Universidade Federal da Bahia Departamento de Matemática

Laboratório de Ensino de Matemática

III Bienal da SBM

06 a 10 de novembro de 2006

Construção de Cones Utilizando Isometrias do Plano

Elinalva Vergasta de Vasconcelos Graça Luzia Dominguez Santos Maria Christina Fernandes Cardoso Verlane Andrade Cabral

2

ÍNDICE

Introdução .......................................................................................................................................... 3

I - Isometrias do plano com cone circular .......................................................................................... 4

II - Modelo de seção plana - elipse .................................................................................................... 9

III - Modelo do cone com cilindro ..................................................................................................... 15

Apêndice 1 – Alguns conceitos e resultados de Geometria Diferencial ............................................ 22

Bibliografia ........................................................................................................................................ 24

3

INTRODUÇÃO

A construção da superfície cônica circular (cone) pode ser obtida a partir do setor circular

desenhado em um material considerado plano como papel, cartolina, acetato ou outro material similar.

Essa oficina apresenta a isometria do plano com o cone circular, o que permite planejar a altura, a medida

da geratriz ou o ângulo da geratriz com eixo do cone. Além disso, para modelos que envolvem mais de

uma superfície, mesmo tendo a facilidade de construção do cone, é importante conhecer as equações das

curvas de interseção e as suas parametrizações. Desse modo, utilizando isometria, é possível fazer cortes

no material considerado plano que após modelagem, proporcionam encaixes perfeitos para montagem de

modelos concretos no espaço físico tridimensional.

Nessa oficina será apresentado o método de construção de dois modelos:

• Cone secionado por um plano determinando uma elipse.

• Cone e cilindro circular com uma geratriz coincidente com o eixo do cone.

Será utilizado o conhecimento de parametrizações de curvas e de superfícies, da função

comprimento de arco e de isometrias. Maiores detalhes podem ser encontrados em [1] ou [2].

Essas notas, direcionadas aos participantes da Oficina "Construção de Cones Utilizando Isometrias

do Plano", fazem parte do texto "Isometrias do Plano e Construção de Modelos Concretos com Superfícies

Cilíndricas e Cônicas" que vem sendo elaborado no Laboratório de Ensino de Matemática da UFBA com o

objetivo de apresentar um método de construção de modelos concretos dessas superfícies. Para atingir,

mais rapidamente os objetivos dessa oficina, omitimos os detalhes sobre as isometrias do plano com

cilindro, utilizadas nos capítulos II e III dessas notas.

Quando nos referirmos a superfície tanto pode significar superfície parametrizada quanto o seu

traço.

4

I - ISOMETRIAS DO PLANO COM O CONE CIRCULAR

Para que duas superfícies parametrizadas Y e Y sejam isométricas, devemos ter Y e Y definidas

em um aberto U do R2, injetivas, de modo que os coeficientes da primeira forma quadrática de Y e Y

coincidam. A aplicação φ = Yo1

Y−

é chamada isometria entre Y e Y .

Um modelo concreto que represente uma superfície isométrica ao plano é obtido modelando um

material considerado plano como, por exemplo, um pedaço de papel, o que implica que o domínio da

parametrização tenha que ser um conjunto V limitado e fechado. Sendo U o aberto onde foram definidas

inicialmente as parametrizações, o conjunto V deve ser o fecho de um conjunto limitado W, onde W é um

subconjunto do aberto U. A inclusão dos pontos de fronteira de W faz com que as parametrizações deixem

de ser regulares ou injetivas mas, é necessária pois esses pontos vão corresponder às bordas do modelo

concreto ou serão necessários para representar os pontos identificados no processo da colagem do material.

Vamos considerar a parametrização do plano Y tal que Y (r, θ) = (r.cosθ, r.sen(θ), 0) e encontrar

uma parametrização Y do cone de altura h, raio da base a e geratriz g, tal que Y e Y sejam isométricas.

Usando que a razão do comprimento de arco 2πa com o ângulo θs do setor é igual à razão do

comprimento 2πg da circunferência com 2π, obtemos que

θs = 2πga = 2π.sen(θo),

sendo θo o ângulo formado pela geratriz e o eixo do cone (Figura 1.1).

