Teoriadalubrificação

Capítulo5

‐ Desviodoescoamentounidirecionalquandoafronteiraéligeiramentenãoparalela‐ Amagnitudedavelocidadeprincipaldevevariarcomadireçãodoescoamento‐ SoluçõesexatasdeNSnãosãomaispossíveis‐ “Thin‐gaplimit”:distânciaentreentreasparedesépequenaquandocomparadacomoespaçolateral‐SoluçõesaproximadasusandotécnicasassintóJcasedeordemdegrandeza‐Contornosólidoeconhecido:equaçõesdeReynoldsdalubrificação

‐ CombinaçãoentreomovimentorelaJvoentreasparedeseumespaçopequenoentreelaslevaaaltaspressões,quetendemamanterassuperOciesseparadas:princípiodalubrificação‐Quandoumdoscontornoséumainterface,asequaçõescalculamaevoluçãodamesma

Escoamentonumtuboligeiramenteconvergente

€

1r∂∂r

rvr( ) +∂vz∂z

= 0

ρ vr∂vr∂r

+ vz∂vr∂z

= µ

∂∂r

1r∂∂r

rvr( )

+

∂ 2vr∂z2

−

∂P∂r

ρ vr∂vz∂r

+ vz∂vz∂z

= µ

∂∂r

r ∂vz∂r

+

∂ 2vz∂z2

−

∂P∂z

• Análisedeordemdegrandezadostermos• Adapatçãolocaldosresultadosdageometriauniforme

€

Q =π P0 − PL( )R04

8µL1−1+ RL /R0( ) + RL /R0( )2 − 3 RL /R0( )3

1+ RL /R0( ) + RL /R0( )2

raiocilindroexterno:a(1+ε)superOciecilindrointerno:r’=asuperOciedocilindroexterno:

€

r'= rs(θ) = aελcosθ + aελcosθ( )2 − a2 ε2λ2 − 1+ ε( )2[ ]

Ecentricidade:λ,0≤λ≤1,λ=0cilindroconcêntricosEspaçoentreoscilindros:

€

h'(θ) = a(1+ ε) 1− ε2λ2 sin2θ1+ ε( )2

1/ 2

+ aελcosθ − a

€

∂ /∂z'= 0 uz' = 0

y'≡ r'−a 0 ≤ y '≤ h'(θ)∂∂y'

y '+a( )ur'[ ] +∂uθ

'

∂θ= 0

ρ ur' ∂ur

'

∂y'+

uθ'

y'+a∂ur

'

∂θ− uθ

'

= −

∂p∂y'

+

µ1

y'+a∂∂y'

y '+a( )∂ur'

∂y'

+

1y '+a( )2

∂ 2ur'

∂θ 2−

ur'

y '+a( )2−

2y '+a( )2

∂uθ'

∂θ

ρ ur' ∂uθ

'

∂y'+

uθ'

y'+a∂uθ

'

∂θ+ ur

'

= −

1y'+a

∂p∂θ

+

µ1

y'+a∂∂y'

y '+a( )∂uθ'

∂y'

+

1y '+a( )2

∂ 2uθ'

∂θ 2−

uθ'

y '+a( )2+

2y '+a( )2

∂ur'

∂θ

CC:

€

ur' = 0 uθ

' = −Ωa em y '= 0u'•n = 0 u'•t = 0 em y '= h'(θ)ou ur

' = uθ' = 0 em y '= h'(θ)

AsequaçõesacimanãotemsoluçãoanalíJcaParaRe=0,existesoluçãoexata,obJdacomumatransformaçãodecoordenadas.Doiscasoslimites:ε<<1(λ=O(1))eλ<<1(ε=O(1))

Limiteparapequenosε(ε<<1)–problemasdelubrificação

Geometria:limiteε0:

€

rs '(θ) = a 1+ ε( ) + aελcosθ +O(ε2)

€

h'(θ) = aε 1+ λcosθ( ) +O(ε2)

