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UFABC - Física Quântica - Curso 2017.3 Prof. Germán Lugones
Aula 2 Evidências experimentais da teoria
quântica: efeito fotoelétrico e efeito Compton
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Milhares de tubos fotomultiplicadores no telescópio de neutrinos Super Kamiokande (Japão)
Efeito fotoelétrico
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Em 1887 H. R. Hertz descobriu que a luz incidindo sobre certas superfícies metálicas fazia com que partículas negativas (hoje identificadas como elétrons) fossem arrancadas dessas superfícies.
O efeito fotoeletricoEfeito fotoeletrico Efeito Compton
Aula 4 3 / 17
Em 1887 H. R. Hertz descobriu que a luz incidindo sobre certas superfıciesmetalicas fazia com partıculas negativas (hoje identificadas como eletrons) fossemarrancadas dessas superfıcies.
Fonte de potencial variavel
Catodo Anodo
Fonte de luzmonocromatica
i
i
A
Tubo com vacuo
Montagem usada para estudar o efeito fotelétrico: • A luz incide no alvo (catodo),
ejetando elétrons, que são recolhidos pelo coletor (anodo).
• Os elétrons se movem no circuito no sentido oposto ao sentido convencional da corrente elétrica, indicado por setas na figura.
• A bateria é usada para produzir uma diferença de potencial entre alvo e coletor.
• O amperímetro mede a corrente no circuito.
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Primeiro Experimento do Efeito Fotelétrico
Ajustando a diferença de potencial V podemos reduzir a velocidade dos elétrons ejetados. Em particular, podemos ajustar V até que o potencial atinja o valor, V0, chamado potencial de corte, para o qual a corrente medida pelo amperímetro A é nula.
Para V = V0, os elétrons de maior energia ejetados pelo alvo são detidos pouco antes de chegar ao coletor. Assim, Kmax, a energia cinética desses elétrons, é dada por:
onde e é a carga do elétron.
Os experimentos mostram que, para uma luz de uma dada frequência, o valor de Kmax não depende da intensidade da luz que incide no alvo.
Quer o alvo seja iluminado por uma luz ofuscante, quer seja iluminado por uma vela, a energia cinética máxima dos elétrons ejetados tem sempre o mesmo valor, contanto que a frequência da luz permaneça a mesma.
Kmax
=�12mv2
�max
= eV0
Esse resultado experimental não pode ser explicado pela física clássica:
• Classicamente, a luz que incide no alvo é uma onda eletromagnética. O campo elétrico associado a essa onda exerce uma força sobre os elétrons do alvo, fazendo com que oscilem com a mesma frequência que a onda.
• Quando a amplitude das oscilações de um elétron ultrapassa certo valor, o elétron é ejetado da superfície do alvo.
• Assim, se a intensidade (amplitude) da onda aumenta, os elétrons deveriam ser ejetados com maior energia.
• Entretanto, não é isso que acontece. Para uma dada frequência, a energia máxima dos elétrons emitidos pelo alvo é sempre a mesma, qualquer que seja a intensidade da luz incidente.
4
Segundo Experimento do Efeito Fotoelétrico
O segundo experimento consiste em medir o potencial de corte V0 para várias frequências f da luz incidente. O gráfico de V0 em função de f mostra que:
5
• O efeito fotelétrico não é observado se a frequência da luz for menor que certa frequência de corte ft
• Ou seja, não há efeito fotoelétrico se o comprimento de onda for maior que 𝜆t = c/ft (comprimento de onda de corte).
• O resultado não depende da intensidade da luz incidente.
106138-3 TH E PHOTOE LECTR IC E FFECTPART 5
HALLIDAY REVISED
Let us rewrite Eq. 38-5 by substituting for Kmax from Eq. 38-4 (Kmax ! eVstop).After a little rearranging we get
(38-6)
The ratios h/e and "/e are constants, and so we would expect a plot of the mea-sured stopping potential Vstop versus the frequency f of the light to be a straightline, as it is in Fig. 38-2. Further, the slope of that straight line should be h/e. As acheck, we measure ab and bc in Fig. 38-2 and write
Multiplying this result by the elementary charge e, we find
h ! (4.1 # 10$15 V % s)(1.6 # 10$19 C) ! 6.6 # 10$34 J % s,
which agrees with values measured by many other methods.An aside: An explanation of the photoelectric effect certainly requires quan-
tum physics. For many years, Einstein’s explanation was also a compelling argu-ment for the existence of photons. However, in 1969 an alternative explanationfor the effect was found that used quantum physics but did not need the conceptof photons. Light is in fact quantized as photons, but Einstein’s explanation of thephotoelectric effect is not the best argument for that fact.
