Curso P&E_UNIFACS - Apostila 1

DISCIPLINA: Probabilidade e Estatística – Apostila 1 Prof: Antonio Kronbauer

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Curso Superior de Tecnologias em Petróleo e Gás

Estatística:

Estudo dos métodos para coletar, organizar, apresentar e analisar dados.

Estatística Descritiva:

� Constitui-se num conjunto de técnicas que são usadas para organizar e apresentar dados de forma conveniente e comunicativa.

� A estatística descritiva pode ser definida como métodos que envolvem a

coleta, apresentação e a caracterização de um conjunto de dados de modo a descrever apropriadamente as várias características deste conjunto.

Por que um técnico da área de petróleo precisa conhecer estatística:

• Os técnicos da área de petróleo precisam saber como apresentar e descrever informações de forma adequada.

• Precisam saber como tirar conclusões a partir de grandes populações com base somente nas informações obtidas de amostras.

• Precisam de informações para melhorar os processos. • Precisam saber como obter previsões do comportamento de reservatórios

de petróleo a partir de variáveis de interesses. A necessidade de dados: Porque precisamos coletar dados?

• Oferecer o insumo necessário a um estudo de reservatório. • Avaliar o desempenho de um processo de produção ou serviço. • Assessorar na formulação de ações num processo de decisão. • Satisfazer nossa curiosidade.


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Exemplos:

• O engenheiro deseja monitorar regularmente a produção dos poços de um Campo de petróleo para descobrir quais os equipamentos que apresentam falhas no processo de produção, e com que frequência.

• O analista de mercado procura características que possam distinguir um produto do produto dos seus concorrentes.

• O produtor farmacêutico precisa determinar se um novo medicamento é mais eficaz do que aquele que atualmente está sendo usado.

O que são dados?

� Informações numéricas necessárias para ajudar a tomar decisões mais bem fundamentadas.

Para que uma análise estatística seja útil no processo de decisão, os dados de

entrada devem ser apropriados. Portanto, a coleta de dados é extremamente importante. Dados distorcidos, ambíguos ou com erros podem levar a conclusões distorcidas ou deficientes. Tabelas Estatísticas:

• A tabela estatística deve ser uma forma objetiva de se demonstrar o comportamento de variáveis, representação simples que possibilite ao leitor a compreensão do fenômeno sem muito esforço.

• Deve apresentar a seguinte estrutura:

� Cabeçalho: deve conter as respostas para as seguintes questões: - o que está representado

- onde ocorreu - quando ocorreu


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� Corpo: colunas e subcolunas onde serão registrados os dados numéricos e informações.

� Rodapé : observações pertinentes à tabela e registro e identificação da fonte dos dados.

Conforme critério de agrupamento as tabelas podem representar diversas séries:

1. Série cronológica: dados são observados segundo a época de ocorrência.

Produção de Petróleo no Brasil - 2007 - 2011 Ano Produção (em milhões de barris

de óleo equivalente (boe)) 2007 547,5 2008 584,0 2009 657,0 2010 766,5 2011 803,0

Fonte: ANP (Relatório anual de Janeiro de 2012)

2. Série Geográfica: dados são observados segundo a localidade de ocorrência.

Consumo de Gasolina no Brasil em 2011 Região Consumo (em milhões de litros)

Norte 77.495 Nordeste 107.783 Sudeste 281.207

Sul 153.661 Centro-Oeste 115.776

Fonte: ANP (Relatório anual de Janeiro de 2012)


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3. Série específica: dados agrupados segundo a modalidade de ocorrência.

Matrícula do Ensino de 3° Grau – Brasil 2009 Área de ensino Matrículas

Ciências biológicas

32.109

Ciências Exatas e

Tecnológicas 65.979

Ciências Humanas

148.842

Fonte: Serviço de Estatística do Ministério de Educação e Cultura

4. Distribuição de frequências: dados agrupados com suas respectivas frequências absolutas. N° de acidentes por dia na rodovia X - Janeiro de 2009

N° de Acidentes por dia N° de dias 0 10 1 7 2 4 3 5 4 3 5 2

Fonte: DNIT Altura dos alunos em uma sala de aula em março 2010

Altura (m) N° Alunos 1,50 | 1,60 5 1,60 | 1,70 15 1,70 | 1,80 17 1,80 | 1,90 3

Fonte: Secretaria da Faculdade


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5. Gráficos: Tem por finalidade representar os dados obtidos, permitindo chegar-se a conclusões sobre a evolução do fenômeno ou sobre como se relacionam os valores da série. A escolha do gráfico apropriado fica a critério do analista, devendo sempre levar em conta os elementos simplicidade, clareza e veracidade. Exemplos:

1. Gráfico em colunas:

Fonte: BP Statistical Review of World Energy junho 2005.


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2. Gráfico em barras:

3. Gráfico em setores ou pizza, gráfico de barras ou colunas e um cartograma:


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4. Gráfico polar:

Fonte: ANP

5. Gráfico em curvas:


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Organizando Dados Numéricos: Dados brutos: Conjunto de dados numéricos obtidos após um levantamento sobre a idade dos funcionários de uma empresa X. Ex.: 24, 23, 22, 28, 35, 21, 23, 33, 34, 24, 21, 25, 36, 26, 22, 30, 32, 25, 26, 33, 34, 21, 31, 25, 31, 26, 25, 35, 33, 31. Rol: É o arranjo dos dados brutos em ordem crescente ou decrescente. Ex.: 21, 21, 21, 22, 22, 23, 23, 24, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 28, 30, 31, 31, 31, 32, 33, 33, 33, 34, 34, 34, 35, 35, 36. Disposição ordenada: Dados brutos em ordem de classificação do menor para o maior (crescente). Disposição ramo e folha: Outra forma de organizar e apresentar as informações numéricas. Tem como vantagens mostrar a informação numérica de uma forma mais compacta e enfatizar os aspectos importantes dos dados. Exemplo: Notas de testes de estatística aplicados em 20 alunos (dados brutos):

