ABORDAGENS SOBRE REGRA DA CADEIA:

UMA DISCUSSÃO ACERCA DE SUA DEMONSTRAÇÃO

Sandra Malta Barbosa

UNESP - Rio Claro - SP

sbarbosa@uel.br

1. Introdução

No âmbito da Educação Matemática, diversos são os estudos acerca de conteúdos

nos quais os estudantes apresentam dificuldades na aprendizagem do Cálculo

(VILLARREAL, 1999, CABRAL, 1998, dentre outros). Como professora de Cálculo,

pude observar que a Regra da Cadeia é um dos temas em que isso também acontece.

Cury (2004) argumenta que os erros cometidos, ao se estudar esse conceito, pelos

estudantes, parecem se encontrar no próprio conceito da função composta, que muitas

vezes representa uma fórmula a mais que o estudante apenas memoriza.

Ainda, na busca de trabalhos, em Educação Matemática, com consultas feitas em

sites de busca, bibliotecas, artigos e periódicos, que tratam sobre o ensino de Regra da

Cadeia não encontrei referências. Nas páginas dos sites que se pode encontrar sobre este

assunto, pude observar que abordam o tema Regra da Cadeia de maneira semelhante aos

livros de Cálculo.

Sendo assim, este artigo tem por objetivo apresentar uma discussão sobre algumas

das abordagens que autores de diversos livros de Cálculo, bem como alguns autores de

sites, trazem para demonstração de Regra da Cadeia e como tratam este tema junto aos

estudantes que estão ingressando no ensino superior, sejam eles de Administração,

Matemática, Engenharia, dentre outros.

Desta forma, fez-se necessário uma padronização das letras, que representam as

funções e que são utilizadas nas demonstrações, com o intuito de facilitar a leitura de

modo que o leitor não se perca.

Inicialmente, apresento considerações sobre Derivada e Função Composta, para

posteriormente abordar a derivada de função composta. Ou como alguns autores trazem:

"Regra da Cadeia para Derivação de Função Composta" (GUIDORIZZI, 2001, p. 171)

ou ainda "Derivadas de funções compostas: A Regra da Cadeia" (SANTOS E

BIANCHINI, 2002, p. 177).

2. Derivada

Alguns autores de Cálculo I (FLEMMING, 1992, SWOKOWSKI, 1994, dentre

outros), e sites1, apresentam a seguinte definição para derivada em um ponto: A

derivada de uma função no ponto de seu domínio, denotado por , é o

limite dado pela seguinte fórmula , se este limite existir.

Outros autores (SANTOS E BIANCHINI, 2002, ANTON, 2000a, GUIDORIZZI,

2001, dentre outros) trazem outra fórmula para expressar a definição de derivada,

, que é equivalente a anterior se considerarmos , e

quando temos que .

Apesar de serem equivalentes, essas fórmulas trazem abordagens distintas,

dependendo do curso ao qual é destinado o livro. Isso fica evidente quando o mesmo

autor, Guidorizzi, ao escrever para o curso de Matemática (GUIDORIZZI, 2001) e para

o curso de Administração (GUIDORIZZI, 2002) apresenta diferentes fórmulas para

cursos distintos.

Para o curso de Administração, Guidorizzi (2002) introduz derivada da seguinte

maneira: "A derivada da função é a função dada por

." (GUIDORIZZI, 2002, p. 114). Podemos observar aqui,

que para o curso de Administração ele não traz derivada num ponto, mas função

derivada e ainda explica que esta fórmula também pode ser escrita da seguinte forma:

, onde .

Pode-se observar que o autor se utiliza da notação de Leibnitz, e não é por acaso,

pois ao se referir à taxa de variação ele tem a seguinte explicação:

Para suficientemente pequeno é aproximadamente a

taxa média de variação de y entre x e , ou seja,

1 www.cepa.if.usp.br/e-calculo/index.htm.

