Atps Calculo IIIDesafioO petrleo (do latim petroleum, onde petrus = pedra e oleum = leo) um recurso natural abundante, definido como um composto de hidrocarboneto, oleoso, inflamvel, geralmente menos denso que a gua e que possui uma colorao que varia do incolor at o preto.Na Antiguidade, era usado para fins medicinais e para lubrificao. Atribuam-se ao petrleo propriedades laxantes, cicatrizantes e anti-spticas. Atualmente, se configura a principal fonte de energia do planeta. Alm de gerar gasolina, que serve de combustvel para grande parte dos automveis que circulamno mundo, vrios produtos so derivados do petrleo, como por exemplo, a parafina, o asfalto, querosene, solventes e leo diesel.O processo de extrao do petrleo varia muito, de acordo com a profundidade em que o leo se encontra, e pode estar nas primeiras camadas do solo ou at milhares de metros abaixo do nvel do mar.A empresa Petrofuels tem como principal atividade, a extrao de petrleo no Brasil.Para tanto, de tempo em tempo, so levantadas por gegrafos, agrnomos, paleontlogos, engenheiros e outros especialistas, regies que apresentem maior probabilidade de se encontrar petrleo. Por meio de estudos com avies sonda, satlites e de pequenos terremotos artificiais, essas regies so selecionadas e se confirmada a presena de petrleo, inicia-se o projeto para extrao do mesmo. Recentemente, a empresa Petrofuels descobriu gigantescas reservas na bacia de Santos.O desafio geral desta ATPS prope identificar qual a quantidade total mensal de leo que poder ser extrado deste poo recm descoberto.Para tanto, quatorze desafios so propostos. Cada desafio, aps ser devidamente realizado, dever ser associado a um nmero (0 a 9). Esses nmeros, quando colocados lado a lado e na ordem de realizao das etapas, fornecero os algarismos que iro compor a quantidade total mensal de leo que poder ser extrado.Objetivo do DesafioEncontrar a quantidade total mensal de leo, estimada pelos engenheiros da Petrofuels, que poder ser extrado de um poo de petrleo recm descoberto.Livro Texto da DisciplinaA produo desta ATPS fundamentada no livro-texto da disciplina, que dever ser utilizado para soluo do desafio:HUGHES-HALET, D; GLEASON, Andrew (orgs.); MCCALLUM, William G (orgs.) et al. Clculo de Uma Varivel. 3 ed. Rio de Janeiro: LTC Livros Tcnicos e Cientficos, 2004, v.1.

ETAPA 1 (tempo para realizao: 05 horas)

Aula-tema: Integral Definida. Integral Indefinida.Esta etapa importante para voc fixe, de forma prtica, a teoria de integrais indefinidas e definidas, desenvolvida previamente em sala de aula pelo professor da disciplina. Voc tambm ir aprender o conceito de integral como funo inversa da derivada.Para realiz-la, devem ser seguidos os passos descritos.Passo 1 (Equipe)Faam as atividades apresentadas a seguir.1. Leiam atentamente o captulo do livro-texto que descreve os conceitos de integrais indefinidas, definidas e clculo de reas. Pesquisem tambm em: livros didticos, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informaes ligadas ao estudo e utilizao da teoria de integrais indefinidas, definidas e clculo de reas.Lemos e pesquisamos conforme solicitado.

2. Faam um levantamento sobre a histria do surgimento das integrais e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informaes encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa ser imprescindvel para a compreenso e realizao dos prximos passos.

Aps estudarmos e pesquisarmos. Entendemos que a descoberta da Integral facilitou muito a vida das pessoas que trabalham com medidas, onde pode se conseguir o calculo exato de qualquer rea atravs da Derivada e da Integral.

No Calculo, a Integral de uma funo foi desenvolvida principalmente para se determinar a rea num plano cartesiano de uma curva e tambm muito utilizado em fsica, como por Exemplo para se determinar a posio de um objeto em cada instante de acordo com a determinao da velocidade a cada momento.

