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MATEMÁTICA – Exercícios de Exames e Testes Intermédios

11º Ano Ano Letivo de 2012/2013

Trigonometria

1 Na figura está representado o quadrado

••• é a amplitude, em radianos, do ângulo

•

Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de ,

por

Exame Matemática A – 2012, 2ª Fase

2 Na figura está representado um trapézio retângulo

Sabe-se que:

•

•

• é a amplitude, em radianos, do ângulo

•

Mostre que o perímetro do trapézio é dado, em função de , por


3 Relativamente à figura 2, sabe-se que:

• o segmento de reta tem comprimento

• o ponto é o ponto médio de

• o segmento de reta é perpendicular a

• o arco de circunferência tem centro em

Admita que um ponto se desloca ao longo do arco , nunca coincidindo com nem

com , e que um ponto se desloca ao longo do segmento de reta de tal forma que

é sempre perpendicular a

Para cada posição do ponto , seja a amplitude, em radianos, do ângulo e seja a área do triângulo

Mostre que

Teste Intermédio 12º ano – 24.05.2012

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4 Seja um número real. Sabe-se que é uma solução da equação

Qual das expressões seguintes designa uma solução da equação ?

(A) (B) (C) (D)


5 Considere o triângulo representado na figura.

Sabe-se que:

•

•

Seja

Qual das expressões seguintes representa , em função de ?

(A) (B) (C) (D)


6 Na figura está representado, num referencial o.n. , o círculo trigonométrico.

Sabe-se que:• o ponto tem coordenadas • o ponto tem coordenadas

Considere que um ponto se move sobre a

circunferência.

Para cada posição do ponto , seja e seja

, a amplitude, em radianos, do ângulo

orientado cujo lado origem é o semieixo positivo e cujo lado extremidade é a semirreta

Resolva os itens seguintes sem recorrer à calculadora.

6.1 Mostre que

Sugestão: Exprima as coordenadas do ponto em função de e utilize a fórmula da

distância entre dois pontos.

6.2 Resolva os dois itens seguintes tendo em conta que

6.2.1 Determine os valores de , para os quais

6.2.2 Para um certo valor de pertencente ao intervalo , tem-se

Determine , para esse valor de


7 Determine o valor de , sabendo que e que

Resolva este item sem recorrer à calculadora.



8 Na figura estão representados, num referencial o.n. , uma circunferência e o triângulo

.

Sabe-se que:• é a origem do referencial;

• a circunferência tem centro no ponto e raio

• é o ponto de coordenadas

• pertence à circunferência e tem ordenada negativa;

• o ângulo tem amplitude igual a radianos.

Qual é a área do triângulo ?

(A) (B) (C) (D)

Exame Matemática A – 2011, Época Especial

9 Na figura está representado, num referencial o.n. , o círculo trigonométrico.

Sabe-se que:• é o ponto de coordenadas

• os pontos e pertencem ao eixo

• é um diâmetro do círculo trigonométrico

• as retas e são paralelas ao eixo

• é a amplitude do ângulo

•

Qual das expressões seguintes dá o perímetro da região sombreada na figura?

(A) (B)

(C) (D) Exame Matemática A – 2011, 2ª Fase

10 Na figura está representado o círculo trigonométrico.

Sabe-se que:

• a reta é tangente à circunferência no ponto • a reta passa na origem do referencial e intersecta a reta

no ponto , cuja ordenada é • o ponto , situado no terceiro quadrante, pertence à reta

Seja a amplitude, em radianos, do ângulo orientado, assinalado

na figura, que tem por lado origem o semieixo positivo e por

lado extremidade a semirreta

Qual é o valor de , arredondado às centésimas?

