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Última atualização: 15/08/2011

O conceito de Limite é o pilar do Cálculo Diferencial e Integral desenvolvido por Isaac Newton(1642-1727)

e Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716).

ÁREA 1 - FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA Cursos de Engenharia Disciplina: Cálculo Instrumental Professor(a): _______________________________ Data: ___ / ___ / ______ Aluno(a): _______________________________________________________

1ª Lista de Exercícios

x

y

0x

1sen.xlim

0x

Cálculo Instrumental – Limites

______________________________________________________________________________________

2

Questão 1. Considere a função xff abaixo definida no domínio

2,

2.

Analisando o gráfico de f , responda, justificando:

(a) xflim0x

(f) xflim

x

(k) xflim

2

3x

(p) xflimx

(u) f é contínua em

0xo ?

(b) xflim

2x

(g) xflimx

(l) xflimx

(q) f (v) f é contínua em

ox ?

(c) xflim

2x

(h) xflim

2x

(m) xflimx

(r) 0f (w) f é contínua em

23xo ?

(d) xflim

2x

(i) xflim

2

3x

(n) xflimx

(s) f (x) f é contínua em

ox ?

(e) xflimx

(j) xflim

2

3x

(o) xflimx

(t) 23f (y) xflim

2x

Questão 2. Esboce o gráfico das funções abaixo e determine xflimax

, xflimax

e, caso exista, xflimax

:

Obs.: Use o Winplot para visualizar os gráficos.

(a) )2a(

1x,3x

1x2,x

2x,12x4

xf

2

2

(b) )1a(

1x,x2

1x,1x

1x0,x1

0x,2

xf2

x

(c)

)0a(0x,x1

0x,21xf

x

(d) )a(2x,xcos

x0,senxxf


______________________________________________________________________________________

3

Questão 3. Considere as funções do exercício 2. Verifique se f é contínua em ax . Justifique a sua resposta.

Questão 4. Determine, se possível, as constantes ba e de modo que f seja contínua em ox , sendo:

(a) 1x1x,2x

1x,2ax3xf o

2

(b) 1x

1x,b

1x,2bxxf o2

2

(c) 3x

3x,1x

3x,ax

3x,3x3

xf o

2

(d)

0x

0x,x2b

0x,a3x7

0x,1xcos.a2

xf o

2

Questão 5. Calcule os seguintes limites (do tipo 0/0 envolvendo fatorações):

(a) x2x

4x lim

2

2

2x

(b)

4x4x3

8x2 lim

2

2

2x

(c)

2

31

2 1

1x

x xlim

x

(d) 27x

3x4xlim

3

2

3x

(e)

2x

24x3loglim

3

62x (f)

2

22

4

3 4 4x

xlim

x x

(g) 1

2x2x.8xsenlim

3

(h)

1316 8

2

2x x

xlim 2

(i)

3

25

2 250

6 5x

xlim

x x

Questão 6. Calcule os seguintes limites (do tipo 0/0 envolvendo conjugado de radicais):

(a) 1x

1xlim

1x

(b)

x3

x11xlim

0x

(c)

x2x

x1lim

2

1x

(d) 1x

32xlim

31x

(e)

4

3 5

1 5x

xlim

x

(f)

4x

2xlim

4x

(g) 4

3 5

2x

x xlim

x

(h)

32x2

4xlim

16x

Questão 7. Calcule os seguintes limites (do tipo k/0, onde k é constante e k 0):

(a) 24x 4x

5xlim

(b)

xsen.x

xcoslim

0x

(c)

2

2

5x 5x

3x2lim

(d) 4x5x

5xlim

21x

(e)

3x

11x3lim

3x

(f)

32x )2x(

x3lim


______________________________________________________________________________________

4

Questão 8. Calcule os limites a seguir (do tipo ):

(a) 23

2

x x9x18

25x4x2lim

(b)

x24x31x

5x23xxlim

x

(c) 1x

4x3x2lim

4

2

x

(d) 1

x23.1x

x2lim

(e) x2x4

1xx3lim

3

5

x

(f) 123 1x.x

xlim

1

(g) 2n n

n321lim

(***) (h)

3

2222

n n

n321lim

(***)

(***)Sugestão:

A soma dos n primeiros números naturais é conhecida pela fórmula 21nn .

