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Derivadas de varias variáveis
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Calculo 2 Introduo ao Estudo de Derivadas no R
Apresentador:
b
a
Taxa de Variao Mdia (TVM).
Considerando uma funo de duas variveis f(x,y).
Medio do conforto trmico.
Temperatura (x) e umidade (y).
),(),( 0000 yxfyxxff
x
yxfyxxf
x
f
),(),( 0000
Incremento de temperatura.
Taxa de variao mdia.
Considerando a Umidade Constante.
Taxa de Variao Mdia
x
yxfyxxf
x
f
),(),( 0000
y
yxfyyxf
y
f
),(),( 0000
Dependem do x, y e das condies iniciais.
Derivadas Parciais no R
x
yxfyxxf
x
fxx
),(),(limlim 0000
00
y
yxfyyxf
y
fyy
),(),(limlim 0000
00
),(),( 0000 yxfouyxx
fx
),(),( 0000 yxfouyxy
fy
Se as variaes de x e y aproximarem-se de 0 (zero) ento,tem-se a derivada parcial de f no ponto (x0,y0), em relaoa x. E indicam-se estas por:
xfx
f
yf
y
f
eOnde,
Interpretao Geomtrica
Derivadas Parciais no R
x
zyxfzyxxf
x
fxx
),,(),,(limlim 000000
00
y
zyxfzyyxf
y
fyy
),,(),,(limlim 000000
00
),,(),,( 000000 zyxfouzyxx
fx
),,(),,( 000000 zyxfouzyxy
fy
z
zzyxfzzyxf
z
fzz
),,(),,(limlim 000000
00
),,(),,( 000000 zyxfouzyxz
fz
Interpretao Geomtrica
Plano Tangente
Exemplos
Exemplo1:
Seja f(x,y)=2x+3y. Calcule f (2,3) e f (2,3).
Exemplo 2: f(x,y)=(x2+y2)sen x. Calcule f e f .
x y
x y
Exemplo 3: f(x,y,z)=sen (3x+2yz). Calcule f , f e f.x y z
Exemplo
Seja z = x y.
a)Calcule a diferencial.
b)Utilizando a diferencial, calcule um valor
aproximado para z em z, quando se passa x=1 e y=2 para x=1,02 e y=2,01.
c) Calcule o erro cometido.