Capítulo 4

CONDUÇÃO BI-DIMENSIONAL,REGIME PERMANENTE

T1T2<T1q

Equação de calor (k cte e sem geração,coordenadas cartesianas):

€

∂ 2T∂x 2

+∂ 2T∂y 2

= 0

1

ρcp∂T∂ t

=∂∂ x

k ∂T∂ x

!

"#

$

%&+

∂∂ y

k ∂T∂ y

!

"#

$

%&+

∂∂ z

k ∂T∂ z

!

"#

$

%&+ !q

4.1- Método de separação de variáveis

Ex.: Placa plana retangular

00

L

W

y

x

T1,θ=0

T2,θ=1

T1,θ=0

T1,θ=0

€

θ ≡T −T1

T2 −T1

∂ 2θ∂x 2 +

∂ 2θ∂y 2 = 0

CC :θ(0,y) = 0 θ(x,0) = 0 θ(L,y) = 0 θ(x,W ) =1Sep. variáveis - hip.: θ(x,y) = X(x)Y (y)

⇒ - 1Xd2Xdx 2

fç x

=1Yd2Ydy 2

fç y

= λ2

cte

2

Adimensionalizando a temperatura:

02

2

2

2=+

yT

xT

∂

∂

∂

∂

Assim,d 2Xdx2

+λ 2X = 0⇒ X =C1 cosλx +C2 sinλx

d 2Ydy2

−λ 2Y = 0⇒Y =C3e−λy +C4e

λy

#

$%%

&%%

θ = C1 cosλx +C2 sinλx( ) C3e−λy +C4eλy( )

€

CC :θ(0,y) = 0→C1 = 0CC :θ(x,0) = 0→C2 sinλx C3 + C4( ) = 0⇒ C3 = −C4 (pois C2 ≠ 0 pois θ é função de x)

CC :θ(L,y) = 0→C2C4 sinλL eλy − e−λy( ) = 0

⇒ sinλL = 0→λ =nπL

(n =1,2,3,...)

θ = C2C4 sinnπxL

enπy / L − e−nπy / L( ) = Cn sinnπxLsinhnπy

L3

Como o problema é linear,

€

θ(x,y) = Cn sinnπxLsinhnπy

Ln=1

∞

∑

Cn :θ(x,W) =1= Cn sinnπxLsinhnπW

Ln=1

∞

∑

- O cálculo de Cn é feito usando funções ortogonais (qualquer função f(x) pode ser escrita em termos de uma série infinita de funções ortogonais: (2) (3)

- Obs: g1(x),g2(x), …, gn(x) são ortogonais em no intervalo (a,b) se:

€

gm(x)gn (x)dx = 0a

b∫ m ≠ n

f (x) = Angn (x)n=1

∞

∑

f (x)gn (x)dx =a

b∫ gn (x) Angn (x)

n=1

∞

∑ dxa

b∫

(1)

4

O único termo não nulo da eq. (3) é quando m=n:

€

f (x)gn (x)dx =a

b∫ An gn

2 (x)dxa

b∫

⇒ An =f (x)gn (x)dxa

b∫

gn2 (x)dx

a

b∫

Comparando as equações (1) e (2):

€

f (x) =1

gn (x) = sinnπxL

⇒ An =sinnπx

Ldx

0

L∫

sin2 nπxLdx

0

L∫

=2π(−1)n+1 +1

n

⇒ Cn =2 (−1)n+1 +1[ ]

nπ sinh(nπW /L) n = 1,2,3,...

