficassem o valor para o
oitavo mês desenhando os casais de coelhos. Calcularam e confirmaram sua
hipótese. Procuramos manter uma postura de não dar respostas e sim perguntar.
Quando o erro do aluno era percebido, uma justificativa era solicitada para que ele e
o grupo descrevessem o caminho percorrido e percebessem o erro cometido.
Na continuidade da apresentação do Folhas cada grupo completou
a tabela relacionanado o número de casais de coelhos e o mês. (tabela 1)
Tabela 1 – Seqüência de Fibonacci
Mês 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º
Número de casais 1 1 2
A estratégia utilizada no Folhas instigou a curiosidade do aluno e no
desenrolar das atividades os questionamentos propostos auxiliaram na busca de
soluções. A sugestão “Tente descobrir uma regra para encontrar o número de
casais de coelhos de um determinado mês considerando os meses anteriores.”,
chamada pelos alunos por “dica”, colaborou para que a classe percebesse que
bastava somar os dois números anteriores para obter o número seguinte.
À medida que passávamos os slides na TV pendrive, os alunos liam
o conteúdo do Folhas e percebemos que as dúvidas que eles tinham eram as
perguntas abordadas no material didático, como por exemplo: quem destruiu o
Partenon? Mal sabiam eles que aquela era a próxima atividade de pesquisa
proposta. Pelos comentários dos alunos, percebemos as dificuldades apresentadas
em pesquisar, estudar, redigir e trabalhar em situações não convencionais.
Cada grupo desenvolveu sua estratégia para completar o esquema
dos casais de coelhos, utilizando desenhos, cores e legendas para obter melhor
visualização. Essas representações desempenharam um papel importante no
processo de resolução do problema e na comunicação do caminho percorrido pelo
grupo. Nesse sentido , Ponte e Serrazina (2000, p. 06) afirmam:
As representações usadas pelos alunos dão preciosas indicações acerca do seu modo de pensar. O professor pode usar esta informação para estabelecer ligações entre as formas de representação dos alunos e as formas de representação usuais na Matemática.
19
Analisando os relatórios redigidos pelos grupos e as discussões
durante as aulas, tivemos a oportunidade de acessar e refletir sobre os processos
realizados pelos alunos e observamos que muitas vezes o relatório escrito não
condiz com a exposição oral. Os alunos tiveram dificuldade em compreender o
enunciado do problema e, conseqüentemente, em completar o esquema dos
coelhos. Após várias tentativas, questionamentos, discussões, dois grupos
chegaram à conclusão de que para obter o número de casais de coelhos de
determinado mês bastava somar o número de casais dos dois meses anteriores. Os
demais grupos só chegaram a essa conclusão após a sugestão fornecida no próprio
Folhas. As representações utilizadas pelos alunos foram generalizadas para a
linguagem matemática “Fn = Fn-1 + Fn-2”.
A seguir, descrevemos algumas estratégias utilizadas pelos alunos.
Equipe 1:
Tempo (mês)
Esquema
Nº de casais de coelhos
1º
2º
3º
4º
5º
6º
7º ...
12º
CC
CC
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
...
...
1
1
2
3
5
8
13 ...
144 São os casais que vão criar no próximo mês
Os casais que estão se reproduzindo
No 1º e 2º mês só terá 1 casal, pelos coelhos criarem somente depois de dois
meses, 3º mês serão dois casais, 4º mês serão 3 casais e só o casal inicial vai criar,
no 5º mês 2 casais vão criar e serão 5 casais, 6º mês terá 8 casais se reproduzem
esse mês, no 7º mês 5 casais se reproduzem que formam 13 casais. Do 8º à 12º
20
mês mudamos a maneira de calcular, no 8º mês serão 8 crias, assim somamos a
quantia anterior que é 13 com + 8 que é igual a 21, nos meses seguintes somamos
os dois resultados anteriores que darão os resultados dos meses seguintes.
Mês 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º
Nº de casais de coelhos 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
Equipe 2 :
Conclusão: No começo nosso grupo achou que a sequência de coelhos a cada mês
aumentava de 2 em dois depois 3 em 3 e assim por diante, mas não estava correto.