2

que é equivalente a . O que significa

que no nível de x, é uma estimativa para a variação

em y, correspondente à variação em x, com

suficientemente pequeno. (GUIDORIZZI, 2002, p. 135)

Para explicar diferencial, para o curso de Administração, o autor se utiliza da

notação de Leibnitz, , mas diz que "há uma tentação muito grande de olhar esta

notação como um quociente" (GUIDORIZZI, 2002, p. 135). Embora essa notação não

seja um quociente, o autor argumenta que os matemáticos gostariam de olhá-la como

um quociente e então criaram uma função usando como variáveis as notações dx e dy, e

chamaram-na de diferencial. Assim, , que é a notação de Leibnitz para

derivada, poderia ser vista como quociente. Isto é,

se queremos que a notação vire um quociente, nada mais

natural do que a seguinte definição: Diferencial de uma

função: Seja uma função derivável. A função dada por

denomina-se diferencial da função .

Nesta função, a variável dy depende das variáveis x e dx.

Leibnitz chamava dy de diferencial de y e dx de diferencial de x.

(...) Com esta definição, a notação de Leibnitz para a derivada

pode ser olhada como um quociente: o quociente da diferencial

de y pela diferencial de x. Dessa forma, os matemáticos

conseguiram fazer a notação virar um quociente!

(GUIDORIZZI, 2002, p. 135).

Para o curso de Matemática, Guidorizzi (2001) apresenta a fórmula

, dizendo que é um limite que ocorre de modo natural tanto

na geometria quanto na física. E a partir de uma interpretação geométrica, acerca da reta

tangente e seu coeficiente angular, Guidorizzi (2001) defini derivada de uma função,

erro de aproximação por uma reta tangente e diferencial.

3

Uma interpretação geométrica da definição de derivada num ponto, que pode ser

vista nos gráficos da Figura 1, é a inclinação da reta tangente que passa pelo ponto

.

Figura 1 - Interpretação Geométrica da Derivada num ponto.

Pelo gráfico, a inclinação da reta secante S, ou coeficiente angular de S é dado

pela , onde e .

Se mantivermos o ponto P fixo e movermos o ponto Q em direção ao ponto P,

então a inclinação de S se modificará. À medida que o ponto Q, dinamicamente,

aproxima-se do ponto P, a inclinação da reta S varia cada vez menos, ou seja, a taxa de

variação, entre e , tende para um valor constante que chamamos inclinação da

reta tangente à curva no ponto P. Assim se denominarmos m como sendo essa

inclinação então e a essa

inclinação denominamos derivada da função no ponto .

Até aqui apresentamos a definição de derivada em um ponto. Generalizando,

podemos dizer que uma função f é uma função derivável, ou diferenciável, se for

derivável em cada ponto de seu domínio. Lembrando, que neste caso, a função é

necessariamente é contínua.

4

f

fS

S

T

T

x0 + xx0

x0 + x

x

x

P

PQ

Q

Dy

Dy

Ao observarmos o gráfico de uma função diferenciável, localmente parece uma

linha reta, no entanto, apesar de não ser uma linha reta, sua variação da reta é tão

pequena que não poderia ser detectado a olho nu, como podemos observar na Figura 2.

Figura 2 - Aproximação pela reta Tangente

A essa reta que pensamos ver ao observarmos bem de perto o gráfico da função

em tem coeficiente angular igual à derivada , de modo que essa

equação é . Pelo fato do gráfico parecer uma linha reta

significa que é uma boa aproximação de . Isto é, para valores próximos a , a

aproximação de pela reta tangente é . A expressão

é chamada de linearização local de f próximo de . Assim o

erro nesta aproximação é definido por .

Alguns autores (GUIDORIZZI, 2001, HUGHES-HALLET et al., 2004, ANTON,

2000b, FINNEY et al., 2002) apresentam uma interpretação geométrica para este erro

, ou erro na aproximação, que se comete na aproximação de f pela reta tangente T

em , como podemos observar no gráfico da Figura 3.

Figura 3 - Erro de Aproximação

5

x

y

x0 x=x0 + x

f(x0)

f(x) T

S

dy

y

x

(x)

Podemos notar que o incremento de y, , é diferente do diferencial de y, .

Para observamos essa diferença devemos atribuir às variáveis (incremento de x) e

(diferencial de x) o mesmo valor. Assim, para , temos .