! 4.1 # 10$15 V % s.
he
!abbc
!2.35 V $ 0.72 V
(11.2 # 10 14 $ 7.2 # 10 14) Hz
Vstop ! ! he " f $
"
e.
CHECKPOINT 2The figure shows data like those of Fig. 38-2 for targets of cesium, potassium, sodium,and lithium. The plots are parallel. (a) Rank the targets according to their workfunctions, greatest first. (b) Rank the plots according to the value of h they yield,greatest first.
V sto
p
Cesiu
m
Potass
ium
Lithiu
m
Sodiu
m
5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6.0 6.2f (1014 Hz)
Fig. 38-2 The stopping potential Vstop as a function of the frequency f of the incident light for asodium target T in theapparatus of Fig. 38-1.(Data reported by R.A.Millikan in 1916.)
2 6 8 10 12
1.0
2.0
3.0
Frequency of incident light f (1014 Hz)
Stop
ping
pot
entia
l Vst
op (
V)
Ultraviolet
0 c b
a
Visible
40
Cutofffrequency f
Electrons can escape onlyif the light frequencyexceeds a certain value.
The escaping electron'skinetic energy is greaterfor a greater light frequency.
halliday_c38_1057-1082v2.qxd 30-12-2009 15:17 Page 1061
pote
ncia
l de
cort
e V 0
frequência da luz incidente f(1014 Hz)
frequência de corte ft
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Esse resultado constitui outro mistério para a física clássica.
• Se a luz se comportasse apenas como uma onda eletromagnética, teria energia suficiente para ejetar elétrons, qualquer que fosse a frequência, contanto que a luz fosse suficientemente intensa.
• Entretanto, não é isso que acontece. Quando a frequência da luz é menor que a frequência de corte ft, não são ejetados elétrons, por mais intensa que seja a luz.
Em 1905, Einstein postulou que a quantização da energia usada por Planck no problema do corpo negro é uma característica universal da luz.
Em vez de estar distribuída uniformemente no espaço no qual se propaga, a luz é formada por quanta discretos de energia E = hf.
Quando um desses quanta, denominados fótons, chega à superfície do alvo, toda a sua energia é transferida para um único elétron.
A teoria de Einstein para o efeito fotoelétrico
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8
Função trabalho
Os elétrons são mantidos no metal por forças elétricas.
Para escapar do alvo, um elétron necessita de uma energia mínima, 𝜙, que depende do tipo de metal e recebe o nome de função trabalho:
• se a energia cedida por um fóton a um elétron é maior que 𝜙, (hf > 𝜙), o elétron pode escapar do alvo.
• se a energia cedida é menor que a função trabalho (hf < 𝜙), o elétron não pode escapar.
3-3 The Photoelectric Effect 133
in a remarkable paper in the same volume of Annalen der Physik that contained his papers on special relativity and Brownian motion.
Einstein assumed that the energy quantization used by Planck in solving the black-body radiation problem was, in fact, a universal characteristic of light. Rather than being distributed evenly in the space through which it propagated, light energy con-sisted of discrete quanta, each of energy hf. When one of these quanta, called a photon, penetrates the surface of the cathode, all of its energy may be absorbed completely by a single electron. If is the energy necessary to remove an electron from the surface ( is called the work function and is a characteristic of the metal), the maximum kinetic energy of an electron leaving the surface will be hf as a consequence of energy conservation; see Figure 3-9c. (Some electrons will have less than this amount because of energy lost in traversing the metal.) Thus, the stopping potential should be given by
eV012
mv2
max hf 3-21
Equation 3-21 is referred to as the photoelectric effect equation. As Einstein noted,
If the derived formula is correct, then V0, when represented in Cartesian coordinates as a function of the frequency of the incident light, must be a straight line whose slope is independent of the nature of the emitting substance.13
As can be seen from Equation 3-21, the slope of V0 versus f should equal h e. At the time of this prediction there was no evidence that Planck’s constant had anything to do with the photoelectric effect. There was also no evidence for the dependence of
Among the many applications of the photoelectric effect is the photomultiplier, a device for making possible the accurate measurement of the energy of the light absorbed by the photosensitive surface. The SNO, Kamiokande and Ice Cube neutrino observatories (see Chapter 12) use thousands of photomultipliers. Hundreds more have been deployed in a number of deep-water high-energy-neutrino experiments.