69 84 52 93 61 74 79 65 88 63 57 64 67 72 74 55 82 61 68 77


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Os algarismos de dezenas ficam alinhados verticalmente com os algarismos das unidades apresentados ao lado. Ramo Folha A partir desta disposição podemos verificar que a maioria dos dados se encontra na casa dos 60. Existiram repetições de nota (61; 74) � Dados Brutos: 24, 23, 22, 28, 35, 21, 23, 33, 34, 24, 21, 25, 36, 26, 22, 30, 32, 25, 26, 33, 34, 21, 31, 25, 31, 26, 25, 35, 33, 31. � Rol:

21, 21, 21, 22, 22, 23, 23, 24, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 28, 30, 31, 31, 31, 32, 33, 33, 33, 34, 34, 34, 35, 35, 36. Amplitude total ou "Range" (R): É a diferença entre o maior e o menor valor observado. no exemplo: 36 - 21 = 15

5 2 7 5

6 9 1 5 3 4 7 1 8

7 4 9 2 4 7

8 4 8 2

9 3

5 2 5 7

6 1 1 3 4 5 7 8 9

7 2 4 4 7 9

8 2 4 8

9 3

Ordenando as folhas temos


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Frequência absoluta (Fi): É o número de vezes que o elemento aparece na amostra ou o número de elementos pertencentes a uma classe. Ex.: F(21) = 3

Distribuição de frequência: É o arranjo dos valores e suas respectivas frequências, ou uma tabela resumida na qual os dados são organizados em grupos de classes ou categorias convenientemente estabelecidas e numericamente ordenadas. Ao construir uma tabela de distribuição de frequência deve-se levar em consideração:

• A seleção apropriada do número de classes. • A obtenção de um intervalo de classe e amplitude apropriadas. • Estabelecimento de limites para cada grupo de classe, evitando assim uma

sobreposição.

Exemplo:

X i Fi

21 3 22 2 23 2 24 1 25 4 26 3 28 1 30 1 31 3 32 1 33 3 34 3 35 2 36 1

∑ 30

Classe Fi

21 | 24 7

24 | 27 8

27 | 30 1

30 | 33 5

33 | 36 8

36 | 39 1

∑Fi 30

Onde: X i = variável ∑ Fi = n n = tamanho da amostra


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Número de Classe (K): Um número maior de informação requer um maior número de classes, porém, em geral a distribuição de frequência deve possuir ao menos 5 classes e não mais do que 15. Se não existir um número de classes suficientes ou se forem demasiadas, pouca informação será obtida. Podemos utilizar a seguinte regra para a determinação do número de classes:

K = 5 para n < 25 e K ≅ √ n para n > 25 Ou

Amplitude das Classes (h):

h = R ÷ K Onde: h = amplitude de classe R = amplitude total ou Range K = número de classes Exemplo: R = 15 K = √30 = 5,48 ≅ 5 h = 3

Sturges: K = 1 + 3,22 Log n Onde: n = tamanho da amostra


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Limite das Classes: Limite superior e inferior - são os valores extremos das classes. Existem várias maneiras de expressar tais limites:

a) 10 | | 12; compreende todos os valores entre 10 inclusive e 12 inclusive. b) 10 | 12; compreende todos os valores entre 10 inclusive e 12 exclusive. c) 10 12; compreende todos os valores entre 10 exclusive e 12 exclusive. d) 10 | 12; compreende todos os valores entre 10 exclusive e 12 inclusive.

Exemplo: 10 | | 12 limite inferior 10 limite superior 12 Pontos Médios das Classes (Xi): Média aritmética entre o limite superior e o limite inferior da classe. (exemplo:10 | | 12) X i = 10 + 12 = 11 X i = 11

2 Frequência Absoluta Acumulada (Fac): É a soma das frequências dos valores inferiores ou iguais ao valor dado. Exemplo:

X i Fi Fac 0 3 3 1 5 8 2 2 10 Σ 10


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n

Frequência Relativa (fi): A frequência relativa de um valor e dada por:

f i = Fi

ou seja, é a porcentagem daquele valor na amostra. Exemplo:

X i Fi fi fi % 1 5 5/14 36% 2 7 7/14 50% 3 2 2/14 14% Σ 14 1 100%

Histograma � é a representação gráfica de uma distribuição de frequência por meio de retângulos justapostos. Polígono de Frequência � é a representação gráfica de uma distribuição de frequência por meio de um polígono.

Histograma

Polígono de Frequência Acumulada


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Algumas definições: População ou universo (N): Conjunto completo de observações reais ou potenciais sobre as quais se fazem inferências. É o conjunto de indivíduos ou objetos que apresentam pelo menos uma característica em comum. Amostra (n): Subconjunto da população selecionado de acordo com um método de amostragem. Exemplo: O diretor de uma faculdade deseja conduzir uma pesquisa para saber a opinião dos estudantes sobre a segurança dentro do Campus. População: Todos os estudantes matriculados. Amostra: Apenas os estudantes selecionados aleatoriamente para participar da pesquisa. Variáveis Discretas e Contínuas: Uma variável é representada por um símbolo como X, Y, H, que pode assumir qualquer um de um conjunto de valores que lhe são atribuídos. Uma variável é discreta quando assume valor em pontos da reta real, valores inteiros. Quando a variável pode assumir teoricamente qualquer valor em certo intervalo da reta real, será uma variável contínua. Exemplo: � O número N de crianças em uma família pode assumir qualquer um dos

valores 0, 1, 2, 3,… mas não pode ser 2,5 nem 3,842 é uma variável discreta.

