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AULA 4
Produto escalar
Produto escalar – definição algébrica
Sejam 222111 z,y,xvez,y,xu , chamamos de produto
escalar o número real:
212121 zzyyxxvu
Notação: vu ou v,u e se lê: “ u escalar v ”.
Exemplos:
1) Dados os vetores 3,2,1u
e 1,4,3v
, calcular:
a) vu = 1 . (-3) + 2 . 4 + 3 . (-1) = –3 + 8 – 3 = 2
b) vuvu = (-2 , 6 , 2) (-4 , 2 , -4) = (-2) . (-4) + 6 . 2 + 2 . (-4) =
= 8 + 12 – 8 = 12
2) Dados os vetores 1,,4u
e 3,2,v
e os pontos A(4 , -1 , 2)
e B(3 , 2 , -1), determinar o valor de tal que 5BAvu .
)3,3,1(BABA
BAv = ( + 1 , -1 , 6)
5BAvu 5)6,1,1(1,,4 4 . ( + 1) + . (-1) + (-1) . 6 = 5
4 + 4 - - 6 = 5
3 = 7
3
7
Propriedades do produto escalar:
i) uvvu
ii) wuvuwvu iii) vuvuvu iv) 0use0uue0use0uu
v) 2
uuu
Exemplos:
1) Sendo z,y,xu , demonstre a propriedade v)
Resolução:
222 zyxzzyyxxz,y,xz,y,xuu
222222222222 zyxuzyxuzyxu
2
uuu
2) Mostrar que 222
vvu2uvu
Resolução:
22v2
i2
iiv2
vvu2uvu
vvvu2uuvu
vvuvvuuuvuvuvu
Analogamente, 222
vvu2uvu
Resolva você ...
3) Sendo ,3vue2v,4u calcular v4uv2u3 .
Resolução:
38324248
2831443
v8vu14u3
vv8uv2vu12uu3v4uv2u3
22
22
Exercício resolvido:
Determinar o vetor v
, paralelo ao vetor u
= (2 , -1 , 3), tal que 42uv
.
Resolução:
Seja z,y,xv o vetor procurado.
Como 42uv
, temos: 42z3yx23,1,2z,y,x (i)
Como os vetores são paralelos, temos:
3
z
1
y
2
xu//v
Ou seja, multiplicando em cruz, temos:
- x = 2y x = - 2y
- z = 3y z = - 3y (ii)
Logo, substituindo as equações obtidas em (ii) em (i), obtemos:
2(- 2y) – y + 3(- 3y) = - 42
- 4y – y – 9y = - 42
- 14y = - 42
y = 3
x = - 2 . 3 x = - 6
z = -3 . 3 z = - 9
Logo, 9,3,6v
Produto escalar – definição geométrica
Sejam veu ,vetores não paralelos, e o ângulo formado por eles,
então temos que:
º1800;cosvuvu
Demonstração:
Exemplo: Sendo 3v,2u e 120º o ângulo entre veu , calcule
vu .
Resolução:
cosvuvu
º120cos32vu
32
132vu
A B
C
u
v
u - v
Propriedades:
i) º90º00cos0vu , ou seja, é um ângulo agudo.
ii) º180º900cos0vu , ou seja, é um ângulo obtuso.
iii) º900cos0vu , ou seja, é um ângulo reto:
vu0vu : condição de ortogonalidade de dois vetores
Exemplo: Mostrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais:
a) 2,5,4ve3,2,1u
vu = 1 . 4 + (-2) . 5 + 3 . 2 = 4 – 10 + 6 = 0
são ortogonais.
b) jei
0,1,00,0,1ji = 1 . 0 + 0 . 1 + 0 . 0 = 0 + 0 + 0 = 0
são ortogonais.
Exercícios resolvidos:
1) Qual o valor de para que os vetores k4j2ia
e
k3j)21(i2b
sejam ortogonais?
A B
C
u
v
u - v
cos
sen
0º
90º
180º +_
Resolução:
0baba
( , 2 , -4) (2 , 1 - 2 , 3) = 0
2 + 2 - 4 - 12 = 0
- 2 = 10
= - 5
2) Dados os pontos A(m , 1 , 0); B(m – 1 , 2m , 2) e C(1 , 3 , -1), determinar m
de modo que o triângulo ABC seja retângulo em A. Calcular a área do
triângulo.