Relação entre ângulo do setor e ângulo do cone com seu eixo.

Figura 1.1

Consideremos o cone circular S com vértice na origem e eixo coincidente com eixo Oz, z > 0.

Vamos mostrar que a aplicação Y: U → R3, U ={(r, θ) ∈ R2 / r > 0 e 0 < θ < 2πsen(θo)}, tal que

θo

a

g h

senθo = ga θs = 2π.senθo

θs

2πa

g

5

Y(r,θ) =

θ

θ h,g/a

sen.a,g/a

cos.agr =

θ

θθ

θ

θθ

θ oo

oo

o cos.r,)sen(

sen).sen(.r,)sen(

cos).sen(.r

é uma parametrização de S menos uma geratriz. O importante é que Y é isométrica ao plano Y : U → R3.

De fato, os coeficientes da primeira forma quadrática de Y e Y são respectivamente,

E = 1 , F = 0 e G = r2

e

E = 1, F = 0 e G = r2.

Como S é a família de semi-retas que passam pela origem e pelos pontos (a.cos(t), a.sen(t), h)

(Figura 1.2), temos que uma parametrização de S menos uma geratriz é dada por

X(λ,t) = λ(a.cos(t), a.sen(t), h), λ > 0, t∈(0, 2π).

Cone gerado por retas passando pela origem. Figura 1.2

Utilizando coordenadas polares (r,θ), vamos reparametrizar X de modo a obter Y isométrica a Y .

Para cada t constante, temos a curva

γt(λ) = λ(a.cos(t), a.sen(t), h), λ > 0,

cujo comprimento de arco de 0 a λ deve ser igual a r. Assim,

λ+=+=γ ∫∫λλ

haduhadu)u( 22

0 22

0 't = r,

ou seja,

gr

ha

r22=

+=λ , sendo r > 0.

Para λ constante, temos a curva

(r.cosθ, r.senθ, 0) θ

•

• φ

γt

δλ

(a.cos(t), a.sen(t), h) r

6

δλ(t) = λ(a.cos(t), a.sen(t), h), t∈(0, 2π),

cujo comprimento de arco 0 a t deve ser igual a r.θ. Desse modo, obtemos

t.a.du.a. du )u(

0

t

0 ' λ=λ=δ ∫∫

λλ = r.θ,

ou seja,

oseng/aa..rt

θθ

=θ

=λθ

= .

Como t ∈ (0, 2π), então 0 < θ < 2πsen(θo).

Com as considerações anteriores, concluímos que

X(λ,t) = λ(a.cos(t), a.sen(t), h) =

θ

θ h,g/a

sen.a,g/a

cos.agr =

θ

θθ

θ

θθ

θ oo

oo

o cos.r,)sen(

sen).sen(.r,)sen(

cos).sen(.r = Y(r,θ).

Observemos que

φ(r.cos(θ),r.sen(θ),0) = Yo ),r(Y)0),(sen.r),cos(.r(Y1

θ=θθ− ,

o que significa que é suficiente aplicar Y a pontos (r,θ) para obter a imagem da isometria φ. Além disso,

podemos identificar pontos (u, v, 0) com (u,v) e dizer que aplicamos a isometria φ a pontos

(r.cos(θ),r.sen(θ)) do plano R2, para obter o cone S.

Para os modelos que construiremos nesta oficina, vamos considerar o cone circular S de equação

z2 = x2 + y2, limitado pelos planos z = h e z = -h, para algum h > 0. Assim, o eixo de rotação coincide com

o eixo Oz, a geratriz faz um ângulo de 4π com o eixo Oz, g = h2 e

( ) ( )

θθ=θ r

22,2senr

22,2cosr

22),r(Y (I)

Observemos que, se θ = 0 ou θ = θs = 2π.sen4π = π2 , de (I) obtemos

)2,r(Yr22,0,r

22)0,r(Y π=

= e a colagem do cone corresponde à reta

==

0yxz

. Para a confecção dos

modelos, em lugar de θ variar entre 0 e π2 , vamos escolher θ entre 42π

− e 423 π . Desse modo, a

colagem do cone vai corresponder à reta

=−=0x

yz (Figura 1.3). Em resumo, como domínio fechado e

limitado de Y, dado por (I), vamos escolher

7

V =

π

≤≤π

≤≤∈423θ

42- eh 2r0 ;Rθ)(r, 2 . (II)

Isometria entre setor e cone com acréscimo de pontos de fronteira no domínio para a colagem no cone.