� O peso P de um indivíduo pode ser qualquer valor entre 50 kg e 90 kg. Pode

pesar 62,3kg; 50,572kg; 70,585kg; é uma variável contínua.


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n

Medidas de Posições: São medidas que possibilitam representar um conjunto de dados relativos à observação de forma resumida. Tais medidas possibilitam comparações de séries de dados entre si. São também chamadas de medidas de tendência central, pois, representam os fenômenos pelos seus valores médios, em torno dos quais tendem a concentrarem-se os dados. Média Aritmética ou Média ( X ) - dados não agrupados: X = Σ x Amostra População Ex.: média dos valores 3, 7, 8, 10, 11 X = Σ x = 3+7+8+10+11 n 5

X = 7,8 Média Aritmética ( X ) - dados agrupados: Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de frequência, usaremos a média dos valores ponderados pelas respectivas frequências.

X = ∑ x i Fi n

Exemplo:

µ = ∑ x N

Determinar a média Xi Fi 1 1 2 3 3 5 4 1


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X = ∑ X i Fi = 26 = n 10 X = 2,6

Elaboração da Tabela: X i Fi XiFi 1 1 1 2 3 6 3 5 15 4 1 4 Σ 10 26 Lembre-se que Σ Fi = n Média Geral( MGE):

Sejam X1, X2, X3, …, Xk as médias de k séries e n1, n2, n13, …, nk os números de termos das séries.

MGE = n1X1 + n2X2 + … nkXk n1 + n2 + … nk

Exemplo: Sejam as séries: a) 4, 5, 6, 7, 8 em que n1 = 5 e Xa = 6 b) 1, 2, 3 n2 = 3 e Xb = 2 c) 9, 10, 11, 12, 13 n3 = 5 e Xc = 11 Então a média geral será:

5 ⋅ 6 + 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 11 MGE = 7 5 + 3 + 5


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Média Aritmética Ponderada: Associando-se os números X1, X2, Xk, a certos fatores de ponderação (pesos) w1, w2, wk, então: X = w1X1 + w2X2 + … wkXk = ∑ wX w1 + w2 + … wk ∑w Exemplo: Se o exame final em um curso tem peso 3 e as provas correntes peso 1, e um estudante tem grau 85 no exame e 70 e 90 nas provas, seu grau médio é:

X = (1) ⋅ (70) + (1) ⋅ (90) + (3) ⋅ (85) = 415 X = 83 1 + 1 + 3 5 Média Harmônica (Mh): Sejam X1, X2, X3, … Xn valores de x, associados às frequências absolutas.

Mh = __ n__ F1 + F2 + … Fn X1 X2 Xn

se F1 , F2 , … Fn = 1, temos:

Mh = n . 1 + 1 + 1 … 1

X1 X2 X3 Xn


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~

~

Exemplo: Calcular a média harmônica para 2, 5, 8: Mh = 3 . Mh = 3,64 1/2 + 1/5 + 1/8 Mediana: ( X ) A mediana de um conjunto de números organizados em ordem de grandeza (em um rol), é o valor que divide a amostra ou população em duas partes iguais.

0 50% 100% | | | X

� Se n for ímpar, a mediana será o elemento central ( de ordem n + 1 ) 2 Exemplo: 31 36 53 63 67 mediana = 53 n + 1 = 5 + 1 = 3 (3° elemento) 2 2

� Se n for par a mediana será a média dos elementos centrais. Exemplo:

31 36 53 63 67 75 n/2 e n/2 + 1 = 6/2 e 6/2 + 1 = está entre o 3° e o 4º elemento mediana = 53 + 63 = 58

2


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~ ~

~

No caso de uma distribuição: Xi Fi Fac 1 1 1 2 3 4 3 5 9 4 2 11 Σ 11 Xi Fi Fac 82 5 5 85 10 15 87 15 30 89 8 38 90 4 42 Σ 42 21° elemento corresponde a 87. 22° elemento corresponde a 87. Então X = 87 + 87 X = 87 2 Cálculo da Mediana Para Dados Agrupados:

X = Lmd + ( n/2 - Σf) . h Fmd

� contém o 6° elemento

� 21° e 22° elementos

n = 11, é ímpar, logo X será o elemento de ordem n + 1, ou seja, 11 + 1 = 6° elemento. 2 2 Para identificá-lo abre-se a coluna do Fac.

X = 3

n = 42, é par, logo X será a média entre os elementos de ordem n/2 e n/2 + 1 = 42/2 e 42/2 + 1 = 21° e 22 º Abre-se a coluna do Fac.


