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DIMENSIONAMENTO OTIMIZADO DE TRELIÇAS TUBULARES COM O USO
DE ALGORITMO GENÉTICO
Optimized design of tubular trusses using Genetic Algorithm Bruna dos Santos Neves (1); Bruna Subtil Lima (2); Élcio Cassimiro Alves (3)
(1) Engenheira Civil, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória - ES, Brasil.
(2) Graduanda em Engenharia Civil, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória - ES, Brasil. (P)
(3) Dr. Prof., Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória - ES, Brasil
Email para Correspondência: [email protected]; (P) Apresentador
Resumo: Estruturas treliçadas apresentam vasta aplicabilidade em projetos que possuem cargas
elevadas e grandes vãos livres, em especial estruturas tubulares, que apresentam um baixo peso
próprio. O presente artigo tem o objetivo de apresentar uma ferramenta computacional para o
dimensionamento otimizado de treliças espaciais tubulares. O desenvolvimento da ferramenta
computacional foi feito na plataforma MATLAB de acordo com a ABNT NBR 8800:2008 e a ABNT
NBR 16239:2013 e a solução do problema de otimização foi obtida via Algoritmos Genéticos.
Além da otimização, foi desenvolvido um modo de agrupamento das barras da estrutura
treliçada para que fosse possível diminuir o tempo de processamento do programa e aproximar
a solução da realidade. A modelagem geométrica e o agrupamento são feitos via ferramentas
de CAD e a importação feita via arquivo com extensão DXF. Exemplos numéricos serão
apresentados para validar o programa, bem como uma comparação dos resultados obtidos na
otimização discreta, implementada utilizando o AG, com os resultados gerados utilizando a
otimização contínua, utilizando a rotina baseada na Programação Quadrática Sequencial. Os
resultados obtidos foram satisfatórios quando comparados ao dimensionamento convencional
e otimização contínua das estruturas analisadas, apresentando soluções mais condizentes com
a realidade do mercado da construção civil.
Palavras chaves: otimização; treliças; algoritmo; genético; agrupamento.
Abstract: Trusses present wide applicability in projects that have heavy loads and large spans, especially tubular structures, which feature a low deadweight. The objective of this article is implementing a computational tool to optimize tubular space trusses’ design. The tool was developed in the software MATLAB according to ABNT NBR 8800:2008 and ABNT NBR 16239:2013. The solution for the optimization was obtained by a Genetic Algorithm. Besides optimization, a way of grouping trusses’ bars was developed. The grouping reduced the processing time of the program and approached it to real solutions. Trusses’ geometry and bars grouping are drawn in CAD software and are imported by a file with DXF extension. Numerical examples will be presented to validate the program, as well as a comparison of the results obtained in the discrete optimization, implemented using GA, with the results generated using continuous optimization, using the routine based on Sequential Quadratic Programming. The results obtained were satisfactory when compared to the conventional design and continuous optimization of the analyzed structures, presenting solutions more suitable to the reality of the civil construction industry. Keywords: optimization; trusses; genetic; algorithm; grouping.
1 INTRODUÇÃO
Estruturas treliçadas apresentam grandes vantagens em sua utilização devido à sua
capacidade de superar grandes vãos utilizando uma estrutura muito leve e composta por
elementos de dimensões pequenas. Para projetar essas estruturas, engenheiros e
projetistas visam diminuir os custos de sua construção, reduzindo a quantidade de
material empregado. O objetivo é reduzir o peso da estrutura respeitando as restrições
impostas pelo projeto, isso é, otimizá-la.
As técnicas de otimização podem ser divididas em discreta e contínua. Na otimização
contínua, como a Programação Quadrática Sequencial (PQS), os resultados obtidos são
contínuos e dificilmente serão utilizados por projetistas, pois os perfis ótimos usualmente
não são comerciais. Na otimização discreta, é possível encontrar perfis ótimos para a
estrutura dentro de um conjunto de perfis comerciais, tornando-a vantajosa
economicamente.
