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AS REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS NO ESTUDO DE EQUAÇÕES LINEARES
Bazilicio Manoel de Andrade Filho 1
Dirce Dela Vedova Zapelini2
Fábio José Rauen3
Marleide Coan Cardoso4
Vanessa Isabel Cataneo5
RESUMO: Ensinar matemática exige, além do domínio de conteúdos conceituais e atitudinais, o conhecimento dos conteúdos procedimentais. Em relação a estes, torna-se importante a inserção de diferentes metodologias de ensino, bem como o uso de diferentes representações. Estas discussões tornaram-se relevantes a partir dos estudos relacionados às tendências em educação matemática. Entre as atuais tendências se insere os registros de representação semiótica (DUVAL, 2009), que discute a necessidade de se mobilizar diferentes registros de representação dos objetos matemáticos, considerando sua natureza abstrata. O autor destaca a importância das atividades cognitivas de tratamento e conversão, ou seja, atividades relativas a transformação intra-registro e inter-registro, buscando potencializar o processo de ensino e aprendizagem dos conceitos desta ciência. Neste contexto, este estudo irá considerar as atividades cognitivas de tratamento e conversão, para analisar como os estudantes mobilizam os diferentes registros de representação semiótica na resolução de equações lineares. Buscando alcançar este objetivo, foi aplicado um conjunto de atividades composto por quatro questões relacionado às equações lineares. Este trabalho envolveu vinte e sete estudantes do Instituto Federal de Santa Catarina – IFSC - câmpus Criciúma, matriculados no segundo ano do curso técnico em edificações integrado ao ensino médio. Para analisar as respostas obtidas utilizou-se os conceitos de tratamento e conversão (DUVAL, 2008, 2009), bem como o processo inferencial da Teoria da Relevância (SPERBER; WILSON, 1986, 2001). As respostas obtidas permitiram apontar que a mobilização de diferentes registros de representação semiótica, quando planejados e mobilizados em sala de aula, podem favorecer o aprendizado dos estudantes. Contudo, compreendemos que, o planejamento de uma atividade com esta abordagem necessita o domínio do conceito e suas múltiplas representações.
PALAVRAS-CHAVE: Ensino e aprendizagem da matemática. Atividade cognitiva de tratamento e conversão. Teoria da relevância.
1. Introdução
Considerando as atuais exigências da prática docente e, consequentemente, a sua
complexidade, se torna necessário ao docente o domínio de conteúdos procedimentais,
atitudinais e conceituais.
Artigo apresentado no VII Simpósio sobre Formação de Professores (SIMFOP) da Universidade do Sul de
Santa Catarina – UNISUL. 1 Mestre em Ciências da Linguagem. E-mail: [email protected]
2 Especialista em Educação Matemática. E-mail: [email protected]
3 Doutor em Linguística. E-mail: [email protected]
4 Doutora em Ciências da Linguagem. E-mail: [email protected]
5 Mestre em Educação. E-mail: [email protected]
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Conteúdos procedimentais segundo Zabala (1998, p. 43) “é o conjunto de ações
ordenadas e com um fim, quer dizer, dirigidas para a realização de um objetivo”. Os conteúdos
atitudinais tratam de “uma série de conteúdos que por sua vez podemos agrupar em valores,
atitudes e normas” (p. 46). Já os conteúdos conceituais, para o autor, envolvem conceitos e
princípios, definidos como termos abstratos.
Os conceitos se referem ao conjunto de fatos, objetos ou símbolos que têm características comuns, e os princípios às mudanças que se produzem num fato, objeto ou situação em relação a outros fatos, objetos ou situações e que normalmente descrevem relações de causa-efeito ou de correlação. (1998, p. 42)
Nesse contexto, em relação aos conteúdos conceituais, parte-se da premissa que o
professor tenha o prévio conhecimento da definição de equação linear e suas diferentes
classificações. No que concerne aos conteúdos procedimentais, para que professor possa
planejar uma aula que potencialize a aprendizagem dos estudantes, consideramos que é
primordial o domínio de diferentes processos de resolução de equações lineares, por exemplo,
por meio do registro de representação gráfica, registro de representação tabular, registro
numérico, entre outras.
