O caso crticoO caso super crticoO caso sub-critico

4. (Poli 2006) O Grfico de x(t), mostrado na figura abaixo, representa a equao horria de um oscilador criticamente amortecido, para um sistema composto de um corpo de massa m = 1, 0 Kg preso a uma mola de constante elstica k e imerso em um lquido viscoso, de coeficiente de resistncia viscosa.

(a) Em que instante de tempo a velocidade do corpo ser nula, no intervalode tempo mostrado no grfico?

V = 0A velocidade zero quando atangente da curva for zero.Isso corresponde em t = 3 st = 3s

(b) A equao horria x(t) pode ser escrita como:

x(t) = e/2t(a + bt)

Podemos derivar x(t) duas vezes e montar a equao diferencial.

E em seguida mostramos que a identidade vale:

Determine os valores de a e b.

(c) Determine a constante de decaimento e a constante elstica k da mola.

(d) Determine o valor da velocidade inicial do oscilador.

R: (a) t=3s; (b) a = 0, 5 m e b = 0, 5 m/s; (c) = 1 s1; (d) v0 = 0.75 m/s.

Oscilaes livres com amortecimento viscoso proporcional a velocidade.Freqncia angular com dissipao viscosa. o atrito viscoso.

Vamos testar uma soluo com a funo:As suas respectivas derivadas so:Que, substitudas na equao resulta:Item b: Soluo da Equao do Movimento com Atrito Viscosoa soluo para x ser:

A soluo fica na forma:Mas!ento o termo da raiz complexo!Escrevendo a raiz na forma:Uma soluo parcial ser:Observe que temos duas solues possveis!e fazendo:

A soluo final tem a forma:O termo de atrito viscoso :Usando-se a relao de Euler:A freqncia angular desta oscilao ser:A oscilao esta em estado crtico quando: Tambm chamado caso degenerado:

A outra soluo procurar a forma : e repetindo o

processo anterior de derivao sucessiva.

Concluiremos que a segunda soluo :

E assim a soluo geral do caso degenerado ser:Uma equao dif. de seg. grau tem 2 solues que no caso degenerado j sabemos uma. Como ser a forma da segunda soluo?

Item b:Para t = 0 temos x = 0.5t = 0x = 0Para t = 1s temos x = 0

Item c:Se v(3) = 0EXTRAIR O VALOR DE GAMA e o k da mola : A VELOCIDADE SER:

A equao de dAlembertA soluo da equao de dAlembert tem a forma y(x,t) = f(xvt)onde o sinal () significa que a propagao ser progressiva () e(+) regressiva () e v a velocidade de propagao da onda.A busca da sua soluo implica em se impor condies de contorno. A soluo y(x,t) = f(xvt)pode ser simples ou muitocomplexa!

20. (Poli 2006) Uma corda uniforme, de comprimento 20 m e massa 2 Kg, est esticada sob uma tenso de 10 N.

Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude 3 cm e frequencia de 5 oscilaes por segundo. O deslocamento inicial da extremidade de 1,5 cm para cima.(a) Ache a velocidade de propagao v e o comprimento de onda da ondatransversal progressiva que produzida na corda.

(b) Escreva, como funo do tempo, o deslocamento transversal y de umponto da corda situado a uma distncia x da extremidade que se faz oscilar, aps ser atingido pela onda e antes que ela chegue outra extremidade.

(c) Calcule a intensidade I da onda progressiva gerada.

Se a massa 2Kg e o comprimento 20m a densidade linear da corda :A velocidade dada por:O comprimento de onda dado por:Onde :

Uma soluo geral da equao de dAlembert :A amplitude A 3cm 0,03m e a fase se obtm impondo y(0,0) = 0,015m(f = p/3)3cm2m

A potncia mdia :

18. Determine a amplitude da onda resultante da combinao de duas ondas senoidais que se propagam no mesmo sentido, possuem mesma frequncia, tm amplitudes de 3, 0 cm e 4, 0 cm e diferena de fase de /2 rad

R: y(x, t) = 0, 05 sen(kx t + 0, 64)A 1 = 3 sen(kx t + /2)A 2 = 4 sen(kx t)

A 1 = 3 sen(kx t + /2)A 2 = 4 sen(kx t)

25. Duas ondas transversais de mesma frequncia = 100 s1 so produzidas num fio de ao de 1 mm de dimetro e densidade 8 g/cm3, submetido a umatenso T = 500 N. As ondas so dadas por

y1 = A cos (kx t + /6) y2 = 2Asen(t kx)

onde A = 2 mm.(a) Escreva a expresso da onda harmnica progressiva resultanteda superposio dessas duas ondas.