(A) (B) (C) (D) Teste Intermédio 11º ano – 27.01.2011


11 Na figura está representada uma circunferência de centro no ponto e raio

Sabe-se que:

• o ponto pertence à circunferência;

• os pontos , , e são colineares;

• o ponto está entre o ponto e o ponto

• o ponto desloca-se ao longo da semirreta , nunca coincidindo com o ponto

• é a distância do ponto ao ponto

• para cada posição do ponto , o ponto é um ponto da circunferência tal que a reta

é tangente à circunferência;

• é a amplitude, em radianos, do ângulo ,

Seja a função, de domínio , definida por

Sem recorrer à calculadora, mostre que


12 Considere, em , a equação trigonométrica

Em qual dos intervalos seguintes esta equação não tem solução?

(A) (B) (C) (D)


13 Sejam , e três números reais.

Sabe-se que:

•

•

•Qual das expressões seguintes é equivalente a ?

(A) (B) (C) (D)


14 Considere, num referencial o.n. , a superfície esférica , de equação

Para um certo valor de pertencente ao intervalo , o ponto , de coordenadas

pertence à superfície esférica

Determine os valores numéricos das coordenadas do ponto



15 Na figura , está representada, em referencial o.n. , a circunferência de centro em

e raio

Os pontos e são os pontos de intersecção da circunferência com os semieixos positivos

e , respetivamente.

Considere que um ponto se desloca ao longo do arco ,

nunca coincidindo com o ponto , nem com o ponto

Para cada posição do ponto , sabe-se que:

• o ponto é o ponto do eixo tal que

• a reta é a mediatriz do segmento

• o ponto é o ponto de intersecção da reta com o

eixo

• é a amplitude, em radianos, do ângulo ,

Seja a função, de domínio , definida por

Resolva os itens seguintes sem recorrer à calculadora.

15.1 Mostre que a área do triângulo é dada por

15.2 Determine o valor de , pertencente ao intervalo , para o qual se tem

15.3 Seja um número real, pertencente ao intervalo , tal que

Determine o valor de


16 Na figura, estão representados, num referencial o.n. ,

uma circunferência e o triângulo .

Sabe-se que:

• a circunferência tem diâmetro ;

• o ponto tem coordenadas ;

• o vértice do triângulo coincide com a origem do referencial;

• o ponto desloca-se ao longo da semicircunferência superior.

Para cada posição do ponto , seja a amplitude do ângulo , com

Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, mostre que o perímetro do triângulo

é dado, em função de , por



17 Um depósito de combustível tem a forma de uma esfera.

As figuras representam dois cortes do mesmo

depósito, com alturas de combustível distintas.

Os cortes são feitos por um plano vertical que

passa pelo centro da esfera.

Sabe-se que:

• o ponto é o centro da esfera;

• a esfera tem metros de diâmetro;

• a amplitude , em radianos, do arco é igual à amplitude do ângulo ao centro

correspondente.

A altura , em metros, do combustível existente no depósito, em função de , por , de

domínio

Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

17.1 Mostre que , para qualquer

17.2 Resolva a condição ,

Interprete o resultado obtido no contexto da situação apresentada.


18 Na figura está representado um triângulo retângulo , cujos catetos, e

, medem unidades.

Considere que um ponto se desloca sobre o cateto , nunca

coincidindo com nem com

Para cada posição do ponto , seja a amplitude, em radianos,

do ângulo

Seja a função que, a cada valor de , faz corresponder o perímetro do triângulo Usando exclusivamente métodos analíticos, mostre que


19 Em cada uma das figuras seguintes, está representado, no círculo trigonométrico, a traço

grosso, o lado extremidade de um ângulo cujo lado origem é o semieixo positivo

Em qual das figuras esse ângulo pode ter radianos de amplitude?

(A) (B) (C) (D)



20 Considere a equação trigonométrica

Em qual dos intervalos seguintes esta equação não tem solução?

(A) (B) (C) (D)


21 Na figura está representado o quadrado de lado

Considere que um ponto se desloca ao longo do lado ,

nunca coincidindo com o ponto , nem com o ponto

Para cada posição do ponto , seja a amplitude, em radianos, do

ângulo ,

Resolva os três itens seguintes, sem recorrer à calculadora, a não

ser para efetuar eventuais cálculos numéricos.