Considerando esta multiplicidade de representações possíveis, torna-se relevante o
estudo da teoria dos registros de representação semiótica no processo de ensino e
aprendizagem da matemática (DUVAL, 2008/2009). O quadro teórico desta teoria aponta que a
aprendizagem da matemática está relacionada ao domínio de diferentes representações. Duval
(2009) destaca três atividades cognitivas relacionadas ao processo de representação, e
consequentemente a conceituação dos objetos matemáticos a atividade cognitiva de formação,
tratamento e conversão.
Para mesmo autor (2009, p. 53), a formação “implica sempre uma seleção no
conjunto de caracteres e determinações que ‘queremos’ representar”. Já as atividades cognitivas
de tratamento e conversão são definidas como:
Um tratamento é uma transformação que se efetua no interior de um mesmo registro, aquele onde as regras de funcionamento são utilizadas; um tratamento mobiliza então apenas um registro de representação. A conversão é, ao contrário, uma transformação que se faz passar de um registro a um outro. Ela requer então a coordenação dos registros no sujeito que a efetua. (DUVAL, 2009, p. 39).
Este artigo em seu desenvolvimento aborda as atividades cognitivas de tratamento e
conversão para analisar como os estudantes mobilizam os diferentes registros de representação
semiótica para resolver equações lineares.
Para que possamos compreender como tais atividades são realizadas, nos
fundamentaremos ainda no aparato teórico e metodológico da Teoria da Relevância (SPERBER;
WILSON, 1986/2001). A Teoria da Relevância se fundamenta em dois princípios, o comunicativo
e cognitivo, conforme propostos pelos autores.
Princípio cognitivo da relevância
A cognição humana tende a dirigir-se para a maximização da relevância.
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Princípio comunicativo da relevância
Enunciados (ou outros estímulos ostensivos) criam presunções de relevância. WILSON, 2005, lição 4, p. 1e p. 4).
De acordo com essa teoria a cognição humana busca alocar a atenção e os recursos
de processamentos a enunciados, pensamentos, registros de representação, etc, denominados de
inputs, que se mostrem mais relevantes, em um processo de comunicação. De modo que, o
processamento de informações guiado pela relevância ocorre espontaneamente por meio de um
processo inferencial de comunicação.
Para Sperber e Wilson (2001 [1986], p. 70), no modelo inferencial “a comunicação é
conseguida pelo reconhecimento por parte do ouvinte da intenção informativa da pessoa que
comunica”. Portanto, o comportamento comunicativo exige visivelmente a atenção do receptor,
antes mesmo do reconhecimento da intenção informativa do comunicador.
Nesta perspectiva, o estudo aqui apresentado encontra-se estruturado em seções
assim organizadas: Teoria dos Registros de Representação Semiótica, Teoria da Relevância,
Metodologia e Análise dos Resultados e as considerações finais.
Os registros de representação semiótica
A matemática enquanto Ciência formal é constituída de uma linguagem própria
importante para as diferentes áreas de conhecimento. De acordo com a Proposta Curricular de
Santa Catarina (2014, p. 163), “[...] a Matemática é concebida como linguagem, como
instrumento conceitual e prático, recurso de modelagem e de análise para outras ciências
naturais e sociais [...]”. Esta linguagem, composta por diferentes signos, além de possibilitar a
comunicação, torna os objetos matemáticos acessíveis e perceptíveis. Duval (2008, 2009) utiliza
o termo Registros de Representação Semiótica para designar os diferentes signos mobilizados
em matemática, tais como, registro tabular, registro numérico com o uso de pares ordenados, registro gráfico e, por fim, registro algébrico.
