FACULDADE ANHANGUERA MATÃO

ENGENHARIA MECÂNICA

ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS

EQUAÇÕES DIFERENCIAS E SÉRIES

DENIS MENDES DE ARAÚJO RA 6655394239

ISAMARA ALLANA RA 6814015018

JONATAS DO PRADO RA 1299531591

MARCELO FERNANDO TESSARIN RA 6277281678

NATANAEL WILLIAN DE ARAÚJO RA 6655394240

ROGÉRIO MACIEL PAVIANI RA 6669417922

MATÃO

2014

INTRODUÇÃO

O estudo sistemático de circuitos eletroeletrônicos atualmente é motivado para o

desenvolvimento de novos dispositivos, como tablets, que trazem como uma das propostas

permitir que o usuário tenha boa parte dos recursos de um computador em um aparelho

portátil e mais leve que um notebook. O estudo de circuitos elétricos permite, também, o

avanço de dispositivos já existentes, a citar o exemplo de telefones celulares, cuja atual

funcionalidade vai bem mais além da comunicação entre dois usuários por uma ligação

telefônica.

O desenvolvimento de outros setores também está diretamente relacionado com o avanço de

dispositivos, mediante o estudo de circuitos elétricos e eletrônicos, a exemplo dos setores de

transmissão de energia, telecomunicações e saúde (este último beneficiando-se de

equipamentos cada vez mais sofisticados e que permitem análises mais detalhadas).

O conteúdo aqui exposto evidencia a importância de se ter uma base sólida nas técnicas de

modelagem e tratamento matemático de circuitos elétricos, que se dá por meio de equações

diferenciais, nas quais é frequente o uso de séries no tratamento matemático.

A relevância deste desafio reside em permitir ao aluno um sólido conhecimento sobre a

modelagem de circuitos elétricos por meio de equações diferenciais, e sobre os métodos de

solução dessas equações, possibilitando, inclusive, a análise de projetos de desenvolvimento

de dispositivos.

Passo 1

Pesquisar e estudar sobre a modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais em

sistemas físicos e problemas de engenharia.

Equações Diferenciais são ferramentas matemáticas usadas para calcular a evolução de

sistemas. O objetivo da modelagem é encontrar a taxa de variação com o tempo das grandezas

que caracterizam o problema, ou seja, a dinâmica temporal do sistema de interesse.

Resolvendo a equação diferencial(ou sistema de equações diferenciais) que caracteriza

determinado processo ou sistema, pode-se extrair informações relevantes sobre os mesmos e,

possivelmente, prever o seu comportamento.

Definição

Uma equação diferencial é uma lei, ou uma prescrição, que relaciona determinada função com

suas derivadas. Em outras palavras, uma equação diferencial estabelece a taxa segundo a qual

as coisas acontecem. Resolver uma equação diferencial é encontrar a função que satisfaz a

equação e, frequentemente, determinado conjunto de condições iniciais. A partir do

conhecimento destas condições, a solução da equação diferencial fornece o valor da função

em qualquer valor posterior da variável independente. Em particular, na descrição de um

sistema em termos de uma função da variável independente tempo, a resolução da equação

diferencial correspondente permite prever o comportamento futuro do sistema. Número de

variáveis da função: As equações diferenciais podem ser classificadas quanto ao número de

variáveis da função em termos da qual a equação é escrita. Equações diferenciais ordinárias

(EDO) são aquelas cuja solução é uma função de apenas uma variável, ou seja, podem ser

resolvidas apenas por derivadas simples. Um exemplo dado por Boyce e Diprima (2012)

[2] de uma EDO é que descreve o circuito RLC, com capacitância C, resistência R e

indutância L. A função do tempo E(t) é a voltagem (conhecida) impressa no sistema.

A função Q(t), que é a solução procurada da equação diferencial, representa a carga em

função do tempo fluindo no circuito. O circuito RLC é frequentemente utilizado em rádios.

