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Aula 3Modelos GARCH

Wilson Correa

July 4, 2018

Wilson Correa July 4, 2018 1 / 28

Introducao

Classe de Modelos de Interesse ARCH/GARCH:

1 ARCH Engle (1982)2 GARCH Bollerslev (1986)3 EGARCH Nelson (1991)4 TARCH Glosten, Jagannathan e Runkle (1993)5 NARCH Higgins e Bera (1992)6 IGARCH Engle e Bollerslev (1986)7 FIGARCH Baillie, Bollerslev e Mikkelsen (1996)8 APARCH Ding, Granger e Engle (1993)

Pacote R Ghalanos (2018)


Modelos ARCH (Modelos de HeterocedasticidadeCondicional Autoregressiva)

Considerem um modelo AR(1) dado por ut = φut−1 + εt ondeεt ∼ i .i .d .(0, 1). A media condicional de ut e φut−1 enquanto que amedia incondicional e zero.

Sabemos que a variancia incondicional e dada por:σ2

1− φ2. Uma

solucao possıvel para modelar a variancia condicional e assumir queela esta relacionada com uma variavel exogena xt tal que:ut = xt−1 × εt . Neste caso temos Var(ut) = σ2x2

t−1.

Esse pressuposto possui no entanto a desvantagem de necessitar deuma especificacao das causas da mudanca da variancia no tempo aoinves de assumir simplesmente a media e a variancia condicionalpossam evoluir no tempo. Uma especificacao alternativa para avariancia condicional assumindo essa evolucao no tempo seria:


Analise Propriedade dos Dados


Analise Propriedade dos Dados


Analise Propriedade dos Dados Histograma Retornos


Modelos ARCH

Definicao

Um modelo ARCH(m), leia-se de ordem m e dado por:

1 ut =√htυt

2 ht = ζ + α1u2t−1 + α2u

2t−2 + . . .+ αmu

2t−m

Onde: It representa o conjunto de informacoes ate o perıodo t eυt ∼ i .i .d .(0, 1)

Notem que: E (u2t /It−1) = E [(

√htυt)

2/It−1] = E [ht/It−1]

Logo:

E [u2t /It−1] = ζ + α1u

2t−1 + α2u

2t−2 + . . .+ αmu

2t−m (1)

E [u2t /It−1] = ζ + α1u

2t−1 + α2u

2t−2 + . . .+ αmu

2t−m + ωt (2)


Modelos ARCH

Notem que na equacao (2) estamos considerando que u2t segue um

processo AR(m) onde:E (ωt) = 0 (3)

E (ωtωτ ) =

{λ2 para t = τ

0 de outro modo(4)

Notem que (2) precisa ser nao negativa para todas as realizacoes deut . Portanto ωt precisa ser limitada inferiormente por −ζ com ζ > 0e αj > 0 para αj = 1, 2, . . . ,m


Modelos ARCH

Alem disso para u2t ser fracamente estacionario temos que garantir

que as raızes do polinomio 1− α1z − α2z2 − . . .− αmz

m = 0 estejamfora do cırculo unitario. De outro modo: α1 + α2 + . . .+ αm < 1 pois

E [u2t ] =

ζ

1− α1 − α2 − . . .− αm

Notem que a variancia de ωt = λ2, portanto ωt possui varianciaincondicional constante.

Mas a variancia de ωt e na realidade o quarto momento de ut . Nestecaso temos restricoes adicionais sobre os parametros do modelo.

Para ver isto notem que: u2t = ht + ωt . Logo temos: ωt = ht(υ

2t − 1)

A variancia de ωt e dada por:

E [ω2t ] = E [h2

t ]× E [(υ2t − 1)2]. (5)


Modelos ARCH

Suponha que ht segue um ARCH(1)

Logo temos:E [h2

t ] = E [(ζ + α1u2t−1)2]

=α2

1λ2

1− α21

+ζ2

(1− α1)2

(6)

Substituindo na equacao (5) podemos escrever:

E [ω2t ] =

[α2

1λ2

1− α21

+ζ2

(1− α1)2

]× E [(υ2

t − 1)2] (7)

Ainda que |α1| < 1 ou seja que o AR(1) que u2t segue seja

estacionario e que α1 > 0 adicionalmente ha a necessidade que

α21 <

1

3


Modelos GARCH

Considerem novamente um processo ARCH(m) tal que:

ut =√htυt

ht = ζ + α1u2t−1 + α2u

2t−2 + . . .+ αmu

2t−m

Podemos pensar o processo de tal maneira que a variancia condicionaldependa de um numero infinito de lags de u2

t−j tal que:

ht = ζ + π(L)u2t onde π(L) =

∑∞j=1 πjL

j .

