CÁLCULO DE MATRIZ PARA ELEMENTOS FINITOS

Sistemas de equações algébricas que relacionam Forças, Deslocamentos e Coeficientes de

Rigidez podem ser representados e resolvidos de forma compacta e elegante com auxílio da

Notação Matricial . (ALVES, 2003).

Tem-se que é possível realizar uma analogia entre sistemas com molas e outros sistemas

tais como barras, chapas, etc., de maneira que facilite a compreensão do método de cálculo por

elementos finitos de estruturas. Portanto:

Figura 1: a) Comparação entre Mola e b) uma Barra de um elemento Fonte: Alves (2003).

Então, uma barra que submetida a uma força axial de tração ou compressão terá o

comportamento equivalente ao de uma mola sob tração ou compressão.

(1)

Onde F é a força, k é a rigidez da mola, x é a deformação da mola, d é a variação de

comprimento e L é o comprimento inicial.

Então para o caso específico mostrado na figura 2, tem-se que o Nó do elemento 1 é

submetido a um deslocamento devido a força aplicada f1, mantendo-se o Nó 2 bloqueado.

Figura 2: Compressão de uma mola.

f2

k

1 2

x1 x2

f1 Mola

F2

EA/L

d1 d2

F1 Barra 2 1

a) b)

dL

EAFasimilaréxkF .. ====⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒====

f2 = -f1

k

1 2

x1 x2 = 0

f1 Mola

Para o caso específico mostrado na figura 2 e tomando-se as condições de equilíbrio do

sistema, tem-se que a reação encontrada no Nó 2 é f2 = -f1 pois tem sentido oposto a f1.

Desta forma colocando-se na forma Matricial tem-se:

Para uma Mola:

(2)

Supondo que se tenham as forças como incógnitas tem-se para este sistema duas

equações e duas incógnitas.

Sendo, portanto:

(3)

Substituindo x2 por zero tem-se:

(4)

Para uma Barra de um elemento:

(5)

Comparativamente tem-se da mesma maneira que k representa a rigidez da Mola, EA / L

representa a rigidez da Barra de um elemento.

Dados que o módulo de elasticidade E, a área A e o comprimento L são constantes, pode-

se isolar estas constantes da Matriz.

(6)

Quando o sistema possui mais de um elemento de mola tem-se:

Figura 3: Sistema de mola com dois elementos

====

−−−−−−−−

====

0.

2

1

2

1

x

x

kk

kk

f

f

====

−−−−

−−−−====

0.

2

1

2

1

d

d

LEA

LEA

LEA

LEA

F

F

====

−−−−−−−−

====

0.

11

11.

2

1

2

1

d

d

LEA

F

F

C

ka

Elemento 1 Elemento 2

A B

kb

(((( ))))212

211

.

.

kxxkf

kxxkf

++++−−−−====−−−−++++====

(((( ))))1212

1111

.0..

.0..

xkfkxkf

xkfkxkf

−−−−====⇒⇒⇒⇒++++−−−−========⇒⇒⇒⇒−−−−++++====

Figura 4: Procedimento para montagem da Matriz de Rigidez da estrutura. Fonte: Alves,

2003.

A montagem deste sistema de elementos mola possui liberdade apenas para deslocamento

unidirecional, permitindo a compressão ou tração devido a forças axiais.

As estruturas de vigas podem ter liberdade de movimentação em cada um de seus nós do

elemento.

A viga, no caso mais geral, pode transmitir forças axiais, momentos fletores em dois planos

perpendiculares contendo seus eixos principais, forças cortantes e momentos torçores. Vide figura a

seguir.

ka -ka

-ka ka

A B

A

B

kb -kb

-kb kb

B C

B

C

A

B

C

ka -ka 0

-ka ka + kb -kb

0 -kb kb

A B C

Figura 5: A viga e os graus de liberdade em um elemento. Fonte: Alves, 2003.

Considerando-se o comportamento de vigas dos fundamentos da resistência dos materiais

e impondo-se deslocamentos unitários transversais ∆ e de rotação θ ao elemento viga, resultam os

coeficientes de rigidez necessários.

(7)

(8)

Figura 6: Deslocamento em um nó.

(9)

(10)

(11)

Figura 7: Inclinação em um nó.

L R R

M2 M1

∆

∆∆∆∆.622,1 L

EIM ====

∆∆∆∆.123LEI

R ====

L R R

M2 M1

θ

θθθθ.21 L

EIM ====

θθθθ.62L

EIR ====

θθθθ.42 L

EIM ====

A disposisão dos “Elementos na Matriz”, que não comtempla forças axiais e apenas flexão,

é vinculada aos quatro graus de liberdade.

Figura 8: Graus de liberdade do elemento e a Matriz correspondente.