Para exemplificar a diversidade de representações semióticas que Duval apresenta,
consideramos o seguinte problema: “Um caixa eletrônico possui apenas notas de 5 reais e de 20
reais. Um cliente deseja sacar 90 reais. De quantas maneiras o caixa eletrônico poderá fazer o
pagamento?” Para responder ao questionamento do problema um estudante poderia
representar tal situação matematicamente, mobilizando os registros abaixo.
Figura 1 – Representação Tabular, Gráfica e Algébrica do problema proposto
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Fonte: os autores (2016)
A figura 01 ilustra as duas atividades cognitivas consideradas neste estudo, a
atividade de tratamento e de conversão. A atividade de tratamento é caracterizada por
transformações internas a um mesmo registro. Pode-se citar como exemplo a simplificação da
equação algébrica “20x + 5y = 90” ↔ “4x + y = 18”. Já a atividade de conversão refere-se a
transformações entre diferentes registros, como a ‘passagem’ do registro tabular para o gráfico,
ou do gráfico para o algébrico.
Duval (2008, p. 14), considera que “a originalidade da atividade matemática está na
mobilização simultânea de ao menos dois registros de representação ao mesmo tempo” ou então
“na possibilidade de trocar a todo o momento de registro de representação.” O autor destaca que
na resolução de um problema é bem verdade que certo registro pode estar explicitamente
privilegiado, “mas deve existir sempre a possibilidade de passar de um registro ao outro”. (p.
15). Com isso, verifica-se que, é na possibilidade de mobilização de diferentes registros de
representações simultâneas que se encontra a chave para a aprendizagem em matemática.
Teoria da relevância – Inferência e suposições
A teoria da relevância defendida por Sperber e Wilson (1986/1995), embasada nos
princípios cognitivo e o comunicativo, justifica–se pela capacidade de a mente humana tender
sempre a maximizar a relevância dos inputs que processa, e por criar expectativas precisas de
relevância perante enunciados. A tese central dos autores (2001, p.11), é a de que “quanto
maiores são os efeitos cognitivos, maior é a relevância; quanto menor é o esforço de
processamento, maior é a relevância”. Com referência a isso a compreensão de um procedimento
matemático é guiada pela noção de relevância que o estudante atribui ao objeto de ensino que
está sendo estudado.
Wilson (2005, lição 3, p. 1) destaca que a Teoria da Relevância é baseada em alguns
princípios básicos, propondo que o processamento de informações ocorre espontaneamente por
meio de um processo inferencial de comunicação guiada pela relevância.
Na figura 01, várias suposições poderiam ser construídas para resolver a questão a
partir do enunciado proposto. O estudante dispõe de possibilidades constituintes de um
conjunto de suposições que poderiam resolver o problema. De acordo com a teoria da
relevância a escolha do estudante envolve a suposição com menor custo de processamento e que
solucione o problema em sua primeira interpretação. Este processo é nomeado por Sperber e
Wilson (2001, p.12) de relevância ótima.
Uma elocução é otimamente relevante se, e apenas se:
a) É pelo menos bastante relevante para valer a pena ser processada;
b) É a mais relevante compatível com as capacidades e as preferências da pessoa falante.
Para citar, algumas suposições que poderiam ser elencadas pelo estudante no
processo de resolução do problema proposto tem-se:
S1 – Um cliente deseja sacar noventa reais;
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S2 – O caixa eletrônico possui apenas notas de cinco reais e de vinte reais;
S3 – Noventa reais é múltiplo de cinco reais;
S4 – Se noventa reais é múltiplo de cinco reais, é possível sacar o dinheiro utilizando apenas notas de cinco reais;
S5 – Noventa reais não é múltiplo de vinte reais;
S6 – Se noventa reais não é múltiplo de vinte reais, não é possível sacar o dinheiro utilizando apenas notas de vinte reais;
S7 – Se eu sacar noventa reais usando apenas uma nota de vinte reais, eu preciso de quatorze notas de cinco reais.
S8 – Se utilizar notas de cinco reais e de vinte reais existe diferentes possibilidades para sacar noventa reais.