Lembrem-se de que da discussao sobre polinomios podemosparametrizar π(L) como:

π(L) =α1L

1 + . . .+ αmLm

1− δ1L1 − . . .− δrLr(8)


Modelos GARCH

Se as raızes do polinomio 1− δ(z) estao fora do cırculo unitariopodemos escrever:

ht = ζ +α(L)

1− δ(L)u2t

1− δ(L)ht = ζ(1− δ(L)) + α(L)u2t

ht = κ+ δ1ht−1 + . . .+ δrht−r + α1u2t−1 + . . .+ αmu

2t−m

(9)

Equacao (9) Define o modelo GARCH tal que: ut ∼ GARCH(r ,m)

Notem que se ut ∼ GARCH(r ,m) entao u2t ∼ ARMA(p, r) onde p e o

maior numero entre r e m.

Portanto δ(L) NAO descreve o componente autoregressivo e α(L) ocomponente de medias moveis


Modelos GARCH

Para ver isso considerem um GARCH(2,2):

ht = κ+ δ1ht−1 + δ2ht−2 + α1u2t−1 + α2u

2t−2 (10)

Somando-se e subtraindo-se u2t , δ1u

2t−1 e δ2u

2t−2 em (10) fica:

ht + u2t = κ+ δ1ht−1 + δ2ht−2 + α1u

2t−1 + α2u

2t−2+

+ (δ1u2t−1 − δ1u

2t−1) + (δ2u

2t−2 − δ2u

2t−2) + u2

t

u2t = κ+ (α1 + δ1)u2

t−1 + (α2 + δ2)u2t−2︸︷︷︸

Componente Autoregressivo

+

+ ωt − δ1ωt−1 − δ2ωt−2︸︷︷︸inovacoes formando termo MA

(11)


Modelos GARCH

Como ωt e uma inovacao em relacao a u2t temos u2

t seguindo umprocesso ARMA.

ωt e uma inovacao porque ht e a previsao para u2t com base nos seus

proprios valores defasados.

como u2t precisa ser nao negativo temos:

κ > 0; αj > 0; δj > 0 (12)

Considerando que para um processo ARMA a condicao deestacionariedade e que ωt tenha variancia finita e as raızes dopolinomio: 1− (δ1 + α1)z − . . . (δp + αp)zp = 0 estejam fora docırculo unitario temos:

(δ1 + α1) + (δ2 + α2) + . . .+ (δp + αp) < 1 (13)


Modelos GARCH - Persistencia e Meia Vida

Um importante conceito e o de persistencia em relacao ao cluster devolatilidade. Esta medida e calculada como:

P =m∑i=1

αi +r∑

j=1

δj (14)

A meia vida e calculada como o numero de dias que leva paraobservarmos a metade da reversao esperada em direcao a E (u2). Estamedida e calculada como:

h2l =− ln 2

ln P(15)


Exponential GARCH

Modelo tem como objetivo lidar com os seguintes problemas:1 Pesquisas na area de financas encontram evidencias de que os retornos

dos papeis sao negativamente correlacionados com mudancas navolatilidade dos retornos.

2 Restricoes necessaria para que u2t seja nao negativo implicam que um

aumento em u2t em algum ponto do tempo sempre aumenta

u2t+m ∀ m > 1.

Modelo Proposto:

Rt = a + bRt−1 + cht + ut (16)

onde: ut =√htυt υt ∼ i .i .d(0, 1)

ln ht = α0 + α {|υt | − E (|υt |) + θυt} (17)


Exponential GARCH

Se α > 0 um desvio de |υt | > 0 do seu valor esperado causa umaumento na variancia.

Notem que a resposta a uma surpresa υt depende do seu sinal, ouseja, se υt e positivo ou negativo. (θ < 0). Nesse caso surpresastanto positivas quanto negativas levam a aumentos na volatilidadecondicional, contudo as surpresas negativas de mesma magnitudeimplicam em maiores revisoes para cima na volatilidade condicional.

A inclusao do termo cht na equacao do nıvel do retorno efundamentada em modelos que propoem uma relacao entre o excessode retorno e a variancia condicional em ındices de acoes sendodenominada ARCH in mean.

O autor nao propoe uma equacao do tipo ARMA para o nıvel da seriedo excesso dos retornos.

O termo bRt−1 procura capturar a autocorrelacao induzida pelaexistencia de descontinuidades nas negociacoes.


