espiritualismo-cientifico.webnode.com · 2012. 8. 3. · Mecânica Clássica 1 Notas das aulas do Prof. Leonard Susskind – Universidade de Stanford MECÂNICA CLÁSSICA AULA N O

Mecânica Clássica 1

Notas das aulas do Prof. Leonard Susskind – Universidade de Stanford

MECÂNICA CLÁSSICA

AULA NO 1

Introdução – Leis Admissíveis da Física

A Mecânica Clássica é a base para toda a Física, isto não só porque ela

descreve o movimento de partículas, sistemas mecânicos etc., mas também porque a estrutura básica de toda a Física é baseada nos princípios da Mecâni-ca Clássica, tais como a Conservação da Energia, do Momento e assim por diante.

Os princípios segundo os quais todos os sistemas se desenvolvem obe-decem, num sentido mais abstrato e geral, ao mesmo conjunto de regras que estabelece o movimento de uma partícula.

O mais simples sistema que podemos começar a analisar seria o de um fenômeno que apresentasse apenas dois estados, aos quais vamos chamar de “Cara” e “Coroa”.

Para estudar este sistema, vamos imaginar que o tempo ocorra em saltos discretos, com intervalos de um segundo, de modo que só tenhamos acesso aos fenômenos a cada segundo.

O nosso sistema é assim constituído de dois estados, e nós queremos as-sociar a este sistema uma lei que determine como o sistema se desenvolve a cada intervalo de tempo. Com esse exemplo, queremos verificar quais os tipos de leis que são ou não admissíveis pela Física.

Nosso primeiro conceito é o de “Espaço de Estados”, que, neste caso, é constituído apenas por “Cara” e “Coroa”, os quais representaremos por dois pontos: “H” e “T”. Este espaço é chamado também como “Espaço de Fases”.

“Espaço de Estado” significa tudo que precisamos saber sobre o sistema, para podermos prever o que vai acontecer com ele em seguida.

Um exemplo de lei para este caso seria manter o estado na condição em que ele se encontra:



Outra possível lei seria uma troca repetitiva de estados:

Estes tipos de leis são classificados como leis “Determinísticas”, isto significa que, se sabemos como esta lei atua num determinado instante, então saberemos tudo daí por diante, até o infinitamente futuro.

Um exemplo mais interessante de espaço de estados seria representado por um “dado”, que apresentaria 6 estados possíveis. Com isso, poderíamos ter, por exemplo, as seguintes leis:

Todas estas leis são fisicamente admissíveis, pois, sabendo-se onde se está, sabe-se exatamente onde se irá estar em seguida e assim por diante, infi-nitamente no futuro. Trata-se de leis “determinísticas” tanto no “futuro” como no “passado”. Isto significa que, se soubermos onde o sistema se encontra num determinado momento, então saberemos onde o sistema esteve e onde ele esta-rá em qualquer tempo.



Assim, se fôssemos capazes de saber, num determinado instante, cada mínimo detalhe de um sistema, então poderíamos determinar todos seus esta-dos prévios e futuros, que seriam, portanto, em princípio, determinísticos.

Um tipo de lei que a Física “não” admite seria, por exemplo, dada pelo seguinte diagrama:

Trata-se de um sistema completamente determinístico no futuro. Porém este sistema não é determinístico no passado, pois, se estivermos no ponto “2”, não podemos saber, com certeza, se o estado anterior era o ponto “1” ou o ponto “3”. Esta é então uma lei “irreversível”.

Outro exemplo de lei não determinística seria dado pelo diagrama a se-guir:

Neste caso, a lei falha na determinação dos estados futuros, pois, partin-do do estado “2”, não é possível saber com certeza se o próximo estado será o estado “2” ou “3”.

Estes são os tipos de leis proibidas pela Mecânica Clássica. Em resumo, para que tais sistemas sejam admissíveis (para que suas leis

sejam fisicamente admissíveis), nós devemos ter em cada ponto apenas uma seta chegando e apenas uma seta saindo.

Assim, a característica da Física Clássica é dada pela “unicidade” de es-tado do sistema tanto no futuro como no passado.

Nós também poderíamos ter, por exemplo, um sistema com infinitos es-tados, representados por pontos ao longo de uma reta, em correspondência aos números inteiros, conforme representado no seguinte gráfico:



Desse modo, se estivermos na reta, permaneceremos nela, mas, se esti-vermos no triângulo, então permaneceremos nele.

Quando temos o sistema quebrado em subsistemas fechados em si mes-mos, encontramos as “leis de conservação”, que são como uma espécie de “memória” do estado no qual o sistema se encontrava.

O tipo de lei “determinística” poderia ser chamada de “lei de conserva-ção da informação”, que pode ser considerada a mais básica lei da Física.

Vamos estudar outra lei admissível, dependente de dois estado anterio-res, como por exemplo:

Neste caso, é necessário saber os últimos dois estados, para determinar o próximo estado. Então o que nós chamaríamos de estado do sistema, pelo qual podemos determinar o seu desenvolvimento, é formado por dois estados. Des-sa forma, o “Espaço de Fases” teria que conter a informação destes dois esta-dos.

Passemos agora para um espaço contínuo, por exemplo, o movimento de uma partícula.

Para que possamos saber onde uma partícula estará a seguir, não basta saber a sua posição, é necessário saber também a sua “velocidade”. Neste ca-so, Podemos dizer que também necessitamos saber as duas prévias posições do

HH H

HT H

TH H

TT H

→ → → →



sistema. Assim, o “espaço de fases” da partícula é dado por sua posição e por sua velocidade.

O “Espaço de Estados” ou “Espaço de Fases” da partícula não é “uni-dimensional”, mas sim “bidimensional”, abrangendo a informação de posição e velocidade:

Se o sistema estiver em algum ponto do eixo “x” (“1”), então ele perma-

necerá na posição que se encontra, porque sua velocidade é nula. Se o sistema estiver no ponto “2”, então vai-se mover para a direita, pois tem velocidade positiva. Se estiver no ponto “3”, ele irá se mover para a esquerda, pois tem velocidade negativa.

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OBS: Na realidade, devido à inerente imprecisão na determinação do es-tado de um sistema, o determinismo no futuro não é totalmente factível, a não ser em intervalos de tempo limitados, proporcionais à capacidade de precisão na determinação das condições iniciais do sistema. Assim o sistema é infini-tamente previsível somente se for “infinitamente precisa” a determinação da sua configuração inicial.

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O fato de ser necessário saber a posição e a velocidade no Espaço de Fase está embutido nas equações da Mecânica. Assim as equações de Newton são equações diferenciais de segunda ordem, refletindo esta condição.



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OBS: Equação diferencial de primeira ordem significa uma equação com apenas a primeira derivada. Uma equação diferencial de segunda ordem signi-fica uma equação que contem a segunda derivada.

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Vamos criar uma equação de movimento diferente, inventada por nós, para exemplificar a questão.

Vamos supor que a força somente dependa da posição e seja dada pela equação: “ F m v=

� �”.

Então, segundo esta equação, uma partícula com liberdade em uma di-

mensão se moveria segundo a equação: ( ) dxF x m m x

dt= = �

Neste caso, bastaria saber a “posição” da partícula para se poder saber qual seria a próxima posição assumida por ela.

Dada a posição, saberíamos também a velocidade da partícula e a sua aceleração, assim como qualquer de suas derivadas no tempo:

1( )

dF dx dFF x m x m x x x

dx dt m dx= ⇒ = ∴ =� � ��

Mas as equações de Newton não são assim! Uma vez que elas envolvem a aceleração, não nos é possível, apenas sabendo a posição, determinar a velo-cidade! Se soubermos a posição, saberemos a força e, portanto, a aceleração, mas não a velocidade!

Para que possamos prever o movimento, precisamos, além da informa-ção de “posição”, acrescentar também a informação de “velocidade”.

Isto define o “Espaço de Fases”, que, no caso de uma partícula em uma dimensão, tem natureza bidimensional.

Nós vamos estudar as várias formas de equações do movimento, mas sem-pre tendo em mente que a conexão entre todas elas é a “Conservação da Informa-ção”, ou seja, a ideia de que as leis da Física são completamente determinísticas, sendo descritas por equações pelas quais é possível saber qual o estado que o sis-tema estará a seguir.



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OBS: Eis a seguir um gráfico exemplificando a necessidade da informa-ção de “dois estados”, para se prever o estado futuro:

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MECÂNICA CLÁSSICA

AULA No 2

Princípio da Mínima Ação – Cálculo Variacional – Lagrangeano Vamos ver a “Conservação da Energia” em relação às Equações de

Newton. Naturalmente, a conservação da energia tem um significado bem mais profundo do que aquele visto nas Equações de Newton, estendendo-se para a radiação, o eletromagnetismo, a relatividade restrita, a relatividade ge-neralizada, a mecânica quântica, etc.

Já sabemos que a conservação da energia não se realiza em movimentos que envolvem atrito e calor (pelo menos em relação à típica conservação da energia cinética mais a energia potencial).

Outro exemplo (nos mesmos termos de conservação da energia cinética mais a energia potencial) de não conservação da energia seria dado por uma partícula que estivesse confinada em um movimento circular, sendo submetida a uma força constante e tangencial ao movimento da partícula. Neste caso, após uma volta, a energia potencial da partícula seria a mesma, mas sua ener-gia cinética teria aumentado! Trata-se de um exemplo de força que não ocorre na natureza!

Um exemplo real de força é dado por forças que dependem do seu ponto de aplicação no espaço:

( , ) :F U x y gradiente i jx y

∂ ∂= −∇ ∇ → + ∂ ∂

� � �

Esta equação significa que cada componente da força é dado por:

;x yx y

U UF F

∂ ∂∂ ∂

= − = −

Isto quer dizer que a componente da força numa dada direção é dada pe-la razão de variação da energia potencial naquela direção, porém com o sinal negativo.



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OBS: O sinal negativo vem do fato de que uma partícula que sai de um potencial mais alto para outro mais baixo ( )0U∆ < , “sofre” uma força segun-

do a sua direção de deslocamento ( )//F r∆� �

, adquirindo assim energia cinética.

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Vamos provar a conservação da energia para o movimento de uma partí-cula.

Definamos a energia total da partícula como a soma de sua energia ciné-tica (T) mais a sua energia potencial (U). Então teremos:

( )2

2 2 21 1

2 2 2

(Energia é conservada)

ix y i

i

VT mV m V V m

E T U

= = + =

⇒ = +

∑

Para comprovar isto, vamos demonstrar que a quantia dE

dté nula:

( )2

2 2 21 1

2 2 2

(Energia é conservada)

ix y i

i

VT mV m V V m

E T U

= = + =

⇒ = +

∑

Apesar de tal dedução partir de uma definição arbitrária, veremos mais a frente as razões para estas definições. Por enquanto estamos apenas constatan-do que as equações de Newton nos permitem observar estes princípios. Vamos agora observar a conservação do “Momento” ( p

�).

Podemos, então, escrever as equações de Newton numa forma ligeira-mente diferente (considerando a massa constante no tempo):

( )(onde )i ii i

i i i

d m VdV dP dPF m F F p mv

dt dt dt dt= = ∴ = ⇔ = =

��



Se a partícula não estiver sujeita a nenhuma força ( 0)F =��

, então o mo-mento se conserva: 0dp dt =

�. Vejamos agora um caso mais genérico.

Segundo Newton, dado um conjunto de objetos, a força que atua num determinado objeto é a soma das forças devidas a cada um dos outros objetos.

Pelo “Princípio da Ação e Reação”, segundo Newton, a toda força apli-

cada (Ação) corresponde uma força de igual amplitude e sentido contrário (Reação). Temos, portanto:

12 21 23 32 13 31

31 2

121 31

212 31

313 23

; ;

0

F F F F F F

dpdp dpdp

dt dt dt dt

dpF F

dt

dpF F

dt

dpF F

dt

= − = − = −

= + +

= + = + + =

= +

� � � � � �

��

� � �

� � �

� � �

Apesar de termos observado a conservação do momento num sistema fe-chado e segundo as equações de Newton, este princípio tem aplicação muito mais geral. Se um raio de luz atinge uma parede, ele irá transferir para ela um determinado momento, dando-lhe um ínfimo empurrão. O nosso objetivo é escrever as leis da Física, em particular da Mecânica, numa forma tão genera-lizada, que será possível ver que essas leis (conservação da energia e do mo-mento) devem ser necessariamente válidas.



�

Vamos ver agora qual é realmente a profunda lei da Física Clássica, chamada de “Lei da Mínima Ação”, a qual contém tudo isso que acabamos de ver e muito mais!

Vamos primeiramente fazer uma “revisão matemática”, que irá nos auxi-liar na dedução das equações desejadas:

Dada uma função �(�): A condição para achar um

mínimo local é que o valor da função somente cresça para qualquer “pequena” variação de “ x ” naquele ponto.

Então a 1a condição seria:

0dF

dx=

Uma segunda condição envolve o comportamento da segunda derivada de F(x). Esta análise, porém, não nos interessa, pois o “Princípio da Mínima Ação” se refere apenas à determinação da condição “ESTACIONÁRIA”, que

equivale a 0dF

dx= ! Esta condição é obedecida por mínimos, máximos e infle-

xões. Temos assim que o “Princípio da Mínima Ação” significa “Princípio da

Ação Estacionária”. Apesar disso, o princípio é chamado de “Princípio da Mí-nima Ação”.



Se tivermos uma função de duas variáveis, ( ),F x y , podemos represen-

tá-la por um gráfico de “contorno”, onde cada curva representa um valor cons-tante desta função:

Para achar um valor mínimo desta função, devemos achar um ponto em

que, seja qual for a direção tomada, a variação do valor da função é nula numa aproximação de primeira ordem (linear ou primeira derivada).

Para o caso da “Mínima Ação”, estaremos interessados em funções não

de algumas variáveis apenas, mas sim de “infinitas” variáveis. Ou seja, iremos minimizar funções que dependem não de algumas variáveis definidas, mas sim de toda uma função! Portanto o nosso mínimo, ao invés de depender de al-guns pontos, dependerá de uma “trajetória toda”.



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OBS: O problema básico da Física Clássica é determinar a trajetória de um sistema a partir de uma dada condição inicial. Isto nem sempre é possível, mas é precisamente a questão da Física Clássica.

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Vamos considerar agora o conceito de “Coordenadas Generalizadas”. Trata-se do conjunto de coordenadas (de qualquer tipo) capazes de definir completamente o estado do sistema. A nomenclatura normalmente utilizada para designá-las é: 1 2, , nq q q… .

Se tivermos uma partícula apenas, teremos três coordenadas: 1 2 3, eq q q ,

correspondendo às três coordenadas cartesianas (três graus de liberdade). Para duas partículas teríamos 6n = , e assim por diante.

Como nós já vimos, apenas os 'q s não são suficientes para determinar-mos os estados futuros e passados de um sistema. Então, expressando agora numa linguagem mais geral e abstrata, isto significa que são necessários tam-bém os ( )iq t� , ou seja, a derivada no tempo das coordenadas generalizadas, a fim de determinar os estados do sistema ao longo do tempo.

Para uma partícula, teremos então:

( ) ( ) ( )1 2 31 2 3

1 2 3Trajetória da partícula

, ,, ,

, ,

q q qq t q t q t

q q q

⇒

��

Portanto, sabendo as coordenadas do sistema e suas derivadas no tempo, podemos determinar as coordenadas generalizadas em função do tempo, de-terminando a trajetória do sistema, que neste caso chamamos de “trajetória generalizada”.

Isto pode ser representado graficamente da seguinte forma:



Este é então o problema

básico proposto a nós pela Mecânica Clássica: até que ponto, a partir de um determinado ponto inicial, podemos determinar a trajetória de um sistema?

Assim, dada as Equações de Newton, como podemos prever a trajetória do sistema, não apenas a partir das suas coordenadas iniciais

( )iq t , mas também das

respectivas derivadas ( )iq t� ?

O que as Equações de Newton no dizem é como, ao longo de uma trajetória e a partir de um ponto específico, o sistema irá se movimentar em seguida.

Se sabemos onde estamos, sabemos a força e portanto a aceleração. Com isso sabemos determinar a próxima posição.

Isto significa que as Equações de Newton são “LOCAIS”, ou seja, que não é necessário saber nada a respeito do restante da trajetória. Basta sabermos onde estamos e para onde estamos indo, pois, com isso, saberemos onde esta-remos, determinando assim a trajetória do sistema.

Esta é a razão pela qual as Equações de Newton são estabelecidas na forma diferencial, pois as equações diferenciais lidam com o comportamento local da função e de suas variações.

O “Princípio da Mínima Ação” (PMA) é uma outra formulação do mesmo problema físico, porém tendo a sua trajetória olhada agora como um todo.

Ao invés de se usar a posição e a velocidade num determinado instante, usa-se a posição do início da trajetória e, depois de um determinado intervalo



de tempo, a posição no final da trajetória. Assim, dados os dois extremos da trajetória, determina-se qual a trajetória que satisfaz as leis do movimento, ligando um ponto ao outro:

Assim é equivalente saber os dois pontos extremos da trajetória ou então

saber as duas informações ( )(q t , q(t))� em um único ponto ao longo da trajetó-

ria. As duas formas possuem a mesma quantidade de informação, de modo que é possível se usar os dois extremos da trajetória, em vez de se usar a posição e a velocidade em um determinado ponto da trajetória.

Tem-se assim uma nova colocação do problema, na qual se busca deter-minar a única trajetória que conecta dois pontos segundo uma determinada lei!

Nesta forma, o princípio da natureza que governa estas trajetórias é o “Princípio da Mínima Ação” (PMA). Este princípio diz que certa “quantida-de” associada com a trajetória total deve assumir um valor mínimo (“estacio-nário”) para a trajetória verdadeira, aumentando o seu valor para qualquer ou-tra trajetória diferente.

Por exemplo, dados dois pontos no plano, qual a linha que, ligando os dois pontos, minimiza a distância entre eles? Certamente é uma linha reta, mas qual é a matemática envolvida nessa determinação?

Trata-se de minimizar uma quantidade que depende de toda uma trajetó-ria, e não apenas de algumas variáveis.

Há duas formas de tratar o problema: “localmente” e “globalmente”.



Globalmente: Vê-se a trajetória como um todo, determinando-se qual a trajetória que minimiza a Ação.

Localmente: focaliza-se a atenção em um pequeno trecho específico da

trajetória e, dentro deste trecho, determina-se onde se deve localizar o ponto para minimizar a quantidade de Ação.

A resposta, portanto, não depende da localização do ponto escolhido. Es-

te poderia ser chamado de Princípio da “Mínima Distância”. Matematicamente teremos:

22 2 2 2 21

dyds dx dy ds dx

dx

= + ⇒ = +

2

1

12

2 2

1 1

x

x

dy dyds dx S dx

dx dx

⌠⌡

∴ = + ⇒ = +

Nosso problema então é achar a função ( )y x que minimiza a quantidade

“ 12S ”.



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OBS: Se considerarmos “ y ” como uma função do tempo, este exemplo poderia representar a determinacão da trajetória, numa única dimensão, de uma partícula, obedecendo a um estranho princípio de mínima ação.

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Podemos ver que a quantidade “ 12S ” é uma “função” de uma “função”, ou seja, é uma quantia que depende não de uma variável, mas sim de uma fun-ção toda. Há um nome para funções deste tipo: “FUNCIONAL”.

Outro exemplo físico de um funcional seria dado pela trajetória de um raio de luz. Certamente pensamos na linha reta como sendo a solução do pro-blema, mas este é apenas um caso particular, no qual a velocidade da luz é constante ao longo da trajetória. Na verdade, a velocidade da luz varia com as características do meio pelo qual se propaga. Vejamos então o seguinte exem-plo:

Suponhamos um material em apenas duas dimensões, cuja velocidade de propagação da luz varia ao longo do eixo “ y ”.

Poderíamos, por exemplo, imaginar que a velocidade varia de um valor mínimo “ y 0= ” até um máximo em “ y L= ”.

Vamos considerar tam-

bém que a velocidade da luz não varia com a direção, pois há materiais em que isto de fato acontece. Então, uma vez que a luz percorre a trajetória que minimiza o tempo gasto no percurso (trata-se do princípio da mínima ação para a luz!), qual será a trajetória percorrida neste caso?



Talvez uma trajetória reta não seja a mais eficiente neste caso, sendo melhor um caminho que tenha um trecho maior na região de maior velocidade:

Uma boa maneira de ver isto é imaginar um salva-vidas a 50m da água e

um banhista a 50m dentro da linha d’água, afastado lateralmente 100m do salva-vidas. Qual o ponto da linha da água que o salva vidas deve escolher, para que ele possa percorrer os dois trechos no menor tempo possível, se a sua velocidade em terra é o dobro da velocidade na água? Fica fácil de ver que “não” será um ponto situado na reta que liga os dois!

Teremos assim:

( )

2

1

velocidade da luz

dyds dx

dx

c

dsc c y

dt

= +

=

= =



2

1,2

1

2

2

1( ) ( )

11

( )

x

x

ds dx dydt

c y c y dx

dyt dx

c y dx

⌠⌡

= = +

= +

1,2 quantidade a ser minimizada

para o percurso da luz

t →

Outro exemplo é dado pela forma assumida por um cabo suspenso entre dois pontos. A quantidade a ser minimizada é a energia potencial do cabo. Deve-se então achar, entre os pontos A e B, a trajetória que minimize a energia poten-cial do cabo (CATENÁRIA). Encontramos aí, novamente, a necessidade de minimizar uma quantia que depende de uma “função” toda, e não apenas de algumas variáveis.

A matemática que trata deste tipo de problema é chamada de “CÁLCU-LO VARIACIONAL”, que tem por objetivo minimizar o “FUNCIONAL”.

O “Princípio da Mínima Ação” é deste tipo, sendo que nele deve-se mi-nimizar uma quantidade dependente de uma trajetória toda, que é a trajetória do sistema mecânico todo. Na verdade esta quantidade depende de todas as trajetórias da coordenadas componentes do sistema: ( ) ( )1 2, , ( )nq t q t q t… .