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~

~ ~

Onde: LMd = limite inferior da classe Md n = tamanho da amostra ou número de elementos

Σf = soma das frequências anteriores à classe Md h = amplitude da classe Md FMd = frequência da classe Md

Exemplo: Dada a distribuição amostral, calcular a mediana: Classes Fi Fac 35 | 45 5 5 45 | 55 12 17 55 | 65 18 35 65 | 75 14 49 75 | 85 6 55 85 | 95 3 58 Σ 58 Neste caso calcularemos a ordem n/2 sem se preocupar se n é par ou ímpar. n/2 = 58/2 = 29° elemento Aplica-se a fórmula:

X = Lmd + ( n/2 - Σf) . h Fmd

Onde: LMd 55; n = 58; Σf = 17; h = 10; FMd = 18

X = 55 + (58/2 - 17) ⋅ 10 X = 61,67 18

� 29° elemento (classe Md)


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Aplicabilidade: Podemos utilizar a mediana para definir o meio de um conjunto de objetos, propriedades ou qualidades que possam de alguma forma serem ordenados. Exemplo: Podemos ordenar um certo número de tarefas de acordo com o seu grau de dificuldade e definir a tarefa do meio (ou mediana) como a que apresenta um grau médio de dificuldade. Quartis: Os quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais. Assim: O% 25% 50% 75% 100% |-----------------|----------------|-----------------|----------------| Q1 Q2 Q3 Q1 = 1º quartil; faz com que 25% das observações sejam menores e 75%

maiores. Q2 = 2º quartil; coincide com a mediana, 50% das observações são menores e

50% são maiores. Q3 = 3º quartil; faz com que 75% das observações sejam menores e 25%

maiores. Determinação dos Quartis: Q1 = Valor correspondente à observação ordenada n/4 Q2 = Valor correspondente à observação ordenada n/2 Q3 = Valor correspondente à observação ordenada 3n/4


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~

Cálculo dos quartis para variáveis contínuas:

Q1 = LQ1 + (n/4 - Σf) h 1° quartil

FQ1

Q3 = LQ3 + (3n/4 - Σf) h 3° quartil

FQ3 Exemplo: Dada a distribuição, determinar os quartis (Q1 e Q3) e mediana (Q2)

Classes Fi Fac 7 | 17 6 6 17 | 27 15 21 27 | 37 20 41 37 | 47 10 51 47 | 57 5 56

Σ 56

Q1 = ? X = ? Q3 = ?

4

n =

4

56= 14° elem.

2

n =

2

56 = 28° elem.

4

3n =

4

56*3= 42° elem.

Para Q1 temos:

LQ1 = 17 n = 56 Σf = 6 h = 10 FQ1 = 15

Q1 (14° elemento) Q2 (mediana 28° elemento) Q3 (42° elemento)

Q1 = 17 + (56/4 - 6) 10 15

Q1 = 22,33


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~

Para X (Q2) temos:

LMd = 27 n = 56 Σf = 21 h = 10 FMd = 20 Para Q3 temos:

LQ3 = 37 n = 56 Σf = 41 h = 10 FQ3 = 10 |--------------------|-------------------------------|---------------------|-------------------- | 7 22,33 30,5 38 57 25% elemento 50% elemento 75% elemento Decis: São valores que dividem a série em 10 partes iguais. 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% |-------|--------|--------|-------|--------|---------|--------|--------|-------| | D1 D2 D3 ……… D9

Q2 = 27 + (56/2 - 21) ⋅ 10 20

Q2 = 30,50

Q3 = 37 + (3 ⋅ 56/4 - 41) ⋅ 10 10

Q3 = 38


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• Fórmula Geral:

Di = i ⋅ n i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10

No caso de variáveis contínuas:

� Calcula-se i.n 10

� Identifica-se a classe Di pela Fac.

� Aplica-se a fórmula:

Di = LDi + (in/10 - Σf) ⋅ h FDi

Percentis: São medidas que dividem a amostra em 100 partes iguais. 0% 1% 2% ……… 50% ……… 98% 99% 100% |----------|--------|--------------------------|-----------------------------|------|- -----| P1 P2 P50 P98 P99 O calculo do percentil é dado por: � Calcula-se i .n onde i = 1,2 … 99

100 � Pela Fac identifica-se a classe Pi


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. .

� Aplica-se a fórmula:

Pi = LPi + (in/100 - Σf) ⋅ h

FPi Exemplo: Determinar o 4° decil e o 72° percentil da seguintes distribuição:

Classes Fi Fac 4 | 9 8 8 9 | 14 12 20 14 | 19 17 37 19 | 24 3 40

Σ 40 Cálculo D4: Cálculo P72: i • n = 4 • 40 = 16° elemento i • n = 72 • 40 = 28,8° elemento 10 10 100 100 Para D4: Para P72:

LD4 = 9 LP72 = 14 Σf = 8 Σf = 20 h = 5 h = 5 FD4= 12 FP72 = 17

D4 = 9 + (4 40/10 - 8) • 5 P72 = 14 + (72 40/100 - 20) • 5 12 17

D4 = 12,33 P72 = 16,59

classe D4 classe P72


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~ ~

Moda: É o valor mais frequente da distribuição. Para distribuições simples (sem agrupamento de classes) a moda é encontrada pela simples observação do elemento que apresenta a maior frequência. Xi 243 245 248 251 307 Fi 7 17 23 20 8 Neste caso, a moda será 248 (número que aparece com maior frequência). Para dados agrupados em classes utilizaremos a fórmula de Czuber:

Mo = L + ∆1 • h ∆1 + ∆2

Onde:

L = Limite inferior da classe modal ∆1 = Diferença entre a frequência da classe modal e da classe anterior ∆2 = Diferença entre a frequência da classe modal e da classe posterior h = Amplitude da classe

Fórmula de Pearson:

Mo ≅ 3X – 2X

No caso em que as amplitudes de classe não são iguais, é preciso calcular a densidade de classe: Fi ÷÷÷÷ h para se identificar a classe modal.