Figura 1.3

As curvas que limitam o setor (Figura 1.4) são dadas por:

423θ

42- ),0,)hsen(2, )hcos(2(),h2(Y)A(θ π

≤≤π

θθ=θ=

π−

π−=

π−= 0,

42senr,

42cosr

42,rY)r(R1 , h2r0 ≤≤ ;

π

π=

π= 0,

423senr,

423cosr

423,rY)r(R 2 , h2r0 ≤≤ .

Como podemos identificar pontos (u, v, 0) com (u,v) basta aplicarmos a isometria φ aos pontos

(r.cos(θ),r.sen(θ)) do plano R2, para obter o cone S. Assim, para confecção do modelo temos o setor

limitado pelas curvas:

φ

Y Y

u

v

w z

y x

θ

r

(1)

(1)

(1)

V

8

( )423θ

42- ,)hsen(2, )hcos(2)A(θ π

≤≤π

θθ=

π−

π−=

42senr,

42cosr)r(R1 , h2r0 ≤≤ ;

π

π=

423senr,

423cosr)r(R 2 , h2r0 ≤≤ .

Curvas que limitam o setor Figura 1.4

R1

A

R2

9

II - MODELO DE SEÇÃO PLANA – ELIPSE Vamos apresentar a construção do modelo do cone S: z2 = x2 + y2 com um plano Π que não passa

na origem, cujo ângulo δ com o eixo de rotação Oz está entre os valores 0 e 4π . Desse modo, a interseção

é uma elipse E.

Escolhendo o plano Π de vetor normal (0,1,4) e passando pelo ponto P(0, -3h/4, 3h/4), temos que

sua equação é y + 4z +d = 0, com d = -9h/4 (Figura 2.1). Observemos que, nesse caso, π/4 < δ< π/2 pois

δ = arcsen ( 17/174 ) ≅ 1,32. A elipse E está contida no semi-espaço 0≥z e tem equação

E:

=+++=

0dz4yyxz 222

.

Projeção do cone S e do plano Π no plano yOz. Interseção do cone S e do plano Π, determinando uma elipse. Figura 2.1

Da expressão anterior obtemos,

z = (-d-y)/4 e y2 + 2dy + d2 = 16 x2 + 16 y2 e, conseqüentemente,

E:

+−=

=+−

4ydz

1

15dx

15d16

)15dy(

2

2

2

2

2

Portanto, uma parametrização da elipse é

∏

S

(0,-3h/4,3h/4) > y

z

10

E: ( )

( )

+−=

+=

=

)tsen(415dz

)tsen(4115dy

)tcos(15dx

. (III)

Para determinar a curva (r(t),θ(t)), tal que Y(r(t),θ(t)) é a elipse E no cone S (Figura 2.2),

igualamos a parametrização de E com Y(r(t),θ(t)).

Curva plana que é levada na elipse contida no cone.

Figura 2.2

Das equações (I) e (III), obtemos

22r(t)θ(t)),2r(t)sen(

22θ(t)),2r(t)cos(

22 = ( ) ( )

++ )tsen(4

15d,-cos(t)1

15dcos(t),

15d .

Logo,

cos(t)15dθ(t))2r(t)cos(

22

= , 154sen(t))d(1θ(t))2r(t)sen(

22 +

= e ( ))tsen(4d15

2)t(r +−=

φ

Y Y

u v

w z

y x

θ

r

E

a2(t)

))t(a(Y 1

))t(a(Y 2

a1(t)

11

Do domínio da parametrização do cone S, equação (II), temos 423

42 π

≤θ≤π

− .

Se 2

22

π≤θ≤

π− e

4π23θ

4π2

≤≤− então 4π2θ

4π2

≤≤− . Assim,

++

−=)tsen(4)tsen(41

arcsen22θ(t) ,

2t

2ππ

≤≤− .

