Análise de Algoritmos

Notação Assintótica

Letícia Rodrigues Bueno

Análise de Algoritmos

Notação Assintótica

• Para valores suficientemente pequenos de n, qualqueralgoritmo custa pouco para ser executado, mesmo osalgoritmos ineficientes;

Análise de Algoritmos

Notação Assintótica

• Para valores suficientemente pequenos de n, qualqueralgoritmo custa pouco para ser executado, mesmo osalgoritmos ineficientes;

• A análise de algoritmos é realizada para valores grandesde n considerando-se o comportamento assintótico dasfunções de custo;

Análise de Algoritmos

Notação Assintótica

• Para valores suficientemente pequenos de n, qualqueralgoritmo custa pouco para ser executado, mesmo osalgoritmos ineficientes;

• A análise de algoritmos é realizada para valores grandesde n considerando-se o comportamento assintótico dasfunções de custo;

• O comportamento assintótico de f (n) representa o limitedo comportamento do custo quando n cresce.

Análise de Algoritmos

Notação Assintótica: Notação O

• Uma função f (n) é O(g(n)), notação f (n) = O(g(n)), seexistem duas constantes positivas c e m tais quef (n) ≤ c.g(n), para todo n ≥ m;

Análise de Algoritmos

Notação Assintótica: Notação O

• Uma função f (n) é O(g(n)), notação f (n) = O(g(n)), seexistem duas constantes positivas c e m tais quef (n) ≤ c.g(n), para todo n ≥ m;

• f (n) = O(g(n)): g(n) é limite superior para f (n);

Análise de Algoritmos

Notação Assintótica: Notação O

• Uma função f (n) é O(g(n)), notação f (n) = O(g(n)), seexistem duas constantes positivas c e m tais quef (n) ≤ c.g(n), para todo n ≥ m;

• f (n) = O(g(n)): g(n) é limite superior para f (n);

n

f, g

f(n)

c.g(n)

m

Análise de Algoritmos

Notação Assintótica: Notação O

• Uma função f (n) é O(g(n)), notação f (n) = O(g(n)), seexistem duas constantes positivas c e m tais quef (n) ≤ c.g(n), para todo n ≥ m;

• f (n) = O(g(n)): g(n) é limite superior para f (n);

n

f, g

f(n)

c.g(n)

m

Análise de Algoritmos

Notação Assintótica: Notação O

• Uma função f (n) é O(g(n)), notação f (n) = O(g(n)), seexistem duas constantes positivas c e m tais quef (n) ≤ c.g(n), para todo n ≥ m;

• f (n) = O(g(n)): g(n) é limite superior para f (n);

n

f, g

f(n)

c.g(n)

m

Análise de Algoritmos

Notação Assintótica: Notação Ω

• Uma função g(n) é Ω(f (n)), notação g(n) = Ω(f (n)), seexistem duas constantes positivas c e m tais queg(n) ≥ c.f (n), para todo n ≥ m;

Análise de Algoritmos

Notação Assintótica: Notação Ω

• Uma função g(n) é Ω(f (n)), notação g(n) = Ω(f (n)), seexistem duas constantes positivas c e m tais queg(n) ≥ c.f (n), para todo n ≥ m;

• g(n) = Ω(f (n)): f (n) é limite inferior para g(n) (tempomínimo do algoritmo);

Análise de Algoritmos

Notação Assintótica: Notação Ω

• Uma função g(n) é Ω(f (n)), notação g(n) = Ω(f (n)), seexistem duas constantes positivas c e m tais queg(n) ≥ c.f (n), para todo n ≥ m;

• g(n) = Ω(f (n)): f (n) é limite inferior para g(n) (tempomínimo do algoritmo);

n

f, g

c.f(n)

g(n)

m

Análise de Algoritmos

Notação Assintótica: Notação Ω

• Uma função g(n) é Ω(f (n)), notação g(n) = Ω(f (n)), seexistem duas constantes positivas c e m tais queg(n) ≥ c.f (n), para todo n ≥ m;

• g(n) = Ω(f (n)): f (n) é limite inferior para g(n) (tempomínimo do algoritmo);

n

f, g

c.f(n)

g(n)

m

Análise de Algoritmos

Notação Assintótica: Notação Ω

• Uma função g(n) é Ω(f (n)), notação g(n) = Ω(f (n)), seexistem duas constantes positivas c e m tais queg(n) ≥ c.f (n), para todo n ≥ m;

• g(n) = Ω(f (n)): f (n) é limite inferior para g(n) (tempomínimo do algoritmo);

n

f, g

c.f(n)

g(n)

m

Análise de Algoritmos

Notação Assintótica: Notação Θ

• Uma função g(n) é Θ(f (n)), notação g(n) = Θ(f (n)), seexistem duas constantes positivas c1, c2 e m tais que0 ≤ c1.f (n) ≤ g(n) ≤ c2.f (n), para todo n ≥ m;