A soma dos quadrados dos n primeiros números naturais é conhecida pela fórmula 61n21nn .

Questão 9. Calcule os limites a seguir (do tipo ):

(a) 36xlim x x

(b 2xlim x x

(c) 22

xlim x x

(d) 42

xlim x x x

Aplicações Questão 10. O departamento de capacitação de novos funcionários da empresa C&V Confecções estima-se que um

novo funcionário com pouca experiência na confecção da sua linha de produção produzirá 9

t

e1030)t(Q

novas

unidades em t dias após receber treinamento. Pergunta-se

(a) Qual a produção do funcionário quando terminar o treinamento? (b) O que acontece com o nível de produção a longo prazo ? Questão 11. Uma determinada notícia numa cidade foi propagada de tal maneira que o número de pessoas que

tomaram conhecimento é dado port5,0e241

600)t(N

, onde t representa o número de dias após ocorrer a notícia.

Pergunta-se (a) Quantas pessoas souberam a notícia de imediato?

(b) Determine )t(Nlimt

e explique o seu resultado.

Questão 12. A arrecadação mundial total pela exibição de um filme de grande sucesso de bilheteira é aproximado pela

função4x

x120)x(A

2

2

, onde )x(T é medido em milhões de dólares e x é o número de meses do filme em cartaz.

Pergunta-se: (a) Qual é a arrecadação de bilheteria após o primeiro e o segundo mês? (b) Qual será a arrecadação do filme ao longo do prazo?


______________________________________________________________________________________

5

.axse,

x

1

ax0se,0

)x(E

2

Questão 13. Se uma esfera oca de raio cm2a é carregada com unidade de eletricidade estática, a intensidade de

campo elétrico E no ponto P depende da distância x do centro da esfera até P pela seguinte lei:

Estude a continuidade do campo na superfície da esfera.


______________________________________________________________________________________

6

Questão 1. (a) 2 (f) 2 (k) 3 (p) (u) não, pois (a) (r) (b) (g) não existe (l) 2 (q) 1 (v) não, pois (n) (q)

(c) (h) (m) 2 (r) 1 (w) sim, pois (k) = (t)

(d) não existe (i) 3 (n) 2 (s) 2 (x) não por (g) (e) 3 (j) 3 (o) 1 (t) 3 (y)

Questão 2. (a)

4x flimx flimx flim2x2x2x

(b)

x

y

,0xflimxflimxflim1x1x1x

(c)

x

y

1xflim,xflim0x0x

, não existe xflim

0x

(d)

x

y

1xflim,0xflimxx

, não existe xflim

x

Questão 3.

(a) É contínua em -2 pois 42fxflim2x

. (b) Não é contínua em 1x pois 1fxflim1x

.

(c) Não é contínua em 0x pois não existe

xflim0x

.

(d) Não é contínua em x pois não existe

xflimx

.

Questão 4. (a) 1a (b) 2b1b ou

(c) Não é possível pois a , o limite xflim

3x

não existe.

(d) 3b1b ou

Respostas

x

y


______________________________________________________________________________________

7

Questão 5. (a) 2 (b) 1 (c) 0 (d) 2/27 (e) 2

(f) 2 2/

(g) 0 (h) 28/3

(i) 75/2

Questão 6. (a) ½ (b) 1/3 (c) 4/3

(d) 361 (e) -1/3 (f) 0

(g) 4 (h) 1/16

Questão 7. (a) (b) (c)

(d) Não existe, pois

4x5x

5xlim

21x

e

4x5x

5xlim

21x

.

(e) Não existe, pois

3x

11x3lim

3x e

3x

11x3lim

3x .

(f) Não existe, pois

32x 2x

x3lim e

32x 2x

x3lim .

Questão 8. (a) 0 (b) –2/3 (c) 0 (d)

502 , (e) (f) 0

(g) ½ (h) 1/3

Questão 9. (a) (b) 0 (c) 0 (d) 2

Questão 10. (a) 20 unidades (b) se aproxima de 30 unidades

Questão 11.

(a) 24 unidades (b) 600)t(Nlimt

;

Questão 12. (a) 24 e 60 milhões (b) 120 milhões; a arrecadação fica próxima desse valor.

Questão 13.

É descontínuo, pois )2(E)x(Elim2x

.

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