Se 2

322

π≤θ≤

π e 423

42 π

≤θ≤π

− então 423

42 π

≤θ≤π . Temos,

+

++

−= π)tsen(4

4sen(t)1-arcsen22θ(t) ,

2t

2ππ

≤≤− .

As imagens por Y das curvas planas parametrizadas a1: 2R2π,

2π

→

− e a2 : 2R

2π,

2π

→

− ,

tais que

a1(t) =

++

−+−=)tsen(4)tsen(41arcsen

22sen(t),(4d

152θ(t))r(t),(

e

a2(t) =

+

++

−−+−= π)tsen(4)tsen(41arcsen

22sen(t),d(4

152θ(t))(r(t), .

representam E no cone S .

Assim, ))t((aY 1 e ))t((aY 2 são as curvas no setor circular que são levadas pela isometria φ em E

(Figura 2.2).

Vamos agora obter a representação da curva no plano que é levada em E contida em

Π: y + 4z +d = 0, d = 4h9

− . Encontrando-se os coeficientes da primeira forma quadrática, verifica-se que a

parametrização 3RU:X → de Π dada por

−−=

4du

171u,

174v,v)X(u, (IV)

é isométrica ao plano X : U → R3, tal que =v)(u,X (u,v,0) (Figura 2.3).

Utilizamos as equações (III) e (IV), obtemos

−

4d

17u(t)

u(t),-174v(t), = ( )

++ )tsen(4

15d4sen(t)),-(1

15dcos(t),

15d

12

Curva plana que é levada na elipse contida no plano.

Figura 2.3

Assim,

v(t) = cos(t)15d e u(t) =

+

15)tsen(41(d

417 , π≤≤ 2t0 .

Logo, b: [0,2π] → R2, tal que b(t) =

+

= cos(t)15d,

154sen(t)d(1

417v(t))(u(t), , é levada pela

X em E.

Para a construção do modelo concreto, vamos limitar o plano Π pelos planos x = - h, x = h, y = - h e

y = h. Isso significa que Π é a imagem do retângulos de vértices

h,h

417 ,

−h,h

417 ,

−− h,h

417

e

− h,h

417 (Figura 2.3).

As figuras 2.4 e 2.5 mostram, respectivamente, os moldes do setor com os traços das curvas 1aY o ,

2aY o e do retângulo com o traço da curva obX (coincidindo com o traço de b), correspondentes ao

modelo da Figura 2.1. Para estes moldes, foi considerado h =1 e a uma unidade de comprimento foi

φX

X X

u

w

u

r

X (b(t))

v

b(t)

z

y x

E

Π

13

escolhida apenas para que as figuras atendessem às dimensões da página dessas notas. Seguem os

comandos (software MAPLE V) para a obtenção dessas curvas.

Comandos correspondentes ao cone:

with(plots):

h:=1; dd:=-9*h/4; A:=sqrt(2); g:=A*h;

t0:=-A*Pi/4; t1:=3*A*Pi/4;

rt:=-(A*dd/15)*(4+sin(t));

theta1t:=(A/2)*arcsen(-(1+4*sin(t)) / (4+sin(t)));

theta2t:=- theta1t + (A/2)*Pi;

Elipse1cone:=plot([rt*cos(theta1t),rt*sin(theta1t),

t=-Pi/2..Pi/2]):

Elipse2cone:=plot([rt*cos(theta2t),rt*sin(theta2t),

t=-Pi/2..Pi/2]):

Arco:=plot([g*cos(t),g*sin(t),t=t0...t1]):

Reta1:=plot(r*cos(t0),r*sin(t0), r=0...g]):

Reta2:=plot(r*cos(t1),r*sin(t1), r=0...g]):

display([Elipse1cone, Elipse2cone, Arco, Reta1, Reta2],

scaling=constrained);

Comandos correspondentes ao plano:

with(plots):

h:=1; dd:=-9*h/4; a:=sqrt(15); Ro:=sqrt(17)/4;

Elipseplano:=plot([ R0*(dd/15)*(1+4*sin(t)), dd*cos(t)/a,

t=0..2*Pi]):

Retangulo:=poygonplot([ [Ro,1], [Ro,-1], [-Ro,-1], [-Ro,1] ] ):

display([Elipseplano, Retangulo],scaling=constrained);

14

Figura 2.4

Figura 2.5

15

III - MODELO DO CONE COM CILINDRO

Consideremos o cone S: z2 = x2 +y2 e o cilindro S1 de equação (x-1)2 + y2 = 1 (Figura 3.1).