Achar o conjunto de funções “ ( )iq t ” que minimiza a quantidade chama-

da de “Ação” é equivalente, segundo o “Princípio da Mínima Ação”, ao uso comum das leis da Mecânica, em particular às Leis de Newton para a Mecâni-ca. Porém, em muitas outras situações, o “Princípio da Mínima Ação” é muito mais eficiente, sendo uma ferramenta muito melhor do que simplesmente es-crever as equações de Newton. Esta eficiência é bastante evidente em sistemas constituídos por um grande número de elementos, nos quais, ao invés de es-



crevermos todas as equações de Newton para cada partícula, podemos sim-plesmente minimizar uma determinada quantia em relação a uma dada trajetó-ria.

O “Princípio da Mínima Ação” é válido não apenas para os sistemas nos quais se aplicam as leis de Newton, mas também em outros sistemas, tendo um caráter muito mais geral!

Por exemplo, ele se aplica a problemas na “Relatividade Restrita”, à “Teoria de Campo”, a campos eletromagnéticos e praticamente a todos os pro-blemas básicos da Física Clássica. Assim, o PMA é a formulação mais geral da Mecânica Clássica.

Vejamos agora o que é esta “Mínima Ação”. Apesar de sua definição pa-recer meio “estranha”, veremos a seguir que ela se aplica perfeitamente aos problemas Newtonianos, equivalendo às mesma leis das Equações de Newton.

A quantidade que determina a Mínima Ação é dada pela integral no tempo (a variável independente passa a ser o “tempo”) da seguinte expressão:

“AÇÃO = ENERGIA CINÉTICA – ENERGIA POTENCIAL”

Temos então, para uma partícula em uma única dimensão:

( )21

Ação ,2

dxA m U x t dt

dt

⌠⌡

= = −

Apesar de estranho, trata-se da diferença entre estas duas quantias, e não de sua soma!!

Vamos comparar a mínima ação com o mínimo tempo para o raio de luz. Deve-se notar primeiramente que há uma troca de variáveis: x t↔ . No caso do mínimo tempo para o raio de luz, temos:

2 2

1

11

( )

dydx

c y dx

⌠⌡

+

A quantidade acima depende de dois fatores: “ ( )y x ” e “ dy / dx ”, ou se-ja, ela depende da função e da derivada da função em si.



A mesma coisa ocorre para a mínima ação, que também depende da fun-ção “ ( )x t ” e da sua primeira derivada em relação ao tempo (a variável inde-

pendente) “ dx dt ”. Da mesma forma como no “mínimo tempo”, definimos a posição inicial

e final, definimos também, para a mínima ação, o instante inicial e o instante final, entre os quais se deve determinar a trajetória minimizante.

É sempre surpreendente ver a presença do sinal negativo na expressão para a mínima ação, mas é assim que as coisas são de fato!

O integrando na expressão da mínima ação é chamado de “LAGRAN-GEANO”:

( )Lagrangeano

, ou mais genericamente ( ),final

inicial

t

i i

t

T V A q t q t dt⌠⌡

= − = ��

L L

Assim, para cada sistema mecânico, existe uma quantidade chamada de “Lagrangeano”, a partir da qual se constrói a AÇÃO, através da qual se pode achar então a trajetória que, ao longo do tempo, minimiza a ação do sistema.

Nos casos mais simples, aqueles que correspondem de alguma forma à física Newtoniana, o Lagrangeano é sempre dado pela “diferença” entre a “Energia Cinética” e a “Energia Potencial”.

Em sistemas mais genéricos, que não tenham um modelo Newtoniano análogo, o “Lagrangeano” pode ser bem diferente, mas, ainda assim, depende-rá de ( ) e ( )q t q t� , enquanto o “Princípio da Mínima Ação” se tornará mais fundamental do que qualquer tipo de lei Newtoniana da Física.

Em particular, o movimento de uma partícula segundo a Relatividade Restrita é bastante diferente daquele estabelecido normalmente pelas equações de Newton, mas ainda permanece na forma de “Lagrangeano” como função de

( ) e ( )q t q t� . Nosso próximo passo é aprender como, a partir de um dado Lagrangeano

e de sua respectiva Ação, será possível converter o “Princípio da Mínima Ação” em equações de movimento iguais às estabelecidas pelas equações de Newton. Veremos assim como se passa do “Lagrangeano” para as equações de Newton ou vice-versa, verificando também, quando não houver as equações de



Newton para o movimento do sistema, como são as equações do movimento a partir de um dado Lagrangeano.

Se nós soubermos resolver este tipo de problema, então poderemos re-solver outros problemas, pela aplicação do mesmo princípio, como, por exem-plo, através da determinação do mínimo tempo no problema óptico.

Existe, portanto, uma analogia entre problemas ópticos e mecânicos através do “Princípio da Mínima Ação” (PMA), dado pela mesma técnica ma-temática empregada para determinar o valor mínimo de um “FUNCIONAL”.



MECÂNICA CLÁSSICA

AULA No 3

Lagrangeano – Princípio da Mínima Ação – Exemplos

Todas as leis da Física têm uma estrutura em comum: as leis de uma

partícula em movimento sob a ação da gravidade, o movimento dado pela equação F m a=

� �, as leis do eletromagnetismo, as leis do movimento de uma

partícula carregada em um campo eletromagnético. Todas essas leis da Física Clássica têm uma forma comum, mesmo quando se trata da colisão de bilhões de partículas. E essa forma comum é dada pelo “Princípio da Mínima Ação”.

Mesmo as leis da Termodinâmica, que normalmente não são expressas na forma do “PMA”, são simples leis estatísticas de um sistema com um gran-de número de “graus de liberdade”, de modo que as leis básicas destes “graus de liberdade” têm a forma dada pelo “PMA”. A 2a Lei da Termodinâmica é parcialmente uma lei cujo fundamento está baseado no “PMA”.

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OBS: “Graus de liberdade” é o número mínimo de coordenadas que des-creve completamente a configuração de um determinado sistema. Por exem-plo, uma partícula livre tem grau de liberdade três (três coordenadas), duas partículas têm grau de liberdade seis; duas partículas cujos movimentos estão confinados em uma única superfície têm grau de liberdade quatro (duas coor-denadas para cada uma).

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Vejamos agora um pouco mais de matemática... 1-Integração por Partes:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

dy t du t dv ty t u t v t v t u t

dt dt dt= ⇒ = +

Integrando por partes, obtemos:

2 2 2

1 1 1

( ) ( ) ( )( ) ( )

t t t

t t t

dy t du t dv tdt v t dt u t dt

dt dt dt

⌠ ⌠ ⌠ ⌡ ⌡ ⌡

= +

2 2

1 1

2

1

( ) ( )( ) ( )( )

t tt

tt t

du t dv tv t dt u t dty t

dt dt

⌠ ⌠ ⌡ ⌡

= +

2 2

1 1

2

1

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

t tt

tt t

du t dv tv t dt u t dtu t v t

dt dt

⌠ ⌠ ⌡ ⌡

= +

Se o produto ( ) ( )u t v t se anula nos pontos inicial e final: 2

10( ) ( )

t

tu t v t = ,

então termos:

2 2

1 1

( ) ( )( ) ( )

t t

t t

dv t du tu t dt v t dt

dt dt

⌠ ⌠ ⌡ ⌡

= −



2-Condição para uma função anular-se: Dada uma função A(t):

Se 2

1( ) ( ) 0

t

tA t f t dt =∫ , onde ( )f t é uma função arbitrária, então:

( ) 0A t =

Para vermos isso, basta supor que ( )A t seja diferente de zero

( )0 0( )A t A= em algum infinitésimo intervalo t∆ . Então bastaria definirmos a

função ( )f t (a qual é arbitrária) como tendo valor “zero” em toda a sua exten-

são, exceto no intervalo t∆ , no qual ela assumiria o valor 1 t∆ . Com isso terí-amos:

0

0

( ) ( )

( ) ( ) 0

AA t f t dt t

t

A t f t dt A

⌠⌡

⇒ = ∆∆

∴ = ≠∫



A “História” de um sistema é dada pela trajetória, ao longo do tempo, das coordenadas do sistema:

Estamos interessados em determinar a “História” ou trajetória do siste-

ma. Como já mencionamos, podemos abordar o problema de duas maneiras: “Localmente” ou “Globalmente”.

“Localmente”: Dada uma informação em um dado ponto da trajetória,

aplicamos uma lei que nos permite determinar a posição do próximo ponto. Com isso, podemos construir toda a trajetória (por exemplo, F m a=

� �). Assim,

se sabemos duas informações do sistema ( ) e os i iq q� num ponto específico,

podemos, a partir deste determinado ponto, construir toda a trajetória. “Globalmente”: Olha-se para o problema vendo-se a trajetória como

um todo, considerando que existe uma quantidade (a qual chamamos de “Ação”) cuja minimização (valor “estacionário”) é obtida somente ao longo da trajetória “realmente” percorrida pelo sistema. Neste caso, também preci-samos de duas informações do sistema, que não são mais os ( ) e os i iq q� num

determinado ponto da trajetória, mas sim 1 2( ) e ( )i iq t q t .

Trajetória ou

“História” do sistema



Essas duas formas são relacionadas e, de fato, equivalentes, pois, se o PMA estabelece a trajetória toda, então ele estabelece também a trajetória lo-cal em um ponto específico; assim como a lei local, determinando o próximo ponto a ser atingido, também determina a trajetória toda.

Desta forma, é possível, a partir do PMA, que atua globalmente, dedu-zir-se também as equações diferenciais do sistema, que atuam localmente.

Vamos ver como se determina a função (História) que minimiza o PMA para um dado sistema.

Sejam 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ( ), ( )... ( ) ( )n iq t q t q t q t→ as coordenadas generalizadas que

“minimizam” a “Ação” de um dado sistema. Vamos adicionar a cada coorde-nada uma função arbitrária ( )if t :

ˆ( ) ( ) ( )i i iq t q t f tα= + ; onde “α ” pode ser um número qualquer.

Estabelecendo que a nova trajetória, ( )iq t , deve passar também pelos

pontos inicial e final 1 2 e t t , então a função arbitrária ( )if t deve anular-se em

1 2 e t t , ou seja, 1 2( ) ( ) 0i if t f t= = .

Com isso, a trajetória irá modificar-se de acordo com ( )if t e proporcio-

nalmente a “α ”. Vamos supor que ˆ ( )iq t seja a traje-

tória que minimiza a Ação. Então a Ação, em relação à trajetória modificada ( )iq t ,

será (uma vez escolhidas as funções arbi-trárias ( )if t ) apenas função de “α ”:

( ) ( )( )iA q t A α= , sendo que, por hipóte-

se, quando 0α = a Ação é mínima ( ˆ ( )iq t

é suposta ser a trajetória minimizante). Temos, portanto, uma função de "�", cujo mínimo é atingido em:

0

( )0 0

dA

d α

ααα =

= → =



Aplicando a definição da “AÇÃO”:

( ) ( )( )2

1

,t

i i

t

A q t q t dt

Lagrangeano

⌠⌡

= ��L

Então temos:

2

1

( )t

i i

i i it

dq dqdAdt

d q d q d

αα α α

⌠⌡

∂∂= + ∂ ∂ ∑

�

�

L L

Mas:

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) e i ii i i i i i

dq dqd dq f t f t q f t f t

d d d dα α

α α α α= + = = + =

� � ��

Portanto:

( ) ( )2

1

( )t

i ii i it

dAf t f t dt

d q q

αα

⌠⌡

∂ ∂= + ∂ ∂

∑ ��

L L

Empregando a integração por partes e levando em consideração que:

1 2( ) ( ) 0i if t f t= =

( ) ( ) ( )22

1 1

2

1

( )t tt

i ii iit tt

dA df t dt f t dtf tid q dt qqi i

αα

⌠⌠ ⌡ ⌡

∂ ∂∂= + −∑ ∂ ∂∂ ∑

��

L LL

( )2

1

( ) ,

t

ii iit

dA df t dt

d q dt q

αα

⌠⌡

∂ ∂∴ = − ∂ ∂

∑�

L L



Pois uma vez que: 1 2( ) ( ) 0i if t f t= = , o termo ( )2

1

t

t

f tiqi i

∂∑

∂ �L é igual a

zero.

Para o ponto de mínimo, devemos ter: ( )

0dA

d

αα

= , portanto:

2

1

( ) 0

t

ii iit

df t dt

q dt q

⌠⌡

∂ ∂− = ∂ ∂

∑�

L L

Esta quantia deve ser nula para qualquer função ( )if t , pois toda modifi-

cação na trajetória verdadeira, a qual minimiza a AÇÃO, deve resultar em um aumento da AÇÃO.

Portanto devemos ter como resultado, para a condição do mínimo (valor “estacionário”):

0

EQUAÇÃO DE EULER-LAGRANGE

i i i

d

q dt q

∂ ∂− = ∂ ∂ ∑

��

L L

Esta equação é o coração de toda a Física Clássica! Na verdade, numa forma um pouco diferente e mais sofisticada, ela é também o coração da Me-cânica Quântica!

Todos os sistemas físicos conhecidos podem ser formulados pelo “Prin-cípio da Mínima Ação”, dado pela “Equação de Euler-Lagrange”, aplicando-se a campos gravitacionais, campos eletromagnéticos, Relatividade Geral e Rela-tividade Restrita, Teoria das Cordas, etc...

Vamos observar alguns exemplos. Primeiramente, vamos dar “nomes” para alguns elementos da “Equação

de Euler-Lagrange” (EEL):



Vemos então que as “Equações de Euler-Lagrange” (EEL) significam

que a “derivada do momento” é igual à “força” ( )F m a=� �

.

Vamos verificar isso para o caso de uma partícula movendo-se em uma única dimensão:

2

( )2

;

m xT U U x

m x px dp U U

m x F m ad dt x x

dt x x

= − = −

∂ = = ∂ ∂ ∂⇒ = − ⇔ = − ⇔ =∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂

�

��

��

�

L

L

L L

Vejamos agora um sistema com várias partículas. Para cada uma tería-

mos 1 1 1; 2 2 2;, , , , ...x y z x y z

Vamos chamar cada simples coordenada de iq , de modo que, para “N”

partículas, teríamos 3 N 'q s . Observemos um exemplo com duas partículas movendo-se em uma linha

reta:

( )“Momento Canônico Conjugado a ”

ou simplesmente “MOMENTO”i

ii

q

q

∂ Π = → ∂ �

L

“FOR A GENERALIZADA”i

Çq

∂→

∂L



Vamos aqui nos referir a uma condição de Energia Potencial particular, na qual temos a propriedade de “INVARIÂNCIA POR TRANSLAÇÃO”. Isto significa que o LAGRANGEANO, em particular a Energia Potencial, não irá variar, se nós movermos ambas as partículas por um mesmo espaço, ou seja, a dependência da Energia Potencial se dá em relação à distância entre as partícu-las, independente de onde elas estejam.

Esta hipótese é equivalente a uma “SIMETRIA”, dada por uma “SIME-TRIA DE TRANSLAÇÃO”, na qual a posição da origem do sistema não alte-ra o valor do LAGRANGEANO, como é o caso para a velocidade em geral e para a Energia Potencial, quando esta depende apenas de distância entre as partículas.

1 1 2 21 2

1

1 1 1

2

2 2 2

( )2 2

m x m xU x x

dpd U

dt x x dt dx

dpd U

dt x x dt dx

= + − −

∂ ∂ ∂= ⇔ = − ∂ ∂

∂ ∂ ∂= ⇔ = − ∂ ∂

� �

�

�

L

L L

L L

( )

1 2 1 2

1 2

1 1 1

1 2 1 2

2 2 2

1 21 2

1 2

Fazendo ( ) ( )

( )(1)

( )( 1)

Daí resulta que: 0

z x x U z U x x

x xU U z U U

x z x z x z U U

x xU U z U U x x

x z x z x z

dp dp d U Up p

dt dt dt x x

= − ⇒ = −

∂ −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∴ = −∂ −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂+ = + = − − =

∂ ∂

Assim, como resultado da “Simetria de Translação”, temos a “conserva-ção da quantidade de movimento”.

Vemos então que a “conservação da quantidade de movimento” é uma consequência da “Invariância por Translação” associada às equações de Euler-Lagrange para o “Princípio da Mínima Ação”.



Portanto o ponto mais importante nisso tudo é a “CONEXÃO ENTRE SIMETRIAS E LEIS DE CONSERVAÇÃO”

Simetria significa uma determinada operação que, quando aplicada ao sistema, “não” altera o valor do LAGRANGEANO ou da AÇÃO.

---------------------------------------------------------------------------------------

OBS: Na Mecânica Clássica não há interesse em simetrias discretas (por exemplo, intercâmbio de duas variáveis, o que leva apenas a dois possíveis estados), mas sim em simetrias contínuas, que podem ser construídas pela so-ma de simetrias infinitesimais.

---------------------------------------------------------------------------------------

Vamos observar o exemplo de uma partícula movendo-se num plano sob a ação da gravidade:

Neste caso, o Lagrangeano é invariante em relação a translações no eixo

“x”, mas não no eixo “y”, porque o Lagrangeano depende de “y” através da Energia Potencial.

Desse modo, devemos achar uma lei de conservação relativa apenas à di-reção “x”.

Nós podemos reescrever o Lagrangeano em termos de quaisquer outras

coordenadas. A “Ação” pode até ficar mais complicada nestas novas coorde-nadas, mas ainda continuará a mesma Ação, que, ao longo da trajetória real percorrida pelo sistema, atingirá um valor mínimo (estacionário).

0 ;x y

d d d dp p m g

dt x dt x dt y dt y

∂ ∂ ∂ ∂ = = = = = = − ∂ ∂ ∂ ∂ � �

L L L L



O fato de que a Ação é minimizada para a trajetória real do sistema é um resultado que “não” depende do sistema de coordenadas utilizado! Por esta razão, o PMA é independente do sistema de coordenadas empregado.



MECÂNICA CLÁSSICA

AULA No 4

Carga de Noether- Simetrias e Conservação

Vamos ver o caso de uma partícula movendo-se no plano, porém descre-

vendo-a agora em coordenadas polares:

Vamos considerar para este exemplo uma energia que só dependa de “r”.

Neste caso, temos uma simetria em relação à rotação do sistema, cuja aplica-ção não altera o valor de “r”, mantendo inalterado o valor da Energia Potencial e, portanto, do Lagrangeano, que é dado por:

Aplicando as Equações de Euler-Lagrange, obtemos as equações do mo-vimento:

Nesta última equação, o termo 2m rθ� entra como uma força extra, posi-

tiva (apontando na direção de r�→ radial). Esta é a “Força Centrífuga”, que

( )2 2 2 ( )2

mr r U rθ= + −��L

2( )

ii i

r r

d d

dt q dt q

d dUm r m r m r m r

dt r drθ

∂ ∂= Π = ∂ ∂

∂∴ Π = ⇒ Π = = ⇒ = −

∂

�

��

L L

L



tem o efeito “aparente” de criar uma repulsão a partir do centro. Para a coor-denada θ , teremos:

Vemos então que o momento angular se conserva. Isto decorre do fato

de ser este um sistema que apresenta simetria em relação à “rotação”.

“SIMETRIA DE ROTAÇÃO” ⇔ “CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR”

Substituindo 2

L

mrθ =� na equação obtida para mr�� teremos:

2

2 4

2 2

3 3

L

L L: "Força Centrífuga"

Um r m r

r m r

Um r

r m r m r

∂= − +

∂

∂∴ = − + →

∂

��

��

OBS: Supondo “ ( )iF x ” uma função de várias variáveis, então a expres-

são: 0 ( "Variação")Fδ δ= → significa que a “variação” da função ( )iF x ,

numa 1a ordem de aproximação, em relação à variação de qualquer uma de

suas variáveis é “nula”. Porém, como iii

FF x

xδ δ∂

=∂∑ , então resulta que:

0 0.i

FF

xδ ∂

= ⇔ =∂

( )2 20 L (constante)d

m r m rdt

θ θθ

∂= = ⇒ =

∂� �L

( )2 Momento Can nico Conjugado a “ ”

MOMENTO ANGULAR L

ômrθ

θθ

θ∂ Π = = → −∂

��

L

Mecânica Clássica 36 Notas das aulas do Prof. Leonard Susskind – Universidade de Stanford

Como exemplo para a aplicação desta notação, temos o PMA. A Ação é mínima quando qualquer “pequena” variação da traje-tória resulta numa variação nula para a Ação. Temos, portanto, como expressão equivalente para o “Princí-pio da Mínima Ação” (PMA):

Vejamos agora, novamente, a questão das simetrias. A ideia básica da simetria está na condição de ser possível realizar uma

mudança no sistema que “não” altera o valor da AÇÃO. Por exemplo, se nós temos um sistema de partículas se movendo, as

quais interagem entre si, mas com nenhum outro elemento externo, então, se nós pegarmos todo o sistema e o transladarmos por um pequeno intervalo no espaço, o resultado é que a Ação não se alterará, porque ela não depende neste caso da localização de cada partícula no espaço, mas somente das posições de cada uma delas em relação às demais. Esta é a ideia que define o conceito de “simetria” em relação, por exemplo, a uma “rotação” do sistema.

Assim, basicamente, simetria é uma operação que se pode aplicar a um sistema (uma mudança que se pode fazer nas coordenadas do sistema), a qual não altera o valor da sua respectiva Ação.

Em particular, estamos interessados em simetrias “infinitesimais”, ou se-ja, em simetrias que realizam apenas “pequenas” mudanças no sistema.

É possível construir uma transformação simétrica qualquer através de várias “transformações simétricas infinitesimais”. Por exemplo, uma rotação

2

10 0

t

tA dtδ δ= ⇔ =∫ � L



de 90° do sistema pode ser obtida pela composição de pequenas rotações, cuja soma perfaça 90° no total.

Assim trabalharemos com transformações que podem ser aproximadas por variações de primeira ordem (primeira derivada).

A transformação de um sistema é definida por uma mudança nas suas coordenadas: ( )i i iq q f qε→ + .

----------------------------------------------------------------------------------------

OBS: ( )if q significa que if depende de todos os iq , ou seja,

( )1 2( ) , ...i i nf q f q q q⇔ . Neste caso, ε representa um “pequeno” valor.

----------------------------------------------------------------------------------------

No caso da rotação, vemos que as mu-

danças devem depender da posição ( )( )if q ,

pois a rotação realizada é diferente em cada ponto.

