Aula Eixos

Universidade Federal de Minas Gerais - Escola de Engenharia

Eixos e Componentes de Eixo

Prof. Alexander Mattioli Pasqual DEMEC sala 3220 E-mail: [email protected]

Graduao em Engenharia Mecnica EMA100 Elementos de Mquinas II

Eixos e Componentes de Eixo Prof. Alexander M. Pasqual

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Introduo


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Eixos e rvores Definio: Elementos rotativos ou estacionrios, geralmente de seo circular, nos quais so montados outros elementos de mquinas, tais como engrenagens, polias, volantes de inrcia, rodas dentadas, mancais, etc. Eixo: possui funo estrutural, submetido essencialmente flexo; rvore: possui funo de transmisso de potncia:

Potncia transmitida: P = T Cargas: flexo (varivel), toro (varivel ou constante) e axial (geralmente constante) fadiga sob carregamento combinado.


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Exemplos de Eixos e rvores rvore rvore de Manivelas

(Virabrequim)

Eixos rotativos que no transmitem potncia (Rodeiros Ferrovirios)


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Dimensionamento de Eixos e rvores O dimensionamento de eixos e rvores deve levar em conta:

Falha sob carregamento esttico (escoamento); Falha sob carregamento varivel (fadiga); Falha por deflexo transversal elstica excessiva; Falha por deflexo torcional elstica excessiva; Falha devido a efeitos dinmicos (velocidades crticas).

Deflexo transversal elstica excessiva.


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Eixo ranhurado

Componentes de eixo para fixao axial e/ou transferncia de torque: Anis de reteno ou elsticos; Espaadores; Colares; Chavetas; Parafusos de fixao; Pinos.

Componentes de Eixo

Outros mtodos de transferncia de torque: Estrias e ranhuras; Ajustes de interferncia; Ajustes cnicos.

Ajuste cnico com chaveta

Anel elstico


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Geometria e Disposio do Eixo


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Geometria Tpica de Eixos

Geometria tpica de eixos: cilindro escalonado, seo circular macia. Ressalto ajuste das peas montadas no eixo, transmisso de cargas axiais. Arredondamento reduo da concentrao de tenses. Chanfro evitar rebarbas.


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Disposio do Eixo Ex.: Redutor vertical de velocidade tipo sem-fim coroa.


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Eixo intermedirio de redutor Eixo de ventilador

Situao

Soluo

Disposio do Eixo

mancais

engrenagens ventilador polia

mancais

mancais de rolamento

espaador

mancais de deslizamento

colares + parafusos de fixao


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Disposio Axial de Componentes no Eixo

Recomendaes: Posicionar componentes de transmisso entre mancais. Exceo: transmisses flexveis para uma maior facilidade de substituio da correia ou corrente; Usar apenas dois mancais por eixo a fim de evitar montagens hiperestticas. Exceo: eixos longos (ateno ao alinhamento dos mancais); Usar eixos curtos para reduzir o momento fletor e a deflexo; Posicionar precisamente os componentes ao longo da dimenso axial do eixo. Pode-se utilizar ressaltos, anis de reteno, espaadores, colares, pinos, parafusos, etc.

Dilatao trmica (eixos longos, principalmente): melhor usar apenas um mancal para transferir a carga axial do eixo caixa a fim de evitar o confinamento do eixo em caso de aumento de temperatura.


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Projeto Preliminar do Eixo por Tenso (Falha Est>ca)


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Exemplo: Falha EstRca por Toro Pura (Caso Ideal) Enunciado: Um motor eltrico, girando a uma velocidade constante, transmite um torque T ao eixo de transmisso atravs de um acoplamento. As engrenagens movimentam uma mquina que demanda torques TB = 0,75.T e TC = 0,25.T, respectivamente. O eixo macio com dimetro D = 60 mm. Sabendo que a tenso cisalhante de escoamento Ssy = 200 MPa, determine o torque T que produz um fator de segurana de n = 1,4.


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Exemplo: Falha EstRca por Toro Pura (Caso Ideal) SOLUO

Hipteses: Atrito nos mancais desprezveis; Cargas transversais desprezveis (peso prprio e foras nas engrenagens).