A intenção do estudante, no processo de resolução, é a de obter uma interpretação
que satisfaça sua expectativa de relevância ótima. A escolha entre o conjunto de suposições
possíveis é aquela que, para ele, apresenta uma rota de esforço mínimo, até que a interpretação
se conforme com sua expectativa de relevância, qual seria encontrar uma resposta em
conformidade com o problema proposto.
Estas suposições podem ser registradas pelo estudante de diferentes modos, entre
eles, na língua natural, na representação tabular, algébrica e gráfica.
Metodologia e análise dos resultados
Para que pudéssemos alcançar o objetivo proposto, a pesquisa, em um primeiro
momento, caracterizou-se como bibliográfica, a partir dos autores apresentados na
fundamentação teórica deste estudo. No segundo momento, os pesquisadores discutiram sobre a
necessidade de se trabalhar o ensino de equações lineares, por meio de diferentes registros de
representação semiótica no ensino médio. Por fim, foi aplicado um conjunto de atividades em
uma turma de segundo ano do curso técnico em edificações integrado ao ensino médio,
composta por vinte e sete estudantes, do Instituto Federal de Santa Catarina – IFSC - câmpus
Criciúma.
Durante o planejamento da aula, se organizou uma atividade de ensino pautada no
exemplo de equação linear “Um caixa eletrônico possui apenas notas de 5 reais e de 20 reais. Um
cliente deseja sacar 90 reais. De quantas maneiras o caixa eletrônico poderá fazer o
pagamento?”. Num primeiro momento um dos pesquisadores, que iria iniciar este tema em sala
de aula, solicitou aos estudantes a resolução do problema proposto. Na sequência, discutiu o
exemplo por meio dos diferentes registros de representação semiótica, tais como, registro
tabular, registro numérico com o uso de pares ordenados, registro gráfico e, por fim, registro
algébrico.
Na continuidade, o professor pesquisador solicitou que os estudantes
representassem tal situação matematicamente. Na resposta dos estudantes observou-se o
predomínio do registro de representação tabular para a representação do problema, sendo que
alguns estudantes utilizaram o registro algébrico, para expressar matematicamente o problema.
O objeto matemático foi sendo desenvolvido de maneira que os estudantes
pudessem compreender o conceito de equação linear e, consequentemente, de sistema de
equações lineares, em seus múltiplos registros de representação semiótica.
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Com a finalização do estudo de sistemas de equações lineares, foi aplicado um
conjunto de atividades para analisar como os estudantes mobilizam os diferentes registros. Este
conjunto era composto por atividades envolvendo equações e sistemas lineares, contudo, neste
estudo iremos analisar apenas as quatro questões relativas às equações lineares, com seus
objetivos e análises descritas abaixo.
Questão 1 – Considere a equação linear: x + 3y – z = 7:
Apresente, em R, duas possíveis soluções (x, y, z) para esta equação;
Apresente, em R, uma solução geral (x, y, z) para esta equação;
O objetivo desta questão era verificar os registros de representação semiótica
mobilizados pelos estudantes na primeira interpretação do problema, quando solicitados que
apresentassem uma solução para a equação linear.
Figura 2 – Resolução dos estudantes A, B e C, respectivamente.
Fonte: os autores (2016)
Para a resolução do item (a), da questão 1, o estudante A mobilizou o registro
numérico, com o uso de terna ordenada. O estudante B acertou as duas soluções, mobilizando o
mesmo registro que o estudante A, porém, acrescentou o tratamento com o uso do registro
numérico para verificação das soluções apresentadas. Já o estudante C, embora tenha mobilizado
também o registro numérico, adotou uma estratégia diferente para a solução da questão. Ele
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atribuiu valores aleatórios para duas incógnitas, obtendo, assim, após os devidos tratamentos, o
valor correspondente a terceira incógnita. Os estudantes B e C acertaram ambas as soluções, já o
estudante A acertou apenas uma das soluções apresentadas.
