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CSE-PS03
Revisão de Métodos Matemáticos
para Engenharia
Engenharia e Tecnologia Espaciais – ETE
Engenharia e Gerenciamento de Sistemas Espaciais
Engenharia e Tecnologia Espaciais – ETE
Engenharia e Gerenciamento de Sistemas Espaciais
08.02.2011L.F.Perondi
08.02.2011
2.1 – Conceitos e definições
2.2 – Operações com matrizes
2.3 – Produtos de matrizes
2.4 – Determinante de uma matriz
2.5 – Sistemas de equações lineares
2.6 – Inversa de uma matriz
2.7 – Autovalores e autovetores de uma matriz
2 – Matrizes, Determinantes e Sistemas
Lineares de Equações
Sumário
08.02.2011
2.1 – Conceitos e definições
CSE-PS03 Matrizes e Determinantes
08.02.2011
2.1 – Conceitos e definições
CSE-PS03 Matrizes e Determinantes
08.02.2011
2.2 – Operações com matrizes
CSE-PS03 Matrizes e Determinantes
08.02.2011
2.2 – Operações com matrizes
CSE-PS03 Matrizes e Determinantes
comumente
08.02.2011
CSE-PS03 Matrizes e Determinantes
2.3 – Produto de matrizes
08.02.2011
CSE-PS03 Matrizes e Determinantes
2.3 – Produto de matrizes
08.02.2011
CSE-PS03 Matrizes e Determinantes
2.3 – Produto de matrizes
08.02.2011
CSE-PS03 Matrizes e Determinantes
2.4 – Determinante de uma matriz
08.02.2011
CSE-PS03 Matrizes e Determinantes
2.4 – Determinante de uma matriz
08.02.2011
CSE-PS03 Matrizes e Determinantes
2.4 – Determinante de uma matriz
08.02.2011
CSE-PS03 Matrizes e Determinantes
2.4 – Determinante de uma matriz
08.02.2011
CSE-PS03 Matrizes e Determinantes
2.4 – Determinante de uma matriz
2.4.1 – Cálculo do determinante de uma matriz
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2.4 – Determinante de uma matriz
2.4.1 – Cálculo do determinante de uma matriz
08.02.2011
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2.4 – Determinante de uma matriz
2.4.1 – Cálculo do determinante de uma matriz
08.02.2011
CSE-PS03 Matrizes e Determinantes
2.5 – Sistemas de equações lineares
n
n
n
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2.5 – Sistemas de equações lineares
o
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2.5 – Sistemas de equações lineares
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2.5.1 – Solução de sistemas lineares de equações
a) Método de Cramer
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2.5.1 – Solução de sistemas lineares de equações – Método de
Cramer
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2.5.1 – Solução de sistemas lineares de equações – Método de
Cramer
Set det(A) = 0:
- o sistema apresentará infinitas soluções sse D1=D2=...=Dn=0
- caso contrário, não haverá solução para o sistema.
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2.5.1 – Solução de sistemas lineares de equações
b) Método de Eliminação de Gauss
Através de operações elementares, reduz-se a matriz dos
coeficientes A a uma forma diagonal, o que possibilita, então,
a obtenção da solução do sistema de uma forma direta.
Ex.:
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2.5.1 – Solução de sistemas lineares de equações
b) Método de Eliminação de Gauss
Ex.:
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2.6 – Inversa de uma matriz
08.02.2011
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2.6 – Inversa de uma matriz
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2.6.1 – Solução de sistemas lineares de equações utilizando a
matriz inversa
Seja um sistema linear de equações dado por:
A x = b
onde A é matriz dos coeficientes e b o vetor coluna contendo os
termos independentes (termos não-homogêneos). Suponha que
o sistema apresente solução única (existe a inversa de A).
Multiplicando ambos os lados da equação pela inversa de
A (A-1
), e observando que
A-1
A = I (matriz identidade)
obtém-se a seguinte expressão para a solução do sistema
x = A-1
b .
08.02.2011
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Uma matriz A pode ser interpretada como uma transformação
sobre um espaço vetorial
.
Em diversas áreas do conhecimento, surge o problema de
achar um vetor v que quando transformado por uma matriz
resulte em um vetor na mesma direção de v
.
Um vetor v que satisfaça a equação acima para algum valor de
λ é denominado de autovetor de A correspondente ao autovalor
λ.
2.7 – Autovalores e autovetores de
uma matriz
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A equação acima pode ser re-escrita na forma
(sistema homogêneo de equações)
requerendo, portanto, que
-Uma matriz quadrada n x n apresentará n autovalores e n
autovetores.
- Os autovetores associados a uma matriz n x n, que possua
autovalores distintos, são linearmente independentes e podem
ser utilizados como uma base para um espaço vetorial de
dimensão n.
2.7 – Autovalores e autovetores de uma matriz
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Ex:
Sistema acoplado massa-mola
k1
k12
k2
m
m
x1
x2