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Equilbrio: T = TA + TB = 0,25.T + 0,75.T = T (OK) O torque mximo ocorre no trecho AB e igual a T. Obs.: O eixo gira no sentido de T, ou seja, oposto a TB e TC.


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Tenso de cisalhamento na superfcie do eixo no trecho AB: Logo, o torque admissvel

= 163 = 316 = 200 1061,4 0,06316 = , .


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Falha EstRca Sob Carregamento Combinado A maioria dos eixos de transmisso est sujeita no apenas toro, mas tambm a cargas transversais significativas, as quais provocam a flexo do eixo. Deste modo, a situao de carregamento combinado. Para um eixo macio de seo circular, as tenses mximas que ocorrem nas fibras externas de uma determinada seo so dadas por: e Logo, a tenso mxima de cisalhamento e a tenso de Von Mises so dadas por: e

= 323 = 163 max = &(/2)2 + 2 = 163 &2 + 2 = $2 + 32 = 163 $42 + 32


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Falha EstRca Sob Carregamento Combinado Para eixos de material dctil, os critrios de Tresca e Von Mises podem ser utilizados para prever a falha esttica por escoamento. Por Tresca: Por Von Mises: Estas equaes fornecem o dimetro do eixo na seo considerada para um fator de segurana n contra falhas estticas. Note que o critrio de Tresca, por ser mais conservador, conduz a um dimetro maior comparativamente ao critrio de Von Mises.

= 163 ,42 + 32 = = 4 , + @/ max = 2 163 02 + 2 = 2 = 5 0 + @/


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Projeto do Eixo por Tenso (Falha Est>ca e Fadiga)


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Locais CrRcos As tenses devem ser avaliadas apenas nos pontos mais provveis de falha: Usualmente na superfcie externa do eixo devido flexo e toro; Nas sees com momentos fletores elevados; Nas sees com torque no nulo; Nas regies com concentraes de tenso (ressaltos, rasgos de chaveta, etc).

Tenses normais devido a cargas axiais: usualmente constantes e desprezveis comparadas s tenses normais devido flexo.


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Tenses no Eixo Tenses normais devido ao momento fletor M na superfcie do eixo: Componente alternada: Componente mdia:

Tenses de cisalhamento devido ao torque T na superfcie do eixo : Componente alternada: Componente mdia:

Tenses normais devido carga axial F: Componente mdia:

= (/2) = (/2) = 464 =

323 = 323 seo circular macia

= (/2) = (/2) = 432 = 163 = 163

seo circular macia

seo circular macia = ( ) = ( ) 42


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Tenses de Von Mises para Eixos Macios As cargas combinadas produzem um estado plano de tenses. Desprezando as cargas axiais, tem-se: Componente alternada da tenso de Von Mises:

Componente mdia da tenso de Von Mises:

= %2 + 32 = *+ 323 12 + 3 + 163 12 = %2 + 32 = *+ 323 12 + 3 + 163 12


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Fadiga em Eixos de Transmisso Para eixos de transmisso, a componente mdia da tenso de Von Mises nunca nula, logo, um dos quatro critrios de falha por fadiga deve ser utilizado:


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Fadiga em Eixos Macios pelo Critrio de Goodman Falha por fadiga pelo critrio de Goodman modificado (vida infinita): onde n o fator de segurana, Se o limite de fadiga e Sut o limite de resistncia trao. Substituindo as expresses para as tenses de Von Mises na equao acima: Rearranjando esta equao, obtm-se: que fornece o dimetro do eixo na seo crtica para um fator de segurana n.

+ = 1

163 & 1 )4+02 + 3+02 + 1 )4+02 + 3+028 = 1 = #16 ( 1 +4-22 + 3-22 + 1 +4-22 + 3-22;


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Caso ParRcular: Toro Constante e Flexo Alternada

Toro constante Ta = 0 Flexo alternada Mm = 0 Neste caso, as equaes anteriores simplificam-se para e = #16 (2 + 3 891/3

163 &2 + 3 5 = 1


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Fadiga em Eixos Macios pelo Critrio ASME ElpRco Falha por fadiga pelo critrio ASME elptico (vida infinita): onde Sy a tenso de escoamento. Substituindo as expresses para as tenses de von Mises na equao acima: Rearranjando esta equao, obtm-se:

que fornece o dimetro do eixo na seo crtica para um fator de segurana n. Analogamente, outras expresses podem ser obtidas utilizando os critrios de Soderberg e Gerber.

