Universidade Estadual de CampinasUniversidade Estadual de CampinasFaculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo

Departamento de EstruturasDepartamento de Estruturas

CV511 – Mecânica dos Sólidos II

• Estado de tensão em um ponto

Abril de 2010Abril de 2010

Estado de tensões em um ponto

nP

2

Estado de tensões: corte passando por um ponto P

F

F

n

z

y

x

FFF

F

A

P

y

z

xn

y

z

y

x

nnn

xx F

1

xz

z

yA

z

y

FF

A1lim

0

xz

O estado de tensão no ponto P fica caracterizado pelo conhecimento de p ppara qualquer plano de corte definido ao se variar a normal

n

3

Equilíbrio de forças em um elemento tetraédrico

y

x

y

x

nn

ny

z

y

z

y

n

)n (normalinclinada face daárea:A

znA

eixos aos ortogonais faces dasáreas:,,)(

zyx AnAnAn

Equilíbrio de forças no tetraedro resulta:x xz zzx

A n

q ç

031

AhbAnAnAniA xzzxyyxxx x

z

xyyx yz

zyxnA n

1

031

AhbAnAnAnjA yzzyyyxxy

ynAz y

A

: força resultante das tensões atuantes na face inclinada, ortogonal a n

031

AhbAnAnAnkA zzzyyzxxz

h é a altura do tetraedro relativo à base Ag h é a altura do tetraedro relativo à base A.bx , by , bz são as componentes das forças de volume.Assim o último termo de cada equação

4

Assim, o último termo de cada equação representa a contribuição da resultante das forças de volume.

Dividindo por A≠0:

031

hbnnni xzzxyyxxx

zyx kji

;;como

0313

hbnnnj yzzyyyxxy

zyx j

zzxyyxxxx

nnn

nnn

031

hbnnnk zzzyyzxxz

zzyyzxxzz

zzyyyxxyy

nnn

nnn

Fazendo h0:

0 zzxyyxxx nnni

Escrevendo em forma matricial:

0

0

zzyyyxxy

zzxyyxxx

nnnk

nnnj

y

x

zyyxy

zxyxx

y

x

nnn

0zzyyzxxz nnnk

zzyzxzz n

5

Isto significa que para conhecermos o estado dydzdxdxdzdy 0g q pde tensão em um ponto não é necessárioobter o vetor de tensão em todas as infinitas direções, mas sim conhecer os

yxxy

yxxy

dzdydx

dydzdxdzdxdy

dydzdxdxdzdy

0pormembrosambosDividindo

0

zxyxx

elementos da matriz: yxxy

dzdydx

0por membrosambosDividindo

Repetindo o procedimento para as

zyzxz

zyyxy

I t é d ú i fi it dyzyzzyxz e

Repetindo o procedimento para as demais componentes de cisalhamento:

Isto é, em vez de um número infinito de informações, precisaríamos conhecerapenas 9.

yyy

Desta maneira ficamos com:

y

x

yzyxy

xzxyx

y

x

nnn

Teorema de CauchiFazendo equilíbrio de momentosem um paralelepípedo elementar:

Isto é, a matriz é simétrica. Isto significa

zzyzxzz n

yx

que para caracterizar o estado de tensãoem um ponto, para satisfazer equilíbrio, precisamos de apenas 6 valores

xyyx

xydy

dz

6dx

Estado de tensões em um ponto P

yy

• O estado de tensão em um ponto pode ser representado por 6 componentes

xyyx

yzzy

p p p

tocisalhamendetensõesnormais tensões,, zyx

xxz

y

z zx ),, :(Obstocisalhamendetensões,,

xzzxzyyzyxxy

zxyzxy

xzy

y’

''yx''xy

''zy

'yy• Se os eixos sofrem rotação, o mesmo estado de

tensão é representado por um conjunto yx

''zx'x''yz

' ''xz

diferente de componentes.

''' ,, zyx 'z

xx’

z'''''' ,, xzzyyx

y

z’7

Componentes normal e tangencial na face inclinada

y

y

x

yzyxy

xzxyx

y

x

nnn

sn

zzyzxzz n

A a paralelo s

s

n nn

x

z

y

x

yzyxy

xzxyx

zyxn

nnn

nnn

n n

z

Aanormalunitáriovetor:n

zzyzxz n

222

A

: força resultante das tensões

A a paralelo unitário vetor : sA a normal unitário vetor :

n

xzzxzyyzyxxy

zzyyxxn

nnnnnn

nnn

222

222

atuantes na face A

ns nn

8

Tensões principais

2yy’

Exitem três direções ortogonais entre si emque as tensões de cisalhamento são nulas. Essas direções são chamadas direções

y Essas direções são chamadas direçõesprincipais e as correspondentes componentesnormais são chamadas tensões principais e

1

3

indicadas por

e3

xx’

z’

321, e

z’

9

Estado triplo de tensão

yy

• O estado de tensão em um ponto pode ser representado por 6 componentes independentes

xyyx

yzzy

p p p p

xzxyx

xxz

y

z zx

zyzxz

yzyxy

xz2y

y’• Se os eixos são orientados segundo as

y direções principais, o estado de tensão fica caracterizado por:

1

3

2

1

0000

3

xx’

z e pelas direções principais

300

z’ e pelas direções principais

10

Componentes normal e tangencial em estado plano de tensão

Equilíbrio do elemento prismático com faces perpendiculares aos eixos x, y, e x’.

y

senAAAF xyxxx coscoscos0

p p , y,

X cosAx

AxAxy

AAAF

senAsenA

xyxyxy

xyy

coscossincos0

cossin

cosAxy

x

sensenAsenA xyy

yyy

cos sinAy

sinAxy

0nulas são posterior e

anterior faces nas tensõesas:Obs.

sensen

sen

xyy

xyxx

cossin

coscoscos

0 zyzxz

(estado plano de tensão)

sensensen

sen

xyy

xyxyx

xyy

cos

coscoscos

coss

xyy

11

L b dLembrando que:

22cos1cos

cos2cos2

22

22

2cos12cos2cos

2

22

sensen

22coscos22 sensensensen

As equações podem ser reescritas como: q ç p

22cos12

22cos1

sen yxyxx

222cos

22 sensen

yxyxyx

Que rearranjadas resultam em:

22cos22 xy

yxyxx sen

Que rearranjadas resultam em:

2cos22 xy

yxyx sen

12

Repetindo a primeira equação com (+90º)Repetindo a primeira equação com (+90º) de modo a determinar uma equação para ´y

22cos22

senxyyxyx

y

Resultando:

22cos22 xy

yxyxx sen

22cos22

22

xyyxyx

y

xyx

sen

2cos22

22

xyyx

yx sen

13

Círculo de Mohr para representação de estado plano de tensão

Fazendo: ''

2yx

m

e

'x''yx

22

2 xyyxR

R

min

Essas equações podem ser

R

''yx

'O

Essas equações podem ser reescritas como:

'x

m 222 Ryxmx

Que é a equação de um círculo no plano yxx

max

14

Círculo de Mohr para representação de estado plano de tensão:

A õ i i i l

tensões principais'x''yx

As tensões principais ocorrem nos planos em

que as tensões de cisalhamento são nulasR ''yx

min

222

2

minmax, xyyxyx

yx

'xOm

22tan xy

max

2tanyx

yp

min p

laresperpendicu mutuamente planos dois são principais planos os :Obs

maxp

p

maxmin

p

15

Representação de Mohr para estado triplo de tensões

Repetindo o procedimento para os planos ortogonais a cada uma das tensões principais:

n

p p

n123

As circunferências correspondem a planos ortogonais aAs circunferências correspondem a planos ortogonais a cada uma das tensões principais

As áreas hachuriadas correspondem aos demais planosAs áreas hachuriadas correspondem aos demais planos

16

Critério de Resistência de Tresca no plano de Mohr

max nCritério

Tresca: max n

123

A ser detalhado em “Critérios de resistência”

17

Critério de Resistência de Mohr-Coulomb no plano de Mohr

tgc nn Critério:

n

cCoulomb: tgc nn c

n123

-c

A ser detalhado em “Critérios de resistência”

18

Deformações – Relações tensão-deformação

P

PP

A

PAP

P

ELei de Hooke (elasticidade linear)

EE: módulo de elasticidade

(Y ’ d l )

1E

trecho linearreversível

(Young’s modulus)

19

Coeficiente de Poisson

AP x

x

Ex

x

xxzy

E

Exzy

: Coeficiente de Poisson(Poisson’s ratio)

20

Superposição de efeitos

yEEE

zyxx

x EEEzyx

y

EEEzyx

z

zEEE

Reagrupando:

zyxx E

1

zxyy E

1

yxzz E

1

21

Incluindo deformações transversais temos:

1

zyxx E

1

1

zxyy E

1

1

yxzz E

1

Gxy

xy

Gxz

xz

Gyz

yz

22

Estas 6 equações podem ser reescritas em forma matricial como

0001

y

x

y

x

vv

00010001

xy

z

xy

z

E

001200000011

yz

xz

yz

xz

12000000120000

Lembrando que EGLembrando que

12G

23

Invertendo as relações

zyxxE

1

211

zxyy

y

E

1

211

zxyy

E

1

211

yxzz

1211

Deformações transversais:

G

xzxz

xyxy

GG

G

yzyz G

24

Estas 6 equações podem ser reescritas em forma matricial como

v 0001

y

x

y

x v

2100010001

xy

z

xy

z E

0210000

00221000

211

yz

xz

yz

xz

22100000

02

0000

2

Lembrando que EGLembrando que

12G

25

Estado plano de tensão (plane stress)

0 yzxzz Exemplo: viga

Impondo essas condições resulta:

yxx E

1

x xy E

xx

xyy E

1E

xyxy GE

aindae

yxz E

ainda e

yxz E

26

Estado plano de deformação (plane strain)

0 yzxzz Exemplo: laje

E 1

yxx

E

1

1211

xyy

G

1211

xz xx zxyxy

E

G

:ainda e

yxzE

211

27