21.1 Mostre que a área da região sombreada é dada por

21.2 Determine o valor de para o qual a área da região sombreada é

21.3 Para um certo valor de , sabe-se que

Determine, para esse valor de , a área da região sombreada.


22 Na figura está representado um triângulo inscrito numa

circunferência de centro e raio igual a .

Um dos lados do triângulo é um diâmetro da circunferência.

Qual das expressões seguintes representa, em função de , a

área da parte sombreada?

(A) (B)

(C) (D)


23 Na figura está representado, em referencial o.n. , o

círculo trigonométrico.

Os pontos e pertencem à circunferência, sendo a reta

paralela ao eixo . O ponto pertence ao eixo . O ângulo

tem de amplitude.

Qual é o perímetro do triângulo (valor aproximado às décimas) ?

(A) (B) (C) (D)



24 A Inês olhou para o seu relógio quando este marcava 10 h e 45 min.

Passado algum tempo, ao ver novamente as horas, a Inês concluiu que o ponteiro dos

minutos tinha rodado radianos.

Que horas marcava o relógio da Inês, neste último instante?

(A) 11 h e 15 min (B) 11 h e 45 min (C) 12 h e 15 min (D) 13 h e 45 min


25 Considere a equação trigonométrica

Num dos intervalos seguintes, esta equação tem apenas uma solução. Em qual deles?

(A) (B) (C) (D)


26 Na figura estão representados, em referencial o.n.

• o círculo trigonométrico

• o raio deste círculo

• o arco de circunferência , de centro no ponto

Tal como a figura sugere, o ponto pertence ao primeiro

quadrante, os pontos e pertencem ao eixo e a reta

é perpendicular a este eixo.

Seja a amplitude do ângulo

Qual é a abcissa do ponto ?

(A) (B)

(C) (D) Teste Intermédio 11º ano – 29.01.2009

27 Relativamente à figura junta, sabe-se que:

• o triângulo é retângulo

• o ponto pertence ao cateto

• designa a amplitude, em radianos, do ângulo

• e

27.1 Mostre que a área do triângulo é dada por

27.2 Determine o valor de para o qual a área do triângulo é igual a

27.3 Sabendo que e que , determine o valor de



28 Na figura está representado, em referencial o.n. , um arco de

circunferência , de centro na origem do referencial e raio igual a .

A reta tem equação

O ponto pertence ao arco


Qual das expressões seguintes dá a distância do ponto à reta ?


29 Seja

Qual das expressões seguintes designa um número positivo?

(A) (B)

(C) (D)


30 Na figura está representado o círculo trigonométrico.

Tal como a figura sugere, é a origem do referencial,

pertence à circunferência, é o ponto de coordenadas

e é o ponto de coordenadas

A amplitude, em radianos, do ângulo é

Qual é o valor, arredondado às centésimas, da área do

triângulo ?


31 Na figura está representado um triângulo

com dois ângulos de amplitude e um

ângulo de amplitude .

Qual das igualdades seguintes é verdadeira, para

qualquer triângulo nestas condições?

(A) (B)

(C) (D) Teste Intermédio 11º ano – 24.01.2008

32 Seja um valor pertencente ao intervalo .

Qual das expressões seguintes designa um número real positivo?

(A) (B)

(C) (D)



33 Considere a equação

Qual dos seguintes valores é solução desta equação?

(A) (B) (C) (D)


34 Na figura estão representadas, em referencial o. n. , uma reta

e uma circunferência com centro na origem e raio igual a

Os pontos e pertencem à circunferência.

O ponto também pertence ao eixo das abcissas.

Admita agora que o ponto se desloca ao longo da

circunferência, no primeiro quadrante.

Para cada posição do ponto , seja a amplitude do ângulo

orientado cujo lado origem é o semieixo positivo e cujo lado

extremidade é a semi-reta

Seja o comprimento do segmento

34.1 Mostre que

34.2 Para uma certa posição do ponto , tem-se .

Sem recorrer à calculadora, determine, para este caso, o valor de .