! (2 + ! (2 = 1 163 &4 ( /2 + 3 ( /2 + 44 72 + 34 72 = 1

= #16 (4* 12 + 3 * 12 + 47 :2 + 37 :2;1/3


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Toro constante Ta = 0 Flexo alternada Mm = 0 Neste caso, as equaes anteriores simplificam-se para e

163 &4( /2 + 32 72 = 1 = #16 (4* 12 + 35 :2;

1/3


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Falha EstRca por Escoamento em Eixos Macios Pelo critrio de Von Mises, o fator de segurana (ny) onde Alternativamente, pode-se estimar a tenso mxima de Von Mises fazendo Esta estimativa conservadora, pois conduz a um valor da tenso mxima de Von Mises superior ou igual ao real.

= max max = '( + )2 + 3( + )2 = 12323 ( +)82 + 3 2163 ( + )82

max + = +, 323 42 + 3 , 163 42 + +, 323 42 + 3 , 163 42


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= #16 *4,12 + 3,1281/3

Toro constante Ta = 0 Flexo alternada Mm = 0 Neste caso, a equao anterior simplifica-se para Pelo critrio de Von Mises: Logo, o dimetro para um fator de segurana ny contra falhas estticas

= max max = 163 ,4.32 + 3.32


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Exemplo: Projeto de Eixo de Transmisso por Tenso


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Exemplo Enunciado: Projete um eixo para suportar os elementos mostrados na figura com um fator de segurana mnimo de 2,5. Ele deve transmitir 2 hp a 1725 rpm. A figura mostra um projeto preliminar da configurao do eixo. O torque e a fora na engrenagem no variam no tempo.


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Soluo Etapa 1 Determinar o torque transmitido

in.lbf/s2hp 6600hp

lbf.in2 rad/s1725rpm60 rpm

PT T

= = =

73,1


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Soluo Etapa 2 Determinar as foras na polia

73,1 lbf.in lbf3inn

TFr

= = = 24,36

Correia em V trao em ambos os lados: F1 no lado apertado e F2 no lado folgado. Assume-se que F1 = 5 F2.

Fora associada com o torque motor (Fn):

1 2 24n nF F F F F= =

Fora que flete o eixo (Fs): 1 2 26s sF F F F F= + =

6Logo, 1,5 24,36 lbf4s n

F F= = = 36,54


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Soluo Etapa 3 Determinar a fora no dente da engrenagem

73,1 lbf.in lbf3ingy

TFr

= = = -24,36Componente tangencial (Fgy):

O ngulo de presso da engrenagem 20. Logo, a componente radial

0tan(20 ) lbfgx gyF F= = 8,87


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Soluo Etapa 4 Determinar as reaes de apoio nos mancais

R1y R2y Fgy Fsy

2,0 5,0

6,75 8,0

2

2

5 2 6,75 0

0,4 1,35

0,4 ( 24,36) 1,35 0 lbf

A y gy sy

y gy sy

M R F FR F F

= + + =

=

= =

9,74

1 2

1 2

0

24,36 0 9,74 lbf

y gy sy y

y gy sy y

F R F F RR F F R= + + + =

=

= =

14,61

D.C.L.: plano yz


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Soluo Etapa 4 Determinar as reaes de apoio nos mancais

R1x R2x Fgx Fsx

2,0 5,0

6,75 8,0

2

2

5 2 6,75 0

0,4 1,35

0,4 8,87 1,35 36,54 lbf

A x gx sx

x gx sx

M R F FR F F

= + + =

=

= =

-52,87

1 2

1 2

0

8,87 36,54 52,87 lbf

x gx sx x

x gx sx x

F R F F RR F F R= + + + =

=

= + =

7,47

D.C.L.: plano xz


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Soluo Etapa 5 Obter os diagramas de momento fletor