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Exemplo: Determinar a moda para a distribuição:

Classes Fi 0 | 1 3 1 | 2 10 2 | 3 17 3 | 4 8 4 | 5 5

Σ 43 Medidas de Dispersão: São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de variabilidade ou dispersão dos valores em torno da média. Servem para medir a representatividade da média. � Em um hospital onde se mede a pulsação de cada paciente 3 vezes ao dia, o

paciente A acusou as taxas de 72, 76, 74 e o paciente B acusou 72, 91, 59. A taxa média de ambos é 74, porém existe uma diferença na variabilidade. Enquanto a pulsação de A é estável (72, 76, 74) a de B apresenta grande flutuação.

� Sejam as séries: a) 20, 20, 20 b) 15, 10, 20, 25, 30 Ambas possuem média 20. Na série a não se tem dispersão enquanto os valores da série b apresentam dispersões em torno da média 20.Assim, a média é muito mais representativa para a série a do que para a série b.

Processo: - Indica-se a classe modal 2 | 3 (3° classe) - Aplica-se a fórmula:

L = 2 ∆1 = 7 ∆2 = 9 h = 1

Mo = 2 + 7 • 1 7+9

Mo = 2,44


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As medidas de dispersão proporcionam um conhecimento mais completo do fenômeno a ser analisado, permitindo estabelecer comparações entre fenômenos da mesma natureza e mostrando até que ponto os valores se distribuem acima ou abaixo da tendência central. Amplitude total: É a diferença entre o maior e o menor valor da série. R = Xmáx – Xmin No exemplo dos pacientes, para o paciente A a amplitude da série é: Range = 76 – 72 � Range = 4, e para o paciente B: Range = 91 – 59 � Range = 32. Observação: A utilização da amplitude total é muito limitada, pois como depende apenas dos valores extremos, é instável, não sendo afetada pela dispersão dos outros valores. Exemplo: Conj. 1: 5 20 20 20 20 20 20 20 Conj. 2: 5 5 5 5 20 20 20 20 Conj. 3: 5 7 9 12 15 17 18 20 Todos têm amplitude R = 20 – 5 = 15 mais a dispersão é completamente diferente em cada caso. Desvio Médio: Serve para analisar os desvios em torno da média. Dm = Σ | Xi – X | Fi

n ( para dados não agrupados)

Dm = Σ | Xi – µ | N

Dm = Σ | Xi – X | n


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σ² =

S² =

Variância e Desvio Padrão: Duas maneiras geralmente utilizadas de variação que efetivamente levam em conta o modo como todos os valores nos dados estão distribuídos são a variância e o desvio padrão. Essas medidas avaliam o modo como os dados flutuam em torno da média, isto é, como as observações maiores flutuam acima dela e as menores se distribuem abaixo dela.

Σ Xi² Fi – (Σ Xi Fi)² N N Σ Xi² Fi – (Σ Xi Fi)² n n - 1 σ = σ 2 � Desvio Padrão Populacional S = S

2 � Desvio Padrão Amostral Exemplo: Calcular o desvio médio, a variância e o desvio padrão da seguinte distribuição amostral: Xi 5 7 8 9 11 Fi 2 3 5 4 2

Variância populacional

Variância amostral

σ² =

S² =


30

__

a) Calculo do desvio médio:

Xi Fi XiFi |Xi – X| . Fi X²i Fi

5 2 10 6,12 50 7 3 21 3,18 147 8 5 40 0,30 320 9 4 36 3,76 324 11 2 22 5,88 242 Σ 16 129 19,24 1.083

b) Calculo da variância:

Σ Xi²Fi - (Σ XiFi)² n n – 1

c) Calculo do Desvio Padrão:

S = S2 = 86,2 S = 1,69

1) Acha-se o valor da média X = Σ Xi Fi n

X = 129 X = 8,06 16

2) Dm = Σ | Xi – X | Fi n Dm = 19,24 Dm = 1,20

16

3) Calcula a coluna X²i Fi

S² =

1083 - (129)² 16

16 – 1

S² = 2,86

S2 =


31

Resumindo:

A distribuição possui média 8,06 e seu grau de concentração é de 1,20 medido pelo desvio médio e de 1,69 medido pelo desvio padrão. Coeficiente de Variação: Mede a dispersão dos dados em relação à média. CV = σ • 100 ou CV = S • 100 µ X Onde:

σ = Desvio padrão populacional µ = Média populacional S = Desvio padrão amostral X = Média amostral

Obs.: O coeficiente de variação é expresso em porcentagens. Exemplo:

Numa empresa o salário médio dos homens é R$ 4.000,00 com desvio

padrão de R$ 1.500,00 e o das mulheres é em média R$ 3.000,00 com desvio padrão de R$ 1.200,00. Para os homens: CV = σ = 1.500 • 100 = 37,5%

µ 4.000

Para as mulheres: CV = σ = 1.200 • 100 = 40% µ 3.000


32

~

~

~ X

~

~ X

Podemos concluir que os salários das mulheres apresentam maior dispersão do que os salários dos homens. Medidas de Assimetria: Denomina-se assimetria o grau de afastamento de uma distribuição da unidade de simetria. Em uma distribuição simétrica tem-se igualdade dos valores da média, mediana e moda. X = X = Mo Em uma distribuição assimétrica positiva ou assimétrica à direita, temos: Mo < X < X

Mo X Em uma distribuição assimétrica negativa ou assimétrica à esquerda, temos: X < X < Mo X Mo


33

~

Fórmulas para cálculo do coeficiente de assimetria: 1° Coeficiente de Pearson:

AS = µ – Mo ou AS = X - Mo σ S populacional amostral

2° Coeficiente de Pearson: AS = Q1 + Q3 – 2X Q3 – Q1 Se AS = 0 � distribuição simétrica AS > 0 � assimétrica positiva (à direita) AS < 0 � assimétrica negativa (à esquerda) Exemplo: Dada a distribuição amostral, calcular os dois coeficientes de Pearson. Salário (1.000.00) 30 | 50 50 | 100 100 | 150