Resolução:
Para que o triângulo ABC seja retângulo em A, precisamos que o vetor AB
seja ortogonal ao vetor AC :
0ACABACAB
(-1 , 2m – 1 , 2) (1 – m , 2 , -1) = 0
- 1 + m + 4m – 2 – 2 = 0
5m = 5
m = 1
Para calcular a área do triângulo, precisamos das medidas de sua base ( AB )
e de sua altura ( AC ):
621)1(AB2,1,12,1m2,1AB 222
5)1(20AC1,2,01,2,m1AC 222
A B
C
u
v
u - v
cos
sen
0º
90º
180º +_
A B
C
Logo,
.a.u2
30
2
56
2
ACAB
2
hbA
3) Determinar o vetor v
, sabendo que , v
é ortogonal ao eixo x,
6wv
e j2iw
.
Resolução:
Seja z,y,xv o vetor procurado.
Como v
é ortogonal ao eixo x, tomamos o vetor 0,0,1i como
representante do eixo x. Portanto, temos:
0iviv
0x000x00,0,1z,y,x
Como 6wv
, temos:
3y60y2060,2,1z,y,0
Por ultimo, para determinarmos o valor de z, usamos o fato de que :
4z16z25z95z30 22222
Logo, 4,3,0vou4,3,0v
Cálculo do ângulo entre dois vetores:
De cosvuvu , temos: vu
vucos
Exemplos:
1) Calcular o ângulo entre os vetores 4,1,1u
e 2,2,1v
Resolução:
9821vu
23181611u
39441v
2
2
2
2
2
1
323
9
vu
vucos
Logo, º452
2arccos
2) Seja o triângulo de vértices A(2 , 1 , 3); B(1 , 0 , -1) e C(-1 , 2 , 1).
Determinar o ângulo interno ao vértice B. Qual o ângulo externo ao vértice
B?
Resolução:
A B
C
u
v
u - v
A B
C
u
v
u - v
q
cos
sen
0º
90º
180º +_
A B
C
A B
C
B^ 180 - B
^
BCBA
BCBAB̂cos
23181611BA4,1,1BABA
3212444BC2,2,2BC
8822BCBA
9
62
36
68
6
6
66
8
3223
8B̂cos
Logo, º02,579
62arccosB̂
E, portanto, o ângulo externo ao vértice B, é:
180º - 57,02º = 122,98º
3) Sabendo que o vetor v
= (2 , 1 , - 1) forma ângulo de 60º com o vetor AB
determinado pelos pontos A(3 , 1 , -2) e B(4 , 0 , m),calcular m.
Resolução:
vAB
vABº60cos
2m,1,1ABAB
1m2m12)2m()1(2vAB
6m4m4m4m112m11AB 22222
6114112v 222
66m4m
1m
2
1º60cos
2
Elevando ambos os membros da equação ao quadrado, obtemos:
36m24m61m2m
4
1
6m4m.6
1m2m
4
12
2
2
2
4m
2
08m
016m8m
)2(032m16m2
36m24m64m8m4
2
2
22
4) Um vetor v
do espaço forma com os vetores i
e j
ângulos de 60º e 120º
respectivamente. Determinar o vetor v
sabendo que sua norma é 2.
Resolução:
Seja z,y,xv o vetor procurado.
Como v
forma ângulo de 60º com o vetor 0,0,1i , temos:
1x
2
x
2
1
21
z,y,x0,0,1
2
1
vi
viº60cos
Como v
forma ângulo de 120º com o vetor 0,1,0j , temos:
1y
2
y
2
1
21
z,y,x0,1,0
2
1
vj
vjº120cos
Por ultimo, para determinarmos o valor de z, usamos o fato de que 2v :
2z2z4z112z11 22222
Logo, 2,1,1vou2,1,1v
Obs.: Os ângulos formados entre um vetor e os eixos coordenados são
chamados ângulos diretores.
5) Determinar o vetor v
, tal que: 4v ; v
é ortogonal ao eixo Oz e forma
ângulo de 60º com o vetor i
e ângulo obtuso com j
.