E quando chegamos no 7º mês tivemos a conclusão que a maneira correta da
seqüencia era somar o número de casais do novo mês com o nº de casais do mês
anterior, isso nos descobrimos antes da dica da Professora.
Não foi simples achar o resultado, tivemos que pensar bastante, prestar atenção nos
detalhes, nós ficamos preocupado com os coelhos, mas na verdade a resposta esta
na sequência de casais. Então basta raciocinar a resposta estava na cara o tempo
todo e só colocarmos o raciocínio em ação.
21
Equipe 3:
Conclusão: Começamos a desenhar os coelhos e sua reprodução, os coelhos se
reproduziam da seguinte maneira. Quando um casal não havia começado a criar ele
demoraria 2 meses para procriar. Depois da primeira cria ele criaria todo mês. Ao
criar cada casal criaria mais um par de coelhos ou seja um macho e uma fêmea.
Fizemos uma tabela de números em frente ao desenho vimos que somando os dois
primeiros números obteriamos o terceiro somando o segundo e o terceiro teriamos o
quarto ou seja teriamos números exatos de acordo com a proporção de coelhos.
Ex: 1+1 =2 2+1=3 3+2=5
E assim por diante até chegarmos ao total de que em 12 meses teriamos 144 casais
de coelhos.
Equipe 4:
Tabela do nº de casais de coelhos
Mês
Esquema
Nº de casais de coelhos
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º
00 00
00 00 00 00 00
00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00
00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00
1 1 2 3 5 8 13
22
Conclusão: Nós primeiramente pensamos que para chegar ao nº de casais de
coelhos a cada mês por exemplo o 1º mês e o 2º eles não criavam então nós
achavamos que em um mês criavam todos e no próximo não criavam nenhum casal
e o mesmo a cada mês. Mas depois descobrimos que não era desse jeito mas sim
do outro. Que é assim você pega a soma o primeiro e o segundo mês ai vai dar
resultado do terceiro com o segundo que vai dar o resultado do quarto e assim por
diante pegando o resultado e somando com o anterior.
Equipe 5:
Tempo Mês
Esquema
Nº de casais de coelhos
Mês
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º ...
12º
00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00
1 1 2 3 5 8
13 ...
144
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º ...
12º
Conclusão: A cada mês que passa o primeiro casal de coelho reproduz, um casal de
coelho por mês, e que a cada cria que nasce o filhote demora 2 meses para
reproduzirem outro casal de coelhos.
Percebemos que cada mês almentavam os casais de coelhos, e ai percebemos que
bastava somar os casais.
Ex.: Mês Esquema casais
1º 00 1
2º 00 1
3º 00 00 2
4º 00 00 00 3
5º 00 00 00 00 00 5
Isso seria, o próximo mes seria a soma de casais do mês anterior.
+ = 2
+ = 5
23
Equipe 6:
Nós conseguimos resolver o problema dos coelhos a partir da explicação da
professora, nós estavamos fazendo os cálculos só com os coelhos que nascem, não
os mais velhos, e assim nós não estávamos conseguindo calcular. Após descobrir
que era só somar os dois números anteriores e só assim acharia o nº de casais; este
é o jeito mais fácil de calcular.
ATIVIDADE 2: CONSTRUÇÃO DO RETÂNGULO ÁUREO
Nessa proporção, há uma relação entre a área menor (A2) e a maior
de um plano (A1) e entre a área maior( A1) com a área total (A1+A2).
O retângulo que obedece essa proporção ficou conhecido como
retângulo áureo ou de ouro.
Você sabe construir um retângulo utilizando instrumentos de
desenho geométrico? E construir um retângulo áureo? É simples, basta seguir as
instruções a seguir.
Centro em O e abertura do compasso qualquer, trace uma circunferência;
Divida a circunferência em dez partes congruentes, obtendo assim dez pontos
na circunferência;
Construa um retângulo inscrito nesta circunferência de modo que o lado maior
(M) possa ser obtido por meio de segmento de reta (AB) ligando um ponto (A)
ao terceiro (B) consecutivo a este;
2 1
1 1 2
A A
A A A
Fonte: Ayako Outi
24
O lado menor (BC) do retângulo é obtido por um segmento de reta que parte
de B ao segundo ponto (C) consecutivo a B;
Centro em B e raio BO trace um arco cortando o segmento BC. Você obteve o
ponto E e o lado menor do retângulo áureo(m);
Para finalizar, trace o segmento AF.