Desta forma, ao dividimos por , obtemos . O

primeiro membro desta igualdade, , representa a inclinação da reta secante S, e a

primeira parcela do segundo membro, , a inclinação da reta tangente T, assim se

provarmos que a segunda parcela do segundo membro, , tende a zero, podemos

dizer que a inclinação da reta secante tende para a inclinação da reta tangente. Para isso

chamaremos .

Assim, devemos mostrar que .

Lembremos que , onde , e .

Assim pode ser reescrito da seguinte forma:

, isto é, .

Daí,

Notemos que é uma função que depende de x e se definirmos , então

essa função será contínua em , pois . Isto é,

6

Este resultado, que pode ser encontrado em Guidorizzi (2001), Hughes-Hallet et

al (2004) e Anton, (2000a), será necessário para a demonstração da Regra da Cadeia

posteriormente.

3. Função Composta

Assim como operamos com números (adição, subtração, multiplicação e divisão)

podemos operar com funções , cujo domínio é a intersecção

das funções dadas. Uma outra operação com função, distinta das quatro anteriores, é a

composição de função. Ou seja, dada duas funções h e g, a função composta de h com g,

denotada por , é definida por .

Pode-se observar pelo esquema ilustrado na Figura 4 que essa composição é uma

nova função, isto é, e que o domínio da função f é igual ao domínio da

função g, , desde que .

Figura 4 - Esquema de Composição de Função

Alguns autores, dentre eles Hughes-Hallet et al. (2004), Anton (2000a) e Moise

(1977), coloquialmente, interpretam função composta como uma "função de uma

função" (HUGHES-HALLET et al., 2004, p. 15), ou "função de dentro" (função g) e

"função de fora" (função h) (ANTON, 2000a, p. 51, MOISE, 1977, p. 148).

A ordem na qual as funções são compostas pode fazer diferença no resultado

final, pois para a composição de função nem sempre vale a propriedade comutativa. As

composições de funções podem, também, ser definidas para três ou mais funções, por

exemplo, . Anton (2000a) sugere um procedimento para

7

decomposição de função, isto é, dada uma função composta , achar as funções

componentes e , mais simples, que compõem a função dada.

Graficamente, podemos indagar qual seria o gráfico da função composta

dada a partir dos gráficos das funções componentes e . Na

Figura 5 são dados os gráficos das funções e , respectivamente, então como

obter o gráfico da função ?

Figura 5 - Gráficos das Funções Componentes e , respectivamente.

Uma maneira de pensarmos o gráfico da função composta , a

partir dos gráficos das funções componentes, pode ser encontrada no site

http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/0/compositions.6/index.html.

Considere os gráficos de g, h e função identidade ( ) num mesmo plano

cartesiano. A partir de um ponto do domínio da função g, e sua imagem, ,

marcar o ponto no gráfico de g. Traçar a reta até interceptar a

função identidade, e portanto, o ponto é a intersecção desta reta com a

identidade, e com essa abscissa , definir sua imagem por h, isto é, ,

determinando assim o ponto . Trace a reta até interceptar a

reta , obtendo assim o ponto . Tomando o ponto , o conjunto

de pontos formaria o gráfico da função .

8

x

y

g(x)

x

y

h(x)

Obtendo assim o gráfico da função composta f a partir dos gráficos das funções

componentes g e h. Podemos visualizar esse raciocínio no gráfico da Figura 6.

g

y=x

h

x

(x, g(x))(g(x), g(x))

(g(x), h(g(x)))(x, h(g(x)))

Figura 6 - Raciocínio para obtenção do gráfico da função composta f, a partir do

gráfico de suas funções componentes g e h.

Podemos observar até aqui, que diferentes autores abordam a função composta de

forma algébrica ou na forma de um esquema como visto a Figura 4. Nenhum autor,

dentre os que pesquisei, aborda um raciocínio gráfico ou geométrico. Apenas um site,

que envolve uma tecnologia dinâmica, foi possível observar uma abordagem que fosse

possível compreender como é obtido o gráfico de uma função composta a partir dos

gráficos de suas funções componentes, como pode ser visualizado nos gráficos da

Figura 6.

