-
1
Cri
stin
a P
. G
on
alv
es -
DC
ET
/UE
SB
Modelos Atmicos
Nesta aula abordaremos os principais modelos
atmicos relevantes para o estudo da estrutura da
matria.
Os conceitos bsicos sero introduzidos atravs de
uma discusso da estrutura do tomo de hidrognio, o
que permite compreender seus espectros de absoro e
de emisso.
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. G
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SB
O fsico dinamarqus Niels Bohr props, em 1913, um modelo do tomo
de hidrognio que, combinando com o trabalho de Planck, Einstein e
Rutherford, teve sucesso extraordinrio reproduzindo o espectro de
hidrognio observado.
Modelos Atmicos
Pg. 2 de 42
Niels Henrich David Bohr em 1911
foi trabalhar com Rutherford em
Manchester incio da Fsica
Atmica.
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. G
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Modelo de Bohr
Bohr incorporou ao modelo
de Rutherford o conceito
quntico de energia, ou seja,
o eltron s poderia se mover
em determinadas rbitas, as
quais estavam afastadas a
distncias definidas do ncleo
atmico, no havendo
irradiao de energia
tomo de Bohr. Pg. 3 de 42
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. G
on
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DC
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/UE
SB
Postulados de Bohr
1. No tomo, o eltron se move em rbitas circulares,
cujo movimento descrito em termos das leis
gerais da mecnica e da eletrosttica, com a
limitao de que apenas algumas rbitas so
possveis, sendo essas determinadas pela imposio
de que o momento angular do eltron deve ser um
mltiplo inteiro de h/2.
Pg. 4 de 42
2. Enquanto descreve o movimento acelerado em sua
rbita, o eltron no irradia energia como prev a
teoria eletromagntica clssica.
3. O eltron pode saltar de uma rbita para outra. Se
ele pula espontaneamente de uma rbita em que sua
energia total Ei para uma outra de energia menor Ef ,
a energia perdida emitida na forma de radiao, cuja
frequncia dada pela relao = (Ei Ef)/h.
Pg. 5 de 42
Fornecendo energia (eltrica, trmica, ....) a um tomo, um
ou mais eltrons a absorvem e saltam para nveis mais
afastados do ncleo. Ao voltarem as suas rbitas originais,
devolvem a energia recebida em forma de luz (fenmeno
observado, tomando como exemplo, uma barra de ferro
aquecida ao rubro).
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-
2
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a P
. G
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SB
Assim, para derivar o modelo do tomo de
hidrognio, Bohr formulou duas
hipteses: uma relativa Fora
Centrpeta e outro relativa ao momento
angular do eltron.
a) Pergunta-se: que hipteses foram essas?
b) Utilizando as hipteses acima obtenha a
expresso para a energia dos estados
eletrnicos?
Modelo de Bohr
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a) As hipteses de Bohr:
1) A fora centrpeta igual a fora
eletrosttica
2
0
22
4 r
e
r
mv
ou
0
2222
4
rmervm
Modelo de Bohr
(1)
(2)
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a) As hipteses de Bohr:
2) A outra estabelece que o eltron se move
em rbitas circulares nas quais o momento
angular dado por
nh
nmvrLn 2
onde m a massa do eltron r o raio da
rbita e h a constante de Planck.
A quantizao de Bohr do momento angular
orbital de um eltron.
Modelo de Bohr
(3)
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b) Usando mvr = n h/2, eq. (3), e m2v2r2=
me2r/40, eq. (2), obtemos
0
2
2
22222
44
rmehnrvm
2
2
202
2
2
0
2
4n
me
hn
h
mern
Modelo de Bohr
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Estes so os raios das rbitas estacionrias. A
energia do tomo
r
e
r
e
r
eE
0
2
0
2
0
2
884
2
0
2
2
1
4mv
r
eE
que, levando-se em conta a eq.(1), mv2= e2
/40r, (a fora centrpeta igual a
eletrosttica) temos
Modelo de Bohr
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SB
Utilizando a equao
2
2
20 nme
hrn
obtemos
,3,2,1,1
8 2220
4
nnh
meEn
Modelo de Bohr
A quantizao do momento angular orbital do
eltron na quantizao de sua energia total. Pg. 12 de 42
-
3
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SB
Podemos tambm escrever
20
2
2
20 nanme
hrn
sendo
mme
ha 11
2
20
0 1029,5
o raio de Bohr.
Modelo de Bohr
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Utilizando a regra de Balmer para as
freqncias das raias do hidrognio,
),11
(2
22
1 nncRH
.1
8 2220
4
nh
meEn
e como
Modelo de Bohr
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DC
ET
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SB
Combinando a relao de Planck,
,11
8 212
2
22
0
4
nnh
mehEn
.11
8 222
1
32
0
4
nnh
me
obtemos,
Modelo de Bohr
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SB
Que comparando com a regra de Balmer para as
freqncias das raias do hidrognio,
),11
(2
22
1 nncRH
que nos deixa com,
.10097,18
17
32
0
4 m
ch
meRH
Modelo de Bohr
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Modelo de Bohr
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Postulado de Bohr.