R1y R2y Fgy

2,0 5,0

8,0

D.C.L.: plano yz

1 14,61x yM R z z= =

R1y

z Mx Vy

Vy R1y R2y Fgy

z Mx

R1y Fgy

z Mx Vy 1 ( 2)

14,61 24,36( 2)x y gyM R z F z

z z= +

=

1 2( 2) ( 5)

14,61 24,36( 2) 9,74( 5)x y gy yM R z F z R z

z z z= + +

= +


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R1x R2x Fgx Fsx

2,0 5,0

6,75 8,0

D.C.L.: plano xz

R1x

z My Vx

Vx R1x R2x Fgx

z My

R1x Fgx

z My Vx

1 7, 47y xM R z z= =

1 ( 2)

7,47 8,87( 2)y x gxM R z F z

z z= +

= +

1 2( 2) ( 5)

7,47 8,87( 2) 52,87( 5)y x gx xM R z F z R z

z z z= + +

= +


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2 2x yM M M= +

MB = 32,8 lbf.in

MC = 64,0 lbf.in

MD = 9,1 lbf.in


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Soluo Etapa 6 Calcular o limite de fadiga

Seleo preliminar do material do eixo: ao de baixo carbono laminado a frio, SAE1020, com Sut = 65 ksi (448 MPa) e Sy = 38 ksi (262 MPa). (Material barato e com baixa sensibilidade ao entalhe, porm no muito resistente).

Clculo do limite de fadiga no-corrigido (ao, Sut < 1400 MPa):

Clculo do limite de fadiga corrigido:

Fator de superfcie: usinado ou laminado a frio a = 4,51 e b = -0,265 Fator de tamanho: Tamanho ainda no determinado kb = 1 (ajusta-se depois) Fator de carregamento: Carregamento combinado kc = 1 Temperatura no elevada kd = 1 Confiabilidade de 99% ke = 0,814 Fator de efeitos diversos: kf = 1

= = 0,89 1 1 1 0,814 1 32500 = = 0,5 = 0,5 65000 = 32500 psi = = 4,51 4480,265 = 0,89


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Soluo Etapa 7 Determinar a sensibilidade ao entalhe (q)

Assumiremos um raio de entalhe r = 0,01 in. Flexo: Sut = 65 ksi q 0,5 (Fig. 6-20, Budynas e Nisbett, 8 ed.). Toro: Aos recozidos qs 0,6 (Fig. 6-21, Budynas e Nisbett, 8 ed.).


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Soluo Etapa 8 Determinar os fatores de concentrao de tenso em fadiga majorados (Kf)

1 ( 1)f tK q K= + onde Kt o fator de concentrao de tenso geomtrico.

Hipteses: Kt = 2,7 para os ressaltos em flexo; Kts = 2,2 para os ressaltos em toro; Kt = 2,14 para chavetas em flexo e Kts = 3,0 para chavetas em toro. (Ver Tab. 7-1, Budynas e Nisbett, 8 ed.) Para a flexo em z = 5 e z = 6,5 in: Kf = 1 + q (Kt - 1) = 1 + 0,5(2,7 - 1) = 1,85

Para a toro em z = 5 e z = 6,5 in: Kfs = 1 + qs (Kts - 1) = 1 + 0,6(2,2 - 1) = 1,72

Para a flexo em z = 2 in: Kf = 1 + q (Kt - 1) = 1 + 0,5(2,14 - 1) = 1,57 Para a toro em z = 2 in: Kfs = 1 + qs (Kts - 1) = 1 + 0,6(3,0 - 1) = 2,2


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Soluo Etapa 9 Calcular os dimetros mnimos do eixo (d)

= #16 (4* 12 + 35 :2;1/3

Utilizando o critrio ASME elptico:

1 = $16 2,5 +4-1,57 32,823545 12 + 3 -2,2 73,138000 12413 = ,

2 = $16 2,5 +4-1,85 6423545 02 + 3 -1,72 73,138000 02413 = ,

3 = $16 2,5 ,4.1,85 9,123545 12 + 3 .1,72 73,138000 12513 = ,


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Falha por escoamento (critrio de Von Mises): = #16 *4,12 + 3,1281/3 1 = $16 2,538000 .4(1,57 32,8)2 + 3(2,2 73,1)2413 = , 2 = $16 2,538000 .4(1,85 64)2 + 3(1,72 73,1)2413 = , 3 = $16 2,538000 .4(1,85 9,1)2 + 3(1,72 73,1)2513 = ,


