DERIVADAS

Definição da derivada de uma função num ponto. Significado geométrico

f ' (x0 )=limh→0

f (x0+h )−f (x0)h

Ou

f '( x)= limx→ x0

f (x)−f (x¿¿0)x−x0

¿

Derivadas laterais

Seja f uma função de variável real e x0 um ponto do domínio de f .

Diz-se que:

f é derivável à esquerda de x0se existe

limx→xo−¿f ( x )−

f (x¿¿0 )x−x0

¿ ¿

¿ ou

lim0−¿ f (x0+h¿−

f (¿ x0)

h¿

¿,

A que se chama derivada lateral à esquerda de x0 e se representa por f '¿ ¿

f é derivável à direita de x0 e se existe

limx→x0+¿

f ( x )−f (x0 )x− x0

¿

¿ ou

limh→0+¿ f (x0+h )−f (x0 )

h¿

¿,

A que existe derivada lateral à direita de x0 e se representa por f ' ¿;

Existindo e sendo iguais as derivadas laterais no ponto de abcissa x0, então a função é derivável nesse ponto e o valor desta derivada é igual ao valor comum das derivadas laterais

f ' (x0 )=f ' ¿

Derivada de uma função constante

A derivada de uma função constante é igual a zero.

y=c⇔ y '=0

Derivada de uma função afim

A derivada de uma função afim é igual as declive da recta que representa a função.

y=ax+b⇔ y '=a

Derivada do produto de uma constante por uma função

Se a função f tem derivada em ¿a .b¿ e c é uma constante real, então a função y=cf ( x ) tem derivada em ¿a ,b¿ e

[cf ( x ) ] '=cf ' (x )

Derivada da soma e da diferença de duas funções

Se duas funções f e g são deriváveis em ¿a ,b¿, a função f +g é derivável em ¿a ,b¿, e:

( f +g )' ( x )= f ' ( x )+g' (x )

Se duas funções f e g são deriváveis em ¿a ,b¿, a função f−g em ¿a ,b¿, e:

( f−g)' (x )=f ( x ) '−g ' ( x )

Derivada de uma potência

Para qualquer número real n, tem-se:

ddx

(xn )=nxn−1 ou (xn ) '=nxn−1

Derivada de um produto de funções

Se f e g têm derivada de todos os pontos do intervalo ¿a ,b¿ e

( f ×g ) ' (x )=f ' ( x )× g (x )+ f ( x )×g ' ( x )

Derivada de um quociente de funções

Se as funções f e g têm derivada num intervalo ¿a ,b¿, fg

é derivável em ¿a ,b¿ e

( fg ) ( x )'

=f ' ( x )×g ( x )−f (x )×g ' ( x )

[ g ( x ) ]2, g ( x )≠0

Derivadas de funções compostas

A derivada de uma função definida por ( f (x ) )p, em qualquer ponto onde exista e seja finita, é

dada por

[ ( f ( x ) )p ]'=p× ( f (x ) )p−1×f ' ( x ) (p∈ R )

Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas

Derivada de y=ex

Se y=ex, y '=ex

Derivada de y=eu

Se y=eu, y '=u ' eu

Derivada de y=ax

Se y=ax, y '= ( ln a )ax

Derivada de y=au

Se y=au, y '=ln a×u ' ×au

Derivada de y=ln x

Se y=ln x, y '=1x

Derivada de y=ln u

Se y=ln u, y '=u 'u

Derivada de y=loga x

Se y=loga x, y '=1x ln a

Derivada de y=logau, y '=u 'u ln a

APLICAÇÕES DAS DERIVADAS

Extremos de uma função

Seja f uma função de domínio D.

f (a ) é o máximo absoluto de f se, para todo o x de D:

f (a )≥ f (x )

f (b ) é o mínimo absoluto de f se, para todo x de D:

f (b )≤ f (x )

f (a ) é o máximo relativo de f se existir um intervalo aberto E contendo a tal que

f (a )≥ f (x ) qualquer que seja x∈ E∩D . f (b ) é o mínimo relativo de f se existir um intervalo aberto F contendo b tal que

f (b )≤ f (x ) qualquer que seja x∈ F∩D.

Intervalos de monotonia e primeira derivada de uma função

Teorema

Seja f uma função continua em [a ,b ] é derivável em ¿a ,b¿.

Se f ' ( x )>0 para todo o x∈ ¿a ,b¿, então f é estritamente crescente em [a ,b ]. Se f ' ( x )<0 para todo o x∈ ¿a ,b¿, então f é estritamente decrescente em [a ,b ].

Máximos e mínimos absolutos e primeira derivada da função

Teorema

Se uma função f é continua num intervalo fechado [a ,b ] e tem um máximo ou um mínimo em c do intervalo ¿a ,b¿, então f ' ( c )=0 ou f ' ( c ) não existe.

Extremos relativos e primeira derivada de uma função

Seja c um ponto critico de f e suponha-se que f é continua em c e derivável num intervalo aberto E contendo c, com a possível excepção de poder não ser derivável em c.

Se f ' muda de positiva para negativa em c, então f ( c ) é um máximo relativo. Se f ' muda de negativa para negativa para positiva em c, então f ' ( c ) é um mínimo

relativo. Se f ' ( x )>0 ou f ' ( x )<0 para todo o x do intervalo E, excepto para x=c , então f ( c )

não é um extremo relativo de f .

Concavidade e segunda derivada de uma função

O ponto (c , f (c ) ) do gráfico de f é um ponto de inflexão se são verificadas as seguintes

condições:

f é continua em c; Existe um intervalo aberto ¿a ,b¿, contendo c de tal modo que o gráfico de f tem

concavidades voltadas para baixo em ¿a , c ¿ e a concavidade voltada para cima em ¿c ,b¿ ou vice-versa.

Seja f uma função derivável em ¿a ,b¿. O gráfico f tem:

A concavidade voltada para cima se f ' é crescente; A concavidade voltada para baixo se f ' é decrescente.

Se a segunda derivada f ' ' de f existe num intervalo aberto E=¿a ,b¿, então o gráfico de f :

Tem a concavidade voltada para cima em E se f