Ordem: A ordem de uma equação diferencial é definida a partir da derivada mais alta que

aparece na equação.

Passo 2

Revisar os conteúdos sobre diferencial de uma função e sobre as técnicas de integração de

funções de uma variável. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina (identificado

ao final da ATPS).

Sendo f uma função derivável e seja   um ponto de seu domínio. Sabemos encontrar a reta

tangente ao gráfico de f passando pelo ponto  :

 

Assim, fixado o ponto  , a curva fica muito perto da reta tangente nas proximidades do

ponto de tangência. Isso significa que, para x suficientemente próximo de  , o valor de f(x)

estará próximo do valor da ordenada do ponto de mesma abscissa x mas que se encontra na

reta tangente.

Dessa maneira, a derivada de uma função nos permite resolver problemas de cálculos

aproximados. Vejamos como.

Para calcular (1,2)3, consideremos: a função   e o ponto x0=1, onde conhecemos o

valor de f, isto é  .

Procuramos o valor f(1,2).

No gráfico da função temos dois pontos: (1,1) e  . O problema é o de

determinar a ordenada do segundo ponto.

Observando o zoom, temos:   .

Através da figura, observamos que a resposta encontrada é aproximada por falta pois

encontramos a ordenada do ponto B - de abscissa 1,2 - que se encontra na reta tangente ao

gráfico de f, em (1,1), e que, neste caso, está abaixo do ponto  .

Assim,  .

Em todas as situações acima, observamos que há uma função f envolvida, que é derivável em

um ponto   de seu domínio e tal que   é um valor conhecido. O problema é o de

determinar o valor de   para um valor   "próximo" de  .

Na figura abaixo, podemos observar uma ampliação da situação geral descrita

acima.

Assim, quando   é "pequeno", obtemos uma aproximação "razoável", por falta ou por

excesso, dependendo do caso, para o valor de  . Essa aproximação é dada por:

de onde podemos escrever

Fixado x, podemos olhar a função linear que, a cada  , associa  , onde

Tal função é denominada a diferencial de f em x.

Passo 3

Estudar o método de resolução de equações diferenciais lineares de variáveis separáveis e de

primeira ordem. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina (identificado ao final

da ATPS).

O método de separação de variáveis consiste em colocar todos os termos de x em um lado da

equação e todos de y do outro lado, fornecendo, por exemplo:

Integrando ambos os lados obtemos:

Isto nos leva aos círculos esperados:

onde

Passo 4

Pesquisar, em livros, artigos e sites, sobre a modelagem de circuitos elétricos por meio de

equações diferenciais.

Gustav Robert Kirchhorf foi um físico alemão que dedicou-se, principalmente, no campo dos

circuitos elétricos. Kirchhorf é autor de duas leis fundamentais da teoria clássica dos circuitos

elétricos e da emissão térmica. As leis de Kirchhorf são empregadas em circuitos elétricos

mais complexos como aqueles com mais de uma fonte de resistores, capacitores ou indutores

em série ou em paralelo. De acordo com a primeira lei de Kirchhorf, “em qualquer nó, a soma

das correntes que o deixam é igual a soma das correntes que chegam até ele”. Esta lei é uma

consequência da conservação da carga total existente no circuito. A segunda lei de Kirchhorf

mostra que “a soma algébrica das forças eletromotrizes em qualquer malha é igual a soma

algébrica das quedas de potencial contidos na malha”.

5.1 Circuitos Elétricos de Primeira Ordem

O estudo de circuitos RL e RC mostra que a evolução da tensão ou corrente no tempo exige a

resolução de uma equação diferencial de primeira ordem da forma

então, x(t) = xp(t) + xc(t) é uma solução para a equação diferencial acima.

O termo xp(t) é chamado de solução particular ou resposta forçada e xc(t) é chamada de

solução complementar ou resposta natural.

Considerando que f(t)=A=constante, a solução geral diferencial consiste de duas partes que

são obtidas resolvendo as seguintes equações:

Sendo A constante, a solução xp(t) deve também ser constante, portanto xp(t)=k1.