O processo de se calcular a integral de uma funo chamado deintegrao. O Clculo Diferencial e Integral foi criado por Isaac Newton (1642-1727) e Wilhelm Leibniz (1646-1716). O trabalho destes cientistas foi uma sistematizao de ideias e mtodos surgidos principalmente ao longo dos sculos XVI e XVII, os primrdios da chamada era da Cincia Moderna, que teve incio com a Teoria heliocntrica de Coprnico (1473-1543).Diferentemente da noo associada dederivao, existem vriasdefinies para a integrao, todas elas visando a resolver alguns problemas conceituais relacionados alimites,continuidadeeexistnciade certos processos utilizados na definio. Estas definies diferem porque existem funes que podem ser integradas segundo alguma definio, mas no podem segundo outra. A integral indefinida tambm conhecida comoantiderivada.Conclumos dizendo que o calculo pela derivada e pela Integral vem aprimorando a qualidade do trabalho em clculos de medidas e de espaos de tempo principalmente nas reas de Engenharia, e observamos que h uma grande importncia nos conceitos de Integrao.

Fontes: http://cead.ufpi.br/conteudo/material_online/disciplinas/matematica/uni07_int_ind_01.htmlhttp://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/integral/integral.htmhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Integral

3. Faam o download do Software Geogebra. Este software servir de apoio para a resoluo de alguns desafios desta etapa.

Passo 2 (Equipe)

Leiam os desafios propostos:Desafio AQual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de: da?A) F(a) = 12a4- + ln3a|+CB) F(a) = - + 3ln|a|+CC) F(a) = - + 3ln|a|+CD) F(a) = 12a4- + lna|+CE) F(a) = a4- + ln3a|+CResoluo: da da + da + dada + da + da + + da. + + 3 ln a+c

R: a questo certa a B - + 3 ln a + C

Desafio BSuponha que o processo de perfurao de um poo de petrleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C(q) =1000 + 50q dlares por p, onde q a profundidade em ps. Sabendo que C(0) = 10.000 , a alternativa que expressa C(q) , o custo total para se perfurar q ps, :A) C(q) = 10.000 + 1.000q + 25qB) C(q) = 10.000 + 25q + 1.000qC) C(q) = 10.000qD) C(q) = 10.000 + 25qE) C(q) = 10.000q + q + q

Resoluo:C (0) = 10000C (q) = 1000 + 50qC (q) =+ dq C (q) = 1000 + dqC (q) = 1000q + + C = . = C (q) = 1000q + + CC (q) = C (10.000)R: A questo correta a: A. C (10000) 10.000 + 1000q +

Desafio C No incio dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petrleo cresceuexponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petrleo no instante t, onde t o nmero de anos contados a partir do incio de 1990. Um modelo aproximado para C(t) dado por: C(t) = 16,1.. Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petrleo consumida entre 1992 e 1994?A) 56,43 bilhes de barris de petrleoB) 48,78 bilhes de barris de petrleoC) 39,76 bilhes de barris de petrleoD) 26,54 bilhes de barris de petrleoE) Nenhuma das alternativasResoluo:C(t) = 16,1.C(2) = 16,1.C(2) = 16,1.1,150C(2) = 18,5194

C(t) = 16,1.C(4) = 16,1.C(4) = 16,1.1,3231C(4) = 21,302318,5194 + 21,3023 = 39,76.R: A questo correta a: C.

Desafio DA rea sob a curva Y = de x = -3a x = 2 dada por:(a) 4,99 (b) 3,22 (c) 6,88 (d) 1,11 (e) 2,22Resoluo: dx = = = dx = . du = 2du

.2du 2 du 2. (X)= 2. = 2.2,718 5,432. = 2.0,22 0,44B A = 5,43 0,44 = 4,99R: A questo correta a: A 4,99.

Passo 3 (Equipe)Marquem a resposta correta dos desafios A, B, C e D, justificando atravs dos clculos realizados, o porqu de uma alternativa ter sido considerada.

Para o desafio A:Associem o nmero 1, se a resposta correta for a alternativa (a).Associem o nmero 3, se a resposta correta for a alternativa (b).Associem o nmero 5, se a resposta correta for a alternativa (c).Associem o nmero 2, se a resposta correta for a alternativa (d).Associem o nmero 7, se a resposta correta for a alternativa (e).

Para o desafio B:Associem o nmero 0, se a resposta correta for a alternativa (a).Associem o nmero 8, se a resposta correta for a alternativa (b).Associem o nmero 3, se a resposta correta for a alternativa (c).Associem o nmero 1, se a resposta correta for a alternativa (d).Associem o nmero 6, se a resposta correta for a alternativa (e).

Para o desafio C:Associem o nmero 5, se a resposta correta for a alternativa (a).Associem o nmero 6, se a resposta correta for a alternativa (b).Associem o nmero 1, se a resposta correta for a alternativa (c).Associem o nmero 9, se a resposta correta for a alternativa (d).Associem o nmero 0, se a resposta correta for a alternativa (e).