Neste trabalho será realizada a otimização discreta das dimensões das barras de
treliças no programa Truss3D. Esse programa vem sendo desenvolvido na Universidade
Federal do Espírito Santo por alunos de graduação e já realizava o dimensionamento
convencional e otimização de treliças de perfis tubulares de forma contínua. A partir da
necessidade de tornar o programa comercialmente utilizável, será usado o Algoritmo
Genético do MATLAB R2016b para implementar a otimização discreta de treliças.
O Algoritmo Genético (AG) é uma técnica de busca estocástica utilizada para achar
soluções em problemas de otimização. O algoritmo modifica a população de prováveis
soluções repetidamente, selecionando os melhores indivíduos para gerar descendentes
mais aptos. Após sucessivas gerações, a população converge para um único indivíduo,
que é a solução ótima (MALHOTRA, 2011).
Associada à implementação do AG, foi incluída no programa a possibilidade de
agrupamento das barras da treliça, reforçando o propósito de aproximar o Truss3D dos
projetos realizados atualmente. Para fazer o agrupamento é necessário desenhar a treliça
no AutoCAD agrupando as barras por meio dos layers em que estão desenhadas. Dessa
forma, obtém-se a mesma seção transversal para todas as barras agrupadas no mesmo
conjunto.
Portanto, este artigo busca aliar a redução do peso de estruturas treliçadas com a
garantia que sua resistência e estabilidade sigam os critérios previstos em norma. O
objetivo é criar uma rotina computacional para um software de cunho educacional que
realiza a otimização discreta do dimensionamento de estruturas treliçadas tubulares
utilizando o método do Algoritmo Genético. Tal rotina atende os parâmetros de
dimensionamento estabelecidos pelas ABNT NBR 8800:2008 e ABNT NBR
16239:2013.
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 Dimensionamento de Elementos Tubulares em Aço
Os critérios de dimensionamento de estruturas tubulares em aço seguem o método
encontrado na ABNT NBR 8800:2008 e na ABNT NBR 16239:2013.
2.1.1 Força Axial de Tração
A ABNT NBR 8800:2008 determina que deve ser atendida a seguinte condição
no dimensionamento das barras submetidas à força axial de tração:
𝑁𝑡,𝑆𝑑 ≤ 𝑁𝑡,𝑅𝑑 (1)
Onde:
Nt,Sd: Força axial de tração solicitante de cálculo;
Nt,Rd: Força axial de tração resistente de cálculo.
Para a força axial de tração resistente de cálculo, Nt,Rd, deve-se adotar o menor dos
valores obtidos abaixo:
a) para escoamento da seção bruta
𝑁𝑡,𝑅𝑑 =𝐴𝑔 𝑓𝑦
𝛾𝑎1 (2)
b) para ruptura da seção líquida
𝑁𝑡,𝑅𝑑 =𝐴𝑒 𝑓𝑢
𝛾𝑎2 (3)
Onde:
Ag: área bruta da seção transversal da barra;
Ae: área líquida efetiva da seção transversal da barra;
fy: resistência ao escoamento do aço;
fu: resistência à ruptura do aço;
γa1:coeficiente de ponderação de resistência para escoamento de aço estrutural igual
a 1,1 para combinações normais;
γa2: coeficiente de ponderação de resistência para ruptura de aço estrutural igual a
1,35 para combinações normais.
A área líquida efetiva considera a influência da presença de furos e devido à
distribuição não uniforme das tensões na região da ligação e é obtida por:
Ae = Ct An (4)
Onde:
An: área líquida da barra;
Ct : coeficiente de redução da área líquida.
Considerou-se que nas ligações dos elementos não existam furos, ou seja, a área
líquida, An, deve ser tomada igual à área bruta da seção transversal, Ag. Além disso,
assumiu-se que a força de tração é transmitida diretamente para cada um dos elementos
da seção transversal, o coeficiente de redução da área líquida, Ct, é igual a 1. Ainda, para
seções submetidas a forças de tração, deve ser verificada a limitação do índice de esbeltez.
