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Boolean Algebra Expression Simplification
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Simplificação de expressões
Prof.a Dra. Carolina Davanzzo Gomes dos Santos Email: [email protected]
Página: profcarolinadgs.webnode.com.br
Disciplina: Circuitos Digitais
SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES
à Circuitos lógicos correspondem a equações booleanas, que
são extraídas da tabela-‐verdade.
à Construção de circuitos lógicos através de expressões booleanas é complexo.
à Pode ser simplificado, reduzindo o custo diminuindo a
quantidade de blocos lógicos.
Relembrando.... Postulados Postulado da Complementação
1º) Se
2º) Se
10 =→= AA01 =→= AA
Identidade AA =
Se 1=A , temos: 0=A e se 10 =→= AA
Se 0=A , temos: 1=A e se 01 =→= AA
Relembrando.... Postulados Postulado da Adição
1º) 0 + 0 = 0
2º) 0 + 1 = 1
3º) 1 + 0 = 1
4º) 1 + 1 = 1
Identidades: AA =+ 0
10110000
=+→=
=+→=
AA
11=+A
11111100
=+→=
=+→=
AA
AAA =+
11110000
=+→=
=+→=
AA
1=+ AA
10111100
=+→=
=+→=
AA
Relembrando.... Postulados Postulado da Multiplição
1º) 0 . 0 = 0
2º) 0 . 1 = 0
3º) 1 . 0 = 0
4º) 1 . 1 = 1
Identidades: 00 =⋅A
00110000
=⋅→=
=⋅→=
AA
AA =⋅1
11110100
=⋅→=
=⋅→=
AA
AAA =⋅
11110000
=⋅→=
=⋅→=
AA
0=⋅AA
00110100
=⋅→=
=⋅→=
AA
Relembrando.... Propriedades Propriedade Comutativa
ABBAçãoMultiplicaABBAAdição
⋅=⋅→
+=+→
Propriedade Associativa
( ) ( )( ) ( ) CBACBACBAçãoMultiplica
CBACBACBAAdição⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅→
++=++=++→
Relembrando.... Propriedades Propriedade Distributivva
( ) CABACBA ⋅+⋅=+⋅
A B C A(B+C) AB+AC 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1
Teoremas de Morgan
à São empregados para simplificar as expressões algébricas booleanas.
Teorema 1
O complemento do produto é igual à soma dos complementos:
( ) BABA +=.
A B 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0
BA. BA+
Representação por blocos lógicos:
Teorema 1
Teorema 2
O complemento da soma é igual ao produto dos complementos. BABA .=+Como este teorema é uma extensão do primeiro:
A aplicação deste teorema é demonstrada pela equivalência entre blocos lógicos:
Identidades Auxiliares
ABAA =⋅+
Para prová-‐la utilizamos a propriedade distributiva, evidenciando A
( ) ABA =+⋅ 1
Do postulado da soma temos: 1+B =1
ABAA
AA
=⋅+
∴
=⋅1
Identidades Auxiliares
( ) ( ) CBACABA ⋅+=+⋅+
( ) ( )
( )
( ) ( ) CBACABAAAeXsIdentidadeCBAvadistributiopriedadeCBCBAAAAopriedadeCBBACAA
vadistributiopriedadeCBBACAAACABA
⋅+=+⋅+∴
=⋅=+→⋅+⋅=
→⋅+++⋅=
=⋅→⋅+⋅+⋅+=
→⋅+⋅+⋅+⋅=
+⋅+
1__11_:1_Pr1_Pr_Pr
Provando a identidade:
Identidades Auxiliares
BABAA +=+ Provando a identidade:
( )( )[ ]
( )( )( )( ) BABAA
BABA
BAAA
BAA
BAA
BAABAA
+=+∴
+=
⋅=
⋅+⋅=
+⋅=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+ à Identidade:
à 2º Teorema de Morgan:
à 1º Teorema de Morgan aplicado no parênteses
à Propriedade Distributiva e identidade:
à 1º Teorema de Morgan
XX =
( ) YXYX +=.
( ) YXYX ⋅=+
0=⋅AA
Quadro Resumo
Simplificação de Expressões Booleanas
Exemplo 1: BACAABCS ++=Primeiramente, envidenciamos o termo A:
( )BCBCAS ++=
Agora, aplica-‐se a propriedade associativa:
( )[ ]BCBCAS ++=
Aplica-‐se a identidade:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++= BCBCAS
XX =
Aplica-‐se o Teorema de Morgan
( )[ ]BCBCAS +=
Chamando BC de Y, logo ( ) YBC =
( )YYAS +=
1=+YYComo , logo:
AS
AAS
=
∴
=⋅= 1
Simplificação de Expressões Booleanas
Exemplo 2: CBACBACBAS ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
Tirando em evidencia nos dois primeiros termos: CA⋅
( ) CBABBCAS ⋅⋅++⋅⋅=
Aplicando a identidade: 1=+ BB
( )CBACAS
CBACAS
⋅⋅+⋅=
⋅⋅+⋅⋅= 1
Generalizando:
Expressão booleana de termos mínimos à resulta da soma
de produtos.
Expressão booleana de termos máximos à resulta do
produto das somas.
Equações lógicas Projeto à tabela verdade à expressão booleana do circuito digital
Expressão booleana de soma de produtos
A expressão booleana constitui-‐se num circuito de portas lógicas E-‐OU
A.B
A.B
A.B + A.B
Assim para a elaboração de um projeto lógico, deve-‐se:
• Construir a tabela-‐verdade;
• Determinar a partir da tabela-‐verdade, a expressão booleana
de termos mínimos (soma de produtos);
• A partir da expressão booleana de termos mínimos,
esquematizar o circuito lógico.
Receita – exemplo soma de produtos
As expressões booleanas podem ser tiradas de duas maneiras:
• A partir dos uns de saída (termos mínimos ou soma de
produtos).
• A partir dos zeros (termos máximos ou produto da soma).
à Contudo, antes de extrair a expressão booleana de uma
tabela-‐verdade, convém verificar que método oferece maior
facilidade: tirar a expressão pelos uns ou pelos zeros.
à Na tabela-‐verdade abaixo, é mais fácil extrair a expressão
booleana pelos zeros (termos máximos ou produto da soma),
pois pelos uns a expressão booleana seria mais longa e mais
complexa.
Submetendo ao teorema de De Morgan:
Portanto, a expressão booleana de termos máximos (produto de somas) será:
O diagrama de blocos OU-‐E, a seguir é a implementação da expressão retirada da tabela-‐verdade.
A B C
Aplicação dos teoremas de De Morgan e de equações lógicas booleanas
As leis e as propriedades fundamentais da operação da álgebra booleana permitem resolver problemas e projetos lógicos em
diversas áreas.
Observação
Lembre-‐se de que os passos a serem seguidos para resolver um problema lógico são:
• A elaboração da tabela-‐verdade; • A extração da equação lógica; • A execução do circuito ou diagrama de blocos lógicos.