Análise de Algoritmos

Notação Assintótica: Notação Θ

• Uma função g(n) é Θ(f (n)), notação g(n) = Θ(f (n)), seexistem duas constantes positivas c1, c2 e m tais que0 ≤ c1.f (n) ≤ g(n) ≤ c2.f (n), para todo n ≥ m;

• g(n) = Θ(f (n)): f (n) é limite restrito para g(n) ou limiteassintótico firme;

Análise de Algoritmos

Notação Assintótica: Notação Θ

• Uma função g(n) é Θ(f (n)), notação g(n) = Θ(f (n)), seexistem duas constantes positivas c1, c2 e m tais que0 ≤ c1.f (n) ≤ g(n) ≤ c2.f (n), para todo n ≥ m;

• g(n) = Θ(f (n)): f (n) é limite restrito para g(n) ou limiteassintótico firme;

n

f, g

c1.f(n)

g(n)

m

c2.f(n)

Análise de Algoritmos

Notação Assintótica: Notação Θ

• Uma função g(n) é Θ(f (n)), notação g(n) = Θ(f (n)), seexistem duas constantes positivas c1, c2 e m tais que0 ≤ c1.f (n) ≤ g(n) ≤ c2.f (n), para todo n ≥ m;

• g(n) = Θ(f (n)): f (n) é limite restrito para g(n) ou limiteassintótico firme;

n

f, g

c1.f(n)

g(n)

m

c2.f(n)

Análise de Algoritmos

Notação Assintótica: Notação Θ

• Uma função g(n) é Θ(f (n)), notação g(n) = Θ(f (n)), seexistem duas constantes positivas c1, c2 e m tais que0 ≤ c1.f (n) ≤ g(n) ≤ c2.f (n), para todo n ≥ m;

• g(n) = Θ(f (n)): f (n) é limite restrito para g(n) ou limiteassintótico firme;

n

f, g

c1.f(n)

g(n)

m

c2.f(n)

Análise de Algoritmos

Notação Assintótica: Notações o e ω

• Uma função g(n) é o(f (n)), notação g(n) = o(f (n)), se,para qualquer constante c > 0, temos 0 ≤ g(n) < c.f (n),para todo n ≥ m;

Análise de Algoritmos

Notação Assintótica: Notações o e ω

• Uma função g(n) é o(f (n)), notação g(n) = o(f (n)), se,para qualquer constante c > 0, temos 0 ≤ g(n) < c.f (n),para todo n ≥ m;

• Uma função g(n) é ω(f (n)), notação g(n) = ω(f (n)), se,para qualquer constante c > 0, temos 0 ≤ c.f (n) < g(n),para todo n ≥ m;

Análise de Algoritmos

Notação Assintótica: Notações o e ω

• Uma função g(n) é o(f (n)), notação g(n) = o(f (n)), se,para qualquer constante c > 0, temos 0 ≤ g(n) < c.f (n),para todo n ≥ m;

• Uma função g(n) é ω(f (n)), notação g(n) = ω(f (n)), se,para qualquer constante c > 0, temos 0 ≤ c.f (n) < g(n),para todo n ≥ m;

Análise de Algoritmos

Comparação de Funções

Muitas das propriedades relacionais de números reais tambémse aplicam a comparações assintóticas. No caso daspropriedades abaixo, suponha f (n) e g(n) assintoticamentepositivas.

1. Transitividade (válido também para O, Ω, o e ω):f (n) = Θ(g(n)) e g(n) = Θ(h(n)) então f (n) = Θ(h(n)).

2. Reflexividade (válido também para O e Ω):f (n) = Θ(f (n))

3. Simetria:f (n) = Θ(g(n)) se e somente se g(n) = Θ(f (n))

4. Simetria de transposição:f (n) = O(g(n)) se e somente se g(n) = Ω(f (n))f (n) = o(g(n)) se e somente se g(n) = ω(f (n))

Análise de Algoritmos

Regras de Simplificação

1. Se f1(n) = O(g1(n)) e f2(n) = O(g2(n)), então f1(n) + f2(n)está em O(max(g1(n),g2(n))).

2. Se f1(n) = O(g1(n)) e f2(n) = O(g2(n)), então f1(n)f2(n)está em O(g1(n)g2(n)).

Análise de Algoritmos

Bibliografia

CORMEN, T. H.; LEISERSON, C. E.; RIVEST, R. L. e STEIN, C.Introduction to Algorithms, 3a edição, MIT Press, 2009.

SZWARCFITER, J. L. e MARKENZON, L. Estruturas de Dados eseus Algoritmos, LTC, 1994.

ZIVIANI, N. Projeto de Algoritmos: com implementações em Pascal eC, 2a edição, Cengage Learning, 2009.