𝜆 = (𝐿
𝑟)
𝑚á𝑥≤ 300 (5)
Onde:
L: comprimento destravado;
r: raio de giração correspondente.
2.1.2 Força Axial de Compressão
A ABNT NBR 8800:2008 determina que deve ser atendida a seguinte condição
no dimensionamento das barras submetidas à força axial de compressão:
Nc,Sd ≤ Nc,Rd (6)
Onde:
Nc,Sd : Força axial de compressão solicitante de cálculo;
Nc,Rd: Força axial de compressão resistente de cálculo.
A força axial de compressão resistente de cálculo, Nc,Rd, é obtida pela fórmula
abaixo:
Nc,Rd =χ Q Ag fy
γa1 (7)
Onde:
χ: fator de redução associado à resistência à compressão;
Q: fator de redução total associado à flambagem local;
Ag: área bruta da seção transversal da barra.
O fator de redução associado à resistência à compressão, χ, para perfis tubulares, de
acordo com a ABNT NBR 16239:2013, pode ser obtido pela expressão:
𝜒 =1
(1+𝜆𝑜4,48)
1 2,24⁄ (8)
Onde λo é o índice de esbeltez reduzido e é dado por:
λo = √Q Ag fy
Ne (9)
Onde Ne corresponde a força axial de flambagem elástica.
Para os perfis tubulares com dupla simetria, os valores para a força axial de
flambagem elástica, Ne, podem ser calculados pelas seguintes expressões:
a) Para flambagem por flexão em relação ao eixo central de inércia x da seção
transversal:
Nex =π2 E Ix
(Kx Lx)2 (10)
b) Para flambagem por flexão em relação ao eixo central de inércia y da seção
transversal:
Ney =π2 E Iy
(Ky Ly)2 (11)
c) Para flambagem por torção em relação ao eixo longitudinal z:
Nez =1
ro2 [
π2 E Cw
(Kz Lz)2 + G J] (12)
Onde:
Kx Lx, Ky Ly e Kz Lz: comprimento de flambagem por flexão em relação ao eixo x, y
e z respectivamente. Como as barras são birrotuladas, os valores dos coeficientes de
flambagem são iguais a 1.
Ix e Iy: momento de inércia em relação aos eixos x e y, respectivamente;
E: módulo de elasticidade do aço;
Cw: constante de empenamento da seção transversal (considerada nula para os casos
estudados);
G: módulo de elasticidade transversal do aço;
J: Constante de torção da seção transversal;
ro: raio de giração polar da seção bruta, dado por:
ro = √(rx2 + ry
2 + x02 + y0
2) (13)
Assim, o valor de Ne adotado será o menor valor entre Nex, Ney e Nez. Já o fator de
redução total associado à flambagem local, Q, das seções tubulares comprimidas depende
do tipo de seção.
a) Seções tubulares retangulares e quadradas
Para as seções tubulares retangulares e quadradas todos os elementos do perfil são
classificados em AA (duas bordas longitudinais vinculadas).
Se a seções possuírem (b
t) ≤ (
b
t)
lim adota-se o fator de redução total Q igual a 1,00.
(b
t)
lim= 1,40 √
E
fy (14)
Caso contrário, o valor do fator de redução total Q é equivalente a Qa é dado pela
expressão:
Qa =Aef
Ag (15)
Onde Ag é a área bruta da seção transversal e Aef a área efetiva da seção transversal que
é dada por:
Aef = Ag − Σ(b − bef) t (16)
bef = 1,92 t √E
σ [1 −
ca
b t⁄√
E
σ ] ≤ b
(17)
Onde:
b: largura do elemento comprimido AA;
t: espessura do elemento comprimido AA;
bef: largura efetiva do elemento comprimido AA.
ca: coeficiente, igual a 0,38 para mesas ou almas de seções tubulares retangulares.
