UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANSCICO – UNIVASF CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II – PROF. LINO MARCOS

Derivadas Direcionais Definição ( Derivada Direcional)

A derivada de f em ),( 000 yxP na direção do versor juiuu 21 += é o número

,),(),(

lim 002010

0, 0

s

yxfsuysuxf

ds

df

sPu

−++=

→

desde que o limite exista. (Obs. o parâmetro s mede o

comprimento de arco a partir de 0P na direção de u.)

A derivada direcional é denotada também por 0

)( Pu fD .

Definição (Vetor Gradiente)

O vetor gradiente(gradiente) de ),( yxf no ponto ),( 000 yxP é o vetor

∂

∂

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂=∇

y

f

x

fj

y

fi

x

ff ,

Obtido por meio do cálculo das derivadas parciais de f em 0P .

Na prática calculamos uma derivada direcional, usando o seguinte: Teorema (A Derivada Direcional é um Produto Escalar) Se ),( yxf for diferenciável em ),( 000 yxP , então

ufds

dfP

Pu

⋅∇=

0

0

)(,

.

Ou seja, 0

)( Pu fD é o produto escalar do gradiente de f em 0P e u.

Propriedades Da Derivada Direcional

Lembre-se que o produto escalar de dois vetores u e v pode ser dado pela fórmula θcos|||||||| 2121 ⋅⋅=⋅ uuuu e que no

cálculo da derivada direcional temos 1|||| =u , pois u é um vetor unitário (versor). Usando esta fórmula, o cálculo do produto

escalar =0

)( Pu fD θθ cos||||cos||||||||)( ⋅∇=⋅∇=⋅∇ fufuf , onde θ é o ângulo entre os vetores u e f∇ , revela as

propriedades a seguir.

1. A cada ponto P do seu domínio função f aumenta mais rapidamente na direção e no sentido do vetor gradiente

f∇ em P.

2. f decresce mais rapidamente na direção e no sentido do oposto ao vetor gradiente f∇ em P.

3. Qualquer direção u ortogonal ao gradiente é uma direção de variação zero em f . Pois, neste caso, θ é igual a 2π .

Direção do aumento de s

Reta

Reta tangente

Superfície S:

Figura 2. O coeficiente angular da curva C em 0P é

0)( Pu fD

Figura 1. A taxa de variação de f na direção de u no ponto 0P é a

taxa com que f varia ao longo dessa reta em 0P .

Vetor Gradiente e Reta Tangente a uma Curva de Nível

Em todo ponto ),( 00 yx no domínio de ),( yxf , o gradiente de f é normal à curva de nível por ),( 00 yx .

A equação da reta tangente à um curva de nível ( reta normal ao vetor gradiente) no ponto ),( 00 yx . É

0))(,())(,( 000000 =−+− yyyxfxxyxf yx .

Estimando a Variação de uma função de f em uma direção u.

Para estimar a variação do valor de uma função f quando nos movemos uma pequena distância ds a partir de um ponto 0P

em uma direção específica u, use a fórmula ( ) dsufdf P ⋅⋅∇=0

)(

Funções de Três Variáveis Obtemos fórmulas para funções de três variáveis adicionando os termos em z às fórmulas para a função de duas variáveis.

Para uma função diferenciável ),,( zyxf e um versor kujuiuu 321 ++= ou seja, ),,( 321 uuuu = , no espaço, temos

∂

∂

∂

∂

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇

z

f

y

f

x

fk

z

fj

y

fi

x

ff ,, e

321 uz

fu

y

fu

x

fuffDu ⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂==⋅∇= .

A derivada direcional pode ser escrita novamente na forma

θθ cos||||cos|||||||| ⋅∇=⋅∇=⋅∇= fufuffDu ,

assim as propriedades relacionadas anteriormente para funções de duas variáveis continuam valendo. Planos Tangentes e Retas Normais Definições ( Plano Tangente e Reta Normal)

O plano tangente no ponto ),,( 0000 zyxP na superfície de nível czyxf =),,( é o plano que passa por 0P e é normal

a0

|Pf∇ . Este plano tem equação

0)).(()).(()).(( 000000 =−+−+− zzPfyyPfxxPf zyx

A reta normal à superfície em 0P é a reta que passa por 0P

e é paralela a 0

|Pf∇ . Pode-se mostrar que as equações paramétricas

desta reta são

+=

+=

+=

tPfzz

tPfyy

tPfxx

z

y

x

)(

)(

)(

00

00

00

.

