CSE-MME Revisão de Métodos Matemáticos para Engenhariaperondi/07.02.2012/CSE-MME_CLASSE_07-02-2012.pdf · Revisão de Métodos Matemáticos para Engenharia ... Engenharia e Gerenciamento

CSE-MME

Revisão de Métodos Matemáticos

para Engenharia

Engenharia e Tecnologia Espaciais – ETE

Engenharia e Gerenciamento de Sistemas Espaciais

Engenharia e Tecnologia Espaciais – ETE

Engenharia e Gerenciamento de Sistemas Espaciais

07.02.2012 L.F.Perondi

07.02.2012

1.1 – Definições

1.2 – Classificação de Equações Diferenciais

Ordinárias (EDO)

1.3 – Solução de EDO de primeira ordem

1.4 – Solução de EDO de ordem superior

1.5 – Problemas de Valor Inicial

1.6 – Problemas de Valor de Contorno

1.6 – Equações diferenciais como modelos

matemáticos de fenômenos

1 - Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

Sumário

CSE-MME-b

07.02.2012

Uma variedade de problemas em Física e Engenharia (e em

outras áreas) são formulados em termos de equações

diferenciais.

De forma geral, uma equação diferencial expressa uma relação

entre uma quantidade e suas variações com respeito a uma ou

mais variáveis independentes.

Equações diferenciais ordinárias apresentam uma única

variável independente ,enquanto que equações diferenciais

parciais apresentam duas ou mais variáveis independentes.

Nesta revisão, nos restringiremos às equações diferenciais

ordinárias.

1.1 - Definições

CSE-MME Equações Diferenciais Ordinárias EDO – 07.02.2012

07.02.2012

Exemplo de notação utilizada:


Exemplos de equações:

07.02.2012

Equações diferenciais ordinárias podem ser classificadas

quanto às seguintes características: tipo, ordem e linearidade.

1.2.1 – Classificação por Tipo

Se a equação contiver somente derivadas de uma ou mais

funções dependentes em relação a uma única variável

independente, ela será denominada de equação diferencial

ordinária (EDO), caso contrário será denominada de equação

diferencia parcial (EDP).

1.2 – Classificação das Equações

Diferenciais


07.02.2012

Exemplos:

EDO:

EDP:


07.02.2012

1.2.2 – Classificação por Ordem

A ordem de uma equação é definida como sendo igual à da

derivada de maior ordem na equação.

Ex.: ordem 2;

ordem 2.

ordem 1.


07.02.2012

1.2.3 – Classificação por Linearidade

Uma equação de ordem n

é classificada como linear quando F é linear em

.

A forma geral de uma equação linear é dada por:

- potência 1 para todas as derivadas,

- coeficientes são funções unicamente da variável independente.


07.02.2012

Exemplos:

lineares,

não lineares.


07.02.2012

forma geral;

forma normal.

Nem toda equação diferencial pode ser expressa na forma

normal (ex.: equações diferenciais que sejam transcedentais

na maior derivada).

Nesta revisão, nos restringiremos às equações diferenciais que

possam ser expressas em sua forma normal.


1.2.4 – Formas Geral e Normal de uma Equação

07.02.2012

1.3.1 – Existência de Solução Única

Dada a equação de ordem 1

haverá uma solução única em uma região do plano x-y se, e

somente se, e forem contínuas nesta região.

Exemplos:


1.3 – Equações Diferenciais de Ordem 1

Soluções em regiões que

incluem y = 0 não serão

necessariamente únicas.

Esta equação apresentará

solução única para qualquer

região do plano x-y.

07.02.2012

1.3.2 – Soluções para Casos Especiais

A)

B)



07.02.2012


C) Separação de Variáveis

D) Equação Linear

onde é a solução da equação homogênea e uma

solução particular.



07.02.2012

D) Equação Linear (cont.)



07.02.2012


E) Diferencial Exata

Exemplo. Considere a equação:

Observa-se que:

de modo que:



Diferencial será exata se e somente se

esta condição for satisfeita.

Portanto a diferencial dada é exata.

07.02.2012


F) Diferencial Não-Exata

Fator integrante: μ

Requer-se que:

Obtém-se:



07.02.2012


F) Diferencial Não-Exata

Casos especiais:

Se depender somente de x, então um fator integrante

será:

Se depender somente de y, então um fator integrante

será:



07.02.2012

1.4.1 – Equações Lineares – Teoria Geral


1.4 – Equações de Ordem Superior a 1

07.02.2012

Teoria Geral

1- Existência de Solução

Se forem contínuas em um

intervalo I da variável independente x e se em I, então

existe uma única solução da equação neste intervalo.



07.02.2012

Teoria Geral

2-Solução da Equação Homogênea (g(x) = 0)

Uma equação diferencial linear homogênea de ordem n apresenta

n soluções linearmente independentes. A solução geral é dada

pela combinação linear de quaisquer n soluções linearmente

independentes. ( contínuos e )



07.02.2012

Teoria Geral

Complemento - Critério de independência linear

As n funções serão linearmente independentes

em um intervalo I sse o determinante W(x) for diferente de zero

para todo x em I, onde:

.



07.02.2012

Teoria Geral

3-Solução Geral

A solução geral de uma equação diferencial de ordem n é dada

pela soma da solução geral da equação homogênea e uma solução

particular da equação não-homogênea.