Penso que essa abordagem gráfica é uma alternativa à abordagem unicamente

algébrica apresentada nos diversos livros de Cálculo.

Concluindo os temas Derivada e Função Composta, passo agora, a apresentar e

discutir o enunciado e demonstração do Teorema da Regra da Cadeia, como é,

geralmente, encontrado nos livros de diversos autores de Cálculo.

9

4. Regra da Cadeia

Swokowski (1994) e Lang (1965) argumentam que as regras de derivação, da

soma, da diferença, do produto e do quociente se aplicam a uma gama limitada de

funções, pois só podem ser usadas para derivar funções que envolvem , , etc. e

que não há uma regra, dentre essas, que possa ser aplicada diretamente às expressões

como ou . Para essas funções seriam necessárias algumas transformações,

por exemplo, à função seria transformada em e então seria aplicado

a regra do produto.

Isto é,

Dessa forma os autores buscam motivar o aluno a procurar um método mais direto

para achar a derivada de e também nos casos em que não é possível fazer

essa transformação, por exemplo, . "A chave consiste em encarar y como

uma função composta de x." (SWOKOWSKI, 1994, p. 174).

Hughes-Hallet et al (2004) descrevem a função composta ,

com h sendo a "função de fora" e g a "função de dentro" e escrevem e

, logo , e apesar de não demonstraram a Regra da Cadeia

formalmente, enunciam-na a partir de pequenas variações, isto é, "uma pequena

variação em x, digamos , gera uma pequena variação em z, , que por sua vez, gera

uma pequena variação em y, . Se e forem diferentes de zero, temos

." (HUGHES-HALLET et al., 2004, p. 106). Para esses autores, como

, então, no limite, quando , e ficam cada vez menores, temos a

Regra da Cadeia . Ainda, como , e , fazendo

as devidas substituições temos . "Em palavras: A derivada

de uma função composta é o produto das derivadas das funções "de fora" e "de dentro".

10

A derivada da função "de fora" tem de ser calculada na "função de dentro"."

(HUGHES-HALLET et al., 2004, p. 107).

Finney et al. (2002) também se referem à Regra da Cadeia como Regra do

Externo-Interno e traduzem em palavras, "derive a função 'externa' h, calcule-a na

função 'interna' g(x) isolada, multiplicando-a depois pela derivada da 'função interna'"

(FINNEY et al., 2002, p. 181). Estes mesmos autores se referem à Regra da Cadeia,

quando existe mais de uma função, como a 'Cadeia' de três elos.

Quanto ao modo de se referir à Regra da Cadeia, Guidorizzi (2002) fala de Regra

em Cadeia, referindo-se ao encadeamento de derivadas. Do inglês Lang (1965) temos,

The Chain Rule, significando também encadeamento.

Enunciados para o Teorema da Regra da Cadeia podem ser encontrados em

autores como Leithold (1990), Anton (2000a), Swokowski (1994), Santos e Bianchini

(2002), Flemming e Gonçalves (1992), Guidorizzi (2001) e Finney et al. (2002) dentre

outros. Alguns desses autores se utilizam da notação de Leibnitz e outros da notação de

Newton, dependendo da conveniência para sua demonstração. Em Anton (2000a),

podemos encontrar uma explicação para este fato, pois

Quando Newton e Leibnitz publicaram independentemente as

suas descobertas do Cálculo, cada um usou uma notação para

derivada, e, por mais de 50 anos, houve uma intensa batalha

sobre qual era a melhor notação. No final, venceu a notação de

Leibnitz, , pois produzia fórmulas corretas de forma natural.

Um bom exemplo é a regra da cadeia . (ANTON,

2000a, p. 211).

Embora, Anton (2000a) refira-se a notação de Leibnitz, como sendo melhor que a

de Newton, em seu enunciado da Regra da Cadeia, utiliza-se da notação de Leibnitz,

porém logo em seguida argumenta que "embora útil, é às vezes de difícil manejo, pois

envolve muitas variáveis independentes." (ANTON, 2000a, p. 205). O enunciado da

Regra da Cadeia aparece em Anton (2000a), porém a demonstração só aparece no

Apêndice A de Anton (2000b).

