Aula 4 - Testes de Hipóteses - Variancias e Proporcoes

7/24/2019 Aula 4 - Testes de Hipteses - Variancias e Proporcoes

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EFB803Estatstica

ESCOLA DE ENGENHARIA MAU

EFB803

Testes de hipteses para comparao de 2 varincias

Testes de hipteses para comparao de 2 propores

Testes de hipteses para comparao deduas varincias

H0: 21=

22

H1: 21

22

ou H0: 21=

22

H1: 21<

22

ou H0: 21=

22

H1: 21>

22

() ()

H0:

H1:ou ou

122

2

1

122

2

1

H0:

H1:

12

2

2

1

122

2

1

H0:

H1:

122

2

1

122

2

1


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Objetivo

Alm de comparar as variabilidades de duaspopulaes, serve para verificar premissas dos testes dehipteses de duas mdias independentes (se duaspopulaes tm a mesma varincia ou no)

As varincias eso conhecidas

2

1

2

2

As varincias eso DESconhecidas

2

1

2

2

Iguais

Diferentes

Duas amostras emparelhadas

Teste(comparao)

ded

m

00

2

2

2

1; 21 S

SF

Para testar qualquer das hipteses abaixo:

Sob H0, a estatstica do teste seria

H0:

H1:ou ou

122

2

1

122

2

1

H0:

H1:

122

2

1

12

2

2

1

H0:

H1:

12

2

2

1

12

2

2

1

sendo que Snedecor-F~21 ,

F

graus de liberdade do

numerador (n1-1)graus de liberdade do

denominador (n2-1)

21;F


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A construo do teste similar aos casos jestudados at aqui: com as informaes das amostrascalculamos Fobse comparamos com Fcrtico.

Problema: Da forma que a tabela da distribuio F

apresentada (para cada valor de temos uma

tabela) s conseguimos construir o teste

quando ele unilateral direita

A soluo ser construir o teste de maneira que a regio

crtica sempre seja unilateral direita (i.e.: de forma que o

valor crtico do teste esteja na ponta da direita da curva).

Assim, usaremos como

estatstica do teste a razo:

OBS:

Fcrtico= F(; graus de liberdade da amostra do numerador; graus de liberdade da amostra dodenominador)

),(

),(2

2

2

1

2

2

2

1

ssmn

ssmxFobs

Essa razo sempre resultar em valor 1. Assim, quanto maiorfor Fobs, estaremos cada vez mais prximos da ponta da direita

da curva. Dessa forma, teremos mais evidncias em rejeitar H0.Por isso, foramos que o teste seja sempre unilateral direita

Rejeitamos Hose: crtica)(regioRCobs

F valorpou


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O fabricante A usa uma liga de ao especfica e afirma que,

em relao resistncia trao, seu produto mais homogneoque o fabricante B.Para verificar essa afirmao foi considerada uma amostra

de 11 cabos de ao de A e uma de 16 cabos do outro fabricante. Asestimativas dos desvios padres obtidas foram 5 kg/cm2e 8 kg/cm2,respectivamente.

Com esses resultados, qual seria a concluso a respeito daafirmao do fabricante A? (use o nvel de 2,5% de significncia).

Exemplo

Test and CI for Two VariancesMethod

Null hypothesis Variance(1) / Variance(2) = 1

Alternative hypothesis Variance(1) / Variance(2) > 1

Significance level Alpha = 0,025

Statistics

Sample N StDev Variance

1 16 8,000 64,000

2 11 5,000 25,000

Ratio of variances = 2,560

Tests

Test

Method DF1 DF2 Statistic P-Value

F Test (normal) 15 10 2,56 0,069

Nosso objetivo testar as propores p1 e p2 de duaspopulaes a partir de amostras delas (de tamanhos n1e n2).

As hipteses de interesse so:

H0: p1= p2H1: p1> p2

H0: p1- p2= 0

H1: p1- p2> 0

H0: p1= p2H1: p1< p2

H0: p1- p2= 0

H1: p1- p2< 0

H0: p1= p2

H1: p1 p2

H0: p1- p2= 0

H1: p1- p2 0

No geral, testamos se a

diferena p1- p2 =

Testes de hipteses para comparao deduas propores

ou

ou

()

()


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p = estimativa (amostra) = fi/ ni p = parmetro (populao)

Estatstica de teste:

2

'

2

'

2

1

'

1

'

1

21

'

2

'

1

11

)(

n

pp

n

pp

ppppZobs

As concluses so anlogas quelas j vistas nos testesrealizados at aqui:

Se zobsRC ou se p-valor , rejeitamos H0.

Caso contrrio, no rejeitamos

OBS.: Sempre que = 0 (isto , H0: p1 - p2 = 0), p1 e p2

estimam um mesmo valor.