Um tomo irradia energia quando um eltron salta de
uma rbita de maior energia para uma de menor energia.
rbitas de Bohr para o
tomo de hidrognio
A linha vermelha no espectro atmico
causada por eltrons saltando
da terceira rbita para a segunda rbita
O comprimento de onda guarda relao com a energia. Os menores
comprimentos de onda de luz significam vibraes mais rpidas e
maior energia.
Pg. 18 de 42
-
4
A linha verde-azulada no espectro
atmico causada por eltrons saltando
da quarta para a segunda rbita.
A linha azul no espectro atmico
causada por eltrons saltando
da quinta para a segunda rbita
A linha violeta mais brilhante no espectro
atmico causada por eltrons saltando
da sexta para a segunda rbita.
Pg. 19 de 42
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SB
O modelo de Bohr teve enorme sucesso em
explicar a regra de Balmer proposta em 1885 e
prev o valor numrico da constante de Rydberg.
Entretanto, claramente no podia ser aceito como
teoria final do tomo. Por um lado, no pde ser
estendido para outros tomos. Por outro, dependia
de uma hiptese ad hoc (casustica, ou heurstica)
sobre os valores possveis do momento angular da
rbita eletrnica.
Modelo de Bohr
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Modelo de Bohr
O primeiro conceito quntico de Bohr pode ser melhor entendido em
termos da natureza ondulatria do eltron,
sugerida por de Broglie em 1924:
Um eltron pode girar em torno de seu ncleo
indefinidamente, sem irradiar energia, desde que sua rbita
contenha um nmero inteiro de de de Broglie. Essa rbita chamada
rbita estacionria pois nela a onda associada ao
eltron estacionria. Numa onda estacionria, os ns esto
permanentemente em repouso e os ventres sofrem
deslocamentos mximos. A condio de estabilidade do
eltron na rbita pode ser escrita como: nn = 2 rn .
Pg. 21 de 42
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Considere o tomo de Hidrognio
J que o eltron tratado como onda e se desloca numa rbita
circular de raio r, qual ser a relao entre o raio e o comprimento
de onda da partcula?
Modelo de Bohr
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Uma forma possvel como abaixo:
Ou seja, um nmero inteiro n de onda devem existir na
circunferncia. O que ocorreria se isto no acontecesse?
Modelo de Bohr
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Se isto no acontecesse a onda tenderia a se cancelar e
eventualmente dissipar depois de um nmero suficiente de voltas.
Portanto, um eltron s pode deslocar-se em rbitas cujos raios
satisfaam a relao
,3,2,1,2 nrn n
rn o raio de rbita que contm n comprimento de
onda, n chamado de nmero quntico principal.
Modelo de Bohr
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5
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SB
Usando relao de De Broglie
.2 nr
hn
hp
Da equao do momento angular obtemos o postulado da quantizao do
momento angular de Bohr
nrr
hnprL n
n
nn 2
Modelo de Bohr
Pg. 25 de 42
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26
Usando relao de De Broglie
.2 nr
hn
hp
n
n
n
n
mv
hnr
rmv
hn
2
2
Modelo de Bohr
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. G
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SB
Por que o conceito das rbitas de Bohr viola o Princpio da
Incerteza?
No modelo de Bohr cada eltron possui uma rbita
fixa com um dado raio definido. Como o valor do raio r
fixo e no apresenta nenhuma incerteza, o
comprimento radial da velocidade do eltron deveria
possuir uma variao infinita (de acordo com o Princpio
da Incerteza). Caso esta componente fosse medida
diversas vezes, para o eltron ocupando uma rbita fixa,
o desvio padro da medida indicaria uma velocidade
radial elevada que produziria incoerncias fsicas.
Modelo de Bohr
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. G
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SB
Espectros Atmicos
O segundo conceito quntico de Bohr resume-se na
seguinte afirmao:
a radiao eletromagntica emitida ou absorvida
quando o eltron faz uma transio de uma rbita
estacionria a outra. Por outro lado, enquanto a rbita
do eltron permanecer a mesma, o tomo no perder
nem ganhar energia. Portanto, quando um eltron
passa de um nvel de energia para outro, a energia
perdida ou ganha emitida ou absorvida sob forma de
um nico fton de frequncia . Pg. 28 de 42
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. G
on
alv
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DC
ET
/UE
SB
,11
6,1322
fi
nnn
hE
Se Ei > Ef emisso de um fton;
Se Ei < Ef absoro de um fton.
