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CALCULANDO LIMITES

Nesta aula discutiremos técnicas algébricas para calcular limites de muitas funções. Esses resultados serão baseados no desenvolvimento informal do conceito de limites discutido na seção precedente. Alguns limites básicos. Nossa estratégia para encontrar algebricamente os limites tem duas partes: Primeiro, estabelecemos os limites de algumas funções simples. Então, desenvolvemos um repertório de teoremas que nos capacitarão a usar esses limites como “blocos de construção” para encontrar limites de funções mais complicadas. Propriedades dos Limites 1ª) O limite da soma é a soma dos limites. [ ] 1 2lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

x a x a x af x g x f x g x L L

→ → →+ = + = +

O limite da diferença é a diferença dos limites. [ ] 1 2lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

x a x a x af x g x f x g x L L

→ → →− = − = −

Exemplo: a) [ ]

1 1 1lim ² 3 lim ² lim3 1 3 4x x x

x x x x→ → →

+ = + = + =

b) [ ]1 1 1

lim ² 3 lim ² lim3 1 3 2x x x

x x x x→ → →

− = − = − = −

2ª) O limite do produto é o produto dos limites. [ ] 1 2lim ( ) . ( ) lim ( ) . lim ( ) .

x a x a x af x g x f x g x L L

→ → →= =

Exemplo: a) [ ]lim 3 ³ . cos lim 3 ³ . lim cos 3 ³ . cos 3 ³ . ( 1 ) 3 ³

x x xx x x x

π π ππ π π π

→ → →= = = − = −

3ª) O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero.

1

2

lim ( )( )lim

( ) lim ( )x a

x ax a

f x Lf x

g x g x L→

→→

= =

Exemplo:

a) 0

00

limcoscos cos 0 1lim 1

² 1 lim ² 1 0² 1 1x

xx

xx

x x→

→→

= = = =+ + +

4ª) O limite de uma função exponencial.

( )lim ( ) lim ( ) , *n

n

x a x af x f x n

→ →= ∈ℕ

Exemplo:

a) ( ) ( )2 22

1 1lim ( ² 3) lim ( ² 1) 1 3 16x x

x x→ →

+ = + = + =

2

5ª) O limite da raiz enésima é a raiz enésima do limite. lim ( ) lim ( ) , * ( ) 0. ( ( ) 0, )n n

x a x af x f x n e f x Se f x n é ímpar

→ →= ∈ > ≤ℕ

Exemplo: a)

2 2lim ³ ² 1 lim ³ ² 1 2³ 2² 1 11x x

x x x x→ →

+ − = + − = + − =

6ª) O limite da função seno.

( ) ( )lim ( ) lim ( )x a x a

sen f x sen f x→ →

=

Exemplo:

( ) ( )1 1

lim ² 3 lim ² 3 4x x

sen x x sen x x→ →

+ = + =

Algumas fórmulas de fatoração: ( ))(()22 bababa −+=−

222 )(2 bababa −=+−

222 )(2 bababa +=++

))((2 21

22 xxxxababax −−=++ ; 1x e 2x são raízes da equação ax² + bx + c = 0 ( 3 3 2 2) ( )( )a b a b a ab b+ = + − +

3 3 2 2( ) ( )( )a b a b a ab b− = − + +

3

EXERCÍCIOS 1) Calcule os limites:

1) )²(lim21

xxx

+→

2)

+→ x

xxx

²lim

0 3)

+−

−→ 5

25²lim

5 x

xx

4)

−→ x

xxx 2

4²lim

0 5)

−−

→ 7

49²lim

7 x

xx

6)

−+−

→ 2

107²lim

2 x

xxx

7)

−+−

→ 1

12²lim

1 x

xxx

8)

++−

→ ²2²

²²lim

0 aaxx

axx

9)

++

−→ 5

5²lim

5 x

xxx

10)

−−+

→ 2

145²lim

2 x

xxx

11)

2

7

49lim

7x

x

x→

− =+

12) 25

5lim

25x

x

x→

− =−

13)

2

5

10 25lim

5x

x x

x→

− + =−

14)

2

0

8limx

x x

x→

+ = 15)

2

20lim

3x

x x

x x→

+ =−

16)

3

5

125lim

5x

x

x→

− =−

17)

3

3

27lim

3x

x

x→

− =−

18) 21

1lim

3 2x

x

x x→

− =− +

19)

2

3

4 3lim

3x

x x

x→

− + =−

20)

2

2

4lim

2x

x

x→

− =−

21)

2

3

9lim

3x

x

x→

− =−