Delineamento de Parcela Subdividida Definição dos Fatores: Blocos (repetição (A)); Tratamento da Parcela Principal (fator fixo B); Tratamento da Subparcela

Delineamento de Parcela Subdividida

• Definição dos Fatores:

• Blocos (repetição (A));

• Tratamento da Parcela Principal (fator fixo B);

• Tratamento da Subparcela (fator fixo C).

Características da Parcela Subdividida

• É um tipo especial de delineamento em blocos incompletos para experimentos fatoriais à medida em que o fator C é considerado;

• Nas parcelas principais são alocados os níveis do fator B e dentro de cada um dos níveis desse fator é alocado aleatoriamente os níveis do fator C, formando a subparcela;


• As parcelas principais podem ser dispostas em DCC, DBC ou DQL, por exemplo;

• O efeito do fator B é confundido com as diferenças dos blocos incompletos;

• O efeito de B é estimado com menor precisão, dado que para estimá-lo toma-se cada parcela principal (blocos incompletos) como unidade experimental;


• O efeito de B é testado com o E(A) e os efeitos de C e BxC são testados com o E(B);

• O E(B) é obtido supondo-se que a interação entre o fator C e blocos seja inexistente ou insignificante; caso contrário, o E(B) deverá ser desmembrado em seus componentes e deverá ser retirado o efeito dessa interação.


• Geralmente, o E(A) é usualmente maior do que o E(B), visto que as observações na subparcela tendem a ser correlacionadas;

• Ás vezes o E(A) pode ser menor que o E(B). Se isto ocorre, desde que E(A) não seja significativamente menor, pode-se usar um erro médio de E(A) e E(B) como estimativa da variância populacional.

Uso da Parcela Subdividida

• Os níveis de um fator requerem parcelas maiores do que os níveis de um outro fator;

• Por informação prévia, espera-se que as diferenças entre os níveis de um fator específico sejam maiores do que as diferenças entre os níveis de um outro fator;

Uso da Parcela Subdividida

• Se um fator é mais importante, ou se há necessidade de maior precisão para esse fator, ele deverá ser alocado na subparcela.

ijkjkkijjiijky

onde, i= 1, 2, ..., a, j= 1, 2, ..., b e k= 1, 2, ..., c yijk : valor observado na subparcela k, da parcela j e repetição i; : média geral;

i : blocos (A);

j : fator da parcela principal (B); ( )ij : erro da parcela principal – E(A);

k : fator da subparcela (C); ( )jk : interação BxC;

ijk : erro da subparcela – E(B)

Tabela 1: Análise de Varìância para o Delineamento de Parcela Subdividida

Causas de GL QM FVariação

A (a-1) QMA

B (b-1) QMB QMB/QME(a)

Erro(a) (a-1)(b-1) QME(a)Parcela ab-1

C (c-1) QMC QMC / QME(b)

BxC (b-1)(c-1) QM(BxC) QM(BxC) / QME(b)

Erro(b) b(c-1)(a-1) QME(b)

Total abc-1

Tabela 2: Quadrado Médio Esperado para o Delineamento de Parcela Subdividida

Causas de GL QM QM EsperadoVariação

A (a-1) QMA 2 + c2 + bc2

B (b-1) QMB 2 + c2 + ( ac2j / (b-1) )

Erro(a) (a-1)(b-1) QME(a) 2 + c2

C (c-1) QMC 2 + ( ab2k / (c-1)

BxC (b-1)(c-1) QM(BxC) 2 + ( a()2jk / (b-1)(c-1) )

Erro(b) b(c-1)(a-1) QME(b) 2

Total abc-1

Soma de Quadrados

FCbc

ySQA i

i

2

..

abc

yFC

2...

FCac

Y

SQB jj

2

..

FCab

ySQC k

k

2

.. SQCSQBFCa

y

SQBxC kjjk

,

2.

FCySQTotalkji

ijk ,,

2 SQBxCSQCincipalSQPSQTotalbSQE Pr)(

SQBSQAincipalSQPaSQE Pr)(

FCc

y

incipalSQP jiij

,

2.

Pr

Exemplo Montgomery

• Um fabricante está interessado em 3 diferentes métodos de preparo do pulpo e 4 diferentes temperaturas de cozimento do pulpo e quer estudar o efeito desses 2 fatores na força de tensão do papel. O experimentador decidiu rodar 3 replicatas, uma por dia. No primeiro dia, o experimentador realiza uma fornada do pulpo utilizando um dos três métodos. Então esta fornada é dividida em 4 amostras e cada uma é cozida em uma das 4 diferentes temperaturas. O mesmo ocorre nos outros 2 dias.