Parabéns! Você construiu o retângulo áureo ABEF. Essas construções
geométricas também podem ser realizadas utilizando o software livre “Régua
e Compasso”.
Fonte: Ayako Outi
Na atividade de construção do retângulo áureo, os aluno não
sabiam como construir sequer o retângulo, mas afirmaram que tiveram aulas de
desenho geométrico em anos anteriores.
Seguindo o passo a passo dos slides, percebemos que dividir a
circunferência em 10 partes congruentes era um problema. Propuseram dividir ao
meio, depois em 4 partes, depois em 8 e depois? Como não avançávamos, foi
proposto o uso do transferidor .
- Ah! A meia lua.
- Então, se a meia lua é 180o , a circunferência é 360 o.
- E 360 o : 10 = 36 o
Nessa atividade, a maior dificuldade foi construir um ângulo de 36o
utilizando o transferidor. Ensinamos a um aluno de cada equipe para que esse
compartilhasse com os demais alunos do grupo. Permitimos a utilização de suas
próprias estratégias. Todos marcaram, 360, 720 até 1800. Seria necessário proceder
F
25
da mesma maneira para o restante da circunferência? Que tal obter o ponto
simétrico? Ou transportar o ângulo de 36º utilizando compasso? Não apresentaram
dificuldades em seguir os demais passos apresentados na construção do lado maior
e menor do retângulo.
- Sua aula é diferente. A maioria das professoras de Matemática dá
um monte de exercícios. Eu gosto do seu jeito! – comentou uma
aluna.
ALGUMAS CONSIDERAÇÕES
O Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) proporcionou-
nos atividades diferenciadas que contribuíram para o enriquecimento da prática
pedagógica. Os cursos ofertados, os seminários, os encontros, o plano de trabalho,
o processo de construção do material didático Folhas, a implementação da proposta
na escola e o Grupo de Trabalho em Rede (GTR) foram experiências inovadoras e
contribuiram para o enriquecimento do trabalho docente.
Foi muito produtivo trocar experiências com os professores e equipe
pedagógica do Colégio em que atuamos bem como com os participantes do GTR,
principalmente no momento da implementação na escola, ocasião em que tivemos
oportunidade de discutir as dificuldades apresentadas pelos alunos e buscar
sugestões para minimizá-las.
Conhecer as práticas pedagógicas vivenciadas pelos professores do
Paraná, suas angústias e preocupações como educadores diante de problemas que
envolvem o dia-a-dia da escola e seus sonhos no sentido de contribuir para a
construção de uma sociedade melhor, menos excludente, foi uma experiência
gratificante.
O trabalho associado à Arte oportunizou-nos criar situações de
aprendizagens diferenciadas, contribuíram para a formação de cidadãos, que
constitui o objetivo da Educação Básica, possibilitando-lhes assim, um olhar
holístico, um ouvir mais crítico e a intepretação da realidade.
26
Compartilhamos com o GTR as dificuldades apresentadas pelos
alunos da 1ª série e as atividades que consideraram interessantes. Transcrevo a
seguir trechos dos relatos de alguns alunos:
- Sem dúvida a parte dos coelhos foi bem interessante, foi difícil de
descobrirmos, mas depois de descoberta a seqüência do problema ficou mais
interessante porque era uma coisa tão óbvia e que fez a gente pensar muito,
raciocinar. Eu gostei também da parte que falava sobre Arte e Números, a gente
acha que não, mas se pararmos pra pensar essas duas coisas tem tudo a ver.
(Aluna M)
- O estudo do Partenon foi a atividade que mais gostei, pois eu não
sabia que cada parte daquele lugar era tão interessante e importante pois cada parte
tem seu significado com detalhes surpreendentes. (Aluno C)
- Essa maneira de trabalhar desperta a curiosidade em saber as
coisas, os trabalhos em grupos, eu gostei de tudo! (Aluna I)
- Eu não sabia que havia número de ouro, é interessante lembrar
que tanta coisa tem a ver com matemática. Um exemplo é o Partenon, nunca pensei
que tivesse a ver tanta coisa, somas, divisões, etc. (Aluno M)
Os alunos gostaram da metodologia de estudo proposta no Folhas.