Mas, então, o que significa dizer que te-mos uma “simetria”? Significa que, se fizermos uma mudança no sistema, ( )i i iq q f qε→ + , a

“Ação” não sofrerá alteração.

Para ver melhor a dependência

de ( )if q , vamos analisar a rotação

realizada num plano:



( )( )

( )( )

11

22

,Fazendo ,

,,

dx x f x y

f x y yy y f x y

f x y x

θ εε

ε

= → + = − ⇒

→ + =

----------------------------------------------------------------------------------------

OBS: Um cubo tem simetrias discretas, que não podem ser obtidas através de simetrias infinitesimais. Já uma esfera tem simetria contínua, que pode ser obtida através da composição de simetrias infinitesimais.

----------------------------------------------------------------------------------------

Vamos representar a trajetória de um sistema, considerando o tempo na vertical e “TODAS” as coordenadas representadas pelo eixo horizontal.

0Aδ = , a variação da Ação é

nula em relação às variações da trajetória.

OBS: As variações da trajetó-

ria são restritas àquelas que “não” alteram a trajetória real nos seus pontos inicial e final.



Se aplicarmos uma transformação “simétrica” ao sistema, teremos: Com essa transformação, es-

taremos fazendo uma pequena variação na trajetória, porém não se trata de uma variação “admis-sível” para a “Mínima Ação”.

Contudo, ainda assim, a va-riação da Ação também é nula, mas não por causa do “Princípio da Mínima Ação”, e sim porque a transformação, por hipótese, é uma transformação “simétrica”, a qual, portanto, “não” altera o va-lor da Ação.

Vamos verificar então, segundo as equações de Euler-Lagrange, qual é a

expressão para a variação da Ação, que neste caso (como já explicado acima) é “zero”.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

22

11

ˆ ˆLembrando que:

e que:

e Integrando por partes o termo , obtemos:

tt

i iti iit

i i i i i i

i i i i

ii

A dt A q q dtq q

q t q t f t q t q t f t

q f t q f t

qq

δ δ δ

ε ε

δ ε δ ε

δ

⌠⌡

∂ ∂= = + ∂ ∂

= + ⇒ = +

= ⇒ =

∂∂

∑∫ ��

� ��

��

��

L LL

L

2 22

111

t tt

i i ii i i ii i t

tt

dq dt q dtq

q dt q qδ δ δ

⌠ ⌠

⌡⌡

∂ ∂ ∂ = − + ∑ ∂ ∂ ∂

∑ ∑��

L L L


Neste caso, o termo extra, 2

1

t

ii i t

qq

δ∂∑

∂ �L , não se anula, pois não se trata

de uma variação admissível para a trajetória do sistema (a variação deslocou os pontos inicial e final). Nesta expressão, temos o valor total da variação da Ação, quando se inclui também o deslocamento dos pontos inicial e final.

Uma vez que o nosso problema partiu da hipótese de uma trajetória real do sistema, ou seja, considerou que a trajetória satisfaz o “Princípio da Mínima Ação”, então a trajetória satisfaz as Equações de Euler–Lagrange:

0.i ii

d

q dt q

∂ ∂− = ∂ ∂

∑�

L L

Por outro lado, uma vez que, também por hipótese, a transformação é “simétrica”, então a variação da Ação ( Aδ ) é nula. Disto resulta que:

2

1

0.

t

ii i t

qq

δ∂ =∑∂ �L

Mas esta é a expressão para a “diferença” entre a mesma quantidade ava-liada entre dois diferentes instantes de tempo. Isto significa, portanto, que esta quantidade é conservada!

Segue imediatamente, assim, uma “Lei de Conservação”. Se nós partir-mos de um sistema que apresenta uma simetria, então, uma vez que

( )i iq f qδ ε= , teremos conservada a quantidade:

2 2

11

t t

i ii i i ii tt

dA q dt q

q dt q qδ δ δ

⌠⌡

∂ ∂ ∂= − +∑ ∂ ∂ ∂ ∑

� �

L L L

( )iii

f qq

ε∂∂∑�

L


OBS: Se a quantidade não varia entre “quaisquer” dois intervalos de tempo, então a sua derivada no tempo é “zero”.

Encontramos assim (e este é o ponto importante!) a conexão fundamen-

tal entre “Simetria” e “Lei de Conservação”, através do “Princípio da Mínima Ação”.

Então o “momento” é conservado devido à existência de simetria na “translação” do sistema (simetria de translação). Da mesma forma, o “momen-to angular” é conservado devido à existência de simetria na “rotação” do sis-tema (simetria de rotação).

Porém nem toda equação que é invariante por translação tem uma sime-tria que permanece com ela após a transformação. É necessário que a equação seja derivada do “Princípio da Mínima Ação”.

Nós podemos escrever equações invariáveis por translação que, no en-tanto, não têm, associadas a esta translação, quantias conservadas. Isto se dá quando estas equações não obedecem ao “PMA”.

Vamos escrever a Lei de Conservação em outra forma:

O termo “carga”, empregado neste nome é devido à analogia com a

“Carga Elétrica”, que é uma quantia física conservada. Assim, o momento e a energia seriam uma espécie de “carga” (quantia conservada).

Vamos ver alguns exemplos a respeito do assunto. Suponhamos que um sistema de partículas seja simétrico em relação à

translação ao longo do eixo “x” ( ); 0; 0i i ix y zδ ε δ δ= = = . Neste caso,

( ) 1if q = para todas as coordenadas de todas as partículas.

( )( ) ( ) 0i i i i iii i i

d d dq f q f q

dt q dt dtδ ε∂

= Π ⇒ Π =∂∑ ∑ ∑�

L

( )

"CARGA DE NOETHER"

i ii

f qεΠ∑


A “Carga de Noether” para este sistema é:

Quantia

Conservadax i iii i

m xΠ = =∑ ∑ �

.

Assim a conservação da quantidade de movimento neste caso é conse-quência da simetria de translação na direção “ x ”.

Vamos ver agora a expressão para o momento angular, considerando o caso particular de uma partícula movendo-se num plano.

seny

x r d r d rr

δ θ θ θ= − = − = −y

dr

θ

cos

x y

xy r d r d r

r

δ ε

δ θ θ θ

⇒ = −

= = = −x

dr

θ y xδ ε⇒ =

L

x x

y y

x y x y

x f f y

y f f x

y x p y p x

δ εδ ε

= = − ⇒ = =

−Π + Π = − + =


Assim novamente, sem nos preocuparmos com forças entre partículas e sem entrarmos em pequenos detalhes, mas simplesmente sabendo que a “Ação” não muda com a rotação do sistema em torno da origem, nós chega-mos à quantia conservada, que, conforme a equação nos mostra, é familiar para nós, ou seja, é a componente do momento angular na direção “ z ”:

( )( ).x y z zp y p x L r p− + = = ×

� �

Se observássemos a órbita da Terra um minuto após o início da trajetória anterior, nós veríamos exatamente a mesma trajetória, porém atrasada no tem-po em um minuto. O fundamento por trás deste conceito é que, nas leis da Fí-sica, não ocorre uma dependência explicita do tempo (esta ideia está sempre relacionada com a condição de se olhar apenas para “partes isoladas” do sis-tema). Por exemplo, se nós supusermos dois corpos situados nas proximidades de um grande planeta que esteja se movendo, então as forças nestes dois cor-pos serão explicitamente dependentes do tempo, devido ao movimento deste planeta, que “não” estamos considerando em nossas equações, mas que faz as forças do sistema de dois corpos serem variáveis no tempo. Neste caso, se ob-servarmos estes dois corpos num instante ligeiramente diferente (para as mes-mas condições iniciais), teríamos trajetórias diferentes, e não apenas trajetórias defasadas no tempo, pois o planeta já estaria em outra posição.

Se estes dois corpos compusessem um sistema isolado (afastado sufici-entemente do planeta) então o sistema apresentaria a característica de ser “in-variável” segundo uma “translação no tempo”. Isto significa que, se mudar-mos, para todos os elementos do sistema, a referência no tempo por uma mes-ma quantidade " "ε , a trajetória modificada continuará como solução do pro-blema. Esta é a chamada “invariância em relação à translação no tempo”.

Voltemos à trajetória percorrida por um sistema, representada pelos " ' "q s e pelo tempo:

Vamos supor a trajetória deslocada no tempo por um intervalo ε .Nós podemos ver este problema de duas maneiras:


1a) Considerando que toda a trajetória é simplesmente movida para adi-ante no tempo:

OBS: Se movimentarmos a trajetória

no sentido oposto (atraso), os resultados se-rão os mesmos obtidos com o segundo mé-todo (explicado a seguir), porém, neste caso,

( ) ( )i iq t q t ε→ + e, portanto, a expressão

para ( )q tδ seria dada por:

( ) ( ) dqq t q t q

dtε ε ε+ − = = �

enquanto as quantias extras A e B seriam respectivamente somada e subtraída, pois, no intervalo 1 2t t↔ , o trecho B estaria acres-

cido à trajetória atrasada (devendo ser subtraído) e o trecho A não seria levado em consideração (devendo ser somado). Desse modo o resultado, como era de se esperar, será o mesmo obtido a seguir.

2a) Focando nossa atenção

num instante particular, no qual a trajetória ter-se-ia movido apenas lateralmente:

Neste segundo caso, pode-

mos ver que cada ponto( )1 2( ), ( ) ... ( )nq t q t q t é deslocado

para o ponto recuado no tempo pelo intervalo " "ε :

( ) ( )i iq t q t ε→ −



Então a variação em q(t) será dada por: ( )dq

q t qdt

δ ε ε= − = − �

-----------------------------------------------------------------------------------------------

OBS: Neste caso, considerando o deslocamento apenas lateral da trajetória, teremos que considerar também os dois trechos extremos da trajetória em rela-ção à translação vertical no tempo, pois estamos levando em conta um trecho extra inferior e suprimindo um trecho extra superior:

-----------------------------------------------------------------------------------------------

A primeira coisa que sabemos desta trajetória deslocada no tempo é que

ela continua sendo solução das equações do movimento, pois assumimos a existência de uma simetria em relação à translação no tempo, significando isto que a translação não muda o Lagrangeano. Portanto a “Ação” da nova trajetó-ria tem de ser igual à da anterior.



�0

0

0 (Simetria)

A=

Mas 0

|

|

B

A

B

B

A

B

A

A

t

i ii i it

t

ii ii i i

t

i i ii i

t

t

t

t

A

q q dt B Aq q

dA dt q B A

q dt q q

q q q B Aq

δ

δ δ δ

δ δ

δ ε ε

=

=

⌠⌡

⌠⌡

=

∂ ∂+ + − ∂ ∂

∂ ∂ ∂= − + + − ∂ ∂ ∂

∂= − ∴ − + − =

∂

∑

∑ ∑

∑

��

� ��

� ��

L L

L L L

L

, mas como

é um infinitésimo: B= ( )

B

B

t

t

B

B dt

t

ε ε

ε

+⇒ = ∫ L

L



Ou seja: Obtivemos assim uma nova lei de conservação:

0 (trocando o sinal)iii

dq

dt q

∂− =

∂ ∑ �

�

LL

Esta lei é consequência da invariância em relação à translação no tempo.

A quantidade conservada é chamada de “HAMILTONIANO”.

, mas como

é um infinitésimo: A= ( )

A

A

t

t

A

A dt

t

ε ε

ε

+⇒ = ∫ L

L

( ) ( ) 0| B

B A

A

iii

q t tq

t

tε ∂∴ − + − =

∂ ∑ �

�

LL L

( ) ( )

constante!

| |B A

B A

i ii ii i

ii i

t tq t q t

q q

qq

∂ ∂− + = − +

∂ ∂

∂∴ − =

∂

∑ ∑

∑

� ��

��

L LL L

LL

(ENERGIA DO SISTEMA)iii

q Hq

∂− =

∂∑ ��

LL



Vejamos um exemplo desta lei para o caso do movimento de uma partí-cula:

Este é um resultado geral. Na verdade esta é a definição de “ENERGIA”

em Mecânica. Portanto energia é “a quantidade conservada como consequên-cia da invariância em relação à translação no tempo”.

Vamos ver agora a Mecânica segundo a forma Hamiltoniana, que consti-tui a “conexão central” com a “Mecânica Quântica”.

Mas vamos primeiramente ver alguns exemplos da utilidade prática des-te conceito.

Hoje em dia, com a Teoria do Campo Quantizado, as coisas que são re-almente medidas em um experimento estão mais relacionadas ao Lagrangeano do que às equações do movimento. Por exemplo, a seção reta da colisão entre partículas atômicas, resultando na emissão de fótons etc., está “diretamente” ligada ao “Lagrangeano”. Assim a amplitude de probabilidade nas colisões de partículas, apesar de não pertencer à Mecânica Clássica, são governadas pelo mesmo Lagrangeano no limite entre as duas Físicas (Clássica e Quântica).

Na Física Clássica, as primeiras coisas a terem sido descobertas foram as equações do movimento. Assim Maxwell formulou as equações das ondas eletromagnéticas, etc. Mais tarde, no começo do Século XX, descobriu-se que essas equações podiam ser formuladas pelo “Princípio da Mínima Ação” e que a expressão da “Ação” era muito mais simples do que as próprias equações do movimento. Então, de um ponto de vista prático, é sempre mais fácil calcular o Lagrangeano e, depois, deduzir as equações do movimento, do que tentar esta-belecer diretamente estas equações!

2

2

2 2 2

2

1( )

2

1( )

21

( )2

m x U x

m x x m x

H m x m x m x U x

H m x U x

= −

Π = → Π =

= − = − +

∴ = +

�

� � �

� � �

�

L

L



---------------------------------------------------------------------------------------------- OBS: Como já foi dito, se o Lagrangeano depender “explicitamente” do tem-po, então não teremos a conservação da energia, porque uma translação no tempo não conservará o Lagrangeano, quebrando a simetria em relação ao tempo. ----------------------------------------------------------------------------------------------



MECÂNICA CLÁSSICA

AULA No 5

Aplicações do Lagrangeano – Trajetória no Espaço de Fases

para o Pêndulo Harmônico

Vamos ver três exemplos, para mostrar a maior facilidade da aplicação

do Lagrangeano, quando comparado ao cálculo das equações do movimento

através das equações de Newton ( )F m a=� �

, pois é muito mais simples calcu-

lar velocidades do que acelerações. 1-Pêndulo simples:

Vamos considerar a haste rígida e sem peso. A nossa coordenada generalizada para este

sistema será o ângulo θ .

( ) ( )

( )2 2 2 2 2 2 2

sen , cos cos , sen

1 1 1cos sen

2 2 2

dV r r r r

dt

T mV m r m r

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

= = −

= = + =

� �

� �

2 2

usando ( ) 0 para 90 ( ) cos

1cos

2

oU x U x m g r

T U m r m g r

θ θ

θ θ

= = → = −

= − = +�L



2 2

2 2

2 2

aplicando as equações de Euler-Lagrange, , teremos:

sen

sen

1cos

2

1cos

2

i ii

d

q dt q

dm r m r m g r

dt

r g

H q m r m g r

H m r m g r H T U

θ

θ

θ θ θθ

θ θ

θ θ θ

θ θ

∂ ∂= ∂ ∂

∂= Π = ⇒ = −

∂

∴ = −

= Π − = Π − −

= − ⇒ = +

∑

�

� ��

��

� ��

�

L L

L

L

2-Pêndulo duplo:

Nossas duas coordenadas generali-

zadas, que determinam completamente o estado do sistema, serão e θ ϕ .

2 ( cos cos , )V r r r sen r senθ θ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ= + − −� ��

( )2

2 22 2 cos cos sen sen

2

m rT θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ = + + +

� ��

( )( )

22 2 2 2

2

2 2 2 2

cos 2 cos cos cos2

sen 2 sen sen sen

m rT θ θ θ ϕ θ ϕ ϕ ϕ

θ θ θ ϕ θ ϕ ϕ ϕ

= + + +

+ + +

� � � �

� � � �

2 21

1

2T m r θ= �



É interessante notar a presença do termo “ ( )cos θ ϕ− ” na expressão da

energia cinética que compõe o Lagrangeano do sistema. Este termo significa que, na ausência de gravidade, este sistema apresentaria simetria em relação a uma rotação, pois isso não mudaria o Lagrangeano, que não teria assim o ter-mo dependente da energia potencial (função de e θ ϕ ) e que só dependeria da diferença ente e θ ϕ .

A energia potencial do sistema é dada por:

( )cos cos cosU m g r m g rθ θ ϕ= − − +.

Então o Lagrangeano do sistema é dado por:

( ) ( )2

2 22 2 cos 2cos cos2

mrm g rθ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ = + + − + +

� �� L

Observando o Lagrangeano, vemos que, se estivermos num ponto onde a gravidade seja desprezível, o termo da energia potencial desaparece e o La-grangeano não se modifica com a rotação do sistema e, portanto, ocorre a con-servação do momento angular, fato que não sucede sob a influência do campo gravitacional.

Assim, se tivermos:

( ) ( ( ) 1)i i i iq q f q f q

θ θ εε

ϕ ϕ ε→ +

⇒ → + ∴ =→ +

então o Lagrangeano não mudaria de valor. Neste caso, a “Carga de Noether” (a quantia conservada) seria:

�1

( )i ii

f q θ ϕ=

Π = Π + Π∑.

( )2

2 22 2 cos

2

m rT θ ϕ θ ϕ θ ϕ = + + −

� ��



Podemos ser levados a pensar que θΠ dependa somente de θ e que ϕΠ

dependa somente de ϕ , mas o problema é mais complexo:

( )

( )

2 2

2 2

2 cos

cos

m r m r

m r m r

θ

ϕ

θ ϕ θ ϕθ

ϕ θ θ ϕϕ

∂Π = = + −

∂∂

Π = = + −∂

� ��

��

L

L

Vemos então que θΠ depende também de , e θ ϕ ϕ� , enquanto

depende de , , e ϕ ϕ ϕ θ θΠ �� . A quantia que se conserva será:

( ) ( )( )2 2 cosmrθ ϕ θ φ θ φ θ φ+ +Π + −+ Π = � � � � .

Voltando ao problema proposto (desconsiderando “g”), as equações do movimento serão:

1) Para a coordenada θ :

( )( )( )( )

2 2

22 2

22 (s

2 cos

in( 2

2 2 cos2

) ( )) 0

d dm r m r

dt dt

mr c s

r

o

m

θ ϕ θ ϕθ θ

θ ϕ θ ϕ θ ϕθ

θ φ φ ϕ ϕθ θ

∂ ∂ = ⇒ + − = ∂ ∂

∂+ + −

∂

−⇒ + − =+

� ��

� ��

� ��

L L

2) Para a coordenada φ :

( )

( )( )

2 2

22 2

2 2( ( ) ( ) )

( cos )

2 2 cos2

) 0

d dm r m r

dt dt

m r

mr sin cos

ϕ θ θ ϕϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ θ ϕϕ

θ φ θ θ φ θ φ

∂ ∂= ⇒ + − = ∂ ∂

∂+ + −

∂

⇒ − − − +

+

��

� ��

� ��

L L

=



Apesar de trabalhoso, trata-se de um método mecânico e bem mais sim-

ples do que a aplicação das leis de Newton ( )F m a=� �

.

O próximo exemplo representa o problema mais básico de toda a teoria da Física, o qual aparece a todo o momento e em todos os lugares:

3- “Oscilador Harmônico”.

Se nós olharmos o pêndulo simples, veremos que o gráfico de sua energia poten-cial é dado por um traço semelhante à forma da figura ao lado, obedecendo a uma lei do tipo cosU m g r θ= − , onde se nota o ponto de mínimo para 0θ = , no qual a função pode ser aproximada por uma parábola (aproximação de segunda ordem):

Fazendo-se esta aproximação e ignoran-

do o termo constante (que não afeta o Lagran-geano), nós teremos:

. Assim o oscilador harmônico é definido

por uma função potencial que é proporcional ao quadrado da amplitude do deslocamento da posição de equilíbrio. Trata-se da mais simples e exata aproximação para potenciais que apre-

2 221

2 2

m Rm g r

θ θ= −�

L

211 "Taylor"

2U m g r θ = − − →



sentam um tipo de mínimo parecido com o de uma parábola (esta é a razão pela qual este modelo aparece tanto!).

Um exemplo básico de oscilador harmônico é o sistema MASSA x MOLA:

A força exercida pela mola é

proporcional ao deslocamento da mola: F k x= (Força de restauração – Lei de Hooke).

A energia potencial é dada por U F dx= −∫ . Uma vez que, neste caso, a

força de restauração aponta no sentido “contrário” ao deslocamento “x”, tere-mos:

22 21 1

2 2 2

K xU K x dx U m x K x= ⇒ = ∴ = −∫ �L

OBS: O oscilador harmônico é um modelo muito bom para pequenas os-

cilações, onde a aproximação quadrática para a energia é eficiente. Porém per-de a sua validade, quando as oscilações são de grande amplitude, seja qual for o campo de aplicação.

As equações do movimento do pêndulo são dadas por:

( )

2 2 2 21 1 1 1

2 2 2 2m x k x m x k x

d d

dt x x dt x x

d km x k x x x

dt m

∂ − ∂ − ∂ ∂ = ⇒ = ∂ ∂ ∂ ∂

⇒ = − ∴ =

� �

� �

� ��

L L



A solução para esta equação pode ser uma função “cosseno” ou uma função “seno”:

( ) ( ) ( ) ( )2

22

cos( ) sen cos( ) cosd d k

wt w wt wt w wt wdt mdt

= − ⇒ = − ∴ =

Este mesmo resultado é obtido com a função “seno”. Portanto qualquer combinação linear de “ ( )cos wt ” e de “ ( )sen w t ” será uma solução para o

oscilador harmônico: ( ) ( )cos senx a wt b wt= + .

Vemos que há dois coeficientes livres na solução geral. Isto tem de acon-tecer, porque trata-se de uma equação de segunda ordem, na qual a posição e a velocidade iniciais ( ),q q� devem ser determinadas.

Outra forma de escrever a solução geral é:

2 22

2 2

2 2

2 2

x

i i

p m xx

m x k xH q

m x k xH

∂Π = = =

∂

= Π − − +

∴ = +

∑

��

��

�

L

L = mx

A partir deste ponto, vamos começar a ver a formulação “Hamiltoniana”

da Mecânica. Até agora, lidamos com as equações de Lagrange. Vamos passar a estu-

dar as equações de Hamilton.