Tabela 3:Análise de Variância da Variável Resposta Força de Tensão do Papel

Causas de GL SQ QM F Prob.>FVariação

Blocos (A) 2 77.55 38.78

Método Preparo (B) 2 128.39 64.2 7.08 0.05

Erro(a) 4 36.28 9.07Parcela 8 242.22

Temperatura (C) 3 434.08 144.69 36.43 <0.0001

MétodoxTemperatura 6 75.17 12.53 3.15 0.03

Erro(b) 18 71.5 3.97

Total 35 822.97

ijkijkjkikkijjiijky

onde, i= 1, 2, ..., a, j= 1, 2, ..., b e k= 1, 2, ..., c yijk : valor observado na subparcela k, da parcela j e repetição i; : média geral;

i : blocos (A);

j : fator da parcela principal (B); ( )ij : erro da parcela principal – E(A);

k : fator da subparcela (C); ( )ik : interação AxC; ( )jk : interação BxC; ( )ijk : interação AxBxC (erro da subparcela);

ijk : resíduo.

Tabela 4: Análise de Variância para o delineamento de Parcela Subdividida com E(b) desdobrado


A (a-1) QMA

B (b-1) QMB QMB/QME(a)

Erro(a) (a-1)(b-1) QME(A)Parcela ab-1

C (c-1) QMC QMC / QM(AxC)

AxC (a-1)(c-1) QM(AxC)

BxC (b-1)(c-1) QM(BxC) QM(BxC) / QM(AxBxC)

AxBxC (a-1)(b-1)(c-1) QM(AxBxC)Erro (b)

Total abc-1

Tabela 5: QM Esperado para o delineamento de Parcela Subdividida com E(b) desdobrado

Causas de GL QM QM EsperadoVariação

A (a-1) QMA 2 + bc2

B (b-1) QMB 2 + c2 + ( ac2j / (b-1) )

Erro(a) (a-1)(b-1) QME(A) 2 + c2

C (c-1) QMC 2 + b2 + ( ab2k / (c-1) )

AxC (a-1)(c-1) QM(AxC) 2 + b2

BxC (b-1)(c-1) QM(BxC) 2 + 2+ ( a()2jk / (b-1)(c-1) )

AxBxC (a-1)(b-1)(c-1) QM(AxBxC) 2 + 2

Erro (b)Total abc-1

Soma de Quadrados para E(b) desdobrado

FCbc

ySQA i

i

2

..

abc

yFC

2...

FCac

Y

SQB jj

2

..

FCab

ySQC k

k

2

.. SQCSQBFCa

y

SQBxC kjjk

,

2.

FCySQTotalkji

ijk ,,

2 SQBxCSQCincipalSQPSQTotalbSQE Pr)(

SQBSQAincipalSQPaSQE Pr)(

SQCSQAFCb

y

SQAxC kiki

,

2.

SQBxCSQAxCSQCSQAxBSQBSQAFCySQAxBxCkji

ijk ,,

2

FCc

y

incipalSQP jiij

,

2.

Pr

Tabela 6: Análise de Variância da Variável Resposta Força de Tensão do Papel com E(b) desmembrado

Causas de GL SQ QM F Prob.>FVariação

Blocos (A) 2 77.55 38.78

Método Preparo (B) 2 128.39 64.2 7.08 0.05

Erro(a) 4 36.28 9.07Parcela 8 242.22

Temperatura (C) 3 434.08 144.69 41.94 <0.01

BlocoxTemperatura 6 20.67 3.45

MétodoxTemperatura 6 75.17 12.53 2.96 0.05

BlocoxMétodoxTemperatura 12 50.83 4.24( Erro(b) )Total 35 822.97

Comparações Múltiplas Diferença entre Exemplo Erro Padrão da Média GL

Entre duas médias de B b1 – b2

rc

aQME )(

GLE(a) = na

Entre duas médias de C c1 – c2

rb

bQME )(

GLE(b) = nb

Entre duas médias de C no mesmo nível de B

b1 c1 – b1 c2

a

bQME )(

GLE(b) = nb

Entre duas médias de B no mesmo nível de C ou em diferentes níveis de C

b1 c1 – b2 c1 ou

b1 c1 – b2 c2 ac

bQMEcaQME )()1()(

n'

ba n

bQMEc

n

aQME

bQMEcaQMEn

222

2

)()1()(

)()1()('

baa nn'nn

Delineamento de Parcela Sub-Subdividida

• Definição dos Fatores:

• Blocos (repetição (A));

• Tratamento da Parcela Principal (fator fixo B);

• Tratamento da Subparcela (fator fixo C);

• Tratamento da Sub-Subparcela (fator fixo D).