(a) (c)Bright light
Dim light
i ( A)
V–5
I2 > I1
I1
0 5 10 15
(b) i ( A)
V–5–V01–V02
–V0
f2 > f1f1ft
0 5 10 15
Filledelectronstates
0
1––2 mv2
hf
hfEnergy
DistanceOutsidemetal
Insidemetal
Surface
FIGURE 3-9 (a) Photocurrent i versus anode voltage V for light of frequency f with two intensities I1 and I2, where I2 I1. The stopping voltage V0 is the same for both. (b) For constant I, Einstein’s explanation of the photoelectric effect indicates that the magnitude of the stopping voltage should be greater for f2 than f1, as observed, and that there should be a threshold frequency ft below which no photoelectrons were seen, also in agreement with experiment. (c) Electric potential energy curve across the metal surface. An electron with the highest energy in the metal absorbs a photon of energy hf. Conservation of energy requires that its kinetic energy after leaving the surface be hf .
TIPLER_03_119-152hr2.indd 133 8/22/11 11:33 AM
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A energia cinética máxima de um elétron que deixa a superfície será hƒ- 𝜙 como conseqüência da conservação de energia.
Alguns elétrons terão menos do que esta quantidade por causa da energia perdida ao atravessar o metal).
Assim, usando a conservação da energia temos:
O elétron recebe do fóton uma energia hƒ, mas perde (no mínimo) uma energia 𝜙 para escapar do metal. O resto da energia aparece na forma de energia cinética do elétron.
A equação acima é chamada de equação do efeito fotoelétrico.
eV0 =�12mv2
�max
= hf � �
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De acordo com a equação do efeito fotoelétrico, se representamos o potencial de corte V0 em função da frequência f da luz incidente, devemos obter uma reta cuja inclinação é (h/e), ou seja, independente da natureza da substância emissora.
Experimentos realizados por Millikan entre 1914 e 1916 verificaram que a equação do efeito fotoelétrico estava correta.
O valor de h obtido a partir desses experimentos concordou com o valor que o Planck tinha obtido antes para o corpo negro!
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Frequência de corte para o efeito fotoelétrico
Se potencial de corte V0 for nulo, obtém-se o valor da frequência abaixo do qual não ocorre o efeito fotoelétrico (frequência de corte ft).
A partir da equação do efeito fotoelétrico obtemos:
eV0 = 0 = hft � � ) � = hft =hc
�t
Os fótons de freqüências inferiores a ft (e, portanto, com comprimentos de onda maiores que 𝜆t) não possuem energia suficiente para expulsar um elétron do metal.
As funções de trabalho para metais são tipicamente da ordem de alguns elétrons volts.
O elétron volt (eV) é uma unidade de energia definida como: 1eV = 1Volt × |carga do elétron| = 1.6×10-19J 12
A teoria de Einstein para o efeito
fotoeletricoEfeito fotoeletrico Efeito Compton
Aula 4 8 / 17
Para a maioria dos metais, φ e da ordem de alguns eletrons-volts, conforme mostraa tabela abaixo.
Elemento φ (eV)Na 2,28Cd 4,07Al 4,08Ag 4,73Pt 6,35Mg 3,68Ni 5,01Pb 4,14
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TESTE:
A figura mostra vários gráficos do potencial de corte em função da freqüência da luz incidente para alvos de césio, potássio, sódio e lítio. As retas são paralelas. Coloque os alvos na ordem decrescente do valor da função trabalho.
Tempo de emissão dos fotoelétrons
Outra característica importante do efeito fotoelétrico que está em desacordo física clássica, mas é facilmente explicada pela hipótese dos fótons é a ausência de um intervalo de tempo entre a ativação da fonte de luz e o aparecimento de fotoelétrons.
Classicamente, é seria possível ajustar a intensidade da luz incidente de forma que o atraso de tempo teórico seja de vários minutos, ou mesmo horas.
No entanto, se observa experimentalmente que ∆t ≲ 10-9s.
A explicação deste resultado é que, embora a taxa a que os fótons incidam no metal é muito pequena quando a intensidade é baixa, cada fóton tem energia suficiente para expulsar um elétron, e há chance de que um fóton seja absorvido imediatamente .
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1062 CHAPTE R 38 PHOTON S AN D MATTE R WAVE S
HALLIDAY REVISED
38-4 Photons Have MomentumIn 1916, Einstein extended his concept of light quanta (photons) by proposingthat a quantum of light has linear momentum. For a photon with energy hf, themagnitude of that momentum is
(photon momentum), (38-7)
where we have substituted for f from Eq. 38-1 ( f ! c/l). Thus, when a photoninteracts with matter, energy and momentum are transferred, as if there werea collision between the photon and matter in the classical sense (as in Chapter 9).