A formulação Hamiltoniana não trabalha com ' e 'q s q s� , mas sim com ' e 'q s sΠ , ou seja, com as coordenadas e seus respectivos momentos canôni-

cos. A razão pela qual fazemos isto está na aplicação das equações de Hamil-

ton à Mecânica Quântica. Vamos expressar o Hamiltoniano em termos de ' e 'q s sΠ :

22

2 2

k xp px H

m m= ⇒ = +�

Esta equação apresenta uma nova simetria em relação à anterior, pois, além dos termos quadráticos, ambas são as próprias funções, enquanto, antes, uma delas ( x� ) era constituída de uma função derivada!

Vamos explorar esta simetria. Façamos um diagrama que represente “ x ” e “ p ” (ESPAÇO DE

FASES): Um ponto de partida para o movi-

mento é constituído por um valor de “ x ” e um valor de “ p ”.

Assim uma posição e um momento correspondem a um ponto de início do movimento. A partir deste ponto, o sis-tema irá descrever uma trajetória no es-paço de fases.

Sabemos que a energia é conservada:

22

2 2

K xpE

m+ =

Trata-se da equação de uma elipse.



Se mudarmos a energia, teremos elipses de diferentes tamanhos, mas com a mesma forma.

Os pontos de intersecção em “ x ” são dados por: E

xK

= ±

Os pontos de intersecção em “p” são dados por: 2p m E= ±

Portanto, onde quer que comecemos, o sistema irá descrever a trajetória de uma elipse, mantendo-se sempre nela.

O tempo para se completar uma volta na elipse depende da frequência do oscilador harmônico. Quanto maior “ω ” (� = 2�� → frequência angular), menor o período para se completar uma volta.

Esse período independe do ponto inicial do movimento, portanto inde-pende da energia. Este movimento rotativo nos diz, segundo as suas projeções, que x e p também oscilam, de modo que, quando x é máximo, p é mínimo e, quando p é máximo, x é mínimo.

Nem todos os sistemas se movem em trajetórias elípticas, mas todos os sistemas se movem segundo linhas de energia constante.

Uma propriedade importante do “Espaço de Fases” é que, dada uma “determinada área”, dentro da qual o movimento se inicia, esta área será “pre-servada” ao longo do movimento do sistema. Nós voltaremos a este assunto mais adiante.



MECÂNICA CLÁSSICA

AULA No 6

Equações de Hamilton – Transformação de Legendre –

Colchetes de Poisson – Conservação da Energia

Como já vimos na primeira aula, se um sistema discreto estiver sujeito a uma lei física admissível, então é possível, a partir de uma dada configuração, determinar precisamente quais as configurações que o sistema irá assumir no futuro e quais aquelas que ele assumiu no passado.

Assim, por exemplo, vimos alguns tipos de leis físicas admissíveis para sistemas discretos simples, utilizando pontos que representam uma determina-da configuração ou estado do sistema, distribuídos no plano (gráfico que cha-mamos de “espaço de fases”) e conectados por setas, que representam as leis às quais o sistema está submetido.

Nestes três exemplos, vemos que há uma “lei de conservação”, represen-

tada em cada um dos ciclos fechados, onde cada lei poderia ser denominada por algum número, o qual corresponderia à quantidade conservada:

Vimos também alguns exemplos de leis “não” admissíveis:

Esta lei define bem o estado futuro do

sistema, mas falha em relação à determinação do seu passado.



Podemos ver o conceito de lei admissível, imaginando que os pontos no “espaço de fases” movem-se na direção das setas, de modo que neste movi-mento, caso as setas representem uma lei admissível, “não surge” nem “desa-parece” nenhum ponto novo no sistema.

Isto seria como a realização de um movimento não compressível, pois nenhum ponto se fundiria com nenhum outro (não desapareceria).

Segundo este ponto de vista, no exemplo da lei não admissível dado acima, teríamos o desaparecimento do ponto “1”, pois o sistema, partindo dele, ficaria fechado no ciclo que liga os pontos “2” e “3”, sem jamais voltar ao ponto “1”.

Vemos, assim, que há uma “rigidez” no movimento dos pontos no “es-paço de fase”, no caso de leis admissíveis, de modo que nenhum ponto “some” ou “aparece”. Poderíamos chamar isto de “Conservação da Informação”.

“Espaço de Fases” é um meio de representar as configurações (estados) de um sistema de uma forma na qual ficam totalmente estabelecida as configu-rações passadas e futuras do sistema, tal como no movimento que acabamos de exemplificar.

O formalismo Hamiltoniano para a Mecânica, apesar de elegante e su-cinto, não foi considerado de valor em sua época, tendo sido reconhecido após o surgimento da “Mecânica Quântica”, quando então se percebeu a sua impor-tância.

-----------------------------------------------------------------------------------------

OBS: Sempre é possível reverter uma equação diferencial de segunda ordem em duas equações diferenciais de primeira ordem:

2

2;

d x dx dpF m m p F

dt dtdt= ⇒ = =

Assim, para um determinado sistema, te-

remos um par ( ),i iq p para cada coordenada

(ou “grau de liberdade”) do sistema.

-------------------------------------------------------------------------------------------



As equações de Hamilton descrevem o movimento de um sistema em seu “espaço de fases”, no qual elas definem uma lei para o “fluxo” dos pontos.

Matemática para o formalismo Hamiltoniano: Suponhamos duas variáveis

não independentes “z” e “w”, de modo que elas estejam ligadas por uma relação “biunívoca” (dado “z”, determina-se “w” e vice-versa):

Nestas condições, podemos criar duas funções, chamando a primeira de

( )wL , tal que ( )d w

zdw

=L

; e a segunda de ( )H z , tal que ( )d H z

wdz

=

Trata-se de uma relação

completamente simétrica entre “��” e entre “ℒe�”.

( ) ( )0

ww z w dw= ∫L

( ) ( )0

zz w z dz= ∫H

Exemplo de função “não” biunívoca



( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

("Transformação de Legendre")H z w z w H z z w w

dH z w z z w w

dw

dw z

dw

H z w z z w z w w z

δ δ δ δ

δ δ δ δ δ

+ = ⇒ = −

= + −

→ =

⇒ = + − =

L L

L

LL

( ) ( )Mas:

dH zdHH z z w

dz dzδ δ= ∴ =

Nas equações de Lagrange, o Lagrangeano é função de i iq e q� . Porém,

no formalismo Hamiltoniano, o Lagrangeano passa a depender de e i iq p .

Vamos ver como isto acontece: ( )

( )

,

Porém, chamando de ( "velocidade generalizada") temos:

,

i i

i i i

i i

q q

q V V

q V

=

→

=

�

�

L L

L L

Como i

i i

pq V

∂ ∂= =

∂ ∂�

L L, podemos fazer, de maneira análoga ao caso ante-

rior, a construção de uma função “H”, dada por:

“HAMILTONIANO”i ii

H p V= − →∑ L

i i i i i ii i i

i i i iii i

H V p p V q Vq V

p H V p qV q

δ δ δ δ δ

δ δ δ

∂ ∂= + − − ∂ ∂

∂ ∂= ⇒ = − ∂ ∂

∑

∑

L L

L L



Mas

"EQUAÇÕES DE HAMILTON"

i

i

i i

i i

i i

i i

i

i i

i ii

i i

i

i

i

i

HV

pH HH p q

Hp q

q q

HV q

pd dp p

Hdt q q dtp

q q

Hq

p

Hp

q

δ δ δ

∂ =∂∂ ∂ = + ⇒ ∂ ∂∂ ∂ = −∂ ∂

∂ = =∂ ∂ ∂ = = = ⇒ ∂ ∂∂ ∂ = − = −∂ ∂

∂ =∂∴ ∂ = −∂

�

��

�

�

�

L

L LL

Vejamos as equações de Hamilton aplicadas ao caso do movimento de

uma partícula simples:



( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

22

2 2 2 2

1

2 2

2 2 2

;

i ii

m x p

H p V

pL T V m x U x U x

m

p p p pH p x U x U x H U x

m m m m

U xH p Hx p

p m x x

=

= −

= − = − = −

= − + = − + ⇒ = +

−∂∂ −∂= = = =

∂ ∂ ∂

∑�

�

�

� �

L

( )Energia

Calculemos agora ddH

dt dt=

0 (Conservação da Energia)

i ii i i i i ii i

dH H H dH H H H Hp q

dt p q dt p q q p

dH

dt

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + ⇒ = − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∴ =

∑ ∑� �

No espaço de fases, a conservação da energia é representada por movi-

mentos ao longo de uma mesma linha, correspondente a uma determinada energia. E esta linha pode ser uma curva fechada, como já vimos no caso do oscilador harmônico.

p

q q

p



Vejamos a forma geral da conservação da energia. Vamos deixar de la-do, por agora, a conservação em termos de simetria segundo o Lagrangeano, concentrando-nos na lei de conservação segundo o formalismo Hamiltoniano.

Vamos supor que uma quantia seja função, “�(�, �)”, da posição e mo-mento em cada ponto no espaço de fases.

Vamos introduzir agora uma nova “notação”, que é chamada de “Colchetes de Poisson”:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ){ } ( )

(Omitindo o sinal de Somatório!):

, , ,

, , ,

, , ,

Generalizando esta forma de equação:

,, , ,

i ii i

i i i i

i i i i

dA q p A q p A q pp q

dt p q

dA q p A q p A q pH H

dt p q q p

dA q p A q p A q pH H

dt q p p q

A q pA q p B q p

∂ ∂= +

∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂⇒ = − + ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂∴ = −

∂ ∂ ∂ ∂

∂=

� �

( ) ( ) ( ), , ,

"PRODUTO DE POISSON"

i i i i

B q p A q p B q p

q p p q

∂ ∂ ∂−

∂ ∂ ∂ ∂��

{ }COLCHETES DE POISSON

Assim teremos:

,i i i i

dA A H A HA H

dt q p p q

∂ ∂ ∂ ∂= = −

∂ ∂ ∂ ∂��



Vamos verificar esta forma em alguns exemplos:

{ }

{ }

,

,

q H q H Hq q H q

q p p q p

p H p H Hp p H p

q p p q q

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = − ⇒ =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= = − ⇒ = −∂ ∂ ∂ ∂ ∂

� �

� �

Vemos assim que as duas equações de Hamilton são apenas consequên-

cia, como que um caso especial, de uma lei muito mais geral, segundo a qual a derivada, em relação ao tempo, de qualquer quantia é o produto de Poisson dessa quantia pelo Hamiltoniano.

Esta é a nova visão trazida pelas equações de Hamilton, com a geração de derivadas no tempo através da aplicação do Produto de Poisson entre uma função e o Hamiltoniano do sistema.

Se o Hamiltoniano depende explicitamente do tempo: ( ),U U x t= , ou

seja, se a partícula, “mesmo sem se mover”, tem sua energia potencial variada ao longo do tempo, então:

( ), ,i i i ii i

dH H H HH H q p t q p

dt q p t

∂ ∂ ∂= ∴ = + + ∂ ∂ ∂

∑ � �

Teremos assim um termo extra, H

t

∂∂

, que não deixa o produto de Pois-

son se anular.



q

p

MECÂNICA CLÁSSICA

AULA No 7

Teorema de Liouville – Fluxo no Espaço de Fases – Sistemas Caóticos

Lagrangeano com Potencial Vetor

Voltando mais uma vez ao assunto das leis admissíveis na Física, acres-centamos que, nos gráficos representativos deste tipo de lei, para sistemas dis-cretos, não pode haver “convergência” nem “divergência” de setas em qual-quer ponto do espaço de fases, a fim de que a lei seja admissível (conservação da informação).

O fluxo no espaço de fases é “incompressível”, no entanto é “deformá-

vel”, no sentido de que, se considerarmos um conjunto de pontos em um de-terminado volume do espaço de fase, o movimento deste conjunto ao longo do tempo poderá alterar a forma do volume inicial, mas não o volume inicial em si mesmo.

VOLUME = CONSTANTE OBS: O que pode mudar é a dis-

tância entre os pontos, mas não o volu-me.

CONVERGÊNCIA (Sorvedouro)

DIVERGÊNCIA (Fonte)



p

q

Esta propriedade significa que o espaço de fases mantém a “conectivida-de” durante o movimento do sistema.

Vamos estudar o fluxo de um sistema no espaço de fases, segundo o formalismo Hamiltoniano.

O fluxo como um todo é determinado por uma única função de todos os “�′�” e “�′�”. Conhecendo-se esta função, é possível se determinar o fluxo no espaço de fases, de modo que, dada uma configuração inicial, pode-se prever qual a configuração futura e passada do sistema (“fluxo incompressível” ⇔“conservação da informação!”).

;i ii i

H Hp q

q p

∂ ∂= − =

∂ ∂� �

Vamos verificar o que significa um “fluxo incompressível”, começando por um caso “unidimensional”:

Neste caso, somente um deslocamento uniforme de todos os pontos pre-servaria a densidade linear dos pontos.

Podemos ver esta questão de dois modos: 1) Acompanhando o movimento de um determinado “volume”, fixo ao

longo do fluxo. 2) Fixando-nos em um determinado “volume” do espaço de fases e ob-

servando o fluxo de pontos através deste “volume”, num determina-do intervalo de tempo.

Neste segundo caso, observaríamos pontos entrando e saindo do volume fixado. No caso de fluxos incompressíveis, isto significa dizer que o número de pontos que entram neste volume, num determinado intervalo de tempo, é igual ao número de pontos que saem dele.



A condição para que isso aconteça, neste caso unidimensional, uma vez que a razão de variação do número de pontos dentro do “volume” de controle é “proporcional” (a menos do fator de densidade) à diferença 1 2V V− , é que

0V

x

∂=

∂.

Vamos passar agora para o caso

bidimensional: “Taxa de aumento” de pontos no

interior do volume, em relação ao flu-

xo na direção “x”: ( )x xA CV V y− ∆ (a

menos do fator densidade).

"taxa de aumento"x x

x xA C

V VV V x x y

x x

∂ ∂− = − ∆ ⇒ = − ∆ ∆

∂ ∂

“Taxa de aumento” de pontos no volume, em relação ao fluxo na direção

“y”: ( )y yA BV V x− ∆

"taxa de aumento"y y

y yA B

V VV V y x y

y y

∂ ∂− = − ∆ ⇒ = − ∆ ∆

∂ ∂

Então a taxa de aumento total de pontos no interior volume de controle

será dada (a menos do fator densidade) por:



DIVERGÊNCIA DE

(N Número de pontos no volume)

Para o fluxo incompressível:

0 0 . 0 (Divergente de )

yx

yx

V

VVdNx y

dt x y

VVdNV V

dt x y

∂ ∂= − − ∆ ∆ → ∂ ∂

∂∂= ⇒ + = ∇ =

∂ ∂�

� �

��

No caso do Espaço de Fases, as coordenadas são dadas pelos 's e 'sq p .

Assim devemos identificar os eixos com cada e q p . Em analogia com o exemplo visto, podemos chamar e i iq p� � de:

(Velocidade de )

(Velocidade de )

i

i

i p ii

i q ii

Hp V p

q

Hq V q

p

∂= − =

∂

∂= =

∂

�

�

Então (suprimindo os símbolos de somatória), a divergência do fluxo se-

rá dada por:

0i iq p

i i i i i i i i i i

V V H H H H

q p q p p q q p p q

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = + − = − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Como a ordem de derivação não importa, a divergência para cada par

( ),i iq p se cancela.

Vemos então que a divergência do fluxo no Espaço de Fases, segundo as equações de Hamilton, é nula. Portanto o fluxo é incompressível! Este é o fato mais importante na Mecânica Hamiltoniana.



Vejamos novamente o caso físico mais simples, observando o movimen-to de uma partícula movendo-se em apenas uma dimensão.

2(massa =1)

2 xx

p x= =�

�L

Se representarmos o mesmo sistema por uma nova variável y xα= : 2

2

1; ;

2x

y y x

py y y xx p p p

α α α α αα= ⇒ = = = = =� � � �� L

Vemos então que, se “esticarmos” o eixo x xα→ , nós “encolhemos” o

eixo xx

pp

α→ .

Torna-se claro que a “área” fica preservada, o que significa a “preserva-ção do volume” em duas dimensões.

---------------------------------------------------------------------------------------------

OBS: No caso da Mecânica Quântica, como veremos em outro curso, a “mí-nima área” definível no espaço de fases é dada pela constante de Plank: “ ”.

---------------------------------------------------------------------------------------------

A afirmação de que o fluxo no espaço de fases é incompressível corres-ponde ao chamado “Teorema de Lioville”.

A respeito do comportamento do fluxo, podemos ver agora o significado de “CAOS”. Assim como os sistemas “não caóticos”, os sistemas “caóticos” mantêm a incompressibilidade do fluxo (conservação do volume). O que de fato é caótico é a “dispersão” do volume.

Não temos precisão para distinguir pontos, mas apenas pequenas esferas. Portanto não importa quão precisa e pequena seja a definição da esfera, o sis-tema caótico acabará por levar pontos situados na mesma esfera a posições situadas fora daquela esfera original e da esfera um do outro.



Em sistemas caóticos, o inter-valo de tempo pelo qual uma região do espaço de fases permanece numa área particular é uma função da área em si.

A probabilidade de encontrar uma partícula numa região do espaço de fases depende somente da área da região. Como um conceito útil na Mecânica Estatística, a probabilidade de uma partícula estar em uma ou outra área é proporcional à razão entre as duas áreas.

Em Mecânica Quântica, o “caos” está associado ao “Princípio da Incer-teza”.

Vamos estudar agora o movimento de uma partícula carregada em um

campo eletromagnético. A novidade neste caso é a existência de uma força dependente da velocidade da partícula. Até agora, as forças que estudamos dependiam da posição, e não do movimento. Outro exemplo de força depen-dente da velocidade é a força de atrito. Há, porém, uma diferença fundamental entre as duas forças. As forças dependentes da velocidade num campo eletro-magnético podem ser derivadas do “Princípio da Mínima Ação”, possuindo um Lagrangeano e um Hamiltoniano (conservação da energia), enquanto as forças de atrito não podem.

Por simplicidade, consideremos apenas um campo magnético:

( ), ,

y z z yx

z x x zy

x y y zz

F qV B x y z

V B V B V B

V B V B V B

V B V B V B

= ×

× = −

× = −

× = −

� � �

� �

� �

� �



Precisamos agora do conceito de “Potencial Vetor”, que é um meio sim-ples para descrever os campos magnéticos. A definição do “Potencial Vetor” é dada por:

A "Potencial Vetor"B A= ∇ × →� ��

OBS: A divergência do rotacional de um campo vetorial é nula!

( ) ( ) ( )( )

; ;y yx xz z

x y z

yx z zz x y

A AA AA AA A A

y z z x x y

F qV B qV A

AA A AF q V V

z x y z

∂ ∂∂ ∂∂ ∂∇ × = − ∇× = − ∇ × = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= × = × ∇ ×

∂ ∂ ∂ ∂ = − − − ∂ ∂ ∂ ∂

� � �

��

F m a=� �

, de modo que a força irá depender da posição ( A�

) e da veloci-

dade (V�

). Vamos propor uma quantidade para a “Ação” neste caso, a fim de verifi-

car depois se ela funciona de fato. Em primeiro lugar, é lógico esperarmos que, para uma partícula com

carga nula, a “Ação” seja idêntica àquela já conhecida: 2

2

mVA dt dt

⌠⌡

= =∫L

A este termo devemos acrescentar, no caso de uma partícula carregada, um novo termo:

2

2

mVA dt q A dr

⌠⌡

= + ⋅∫� �

��

Termo “aná-logo” ao trabalho



Para acertar as formas da “Ação”:

22

2

, ou 2 2

2

ii i

i

ii i

i

m xmV drA q A dt A q x A dt

dt

m xq x A

⌠⌠

⌡ ⌡

= + ⋅ = +

∴ = +

∑

∑

��

��L

Vamos agora provar que as equações de Lagrange resultam na mesma forma da expressão para a força magnética, dada por:

i i

F qV B

d L L

dt q q

= ×∂ ∂

=∂ ∂

� � �

�

Análogo para as componentes ez z

x yzz

yxz zz

p m z q A

p pdpm z q A

dt

AAdp Am z q A q x y z

dt z z z z

= +

= +

∂ ∂ ∂∂= + = = + + ∂ ∂ ∂ ∂

�

��

� � �� L

Assumimos que o campo magnético não varia com o tempo, mas isso

não significa que o termo zA� seja nulo, pois a partícula se movimenta no

campo ( ( )z z t= ).

yxz z z zAAA A A A

m z q x y z q x y zx y z z z z

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ + + + = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

� � � ��

Então, igualando os termos e desenvolvendo a expressão:



( ) ( )

yx z z

y x z

AA A Am z q x q y

z x z y

m z q B x B y q V B

∂ ∂ ∂ ∂ = − + − ∂ ∂ ∂ ∂

= − = ×

� ��

� ��

Verifica-se assim que existe um Lagrangeano para uma partícula em

movimento num campo magnético. Para determinar o Lagrangeano, é necessá-rio conhecer o Potencial Vetor do campo.

Este é um exemplo de força dependente da velocidade. Neste caso, po-rém, a força é perpendicular à velocidade, enquanto, no caso da força de atrito, a força é paralela à velocidade. Esta é a grande diferença entre elas. A atuação da força magnética, na direção perpendicular à velocidade, muda apenas a direção da velocidade, e não a sua amplitude. Daí a conservação da energia neste tipo de movimento.

Vamos verificar a conservação da energia, assumindo que o Potencial Vetor não varia no tempo:

; analogamente para as componentes e x x y zp m x q A p px

∂= = +

∂�

�

L

( )

( )

22

2

2

2

x y z

x xx

x

H p x p y p z

m xH m x q A x q x A

m xH

= + + −

= + − −

∴ =

� � �

��

�

L

Obtemos assim a mesma expressão da energia cinética para uma partícu-la sem carga. Este resultado se deve ao fato de que a força magnética não rea-liza trabalho!