σ: tensão que pode atuar no elemento analisado. De forma conservadora, pode-se
tomar igual a fy.
b) Seções tubulares circulares
O fator de redução flambagem local da parede para perfis tubulares circulares é dado
por:
Q = 1 para D
t≤ 0,11
E
fy (18)
Q =0,038
D t⁄
E
fy+
2
3 para 0,11
E
fy<
D
t≤ 0,45
E
fy (19)
Onde D é o diâmetro externo da seção transversal e t a espessura da seção.
A ABNT NBR 8800:2008 também determina a verificação do limite do índice de
esbeltez para barras comprimidas que é dado por:
λ = (K L
r)
máx≤ 200 (20)
Onde:
K: coeficiente de flambagem;
L: comprimento destravado;
r: raio de giração correspondente.
2.2 Otimização
Visando obter resultados comerciais, nesse artigo foi utilizado um método de
otimização discreto, no qual os perfis obtidos no dimensionamento pertencem a tabelas
comerciais de perfis de aço disponibilizadas por fabricantes. Foi desenvolvida a
otimização dimensional de treliças, na qual as dimensões da seção transversal, como
diâmetro, espessura e altura, são consideradas variáveis de projeto (AZAD et al., 2014).
Essa técnica se constitui em um procedimento automatizado de alteração da área da seção
transversal de cada elemento. Nela são mantidos o número de barras e a forma da treliça.
O Algoritmo Genético (AG) é uma técnica de busca utilizada para achar soluções em
problemas de otimização, fundamentado principalmente pelo americano John Henry
Holland. A ideia inicial de Holland (1975) foi tentar imitar algumas etapas do processo
de evolução natural das espécies incorporando-as a um algoritmo computacional. Ele gera
a partir de uma população de cromossomos, novos cromossomos com propriedades
genéticas superiores às de seus antecedentes. Essa ideia foi então associada a soluções de
um problema onde, a partir de um conjunto de soluções atuais, são geradas novas soluções
superiores às antecedentes, sob algum critério pré-estabelecido. O AG tem grande
probabilidade de encontrar uma solução global ótima, ao contrário de outras técnicas que
podem gerar um resultado de um mínimo/máximo local.
Para assemelhar-se ao processo de evolução natural, o AG utiliza técnicas inspiradas
pela biologia evolutiva como hereditariedade, mutação, seleção natural e recombinação
(ou crossing over).
3 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA
Tendo em vista o exposto anteriormente, o problema de otimização para o
dimensionamento de treliças com perfis tubulares pode ser definido da seguinte forma:
3.1 Função Objetivo
O parâmetro utilizado como base para a otimização é o menor custo. Sendo custo um
valor diretamente ligado ao peso dos elementos de aço, a estrutura ótima também é aquela
que apresenta o menor peso global. Sendo assim, a função objetivo do problema é dada
pela Eq. 21.
𝐹(𝑿) = 𝜌 ∑ (𝐴𝑖 𝐿𝑖)𝑛𝑖=1 (21)
Onde:
𝜌: peso específico do aço;
𝑛: número de barras da treliça;
𝐴𝑖: área da seção transversal de cada barra;
𝐿𝑖: comprimento de cada barra.
3.2 Restrições do Problema
As restrições do problema são compostas por funções, podendo ser equações ou
inequações, responsáveis por limitar e direcionar o algoritmo de otimização na busca pela
solução ótima utilizando os parâmetros de dimensionamento presentes na ABNT NBR
8800:2008 e na ABNT NBR 16239:2013. Para os perfis tubulares foram utilizadas duas
categorias de restrições, as referente à análise de esforços no estado limite último e à
restrição geométrica relacionada ao limite do índice de esbeltez.
3.3 Restrição dos esforços
Para a definição das restrições de segurança dos esforços da estrutura no estado-
limite último, são verificados os valores de cálculo dos esforços atuantes em relação aos
esforços resistentes.
A restrição para barras sujeitas a esforços axiais de tração é dada pela Eq. 22.
𝑔(𝑿) = 𝑁𝑡,𝑆𝑑 − 𝑁𝑡,𝑅𝑑 ≤ 0 (22)
Para barras comprimidas, a restrição de esforço axial é dada pela Eq. 23.