Resolução:
Seja z,y,xv o vetor procurado.
Como v
é ortogonal ao eixo z, tomamos o vetor 1,0,0k como
representante do eixo z. Portanto, temos:
0kvkv
0z0z0001,0,0z,y,x
Como v
forma ângulo de 60º com o vetor 0,0,1i , temos:
2x
4
x
2
1
41
z,y,x0,0,1
2
1
vi
viº60cos
Como v
forma ângulo obtuso (maior que 90º) com o vetor 0,1,0j ,
temos:
0y00,y,20,1,00vj0cos ()
Por ultimo, para determinarmos o valor de y, usamos o fato de que 4v :
32y12y16y440y2 22222
De (), temos que 32y
Logo, 0,32,2v
Projeção de um vetor sobre outro
Sejam veu vetores não nulos e o ângulo entre eles:
Seja 1v é a projeção ortogonal de v sobre u .
Notação: vprojvu1
uuu
uvvproj
u
Observação: veja a demonstração dessa fórmula em WINTERLE (2000).
Exemplos:
1) Dados os vetores 1,0,3u e 2,1,2v , determinar vproju
e
uprojv
.
Resolução:
5
2,0,
5
61,0,3
5
2
1,0,310
41,0,3
110033
12013)2(u
uu
uvvproj
u
9
8,
9
4,
9
82,1,2
9
4
2,1,29
42,1,2
2211)2()2(
4v
vv
vuuproj
v
u
v
u - v
q
cos
sen
0º
90º
180º +_
A B
C
A B
C
B^ 180 - B
^
v1
2) Sejam os pontos A(-1 , -1 , 2); B(2 , 1 , 1) e C(m , -5 , 3).
a) Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A?
b) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A.
Resolução:
a) Para que o triângulo ABC seja retângulo em A, precisamos que o vetor AB
seja ortogonal ao vetor AC :
0ACABACAB
(3 , 2 , -1) (m + 1 , - 4 , 1) = 0
3m + 3 – 8 – 1 = 0
3m = 6
m = 2
b) Para determinarmos o ponto H, precisamos, em primeiro lugar, determinar o
vetor BH que é a projeção do vetor BA sobre o vetor BC :
)1,2,3(BABA
)2,6,0(BCBC
10
7,
10
21,0
20
14,
20
42,02,6,0
20
72,6,0
40
41
2,6,022)6()6(00
21)6()2(0)3(BC
BCBC
BCBABAprojBH
BC
Como BH = H – B, temos:
H = BH + B
H =
10
17,
10
11,21,1,2
10
7,
10
21,0
A
B CH
3) Sejam A(2 , 1 , 3); B(m , 3 , 5) e C(0 , 4 , 1) vértices de um triângulo.
Determine:
a) O valor de m para que o triângulo ABC seja retângulo em A.
b) Calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC.
c) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A.
d) Mostrar que AH BC.
Resolução:
a) Para que o triângulo ABC seja retângulo em A, precisamos que o vetor AB
seja ortogonal ao vetor AC :
0ACABACAB
(m - 2 , 2 , 2) (- 2 , 3 , - 2) = 0
- 2m + 4 + 6 – 4 = 0
- 2m = - 6
m = 3
b) A medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC é a norma do
vetor BH que é a projeção do vetor BA sobre o vetor BC :
)2,2,1(BABA
)4,1,3(BCBC
26
36,
26
9,
26
274,1,3
26
9
4,1,3)4()4(11)3()3(
)4()2(1)2()3()1(BC
BCBC
BCBABAprojBH
BC
Logo,
A
B CH
.c.u26
269
26
2106
26
129681729
26
36
26
9
26
27BH
22
222
c) Como BH = H – B, temos:
H = BH + B
H =
26
94,
26
87,
26
515,3,3
26
36,
26
9,
26
27
d) 0BCAHBCAH
De fato:
026
64
26
61
26
34,1,3
26
16,
26
61,
26
1
REFERÊNCIAS
CAMARGO, Ivan de; BOULOS, Paulo. Geometria Analítica: um tratamento
vetorial. São Paulo: Pearson, 2010.
STEINBRUCHY, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo:
Makron Books, 1987.
WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Makron Books,
2000.