Empregados 80 50 30


34

~ ~

- Calcula-se a média, moda, desvio padrão, 1° quartil, 3° quartil, mediana. Classes Fi Xi XiFi Fac *Fi ÷ h Xi²Fi

30 | 50 80 40 3.200 80 4 128.000 50 | 100 50 75 3.750 130 1 281.250 100 | 150 30 125 3.750 160 0,6 468.750

Σ 160 10.700 878.000 X = Σ Xi Fi = 10.700 X = 66,88 média

n 160

X = L Md + (n/2 - Σf ) • h = Onde: FMd

n = 160 = 80° 2 2 1° Quartil e 3° Quartil: Q1 = ? Q3 = ? Q1 = n Q3 = 3n

4 4 Q1 = 40° Q3 = 120° Q1 = L Q1 + (n/4 - Σf) • h Q3 = L Q3 + (3n/4 - Σf) • h

FQ1 FQ3 L Q1 = 30 L Q3 = 50 Σf = 0 Σf = 80 h = 20 h = 50 FQ1 = 80 FQ3 = 50 n = 160 n = 160

L Md = 30 ; n = 160 ; Σf = 0 ; h = 20 FMd = 80 ~ X = 30 + (160/2 – 0) • 20 80 mediana

Q1 = 30 + (160/4 – 0) • 20 80

Q1 = 40

Q3 = 50 + (3 • 160/4 – 80) • 50 50

Q3 = 90

X = 50 ~


35

~

Moda:

Mo = L + ∆1 • h ∆1 + ∆2

L = 30 ∆1 = 4 ∆2 = 3 h = 20

Σ Xi² Fi – (Σ Xi Fi)² n n – 1

1º Coef.: AS = X – Mo AS = 66,88 – 41,43 S 31,96

2º Coef.: AS = Q1 + Q3 – 2X AS = 40 + 90 – 2 (50)

Q3 – Q1 90 – 40

Mo = 30 + 4 • 20 4+3

Mo = 41,43

S² = =

878.000 – (10,700)² 160

160 – 1

S² = 1.021,62 S = 31,96

AS = 0,80

AS = 0,60

*Quando a amplitude das classes é diferente, calcular Fi ÷ h para identificar a classe modal.


36

K =

Medidas de Curtose: Denomina-se curtose, o grau de achatamento da distribuição.

- Distribuição nem chata nem delgada: mesocúrtica.

- Distribuição delgada: leptocúrtica

- Distribuição achatada: platicúrtica Para medir o grau de curtose utiliza-se o coeficiente: Q3 – Q1

2(P90 – P10) Onde: Q3 = 3º quartil Q1 = 1º quartil P90 = 90º percentil P10 = 10º percentil

- Se K = 0,236 a curva correspondente à distribuição de frequência é mesocúrtica.

- Se K > 0,236 é platicúrtica. - Se K < 0,236 é leptocúrtica.


37

Exemplo: Dizer que tipo de curva corresponde à distribuição amostral:

Classes Fi Fac 3 | 8 5 5 P10 8 | 13 15 20 Q1 13 | 18 20 40 Q3 18 | 23 10 50 P90

Σ 50 Q1 = n = 50 = 12,5º elemento 4 4

Q1 = L Q1 + (n/4 - Σf) • h = 8 + (50/4 – 5) • 5 Q1 =10,50 FQ1 15

Q3 = 3n = 37,5º elemento 4

Q3 = L Q3 + (3n/4 - Σf) • h = 13 + (3 • 50/4 – 20) • 5 Q3 = 17,38 FQ3 20

P90 = i • n = 90 • 50 = 45º elemento 100 100

Pi = L Pi + (in/100 - Σf ) • h = FPi

P10 = i • n = 10 • 50 = 5º elemento 100 100

Pi = L Pi + (in/100 - Σf ) • h = FPi

K = Q3 – Q1 K = 17,38 – 10,50 K = 0,28 2(P90 – P10) 2 (20,50 – 8)

K > 0,263 portanto a curva correspondente é platicúrtica.

18 + (45 – 40 ) . 5 10

P90 = 20,50

3 + (5 – 0 ) . 5 5

P10 = 8


38

~

R = Xmáx – Xmin

K = 5 para n < 25 e K ≅ √ n para n > 25

X = w1X1 + w2X2 + … wkXk = ∑ wX w1 + w2 + … wk ∑w Q1 = l Q1 + (n/4 - Σf) h

FQ1 Di = l Di + (in/10 - Σf ) ⋅ h

FDi Czuber: Pearson:

X = ∑ x i Fi n

Q3 = l Q3+ (3n/4 - Σf) h FQ3

h = R ÷ K

fi = Fi n

µ = ∑ x N

Mh = n F1 + F2 + … Fn X1 X2 Xn

X = lmd+ ( n/2 - Σf) . h

Fmd

Mo = l + ∆1 • h ∆1 + ∆2

Mo ≅ 3X – 2X

Dm =Σ | Xi– X | Fi n

Sturges: K = 1 + 3,22 log n n = tam. da amostra

X i = lim. Inf. + lim. Sup. 2

X = Σ x n

MGE = n1X1+ n2X2+ …nkXk

n1 + n2 + … nk

Q1 = n/4 Q2 = n/2 Q3 = 3n/4

Di = i ⋅ n 10

Pi = i ⋅ n 100

Pi = l Pi + (in/100 - Σf) ⋅ h FPi

~


39

σ² =

~

K =

Σ Xi² Fi – (Σ Xi Fi)² N N σ = √ σ² � Desvio Padrão Pop. CV = σ • 100 ou CV = S • 100 µ X 1° Coeficiente de Pearson: 2° Coeficiente de Pearson:

AS = µ – Mo AS = X - Mo σ S

populacional amostral

Q3 – Q1 2(P90 – P10)

AS = Q1 + Q3 – 2X Q3 – Q1

S = √ S² � Desvio Padrão Amostral

- Se K = 0,236 é mesocúrtica. - Se K > 0,236 é platicúrtica. - Se K < 0,236 é leptocúrtica.