In 1923, Arthur Compton at Washington University in St. Louis carried outan experiment that supported the view that both momentum and energy aretransferred via photons. He arranged for a beam of x rays of wavelength l to bedirected onto a target made of carbon, as shown in Fig. 38-3. An x ray is a formof electromagnetic radiation, at high frequency and thus small wavelength.Compton measured the wavelengths and intensities of the x rays that werescattered in various directions from his carbon target.
Figure 38-4 shows his results. Although there is only a single wavelength (l ! 71.1 pm) in the incident x-ray beam, we see that the scattered x rays con-tain a range of wavelengths with two prominent intensity peaks. One peak iscentered about the incident wavelength l, the other about a wavelength l" thatis longer than l by an amount #l, which is called the Compton shift. The value
p !hfc
!h$
Sample Problem
Calculations: From that last idea, Eq. 38-5 then gives us,with f ! f0,
hf0 ! 0 % & ! &.
In Fig. 38-2, the cutoff frequency f0 is the frequency at whichthe plotted line intercepts the horizontal frequency axis,about 5.5 ' 1014 Hz. We then have
(Answer) ! 3.6 ' 10 (19 J ! 2.3 eV. & ! hf0 ! (6.63 ' 10 (34 J )s)(5.5 ' 10 14 Hz)
Photoelectric effect and work function
Find the work function & of sodium from Fig. 38-2.
We can find the work function & from the cutoff fre-quency f0 (which we can measure on the plot). The reason-ing is this: At the cutoff frequency, the kinetic energy Kmaxin Eq. 38-5 is zero. Thus, all the energy hf that is trans-ferred from a photon to an electron goes into the elec-tron’s escape, which requires an energy of &.
KEY I DEAS
Additional examples, video, and practice available at WileyPLUS
Incidentx rays
Collimatingslits
λ
T
Scatteredx raysφ
λ '
Detector
Fig. 38-3 Compton’s apparatus.A beamof x rays of wavelength l ! 71.1 pm is di-rected onto a carbon target T. The x raysscattered from the target are observed at various angles f to the direction of the inci-dent beam. The detector measures both theintensity of the scattered x rays and theirwavelength.
Fig. 38-4 Compton’s results for four values of the scattering angle f. Note that theCompton shift #l increases as the scattering angle increases.
φ = 0°
Wavelength (pm)70 75
Inte
nsity
φ = 45°
Wavelength (pm)70 75
Inte
nsity
∆ λ
φ = 90°
Wavelength (pm)70 75
Inte
nsity
∆ λ
φ = 135°
Wavelength (pm)70 75
Inte
nsity
∆ λ
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No efeito fotoelétrico temos absorção de fótons pela matéria. Esse efeito se manifesta até energias de raios X, i. e., EX ~105eV. Para energias a partir das de raios X os processos de interação de fótons com a matéria passam a ser do tipo espalhamento elétron-fóton.
Em 1923, Arthur Compton fez incidir um feixe de raios X, de comprimento de onda 𝜆, em um alvo de carbono, como mostra a Figura.
O efeito Compton
Os raios X são uma forma de radiação eletromagnética de alta frequência e pequeno comprimento de onda.
Compton mediu o comprimento de onda e a intensidade dos raios X espalhados em diversas direções pelo alvo de carbono.
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A Figura mostra os resultados obtidos por Compton para quatro valores do ângulo de espalhamento 𝜃.
• Existe um único comprimento de onda (𝜆 = 71,1 pm) no feixe incidente. • No entanto, os raios X espalhados contêm vários comprimentos de onda,
com dois picos de intensidade. • Um dos picos corresponde ao comprimento de onda do feixe incidente, 𝜆; • O outro pico corresponde a um comprimento de onda 𝜆′ maior que 𝜆. • A diferença entre os comprimentos de onda dos dois picos, Δ𝜆, conhecida
como deslocamento de Compton, depende do ângulo no qual os raios X espalhados são medidos; quanto maior o ângulo, maior o valor de Δ𝜆.
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Os resultados obtidos por Compton constituem mais um mistério para a física clássica.
• Classicamente, o feixe incidente de raios X é uma onda eletromagnética senoidal.
• A força associada ao campo elétrico da onda incidente deveria fazer os elétrons do alvo oscilarem com a mesma frequência que essa onda e, portanto, produzirem novas ondas com a mesma frequência que a onda incidente, como se fossem pequenas antenas transmissoras.