Sabe-se que para a matriz de um elemento, como mostrada na figura anterior, bem como,

na Matriz Global sempre tem-se uma matriz quadrada e que também haverá a simetria.

Figura 9: Simetria da Matriz do elemento.

k =

k =

1 3

4

2

−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−

−−−−

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

4626

612612

2646

612612

22

2323

22

2323

1 2 3 4

1

2

3

4

−−−−

−−−−−−−−

L EI

L EI

L EI

L EI

Simétrica

L

EI L

EI L

EI L EI

L EI L

EI

4626

126 12

4 6

12

2 2

32 3

2

3

Figura 10: Estrutura de pórtico Plano, constituida de Viga com Rigidez Axial e Rigidez á

Flexão no Plano. (Alves, 2003).

Figura 11: Matriz de rigidez global da estrutura sistema global de coordenadas. (Alves,

2003).

1ª. Linha

2ª. Linha

3ª. Linha

1ª. Coluna

2ª. Coluna

3ª. Coluna

2 REVISÃO DE ALGEBRA MATRICIAL

2.1. Generalidades

Figura 12: Exemplo de Matriz.

Sendo:

K11 o elemento localizado na 1ª. Linha e 1ª. Coluna

K23 o elemento localizado na 2ª. Linha e 3ª. Coluna

Desta maneira temos como índice o primeiro número indicando a linha e o segundo número

indicando a coluna em que está o elemento da matriz.

De modo geral pode-se expressar a posição em que se encontra um elemento por K ij em

que o elemento encontra-se na i-ésima linha e j-ésima coluna.

A matriz pode ser expressa de maneira compacta como:

Figura 13: Exemplo de simplificação de uma Matriz.

Neste exemplo tem-se uma matriz composta por 3 linhas e 3 colunas. Como esta possui o

mesmo número de linhas e de colunas diz-se que ela é é uma Matriz Quadrada de Ordem 3.

[ ]

=

333231

232221

131211

kkk

kkk

kkk

K

[ ] [ ]3x3ijKK =

Na equação {F} = [K] . {U} normalmente se conhecem as forças e rigidez mas, tem-se os

delocamentos U como incógnitas portanto, há necessidade de isolá-los. Para realizar o isolamento

desta matriz coluna é necessário utilizar o procedimento de inversão da matriz rigidez.

O procedimento de inversão passa por encontrar a Determinante da matriz, os cofatores, a

matriz transposta e a matriz identidade.

2.2 Determinante de Matriz

Para encontrar a Determinante de uma matriz é necessário somar os produtos de seus

elementos como mostrado no exemplo a seguir.

Figura 14: Procedimento para encontrar a determinante de um Matriz.

Note que a determinante de uma matriz é um número.

2.3 Matriz Transposta

Para a obtenção da Matriz Transposta é necessário trocar a posição dos elementos das

linhas para colunas conforme exemplo a seguir. Isto é obtido fazendo-se com que um elemento que

ocupe a posição i,j da Matriz [K] tenha a posição j,i da Matriz [K]T.

Figura 15: Procedimento para transpor uma Matriz.

2.4 Cofatores de Matriz

Os cofatores de uma matriz são números obtidos em função de sua posição na matriz e os

valores restantes da matriz quando se eliminam uma linha e uma coluna da matriz e multiplicados por

(-1)i+j que indica o cruzamento da linha e coluna eliminadas, conforme exemplo a seguir.

Para o elemento 1,1 da matriz do exemplo tem-se:

Figura 16: Procedimento para encontrar um dos cofatores de uma Matriz.

[ ] 122122112221

1211 .det kkkkKkk

kkK −=⇒

=

[ ] [ ]

=−

=

76

15

43

714

653 TKsetemK

[ ] ( ) ( ) 477.81.998

71.1

982

714

65311

11 −=−=

−=

= +KcofK

Para o elemento 3,2 da matriz do exemplo tem-se:

Figura 17: Procedimento para encontrar outro dos cofatores de uma Matriz..

A matriz dos cofatores teria o seguinte aspecto:

Figura 18: Resultado da matriz com os dois cofatores da Matriz.

Para inversão da matriz de rigidez tem-se então:

Figura 19: Resumo da inversão de uma Matriz.

Com a matriz de rigidez inversa é possível reescrever a equação da seguinte maneira:

Figura 20: Equação simplificada dos deslocamentos globais.

Onde {U} corresponde a matriz coluna dos deslocamentos globais e {F} corresponde a

matriz coluna das forças.

[ ] ( ) ( ) 36.47.374

63.1

982

714

65323

32 =+−=

−=

= +KcofK

[ ]

−=

3331

232221

1312

3

47

kk

kkk

kk

KCof

{ } [ ] { }FKU .1−=

[ ] [ ] [ ]TcofKK

K .det

11 =−

Figura 21: Visão geral do método dos elementos finitos. (Alves, 2003).