Delineamento de Parcela Sub-Subdividida

• É uma extensão do delineamento de parcela subdividida. Os níveis de um fator são alocados nas unidades principais dentro de cada bloco. Os níveis do segundo fator são alocados nas subparcelas dentro de cada parcela e os níveis de um terceiro fator são alocados nas sub-subparcelas dentro de cada subparcela.

Tabela 7: Análise de Varìância para o Delineamento de Parcela Sub-Subdividida


A (Blocos) (a-1) QMAB (b-1) QMB QMB/QME(a)Erro(a) (a-1)(b-1) QME(a)Parcela

C (c-1) QMC QMC / QME(b)BxC (b-1)(c-1) QM(BxC) QM(BxC) / QME(b)Erro(b) b(c-1)(a-1) QME(b)Subparcela

D (d-1) QMD QMD / QME( c)BD (b-1)(d-1) QM(BxD) QM(BxD) / QME( c )CD (c-1)(d-1) QM(CxD) QM(CxD) / QME( c )BCD (b-1)(c-1)(d-1) QM(BxCxD) QM(BxCxD) / QME( c )Erro( c ) bc(d-1)(a-1) QME( c )

Total abcd-1

Tabela 8: Quadrado Médio Esperado para o Delineamento de Parcela Sub-Subdividida

Efeito

hkji

dcba

FFFAQM Esperados

i dcb1 2222

bcdcdd dca 0 )1(2222 bacdcdd j

()i(j) dc11 222 cdd

k dba 0 )1(222 cabdd k

()jk da 00 )1)(1(222 cbadd jk

()i(jk) d111 22 d

h 0cba )1(22 dabc h

()jh 00 ca )1)(1(22 dbac jh()kh 00ba )1)(1(22 dcab kh

()jkh 000a )1)(1)(1(22 dcba jkh

i(jkh) 11112

Soma de Quadrados Complementar

FCabc

ySQD l

l

2

...

SQDSQBFCac

Y

SQBD ljlj

,

2..

SQDSQCFCab

y

SQCD lkkl

,

2..

SQCDSQBDSQBCSQDSQCSQBFCa

y

SQBxCxD lkjjkl

,,

2.

FCySQTotallkjiijkl

,,,

2

SQBCDSQCDSQBDSQDincipalSQPlaSQSubparceSQTotalcSQE Pr)(

FCd

y

laSQSubparce kjiijk

,,

2.

Tabela 9: Análise de Varìância para o Delineamento de Parcela Sub-Subdividida com Erros Particionados


A (a-1) QMAB (b-1) QMB QMB/QME(a)Erro(a) (a-1)(b-1) QME(A)Parcela

C (c-1) QMC QMC / QM(AxC)AxC (a-1)(c-1) QM(AxC)BxC (b-1)(c-1) QM(BxC) QM(BxC) / QM(AxBxC)AxBxC (a-1)(b-1)(c-1) QM(AxBxC)Erro (b)Subparcela

D (d-1) QMD QMD / QM(AxD)AxD (a-1)(d-1) QM(AxD)BxD (b-1)(d-1) QM(BxD) QM(BxD) / QM(AxBxD)AxBxD (a-1)(b-1)(d-1) QM(AxBxD)CxD (c-1)(d-1) QM(CxD) QM(CxD) / QM(AxCxD)AxCxD (a-1)(c-1)(d-1) QM(AxCxD)BxCxD (b-1)(c-1)(d-1) QM(BxCxD) QM(BxCxD) / QM(AxBxCxD)AxBxCxD (a-1)(b-1)(c-1)(d-1) QM(AxBxCxD)(Erro( c ))Sub-SubparcelaTotal abc-1

Tabela 10: QM Esperado para o Delineamento de Parcela Sub-Subdividida com Erros particionados

Efeito

l

A

hkji

dcba

FFFA

1 QM Esperados

i 11 dcb 22

bcd 10 dca )1(222 bacdcd j

()i(j) 101 dc 22 cd

k 10 dba )1(222 cabdbd k

()ik 101 db 22 bd

()jk 100 da )1)(1(222 cbadd jk

()i(jk) 1001 d 22 d

h 10cba )1(222 dabcbc h

ih 101 cb

22 bc

()jh 100 ca )1)(1(222 dbacc jh

ijh 1001 c 22

c()kh 100ba )1)(1(222 dcabb kh

ikh 1001 b22 b

()jkh 1000a )1)(1)(1(222 dcba jkh

ijkh 10001 22

i(jkh) 11112 (não estimado)

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Delineamento de Parcela Subdividida Definição dos Fatores: Blocos (repetição (A)); Tratamento da Parcela Principal (fator fixo B); Tratamento da Subparcela