Para este artigo, padronizei as letras, que representam as funções, e as notações,

utilizando, quando conveniente, a notação de Newton e em outros momentos a notação

de Leibnitz. Assim temos:

11

Teorema: A Regra da Cadeia: Sejam e duas funções

deriváveis, com e consideremos a função composta .

Então f é derivável e , para todo .

Por hipótese, existem: (pelo fato da

função g ser derivável) e (pelo fato da função h

ser derivável).

A tese a ser demonstrada é que f é derivável e que ela pode assim ser calculada

para todo , ou seja, que existe e que

, para todo .

Demonstração:

Precisamos mostrar que existe o seguinte limite:

Sendo , colocamos . Então, depende de e,

quando , temos . Temos assim, e podemos

escrever: e .

Logo, .

Suponhamos que . Então,

(*)

Quando , temos , e utilizando a hipótese, temos:

, o que completa a prova no caso em que

.

Entretanto, essa prova não é geral, segundo a maioria dos autores, porque para

valores arbitrariamente pequenos de poderia acontecer do acréscimo , isto é,

uma pequena mudança em x poderia não causar nenhuma mudança em u, o que invalida

a última passagem de (*).

12

Porém, isso se verifica para um grande número de funções, mas não para todas.

Então, quando seria possível que ? Se g for constante a condição acima não é

satisfeita. Como afirmam as autoras Flemming e Gonçalves (1992), "neste caso,

podemos provar a fórmula facilmente. De fato, se , então e

é constante. Assim, ." (FLEMMING E

GONÇALVES, 1992, p. 175-176).

Mas será que existe outro caso que isso aconteça? Isso pode ocorrer se a função

não for constante? Ou apenas no caso em que a função é constante ? A não ser por essas

autoras, nenhum outro autor, dentre os que pesquisei, menciona tal argumento.

Uma demonstração para o caso geral que evite a referida passagem pode ser feita,

através de outro argumento.

Da definição de derivada , temos que: = se

.

Mas isso é equivalente a dizer que , onde , quando

, ou ainda que, multiplicando por , temos

. (**)

Pode-se observar que começamos supondo que o acréscimo , mas a última

equação (**) é válida mesmo no caso em que . A partir dela, dividindo ambos os

membros por x , que, com certeza não é zero pela definição de derivada da função g,

temos:

e, fazendo , no limite, e já que ,

obtemos a Regra da Cadeia.

13

Alguns autores, como Lang (1965) e Anton (2000) apresentam esta expressão

como um outro teorema, sendo mais rigorosos em termos da expressão

. (**)

Teorema: Se h for diferenciável em u e se , então

onde , quando e se .

Prova: Vamos definir

Podemos observar que esta função é a mesma que Guidorizzi (2001) apresentou

quando aborda derivada e erro de aproximação pela reta tangente.

Se , tem-se que (***)

Mas , e assim (***) pode ser escrita como

ou

Se , a expressão acima ainda é válida, logo é válida para todos os valores de

. Resta mostrar que quando . Mas isso segue a partir da hipótese de

que h é diferenciável em u, uma vez que

.

Guidorizzi (2001) apresenta uma outra demonstração para a Regra da Cadeia, que

parece ser mais gráfica.

Suponha derivável em , derivável em , com e

, seja, . Vamos provar que .

Para isto consideremos a função T (reta tangente) dada por

e como então

, conforme ilustrado no gráfico da Figura 7.

14

Figura 7 - Ilustração da reta tangente à função dada.

Podemos observar que o gráfico de T é a reta tangente ao gráfico de h, em

, temos ou

, (****)

onde é o erro que se comete ao aproximar por e ,

onde .

Substituindo em (****) , e dividindo ambos os membros por

, , obtemos

Aplicando o limite para a igualdade acima, temos que o primeiro membro

representa a derivada da função composta , no ponto , isto é,

No segundo membro, a primeira parte fica

Por outro lado, de , segue .

Temos .

x

y hh(x)

T(x)

xxo

E(x)T

15

Daí,

Portanto, .

Podemos notar, que a não ser pela autoras Flemming e Gonçalves (1992), os

demais autores que aparecem nesta pesquisa abordam a demonstração da Regra da

Cadeia considerando o erro de aproximação da reta Tangente ao gráfico da função dada.