Para resolver o problema em termos da formalística Hamiltoniana, de-vemos expressar o Hamiltoniano em termos de “�” e “�”:



( )( )

( )

( ) ( ) ( )

221

2 2x x x x

x

x y z

p q A p q Ax H m x

m m

H H H H

− −= ⇒ = =

= + +

� �

A partir deste resultado e aplicando as equações de Hamilton, podemos

deduzir da mesma forma a equação: F qV B= ×� � �

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2

2 2

1 12 2

2 2

12

2

12 2 2

2

2 2 2

1

x x x x y y y y

z z z z

yx xx x y

y z zy z z

yx zx x y y z z

H p q p A q A p q p A q Am m

p q p A q Am

AA AHq p q A q p

x m x x x

A A Aq A q p q A

x x x

AA AH qp q A p q A p q A

x m x x x

xx m

= − + + − + +

− +

∂ ∂ ∂∂− = − − + − +∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂− + ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂− = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂

∂= =

∂�

�

L ( )

( )

analogamente para e

1 1ou: , analogamente para e

x x

xx x

x

yx z

p q A y z

p Hx H p q A y z

m m p m

AA AHq x y z

x x x x

− →

∂ = = = − → ∂

∂ ∂ ∂∂∴ − = + + ∂ ∂ ∂ ∂

�

� � �

( )Mas: x x xx x

A A AH dp m x q A m x q x y z

x dt x x x

∂ ∂ ∂∂ − = = + = + + + ∂ ∂ ∂ ∂

� � ��

yx x x xzAA A A AA

q x y z m x q x y zx x x x x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ⇒ + + = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

� � ��



( )

y x xz

z yx

A A AAm x q y z

x y x z

m x q y B z B qV B

∂ ∂ ∂∂ ∴ = − + − ∂ ∂ ∂ ∂

⇒ = + = ×

��

� ��



MECÂNICA CLÁSSICA

AULA No 8

Invariância de Calibre – Partícula em um Campo Eletromagnético

Colchetes de Poisson

Vamos ver novamente, agora com mais detalhes, o movimento de uma partícula carregada em um campo eletromagnético, o qual, para maior simpli-cidade de nosso estudo, suporemos independente do tempo, embora possa de-pender da posição no espaço.

Até agora, vimos várias formulações da Mecânica (equações do movimento):

1- F m a= →� �

Newton. 2- Princípio da Mínima Ação. 3- Equações de Euler-Lagrange. 4- Formulação Hamiltoniana (forma mais relacionada com a Mecânica

Quântica). Em nosso estudo, iremos considerar o movimento de uma partícula no

plano (o plano desta página), com o campo magnético perpendicular a este plano e apontando para dentro da página, enquanto o campo elétrico estará numa direção paralela ao plano da página.

A equação geral para uma partícula em movimento não relativístico (ou

seja, movendo-se com uma velocidade muito menor que a da luz) é F m a=� �

, que, no nosso caso, será dada pela expressão:

( Força de Lorentz)F ma q E qv B qv B= = + × × →� � � ��

Uma vez que a força magnética atua na direção perpendicular ao movi-mento da partícula ( v B×

��) e o campo elétrico é na direção do plano, o movi-

mento de nossa partícula ficará sempre contido no plano. Vamos necessitar aqui, novamente, do conceito de “Vetor Potencial” ( A

�

), para definirmos o campo magnético: B A= ∇ ×��



Qualquer vetor que seja o rotacional de algum campo tem “divergência” nula: 0B∇ ⋅ =

�

Qualquer campo que tenha “divergência” nula pode ser sempre expresso como o rotacional de algum campo vetorial, mas não de uma única forma!

O campo elétrico é um campo “conservativo”, portanto é gerado a partir de “funções potenciais”:

ii

UF U F

x

∂= −∇ ⇒ = −

∂

�

Para o campo elétrico: e (V Potencial Elétrico)E V U qV= −∇ = →�

. Para estabelecer o “Princípio da Mínima Ação” no caso do movimento

da partícula carregada em um campo eletromagnético, é necessário usar o “Po-tencial Vetor”!

( ) ( )2 21, ( )

2 i i i iA m x y qV x y dt q A dx A ds A dx⌠⌡

= + − + ⋅ = ∑∫

� ��

Se reescrevermos a Ação em outra ordem, podemos observar algumas simetrias:

( ) ( )2 2

2 i i

mA x y dt q A dx Vdt

⌠⌡

= + + −∫� �

Para cada direção no “espaço”, temos o produto i iA dx e, para a componente no

“tempo”, temos o produto “V dt ”. Neste caso, podemos considerar esta equação representada num gráfico “espaço x tem-po”:

Então “V” assume o papel da terceira componente no “espaço-tempo” neste caso (plano), correspondendo à quarta dimensão (tempo) no caso geral (espaço), conforme representado na figura à esquerda.



Para uniformizar os termos na equação da “Ação”, vamos expressá-la da seguinte forma:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2

2

2

i i

mA x y dt q A x V dt

mA x y dt q A v V dt

mx y q A v V

⌠⌡

⌠⌡

= + + −

⇒ = + + ⋅ −

∴ = + + ⋅ −

∫

∫

� � �

� ��

� �� L

Uma vez que o “Potencial Vetor” não é único, podemos pensar em al-gum tipo de simetria relacionada a mudanças no “Potencial Vetor”, que não afetem a “Ação”. Esta simetria é chamada de “INVARIÂNCIA DE CALI-BRE” (GAUGE INVARIANT).

Para entender esta “Invariância de Calibre”, vamos focalizar apenas uma componente do produto vetorial:

( ) x y y xz

A A A A∇ × → ∇ × = ∂ − ∂� ��

Se nós somarmos ao “Vetor Potencial” algo que seja o “gradiente” de uma função:

( ) ( )ii xA x A xλ λ+ ∇ ⇒ + ∂

�

então o rotacional resultará:

( )( ) x y y x x y y xz

A x A Aλ λ λ ∇ × + ∇ = ∂ − ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂

��

.

Mas x y y xλ λ∂ ∂ = ∂ ∂ , portanto o rotacional não se altera com a adição

do gradiente de uma função escalar. Assim, muda-se o Vetor Potencial, mu-dando também o Lagrangeano, mas as equações do movimento não se alteram.

Vamos verificar se o Lagrangeano proposto gera as equações do movi-mento, concentrando-nos apenas na componente na direção “�”:



x xmx q Ax

∂Π = = +

∂�

�

L

Nesta equação do movimento canônico, vemos que ele depende do Vetor

Potencial e que, portanto, muda quando alteramos A�

. Sendo assim, o momento canônico não é invariante em relação à transformação de “calibre”.

As equações do movimento são dadas por: d

x dt x

∂ ∂=

∂ ∂�L L

OBS: Apesar de o Potencial Vetor A

�, por hipótese, não variar no tempo,

ele varia no espaço e a partícula se move, portanto: x xdA A dx

dt x dt

∂=

∂.

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

2 2

2 x y

x x

yx

x y y x z x

x x x

mx y q A x A y qV

A Adm x q x y

dt x x y

AA Vq x y q

x x x x

Vm x q y A A q m x q y B q E

x

F q v B q E

= + + + −

∂ ∂ ∂= + + ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂= + −

∂ ∂ ∂ ∂

∂⇒ = ∂ − ∂ − ⇒ = −

∂∴ = × +

� � � �

��

� �

��

� � ��

L

L

L

Com isso, vimos que o Vetor Potencial não aparece na forma do campo magnético. Portanto, apesar de o Vetor Potencial modificar o Lagrangeano, o campo magnético é invariante em relação à transformação de “calibre”.

A Física tem, às vezes, necessidade de aplicar transformações redundan-tes na descrição de um fenômeno, a fim de conseguir tirar daí conceitos impor-tantes, como, por exemplo, o Princípio da Mínima Ação, o Lagrangeano, o



Hamiltoniano, etc. Estas descrições redundantes dos sistemas são chamadas de “INVARIÂNCIAS DE CALIBRE” (Gauge Invariances).

Estas mudanças de “calibre”, apesar de não terem um significado físico, dão novas formas às equações do movimento, ressaltando alguns aspectos im-portantes, como a formulação canônica das equações.

Vamos ver agora um exemplo específico de Vetor Potencial, relativo a um campo magnético uniforme (ou seja, que não varia de ponto para ponto), apontando para dentro da página.

;

1) ; 0

2) 0 ;

3) ;2 2

z x y y x

y x z

y x z

y x z

B A A B b

A b x A B b

A A b y B b

b bA x A y B b

= ∂ ∂ − ∂ ∂ =

= = ⇒ =

= = − ⇒ =

= = − ⇒ =

�

Estes são três exemplos de Vetor Potencial para o campo magnético uni-

forme B b=�

(eixo “z”).

Vamos nos concentrar no primeiro caso (primeiro “calibre”).

( )2 2

2

x

y

mx y qb y x

m x qb yx

m yy

= + +

∂Π = = + ∂ ∂Π = =

∂

� � �

��

��

L

L

L

Se fizermos uma translação no eixo :x x x ε→ + , as componentes da

velocidade ( ),x y� � não se alteram. Isto significa que a componente x do mo-

mento “é conservada”, o que representa uma simetria de translação na direção x .

Porém, se fizermos uma translação em y , o termo qb y altera o La-grangeano (Ação), portanto a componente y do momento “não é conservada”.

Neste primeiro “calibre”, a quantidade m x qb y+� � é conservada.



Se ela for inicialmente nula, então permanecerá nula. Assim, neste caso: q b

x ym

= −�

Vejamos agora o segundo “calibre”:

( )2 2( )2y

mm y qb x x y qb x y

y

∂Π = = − = + +

∂� � � �

LL

Neste “calibre”, yΠ é conservado, pois o Lagrangeano não depende de

“�”. Então, se a quantidade for inicialmente nula, permanecerá nula. Assim: qb

y xm

= +� .

Vemos então que x� é proporcional a “ y− ” e que y� é proporcional a “x+ ”. Isto corresponde a um movimento circular:

cos sen

sen cos

x r wt x r w wt

y r wt y r w wt

x w y

y w x

= → = −= → =

= −∴ =

�

�

�

�

Então a frequência do “SINCROTON” é dada por: qb

wm

=

Usando dois diferentes calibres, obtivemos duas diferentes leis de con-servação!

Calibre 1:

Calibre 2: x

y

m x q b y

m y qb x

Π = +Π = −

�

�



O movimento não depende do calibre utilizado. Se nós acrescentarmos

0x e 0y às coordenadas x e y do movimento circular, teremos um círculo

situado fora da origem:

0

0

cos

sen

x r wt x

y r wt y

= += +

0

0

0 0

0

sen sen

sen sen

Analogamente: x

y

m x q b y m r w wt qb r wt qb y

m x q b y m r w wt m w wt q b y

m x q b y y q b y

qb x

+ = − + ++ = − + ++ = ⇒ Π =

Π = −

�

�

�

Assim, o significado físico do momento, neste caso, é algo totalmente inesperado, pois os dois momentos conservados representam as coordenadas do centro do círculo em volta do qual a partícula gira! E de fato, o centro ao redor do qual a partícula se move no campo magnético não varia com o tempo neste caso.

Vamos agora considerar a presença de um campo elétrico na direção x :

0x

y

V EV E x

V

∂ == − ∂ =

O Lagrangeano será dado então por:

( )2 2 (primeiro calibre)2

mx y qb y x q E x= + + +� � �L .

Deste modo, teremos:

x

d

dt x

m x q b y q E

∂Π =

∂+ =� �

L

Para o segundo “calibre”, uma vez que o campo elétrico aparece apenas

na direção “ x”, yΠ não muda:



constante 0 0y

y

dm y q b x m y qb x

dt

ΠΠ = − = ⇒ = ∴ − =� ��

Vamos agora, em nome da simplicidade, procurar uma solução que não apresente “aceleração” ( 0)m x m y= =�� :

00

Eqb y q E y

bqb x

x

= = ⇒ = =

� �

��

Assim, sem aceleração e com o campo elétrico na direção “x”, temos um

movimento uniforme na direção “y”. Este é o chamado “Efeito Hall”. Passemos agora a ver um novo “formalismo” para a Mecânica. Trata-se

de uma forma estreitamente ligada ao formalismo Hamiltoniano, porém numa forma mais abstrata, dada pelos “COLCHETES DE POISSON”.

Apesar de bastante abstrata, esta forma da Mecânica está relacionada à Mecânica Quântica, sendo esta a razão pela qual a estamos estudando!

Segundo as equações de Hamilton: ;i i

i i

H Hq p

p q

∂ ∂= = −

∂ ∂� �

Vamos considerar uma função qualquer de ip e de iq : ( ),i iA A q p=

( ) ( ), , i i

i i i i i i

A A A H A HA q p q p A q p

q p q q p p

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + ⇒ = + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

� ��

y

x

Movimento na direção “y”, dependendo apenas da

razão .



( ) { }, , (assumindo a soma no índice " ")i i i i

A H A HA q p A H i

q q p p

∂ ∂ ∂ ∂= − =

∂ ∂ ∂ ∂�

Definimos então o “Colchete de Poisson” entre duas funções,

( ),i iA A q p= e ( ),i iB B q p= , como:

{ }, (soma no índice " ")i i i i

A B A BA B i

q q p p

∂ ∂ ∂ ∂= −

∂ ∂ ∂ ∂

De imediato, podemos ver que:

{ } { } { }, , (Antisimétrico!) e que ,d

A B A B A A Hdt

= − =

Se fizermos 1 0A A= ⇒ =� , então resulta que: { }1, 0H = .

Se fizermos � = �, então:

{ } { }, ,p H p H dp dp

p H p Hq p p q dt dt

∂ ∂ ∂ ∂= − = ∴ =

∂ ∂ ∂ ∂

Da mesma forma, fazendo A q= obtemos também que: { },dq

q Hdt

= .

Propriedades dos “Colchetes de Poisson”: { , } { , }

{ , } { , } 0

{ , } { , } 0i j i j

A B B A

A A A A

p p q q

= −= − =

= =

{ }1 ( )

, Delta de Kronecker: 0 ( )

ij

i j ijij

i jp q

i j

δδ

δ

= == → = ≠



( ){ }� �

( ){ }

( ){ }

0

, , , ,

Analogamente: , ,

ij

i ii i

j j j j i

ii

p pF F Fp F q p p F q p

q p p q q

Fq F q p

p

δ= =

∂ ∂∂ ∂ ∂= − ⇒ = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂=

∂

{ } { }{ } { } { }

, ,"LINEARIDADE"

, , ,

A B A B

A B C A C B C

α α = ⇒

+ = +

{ }

{ } { } { }

,

, , ,

A C B C A C B CA B C B A B A

q p q p p q p q

A B C A B C B A C

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + − −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∴ = +

Com estas propriedades, podemos desenvolver toda a “álgebra” ligada aos “Colchetes de Poisson”.



MECÂNICA CLÁSSICA

AULA No 9

Colchetes de Poisson – Simetrias – Espaço de Fases –

Transformações Canônicas (Hamiltoniano)

O Espaço de Fases tem uma “estrutura” associada a si. Espaços possuem “estruturas”, que se referem aos objetos “invariantes” em relação às transfor-mações que podem ser feitas.

Por exemplo, os “espaços métricos” são caracterizados por uma “métri-ca” (Espaços de Riemann), definindo a distância entre pontos vizinhos e, com isso, estabelecendo a estrutura do espaço.

O “Espaço de Poisson” é diferente do “Espaço Métrico”, tendo um cará-ter mais abstrato, com estrutura diferente, dada pelo espaço de fases e suas propriedades em relação às transformações de suas coordenadas: 'q s e 'p s . Neste sentido, poderíamos perguntar quais as transformações que podem ser feitas, envolvendo 'q s e 'p s , cujo resultado não altera a estrutura básica da Mecânica Clássica. Este tipo de questão era a “especialidade” dos pensadores franceses e se mostrou muito importante para o desenvolvimento da Física. Foi nesta linha de pensamento que eles descobriram a “estrutura” da Mecânica Clássica, que é a formulação mais abstrata da Mecânica Clássica, tendo como base os “COLCHETES DE POISSON”.

Os colchetes de Poisson servem para descrever o “fluxo” no espaço de fases. Um tipo de fluxo no espaço de fases é o movimento dos pontos neste espaço ao longo tempo, descrevendo como os pontos se comportam ao longo do tempo sob a influência de um determinado Hamiltoniano.

Já vimos as simetrias básicas da Mecânica em relação às translações e rotações. Vejamos agora a relação delas com os “fluxos” no “espaço de fases”. Concentremo-nos inicialmente no fluxo realizado no espaço de “coordenadas”. Neste sentido, nós podemos imaginar a translação e a rotação como um “flu-xo” de pontos de uma posição para outra, através de uma infinidade de peque-nos deslocamentos. Estes deslocamentos podem não ter nada a ver com o mo-vimento atual do sistema ao longo do tempo, eles simplesmente descrevem o



que aquela translação ou deslocamento fazem com o sistema, através dos su-cessivos deslocamentos.

Além dessas transformações de coordenadas, podemos ter uma varieda-de muito mais rica de transformações ou fluxos no “espaço de fases”, que não se refere apenas às coordenadas de posição, mas ao conjunto de 'q s e 'p s no espaço de fases.

Estas transformações ou fluxos no espaço de fases são descritos pelo método dos “Colchetes de Poisson”.

Vamos rever as propriedades dos “Colchetes de Poisson”, porém de uma forma mais abstrata, sem nos preocuparmos com suas definições detalhadas, mas apenas observando-as como um conjunto de “postulados” ou de “axio-mas”:

{ } { }{ } { } { }{ } { } { }{ }

1) , , (ANTISIMETRIA)

2) , , , (LINEARIDADE)

3) , , , (PRODUTO)

4) ,i j ij

A B B A

A B C A C B C

A B C A B C B A C

q p

α β α β

δ

= − →

+ = + →

= + →

=

---------------------------------------------------------------------------------------- OBS : A forma na qual está escrita esta terceira propriedade, apesar de indife-rente em relação à posição dos colchetes de Poisson, que admitem a comuta-ção, será significativa na Mecânica Quântica”, que não admite a comutação.

---------------------------------------------------------------------------------------- A partir destas relações, é possível deduzir todas as demais propriedades

dos colchetes de Poisson.

( ) ( ){ }( ) ( ){ }( ){ }

( ){ }

, 0

, 0

,

,

F q G q

F p G p

dFF q p

dq

dFq F p

dp

====

Desenvolvimento em Série de Taylor, Li-nearidade, Produto.



Com isso, podemos dizer que temos uma “álgebra” para os colchetes de Poisson, a qual caracteriza a relação entre 'q s e 'p s no espaço de fases.

Vamos adicionar mais um postulado (já visto por nós) aos outros postu-lados:

{ },dA

A Hdt

=

Por exemplo, para a partícula simples, temos:

2 2

, :{ , } { , } 02 2

p pH portanto p H p p

m m= = = =�

{ }2 2

, , , ,2 2 2 2

p p p p pq q q p q p q

m m m m m

= = − = − =

�

Vemos então que, sem aplicar as equações de Hamilton, podemos deri-

vá-las através da álgebra dos colchetes de Poisson. Vejamos agora aquela maior variedade de transformações. Estas fórmu-

las básicas dos “colchetes de Poisson” são válidas para todos os sistemas físi-cos conhecidos (Relatividade Geral, Teoria do Campo Quântico, Siste-mas Clássicos, Eletromagnetismo, etc.).

Simetrias, como já vimos, são transformações de um sistema que não modificam sua dinâmica.

As simetrias vistas até agora envolvem mudanças nas variáveis �′�, co-mo por exemplo na translação e na rotação do sistema. Vejamos se há e quais são as simetrias que envolvem as variáveis �′� e �′� e que preservam a estru-tura da Mecânica Clássica, ou seja, que não modificam as propriedades básicas dos colchetes de Poisson.

Suponhamos, por exemplo, um sistema com apenas um q e um p , e fa-çamos uma transformação tal que os novos Q e P sejam dados por:

2 e 2P p Q q= = .



A pergunta é se esta transformação preserva a estrutura de Poisson. A resposta é “NÃO”! pois ela não obedece à quarta propriedade: { }, 4 1P Q = ≠ .

Porém, se fizermos neste caso e 22

pP Q q= = então: { }, 1P Q = ,

conservando-se esta propriedade, assim como as demais. É interessante notar que esta última transformação (admissível) realiza

uma “contração” em p e uma “expansão” (proporcional) em q . Vejamos outro exemplo:

{ } { }{ } { }{ } { }

{ } { } { }2 2

cos sen"Rotação"

sen cos

, , 0

, , 0

, sen cos , cos sen

, , sen , cos 1

P p q

Q p q

P P Q Q

P P Q Q

Q P p q p q

Q P p q q p

θ θθ θ

θ θ θ θ

θ θ

= + = − +

= =

= =

= − + +

∴ = + =

Portanto a rotação preserva a estrutura dos colchetes de Poisson. Todas as transformações que preservam a estrutura dos “colchetes de

Poisson” são chamadas de “TRANSFORMAÇÕES CANÔNICAS”. Se nós podemos construir uma transformação a partir de uma composi-

ção de transformações infinitesimais (aproximáveis em valores de primeira ordem), de modo que:

( , )

( , )i i i

i i i

Q q q p q

P p p p q

δδ

= += +

Então resulta que: { } { } { } { }, , , ,i i i i i i i iQ P q p q p q pδ δ= + +

------------------------------------------------------------------------------------------ OBS : O termo { },i iq pδ δ é um infinitésimo ao quadrado e, portanto, é des-

prezível. ------------------------------------------------------------------------------------------

As condições para que a transformação seja “Canônica” é dada por:



{ } { }, ,i i i iQ P q p=

Para que tenhamos isso, é necessário então que: { } { }, ,i i i iq p q pδ δ= − .

Vamos expressar iqδ da seguinte forma:

( ){ }( ){ }

, ,"Gerador de transformação Canônica"

, ,

i i

i i

q q G q pG

p p G q p

δ ε

δ ε

= →=

As quantias iqδ e ipδ representam um “fluxo” infinitesimal no “espaço de fases”, e este fluxo é caracterizado por aquilo que chamamos de “GERA-DORES”.

“Geradores”, portanto, são funções de q e um p que caracterizam como os fluxos se desenvolvem no espaço de fases.