Modelos TARCH

Modelo proposto para discutir a seguinte questao empırica:Investidores requerem um premio de risco mais alto na media parainvestirem num papel quando o papel e mais arriscado?

Evidencia na literatura e que sinais negativos ou positivos para acovariancia entre a media condicional e variancia condicional doexcesso de retornos sao consistentes com a literatura.

Considerem a seguinte especificacao:

xt = a0 + a1ht−1 + ut (18)

onde: ut =√htυt e xt e o retorno em excesso do portfolio em relacao

a um ativo livre de risco.

ht−1 = κ+ δ1ht−2 + α1u2t−1 + β1rft + α2u

2t−1It−1 (19)


Modelos TARCH

Notem que neste modelo temos uma variavel de intervencao Itdefinida como:

ut−1 > 0⇒ It−1 = 1

ut−1 < 0⇒ It−1 = 0(20)

Notem que se α1 + α2 < 0 a variancia condicional pode ser negativapara algumas realizacoes de ut

Por outro lado existem evidencias empıricas de que uma inovacaopositiva nos retornos de um papel esta associada a um decrescimo navolatilidade dos retornos.

Diante deste problema os autores propoem estimar o seguinte modelo:

ln(ht−1) = α0 + δ1 ln(ht−2) + β1rft + α1ut−1√ht−2

+ α2ut−1It−1√

ht−2

(21)


Estimacao

Considerem o seguinte modelo:

yt = X ′β + ut

ut =√

htυt

ht = ζ + α1u2t−1 + . . .+ αmu

2t−m

(22)

onde: υt ∼ i .i .d .N(0, 1)

Condicionando com relacao as primeiras m observacoes e usando asobservacoes restantes para estimacao temos:

f (yt/Xt , yt−1) =1√

2πhtexp(−(yt − X ′tβ)2

2ht) (23)

onde:ht = ζ + α1(yt − X ′t−1β)2 + . . .+ αm(yt − X ′t−mβ)2


Estimacao

para a amostra como um todo temos:

L(θ) =T∑t=1

ln f (yt/Xt , yt−1; ζ, α, β)

L(θ) =−T

2ln(2π)− 1

2

T∑t

ln(ht)−

= −1

2

T∑t=1

(yt − X ′t−1β)2

ht

(24)


estimacao

Notem que o log da funcao de verossimilhanca envolve o processo ht .Portanto para cada valor numerio dos parametros (ζ, α, β) umasequencia de variancias condicionais ht e calculada e utilizada paraavaliar a funcao de verossimilhanca.

Portanto o resultado e que a funcao precisa ser maximizadanumericamente.

Impor a condicao de estacionariedade:∑m

j=1 αj < 1 e αj > 0 ∀ jtorna o problema de maximizacao bastante difıcil, levando na praticaa escolha de valores baixos para m.

Um outro problema e que a formulacao anterior supoe que adistribuicao de υ seja normal.


Estimacao

No entanto a distribuicao incondicional de muitas series financeirasapresentam caudas mais gordas que as produzidas por umadistribuicao normal (curtose).

A propria presenca do componente ARCH explica esse resultado. Ouseja, ainda que υ seja considerado como tendo uma distribuicaonormal a distribuicao incondicional de ut e nao normal com caudasmais grossas que uma distribuicao normal.

Outras possibilidades de utilizacao podem ser supor que υ sejaretirado de uma distribuicao t com n graus de liberdade e que n sejaum parametro a ser estimado.

Para o modelo EGARCH Nelson(1991) propoe a utilizacao dadistribuicao de erro generalizada normalizada para ter media 0 evariancia unitaria.


Testes de Diagnostico - Pacote RUGARCH

No objeto uGARCHfit temos como resultado das estimacoes osparametros e respectivos desvios padroes na forma robusta com baseno metodo de White (1982).

Criterios de selecao disponıveis sao:

AIC =−2LL

N+

2m

N(25)

BIC =−2LL

N+

m lnN

N(26)

HQIC =−2LL

N+

(2m ln (lnN))

N(27)

SIC =−2LL

N+ ln

((N + 2m)

N

)(28)


Testes de Diagnostco - Pacote RUGARCH

O pacote computa os testes Weighted Ljung-Box para autocorrelacaodos resıduos e Weighted ARCH-LM.

A estatıstica do teste Weighted Ljung-Box e dada por:

QW = n(n + 2)m∑

k=1

(m − k + 1)

m

r2k

n − k(29)

Onde: m e a ordem das autocorrelacoes a serem testadas e n otamanho da amostra.