• Assim, os raios X espalhados por elétrons deveriam ter todos a mesma frequência e o mesmo comprimento de onda que os raios X do feixe incidente, o que simplesmente não é verdade.
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Interpretação de Compton:
Um fóton de raios X do feixe incidente tem uma colisão relativística com os elétrons quase livres do alvo de carbono. Nessa colisão há troca energia e momento entre essas partículas.
A equacao de ComptonEfeito fotoeletrico Efeito Compton
Aula 4 13 / 17
Segundo Compton, os resultados experimentais poderiam ser explicados atravesdas colisoes relativısticas eletron-foton, onde um foton de comprimento de ondaλ0 colide com um eletron inicialmente em repouso e praticamente livre.
λ0
Eγ,0pγ,0
Eepe
λeEγ
pγ
Conforme visto na Aula 2, de acordo coma teoria da relatividade, a energia total eo momento estao relacionados atraves daexpressao E2 = p2c2 + m2c4.
Para o foton, que possui massa zero,E = pc, com p = |p|.
Por outro lado, de acordo com a teoria deEinstein do efeito fotoeletrico, a energia
do foton e E = hν = hc
λ
Segue que o modulo do momento do foton e dado por p =E
c=
hν
cou p =
h
λ.
A energia do elétron ligado ao material (~ eV), é desprezível em relação a de fótons de raio X (~105eV).
Assim, o elétron ligado ao material pode ser considerado como inicialmente no estado de repouso.
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De acordo com a teoria da relatividade, a energia total e o momento estão relacionados através da expressão
E2 = p2c2 + m2c4.
Para o fóton, que possui massa zero, obtemos E = pc. Para um fóton de energia hf, o módulo do momento é dado por:
onde foi usada a relação f = c/𝜆.
Durante o processo de uma colisão relativística, há a conservação da energia relativística total e o momento linear.
p =E
c=
hf
c) p =
h
�
20
Conservação da energia:
Visto de um referencial onde o elétron esta inicialmente no estado de repouso temos:
• energia inicial do elétron: Ee = mec2 • energia inicial do fóton: E𝛾= hf = hc /𝜆 • energia final do elétron: E‘e = (pe
2c2 + me2c4)1/2
• energia final do fóton: E'𝛾= hf’ = hc /𝜆'
Substituindo, obtemos:
Ee + E� = E0e + E0
�
Eq. (1)mec2 +
hc
�= (p02e c
2 +m2ec
4)1/2 +hc
�0
21
Conservação do momentum:
Lembrando que p=0 para o elétron em repouso, temos:
Estes três vetores são os lados de um triângulo como o da figura, cujos lados podem ser relacionados pela regra do coseno:
pe + p� = p0e + p0
�
p� = p0e + p0
�
p02e = p2� + p02� � 2p�p0� cos ✓
22
Substituindo p𝛾= h/𝜆 e p’𝛾= h/𝜆’ obtemos:
Eliminando pe’ das Eqs. (1) e (2) obtemos a equação de Compton:
onde • 𝜆 é o comprimento de onda da radiação X incidente • 𝜆' é o comprimento de onda da radiação X espalhada no ângulo 𝜃. • Define-se o comprimento de onda Compton do elétron como sendo
• Numericamente, tem-se que 𝜆C = 0.02426 Å
p02e =
h2
�2+
h2
�02 � 2
h
�
h
�0 cos ✓ Eq. (2)
�0 � � =
h
mec(1� cos ✓)
�C =h
mec
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A equação de Compton, ∆𝜆 = 𝜆C (1-cos𝜃) consegue reproduzir o ∆𝜆 observado no experimento de espalhamento.
Resta explicar o outro pico, que corresponde a 𝜆 da radiação incidente.
Esse pico não está associado a interações da radiação incidente com elétrons quase livres do alvo e sim a interações com elétrons fortemente ligados aos núcleos de carbono do alvo.
24
Nesse caso, tudo se passa como se a colisão ocorresse entre um fóton do feixe incidente e um átomo inteiro do alvo.
Fazendo m igual à massa do átomo de carbono (que é aproximadamente 22.000 vezes maior que a do elétron), vemos que Δλ se torna 22.000 vezes menor que o deslocamento de Compton para um elétron livre, ou seja, um deslocamento tão pequeno que não pode ser medido.
Assim, em colisões desse tipo, os fótons espalhados têm praticamente o mesmo comprimento de onda que os fótons incidentes, o que explica o outro pico dos gráficos.
A conclusão final é que o efeito Compton pode ser explicado se consideramos que a luz é formada quantos de energia (fótons) que possuem energia E = h f.