Para o desafio D:Associem o nmero 9, se a resposta correta for a alternativa (a).Associem o nmero 8, se a resposta correta for a alternativa (b).Associem o nmero 0, se a resposta correta for a alternativa (c).Associem o nmero 4, se a resposta correta for a alternativa (d).Associem o nmero 2, se a resposta correta for a alternativa (e).

A sequncia de nmeros : 3 0 1 9.

Passo 4 (Equipe)Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatrio com o nome de Relatrio 1 com as seguintes informaes organizadas:1. os clculos e todo raciocnio realizado para a soluo do passo 3;2. a sequncia dos nmeros encontrados, aps a associao feita no passo 3.

ETAPA 2 (tempo para realizao: 05 horas)Aula-tema: Integrao por Substituio. Integrao por Partes.Esta etapa importante para voc fixe, de forma prtica, a tcnica de integrao por substituio e por partes, desenvolvida previamente em sala de aula pelo professor da disciplina. Voc tambm ir aprender a resolver vrios tipos de integrais com suas respectivas peculiaridades.Para realiz-la, devem ser seguidos os passos descritos.

Passo 1 (Equipe)Faam as atividades apresentadas a seguir.1. Leiam atentamente o captulo do livro-texto que descreve os conceitos de integrao por partes e por substituio. Pesquisem tambm em: livros didticos do Ensino Superior, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informaes ligadas ao estudo e utilizao das tcnicas de integrao por partes e por substituio.2. Faam um levantamento sobre a histria do surgimento das tcnicas de integrao trabalhadas nesta etapa e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informaes encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa ser imprescindvel para a compreenso e realizao dos prximos passos.

Segundo o que pesquisamos, o calculo a base de integral muito importante na matemtica. Seu meio eficaz pode encontrar diversas repostas facilitando assim a vida dos especialistas que a utilizam este mtodo.A integrao um processo que demanda certa habilidade e tcnica, ele prov um meio indispensvel para anlises de clculos diversos, alm disso o meio de integrar certas funes deve ser exercitado at que sejamos capazes de absorver a sua essncia. O problema da integrao deve ser visto como uma anlise que pode conduzir a resultados algbricos diversos, quando tomadas tcnicas diversas, que concordam, porm, em resultado numrico.A integrao por partes um mtodo que se pode expressar a integral de um produto de funes em outra integralA integrao de substituio um fruto da famosa regra da cadeia em derivadas, tambm muito utilizado quando uma funo aps ser integrada pode ser representada como produto de funes.Certas funes so peculiarmente difceis de serem analisadas antes da utilizao de algum artifcio que permita sua simplificao, mas contudo um excelente meio de desenvolver formas de solues de problemas na matemtica.

Fontes: http://pt.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_(Volume_1)/T%C3%A9cnicas_de_integra%C3%A7%C3%A3ohttp://gradmat.ufabc.edu.br/disciplinas/listas/fuv/lista8.pdf

Passo 2 (Equipe)Considerem as seguintes igualdades:I) dt = := -6t = 2t 6 dt = -2t.(-t+3)dt = (3-t).dt

-6t.(3-t).dt

. = .

. = . -

=

II) Resoluo . dt = t = f(t) = 1 = (t+4 = G(t) = 2(t+4(t+4 - dt(t+4 - 2 dt

dt = W = t+4 dw = 1dt dw = dt

dt = = . = .(t+4 (t+4 . (t+4 (t+4 - . (t+4 2t -

Podemos afirmar que:(a) (I) e (II) so verdadeiras(b) (I) falsa e (II) verdadeira(c) (I) verdadeira e (II) falsa(d) (I) e (II) so falsas

R: A questo correta a: B. a primeira verdadeira e a segunda falsa.Passo 3 (Equipe)Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos clculos realizados, os valores lgicos atribudos.

Para o desafio:Associem o nmero 4, se a resposta correta for a alternativa (a).Associem o nmero 5, se a resposta correta for a alternativa (b).Associem o nmero 3, se a resposta correta for a alternativa (c).Associem o nmero 8, se a resposta correta for a alternativa (d).

A sequencia de numero : 5

Passo 4 (Equipe)Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatrio com o nome de Relatrio 2 com as seguintes informaes organizadas:1. os clculos e todo raciocnio realizado para a soluo do passo 3;2. a sequncia dos nmeros encontrados, aps a associao feita no passo 3.