𝑔(𝑿) = 𝑁𝑐,𝑆𝑑 − 𝑁𝑐,𝑅𝑑 ≤ 0 (23)
3.4 Restrição geométrica
As restrições relativas ao índice de esbeltez estão presentes em ambos os tipos de
esforço axial.
Para as barras com esforços axiais de tração a restrição do índice esbeltez é dada pela
Eq. 24.
𝑔(𝑿) = 𝜆 − 300 ≤ 0 (24)
Para as barras sujeitas a esforços axiais de compressão, o limite de índice de esbeltez
possui uma restrição mais rígida e é dada pela Eq. 25.
𝑔(𝑿) = 𝜆 − 200 ≤ 0 (25)
3.5 Limites da solução
Como consequência da utilização de uma otimização com variáveis discretas
representando perfis comerciais existentes, foi necessário recorrer à utilização de tabelas
de perfis para alimentar o algoritmo. As tabelas de perfis tubulares usadas foram retiradas
do catálogo de tubos estruturais da Vallourec. Optou-se por usar no vetor variável de
projeto, 𝑿, a representação dos perfis por meio de um número inteiro positivo equivalente
ao número da linha do perfil correspondente na tabela do fabricante. Como resultado
dessa escolha, os limites mínimos, 𝑿𝑙𝑏, e máximos, 𝑿𝑢𝑏, necessitam ser, respectivamente,
um e o número da última linha da tabela de perfis.
4 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL
O programa Truss3D foi desenvolvido no MATLAB na Universidade Federal do
Espírito Santo por alunos de projetos de graduação e iniciação científica. Inicialmente, o
programa realizava o dimensionamento convencional de estruturas tubulares treliçadas
submetidas a carregamentos estáticos. Sua elaboração e seu funcionamento foi explicado
em Novelli et al. (2015a). Posteriormente foi implementada a otimização de estruturas
tubulares submetidas a carregamento estático utilizando o método de Programação
Quadrática Sequencial (Novelli et al., 2015b).
Além da otimização com AG, o agrupamento das barras da treliça foi implementado
para aproximar o Truss3D de programas comerciais e permitir que o Algoritmo Genético
fosse executado mais rapidamente. A possibilidade de agrupamento das barras foi
implementado em todo o programa Truss3D incluindo as funções previamente
implementadas. Para agrupar as barras, é necessário desenhá-las no AutoCAD com o
comando “linha” com seus layers correspondentes aos grupos desejados.
É importante ressaltar que a cada população gerada e testada no processamento do
AG, o peso próprio da estrutura é recalculado. Da mesma maneira, os esforços internos
são atualizados. Assim, a solução considera o peso das barras com seu perfil ótimo
selecionado.
5 EXEMPLOS
5.1 Treliça Plana 1
O primeiro exemplo escolhido para a validação da rotina de otimização utilizando o
AG consiste em uma treliça plana composta por 9 barras e com uma carga baixa de 10kN.
A treliça possui 1,0m de altura e 1,0m entre nós nos banzos superior e inferior como
mostrado na Figura 1. Selecionou-se o aço VMB250 com módulo de elasticidade
E=200000 MPa, resistência ao escoamento do aço 𝑓𝑦 = 250 𝑀𝑃𝑎 e resistência à ruptura
do aço 𝑓𝑢 = 400 𝑀𝑃𝑎.
Figura 1. Treliça plana de 9 barras
Fonte: (Autor, 2018)
Para o dimensionamento convencional foi utilizado o perfil tubular circular de
33,4x3,2mm como a seção inicial para o cálculo dos esforços internos. Os resultados
obtidos encontram-se na Tabela 1.