E, dentre estes autores, apenas Guidorizzi (2001) faz uma tentativa de uma abordagem

gráfica para a demonstração de Regra da Cadeia.

Outros autores (GUIDORIZZI, 2002, FINNEY et al., 2002) enunciam a Regra da

Cadeia a partir da derivada de . "Se n é um inteiro e , as Regras da

Potenciação afirmam que . Se u é uma função derivável de x, podemos

aplicar a Regra da Cadeia, ampliando-a para a Regra da Cadeia para Potências:

" (FINNEY et al., 2002, p. 184). "Sendo f(x) derivável, é válida a

seguinte regra para a derivada de , onde é um real qualquer.

" (GUIDORIZZI, 2002, p. 159).

Como exemplo Guidorizzi (2002) pede para justificar o caso n = 2 e n = 3 usando

a regra do produto, isto é,

Para n = 2

Assim

Para n = 3

Assim

Num exemplo, Guidorizzi (2002) pede para calcular a derivada de .

Solução: , segue que

16

E portanto,

Nosso objetivo a seguir é estabelecer uma regra,

denominada regra da cadeia, para a derivada da função

composta . Esta função pode ser reescrita da

seguinte forma:

e

Sabemos que e .

Pois bem, a regra da cadeia para o cálculo da derivada de y

em relação a x é:

Observe que o cálculo de é realizado em cadeia:

primeiro calcula-se , em seguida, calcula-se e por último

multiplica-se por para obter . (GUIDORIZZI, 2002,

p. 160)

Assim o mesmo exemplo usando, agora, regra da cadeia fica da seguinte forma

Solução: Precisamos desmembrar a função em funções que

saibamos derivar.

é equivalente a e .

Temos e portanto , por outro lado .

Pela regra da cadeia, .

17

Simplificando e substituindo u por resulta que é o resultado

obtido no exemplo anterior.

Podemos notar, que alguns dos autores citados (GUIDORIZZI, 2001, ANTON,

2000a, ANTON, 2000b) abordam a Regra da Cadeia de uma forma algébrica bastante

forma, porém tentando trazer alguns gráficos na demonstração, pois seus livros estão

voltados para cursos de Matemática. Outros autores (LEITHOLD, 1990,

SWOKOWSKI, 1994, SANTOS E BIANCHINI, 2002, FINNEY et al., 2002,

FLEMMING E GONÇALVES, 1992) trazem uma abordagem algébrica, porém não têm

a preocupação de serem tão formais, procurando enfatizar a aplicabilidade, pois estes

livros são adotados em cursos como Engenharia. Já Guidorizzi (2002) traz uma

abordagem aplicada à Administração, não tendo a preocupação com demonstração, a

não ser de modo intuitivo.

Desta forma, de acordo com o curso, onde é adotado o livro, as abordagens de

Regra da Cadeia e sua demonstração são distintas. Porém, podemos observar que

quando a abordagem traz uma conotação gráfica, a demonstração algébrica não fica

isolada e, consequentemente, o conceito vai sendo produzido utilizando-se de várias

abordagens, não só a algébrica.

4. Considerações Finais

Este artigo tem por objetivo apresentar um levantamento que alguns autores de

Cálculo trazem em seus livros sobre Regra da Cadeia e discussões acerca de sua

demonstração. Foi necessário trazer outros elementos, tais como derivada, diferencial,

linearização parcial, Função Composta e suas representações algébrica e gráfica, para

que finalmente pudéssemos discutir Regra da Cadeia e sua demonstração.

Ao fazer esse levantamento podemos notar uma forte abordagem algébrica em

detrimento da abordagem gráfica. Minha proposta, que foge ao escopo desde artigo,

consiste em investigar como os estudantes, ao fazerem uma abordagem gráfica,

produzem conhecimento acerca de Regra da Cadeia, buscando uma alternativa à

abordagem estritamente algébrica. Apesar de não ser uma abordagem encontrada nos

livros, acredito que a abordagem gráfica, para Regra da Cadeia pode auxiliar no seu

entendimento e sua demonstração.

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