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Dimetro mnimo Falha por fadiga (ASME elptico) Falha esttica (Von Mises)

d1 0,477 in 0,463 in d2 0,528 in 0,476 in d3 0,422 in 0,420 in

Como 0,477 in > 0,463 in, 0,528 in > 0,476 in e 0,422 in > 0,420 in, o modo de falha predominante em todas as sees consideradas fadiga.


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Soluo Etapa 10 Determinar dimetros razoveis para o eixo

Dimetro padronizado do mancal de esferas: 0,591 in. d2 = 0,591 in (> 0,528 in)

Escolhemos d3 = 0,50 in (> 0,422 in), d1 = 0,625 in (> 0,477 in) e d0 = 0,75 in


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Soluo Etapa 11 Calcular os fatores de segurana a partir dos dimetros finais selecionados

Recalcular o limite de fadiga Se (etapa 6) considerando o kb; Recalcular Kf e Kfs (etapa 8) a partir dos Kt correspondentes s dimenses finais do eixo;

Obter os novos fatores de segurana nos pontos z = 2, z = 5 e z = 6,5 in atravs da equao:

= 316 (4 * 12 + 34 92:1/2


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Chavetas


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Chavetas Definio: A chaveta uma parte de maquinaria desmontvel que, quando colocada em assentos, representa um meio positivo de transmitir torque entre o eixo e o cubo (ASME). As chavetas so fabricadas em formas e tamanhos padronizados, tipicamente em ao de baixo carbono laminado a frio.

Componentes chavetados geralmente tm um ajuste deslizante facilidade de montagem e desmontagem.


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Tipos de Chavetas

As chavetas se classificam em: Chavetas paralelas; Chavetas de disco ou meia-lua (Woodruff); Chavetas afuniladas, cnicas ou de cunha.


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So as mais usadas; Seo transversal quadrada ou retangular; Largura, altura e profundidade do rasgo padronizados em funo do dimetro do eixo;

Cantos arredondados ou no, podendo haver parafusos para fixar a chaveta ao eixo.

Chavetas Paralelas


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Chavetas Paralelas Chavetas quadradas e retangulares Dimenses padronizadas Unidade: polegadas w: largura h: altura


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Apresenta forma semi-circular e dimenses padronizadas; Usadas em eixos menores, nas proximidades de ressaltos (menor concentrao de tenso), em eixos cnicos (facilidade de montagem) e para altas rotaes (melhor concentricidade);

Comprimento relativamente pequeno menor capacidade de transmitir torque.

Chavetas de Disco ou Meia-Lua (Woodru)

Ajuste cnico com chaveta


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Chavetas de Disco ou Meia-Lua (Woodru) Chavetas Woodruff Dimenses padronizadas Unidade: polegadas


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Chavetas Afuniladas, Cnicas ou de Cunha O afunilamento e o tamanho da cabea so padronizados; O afunilamento previne o movimento axial da chaveta; A cabea opcional e facilita a remoo da chaveta; Tendem a criar uma excentricidade entre o eixo e o cubo.


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Tenses e Falhas em Chavetas Chavetas podem falhar por: Escoamento por cisalhamento:

onde l o comprimento da chaveta. Escoamento por esmagamento:

onde Aesm a rea de esmagamento. Para chavetas quadradas, Aesm = l.t/2 Fadiga em cisalhamento caso o torque T seja varivel no tempo.

= = =

= esm esm =


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O dimetro do eixo determina a largura e a altura da chaveta (padronizao); As tenses admissveis determinam o comprimento da chaveta; Se uma nica chaveta no for capaz de transmitir o torque, pode-se usar chavetas adicionais, geralmente orientadas a 90;

Evitam-se fatores de segurana excessivos no dimensionamento de chavetas, pois, geralmente, estas atuam como fusveis mecnicos, minimizando danos a elementos importantes devido a sobrecargas.

Projeto de Chavetas

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