35 Indique as soluções da equação que pertencem ao intervalo .

(A) e (B) e (C) e (D) e


36 Na figura junta estão representados, em referencial o. n. :

• o círculo trigonométrico

• a reta , de equação

• o ângulo, de amplitude , que tem por lado origem o

semieixo positivo e por lado extremidade a semi-reta

• o ponto , intersecção do prolongamento da semi-reta

com a reta .

Como a figura sugere, a ordenada de é

Sem recorrer à calculadora, determine o valor de



37 Na figura está representado, em referencial o.n. , um arco

, que está contido na circunferência de equação .

O ponto pertence ao eixo e o segmento de reta é

perpendicular a este eixo.

é a amplitude, em radianos, do ângulo .

Qual é a expressão que dá o perímetro da região sombreada, em função de ?

(A) (B)


38 Na figura está representado o círculo

trigonométrico e um triângulo .

O ponto desloca-se ao longo da circunferência, no

primeiro quadrante.

O ponto desloca-se ao longo do eixo , de tal

modo que o triângulo é sempre isósceles.

Sendo a amplitude, em radianos, do ângulo ,

qual das expressões seguintes dá a área do triângulo

, em função de ?

(A) (B)

(C) (D)


39 Da amplitude de um certo ângulo orientado sabe-se que e .

Qual das expressões seguintes dá o valor de ?

(A) (B)

(C) (D)


40 Sabe-se que é uma solução da equação

Qual das expressões seguintes designa uma solução da equação ?

(A) (B) (C) (D)



41 Na figura está representado um trapézio retângulo

, cujas bases têm e unidades de

comprimento.

Considera que um ponto se desloca sobre o lado .

Para cada posição do ponto , seja a amplitude, em radianos, do ângulo .

Pretende-se determinar o valor de para o qual o segmento divide o trapézio em duas

figuras com a mesma área.

Qual das equações seguintes traduz este problema?

(A) (B)

(C) (D)

Exame Matemática A – 2003, 2 Fase

42 Na figura está representado a sombreado um polígono

Tem-se que:

• é um quadrado de lado

• é um arco de circunferência de centro em ; o

ponto move-se ao longo desse arco; em

consequência, o ponto desloca-se sobre o

segmento , de tal forma que se tem sempre

• designa a amplitude, em radianos, do ângulo

42.1 Mostre que a área do polígono é dada, em função de , por

Sugestão: pode ser-lhe útil considerar o trapézio

42.2 Determine e

Interprete geometricamente cada um dos valores obtidos.

42.3 Recorra à calculadora para determinar graficamente as soluções da equação que

lhe permite resolver o seguinte problema:

Quais são os valores de para os quais a área do polígono é ?

Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora,

nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes

de alguns pontos. Apresente os valores pedidos na forma de dízima, arredondados às

décimas.

Exame Matemática A – 2003, 1ª Fase, 1ª Chamada


43 Considere uma circunferência e raio , tangente a uma reta .

Um ponto começa a deslocar-se sobre a

circunferência, no sentido indicado pela figura.

Inicialmente, o ponto encontra-se à distância de

unidades da reta .

Seja a distância de a , após uma rotação de amplitude .

Qual das igualdades seguintes é verdadeira para qualquer número real positivo ?

(A) (B)


44 Na figura estão representados, em referencial o. n. , o círculo

trigonométrico e um triângulo .

Os pontos e pertencem à circunferência.

O segmento é perpendicular ao semieixo positivo .

O ponto é o ponto de interseção da circunferência com o semieixo

positivo .


Qual das expressões seguintes dá a área do triângulo , em função de ?

(A) (B) (C) (D)


45 Na figura está representada um quadrado de lado

O ponto desloca-se sobre o lado , o ponto desloca-se sobre o

lado , de tal forma que se tem sempre .