σ² =

Σ Xi² Fi – (Σ Xi Fi)² S² = n

n - 1


40

LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 1

1) Temos a seguir distancia em metros entre poços produtores e injetores numa malha aproximadamente regular de um Campo de Petróleo da Bacia do Recôncavo. Construir uma disposição ramo-folha. 172 182 177 174 166 158 170 178

163 161 191 167 171 201 166 172 2) Os pesos dos tubos de revestimentos de poços de petróleo variam de 168 a 266

quilogramas. Indique os limites de 11 classes em que esses pesos podem ser agrupados.

3) Temos a seguir as notas obtidas por 40 estudantes em um teste de estatística.

Agrupe essas notas em uma distribuição com as classes (intervalos fechados dos dois lados): 20 a 29, 30 a 39, 40 a 49, 50 a 59, 60 a 69, 70 a 79, 80 a 89 e 90 a 99. Calcule a frequência absoluta e relativa de cada classe.

75 89 66 52 90 68 83 94 77 60 38 47 87 65 97 49 65 72 73 81 63 77 91 88 74 37 85 76 74 63 69 72 31 87 76 58 63 70 72 65

4) Uma auditoria feita em 60 Relatórios de Teste de Formação revelou os

seguintes números de erros no preenchimento dos Formulários de TFR. 0 0 2 1 4 1 0 1 3 2 2 0 1 1 1 4 0 3 1 5 1 1 0 2 0 0 1 1 4 3

0 1 0 2 1 4 3 1 0 0 5 1 2 0 3 0 2 1 1 3 1 4 3 0 2 0 1 1 0 1

Construa uma distribuição que mostre quantos formulários continham 0,1,2,3,4 ou 5 erros.

5) Montar uma serie cronológica para representar os valores das exportações de etanol, fornecidas pelo Instituto do Açúcar e do Álcool nos anos de 1975 a 1981 em dólares .

Valores em ordem cronológica de 1975 a 1981: U$ 60.193, U$ 80.114, U$ 81.826, U$ 106.879, U$ 112.064, U$ 126.740, U$ 149.548.

6) Dado o rol de 50 notas, agrupar os elementos em classes (k = 7) e calcular a frequência absoluta, frequência relativa, frequência acumulada e ponto médio de cada classe.

33 35 35 39 41 41 42 45 47 48 50 52 53 54 55 55 57 59 60 60 61 64 65 65 65 66 66 66 67 68 69 71 73 73 74 74 76 77 77 78 80 81 84 85 85 88 89 91 94 97


41

7) Dadas as estaturas de 140 alunos, conseguiu-se a distribuição abaixo. Calcular a media. Resp. 164,93

Estaturas Alunos 145 150 2 150 155 10 155 160 27 160 165 38 165 170 27 170 175 21 175 180 8 180 185 7 8) Dada a distribuição, determine a media. Resp. 78,16

Classes FAC 68 72 8 72 76 20 76 80 35 80 84 40 9) Dada a amostra:

28 33 27 30 31 30 33 30 33 29

27 33 31 27 31 28 27 29 31 24

31 33 30 32 30 33 27 33 31 33

23 29 30 24 28 34 30 30 18 17

18 15 16 17 17 18 19 19 20 29

a) Agrupar os elementos em classe (inicie pelo15) use h = 5 (limite inferior fechado e superior aberto). b) Construir a tabela de distribuição de frequência c) Calcular a média. Resp. 27,5


42

10) Suponha que você dispõe de informações completas sobre as despesas de viagem dos Engenheiros de uma empresa durante o ano de 2010. De um exemplo de cada situação em que esses dados podem ser considerados como: a) Uma população b) Uma amostra

11) Em um posto de controle rodoviário, 12 motoristas multados por excesso de velocidade estavam dirigindo a 8, 11, 14, 6, 8, 10, 20, 11, 13, 18, 9 e 15 quilômetros por hora acima do limite de velocidade de 80 km/h. c) Em media, quantos quilômetros por hora esses motoristas estavam

excedendo o limite? d) Se um motorista que excedia o limite em menos de 15 quilômetros por hora

foi multado em R$ 160 e os outros foram multados em R$ 288, determine a media das multas que esses motoristas tiveram que pagar.

12) Um empregado perdeu uma das dez notas de compras efetuadas naquele dia. O valor médio de todas as 10 notas era de R$ 7,20 e as 9 notas restantes tinham os valores de R$4,80 , R$7,10 , R$7,90 , R$9,55 , R$4,45 , R$5,72 , R$7,54 , R$8,34 e R$9,70. Qual o valor da nota perdida?

13) Os salários médios anuais dos professores em 3 cidades são : R$3.830,00 , R$4.450,00 ; R$4.100,00. Havendo 720, 660 e 520 professores nessas cidades, calcular o salário médio dos professores das 3 cidades. Resp: R$ 4.119,26

14) Determine a posição mediana para: a) n = 25 b) n = 32 c) n = 37 d) n = 64

15) Em 15 dias, uma bomba de um posto de gasolina da Avenida Paralela abastece: 40, 52, 55, 38, 40, 48, 56, 56, 60, 37, 58, 63, 46, 50, 61 carros.