(b) Calcule a intensidade da resultante.

(c) Se fizermos variar a diferena de fase entre as duas ondas, qual a razoentre os valores mximo e mnimo possveis da intensidade da resultante?

R: (a) y = 5, 29 103 cos(2, 23x 628t +1, 24).

(b) 9, 8 W.

(c) IMAX IMIN = 9.

Duas oscilaes(TONNNNN e TOoNNNNN) com pequena diferenanas suas freqncias quando somadas, produzem o fenmeno do: BATIMENTO!!! - TOINHoIINHIINHoIINHoIIII....!TOINHoIIIIINHOIIIIIIINHOIIII...!TONNN.iiii.... Toonnnnnn.iii.....

24. Uma corda, submetida a uma tenso de 200 N e presa em ambas as extremidades, oscila no segundo harmnico de uma onda estacionria.O deslocamento da corda dado por:

y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t) onde x = 0 numa das extremidades da corda, x dado em metros e t em segundos.

(a) Qual o comprimento da corda? y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)

(b) Qual a velocidade escalar das ondas na corda? y = (0, 10) sen(x/ 2) sen(12 t)

(c) Qual a massa da corda? y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)

(d) Se a corda oscilar num padro de onda referente ao terceiro harmnico,qual ser o perodo de oscilao? y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)

R: (a) L = 4 m, (b) v = 24 m/s, (c) = 0, 347 kg/m e (d) T = 0, 11 s

y = (0, 10)sen(x/2)sen(12t)

Ondas estacionrias numa corda segundo harmnico.

y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)Qual o valor de L ?l

Qual o valor de v ?ly = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)

Qual o valor de m?y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)

T3 = ?y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t) Terceiro harmnico

Ondas estacionrias numa corda terceiro harmnico.

A velocidade do som e a temperatura do gs(caso gs ideal).

= Cp/Cv processo diabtico

Variao da velocidade do som com a temperaturaA velocidade do som em um gs no constante, e sim que depende da temperatura.

Da equao de um gs idealpV=nRTou ento,

A frmula da velocidade do som expressa em funo da temperaturatdo gs em graus centgrados.Para obter esta expresso aproximada, tomamos os dois primeiros termos do desenvolvimento de (1+t/T0)1/2do binmio de Newton

Sabendo queT0=273.15 K,=1.4,R=8.314 J/(Kmol) eM=28.9510-3kg/mol, temos que

vs331.4+0.61t onde 331.4 m/s a velocidade do som no ar a 0C.

Doppler EffectA Doppler effect is experienced whenever there is relative motion between a source of waves and an observer.When the source and the observer are moving toward each other, the observer hears a higher frequencyWhen the source and the observer are moving away from each other, the observer hears a lower frequencyAlthough the Doppler Effect is commonly experienced with sound waves, it is a phenomena common to all waves

Doppler Effect, Moving Observer IAn observer moves toward a stationary source.Due to this movement, the observer detects an additional number of wave fronts per unit time The frequency heard is increasedUse positive V0 if the observer is moving toward the source.f = v /l

Fig 14.8, p. 435Slide 12

Doppler Effect, Moving Observer IIAn observer moves away from a stationary source.The observer detects fewer wave fronts per second.The frequency appears lower.Use negative V0 if the observer is moving away from the source.

Fig 14.9, p. 436Slide 13

Doppler Effect, Source in MotionAs the source moves toward the observer (A), the wave-length l appears shorter.Use vs when the source moves toward the observer; and +vs when the source moves away from the observerBecause the frequency is inversely proportional to the wavelength, f varies in the opposite way as l:As the source moves away from the observer (B), the wave-length l appears longer.f = v /l

Doppler Effect: both observer and source movingBoth the source and the observer could be moving

Use positive values of vo and vs if the motion is towardFrequency appears higherUse negative values of vo and vs if the motion is awayFrequency appears lower

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