O problema dos coelhos, apesar de ser considerado difícil, está entre as atividades
mais interessantes. No processo de aplicação do Folhas constatamos diversas
dificuldades dos alunos, como: resolver a equação do 2º Grau: x2 – x – 1, relatar os
filmes por escrito, descrever o caminho percorrido na resolução do problema e
pesquisar.
Diante dessas situações, propusemos a discussão das seguintes
questões com os professores do GTR:
1. Como a disciplina de Matemática pode contribuir para minimizar a dificuldade
que o aluno tem em redigir?
2. Quais contribuições a construção de um Folhas traz para a formação continuada
do professor?
27
CONCLUSÃO
Ao término da aplicação do Folhas percebemos que os alunos não
estavam acostumados a estudar em casa e a maioria apresentava dificuldades em
redigir textos. Geralmente os alunos que estudam no período matutino no Colégio
não trabalham e muitos deles dispõem de tempo livre para estudar. Levando essa
condição em consideração propusemos aos professores da turma, no dia do
conselho de classe, a necessidade de exigirmos dos alunos um pouco mais de
dedicação nos estudos e que cada professor apresentasse uma solução para
minimizar a dificuldade que os alunos tiveram em redigir textos.
A maioria dos alunos não tem compromisso e responsabilidade em
relação ao prazo de entrega dos trabalhos, não sabem pesquisar, não gostam de
pensar e copiar é uma ação comum entre eles. Foi necessário comentar e discutir
com a turma que pesquisar não é copiar, segundo o dicionário (Aurélio, 1986, p.
1320) é buscar com diligência; inquirir; informar-se a respeito de. Também
abordamos a necessidade da elaboração de um trabalho científico seguindo as
normas da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT).
Em relação às contribuições da Matemática no sentido de minimizar
as dificuldades dos alunos em redigir, é consenso entre os professores do GTR e
da turma, que esse trabalho pode ser realizado em todas as disciplinas e a
Matemática pode contribuir na medida em que o professor crie situações em que o
aluno possa reformular, organizar e expor suas idéias, interpretando situações
problemas e questionando os conteúdos trabalhados. Freqüentemente, os alunos
realizam os cálculos necessários para solucionar determinado problema, mas não
consideram necessário verificar a solução obtida e redigir a resposta. E dentre as
estratégias metodológicas propostas nas Diretrizes Curriculares Estaduais a
Resolução de Problemas pode contribuir para a formação do cidadão ativo e crítico,
porque nessa estratégia o aluno busca a solução do problema, realizando tentativas,
estabelecendo e testando hipóteses e validando os resultados.
Na opinião dos professores do GTR, a construção do material
didático Folhas constitui uma forma completa de formação continuada por exigir do
professor e do aluno estudo, leitura, pesquisa, reflexão e aplicação de idéias. Além
disso, proporciona ao professor uma formação na área de seu interesse, isto é, o
28
professor obtém uma formação pesquisando e aprofundando seus conhecimentos
em conteúdos que são alvo de seu interesse. Também pode auxiliar o professor na
construção de uma nova forma de ensinar conteúdos matemáticos de maneira
interessante e multidisciplinar, uma vez que relaciona esses conteúdos,
entrelaçando-os com outras áreas do conhecimento.
O uso de um Folhas construído por outro professor oportuniza a
quem o utiliza uma reflexão da sua prática pedagógica e o conhecimento de outras
práticas. A aprendizagem ocorre por meio da construção de uma rede, em que um
conteúdo se liga a outro e não de maneira isolada, e isso facilita ao aluno a
compreensão dos conteúdos estudados.
Segundo os professores do GTR, os principais empecilhos para a
construção e utilização desse material são a falta de tempo e de orientação. Até
mesmo a aplicação do Folhas esbarra na falta de tempo e na preocupação com o
cumprimento do Plano de Trabalho Docente. Muitos professores não conheciam a
metodologia utilizada no Folhas e após terem acesso consideraram um material
interessante para ser utilizado em suas aulas.