Há um teorema segundo o qual, todas as vezes que:

( ){ }( ){ }

, ,

, ,

i i

i i

q q G q p

p p G q p

δ ε

δ ε

=

=

então a transformação é “canônica”, de modo que: { } { }, ,i i i iQ P q p= .

Vamos provar este teorema:

{ }

{ }{ } { }

2

2

;

, ,

, ,

, ,

i ii i

i i ii i i

i i i i

i i ii i i

G Gq p

p q

G Gq p p

p q pq p p q

G Gp q q

q p q

δ ε δ ε

δ ε ε

δ δ

δ ε ε

∂ ∂= =

∂ ∂

∂ ∂= = ∂ ∂ ∂

∴ = − ∂ ∂ = − = − ∂ ∂ ∂

{ } { } { }Se sabemos que , , então , ,dq

q q H q H dq dt q Hdt

= = ⇒ =�

Sendo assim, se considerarmos dt como o equivalente de ε , teremos



{ },q q Hδ ε=.

Vemos assim que o Hamiltoniano faz o mesmo papel do Gerador Canô-nico!

Portanto a transformação de coordenadas 'q s e 'p s que é gerada pelo “fluxo” atual do sistema é ela própria um caso especial de uma “Transforma-ção Canônica”.

Por outro lado, todas as transformações canônicas podem ser obtidas através de um gerador (inclusive o próprio Hamiltoniano).

Se as transformações que são admissíveis (aquelas que preservam a es-trutura da Mecânica) são canônicas, qual é então a subclasse delas que, para um determinado Hamiltoniano, podem ser classificadas como “simetrias”?

----------------------------------------------------------------------------------------- OBS: “Simetrias” são Transformações Canônicas que “não” alteram o

Hamiltoniano, sendo esta uma ideia mais generalizada do que a simetria das transformações que não modificam o “Lagrangeano”.

----------------------------------------------------------------------------------------- Portanto simetrias são transformações canônicas no espaço de fases que

não modificam a energia do sistema mecânico.Visualizando este conceito ge-ometricamente no espaço de fases, temos:

Se supusermos que os fluxos de “G” e de “H” são tais que o fluxo ao longo “G” se dá mantendo um valor constante de “H” (valor constante de energia), então “G” é um gerador de transformação canônica “simétrica” ou “G” é uma “simetria”.

Portanto “G” é uma simetria, se o fluxo criado por ele não modifica a energia.

A condição para isso é simples. Vamos considerar uma função “A”:

{ },

A A A G A GA q p A A G

q p q p p qδ δ δ ε δ ε

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = + ∴ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂



Esta é justamente a expressão que usamos para obter a derivada no tem-

po, no caso de “G” ser o próprio Hamiltoniano: { },dA dt A H= .

A mudança de uma função arbitrária ao longo de qualquer fluxo é pro-porcional ao produto de Poisson desta função pelo gerador do fluxo.

Então, para que a energia não se altere ao longo do fluxo, o produto de

Poisson entre “H” e “G” deve ser nulo { }, 0H G = . Isto implica também que

{ }, 0G H = , o que significa que 0d

Gdt

= .

A elevada abstração desta forma de expressão para a Mecânica assume grande importância e tem aplicação real na Mecânica Quântica.

Vamos ver um simples exemplo, observando o movimento de uma partí-cula livre, com massa unitária ( 1m = ).

{ }

{ }

22

2 22 2

(Hamiltoniano)2 2

Momento Angular:

, , , , ,2 2 2 2

, 0

yx

y x

y yx xy x y x

y x y x

ppH

G x p y p

p pp pG H x p y p p x p y

G H p p p p

= +

= −

= − = −

∴ = − =

Assim, a anulação do produto de Poisson { },G H implica que o momen-

to angular é conservado, mas também implica que, se tivéssemos um Hamilto-

niano dado pela expressão y xx p y p− , então a quantidade 22

2 2yx

pp+ tam-

bém seria conservada neste novo sistema, o que ressalta a simetria do sistema. Neste caso, teríamos: y xH x p y p= − , portanto:



{ }{ }

,(movimento circular)

,

x x H y

y y H x

= = −

= =

�

�

Neste movimento, a quantia 22

2 2yx

pp+ seria conservada.

Teoria da Relatividade Restrita 96 Notas das aulas do Prof. Susskind – Universidade de Stanford

RELATIVIDADE ESPECIAL

AULA NO 1

Introdução

Vamos ver com atenção a “matemática” da Relatividade Especial, de-

senvolvendo em detalhes a descrição do “espaço-tempo”, energia, momento, transformação de Lorentz, sincronicidade, etc. Veremos a seguir a “cinemáti-ca”, ou seja, “como” as coisas se movem no espaço-tempo e “por que” elas se movem. Isto nos levará ao conceito de “força” e “dinâmica”, que envolvem os conceitos de “energia” e “momento”, abrangendo as equações de Newton. Tudo isto nos levará, mais a frente, ao estudo da Relatividade Geral e de al-guns assuntos relacionados a ela, como “Buracos Negros”, “Gravitação”, “Ex-pansão do Universo”, etc.

Comecemos por definir o que significa “relatividade”. Relatividade significa que as “Leis Físicas” são independentes do siste-

ma de referência no qual elas são estudadas. Para o nosso propósito, “Sistema de Referência” significa o “estado de movimento” de um conjunto de coorde-nadas. Pode-se pensar então que um sistema de referência seja uma “malha” tridimensional ( )zyx ,, que define a localização de cada ponto do espaço e que possui um “relógio” em cada um destes pontos.

Newton considerava que o tempo fosse algo completamente “universal”, como um tempo “divino”, igual para todo mundo. Assim todos os relógios, independente de sua posição ou do seu movimento (tanto do observador como do próprio relógio), marcariam um tempo “universal e consensual”, igual para todos.

Esta ideia começou a mudar quando Einstein desenvolveu a Teoria da Relatividade. Esta ideia, porém, já existia antes de Einstein, remontando à época de Galileu.


Recordemos qual era o conceito da relatividade de Galileu, mostrando “onde”, “como” e “por que” ela falha.

Um modo de se imaginar a relatividade “intuitivamente” é nos imagi-narmos movendo-nos em um “trem” que se locomove em trilhos “perfeitamen-te lisos e retos”, de tal forma que a sua velocidade é exatamente constante. Uma experiência interessante para representar as leis da Física neste trem seria uma pessoa fazendo “malabarismos” com alguns objetos, habilidade esta que requer muito bom senso de “gravidade”, “movimento”, “sincronicidade”, “for-ça”, etc., conceitos que são “inconscientemente” utilizados pelo malabarista.

É um “fato” da natureza que, neste trem, movendo-se com velocidade “constante” em relação a outro trem, que consideraremos “parado”, as leis que regem o “malabarismo” são as “mesmas”. Este conceito, antes de Galileu, não era entendido, pois as pessoas ainda não tinham trens para poder pensar nisso! Porém, se imaginassem algo semelhante a esta experiência, provavelmente o cientista “médio” daquela época pensaria que o malabarista precisaria modifi-car o movimento normal do seu braço, para poder apanhar novamente a bola jogada para cima, a fim de “compensar” o movimento do trem!

É claro que isso está errado, pois as leis do malabarismo são as mesmas num trem em movimento uniforme ou num trem “parado”.

Esta propriedade foi descoberta por Galileu, sendo expressa mais tarde, detalhadamente, por Newton, através de suas leis do movimento.

Vamos começar pela relatividade de Galileu. Como todas as outras teorias de relatividade, a de Galileu é uma teoria

de “transformação” de coordenadas e de fenômenos de um sistema de referên-cia para outro.

Vamos imaginar duas “malhas” (sistemas de referência) movendo-se uma em relação à outra, cada uma contendo o seu conjunto de relógios “sin-cronizados” em todos os seus pontos. Devemos saber então como transformar as informações de um sistema para o outro. Há muitos tipos de informação, como, por exemplo, a temperatura de um objeto, a sua energia, etc. A informa-ção mais simples é a “localização” de um ponto no “espaço” e no “tempo”, parâmetros estes medidos pelas “réguas” e “relógios” de cada sistema.


Diagrama Espaço – Tempo

1m 2m 3m 4m 5m 6m 7m 8m

1s

2s

3s

4s

5s

6s

Malha Espaço x Tempo

Régua

Vamos primeiramente desenhar os sistemas de referência: A princípio, estaremos interessados

apenas no movimento ao longo de um deter-minado eixo, que escolhemos ser o eixo “x”. Os eixos “y” e “z”, por enquanto, não irão influenciar nos resultados.

Se nós quisermos, por

exemplo, representar uma régua parada no sistema, teremos o diagrama apresen-tado à direita:

Imaginemos agora dois trens, “A” e “B”, sendo que o trem “A” está pa-

rado (logicamente apenas como referência) e o trem “B” está em movimento, com velocidade “V”:

Neste caso, o gráfico do trem “B” estará inclinado em relação ao do trem “A”, pois seus vagões estão-se movendo em relação aos de “A” (ainda esta-mos na relatividade de Galileu).


Assim, um ponto em re-

pouso na origem de “�” (coinci-dente com a origem de “�” em “� = 0”) irá percorrer a diagonal �� = ��.

Segundo Newton e Galileu, se um ponto tem coordenadas ( )tx, no trem

“A”, estas coordenadas se transformarão, para o trem “B”, em novas coorde-nadas ( )',' tx , dadas por:

' tempo universal

' -

t t

x x V t

= → =

Estas equações podem ser reescritas

na forma inversa, indicando como as infor-mações do trem em movimento, “B”, se transformam nas do trem que está parado, “A”:

'

'

t t

x x V t

= = +

Esta é a matemática básica da relatividade de Galileu. Verifiquemos agora que tipo de informação é “INVARIANTE” segundo

este tipo de transformação.


O conceito de “INVARIANTE” define “algo” sobre o que “todos” con-cordam a respeito. Vejamos alguns exemplos mais evidentes deste conceito.

Num determinado instante de tempo, a distância entre dois eventos será um “invariante”.

1 2

2 1

1 12 1 2 1

2 2

e (dois eventos)

'' '

'

t x x

d x x

x x Vtx x x x d

x x Vt

→= −

= − ⇒ − = − == −

Assim, a distância entre dois pon-tos, no “mesmo” instante de tempo, é um “invariante” segundo Galileu.

Suponhamos uma partícula des-crevendo uma trajetória “ ( )x t ” em “A”. Esta trajetória não é um invariante,

pois a sua equação em “B” será: ( ) ( )'x t x t Vt= − .

Para a velocidade, teremos: ( ) ( )'dx t dx t

Vdt dt

= − . Portanto a velocidade

também não é um invariante.

Para a aceleração, teremos:

( ) ( )2 2

2 2

'd x t d x t

dt dt= .

Vemos, assim, que a aceleração é um invariante. Segundo a transforma-ção de Galileu, a aceleração de um objeto em movimento é a mesma para ob-servadores movendo-se com velocidade relativa constante.

De acordo com este resultado, podemos imaginar que, se as leis da Físi-ca devem ser invariantes nos sistemas de referência em movimento relativo uniforme, então elas devem estar fundamentadas em “ACELERAÇÕES”.

E é exatamente isto o que acontece, segundo Newton, com a lei “amF = ”.

Vejamos esta questão com mais detalhes. Imaginemos dois objetos exer-cendo uma força mútua entre si, estando situados ao longo do eixo “x”. “Nor-malmente”, a força entre os dois objetos depende da distância entre eles. As


coordenadas dos dois objetos não são invariantes. Mas a distância entre eles é um invariante, de modo que, se a força entre eles depende apenas da distância, então a força é invariante.

Para que as equações de Newton permaneçam coerentes, é necessário que a “massa” também seja “invariante”. Assim, se todos os termos da equa-ção de Newton, “ amF = ”, são invariantes, então a equação em si também é um invariante.

Segundo Newton, portanto, todos os sistemas concordam no valor medi-do para a “massa”.

Assim as leis de Newton “ amF = ”, são invariantes segundo a trans-formação de Galileu.

A ideia de relatividade implica que “todas” as leis da Física”, sejam elas quais forem, são invariantes segundo a transformação “apropriada”, analoga-mente à transformação de Galileu.

O problema é que este princípio sofre um “desastre” na questão do ele-tromagnetismo, segundo a transformação de Galileu! Como sabemos, a luz é uma onda eletromagnética que se propaga a uma determinada velocidade “c” (300.000 km/s), conforme é previsto pelas “Equações de Maxwell”.

As Equações de Maxwell expressam leis da Física, a respeito das quais todos os sistemas também devem concordar, de modo que a velocidade da luz deve ser a mesma em todos os sistemas de referência.

Foi exatamente isto, e nada além disso, que Einstein utilizou na sua Teo-ria da Relatividade. Ele intuiu que as Equações de Maxwell deviam ser as mesmas em todos os sistemas de referência. Esta hipótese implicava um gran-de problema, porque, se as Equações de Maxwell são as mesmas em todos os sistemas de referência, então a velocidade da luz também deve ser a mesma em todos os sistemas de referência!

Mas como a luz pode ter a mesma velocidade em sistemas que se mo-vem um em relação ao outro?

Vejamos como a relatividade de Galileu atua neste problema. Se um raio de luz se move na direção “�”, sua equação do movimento

será dada por “� = ��”. Mas, segundo a transformação de Galileu, o observa-dor em movimento no trem “B” descreveria o movimento da luz pela equação: “ ( ) tVcx −=' ”, de modo que a velocidade da luz não é um invariante! Este


tipo de composição de velocidade pode ser utilizado com eficiência em ondas sonoras ou aquáticas, nas quais a velocidade depende da velocidade do obser-vador, sendo percebida mais rápida ou mais lenta conforme o observador se mova na direção contrária ou na mesma direção da onda.

Com base nestas considerações, a maioria dos físicos do início do Século XX acabou concluindo que haveria um sistema referencial “privilegiado”, uni-camente em relação ao qual a velocidade da luz teria o valor constante “c”. Eles pensavam então num referencial “divino”, unicamente no qual as equa-ções de Maxwell seriam válidas, não valendo em nenhum outro referencial.

Como todos sabemos, os cientistas passaram a estudar o movimento da luz em sistemas com diferentes velocidades entre si, utilizando dispositivos engenhosos em delicadas experiências, bastante precisas, nas quais ficou com-pletamente comprovada a “invariância” da velocidade da luz!

Não restou então para os físicos outra opção, senão rever os conceitos básicos da relatividade.

A opção fundamental de Einstein foi justamente considerar a velocidade da luz, ou seja, as Equações de Maxwell, como invariantes em relação aos sistemas em movimento relativo entre si.

Foi necessário rever os “princípios fundamentais” que relacionam os sis-temas em movimento relativo, tendo em mente, porém, duas condições ou postulados:


1) As leis da Física devem ser a mesma em todos os sistemas de refe-rência.

2) A velocidade da luz é sempre a mesma em todos os sistemas de refe-rência

Assim, partindo destes postulados, Einstein procurou o que poderia deri-var deles.

A primeira coisa derivada por ele foi a não validade de algo que está im-plícito em nosso diagrama espaço-tempo segundo Galileu, mas que não pode ser verdade segundo os dois postulados. Isto se refere à suposição “clássica” de que, se dois eventos são simultâneos em um sistema de referência, eles se-rão simultâneos em todos os sistemas de referência.

Voltando ao fundamento do conceito de “sincronismo”, imaginemos o trem “A” com um relógio em cada um de seus vagões. Para sincronizar todos estes relógios entre si, a fim de que todos indiquem a mesma hora, Einstein empregou a luz como instrumento de aferição, uma vez que a sua velocidade era a base de um dos postulados. Assim, com um relógio situado no meio do trem, quando este relógio marcasse 12:00hs, seria emitido um “flash” de luz, a partir deste ponto, para os dois lados do trem, de modo que cada vagão, ao receber o “flash” provindo do centro do trem, anotaria a hora de recebimento e subtrairia desta hora o tempo gasto pelo flash para percorrer a distância do centro do trem até a posição daquele vagão. Com este processo, todos os reló-gios ficariam sincronizados entre si.

Surge agora, porém, o problema de como o trem “B”, passando por “A”, iria ler estes relógios situados em “A”, comparados com os de “B”.

Para o trem “B”, o trem “A” está se movendo, de modo que, para ele, uma extremidade de “A” se aproxima do “flash” e a extremidade oposta se afasta do “flash”. É óbvio, então, que o observador no trem “B” irá ver o “flash” atingir as extremidades do trem “A” em tempos diferentes!

Einstein concluiu, então, que a simultaneidade de um evento num siste-ma não significa simultaneidade nos demais sistemas!

Vamos ver em detalhes como o conceito de simultaneidade falha, quan-do usamos o postulado de velocidade constante para a luz, observando como dois pontos situados no mesmo instante no diagrama espaço-tempo de “A” se transformam em outros dois pontos no diagrama espaço-tempo de “B”. Vere-


mos que esta análise nos levará à transformação de Lorentz, segundo a qual o conceito de simultaneidade torna-se relativo.

Comecemos pela análise do diagrama espaço-tempo de “A”. Tendo como referência o sistema “A” e considerando o trem “A” com

apenas dois vagões e com os seus relógios situados nas duas extremidades do trem, sincronizados através da luz, se ambos emitirem um “flash” de luz no tempo “ 0=t ” em direção ao centro “M” do trem, ambos sinais irão atingir o ponto “M” ao mesmo tempo, conforme podemos ver no diagrama a seguir:

Para que o diagrama seja coerente com a magnitude da velocidade da luz, vamos considerar, de agora em dian-te, a velocidade da luz como sendo “UNITÁRIA” ( )1c = , de modo que sua

representação no diagrama é dada por uma reta com inclinação de °± 45 . Para recuperarmos novamente a velocidade nas equações, bastará fazermos uma aná-lise dimensional.

Temos então que um raio de luz movendo-se para a direita, a partir da origem, satisfaz a equação: tx = (c = 1).

Caso o raio não saia da origem, a equação será dada por x t K= + (constanteK = ). Para um raio de luz deslocando-se para a esquerda teremos de maneira

geral, Ktx +−= . Temos, assim, que a velocidade máxima no diagrama é a “velocidade da

luz”, correspondendo a uma reta inclinada de °45 , sendo que todas as outras retas (velocidades constantes) são menos inclinadas (mais próximas da verti-

cal). Vamos adicionar ao diagrama espaço-

tempo de “A” a descrição do movimento destes “flashes” conforme descritos pelo sis-tema “B”, cuja velocidade em relação a “A” é V :


1

2

Vamos acrescentar também as linhas do movimento do trem “B” corres-pondentes às suas extremidades e a o seu centro, que foram consideradas “coincidentes” com as do trem “A” no instante 0=t .

Considerando como referência agora o sistema “B”, podemos notar pelo diagrama que os raios emitidos das extremidades de “A” atingem o centro do trem “B” em tempos distintos, que estão indicados pelos pontos “1” e “2”.

Portanto os raios de luz “não” podem estar sincronizados segundo o pon-

to de vista do observador situado no centro do trem “B”. Podemos ver isto também de outra forma, revertendo o raciocínio, perguntando de onde (de que ponto no diagrama espaço tempo) deveria ter partido o raio emitido do lado direito de “B”, de modo a chegar no ponto “2” no mesmo instante que o raio emitido pela extremidade esquerda de “A”? Graficamente, teremos:

Assim, para o sistema de referência no ponto central do trem “B”, mo-vendo-se com velocidade “V” em relação a “A”, os raios provindos da origem “O” (extremidade esquerda de “A” e de “B”, coincidentes no tempo 0=t ) e do ponto “3” o atingirão simultaneamente “B” no ponto “2” do espaço-tempo e, portanto, estes pontos (“O” e “3”) estarão sincronizados para o observador no centro do trem “B”.


1

3

2

OO

Por outro lado, o obser-vador em “A” irá considerar que os pontos correspondentes às “extremidades” do trem “A” no instante 0=t estão sincronizados.

Torna-se óbvio, desde o princípio, que a ideia de “si-multaneidade” não pode ser a mesma em ambos os sistemas de referência.

Podemos verificar, quantita-tivamente, onde está situado no diagrama espaço-tempo o ponto “3”. Isto requer apenas um pouco de álgebra e geometria:

O ponto “2” é a interseção entre as retas tx = e LtVx += , ou seja:

( )1

Lt V t L t

V= + ⇒ =

−

Portanto as coordenadas do ponto “2” no sistema em repouso, “A”, são:

Ponto "2" ,1 1

L L

V V

→ − −

Com este ponto, podemos determinar a equação da reta entre os pontos

“2” e “3”, cuja equação geral tem a forma: Ktx +−= .

Portanto: KV

LKtx =

−⇒=+

1

2

1

3

2


Assim a equação da reta que passa pelos pontos “2” e “3” é dada por:

V

Ltx

−=+

1

2

O ponto “3’ é dado pela interseção entre a reta "3""2" → e a reta Ltx 2+= .

Portanto:

+=

+=→

V-1

L2-tx

L2tVx "3" Ponto

Subtraindo, temos:

( )2 10 2 1 2 1

1 1

LV t t L t V L

V V

= + + − ⇒ + = − − −

22

1

Vt L

V∴ =

−

2 2 2

2 2 22

1 1 1 1

L V L Lx L x

V V V V= − = ⇒ =

− − − −

Portanto Ponto “3” 2 2

2 2,

1 1

L LV

V V

→ − −

Com o ponto “3”, podemos determinar a reta entre “O” e “3”, que define a direção do eixo de “eventos simultâneos” para o observador em movimento no trem “B”, pois tanto o ponto “O” no tempo 0=t , como o ponto “3”, no

tempo ( )2

2

1

LVt

V=

−, representam pontos “sincronizados” para o observador em

movimento, “B”, uma vez que ambos representam pontos “sincronizados” para o observador “B”.

Assim, aquilo que o observador em movimento chama de linha de “sin-cronismo”, o observador em repouso chama de “ xVt = ”, enquanto que o eixo do tempo para o observador em “B” é visto pelo observador em repouso “A” como “ tVx = ”.


Portanto o eixo do “tempo” para o observador em movimento é dado por tVx = , quando visto pelo observador em repouso “A”, enquanto o eixo o da “posição” é visto como “ xVt = ”.