Adimensionalização:EscalacaracterísJcadocomp.nosgradientesdevelocidadenafolga:Ordemdegrandeza:grandediferençanaordemdegrandezadosgradientesdevelaolongodafolgaeatravésdela(comp.caracterísJcosdaordemdeaeεa)

€

uθ = uθ' /Ωa

€

lc = y ' /εa

UmaescalacaracterísJcaparau’rpodeserobJdapelaequaçãodaconJnuidade:

€

1εa

∂∂y

εay + a( )Vur[ ] + aΩ∂uθ∂θ

= 0

V = −εΩa ∂uθ∂θ

/ ∂∂y

εy +1( )ur[ ]

⇒V =O(εΩa)

ur' = εΩaurε <<1⇒ ur

' << uθ'

p'= πp

EquaçõesAdimensionais

€

∂∂y

εy +1( )ur[ ] +∂uθ∂θ

= 0

ρa2Ωµ

ε ε ur

∂ur∂y

+uθ1+ εy

∂ur∂θ

−uθ2

1+ εy

= −

πµΩ

∂p∂y

+

1εy +1

∂∂y

εy +1( )∂ur∂y

+

ε2

εy +1( )2∂ 2ur∂θ 2

−ε2urεy +1( )2

−2ε

εy +1( )2∂uθ∂θ

ρa2Ωµ

ε2 ur

∂uθ∂y

+uθ

εy +1∂uθ∂θ

+ εur

= −

πε2

µΩ εy +1( )∂p∂θ

+

1εy +1

∂∂y

εy +1( )∂uθ∂y

+

ε2

εy +1( )2∂ 2uθ∂θ 2

− uθ

+

2ε2

εy +1( )2∂ur∂θ

Condiçõesdecontorno

€

ur = 0, uθ = −1 em y = 0ur = uθ = 0 em y = h(θ) =1+ λcosθ

Observandoaseqs.adimensionaisvemosque,alémdotermodepressãocentrífugaenvolvendou2θ,omaiortermodeinércianãolinear(comparandocomomaiortermoviscoso,O(1),é

€

O ε2ρa2Ω

µ

=O ε2 Re( )

OlimitedelubrificaçãoparafolgaspequenasdesprezaostermosviscososdeO(ε)eO(ε2)eostermosdeinérciadeO(εRe)eO(ε2Re)

SeprocurarmosumasoluçãoassintóJcadoJpo:

€

u = u(0) +O(ε,εRe) + ...p = p(0) +O(ε,εRe) + ...

podemosobteraseqs.governantesparaoprimeirotermopegandoolimitedaseqs.completasquandoε,εRe0

€

∂ur(0)

∂y+∂uθ

(0)

∂θ= 0

∂ 2ur(0)

∂y 2−π

µΩ∂p(0)

∂y= 0

∂ 2uθ(0)

∂y 2−πε2

µΩ∂p(0)

∂θ= 0

 Eqs.lineares Otermodepressãonãopodeserdesprezado,poisaindanãosabemosaordemdegrandezadapressãocaracterís;ca Aseqs.sãoasmesmasqueseriamob;dasusando‐secoord.cartesianas(x≈θ):curvaturadasfronteiras,queocorrenumaescalaa,podeserdesprezadanolimitedefolgaspequenas

PressãocaracterísJcaπ:π=μΩ/ε2

• umdostermosdapressãoédesprezadoeasCCsãosaJsfeitas

Asequaçõessereduzema:

€

∂ur(0)

∂y+∂uθ

(0)

∂θ= 0

∂ 2uθ(0)

∂y 2−∂p(0)

∂θ= 0

∂p(0)

∂y=O(ε2)

• Quantomenorafolga,maioresaspressões• p(0)dependeapenasdeθ• Diferentedaseqs.paraesc.unidirecional,estaseqs.sãoaproximadas,levandoemcontaaordemdegrandezadostermos

Equaçõesdelubrificação

Soluçãodaseqs.delubrificação:

€

uθ(0) =

dp(0)

dθy 2

2+ ay + b

usando as CC, (y = 0, ur = 0, uθ = −1;y = h(θ), ur = uθ = 0) :

uθ(0) = − 1− y

h

+

dp(0)

dθy 2

2−yh2

Paradeterminarogradientedepressãovamosusaraeq.conJnuidade.Integrandoemrelaçãoay:

€

ur(0) =

y 2

2h2dhdθ

−d2p(θ )

dθ 2y 3

6−y 2h4

+

dp(θ )

dθy 2

4dhdθ

ActedeintegraçãofoiconsideradaigualazeroparasaJsfazeraCCemy=0.AoutraCC,emy=hforneceumaeq.diferencialparaapressão:

€

ddθ

h3 dp(0)

dθ

= −6 dh

dθ

dp(0)

dθ= −

6h2 +

ch3

p(0) é periódica em θ : dp(0)

dθ

0

2π∫ dθ ≡ 0

Então integrando a eq. acima :

c = 6dθ /h2

0

2π∫

dθ /h30

2π∫

⇒dp(0)

dθ= −

6h2 +

6h3

I2

I3

In (λ) ≡ dθ1 +λcosθ( )n0

2π∫

casoparJculardaeq.Reynolds

€

uθ(0) =

−31+ λcosθ( )2

1− I2

I3 1+ λcosθ( )

y 2 − 1+ λcosθ( )[ ]

−1+y

1+ λcosθ( )

Resumodoprocedimentodesolução(mpicodosproblemasdelubrificação):obtem‐seavel.tangencialdaseqs.movimento.Daeq.conJnuidade,obtem‐seavel.normalcomousode1CC.AsegundaCClevaaumaED,eq.deReynolds,queéuJlizadaparadeterminarogradientedepressão.

Resultadoscomdimensão

€

uθ(0) =Ωa −3

1+ λcosθ( )2

1− I2

I3 1+ λcosθ( )

y'εa

2

− 1+ λcosθ( ) y'εa

−1+y ' /εa

1+ λcosθ( )

ur' (0) = εΩaur

(0)

I2(λ) =2 − 2λ2

2 + λ2I3(λ) =

2π1− λ( )3 / 2 1+ λ( )3 / 2[ ]

dp'(0)

dθ=

6µΩε2 2 + λ2( )

−3λ2 − 2 + λ2( )λcosθ

1+ λcosθ( )3

⇒ p'(0)(θ) − p'(0)(0) = −6µΩ

ε2 2 + λ2( )−λ sinθ 2 + λcosθ( )1+ λcosθ( )2

obs:λ=0,cilindrosconcêntricos,dp/dθ=0

Forças ForçadepressãonocilindrointernonadireçãoverJcalposiJva,comoconsequênciadesuarotação GradientedepressãoO(ε‐2):altaspressõesegradientesparafolgaspequenas Torquerequeridoparagirarocilindroéproporcionala

 Então,aplicandoumaforçaO(ε‐1),obtem‐seumaforçalíquidaO(ε‐2).AdisJnçãoentreamagnitudedaforçaproduzidaearequeridaparamanteromovimentotangencialrelaJvoatravésdafolgaéabasedasaplicaçõespráJcasdateoriadalubrificação

€

∂uθ(0) /∂y'

y= 0=O(Ω /ε)

UJlizandoasoluçãoobJda,ascontribuiçõesviscosaedevidoapressãosãodadaspor

€

Fi' = Tij 'S∫ n jdS = − p'n jdSS∫

F ( p )

+ 2µ Eij 'S∫ n jdSF(v )