Cone e cilindro

Figura 3.1

A interseção de S com S1 é a curva C:

+=

=+−222

22

yxz

1y)1x(.

Podemos, então, escrever

x = cos(t) + 1, y = sen(t), z = =+±=++± 2cos(t)2(sen(t))cos(t))(1 22 ±2cos(t/2).

e representar C através das parametrizações

C1: π],[- t , 2cos(t/2)zsen(t)y

1cos(t)xπ∈

==

+= e C2: ],[- t ,

2cos(t/2)zsen(t)y

1cos(t)xππ∈

−==

+=. (V)

Vamos determinar, inicialmente, a curva no plano que é levada em C no cilindro S1.

Uma diretriz do cilindro S1 é a circunferência

==+−

0z1y)1x( 22

que pode ser parametrizada pelo

comprimento de arco por α(u) = (cos(u) +1, sen(u), 0), u ∈ (-π, π). Assim, obtemos a parametrização de

S1:

Z(u,v) = (cos(u) + 1, sen(u), v), (VI)

(u,v) ∈ (-π, π)×R, que é isométrica ao plano X : U → R3, tal que X (u,v) = (u,v,0), (u,v) ∈ (-π, π)×R.

Podemos identificar os pontos (u,v,0) com os pontos (u,v) e considerar Z como a isometria entre o

plano e S1.

Para o modelo concreto, vamos considerar u ∈ [-π, π] e, como temos que limitar o cilindro, vamos

16

considerar v ∈ [a, b], para constantes a e b a serem determinadas, convenientemente. Observemos que a

escolha do intervalo [-π, π] implica que a colagem do modelo coincide com o eixo Oz (Figura 3.2).

Colagem do cilindro coincidindo com o eixo Oz. Figura 3.2

Vamos determinar a curva (u(t),v(t)), tal que Z(u(t),v(t)) é a curva C no cilindro S1. De (V) e (VI)

obtemos

cos(u(t)) = cos(t), sen(u(t)) = sen(t), v(t) = 2cos(t/2)

e

cos(u(t)) = cos(t), sen(u(t)) = sen(t), v(t) = -2cos(t/2).

Daí,

u(t) = t, v(t) = 2cos(t/2), t ∈ [-π, π]

e

u(t) = t, v(t) = -2cos(t/2), t ∈ [-π, π].

Logo, temos as curvas planas a1: [-π, π] → R2 e a2: [-π, π] → R2 tais que a1(t) = (u(t),v(t)) =

(t,2cos(t/2) e a2(t) = (u(t),v(t)) = (t,-2cos(t/2) que são levadas em C por Z, respectivamente (Figura 3.3).

Curva plana que é levada na curva C contida no cilindro. Figura 3.3

(1)

(1) (1) b

a

π -π Z x y

Z

a2

a1

C

C

x y

17

Como vimos no Capítulo I, uma parametrização do cone S: z2 = x2 + y2, z > 0, isométrica ao

plano ),0)rsen( ),(rcos(θ)(r,Y θθ= , é a aplicação Y dada pela equação (I), definida no domínio V (equação

(II)). A constante g será determinada de acordo com as constantes a e b relativas ao cilindro S1.

Pela simetria do modelo, podemos construir duas vezes a parte correspondente a z ≥ 0. Portanto, é

suficiente determinar a curva (r(t),(θ(t)), tal que Y(r(t),(θ(t)) é a curva C1.

Igualando as parametrizações do cone S e de C1, obtemos:

( ) 1cos(t)θ2rcos22

+= , ( ) sen(t)θ2rsen22

= , 2tcos22r = .

Se t ≠ π e t ≠ -π, então r(t) ≠ 0 e

( ))2/tcos(2

1cos(t)θ2cos += .

Da expressão anterior, considerando que 423

42- π

≤θ≤π , para π≤θ≤ )t(20 e

0)t(2- ≤θ<π , temos respectivamente,

+=

2cos(t/2)1cos(t)arccos

22θ(t) e

+−=

2cos(t/2)1cos(t)arccos

22θ(t) , sendo t ∈ [0, π).