Assim todos os pontos na reta xVt = estão “sincronizados” para o ob-servador em movimento, ou seja, situam-se no mesmo instante de tempo.

É interessante reparar na simetria das equações que descrevem os eixos de “tempo” e “espaço” para o observador em movimento, onde temos: tVx = e xVt = . ----------------------------------------------------------------------------------------------------- OBS: Pode-se verificar a simetria diretamente, através da geometria do pro-blema, utilizando-se o prolongamento da linha que liga os pontos 2 e 3 até à interseção da reta � = �� no ponto P, conforme ilustrado na figura a seguir. Uma vez que as retas � = ��, 2!!!! e "3!!!! são paralelas, então $2!!!! = 23!!!!. Portanto os triângulos "2$!!!!!! e "23!!!!!! são iguais. Como = "2!!!! é um reta de 45o, resulta que � = %, e isto implica que a reta "3!!!! é dada pela equação � = ��.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Vamos recuperar agora, através de uma análise dimensional, a constante “c” da velocidade da luz nas equações obtidas:


mL

t V x T LT

= ⇒ = → T: dimensão “tempo”; L: dimensão “espaço”

Para tornar coerente esta expressão, é necessário dividir por 2L e multi-

plicar por 2T o termo da direita, pois assim: 2

2

L TT L T

T L= = .

Portanto teremos que multiplicar o termo da direita na equação original

por 2

2

L

T , o que significa dividir pela velocidade da luz ao quadrado.

Teremos então: 2c

xVt = .

Com a reinserção da velocidade da luz nesta equação, podemos ver que, para velocidades pequenas em comparação com a da luz, a equação da reta “

2c

xVt = ” tem inclinação muito pequena, quase coincidente com o eixo “ 0=t ”,

de modo que, para efeitos práticos, a simultaneidade pode ser considerada a mesma em todos os sistemas de referência. Porém, com velocidades relativas comparáveis à da luz, temos de levar em consideração a inclinação desta reta, levando em conta a diferença de simultaneidade nos sistemas em movimento relativo.

Notemos que,

ao utilizar “ 1=c ”, o diagrama espaço-tempo assume uma forma completamen-te “simétrica”:

Os ângulos, re-


lativos ao observador em movimento, pelos quais os eixos do “tempo” e “es-paço” ficam inclinados no sistema em repouso são “iguais”.

Com este tipo de construção gráfica, podemos deduzir as “Transforma-ções de Lorentz”.

Nós já temos baste informação sobre as relações entre os dois sistemas “A” e “B”, ( ) ( )',', txtx ↔ , mas ainda não sabemos tudo.

Conforme já vimos, segundo Galileu, tVxx −=' . Isto significa que, quando “� = ��”, então “�& = 0”. Mas esta condição deve continuar valendo para qualquer novo tipo de transformação, pois a origem de “B” ( )0' =x se desloca em relação a “A” com velocidade constante “V” ao longo de “� =��”. Como um todo, a equação “ tVxx −=' ” pode estar errada, porém qual-quer alteração que ela venha a sofrer não deve alterar a relação de que “ 0' =x ” para “� = ��”. Para isso, só há uma forma de alterarmos a equação, ou seja, multiplicando o termo “� − ��” por um fator que pode depender da velocida-

de relativa de “B” em relação a “A”: ( )( )' 'x f V x Vt= − .

Ao longo da linha t V x= temos �& = 0, pois esta é a linha de “sin-cronicidade” para “B”. Portanto, seja qual for a forma da equação para �′, ela deverá manter esta propriedade, ou seja, de que, pata “� = ��”, para �& = 0”. Assim, analogamente ao que já vimos para �& = 0, devemos ter, para a nova transformação: �& = ((�)(� − ��).

Estas equações estão ligadas à inclinação do eixos �′ e �′. Mas elas não são suficientes para determinarmos as funções �(�) e ((�).

A condição que nos permite determiná-las está no fato de que qualquer equação utilizada pelo sistema “A” para converter informações sobre o sistema “B”, deve ser exatamente igual àquela utilizada pelo sistema “B” para conver-ter informações sobre o sistema “A”, exceto pelo “sinal” da velocidade relati-va “�”.

Vamos então resolver as equações agora em função de “�” e de “�”, aplicando esta propriedade de “antissimetria” em relação a “�”.

Isto decorre do fato de que, se o sistema A vê o sistema B deslocando-se com velocidade “�”, então o sistema B vê o sistema A deslocando-se com velocidade “−�”.

Vamos provar primeiro que a função �(�) tem de ser igual a ((�).


t’

t

t

x’

45o

Esta igualdade decorre do fato de todos concordarem a respeito da velo-cidade da luz. Isto significa que, se um observador vê a luz como � = � (velo-cidade da luz � = 1) então o outro observador deve vê-la como �& = �′ (� =1).

( ) ( )( )( )

'

'

x f V x Vt

t g V t Vx

= −

= −

Para � = �:

( ) ( )( ) ( )

' 1

'

x f V t V

t g V t t V

= −⇒

= −

Porém, para � = �, temos �& = �′. Portanto: �(�)�(1 − �) = ((�)�(1 − �), logo �(�) = ((�). Vamos explicitar agora (�, �) em função de �(�), aplicando também a

propriedade de “antissimetria” em relação a “�”:

( )( ) ( ) ( )

'( ) ' ' ''

xx Vt

f V t t xt Vx x V Vx

t f V f V f Vt Vx

f V

− = ⇒ = + ⇒ − + =

− =


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2

2

2

2

' ' '1

1 '

1

' ' ' ' '

' ' 1 ' '1

1

x Vt x Vtx V x x V

f V f V f V

x Vtx

f VV

x x t t Vxx Vt t V Vt t V t

f V f V f V f V f V

t Vx t Vxt V t

f V f VV

+⇒ = + + ⇒ − =

+∴ =

−

= + ⇒ − + = ⇒ = + +

+ +⇒ − = ∴ =

−

Pela propriedade de antissimetria em relação a ( ) ( )

( )( )'

'

x f v x Vt

t g v t Vx

= −

= −�, as

equações de �′ e de �, assim como as equações de �′e de �,devem ser iguais, exceto pelo sinal de �:

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2

2 22

2

'1 1 1

1 ' '1 1

1

1

1

x f V x Vt

x Vt f V f Vx f VV Vf VV

f VV

= −

+ ⇒ = ⇒ = = − − −

∴ =−

O mesmo resultado é obtido em relação ao tempo:

( )( )

( )( )

( )( ) ( ) ( )

( )2 2

2

'1 1

'11 11

t f V t Vx

t Vx f V f Vt V f V Vf VV

= − + ⇒ = ∴ = = − − −


O valor de �(�) surge da reciprocidade entre as equações de transfor-mação de informações entre os sistemas A e B, exceto pelo sinal de �.

Como resultado disto, a transformação que satisfaz os postulados de Einstein é dada pelas seguintes relações:

2 2

2 2

' ''

1 1' '

'1 1

x Vt x Vtx x

V Ve

t Vx t Vxt t

V V

− + = = − −

− + = = − −

A coisa nova e bizarra que aparece nesta transformação está no fato de que o tempo, em vez de permanecer o mesmo e universal tempo, transforma-se também, dependendo da posição e da velocidade relativa entre os sistemas, de modo que, assim, muda o conceito de sincronicidade.

Devemos agora colocar de volta a constante “�” (velocidade da luz) nas equações de transformação, através de uma análise dimensional:

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

' ''

1 1

' ''

1 1

x Vt x Vtx x

V c V ce

t V x c t V x ct t

V c V c

− + = = − −

− + = =

− −

--------------------------------------------------------------------------------------------

OBS: Para que o termo 21 V− tenha dimensão nula, devemos dividir o se-gundo termo por �+. --------------------------------------------------------------------------------------------

Podemos ver, desse modo, que, quando � é uma velocidade “normal”, o

termo 2Vx c é completamente desprezível, dando-se o mesmo com o termo

2V c , de modo que o tempo é praticamente o mesmo para os dois sistemas. As diferenças entre os respectivos tempos somente aparece quando a magnitu-


de da velocidade relativa entre os dois sistemas, �, é comparável à velocidade da luz. Esta mesma condição vale para as diferenças em relação aos compri-mentos de cada sistema (� e �′).

Vamos verificar que estas equações são coerentes com o fato de todos concordarem em relação ao mesmo valor para a velocidade da luz.

Neste caso, para � = ��, teremos:

( )

2 2

2 2

'1 '

1 ''

1

c Vx

V c xc

t V c tt

V c

− =−

⇒ = − = −



AULA NO 2

Paradoxos - Tempo próprio - Velocidade – Momento

Vamos agora continuar a ver os efeitos decorrentes da Transformação de

Lorentz com relação às leis da Física, nos diversos sistemas de referência em movimento relativo entre si.

Durante todo o desenvolvimento do assunto, iremos utilizar, quando for conveniente, o artifício de considerar a velocidade da luz igual à unidade (� = 1), a fim de facilitar os cálculos, para depois retornar o valor de “�” às equações, através de uma análise dimensional.

Como já vimos, as equações que definem a Transformação de Lorentz – segundo a qual a velocidade da luz permanece “invariante” em todos os siste-mas de referência que se movem com velocidade relativa uniforme entre si – são dadas por:

As coordenadas perpendiculares à direção do movimento, � e �, como

podemos ver nas equações, não se alteram na Transformação de Lorentz. Para podermos ver por que isto ocorre, basta imaginarmos, em cada um dos siste-mas, uma régua colocada na direção “perpendicular” à direção do movimento relativo, considerando que o sistema “A” está em repouso (em relação a nós) e

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

' ''

1 1

''

'

1 1

' '

' '

x Vt x Vtx x

V V

c c

Vx Vxt t

ec ct tV V

c c

y y y y

z z z z

− + = = − − − + = = − − = =

= =


que o sistema “B” está se movendo com velocidade � em relação ao sistema “A”.

Quando as réguas passam uma pela outra, queremos saber se suas ex-tremidades coincidem ou não. Se elas coincidem, então os comprimentos delas devem permanecer inalterados para todos os observadores nos diversos siste-mas.

O argumento que nos revela a confirmação deste fato é dado pelo se-guinte raciocínio. Imaginemos um terceiro sistema, “C”, movendo-se com a metade da velocidade relativa de “B” em relação a “A”. Neste caso, o obser-vador em “C” vê os sistemas “A” e “B” afastarem-se em direções opostas e

com a mesma magnitude de velocidade, ou seja, + -+ e − -+. Se considerarmos que o observador “C” está a meio caminho dentre “A”

e “B”, com ambos sistemas movendo-se ao encontro de “C”, então ele estará vendo os sistemas “A” e “B” em condições “totalmente simétricas”, movendo-se em direções opostas e com a mesma velocidade.

Dessa forma, o observador em “C” irá ver as duas réguas se aproxima-rem com a mesma velocidade, numa condição de completa simetria, de modo que ele obrigatoriamente verá as suas extremidades coincidirem no instante do cruzamento entre “A” e “B”, pois, caso contrário, ele seria capaz de perceber alguma assimetria entre “A” e “B”.

Esta é a razão pela qual a transformação das coordenadas na direção perpendicular ao movimento apresenta a forma simples de � = �′ e � = �′.

Vejamos agora outra forma de escrever as Transformações de Lorentz, a qual nos pode dar uma visão geométrica melhor para vermos como estas equa-ções funcionam. Iremos usar a velocidade da luz unitária (� = 1).

2 2' ; '

1 1

x Vt t Vxx t

V V

− −= =− −

Somando estas duas equações, obteremos:


( )( ) ( )( )( )( )

( ) ( )( )

2 2

1 1' '

1 11 1

1' '

1

x t V x t Vx Vt t Vxx t

V VV V

Vt x t x

V

+ − + −+ + −+ = = =

+ −− −

−∴ + = +

+

Se nós, agora, subtrairmos estas duas equações, teremos de forma análo-

ga:

( ) ( )( )1

' '1

Vt x t x

V

+− = −

−

Se, em vez de trabalharmos com as coordenadas � e �, utilizarmos um

novo sistema de coordenadas no espaço-tempo, dadas por “� + �” e “� − �”, estas duas equações irão representar a transformação matemática para outro sistema de referência “B”, de coordenadas “� + �” e “� − �”.

Graficamente, teremos:


Podemos ver então que este novo sistema de coordenadas, quando sub-metido a uma transformação de Lorentz, é simplesmente multiplicado por um fator dependente da velocidade relativa entre os sistemas, sendo este fator, para cada um dos sistemas, um o inverso do outro.

Vemos que, assim, a figura matemática da transformação de um sistema para outro se reduz a um “encolhimento” da coordenada � + � pelo fator

( )( )1

1

V

V

−+

e ao alongamento da coordenada � − � pelo fator ( )( )1

1

V

V

+−

, sendo

cada fator o inverso do outro. É importante notar que, neste caso, a transformação “não” altera o ângu-

lo de 450 entre os eixos das novas coordenadas. Isto significa que a velocidade da luz permanece invariante no novo sistema de coordenadas.

Vejamos agora o conceito de “Tempo Próprio”. Newton considerava um tempo universal absoluto, sincronizado em to-

dos os sistemas de referência. Como já sabemos, isto não é verdadeiro segundo a teoria da relatividade.

O “tempo próprio” é o tempo medido em uma “mesma posição” de um determinado sistema de referência.

Vamos ver a expressão para o tempo próprio e verificar que se trata de um invariante segundo a Transformação de Lorentz.

Suponhamos dois eventos, sendo um deles definido pela coincidência das origens e dos tempos entre os dois sistemas “A” e “B”, em movimento relativo entre si, onde “B” tem velocidade � em relação a “A”.

Em relação ao sistema “B”,

o gráfico espaço-tempo é repre-sentado por:


De um modo análogo à distância entre dois pontos no espaço – que não depende da orientação dos eixos coordenados e é dado pela raiz da soma dos quadrados das componentes – façamos agora a subtração entre os quadrados do tempo e do espaço para o evento . em relação ao sistema “B”.

2 2

2 2

2 2' '

1 1

t Vx x Vtt x

V V

− −+ = − − −

( ) ( )

2 2 2 2 2 22 2

2

2 2 2

2 2 2 2 2 22

2 2' '

1

1 1' ' ' '

1

t tVx V x x xVt V tt x

V

t V x Vt x t x t x

V

− + − + −+ =

−

− − −⇒ + = ∴ + = +

−

Isto significa que a quantia 2 2t x− é um invariante, sendo a mesma para

todos os sistemas de referência. Este invariante, assim como todo invariante, é importante e recebe o nome de “tempo próprio”.

“TEMPO PRÓPRIO” = 2 2

t x−

(entre a origem e o evento.: ' ' 0 , ' ' 0 't t t x x x∆ = − = ∆ = − = )

V ejamos agora quais os possíveis valores que o tempo próprio pode assumir.


Se 2 2t x> , isto significa que estamos falando de pontos situados na re-

gião do espaço-tempo em que t x> (Região de tipo “tempo”): --------------------------------------------------------------------------------------------

OBS: Se estivéssemos trabalhando no espaço tridimensional, a fórmula para o tempo próprio seria dada por: 2 2 2 2

t x y z− − − . --------------------------------------------------------------------------------------------

Ao longo do “cone de luz” o “tempo próprio” é zero (� = �). Neste caso – diferente daquilo que se passa com as distâncias normais no

espaço, que, quando são nulas, significam pontos coincidentes – podemos ter dois pontos “não” coincidentes, mas cujo intervalo de tempo próprio é zero, bastando para isso que eles estejam situados ao longo do cone de luz.

Se considerarmos um relógio situado na origem do sistema, teremos para o seu tempo próprio:

Portanto o tempo próprio é o

tempo medido pelo próprio relógio, quando este está parado no sistema de referência.

Se o relógio estiver em mo-

vimento, teremos: Neste caso, nós podemos

considerar o princípio da relatividade, tendo em conta que o relógio está em repouso e que o sistema se afasta dele na direção oposta.

Teremos então o mesmo resul-

tado para o “tempo próprio”.

Quando temos 2 2t x< , o tempo

�′ = 0 x

t

x

t

� = 0


�

�

próprio se torna imaginário. Trata-se de pontos situados em uma região de tipo “espaço”.

Vamos estudar a relação entre o tempo medido pelo sistema e o tempo próprio.

Neste caso, o que desejamos saber é qual será o tempo �′ em fun-ção de � e �.

Esta é a famosa fórmula da di-

latação do tempo. Segundo esta fórmula, o tempo do relógio em movimento é “menor” que

o tempo do relógio no sistema em repouso, de modo que um observador no sistema em repouso verá o relógio no sistema em movimento com um ritmo “mais lento”.

É muito importante notar que isto “não significa” que um observador do sistema em movimento irá ver o relógio do sistema em repouso com um ritmo acelerado!

O que acontece é que, pela lei da relatividade, o observador em mo-vimento irá ver o relógio em repouso também com um ritmo retardado, da mesma forma como seu relógio foi visto pelo outro.

Isto pode parecer contraditório, mas o relógio em movimento não tem a sua linha de tempo na direção hori-zontal.

Desse modo, estamos compa-rando quantidades diferentes.

2 2 2 2 2 2' ' 't x t x t t x− = − ∴ = −

x

t

�′ = 0

x

� = �� t


�

�

/

/

�& = 0

T’

��

Vamos ver agora o paradoxo dos gêmeos. Dois gêmeos nascem na origem de um sistema no tempo � = �& = 0. Um deles permanece em repouso em A e o outro segue em alta velocidade por um determinado tempo, para em seguida retornar na mesma velocidade para a origem do sistema, onde está o seu ir-mão. Então eles comparam os seus res-pectivos tempos.

2 2 2

2 2

'

' 1

T T V T

T T V

= −

= −

Para sabermos a diferença, basta calcularmos o tempo próprio ao longo

das trajetórias percorridas. Para o gêmeo no sistema estacionário, o tempo decorrido será “2/”. Pa-

ra o observador em movimento, o tempo próprio decorrido será “2/&”, que

equivale a 22 1T V− , cujo valor é menor do que aquele em repouso. Mas será que este caso, pelo fato de não apresentar simetria, representa um paradoxo? Será que ambos poderiam afirmar que o outro envelheceu? Não! O gêmeo que estava em movimento teve que experimentar acelerações para cumprir o seu trajeto, e isto “quebra” a simetria entre os dois, de modo que não há nenhum paradoxo.

Vejamos agora a questão da contração do espaço. É sempre importante fazer um gráfico espaço-tempo, para compreender

bem os problemas da relatividade:


� = �0

�

� = 0 0 "

Consideremos uma régua de comprimento “0” em repouso no sistema “A”. Agora queremos saber o comprimento que um observador, movendo-se no sistema “B”, com velocidade � em relação a “A”, irá medir para a régua.

Para medir a régua, o observador em “B” precisa efetuar medias no “mesmo instante” no sistema “B”.

2 2 2 2 2 2

2 2

' ' '

' 1 ' 1

t x x V L L

x L V L L V

− → − = − +

= − ⇒ = −

Também aqui existe simetria, de modo que cada observador vê a régua

que está movimentando-se contrair-se por um fator 21 V− . Vamos ver agora outro aparente paradoxo na relatividade, sempre fazen-

do um diagrama espaço-tempo, o que ajuda a evitar certas impressões “intuiti-vas”, nas quais estão as causas de muitas interpretações erradas nestas ques-tões.

Vamos imaginar uma garagem estacionária no sistema A e uma limusine se deslocando em direção à entrada da garagem. Na situação de repouso no sistema A, a limusine tem um comprimento maior do que a garagem.


A questão é a seguinte: será possível a limusine – se ela andar rápido o

suficiente – contrair-se a tal ponto, que lhe permita caber na garagem? Este raciocínio considera que a limusine sofrerá em relação à garagem uma contra-ção de Lorentz, o que tornará perfeitamente possível ela caber na garagem. Mas, por outro lado, segundo o ponto de vista do carro, a garagem sofrerá uma contração, piorando ainda mais a situação!

Devemos ver primeiramente que o fato de a limusine caber ou não na ga-ragem é dado pela condição de que suas extremidades coincidem com as ex-tremidades da garagem ao “mesmo tempo” (simultaneamente no referencial em repouso).

Este é o ponto chave das interpretações na relatividade: “o conceito de simultaneidade”!

Vamos desenhar o diagrama espaço-tempo para o caso em questão:


Conforme vemos no diagrama, existe um intervalo de tempo ∆� no refe-rencial da garagem, no qual as extremidades da limusine, P e Q, estarão simul-taneamente, para o referencial da garagem, dentro da garagem, de modo que, neste referencial, a limusine estará menor do que a garagem. No gráfico, ve-mos que a frente da limusine entra na garagem no ponto R, enquanto a traseira entra na garagem no ponto P. Vemos também que a frente da limusine só al-cança o final da garagem no ponto Q, tudo isso no referencial da garagem!

No gráfico, podemos ver claramente que, no intervalo de tempo ∆�, o comprimento L’, segundo o qual a garagem vê a limusine, fica todo contido na garagem.

Mas também vemos que, para o observador na limusine, quando a sua traseira está no início da garagem, a sua frente já está fora da garagem, como nos mostra o ponto S, que, para o observador na limusine, está situado na linha de “mesmo tempo”, ou seja, na linha que define a simultaneidade para o ob-

∆�

t t’

x’

x

P

R

L’ G

L’ Q

S


servador na limusine! Isto significa que, para o motorista da limusine, a trasei-ra da limusine só atingiu a entrada da garagem após a frente ter saído da gara-gem!

Vemos, então, que não há paradoxo algum, sendo tudo apenas uma ques-tão de entender o conceito de simultaneidade. Este é o ponto comum para to-dos os paradoxos aparentes da relatividade.

Vamos ver agora como, segundo a relatividade, funcionam as leis da fí-sica em relação, por exemplo, à força e ao momento de Newton. Para isso, voltaremos à Transformação de Lorentz, a fim de desenvolver um pouco de matemática.

Na relatividade, temos quatro dimensões: as três espaciais e o tempo. Uma notação compacta e conveniente para lidar com quatro dimensões é a seguinte:

( ) ( )0 1 2 3, , , , , ,t x y z x x x x xµ= = , onde , , , ou 0,1,2,3t x y zµ µ= =

Esta representação também pode ser feita como: “ xµ ”.