Fy'(p ) =

12πµΩaε2

λ

2 + λ2( ) 1− λ2( )1/ 2

α

Fx'(p ) = 0

Fi'(v ) =O µΩa

ε

...menor do que a contribuição

devida a pressão

aumentodaforça,maiorecentricidade

DerivaçãodasequaçõesbásicasdaTeoriadaLubrificação

CaracterísJcas:• gradientesdevelocidadenadireçãoparalelaaoscontornossãoassintóJcamentemenorescomparadosàquelesatravésdodomínio:dimensãotransversalaodomíniotemqueserassintóJcamentemenorcomparadaaoraiodecurvaturadoscontornosouadistâncialateralcaracterísJcaaqualquermudançanalarguradafolga(assim,aanálisedelubrificaçãopodeseruJlizadaemescoamentoscomfronteirasquevariamsuavemente).• Odomínioédito“fino”talqueε2ReéassintoJcamentepequeno:termosdeinércia(NS)desprezíveisemrelaçãoaostermosviscososedepressão

Hipóteses:• todooescoamentosaJsfazaship.básicasdaaproximaçãoparafolgaspequenas,emboraaanálisesóseapliqueaumaporçãododomínio(H:escaladecomprimentocaracterísJcadadistânciaatravésdafolga;L:dimensãolateraldaregiãodefolgapequena)

Foradaregiãodefolgapequena,aescalaLérelevanteparaosgradientesdevelocidadesemtodasasdireções.Masoesc.atravésdafolgaécaracterizadopelaescaladecomp.HAssim,asaproximaçõesnaseqs.(ε=H/L<<1)serãodiferentesemdiferentespartesdodomínio.

Ordemdaseqs.dentrodafolga,H/L<<1:

€

∇2u→∂ 2u∂z2

+ ε2∂ 2u∂y 2

~ ∂2u∂z2

+O(ε2) limiteassintóJcosingularfolga:regiãointernaforadafolga:externa

PrimeirotermodateoriaassintóJcapodeserobJdonaregiãointernasemasoluçãodaparteexterna,eapressãodominaasforças–TeoriadaLubrificação

Emgeral,umadasfronteirassemove

€

us' = uz

' = 0 em z'= 0

uz' = −∂h' /∂t'NS :∇'•u'= 0

ρ∂u'∂t'

+ u'•∇'u'

= −∇' p'+µ∇'2 u'

€

∇ s '•us '+∂uz

'

∂z'= 0

ρ∂uz

'

∂t'+ us

' •∇ s' uz' + uz

' ∂uz'

∂z'

= −

∂p'∂z'

+ µ ∇ s' • ∇ s

' uz'( ) +

∂ 2uz'

∂z'2

ρ∂us '∂t'

+ us' •∇ s

' us' + uz

' ∂us'

∂z'

= −∇ s

' p'+µ ∇ s' • ∇ s

' us'( ) +

∂ 2us'

∂z'2

€

xs : plano paralelo a parede plana

ValorescaracterísJcos:

€

us ≡us'

U∇ s ≡

1lc∇ s' t ≡ U

lct '

ε =hlc⇒

∂∂z'

=1εlc

∂∂z

uz =uz'

εU

p =p'pc

Obs.:ucpodesertambémV/ε,VvelocidadeverJcalentreasfronteirassuperioreinferior

Equaçõesadimensionais

€

∇ s •us+∂uz∂z

= 0

ρεU 2

lc

∂uz∂t

+ us•∇ suz + uz∂uz∂z

= −

pcεlc

∂p∂z

+µUεlc2 ε2∇ s • ∇ suz( ) +

∂ 2uz∂z2

ρU 2

lc∂us∂t

+ us•∇ s us+ uz∂us∂z

= −

pclc∇ s p

grande

+µUε2lc

2 ε2∇ s • ∇ sus( ) +

∂ 2us∂z2grande

€

O pclc

=O

µUε2lc

2

⇒ pc =

µUlc

1ε2

€

∂ 2 us∂z2

−∇ sp = −ε2∇ s • ∇ sus( ) + ε2 Re ∂us∂t

+ us•∇ sus+ uz∂us∂z

Re ≡ ρUlcµ

∂p∂z

= ε2∂ 2uz∂z2

+ ε2∇ s • ∇ suz( )