Tabela 1. Resultados – Treliça plana de 9 barras
Dim. Convencional Otimização AG
Barras Esf. Interno
[kN]
Área
[cm²] d [mm] t [mm]
Esf. Interno
[kN]
Área
[cm²] d [mm] t [mm]
1 -0,01 3,04 33,4 3,2 -0,01 3,04 33,4 3,2
2 0,06 3,04 33,4 3,2 0,06 3,04 33,4 3,2
3 0,00 3,04 33,4 3,2 0,00 3,04 33,4 3,2
4 0,00 3,04 33,4 3,2 0,00 3,04 33,4 3,2
5 0,00 3,04 33,4 3,2 0,00 3,04 33,4 3,2
6 0,00 3,04 33,4 3,2 0,00 3,04 33,4 3,2
7 -9,99 3,04 33,4 3,2 -9,99 3,04 33,4 3,2
8 -9,99 3,04 33,4 3,2 -9,99 3,04 33,4 3,2
9 -0,01 3,04 33,4 3,2 -0,01 3,04 33,4 3,2
Peso Total 23,5 Kg 23,5 kg
É possível observar por meio dos dados apresentados, que ocorreu a correspondência
dos perfis escolhidos em ambos os casos. Na prática as barras 1,4,6 e 9 poderiam ser
eliminadas, porém como o programa faz a consideração do peso próprio, foi escolhido
para essas barras também o perfil mínimo da tabela.
5.2 Exemplo 2
O segundo exemplo de treliça espacial trata-se de um domo de 52 barras como
mostrado na Figura 2. As dimensões do domo se encontram na Figura 3. Selecionou-se o
aço VMB 250, com módulo de elasticidade 𝐸 = 200000 𝑀𝑃𝑎, resistência ao escoamento
do aço 𝑓𝑦 = 250 𝑀𝑃𝑎, resistência à ruptura do aço 𝑓𝑢 = 400 𝑀𝑃𝑎 e a seção retangular.
Buscando aproximar o exemplo da realidade, agrupou-se todas as barras em um mesmo
grupo.
Figura 2. Vistas do Domo treliçado
Fonte: (Autor, 2018)
Figura 3. Dimensões do domo em metros
Fonte: (Novelli, 2015a)
Os resultados obtidos encontram-se na Tabela 2.
Tabela 2. Resultados – Domo treliçado
Perfil Retangular
Grupo Barras
PQS AG
Área
[cm²]
h
[mm]
b
[mm]
t
[mm]
Área
[cm²]
h
[mm]
b
[mm]
t
[mm]
1 TODAS 10.90 79,32 79,32 3,60 13,10 100,00 80,00 4,00
Peso Total 1858.3 kg 2232.6 kg
Nesse exemplo é possível observar que o AG gera como solução o perfil tubular
retangular comercial mais próximo do resultado obtido pela Programação Quadrática
Sequencial, respeitando as menores dimensões possíveis para as restrições aplicadas.
5.3 Exemplo 3
O terceiro exemplo de treliça trata-se de uma estrutura de 27 barras apresentada nas
Figuras 4 e 5. Para seus elementos, selecionou-se o aço VMB 300, com módulo de
elasticidade 𝐸 = 200000 𝑀𝑃𝑎, resistência ao escoamento do aço 𝑓𝑦 = 300 𝑀𝑃𝑎,
resistência à ruptura do aço 𝑓𝑢 = 415 𝑀𝑃𝑎 e seção quadrada. Buscando demonstrar o
funcionamento do agrupamento, serão apresentados resultados da mesma estrutura
agrupada em apenas um grupo (Figura 4) e em três grupos (Figura 5).
Figura 4. Treliça espacial agrupada em um único grupo
Fonte: (Autor, 2018)
Figura 5. Treliça espacial agrupada em três grupos
Fonte: (Autor, 2018)
Figura 6. Dimensões da treliça espacial em metros
Fonte: (Novelli, 2015a)
Os resultados obtidos encontram-se na Tabela 3.