A curva

Figura 3. O gradiente de uma função diferenciável de duas variáveis em um ponto é sempre normal à curva de nível da função naquele ponto.

Plano tangente em P0

Superfície de nível f(x,y,z) = c

Figura 4. O gradiente de uma função diferenciável de três variáveis em um ponto é normal à superfície de nível da função naquele ponto. E

portanto, paralelo a reta normal ao plano tangente em 0P .

Plano Tangente a uma superfície ),( yxfz = em )),(,,( 0000 yxfyx

O plano tangente à superfície ),( yxfz = no ponto )),(,,(),,( 00000000 yxfyxzyxP = é

)).(()).(( 00000 yyPfxxPfzz yx −+−=−

Exercícios

1. Encontre o gradiente da função no ponto dado. Depois, esboce o gradiente junto com a curva de nível que passa pelo ponto.

a) 2),( xyyxf −= , (-1,0)

b) 22

),(22

yxyxf −= ,

2. Encontre f∇ no ponto dado.

a) xzzyxzyxf ln2),,( 222 +−+= , )1,1,1(

b) arcsenxyzeyxf yx )1(cos),( ++= + , ),0,0( 6π

3. Encontre a derivada da função em 0P na direção de A.

a) 232),( yxyyxf −= , )5,5(0 =P , jiA 34 +=

b) zxexyzyxh yz lncos),,( ++= , )2/1,0,1(0 =P , kjiA 22 ++=

4. Encontre as direções nas quais as funções crescem e decrescem mais rapidamente em 0P . Depois encontre as

derivadas das funções nessas direções.

a) 22),( yxyxyxf ++= , )1,1(0 −P

b) xzyzxyzyxf lnlnln),,( ++= , )1,1,1(0P

5. Em cerca de quanto variará yysenzzxxzyxf +−+= cos),,( quando se o ponto ),,( zyxP se deslocar de

)0,1,2(0 −=P uma distância 2,0=ds unidade em direção ao ponto )2,1,0(1 =P ?

6. Em cada caso, encontre equações para: (i) O plano tangente; (ii) A reta normal no ponto 0P na superfície dada.

a) 3222 =++ zyx , )1,1,1(0 =P

b) 02 2 =− xz , )2,0,2(0 =P

c) 4cos 2 =++− yzeyxx xzπ , )2,1,0(0 =P

7. Encontre uma equação para o plano tangente que seja tangente à superfície xyz −= no ponto )1,2,1(0 =P .

8. Seja 22),( yxyxfz +== . Esboce a curva 422 =+ yx junto com o f∇ e a reta tangente no ponto

)2,2( . Depois escreva uma equação para a reta tangente.

9. Seja xyyxfz == ),( . Esboce a curva 4−=xy junto com o f∇ e a reta tangente no ponto )2,2( − . Depois

escreva uma equação para a reta tangente. 10. Encontre equações paramétricas para a reta tangente à curva de intersecção das superfícies

043 23223 =−+++ zxyyyxx e 112322 =+++ zyyx no ponto )3,1,1( .

11. Existe uma direção u na qual a taxa de variação de 22 43),( yxyxyxf =−= em P (1,2) é igual a 14? Justifique

sua resposta.

12. A derivada de ),( yxf em )2,1(0P na direção de ji + é 22 e na direção de j2− é igual a 3− . Qual é a

derivada de f na direção de ji 2−− ? Justifique sua resposta.

Respostas

4. a)

−=

2

1,

2

1u e 2)(

0=Pu fD e

−=−

2

1,

2

1u e 2)(

0−=− Pu fD

b)

=

3

1,

3

1,

3

1u e 32)(

0=Pu fD e

−−−=−

3

1,

3

1,

3

1u e 32)(

0−=− Pu fD

5. 0=df

6. a) (i) 3=++ zyx . (ii) tztytx 21,21,21 +=+=+=

b) (i) 22 =− zx . (ii) tzytx 22,0,42 +====

c) (i) 422 =++ zyx . (ii) tztytx +=+== 2,21,2

7. 012 =−+− zyx

8. 22+−= xy

9. 4−= xy

10. 3,901,901 =−=+= ztytx

11.

−=

53

2,

53

7u e

−=−

53

2,

53

7u

12. Não. Pois, a taxa de variação máxima é 185 que é menor do que 14.