Nesse caso, devemos calcular uma proporo

ponderada das duas estimativas amostrais:

)11

)(1(

)(

21

2

1

nnpp

ppZobs

21

2

1 21

nn

pnpnp

a estatstica do teste nesse caso


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Em 2012, uma empresa fez uma pesquisa para verificar se o

seu produto mais bem avaliado pelas mulheres do que pelos

homens. Foi considerada uma amostra de 1095 mulheres e outra

de 1042 homens, sendo que 942 mulheres e 850 homens se

declararam satisfeitos com o produto. Com esses resultados, qual

foi a concluso da empresa? (use = 5%).

Test and CI for Two Proportions

Sample X N Sample p

1 942 1095 0,860274

2 850 1042 0,815739

Difference = p (1) - p (2)

Estimate for difference: 0,0445350

Test for difference = 0 (vs > 0): Z = 2,80 P-Value = 0,003

Exemplo

Duas companhias qumicas podem fornecer uma matria-prima cuja concentrao de um determinado elemento importante. A concentrao mdia para ambos os fornecedores a mesma, porm suspeita-se que a variabilidade na concentrao

pode diferir entre as duas empresas. O desvio-padro de umaamostra de 10 observaes da primeira empresa 4,7 gramaspor litro, enquanto da segunda (16 observaes) de 5,8 gramaspor litro. Existe evidncia de que as varincias so diferentes?Use o nvel de 5% de significncia.

Exerccio (1 de 6)

Fobs= 1,52 ; Fcritico (2,5%)= 3,77 ; No rejeitamos H0 (as varincias so equivalentes)


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Exerccio (2 de 6)

A temperatura (em F) em que ocorre uma deflexo em tubosplsticos devido carga, deve ser comparada para duas marcasdiferentes. Para isso, colheu-se uma amostra de 15 tubos de cadauma das duas marcas. Na sada do Minitab, foi feito o teste paraverificar se a deflexo tem a mesma variabilidade nas duas marcas:

Test for Equal Variances: Marca 1; Marca 2

N Mean StDev SE Mean

Tipo 1 15 196,4 10,5 2,7

Tipo 2 15 192,1 9,4 2,4

F-Test (normal distribution)

Test statistic = 1,24; p-value = 0,700

a) Quais foram as hipteses testadas e qual a concluso obtidacom o teste acima? Justifique.

b) Faa o teste adequado para verificar se as duas marcas tambmtm a mesma deflexo mdia.

(considere nvel de 5% de significncia para os testes acima)

CASO 2: Tobs= 1,18 ; Tcriticos = -2,048 e 2,048; No rejeitamos H0 (em mdia, a deflexo nas duas marcas equivalente)

Dois processos, A e B, de produo foram comparados

quanto a variabilidade do tempo de fabricao de um tipo de pea,

em minutos. As informaes dos tempos de fabricao de 10 peas

produzidas pelo processo A e de 8 peas do processo B so

apresentados na tabela abaixo:

Teste, ao nvel de 5% de significncia, se o processo B

possui menor variabilidade.

Processo Mdia Desvio Padro

A 238 19

B 223 12

Exerccio (3 de 6)

Fobs= 2,51 ; Fcritico = 3,68 ; No rejeitamos H0 (o processo B no possui menor variabilidade)


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(P3-2006) Um instituto de pesquisa entrevistou 800 paulistas e

700 cariocas visando a tendncia que paulistas e cariocas tm

para votar na oposio: 128 paulistas e 140 cariocas afirmaram

votar na oposio. Com esses resultados, pode-se dizer que

cariocas tendem a votar mais na oposio do que os paulistas?

(use o nvel de 5% de significncia)

Exerccio (4 de 6)

Zobs= 2,02 ; Zcritico = 1,64 ; Rejeitamos H0 (a proporo de cariocas que votam na oposio supera a de paulistas)

(P3-2008) Duas empresas, preocupadas com a segurana deseus funcionrios no trabalho, anotaram, durante um certoperodo, o nmero de acidentes de trabalho por dia naempresa.

A empresa A observou durante um perodo de 150 dias

os resultados abaixo:

Exerccio (5 de 6)

Node acidentes por dia 0 1 2 3 4

Node dias 121 17 7 4 1

A empresa B observou durante um perodo de 120 diasos seguintes resultados:

Node acidentes por dia 0 1 2 3

Node dias 104 10 4 2

Verifique se podemos afirmar que a proporo de diasem que ocorrem acidentes a mesma nas duas empresas

(use =5%).Zobs= 1,31 ; Zcritico s= -1,96 e 1,96 ; No rejeitamos H0 (a proporo equivalente nas duas empresas)


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Dois tipos diferentes de mquinas de modelagem porinjeo so usados para formar peas de plsticos. Uma pea considerada defeituosa se tiver excesso de encolhimento ou sefor descolorida. Duas amostras aleatrias, cada uma com 300 soselecionadas e 15 peas defeituosas so encontradas na amostrada mquina 1, enquanto 8 peas defeituosas so encontradas naamostra da mquina 2.

razovel concluir que ambas as mquinas produzam amesma frao de peas defeituosas, usando 5% de significncia?

Exerccio (6 de 6)

Zobs

= 1,49 ; Zcriticos

= -1,96 e 1,96 ; No rejeitamos H0 (a proporo

de peas defeituosas equivalente nos dois tipos de mquina)

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