07.02.2012

1.4.2 – Coeficientes Constantes



07.02.2012

Equações Homogêneas

(1)

-Uma equação diferencial homogênea de ordem n terá n

soluções linearmente independentes. A solução geral é

expressa por uma combinação linear destas n soluções.

- Forma geral das soluções: , onde m é uma

constante.

Substituindo-se esta forma em (1), obtém-se a seguinte

equação para m:

,

cuja solução é dada por:

.



07.02.2012

Casos:

a) Raízes reais



07.02.2012

Casos:

b) Raízes imaginárias



07.02.2012

Casos:

c) Raízes múltiplas



07.02.2012

Equações Não-Homogêneas

A solução geral de uma equação não-homogênea de ordem n é

dada por:

onde é a solução da equação homogênea associada e

uma solução particular da equação não-homogênea.



07.02.2012


Como obter ?

Um caminho consiste em estabelecer uma função tentativa a

partir das características da função .

a) polinômio



Substituindo-se a

função-tentativa na

equação diferencial,

obtém-se um conjunto de

equações que definem as

constantes .

07.02.2012


b) função trigonométrica

Ex.:



07.02.2012


b) função trigonométrica

Ex.: (cont.)



07.02.2012


c) função exponencial

Ex.:



07.02.2012


c) função exponencial

Ex.: (cont.)



07.02.2012


d) combinações polinômio+f. trigonométrica+exponencial

Ex.:



07.02.2012

Resolver:

sujeito à:

Se e g(x) forem contínuos em I,

e para todo x em I, e é um ponto pertencente a I,

sempre haverá uma solução única para o problema acima.


1.5 – Problema de Valor Inicial

07.02.2012

Resolver:

em um intervalo I, sujeito a condições que envolvem os valores da

função e suas derivadas (até ordem n) em dois ou mais pontos do

intervalo I.

Ex.:


1.6 – Problema de Valor de Contorno

07.02.2012

Um problema de valor de contorno poderá ter uma, muitas ou

nenhuma solução.

Ex.:

a) A = 0, B sin(2*pi) = 0 número infinito de

soluções.

b) A = 0, B sin(pi/2) = 1 uma única

solução.

c) A = 0, B sin(2*pi) = 1 não existe solução

para o problema.


1.6 – Problema de Valor de Contorno

07.02.2012

a) Dinâmica populacional

Seja P o número de indivíduos em uma dada população. Em

certas circunstâncias, observa-se que, em um intervalo de

tempo, a variação de P é proporcional a P: .

O crescimento da população com o tempo pode, então, ser

modelada através da equação diferencial:

.


1.7 – Equações diferenciais como modelos de

fenômenos

07.02.2012

b) Decaimento radiativo

Seja A(t) o número de núcleos radiativos no tempo t em uma

dada amostra. Observa-se experimentalmente que, em um

pequeno intervalo de tempo, o número de núcleos que decaem

radiativamente é proporcional a A(t):

O número de núcleos com o tempo, nesta amostra, pode,

então, ser modelado através da equação diferencial:



fenômenos

07.02.2012

b-1) Datação por Carbono-14 (Willard Frank Libby )

O isótopo radioativo C-14 é produzido na atmosfera pela ação

de raios cósmicos sobre o N. A razão entre C e C-14 na

atmosfera é praticamente constante ao longo do tempo. Em

organismos vivos aeróbicos, esta razão é igual à da atmosfera.

Quando cessa a vida, cessa, também, a absorção de C-14, via

respiração ou alimentação. Assim, comparando a razão entre

C e C-14 em um fóssil com aquela da atmosfera, pode-se

chegar a uma estimativa da idade do fóssil.



fenômenos

ATMOSFERA

ORGANISMO

http://pt.wikipedia.org/wiki/Willard_Libby

07.02.2012

b-1) Datação por Carbono-14 (cont.)



fenômenos

07.02.2012

b-1) Datação por Carbono-14 (cont.)

Exemplo:

T1/2 = 5.700 anos

Seja a razão medida em uma amostra igual 0,10 do valor encontrado na

atmosfera. Então:



fenômenos

07.02.2012

c) Disseminação de uma doença

Sejam X(t) o número de pessoas que contraíram uma gripe e

Y(t) o número de pessoas que ainda não contraíram a gripe,

ambos no tempo t. É razoável supor que o crescimento de X(t)

seja proporcional a X(t)Y(t): , uma vez que a gripe se

espalha de pessoa para pessoa. Assumindo uma população

constante: , o número de pessoas infectadas com a

gripe com o tempo, nesta população, pode, então, ser

modelado através da equação diferencial: .



fenômenos

07.02.2012

d) Uma massa m sujeita à força produzida por uma mola de

constante elástica K em um sistema massa-mola é descrito

pela equação (2ª Lei de Newton): . Efetuando as

substituições e , obtém-se a equação

diferencial

,

cuja solução proporciona a posição de uma partícula de

massa m com tempo em um sistema massa-mola.



fenômenos

07.02.2012

Tipo: ordinárias e parciais

Ordem: Ordem 1, 2, 3, ....

Linearidade: lineares e não-lineares

Classificação das Equações Diferenciais


07.02.2012


Y = (x**2/4 + 1)**2

Y = (x**2/4 - 1)**2

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