Logo, temos as curvas b1: [0, π] → R2 e b2: [0, π] → R2 tais que

π=

π

π∈

+

=

t se ,420,

),0[t se ,2cos(t/2)

1cos(t)arccos22),2/tcos(22

)t(b1

e

π=

π

π∈

+−

=

t se ,420,-

),0[t se ,2cos(t/2)

1cos(t)arccos22),2/tcos(22

)t(b2

que são levadas em C1 por Y e as curvas 1bY o : [0, π] → R3 e 2bY o : [0, π] → R3 que são levadas em C1

pela isometria entre o plano e o cone S (Figura 3.4).

18

Curva plana que é levada na curva C contida no cone.

Figura 3.4

Observemos que P(2,0,2) é o ponto de C que tem maior cota e Q(2,0,-2), o de menor cota. Para a

construção desse modelo, com relação ao domínio da parametrização Z(u,v) citado no início desse

capítulo, vamos considerar b = 2 +1/4 e a = -b (Figura 3.5). Desse modo a parte mais alta de S1 fica acima

de P e a parte mais baixa, abaixo de Q. Para que o cone tenha a mesma altura do cilindro S1, consideremos

a sua geratriz g = 22 bb + = 2b . As figuras 3.5 e 3.6 representam, respectivamente, os moldes do

retângulo com os traços de a1 e a2 e do setor com os traços das curvas 1bY o e 2bY o , correspondentes ao

modelo da Figura 3.1. Seguem os comandos para a obtenção dessas curvas.

Comandos correspondentes ao cilindro:

with(plots):

a1:=plot([t,2cos(t/2),t=-Pi...Pi]):

a2:=plot([t,-2cos(t/2),t=-Pi...Pi]):

n1:=Pi,n2:=2+1/4;

Retangulo:=ploygonplot([[n1,n2], [-n1,n2], [-n1,-n2],

[n1,-n2]):

display([a1,a2,Retangulo],scaling=constrained);

Comandos correspondentes ao cone: with(plots):

rt:=2*sqrt(2)*cos(t/2);

thetat:=(sqrt(2)/2)*arccos((cos(t)+1)/(2*cos(t/2)));

Co1:=plot([rt*cos(thetat),rt*sin(thetat),t=0...Pi]):

Co2:=plot([rt*cos(-thetat),rt*sin(-thetat),t=0...Pi]):

g:=sqrt(n2^2+n2^2); t1:=sqrt(2)*Pi/4;

Circunferencia:=plot([g*cos(t1),g*sin(t1),t=-t1...3*t1):

Reta1:=plot([t*cos(-t1),rt*sin(-t1),t=0...g]):

Reta2:=plot([t*cos(3*t1),rt*sin(3*t1),t=0...g]):

display([Co1,Co2,Circunferência,Reta1,Reta2],scaling=

constrained);

φ

Y Y

Y (b2(t))

Y (b1(t))

b2

b1

C

x y

19

Figura 3.5

Figura 3.6

20

Uma outra opção para construção de modelo é considerar, com relação ao cilindro, apenas a região

interior aos traçados das curvas a1 e a2 (Figura 3.7) e obter o modelo correspondente à Figura 3.8.

Região entre as curvas planos a1 e a2 e sua imagem no cilindro obtida por isometria. Figura 3.7

Outra opção de modelo de Cone e cilindro

Figura 3.8

Z

a1

a2

x

z

y

21

Aplicação ao Cálculo

O volume do sólido D limitado pelo cone z2 = x2 +y2 e pelo cilindro (x-1)2 + y2 = 1 é dado por

Vol = ∫∫∫D

dxdydz .

Utilizando coordenadas cilíndricas, temos

Vol = ∫ ∫ ∫π

π−

θθ

2

2

)2cos(

0

r

r-rdzdrd = ∫ ∫

π

π−

θθ

2

2

)2cos(

02drd2r = ∫ ∫

π

π−

θθ

2

2

)2cos(

02drd2r = ∫

π

π−θθ

2

2 3 d)(cos

316 =

=9

80 .