Em relação ao item (b), se observou dificuldade em representar a solução geral por
meio de uma terna ordenada. Os estudantes B e C apresentaram corretamente a solução geral
por meio de uma terna ordenada. Já o estudante A, embora tenha realizado os tratamentos
corretos no registro algébrico, teve dificuldade em apresenta-lo utilizando a forma de terna
ordenada. Outra constatação foi a utilização incorreta da notação de conjuntos para representar
uma terna ordenada. Também pode-se perceber que alguns estudantes também se equivocaram
na utilização das variáveis livres.
Figura 3 – Utilização da notação de conjuntos para expressar uma terna ordenada e
utilização incorreta das variáveis livres
Fonte: os autores (2016)
Analisando as respostas dos vinte e sete estudantes, de modo geral, pode-se
verificar, em relação ao item (a) que a maior parte dos estudantes conseguiu apresentar a
solução corretamente. Apenas seis estudantes erraram ou não responderam a este item. No que
diz respeito ao item (b), o número de estudantes que apresentou a resposta da forma esperada reduziu para quatorze. Já o número de estudante que erraram ou não responderam aumentou
para treze.
Constatou-se que os estudantes que apresentaram solução incorreta, ou realizaram
os tratamentos errados para obter a solução, ou mostraram não dominar a representação por
terna ordenada.
Questão 2 - Represente graficamente a equação linear 2x + y = 6.
O objetivo da segunda questão era identificar as conversões e tratamentos
mobilizados para a construção da representação gráfica.
Figura 4 – Algumas respostas dos estudantes para a questão 2
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Fonte: os autores (2016)
Observando o conjunto de resposta apresentadas pelos estudantes para a questão 2
constatou-se que a maioria apresentou os seguintes registros de representação, a tabela com par
ordenado e gráfico, par ordenado e gráfico, tabela e gráfico, mobilizando simultaneamente pelos
menos dois registros de representação e suas respectivas conversões. No entanto, alguns
estudantes explicitaram suas respostas em apenas um registro de representação deixando
implícito o processo de resolução, ou seja, conversões e tratamentos.
Ainda em relação às respostas apresentadas, se verificou que nem todos os
estudantes conseguiram resolver a questão de modo condizente com o enunciado proposto,
sendo que três destes não respondeu. Entre os que não conseguiram responder se pode destacar
as respostas que limitaram a representação gráfica aos valores de ponto a ponto da tabela, ou
então colocaram o valor do coeficiente linear interceptando o eixo das abscissas, outros apenas
esboçaram os eixos coordenados mas não conseguiram converter registro algébrico em registro
gráfico, não conseguiram relacionar as unidades significativas de um registro com o outro
registro.
Questão 3 – Escreva uma possível equação linear associada ao gráfico abaixo:
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O objetivo desta questão era verificar como os alunos realizavam a conversão do
registro de representação gráfica para o algébrico.
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Figura 5 - Resolução dos estudantes A, B, C e D, respectivamente, para a questão 3
Fonte: os autores (2016)
Para a resolução desta questão, o estudante A apresentou uma equação no registro
algébrico e uma tabela com valores de x e y, seguido dos pares ordenados correspondentes. O
estudante B apresentou alguns pares ordenados, seguido do registro algébrico. O estudante C, a
partir de dois pontos do gráfico, usou um sistema de equações para obter os coeficientes da
equação linear. Este estudante inicialmente escreveu a equação em sua forma reduzida (y = ax +
b) e, na sequência, realizou o tratamento necessário para escrevê-la em sua forma geral (ax + by
+ c = 0). Já o estudante D, registrou valores de x e y, apresentou a equação e realizou os
tratamentos necessários para verificar a validade da equação.