Fisher e Gallagher (2012) mostram que a estatıstica eassintoticamente distribuıda como uma distribuicao gamma. Detalhespodem ser consultados no artigo. A hipotese nula e de naoautocorrelacao.


Testes de Diagnostico - Pacote RUGARCH

A estatıstica do teste Weighted ARCH-LM e dada por:

LW (b,m) = nm∑

k=b+1

m − k + (b + 1)

mrk

2(ε2/ht) (30)

onde rk2(ε2/ht) sao as autocorrelacoes dos resıduos tomados ao

quadrado e padronizados pela variancia condicional estimada de ummodelo ARCH(b).

Da mesma forma que o teste Weighted Ljung-Box paraautocorrelacao este teste e assintoticamente distribuido como umadistribuicao gamma. Detalhes podem ser consultados no artigo. Ahipotese nula e de que o modelo ARCH foi adequadamenteespecificado para os dados.


Testes de Ma Especificacao - Pacote RUGARCH

O Pacote computa o teste de vies de sinal de Engle e Ng (1993). Oteste procura determinar efeitos de leverage atraves de uma regressao

dos resıduos padronizados zt =ut√ht

:

zt2 = c0 + c1Iut−1<0 + c2Iut−<0 ut−1 + c3Iut−>0

ut−1 + η (31)

onde I e uma funcao indicadora e ut e o resıduo estimado do modeloGARCH.

As hipoteses nulas sao H0 : ci = 0 para (i = 1, 2, 3) eH0 : c1 = c2 = c3 = 0 para o teste conjunto.


Testes de Ma Especificacao - Pacote RUGARCH

O pacote computa o teste de goodness of fit (gof) de Palm (1996) oqual compara a distribuicao empırica dos resıduos com a distribuicaoteorica da distribuicao escolhida para estimacao.

Por fim o pacote computa o teste de estabilidade dos parametros deNyblom (1989). Rejeicoes da hipotese nula indicam instabilidade nosparametros do modelo.


BAILLIE, R.; BOLLERSLEV, T.; MIKKELSEN, H. O. Fractionallyintegrated generalized autoregressive conditional heteroskedasticity.Journal of Econometrics, v. 74, n. 1, p. 3–30, 1996.

BOLLERSLEV, T. Generalized autoregressive conditionalheteroskedasticity. Journal of Econometrics, v. 31, n. 3, p. 307–327,1986.

DING, Z.; GRANGER, C.; ENGLE, R. A long memory property ofstock market returns and a new model. Journal of Empirical Finance,v. 1, n. 1, p. 83–106, 1993.

ENGLE, R. Autoregressive conditional heteroscedasticity withestimates of the variance of united kingdom inflation. Econometrica,v. 50, n. 4, p. 987–1007, 1982.

ENGLE, R.; NG, V. K. Measuring and testing the impact of news onvolatility. Journal of Finance, v. 48, n. 5, p. 1749–78, 1993.

ENGLE, R. F.; BOLLERSLEV, T. Modelling the persistence ofconditional variances. Econometric Reviews, v. 5, n. 1, p. 1–50, 1986.

FISHER, T. J.; GALLAGHER, C. M. New weighted portmanteaustatistics for time series goodness of fit testing. Journal of the American


Statistical Association, Taylor Francis, v. 107, n. 498, p. 777–787,2012.

GHALANOS, A. rugarch: Univariate GARCH models. [S.l.], 2018. Rpackage version 1.4-0.

GLOSTEN, L. R.; JAGANNATHAN, R.; RUNKLE, D. E. On therelation between the expected value and the volatility of the nominalexcess return on stocks. Journal of Finance, v. 48, n. 5, p. 1779–1801,1993.

HIGGINS, M. L.; BERA, A. A class of nonlinear arch models.International Economic Review, v. 33, n. 1, p. 137–58, 1992.

NELSON, D. B. Conditional heteroskedasticity in asset returns: Anew approach. Econometrica, v. 59, n. 2, p. 347–70, 1991.

NYBLOM, J. Testing for the constancy of parameters over time.Journal of the American Statistical Association, Taylor Francis, v. 84,n. 405, p. 223–230, 1989.

PALM, F. 7 garch models of volatility. In: Statistical Methods inFinance. Elsevier, 1996, (Handbook of Statistics, v. 14). p. 209 – 240.Disponıvel em: 〈http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169716196140098〉.


http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169716196140098

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169716196140098

WHITE, H. Maximum likelihood estimation of misspecified models.Econometrica, v. 50, n. 1, p. 1–25, 1982.


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