Para calcular a área do cone 22 yxz += delimitada pelo cilindro (x-1)2 + y2 = 1, consideremos

U = {(u,v)∈R2 / (u-1)2 + v2 ≤ 1} e a parametrização do cone ϕ(x,y) = (x,y, 22 yxz += ), (x,y) ∈ U.

Assim,

Acone = dxdyy

xx

U∫∫ ∂

ϕ∂∂ϕ∂ = ∫∫

U

dxdy2 = )U(A2 = π2 .

Para calcular a área do cilindro (x-1)2 + y2 = 1 delimitada pelo cone 22 yxz += , consideremos a

U = {(u,v)∈R2 /

−

2tcos2 ≤ v ≤

2tcos2 , -π ≤ u ≤ π} e a parametrização do cilindro ϕ(t,z) =

(cos(t)+1, sen(t), z), (t,v) ∈ U. Daí,

Acilindro = dtdzz

xt

U∫∫ ∂

ϕ∂∂ϕ∂ =

( )( )

∫ ∫π

π−

2tcos2

2tcos2- dtdz = dt

2tcos8

∫

π

π− = 16 .

Na última integral acima, podemos observar que a área do cilindro coincide com a área da região

limitada pelos traços das curvas a1 e a2, apresentada na Figura 3.7, usando integral simples, o que era

esperado em consequência da parametrização escolhida e da isometria entre o cilindro e o plano.

22

APÊNDICE 1

Alguns conceitos e resultados de Geometria Diferencial

• Definição: A aplicação ∫ α=t

ot

dt|)t´(|)t(s é denominada de função comprimento de arco da curva

α a partir de to.

• Definição: Uma curva regular α: I → R3 regular (α´(t) ≠ 0, ∀ t ∈ I) é dita parametrizada pelo

comprimento de arco, se para cada t0, t1 ∈ I, t0 ≤ t1 o comprimento de arco da curva α de t0, a t1 é

igual a t1 – t0.

• Teorema: Uma curva α: I → R3 está parametrizada pelo comprimento de arco, se e só se, ∀ t ∈ I,

|α´(t)| = 1

• Proposição: Seja α: I → R3 uma curva regular e s: I → s(I) a função comprimento de arco de α a

partir de t0. Então, existe a função inversa s-1 de s, definida no intervalo J = s(I) e β = α o s-1 é uma

reparametrização de α, onde β está parametrizada pelo comprimento de arco.

• Definição: Uma superfície parametrizada regular, ou simplesmente uma superfície é uma aplicação

X: U → R3, onde U é um aberto do R2, tal que:

a) X é diferenciável de classe C∞;

b) Para todo q = (u,v) ∈ U a diferencial de X em q, dXq:R2 → R2, é injetora.

• Definição: O plano tangente a X em q = (u0,v0) é o conjunto de todos os vetores tangentes a X em

q, que denotamos por TqX..

• Definição: Seja X: U ⊂ R2 → R3 uma superfície parametrizada regular, para qualquer q ∈ U a

aplicação Iq: TqX → R; Iq(w) = <w,w> = | w |2 é denominada a primeira forma quadrática de X em

q.

E(q) = <Xu,Xu>(q), F(q) = <Xu,Xv>(q), e G(q) = <Xv,Xv> são denominados coeficientes da

primeira forma quadrática.

23

• Definição: Sejam X(u,v) e X (u,v), (u,v) ∈ U ⊂ R2 superfícies simples, isto é, X e X são injetivas.

Dizemos que X e X são isométricas, se para todo (u,v) ∈ U os coeficientes da primeira forma

quadrática de X e X coincidem.

Neste caso, X: U → X(U) = S e X : U → X (U) = S são bijetoras, e φ: X oX-1: S→ S é chamada

de isometria. Então φ preserva “distância” entre os pontos correspondentes nos traços das

superfícies.

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BIBLIOGRAFIA

[1] Carmo, M. do – Differenhcial Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, 1976.

[2]Teneblat, Keti – Introdução à Geometria Diferencial, Editora UNB, 1990.

[3] ____________ - Isometrias do Plano e Construção de Modelos Concretos com Superfícies Cilíndricas e Cônicas.