Tabela 3. Resultados – Treliça espacial agrupada em um único grupo
Barras
Área
[cm²]
b
[mm]
t
[mm]
TODAS 9,65 70,00 3,60
Peso Total 433,49 kg
Tabela 4. Resultados – Treliça espacial agrupada em três grupos
Grupo Barras
AG
Área
[cm²]
d
[mm]
t
[mm]
1 2,6,10,14,16,17,19,20,21,22,24,26 7,85 60,00 3,60
2 1,3,4,5,7,8,9,11,12,13,23,25 6,41 50,00 3,60
3 15,18 9,65 70,00 3,60
Peso Total 326,1 kg
Nesse exemplo é verificada a eficiência do agrupamento. A estrutura com três grupos
levou cerca de duas vezes mais tempo para ser otimizada quando comparada à estrutura
com um grupo. Além disso, observa-se que a seção selecionada para cada grupo da
estrutura agrupada é a maior seção dentre as barras daquele grupo quando comparamos
com a estrutura desagrupada.
O peso da estrutura agrupada (Tabela 4) é cerca de 33% maior do que da estrutura
desagrupada (Tabela 3), porém comercialmente é iniviável construir uma treliça com um
perfil diferente para cada barra.
6 CONCLUSÃO
Foi possível verificar que a elaboração da rotina de otimização do dimensionamento
de treliças tubulares utilizando o método Algoritmo Genético foi bem-sucedida. O
resultado foi validado a partir do primeiro exemplo onde já era esperada a convergência
da otimização para o perfil mínimo.
Quando comparados com as soluções da otimização contínua pelo método da
Programação Quadrática Sequencial, os valores das dimensões dos perfis em ambas as
otimizações se mostram próximas, indicando que o perfil escolhido na otimização
discreta é o perfil comercial mais próximo que atende a todas as exigências normativas
para o dimensionamento. Consequentemente, o AG apresenta soluções mais próximas da
realidade.
Durante implementação da rotina utilizando o Algoritmo Genético percebeu-se a
importância da rotina de agrupamento, pois além de aproximar o modelo analisado da
realidade construtiva das estruturas, ela também viabilizou a execução da análise. Por se
tratar de uma rotina que requer muito esforço computacional, o Algoritmo Genético
somente se tonou viável e garantiu uma convergência maior da solução ótima devido à
redução do número de variáveis analisadas gerada por meio do agrupamento.
Devido aos fatores listados, conclui-se que as ferramentas desenvolvidas obtiveram
soluções comerciais para otimização de treliças tubulares, contribuindo para o
aperfeiçoamento do programa Truss3D.
REFERÊNCIAS
Associação Brasileira de Normas Técnicas, NBR 8800: Projeto de estruturas de aço e de
estruturas mistas de aço e concreto de edifícios. Rio de Janeiro, 2008.
Associação Brasileira de Normas Técnicas, NBR 16239: Projeto de estruturas de aço e
de estruturas mistas de aço e concreto de edificações com perfis tubulares. Rio de
Janeiro, 2013.
Azad, S.; Hasançebi, O.; Saka, M. P. Guided stochastic search technique for discrete
sizing optimization of steel trusses: A design-driven heuristic approach. Computers &
Structures, v. 134, p. 62-74, 2014.
Holland, J. Adaptation in natural and artificial systems. An introductory analysis with
application to biology, control, and artificial intelligence. Ann Arbor, MI: University of
Michigan Press, 1975, p. 439-444.
Malhotra, R.; Singh, N.; Singh, Y. Genetic algorithms: Concepts, design for optimization
of process controllers. Computer and Information Science, v. 4, n. 2, p. 39, 2011.
Novelli, L.; Alves, E.; Filho, H.; Garozi, M; Azevedo, M. Ferramenta computacional para
o dimensionamento de estruturas tubulares treliçadas. XXVI Iberian Latin American
Congress on Computational Methods in Engineering, Rio de Janeiro, 2015a.
Novelli, L.; Alves, E.; Filho, H.; Garozi, M; Sias, F.; Azevedo, M. Otimização do
dimensionamento de estruturas tubulares Espaciais de aço. XXVI Iberian Latin American
Congress on Computational Methods in Engineering, Rio de Janeiro, 2015b.