Substituindo na equação, tem-se k1=A/a.

que implica em ln xc(t)=-a.t + C.

Logo, xc(t) = k2.e-a.t. Portanto, a solução da equação (1) é

Para comprovação, podemos verificar o circuito RC:

A equação que descreve o circuito para t > 0 é

derivando a equação em t, temos: cuja solução é da forma

que substituindo na equação diferencial de primeira ordem tem-se portanto, a solução da

equação é

ETAPA 2

Passo 1

Escolher um dispositivo cujo circuito elétrico será estudado. Identificar os elementos desse

circuito e determinar a função de cada elemento no referido circuito.

Elementos e suas Funções

Tensão: U ou V

Tensão elétrica ou diferencial de potencial (ddp) é a diferença de potencial  entre dois pontos.

A tensão elétrica também pode ser explicada como a quantidade de energia gerada para

movimentar uma carga elétrica.

Resistor: R

Um resistor pode ser definido como sendo um dispositivo eletrônico que tem duas funções

básicas: ora transforma energia elétrica em energia térmica (efeito joule), ora limita a

quantidade de corrente elétrica em um circuito, ou seja, oferece resistência à passagem de

elétrons.

Capacitor: C

Também chamado de condensador, ele é um dispositivo de circuito elétrico que tem como

função armazenar cargas elétricas e consequente energia eletrostática, ou elétrica. Ele é

constituído de duas peças condutoras que são chamadas de armaduras. Entre essas armaduras

existe um material que é chamado de dielétrico. 

Passo 2

Transformar, se possível, o circuito elétrico escolhido em um circuito elétrico equivalente,

observando, para isso, as associações em série ou em paralelo de seus elementos.

Por se tratar de um circuito muito simples constituído de apenas uma fonte de energia, um

resistor e um capacitor não é possível transformar o circuito em um circuito equivalente.

Passo 3

Representar o circuito elétrico (ou o circuito elétrico equivalente) escolhido em um diagrama,

com base na simbologia dos elementos elétricos.

Tensão

Resistor

Capacitor

Passo 4

Modelar o circuito elétrico observando as técnicas de equações diferenciais, detalhando cada

etapa da modelagem.

Há uma diferença de potencial nas extremidades do resistor e também nas extremidades do

capacitor. Isto deve-se a queda de tensão gerada por cada um destes dispositivos. Segundo

a lei das malhas de Kirchoff, que a soma das diferenças de potencial para qualquer circuito

fechado é nula. Então:

1ª lei de ohm

Juntando as equações temos:

A corrente é dada por:

Colocando o valor de i na equação anterior:

Aplicando a função logarítmica:

Integrando a equação diferencial:

Intensidade da corrente em um instante t é dada pela derivada temporal da função carga q:

ETAPA 3

Passo 1

Propor uma solução para a equação diferencial encontrada para o circuito elétrico estudado.

Separando variáveis

Integrando ambos os lados

Considerando

Solução da equação diferencial é:

Passo 2

Representar graficamente a(s) solução(ões) encontrada(s) no passo anterior.

Atribuindo valores a x e descobrindo y

x y0 21 5,432 14,773 40,174 109,195 296,92

0 1 2 3 4 5 60

50

100

150

200

250

300

350

y

y

Passo 3

Estudar as condições de convergência para uma série geométrica e uma série de potência.

Série Geométrica

A série geométrica é uma soma infinita de termos de uma progressão geométrica an:

A série geométrica é convergente se |r|<1 sendo o seu valor, ou seja, a soma definida por:

Exemplo

Resolvendo

A razão da progressão geométrica é

Logo a serie é geométrica e convergente, pois r<1 e a soma é

Série de Maclaurin

A serie de Maclaurin pode ser escrita como:

Observe que para ser possível a expansão em Série de MacLaurin:

1) A função tem de estar definida em x = 0;

2) A série deve ser convergente.