Diante dessas constatações, seria interessante que a SEED, por
meio do Departamento de Educação Básica, de sua equipe itinerante e da
Coordenação Regional de Tecnologia na Educação (CRTE), divulgasse e
capacitasse os professores em suas respectivas áreas de atuação quanto à
construção e utilização desse material. Além disso, para que os professores
possam promover mudanças em suas práticas pedagógicas é necessário que as
autoridades compententes implementem uma política de valorização do trabalho
docente, proporcionando maior carga horária para estudo, pesquisa e planejamento
de aulas, conforme propõe a Lei 11738/08, de 16 de julho de 2008.
29
REFERÊNCIAS ATALAY, Bulent A Matemática e a Mona Lisa: a confluência da arte com a ciência. São Paulo: Mercuryo, 2007. ÁVILA, G. Retângulo Áureo e divisão áurea in: Explorando o Ensino da Matemática: artigos. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria da Educação Básica, v. 1, p. 109-116, 2004. _______As Pirâmides do Egito e a Razão Áurea in: Explorando o Ensino da Matemática: artigos. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria da Educação Básica, v. 1, p. 117-121, 2004. BAHIANO, C. E. N. Números racionais e irracionais. Estágio dos Alunos Bolsistas – OBMEP 2005 BORBA, M. de C. e PENTEADO, M. G Informática e Educação Matemática. 3. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2003. BOYER, C. B. História da Matemática; Trad. Elza Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 1974. CARAÇA, B. J. Conceitos Fundamentais da Matemática. 6. ed. Portugal: Gradiva, 2005. CYRINO, M.C.C.T. As várias formas de conhecimento e o perfil do professor de Matemática na ótica do futuro professor. São Paulo: FEUSP, 2003. (Tese de Doutorado). D’AMBROSIO, U. Etnomatemática – elo entre as tradições e a modernidade. 2. ed. 1ª reimp. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. ______. Paz, Educação Matemática e Etnomatemática. Teoria e Prática da Educação, Maringá v. 4, n.8, p. 15-33, 2001b. DURANDO, F. A Grécia Antiga. Folio: Barcelona, 2005. EVES, H. (coord) Geometria. Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula. São Paulo: Atual, 1992. ______. Introdução à história da Matemática. Trad. Hygino H. Domingues. Campinas, São Paulo: Editora da UNICAMP, 2004. GERDES, P. Sobre o Despertar do Pensamento Geométrico. Curitiba: Editora UFPR, 1992. ______. Etnomatemática: Cultura, Matemática, Educação. Instituto Superior Pedagógico: Moçambique, 1991.
30
FERREIRA, A. B. H. Novo dicionário da Língua Portuguesa. 2ª Ed. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1986. HUNTLEY, H. E. A Divina Proporção Um Ensaio sobre a Beleza na Matemática. Trad. Luís Carlos Ascêncio Nunes. Brasília: Editora Universidade de Brasília, 1985. IMENES, L. M e LELLIS, M. Matemática para todos. 2ª ed. São Paulo: Scipione, 2002. KRULIK, S. e Reys, R. E. A Resolução de Problemas na Matemática Escolar. São Paulo: Atual, 1997. OSTROWER, F. A Sensibilidade do Intelecto. 5ª ed. Rio de Janeiro: Campus, 1998. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Rede Pública de Educação Básica do Estado do Paraná: Curitiba, 2006. POLYA, George. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Rio de Janeiro: Interciência, 2006. PONTE, J. P., & SERRAZINA, L. Didáctica da matemática para o 1º ciclo do ensino básico. Lisboa: Universidade Aberta, 2000. Sociedade Brasileira para o Progresso da Ciência. Ciência Hoje na Escola: Matemática – Por quê e Para quê? Ciência Hoje: Rio de Janeiro, 1999. SÍTIO: MARTINS, Simone R.; IMBROISI, Margaret H. Arte Grega. Disponível em: http://www.historiadaarte.com.br/linhadotempo.html, s.d. Acesso em julho de 2007. RIBEIRO JR., W.A. Atena. Portal Graecia Antiqua, São Carlos. Disponível em http://greciantiga.org/mit/mit09-07.asp. Data da consulta: 03.12.2007. The Golden section in architecture. Disponível em: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibInArt.html#parthenon Acesso em julho de 2007. www.diaadiaeducacao.pr.gov.br
www.inep.gov.br/ acesso em 20/10/2008.