5

f (x) = Angn (x)n=1

∞

∑ usando na eq. abaixo:

1f (x )! = Cn sin nπ x

LAn

! "# $#sinh nπW

Lgn (x )

! "# $#n=1

∞

∑

Então:

€

θ(x,y) =2π

(−1)n+1 +1nn=1

∞

∑ sinnπxL

sinh(nπy /L)sinh(nπW /L)

Assim,

θ=1

θ=0.75

θ=0.5

θ=0.25

θ=0

θ=0θ=0

6

4.2 - Métodos aproximados

- Fornecem soluções aproximadas

- Soluções devem ser comparadas com resultados experimentais ou de casos mais simples

- Ex.: métodos gráficos e métodos numéricos

7

4.3 - Método de diferenças finitas

- A solução é obtida em pontos discretos

- O primeiro passo é definir os pontos discretos, dividindo o domínio de interesse em pequenos volumes. Em cada volume temos 1 ponto nodal ⇒ Malha computacional

y,n

x,m

∆x∆y

Ponto nodal

m,n+1

m,n m+1,n

m,n-1

m-1,n

∆x

∆ym-1/2,n m+1/2,n

8

- Equação de condução de calor pode ser aproximada por diferenças finitas:

9

02

2

2

2=++

kq

yT

xT !

∂

∂

∂

∂

- Bi-dimensional, regime permanente

0=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ q

yTk

yxTk

x!

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

- Bi-dimensional, regime permanente, condutividade térmica constante

- Equação de calor 2D, regime permanente e sem geração de calor, obtida a partir de diferenças finitas:

€

∂ 2T∂x2 m,n

≈∂T /∂x m+1/ 2,n −∂T /∂x m−1/ 2,n

Δx

∂T∂x m+1/ 2,n

≈Tm+1,n −Tm,n

Δx∂T∂x m−1/ 2,n

≈Tm,n −Tm−1,n

Δx

⇒∂ 2T∂x2 m,n

≈Tm+1,n + Tm−1,n − 2Tm,n

Δx( )2 (1)

Analogamente,

∂ 2T∂y 2 m,n

≈Tm,n+1 + Tm,n−1 − 2Tm,n

Δy( )2 (2)

10

m,n+1

m,n m+1,n

m,n-1

m-1,n

∆x

∆y m-1/2,n m+1/2,n

Para uma malha uniforme, (i.e., ∆x=∆y) e sem geração de calor

Equação algébrica aproximada - eq. calor obtida por diferenças finitas

Substituindo (1) e (2) na equaçao de condução de calor, tem-se

( ) ( )0

2

22

112

11 =+−+

+−+ −+−+

kq

y

TTT

x

TTT nmnmnmnmnmnm !

ΔΔ

,,,,,,

( ) (4) 042

1111 =−++++ −+−+ nmnmnmnmnm TkxqTTTT ,,,,,Δ!

Para uma malha uniforme, (i.e., ∆x=∆y)

(4) 041111 =−+++ −+−+ nmnmnmnmnm TTTTT ,,,,,

-A equação também pode ser obtida a partir de um balanço de calor no VC que contém o ponto nodal (m,n):

m,n

€

˙ q

€

˙ E e + ˙ E g = 0⇒ qi→m,n + ˙ q ΔxΔyΔz=1

%

& '

(

) *

i=1

4

∑ = 0

Lei de Fourier : qm−1,n→m,n = k Δy.1( )Tm−1,n −Tm,n

Δx

qm,n +1→m,n = k Δx.1( )Tm,n +1 −Tm,n

Δy

12

€

Tm,n +1 + Tm,n−1 + Tm+1,n + Tm−1,n +˙ q Δx( )2

k− 4Tm,n = 0 (4)

Assim, a equação de energia 2-D, regime permanente e com geração de calor, para malha uniforme, fica:

- As eqs. discretizadas devem ser resolvidas para cada ponto nodal.-Para pontos no contorno, as equações devem ser obtidas separadamente, a partir de um balanço de calor - Exemplo:

m,n

T∞,h

€

qm−1,n→m,n = kΔyTm−1,n −Tm,n

Δx qm,n+1→m,n = kΔx

Tm,n+1 −Tm,nΔy

qm+1,n→m,n = k Δy2Tm+1,n −Tm,n

Δx qm,n−1→m,n = k Δx

2Tm,n−1 −Tm,n

Δy

13

-Balanço de calor no ponto nodal, considerando convecção na superfície externa:

€

q∞→m,n = h Δx2.1 T∞ −Tm,n( ) + h Δy

2.1 T∞ −Tm,n( )

⇒ qi→m,n )i=1

4

∑cond

+ q∞→m,n = 0

Para malha uniforme Δx = Δy( ) :

Tm−1,n + Tm,n+1 +12Tm+1,n + Tm,n−1( ) + h Δx

kT∞ − 3+

hΔxk

(

) *

+

, - Tm,n = 0

14

Exemplo:Usando o método de balanço de energia, derive a equação dediferenças finitas para (m,n) num plano localizado numa superfícieisolada, com geração de calor interna.

m,n+1

m,n-1

m,n

€

˙ q

m-1,n

y

x∆x/2

15

- Solução das equações de diferenças finitas:

- A solução dos sistemas de equações pode ser obtida por métodos diretos ou iterativos

Métodos diretos: envolvem um número fixo de operações Aritméticas. São mais utilizados para soluções de sistemas pequenos,Pois usam muita memória e gastam muito tempo computacional.

Métodos iterativos: mais utilizados para a soluções de sitemas Grandes. Requisitos computacionais reduzidos.

16

-Método de inversão de matrizes

• Considere um sistema de N equações e N incógnitas• A cada ponto nodal (m,n) é associado um número I• O sistema de equações algébricas a ser resolvido é dado por:

€

a11T1 + a12T2 + a13T3 + ...+ a1NTN = c1a21T1 + a22T2 + a23T3 + ...+ a2NTN = c2aN1T1 + aN 2T2 + aN 3T3 + ...+ aNNTN = cN

"

# $ $

% $ $

⇒

a11 a12 a13 a1Na21 a22 a23 a2Na31 a32 a33 a3N aN1 aN 2 aN 3 aNN

'

(

) ) ) ) ) )

*

+

, , , , , ,

A[ ]

T1T2T3TN

'

(

) ) ) ) ) )

*

+

, , , , , ,

T[ ]

=

c1c2c3cN

'

(

) ) ) ) ) )

*

+

, , , , , ,

C[ ]

⇒ T[ ] = A−1[ ] C[ ]

Obs.: O cálculo dematrizes inversas podenão ser numericamente eficiente 17

[ ][ ][ ] [ ][ ]CATAAI

11 −− =!"!#$

[ ] [ ] [ ]CTA =

-Método iterativo de Gauss-Seidel1.  As equações algébricas devem ser ordenadas tal que os elementos diagonal sejam maiores que os outros (|a11|>|a12|,|a13|,…)→sistema diagonal dominante (taxa de convergência maximizada)2.  Depois desta reordenação deve-se explicitar a incógnita (T):

3.  Deve-se fornecer um valor inicial para T em cada ponto nodal4.  Novos valores para T são calculados a cada iteração k5.  As iterações terminam quando um critério de convergência é satisfeito (p.ex., |Ti

k- Tik-1| ≤ ε)

€

Tik =

ciaii

−aijaiij=1

i−1

∑ Tjk −

aijaiij= i+1

N

∑ Tjk−1 i:1,2,…,N

k:iteração

18

Comentários

Os resultados obtidos numericamente devem ser sempre verificados:- Podem ser feitos balanços de energia- Comparações com resultados experimentais- Soluções de problemas com mesmas características, porém com algumas simplificações (p.ex., geometrias mais simples)-Comparações com soluções exatas conhecidas-Comparações com resultados numéricos da literatura

A definição da malha computacional deve levar em conta o fato de que os resultados não podem depender da malha: testes de malha devem ser realizados. A malha escolhida deve levar em conta a precisao dos resultados e o custo computacional: resultado mais preciso→maior custo computacional

19