Pode-se constatar que os estudantes apresentaram dificuldade em realizar a
conversão do registro gráfico para o algébrico. Ao todo, dezessete estudantes não responderam
ou erraram a questão. Estes dados podem ser relacionados ao que Duval (2008) denominou de
heterogeneidade dos dois sentidos de conversão. O autor argumenta que “nem sempre a
conversão se efetua quando se invertem os registros de partida e de chegada” (2008, p. 20). Esta
dificuldade se dá porque as regras de conversão diferem quando alteramos o sentido em que ela
é efetuada, ou seja, cada conversão exige determinadas inferências e suposições, apresentando,
portanto, diferentes custos de processamento.
Os resultados obtidos nesta questão, se comparados com a questão 2, permitem
concluir que, possivelmente, a primeira conversão (do registro algébrico para o gráfico) é
privilegiada em sala de aula, trata-se do que Rauen (2008) chama de saturação. No processo de
ensino e aprendizagem o docente deve estar atento para situações em que o estudante não
apresenta o mesmo nível de conhecimentos saturados de matemática. Por hipótese, parece tão
óbvio ao professor e matemático os tratamentos e inferências necessários para cada
conversão, que o sentido inverso acaba não sendo exaustivamente discutido em sala de aula.
Questão 4 – Escreva, algebricamente, uma equação linear que admita como solução à terna (3, 1, 0).
O objetivo desta questão era verificar quais registros os estudantes mobilizaram
para encontrar a equação linear que pudesse satisfazer a solução apresentada.
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Figura 6 – Modelos de resolução apresentados pelos estudantes
Fonte: os autores (2016)
A partir da análise das respostas apresentadas pelos estudantes, se constatou que a
maioria respondeu corretamente a questão com possíveis equações lineares que satisfazem a
solução da terna. Dos vinte e sete estudantes participantes, dezoito apresentaram respostas
corretas, cinco não responderam apenas três erram a resposta e um estudante respondeu a
questão com um sistema de três equações. Dentre as respostas o registro mobilizado por alguns
estudantes foi à utilização de sentenças algébricas, onde o estudante aplicava os valores da terna
para comprovar a solução, outros estudantes optaram por mobilizar os valores aritméticos
inicialmente a fim de satisfazer a solução, e ao final generalizar com uma equação linear.
Nesta questão, a maioria dos estudantes respondeu adequadamente, no entanto
cinco estudantes não responderam, e apenas um estudante criou um sistema de equações e não
uma equação.
Finalizado o processo de análise das soluções apresentadas pelos estudantes para as
questões propostas, se constatou a utilização de uma diversidade dos registros de
representação. Na próxima seção se apresenta as considerações finais deste estudo.
Considerações finais
Ao concluir o estudo aqui apresentado, referente às representações semióticas no
estudo de equações lineares, foi possível analisar como os estudantes mobilizam os diferentes
registros de representação semiótica na resolução de equações lineares.
Para analisar as respostas dos estudantes utilizou-se dos aportes teóricos da teoria
dos registros de representação semiótica de Duval e da Teoria da Relevância de Sperber e
Wilson. Pois, de acordo com estas teorias a resolução de problemas matemáticos exige do
estudante a mobilização de diferentes registros de representação semiótica considerando uma
economia de custos e benefícios cognitivos.
Para atingir a capacidade de escolha dentre um conjunto de suposições referente à
resolução de um problema matemático, o estudante necessita inicialmente, despender maior
esforço para dominar os diferentes registros de representação. O que posteriormente lhe trará
um ganho, o de menor esforço de processamento no processo de resolução. Entretanto, no grupo
de estudantes pesquisados, se observou que alguns não conseguiram mobilizar corretamente os
registros de representação semiótica, consequentemente, não obtiveram êxito na resolução do
conjunto de questões propostas pelo pesquisador.
Para finalizar, este artigo mostrou que por meio das representações semióticas tem-
se a possibilidade metodológica de ensinar as equações lineares de modo a torná-las
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significativas. Fazendo com que o estudante desenvolva a capacidade cognitiva de transitar
entre os diferentes modos de representar um objeto matemático.
Referências:
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RAUEN, Fábio. José. Sobre relevância e irrelevâncias. In: RAUEN, Fábio. José; CAMPOS, Jorge (Orgs.).
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