Para cada posição do ponto , seja a amplitude do ângulo

Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, mostre que o do perímetro quadrilátero

é dado, em função de , por


46 Na figura está representado um triângulo retângulo , cuja

hipotenusa mede .

Qual das expressões seguintes dá a área (em ) do triângulo

, em função da amplitude, , do ângulo ?

(A) (B) (C) (D)

Exame Matemática – 2000, Prova para Militares


47 Na figura está representado um lago artificial de forma retangular.

Pretende-se construir uma ponte, ligando duas margens do

lago, entre os pontos e , tal como a figura ilustra.

A ponte tem um ponto de apoio , situado a de uma das

margens e a da outra.


47.1 Mostre que o comprimento da ponte, em metros, é dado por

47.2 Considerando que a localização de e pode variar, determine o comprimento da

ponte para o qual se tem

Apresente o resultado em metros, arredondado às décimas.

Exame Matemática A – 2001, Época Especial

48 Na figura estão representado, em referencial o.n. :

• um quarto de círculo de centro na origem e raio

• uma semirreta paralela ao eixo , com origem no ponto

• um ponto pertencente a esta semirreta

• um ângulo de amplitude , cujo lado origem é o semieixo

positivo e cujo lado extremidade é a semirreta

Qual das expressões seguintes dá a área da região sombreada, em

função de ?

(A) (B) (C) (D)


49 Na figura está representada uma pirâmide quadrangular regular.

Sabe-se que:

• A base da pirâmide tem centro e lado

• é o ponto médio da aresta

• designa a amplitude do ângulo

Mostre que a área total da pirâmide é dada, em função de , por



50 Considere a função , definida por

é um trapézio isósceles; os lados e são paralelos.

Tem-se que:

••

Seja , a amplitude do ângulo do ângulo

50.1 Mostre que, para cada , a área do trapézio é igual a

50.2 Determine e interprete geometricamente o resultado obtido, caracterizando o

quadrilátero que se obtém para

Exame Matemática – 1999, Prova Modelo

51 Na figura

• o triângulo é isósceles

• é um retângulo

e • designa a amplitude do ângulo

Mostre que a área do triângulo é dada, em função de , por

(Nota: Pode ser-lhe útil reparar que )

Exame Matemática – 1998, 2ª Fase

52 A figura representa um canteiro de forma circular com de raio.

O canteiro tem uma zona retangular, que se destina à plantação de flores, e uma zona

relvada, assinalada a sombreado na figura.

Os vértices , , e do retângulo pertencem à circunferência que

limita o canteiro.

Na figura também estão assinalados:

• dois diâmetros da circunferência, e , que contêm os

pontos médios dos lados do retângulo

• o centro da circunferência

• o ângulo , de amplitude

Mostre que a área (em ) da zona relvada é dada, em função , por

Exame Matemática – 1998, 1ª Fase, 2ª Chamada


53 Duas povoações e , distanciadas uma da outra,

estão a igual distância de uma fonte de abastecimento de

água, localizada em .

Pretende-se construir uma canalização ligando a fonte às duas

povoações, como se indica na figura. A canalização é

formada por três canos: um que vai da fonte até um ponto

e dois que partem de , um para e outro para . O ponto está a igual distância de

e de .

Tem-se ainda que:

• o ponto , ponto médio de , dista de

• é a amplitude do ângulo

53.1 Tomando para unidade o quilómetro, mostre que o comprimento total da

canalização é dado por

(Sugestão: Comece por mostrar que e que )

53.2 Calcule e interprete o resultado obtido, referindo a forma da canalização e

consequente comprimento.

Exame Matemática – 1998, 1ª Fase, 1ª Chamada

54 Considere a função definida em por

Mostre que, para qualquer , é a

área de um triângulo , em que

• é a amplitude do ângulo ;

• ;

• é a altura relativa ao vértice ;

• .Exame Matemática – 1998, Prova Modelo


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