+ ε

2 Re ∂uz∂t

+ us•∇ suz + uz∂uz∂z

CC : z = h(xs), uz = us = 0z = 0, us = −U ' /uc, uz = −V ' /εuc

2parâmetrosdevemserpequenosparaobteraseqsclássicaslubrificação:εeε2Re.AssumindoRefixoeindependentedeε,εnRe0quandoε0,epodemosprocurarumasoluçãoassintóJcasimilaraocasodoscilindrosecêntricos:

€

us = us(0)+ f1(ε)us

(1)+ ...

uz = uz(0) + f1(ε)uz

(1) + ...

p = p(0) + f1(ε)p(1) + ...

€

∇ s •us(0)+

∂uz(0)

∂z= 0

∂ 2 us(0)

∂z2−∇ sp

(0) = 0

∂p(0)

∂z= 0

Asequaçõesgovernantesparaaprimeiraaproximaçãosão:

€

CC : z = h(xs), uz(0) = us

(0) = 0

z = 0, us(0) = −U, uz

(0) = −V

Equaçõesdelubrificação

Válidasparaε<<1CCpodemvariarFolgapodevariarcomposiçãoetempo

€

p(0) xs,z,t( )→ p(0) xs,t( ) desconhecidoIntegrando,

us(0) =∇ sp

(0) z2

2+ f xs,t( ) + g xs,t( )

Usando as CC :

us(0) =∇ sp

(0) z2

2−zh2

+U

zh−1

Problemaclássicodelubrificação:heusouheuzconhecidosnasfronteiras,eoobjeJvoéadeterminaçãodadistribuiçãodepressão.Aindanãousamosaeq.conJnuidadeeasCCparauz.Vamosintergraraeq.parauz(eusaraasCC)paraobterp(0)

€

∇ s •us( )dz0

h∫ + uz

(0)0

h= 0

∇ s •us( )dz0

h∫ = −V = −

∂h∂t

Usando o resultado anterior :

∂h∂t

=∇ s •h3

12∇ sp

(0) +h2U

EquaçãodeReynoldsComomovimentodafronteiraespecificado,podeseru;lizadaparadeterminarp

Paraobterumaúnicasolução,osvaloresdepdevemserespecificadosnoslimitesdacamadadelubrificação

Paraobterasoluçãoparapequenosεnaregiãoforadafolga,usamosomesmoprocedimento:adimensionalizaraseqs.NSedaconJnuidade,usandovalorescaracterísJcosrelevantesaregiãoexterna.Obtem‐seeqs.aproximadasparaosváriostermosnumaaproximaçãoassintóJcadasoluçãosubsJtuindoaexpansãonaseqs.adimensionaiserequerindoqueelassejamsaJsfeitasemcadaordemdeε.Obtemosentãoaseqs.governantesparaoprimeirotermopegandoolimitequandoε0naseqs.completasadimensionaisparaaregiãoexterna.

€

u ≡ u'uc

v ≡ v'uc

x ≡ x'lc

y ≡ y 'uc

t ≡ uclct ' p =

p'pc

∂u∂t

+ u∂u∂x

+ v ∂u∂y

= −pcρuc

∂p∂x

+µ

ρuclc∂ 2u∂x 2

+∂ 2u∂y 2

∂v∂t

+ u∂v∂x

+ v ∂v∂y

= −pcρuc

∂p∂y

+µ

ρuclc∂ 2v∂x 2

+∂ 2v∂y 2

pc =µuclc

1ε2

⇒∇p = ε2 ∇2u +ρuclc

µ

∂u∂t

+ u•∇u

u = u,v( )

Pressãonasduascamadas(internaeexterna)devemcoincidirComoεépequeno,asvariaçõesdomovimentonaparteexternapraJcamentenãoafetamp.Assim,asoluçãonafolgapodeserobJdasemsernecessáriaadetermiçãodocampodevelocidadesforadela.