Determine a mediana.


43

16) Em 20 paginas de um relatório, uma secretária cometeu os seguintes números de erros: 0, 0, 1, 2, 0, 3, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 4, 1, 0, 0, 2,1.

a) Determine a media b) Determine a mediana c) Quantos dos 20 valores superam a media d) Quantos estão abaixo dela e) Quantos superam a mediana f) Quantos estão abaixo dela

17) Para a distribuição abaixo, determine a moda pelos dois processos. (Czuber e Pearson).

Classes Fi 7 10 6 10 13 10 13 16 15 16 19 10 19 22 5

18) Para a distribuição, calcule: a) D6, P65, Q1

Classes Fi 4 6 4 6 8 11 8 10 15 10 12 5

b) D2, P43, Q3.

Classes FAC 20 30 3 30 40 8 40 50 18 50 60 22 60 70 24


44

19) Abaixo estão dadas as notas de 50 alunos:

60 85 33 52 65 77 84 65 74 57

71 35 81 50 35 64 74 47 54 68

80 61 41 91 55 73 59 53 77 45

41 55 78 48 69 85 67 39 60 76

94 98 66 66 73 42 65 94 88 89

Pede-se:

a) Determinar a amplitude total da amostra Resp. 65 b) Nº. de classes pela fórmula de Sturges Resp. 7 c) Amplitude das classes Resp. 10 d) Quais as classes (inicie pelo 30) e) Frequência absoluta das classes f) Frequência relativa g) Pontos médios das classes h) Frequência acumulada i) Média Resp. 65,60 j) Moda pelos dois processos (Czuber e Pearson) Resp. 66 k) Mediana Resp. 65,83 l) 1º e 3º quartis Resp. 53,13 e 78,33 m) 7º decil e 55º percentil Resp. 75,56 e 67,92

20) Dada a amostra: 2,3,4,5,7,10,12 a) Qual a amplitude total Resp. 10

b) Determine o desvio médio Resp. 3,02 c) Calcule a variância e o desvio padrão Resp. 13,81 e 3,72

21) Para a série 5,5,5,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,9,9 : a) Construir a distribuição de frequência b) Calcular a amplitude total. Resp. 4 c) Determinar a desvio médio. Resp. 0,98 d) Calcular a variância populacional. Resp. 1,47 e) Calcular o desvio padrão populacional. Resp. 1,21 f) Calcular o coeficiente de variação populacional. Resp. 18%


45

LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 2

1) Determine a média aritmética das seguintes séries:

a) 3, 4, 1, 3, 6, 5, 6 b) 7, 8, 8, 10, 12 c) 3,2; 4,0; 0,75; 5,0; 2,13; 4,75 d) 70, 75, 76, 80, 82, 83, 90

2) A média mínima para aprovação em determinada disciplina é 5,0. Se um estudante obtém as notas 7,5; 8,0; 3,5; 6,0; 2,5; 2,0; 5,5; 4,0 nos trabalhos mensais da disciplina em questão, pergunta-se se ele foi ou não aprovado.

3) Calcule para cada uma das distribuições abaixo sua respectiva média:

a) Xi Fi b) Xi Fi 3 2 10 5 4 5 11 8 7 8 12 10 8 4 13 6 12 3 c) Xi FAC d) Xi Fi 2 3 85 5 3 9 87 1 4 19 88 10 5 25 89 3 6 28 90 5


46

4)Turmas que possuem determinada disciplina em comum apresentam nesta disciplina:

Turma A: (40 alunos): média 6,5 Turma B: (35 alunos): média 6,0 Turma C: (35 alunos): média 4,0 Turma D: (20 alunos): média 7,5 Determine a média geral.

5) Encontre a média harmônica:

a) 5, 7, 12, 15 b) Xi Fi 2 3 3 4 4 6 5 5 6 2

6)Tem-se R$ 2.000,00 disponíveis mensalmente para a compra de determinado artigo que custou, nos meses de junho, julho e agosto respectivamente, R$ 200,00; R$ 500,00 e R$ 700,00. Qual foi o custo médio do artigo para esse período? (calcular através da média harmônica).

7) Para cada série determine a mediana: a) 1, 3, 3, 4, 5, 6, 6 b) 1, 3, 3, 4, 6, 8, 8, 9 c) 12, 7, 10, 8, 8 d) 82, 86, 88, 84, 91, 93

8) Dada a série: 1,2; 1,4; 1,5; 1,8; 2,0. Calcular a média e o desvio padrão

populacional.


47

9) Abaixo a amostra de 60 rendas (em mil reais / mês) de Engenheiros de Petróleo de Empresas Operadoras e Prestadoras de Serviços que atuam no Recôncavo Baiano:

10 7 8 5 4 3 2 9 9 6 3 15 1 13 14 4 3 6 6 8 10 11 12 13 14 2 15 5 4 10 2 1 3 8 10 11 13 14 15 16

8 9 5 3 2 3 3 4 4 4 5 6 7 8 9 1 12 13 14 16

a) Agrupar os elementos em classes, sendo K = 6 e h = 3 b) Calcular a mediana c) Determinar o 3º quartil d) Calcular o 4º decil e) Calcular o 47º percentil f) Determinar o 1º quartil g) Calcular o desvio médio h) Determinar a variância i) Determinar o desvio-padrão j) Qual o valor do coeficiente de variação? k) A distribuição é simétrica? l) A distribuição é mesocúrtica? m) Determine o 7º decil e o 80º percentil.

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Curso P&E_UNIFACS - Apostila 1