Energia inicial Energia final = Energia do fton
Espectros Atmicos
2232
0
4 11
8 if
fi
nnh
me
h
EE
Pg. 29 de 42
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. G
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SB
De acordo com o modelo de Bohr, cada uma das
cinco sries conhecidas do espectro do
hidrognio surge de um subconjunto de
transies nas quais o eltron vai a um certo
estado final nf. Para a srie de Lyman, nf = 1; para
a de Balmer, nf=2; para a de Paschen, nf = 3; para
a de Brackett, nf = 4; para a de Pfund, nf = 5.
Espectros Atmicos
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-
6
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Espectros Atmicos
Pg. 31 de 42
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es -
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SB
As propriedades do espectro de absoro dos tomos de
um eltron tambm so facilmente compreensveis em
termos do modelo de Bohr. Como o eltron atmico
deve ter uma energia total exatamente igual energia de
um dos estados de energia possveis, o tomo pode
apenas absorver quantidades discretas de energia da
radiao eletromagntica incidente. O processo de
absoro ento exatamente o inverso do processo de
emisso e as linhas do espectro de absoro tero
exatamente os mesmos comprimentos de onda do
espectro de emisso.
Espectros Atmicos
Pg. 32 de 42
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. G
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SB
No modelo de Bohr, supusemos que a massa do ncleo
atmico fosse infinitamente grande comparada massa
do eltron atmico, de forma que o ncleo permanecesse
fixo no espao. Essa aproximao boa para o caso do
hidrognio, pois a massa do ncleo cerca de 2000
vezes maior do que a massa do eltron.
Mas para compararmos os dados experimentais com os
do modelo de Bohr devemos levar em conta que a massa
nuclear finita.
Correo para a Massa Nuclear Finita
Pg. 33 de 42
Assim, o eltron e o ncleo se movem em torno de seu
centro de massa comum. O eltron se move em relao
ao ncleo como se o ncleo estivesse fixo e a massa m
do eltron ligeiramente reduzida at o valor , a massa reduzida do
sistema. As equaes de movimento do
sistema so as mesmas, apenas troca-se m por .
.Mm
mM
m1 = m;
m2 = M.
Pg. 34 de 42
Demonstrao:
1212
2112 ,
aF
FF
O movimento de duas partculas
sujeitas apenas sua interao
mtua equivalente ao movimento
de uma partcula de massa igual
massa reduzida, sob a ao de uma
fora igual sua interao. Pg. 35 de 42
Movimento relativo de duas partculas:
A equao de movimento para
cada partcula em relao a um
observador inercial situado no
referencial :
121
1 Fdt
vdm
21
22 F
dt
vdm
1
121
m
F
dt
vd
2
212
m
F
dt
vd
Pg. 36 de 42
-
7
1
121
m
F
dt
vd
2
212
m
F
dt
vd
Subtraindo estas equaes
2
21
1
1221
m
F
m
F
dt
vd
dt
vd
,2112 FF
12
21
21 11)( Fmmdt
vvd
Pg. 37 de 42
,1221 vvv
V12 a velocidade de m1 em relao m2. Assim,
,111
21
mm
.
1
1212
1212
aF
Fdt
vd
a12 a acelerao de m1 em relao m2. Pg. 38 de 42
c.q.d.
Voltando ...
Assim, Bohr modificou seu postulado, impondo que o
momento angular orbital total do tomo seja um
mltiplo inteiro da constante de Planck dividida por 2:
Pg. 39 de 42
nh
nvrLn
2
onde a massa reduzida do sistema, r o raio da rbita e h a
constante de Planck.
A quantizao de Bohr do momento angular orbital do
tomo.
n = 1, 2, 3 ...
nh
nvrLn
2
Aqui estamos levando em conta tanto o momento angular
do ncleo quanto o do eltron. Fazendo as modificaes,
todas as equaes so idnticas s obtidas exceto pelo
fato de que a massa m do eltron substituda pela massa
reduzida .
Em particular, temos a frmula para os comprimento de
onda recprocos das linhas espectrais se torna
),11
(22
2
if
Mnn
Rzk
Pg. 40 de 42
),11
(22
2
if
Mnn
Rzk
,
Rm
RMm
MRM
A quantidade RM a constante de Rydberg para um
ncleo de massa M. Se
.44
1
,
,
3
42
0 c
eA
mAR
RRm
M
Pg. 41 de 42
(4)
Se calcularmos RH a partir de (4), encontramos um valor
que difere do experimental com uma preciso de 3 partes
em 100000!
Cri
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a P
. G
on
alv
es -
DC
ET
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REFERNCIAS
Eisberg, R.; Resnick R. Fsica Quntica. tomos, Molculas, Ncleos e
Partculas. Editora Campus
(1998).
J. Leite Lopes, A Estrutura Quntica da Matria, Editora UFRJ.
Stephen Gasiorowizc, Quantum Physics, 2nd ed., John Wiley &
Sons, New York, 1996.
Francisco Caruso e Vitor Oguri, Fsica Moderna - Origens Clssicas
& Fundamentos Qunticos ,
1a.ed. 2006, editora: Elsevier. Pg. 42 de 42