Ao polinômio gerado pelo truncamento da Série de MacLaurin no termo de grau n dá-se o

nome de polinômio aproximador de MacLaurin de grau n:

Série de Taylor

As séries de Taylor são compostas por uma somatória infinita de polinomios com coeficientes

definidos pelas derivadas em um ponto a de uma f(x) infinitamente derivável.

Teorema da Estimativa do Resto

Se existirem constantes positivas “M” e “r” tais que para todo “t” entre “a” e “x”, inclusive,

então o resto Rn(x) no Teorema de Taylor satisfará a desigualdade:

Se essas condições forem válidas para todo “n” e todas as outras condições do Teorema de

Taylor forem satisfeitas por “f”, então a série convergirá para f(x).

Etapa 4

Passo 1

Descrever, em um texto, a proposição de uma solução em forma de séries para a equação

diferencial do circuito elétrico analisado.

Equações diferenciais são ferramentas matemáticas usadas para calcular a evolução de

sistemas. O objetivo da modelagem é encontrar a taxa devariação com o tempo das grandezas

que caracterizam o problema, ou seja, a dinâmica temporal do sistema de interesse.

Resolvendo a equação diferencial(ou sistema de equações diferenciais) que caracteriza

determinado processo ou sistema, pode-se extrair informações relevantes sobre os mesmos e,

possivelmente, prever o seu comportamento.

Deve-se ter em mente que a modelagem de um sistema em um conjunto de equações

diferenciais fornece, quase sempre, uma descrição aproximada e simplificada do processo

real. Ainda assim, a modelagem através de equações diferenciais fornece uma ferramenta

poderosa para acessarmos o comportamento geral de vários tipos de sistemas.

A partir do instante em que o interruptor é fechado, a tensão no circuito decresce de forma

exponencial.

A velocidade com que a tensão diminui com o passar do tempo é expressa através de um

termo chamado constante de tempo denotada pela letra grega (tau).

A tensão no circuito será Voe -1 [V], quando para t = e, portanto, a constante de tempo de um

circuito é o tempo necessário para que a resposta caia por um fator de 1/e, ou seja, 36,8% do

seu valor inicial. Outra maneira de se entender a constante de tempo é através do traçado da

reta tangente da curva no ponto t = 0.

como a curva de descarga é exponencial, o capacitor levará um tempo infinito para estar

completamente descarregado. Na prática considera-se que após transcorrido um tempo igual a

5 o capacitor estará com carga desprezível.

Na análise de circuitos elétricos, encontra-se freqüentemente, como solução de uma equação

diferencial de 1º ordem, uma função exponencial ou a soma de exponenciais.

A solução particular v (t) cp é determinada a partir da função característica da fonte que excita

o circuito e é uma combinação linear desta função e de suas derivadas, com cada termo

multiplicado por uma constante a ser determinada.

Referências Bibliográficas

USP, Diferencial. Disponível em:<

http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/diferencial_fc/diferencial_fc.htm > Acesso em 22 de

novembro de 2014.

Wikipédia, Constante de Euler. Disponível em:

<http://pt.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Euler-Mascheroni > Acesso em 28 de maio de

2014.

THOMAS, Lucas Rangel. Disponível em:

<ttp://bdm.unb.br/bitstream/10483/4686/1/2013_LucasRangelThomas.pdf > Acesso em 22 de

novembro de 2014.

EBAH, Equações Diferencias. Disponível em:<

http://www.ebah.com.br/content/ABAAAe49gAF/aplicacoes-equacoes-diferenciais> Acesso

em 22 de novembro de 2014.

BRASIL ESCOLA, Capacitores. Disponível em: <

http://www.brasilescola.com/fisica/capacitores.htm

> Acesso em 23 de novembro de 2014.

USP, Derivdas. Disponível em:<

http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/diferencial_fc/diferencial_fc.ht> Acesso em 23 de

novembro de 2014.