Convenciona-se chamar cada uma das representações como:

xµ → CONTRAVARIANTE

xµ → COVARIANTE

Na forma covariante, xµ , estamos agora representando o objeto:

( ) ( )0 1 2 3, , , , , ,t x y z x x x x xµ− − − = − − − =

Portanto, quando o índice “ µ ” passa para baixo, as componentes espa-

ciais trocam de sinal. Podemos escrever então que:

( ) ( )0 1 2 30 1 2 3, , , , , ,x x x x x x x x xµ = = − − −

**********


OBS: A mudança de sinal nas coordenadas está associada à “métrica” da trans-

formação de Lorentz, que é dada por 2 2 2 2 2ds dt dx dy dz= − − − .

********** Esta notação é bastante concisa e eficiente na relatividade. Vamos considerar a seguinte expressão:

( )( ) ( )( ) ( )( )0 1 2 30 1 2 3

2 2 2 2

x x x x x x x x tt x x y y z z

x x t x y zµµ

µ

+ + + = + − + − + −

∴ = − − −∑

Esta última equação representa a “DISTÂNCIA PRÓPRIA” no espaço-

tempo, constituindo um “INVARIANTE” segundo a transformação de Lorentz (neste caso, a distância é entre um determinado ponto no espaço-tempo (�, �, �, �) e a origem do sistema).

Este tipo de expressão, x xµµ , aparece com tanta frequência na Teoria da

Relatividade, que Einstein criou uma regra para facilitar a escrita. Segundo esta regra, sempre que tivermos dois índices repetidos, um “superior” e outro “inferior”, então a expressão deve ser somada neste índice, que deve variar de 0 até 3. Assim, segundo a “Convenção de Soma de Einstein” temos:

x x x xµ µµ µ

µτ= =∑

(Distância ou Tempo Próprio)

Como já vimos, a Transformação de Lorentz combina o espaço e o tem-

po juntos, tal como, por exemplo, quando um observador se move ao longo do eixo �, situação na qual temos as coordenadas � e � misturadas na transforma-ção para �′ e �′.

O princípio da relatividade é um princípio de simetria, segundo o qual as equações da Física devem ser simétricas, não mudando quando submetidas a uma Transformação de Lorentz.

Uma das outras simetrias conhecidas é aquela que se refere à rotação de um sistema no espaço.


t

x

y �̅

θ �!

De fato, se nós combinarmos a Transformação de Lorentz com a trans-formação de rotação, obteremos uma gama muito maior de transformações, que formam basicamente todo o conjunto de transformações da Física Relati-vística.

Se supusermos apenas duas

dimensões espaciais, teremos graficamente:

Como sabemos, para um observador movendo-se na direção �, a Trans-

formação de Lorentz é dada por:

2'

1

x Vtx

V

−=

− ;

2'

1

t Vxt

V

−=

− ; �& = �

Se quisermos saber a transformação para um observador movendo-se na

direção de �, basta trocarmos � ↔ � e teremos:

2'

1

y Vty

V

−=

− ;

2'

1

t Vyt

V

−=

− ; �& = �

Mas isto corresponde a uma rotação de 90o, de modo que o eixo � coin-

cide agora com o eixo � anterior. Sendo assim, vemos que, para uma direção qualquer na qual o observador se mova, devemos primeiramente determinar o “novo” eixo �’, decorrente da “rotação”, para em seguida aplicar a Transfor-mação de Lorentz neste eixo. Com estas duas transformações, podemos repre-sentar qualquer sistema em movimento relativo.


(�, �)

�

�̅

� �!

Vamos estudar então como se realiza a transformação de rotação, que não tem nada a ver com a relatividade de Einstein.

Para os eixos � e �, uma rotação de um ângulo 4 resulta na seguinte

transformação:

cos sen

sen cos

x x y

y x y

θ θθ θ

= += − +

Segundo esta transformação, a distância entre dois pontos quaisquer não se altera. Portanto devemos obter como consequência:

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

cos 2cos sen

sen sen 2cos sen cos

x y x y

y x xy y

x y

θ θ θ

θ θ θ θ

+ = + ⇒ + +

+ + − + =

= +


( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

cos sen sen cosx y x y

x y x y

θ θ θ θ⇒ + + + = +

∴ + = +

Vamos expressar a transformação de rotação através de matrizes:

cos sen

sen cos

x x

y y

θ θθ θ

= −

Esta expressão também pode ser escrita da seguinte forma:

( )1 1 2 21 2 1 2

1,2,3

cos ; sen ; sen ; cos

i i jjx M x i

M M M Mθ θ θ θ

= =

= = = − =

Vemos, então, que estas transformações têm sempre uma matriz associa-

da a elas. Vejamos agora qual a matriz associada à transformação de Lorentz.

2

2

2 22

2

2

2 2

'

11'

0 0' 1 1

' ' 0 1 0 01 ' 1

0 01 1'

'

x Vtx

V x y z tc Vx

Vxyt V V

ct zV

t Vc

V Vy y

z z

− = − −

− − − = − − − − =

=

⇔

Disto resulta que:


2 2

2 2

1'0 0

' 1 1' 0 1 0 0

' 10 0

1 1

x y z t

Vx x

y yV V

z z

t V t

V V

−

− − = −

− −

Em notação simbólica, isto pode ser representado por:

[ ]

'

'

'

'

x x

y yL

z z

t t

=

Da mesma forma, teremos para uma rotação:

[ ]

'

'

'

'

x x

y yR

z z

t t

=

Assim, se quisermos fazer uma Transformação de Lorentz ao longo de

um eixo qualquer, primeiramente fazemos uma rotação para alinhar o eixo � do sistema com aquela direção e, depois, aplicamos a Transformação de Lo-rentz.

Com isso, obtemos uma matriz que é o resultado do produto de outras duas matrizes:


[ ][ ]

'

'

'

'

x x

y yL R

z z

t t

=

Se as leis da Física forem invariantes segundo qualquer transformação

de rotação e segundo a Transformação de Lorentz na direção de um determi-nado eixo, então elas serão invariáveis segundo a Transformação de Lorentz em todas as direções.

Vamos ver agora a utilização da multiplicação de matrizes para o caso de composição de velocidades. Este é o caso de um sistema “C” que se move com uma velocidade 5 em relação a um sistema “B”, enquanto o sistema “B” se move com uma velocidade � em relação a um sistema “A”. Queremos sa-ber, neste caso, qual a Transformação de Lorentz do sistema “C” para o siste-ma “A”, em função das velocidades 5 e �.

Vamos nos restringir apenas ao tempo e à coordenada � para este pro-blema.

Para a transformação do sistema “B” em relação a “A” temos:

2

' 11

' 11

x V x

y V yV

− = − −

Para a transformação do sistema “C” em relação a “B”, temos:

2

'' 1 '1

'' 1 '1

x V x

y V yU

− = − −

Disto resulta então:


2 2

'' 1 11

'' 1 11 1

x V V x

y V V yV U

− − = − − − −

2 2

'' 11

'' 11 1

x UV V U x

y U V UV yV U

+ − − = − − + − −

Surge aqui a questão sobre a possibilidade de se expressar esta transfor-

mação na mesma forma da Transformação de Lorentz, ou seja, na forma:

2

'' 11

'' 11

x W x

y W yW

− = − −

Para verificarmos que isto acontece de fato, vamos pegar os dois termos

da primeira linha da matriz obtida pela composição e igualá-los aos dois ter-mos da primeira linha da matriz desejada (os outros dois termos diferem ape-nas pelo sinal e, por isso, não acrescentam nenhuma informação nova).

2 2 2

2 2 2

1 1

1 1 1

1 1 1

UV

V U W

U V W

V U W

+ =− − −

− − − = − − −

Substituindo o valor de 21 1 W− , dado pela primeira equação, na se-gunda:

( )

2 2 2 2

1

1 1 1 1

W UVU V

V U V U

− +− −=

− − − −


Daí obtemos: 1

U VW

UV

+=

+ Para recolocarmos a constante “c” da velocidade da luz na equação, uti-

lizamos a análise dimensional, de modo que, para tornar o termo 5� adimen-sional (para ser somado com “1”), devemos dividi-lo por �+:

21

U VW

UV c

+=

+ (Note-se que, se 5 e � forem iguais �, então � = �)

Vejamos agora o conceito de velocidade na Teoria da Relatividade. Po-

rém, antes de entrar no assunto, vamos falar sobre “quadrivetores” ou “4-vetor”.

É evidente que um ponto no espaço-tempo pode ser imaginado como um vetor de quatro dimensões ou “4-vetor”, com �, �, �e� sendo suas quatro componentes. Vamos representar estas quatro componentes por: “�6”.

Um 4-vetor se transforma segundo a Transformação de Lorentz, de mo-do análogo à transformação das coordenadas �, �, �e�.

( )( ) ( )

0 1 2 3

0 1 2 30 1 2 3

, , ,

, , , , , ,

v v v v v

v v v v v v v v v

µ

µ

=

= = − − −

O conceito de comprimento no tempo-espaço quadridimensional, associ-

ado ao conceito de “tempo próprio” ou “distância própria”, é obtido através do produto escalar. Desse modo, o quadrado da magnitude de um determinado 4-vetor (a distância, segundo a Transformação de Lorentz, entre a sua extremi-dade e a origem do sistema), será dada por: 2v v vµ

µ=

Podemos também pensar no produto escalar entre dois 4-vetores de mo-do análogo ao caso em três dimensões:

w v w vµµ⋅ =


Estas quantidades são invariantes segundo a Transformação de Lorentz, como já vimos.

Vejamos então o conceito de velocidade. Na Mecânica newtoniana, a velocidade tem três componentes, porém, na

teoria da relatividade, tudo que tem três componentes tem também uma quarta componente, dada pelo “tempo”! Portanto a velocidade é também um 4-vetor na relatividade.

De acordo com o conceito tradicional, as componentes da velocidade são:

; ;x y z

dx dy dzv v v

dt dt dt= = =

Neste caso, qual seria a quarta componente? Certamente não seria

dt dt , pois assim teríamos um valor fixo: “1”! Vemos que essa não é uma definição válida para a velocidade relativísti-

ca, pois não se adequa à Transformação de Lorentz. Vejamos então qual o conceito de velocidade de uma partícula segundo a

teoria da relatividade. Vamos começar por um particular sistema de coordenadas, � e �, no qual � pode assumir os valores de � e de � conjuntamente, permitindo assim repre-

sentar tudo em um diagrama bidimensional:


Quando uma partícula se move ao longo da “Linha do Universo”, do ponto P para o ponto Q, ela passa por pontos de coordenadas variáveis �, �, �, e�.

Podemos, no entanto, considerá-la deslocando-se no plano, de modo que, em um determinado ponto da trajetória, ela irá percorrer a distância 7�6, onde 7�6 = 7�, 7�, 7�e7�, ou seja, quatro deslocamentos.

Normalmente, nós dividiríamos este deslocamento 7�6 pelo intervalo de tempo decorrido no sistema de referência. Porém, ao invés de usar este inter-valo, vamos usar o intervalo de “tempo próprio” (78) da partícula.

Devemos notar que o intervalo de “tempo próprio” da partícula é um in-variante e, portanto, não depende do sistema de referência. Portanto, se divi-dirmos 7�6 por 78, obteremos um 4-vetor que se transforma da mesma manei-ra que �6 se transforma, pois �6 ou 7�6 transformam-se segundo Lorentz e 78 é um invariante. Assim teremos para a velocidade relativística 96 a expres-são:

dx

ud

µµ

τ=

Vamos ver a relação da velocidade relativística com a velocidade clássi-ca. Precisamos saber primeiro qual é a expressão para a derivada 7� 78⁄ .


Já sabemos que 2 2 2 2 2d dt dx dy dzτ = − − − .

Dividindo esta expressão por uµ 7�+, obtemos então:

22 2 2

21 x y z

dv v v

dt

τ= − − − , ou seja:

22

2 2

11

1

d dtv

ddt v

ττ

= − ⇒ =−

Daí podemos obter as seguintes relações:

1

2

2

2

3

2

1

1

1

xx

yy

zz

dx dx dt vu u

d dt d v

dy dy dt vu u

d dt d v

dz dz dt vu u

d dt d v

τ τ

τ τ

τ τ

= = = =−

= = = =−

= = = =−

A quarta componente é dada por: dt dτ . Portanto: 0 21 1 tu v u= − = . Temos assim as quatro componentes do 4-vetor velocidade relativístico

“9”, que se transforma segundo as equações de Lorentz. Outra forma de interpretar a velocidade relativística é fazendo uma ana-

logia com a determinação do “vetor unitário tangente” a uma trajetória no es-paço Euclidiano. Vejamos como é isso.


7� y

z

7;<x

Vemos que o comprimento da trajetória “7�” faz o mesmo papel do “tempo próprio” “78”. Temos assim uma analogia entre a tangente unitária no espaço Eucli-diano e a velocidade relativística “tangente” no espaço-tempo qua-dridimensional.

Logicamente, podemos deri-var a velocidade em relação ao tempo próprio, para obtermos a aceleração própria. Através da

aceleração própria, podemos entender como as equações de Newton devem ser modificadas segundo a teoria da relatividade.

Vamos ilustrar o conceito de “momento”. Trata-se de um conceito im-portante em mecânica, o qual tem seu significado ampliado na relatividade.

Na física clássica, o momento é um vetor. Na física relativística, o mo-mento é uma “parte” de um quadrivetor. Segundo Newton, �< = =><, onde >< e �< são vetores e a massa é apenas um número.

A propósito, na física moderna não se fala que a massa muda com a ve-locidade. A massa é considerada apenas como uma característica da partícula, chamada de “massa de repouso”. Deve-se pensar, portanto, que a massa é uma característica associada à partícula em si, e não à sua velocidade. Assim, quando consultamos uma tabela para saber qual a massa de um elétron, encon-tramos simplesmente a sua massa, e não alguma função da velocidade do elé-tron.

O análogo do momento clássico é encontrado através da multiplicação da “massa” pela “velocidade relativística. Assim temos:

�6 = =96 (4 componentes!). Uma vez que o momento é conservado, isto nos permite prever o com-

portamento de partículas que interagem entre si ou sofrem alguma interferên-cia. É importante notar que a conservação é relativa às “quatro” componentes


do momento, e não apenas a três. Em relação à componente ”�”, podemos ver que :

2;

1

xx x x xv c

mvp m p mu

vv= = =

−⇒

O mesmo ocorre de modo análogo para as outras componentes espaciais, �? e �@. Vejamos agora a componente �A, relativa ao tempo. Trata-se da

“ENERGIA”, que também é conservada, sendo a quarta componente do mo-mento:

0

21

t mp p

v= =

−

Na verdade, a quarta componente é proporcional à energia, sendo o fator de proporção dado por “�+”. Portanto:

2

2

21

t mcc p

v=

− (energia conservada)

Vejamos como a energia está relacionada com a energia clássica. Para isso, faremos uma aproximação para a expressão da energia relativística, apli-cando o Teorema do Binômio de Newton, segundo o qual, para um “B” peque-no, temos: (1−∈)D = 1 − � ∈. Com isso obtemos:

( )12 2

2 2 2 2 2222

1 11 1

2 21

mc vmc v mc mc mv

cv

− = − + = +

− �

Vemos que a quarta componente do momento relativístico, ou seja, a

energia relativística, fica reduzida ao acréscimo de um termo à energia cinética clássica de uma partícula em velocidades normais. Este termo é “=�+”. Uma


vez que se trata de uma constante, a parte significativa da energia, neste caso, está na energia cinética, conforme a mecânica clássica.

Quando o momento sofre uma transformação de Lorentz, as suas com-ponentes de momento e de energia são misturadas, da mesma forma como acontece com as coordenadas de espaço e tempo. Assim, pode ocorrer que um sistema veja apenas energia, enquanto outro sistema vê energia e momento, mas em todos os sistemas o momento relativístico é conservado. Portanto, em um sistema isolado, todas as quatro componentes do momento relativístico, são conservadas antes e depois de uma colisão.



AULA No 3

Quadrivetores – Velocidade relativística – Tensores

Vamos ver um exemplo de uma lei que é possível na natureza, mas que

não é uma lei da natureza. Duas partículas colidem no espaço de referência dado pelos eixos � e �,

conforme o diagrama abaixo:

A lei é que duas partículas irão colidir e tomar trajetórias não usuais to-

das as vezes que elas tiverem a mesma coordenada �. Não há nada matematicamente inconsistente com esta lei. No entanto ela

parece violar alguma característica das leis físicas, indo contra a nossa intui-ção. Ela viola a “ISOTROPIA” do universo, ou seja, ela vai contra o fato de que as leis físicas são independentes da orientação do sistema de referência. Se nós rotacionarmos o sistema acima por 90° no sentido horário, então, para observarmos os mesmos comportamentos, a lei teria que mudar, definindo que a colisão somente sucederia quando as partículas tivessem a mesma ordenada �. Para rotações intermediárias, a lei se complicaria ainda mais.

Assim, esta lei quebra o princípio de que as leis físicas são independen-tes da orientação dos sistemas de referência, sendo que, segundo este princí-pio, também não é necessário nos assegurarmos de que os eixos sejam perpen-diculares entre si, pois é possível expressar as leis físicas em qualquer sistema

�

�

1

2

3

4

�G = �H �I = �+


de coordenadas! Porém, na grande maioria dos casos, tais leis se simplificam com a utilização de sistemas ortogonais.

Podemos dizer que a lei acima não é “invariante” segundo uma rotação do sistema.

Se nós modificarmos a lei, dizendo que duas partículas irão colidir quando tiverem as mesmas coordenadas � e �, então a regra agora é que elas colidem apenas no mesmo ponto do espaço. Neste caso a lei é independente da orientação do sistema, sendo assim invariante em relação à rotação do sistema no plano.

Nós podemos reescrever esta lei, utilizando vetores, agora para o caso tridimensional: ;<I − ;<+ = 0.

Esta é uma equação vetorial, sendo composta, portanto, de três equações. Trata-se de uma equação invariante segundo uma rotação.

É um fato que, se um vetor é zero em um sistema, ele será zero em todos os outros sistemas. Isto significa que, se todas as componentes de um vetor são nulas em um sistema de referência, então elas serão nulas em todos os sistemas de referência.

Por exemplo, se tivermos anulada apenas a componente � de um vetor num sistema, ela poderá ser diferente de zero em outro sistema, como exempli-ficado na figura abaixo:

No entanto, se todas as componentes forem nulas, então nenhuma rota-

ção pode alterar este fato! Esta é a razão pela qual nós expressamos as leis da natureza através de

vetores! Se dois vetores são iguais em um sistema, então eles serão iguais em

�′ �′

�

�

�J< → �? = 0 �J< → �? ≠ 0 →


�

�

1 1

1 2

2 1

�

�

qualquer sistema. Com isso, obtemos leis que são independentes da orientação do sistema.

Vejamos agora como ficam as coisas quando acrescentamos o tempo, supondo que a lei se aplique para a condição de tempos iguais: �I = �+.

Segundo a teoria da

relatividade, esta lei não seria possível, pois o con-ceito de simultaneidade é um conceito relativo, de modo que uma colisão ocorreria num sistema, mas não ocorreria em ou-tro, onde a história se complicaria.

A Física funciona com a transformação de Lorentz, segundo a qual as

leis da física são invariantes, permanecendo as mesmas em todos os sistemas em movimento relativo entre si. Vejamos o que isto significa para o caso de uma colisão “simples” entre partículas.

Segundo as leis da física, a colisão so-

mente pode ocorrer quando as partículas se en-contrarem no mesmo ponto do espaço-tempo.

Assim, somente quando as partículas es-tiverem no mesmo “EVENTO” do espaço-tempo é que elas poderão colidir.

Desse modo, não importa qual o sistema

de referência, pois a colisão se dará no mesmo “ponto” do espaço-tempo. Temos assim uma lei válida segundo a teoria da relatividade.

Isto tudo pode ser representado também vetorialmente. Neste caso, terí-amos um vetor com quatro dimensões, de modo que a lei estabeleceria a coli-


�

� �′ �’ �J<

são quando: �J<I = �J<+, ou seja: �I − �+ = 0;�I − �+ = 0; �I − �+ = 0; �I −�+ = 0. Da mesma forma como já vimos

para os sistemas no espaço normal, se o vetor no espaço-tempo tem apenas algu-mas componentes nulas, isto não signifi-ca que elas serão nulas nos demais siste-mas! Por exemplo, neste diagrama sim-plificado do espaço-tempo:

Neste caso, �? = 0, mas �′? ≠ 0. Portanto nós expressamos as leis da física através de quadrivetores (4-

vetores), ou por meio de “objetos” que se transformam de um modo coerente com as de um 4-vetor.

Algumas vezes podemos expressar as leis da física por uma equação que iguala uma quantia a zero, � = �; outras vezes podemos expressá-la por uma equação que iguala uma quantia a outra: � − � = 0.

Os 4-vetores, naturalmente, transformam-se de acordo com a transfor-mação de Lorentz, ou seja, da mesma maneira como se transformam as coor-denadas �, �, �e�.

Então um 4-vetor é um objeto com quatro componentes, sendo três rela-tivas ao “espaço” e uma relativa ao “tempo”.

Transformação significa que, se conhecemos as componentes em um sis-tema, nós podemos determinar, de acordo com a transformação de Lorentz, as componentes em qualquer outro sistema.

Sabemos como a posição se transforma (utilizaremos � = 1 e L =√1 − �+), de modo que as equações de Lorentz para a posição ficam assim:


( )

( )

' ' 0 0

' ' 0 1 0 0

' ' 0 0 1 0

' 0 0'

x x Vt x V x

y y y y

z z z z

t V tt t Vx

γ γ γ

γ γγ

= − − = ⇒ =

= −= −

Outras transformações podem envolver rotações. Por exemplo, no caso de uma rotação em torno do eixo �:

' cos sen 0 0

' sen cos 0 0

' 0 0 0

' 0 0 0

x x y z t

y x y z t

z x y z t

t x y z t

θ θθ θ

= + + += − + + += + + += + + +

Podemos expressar este conjunto de equações lineares, utilizando índi-ces:

'x L xµ µ µ

ν= , onde N e O = �, �, �, � ou N e O = 1, 2, 3, 0.

Desse modo teremos:

Para a rotação em torno de �, obtemos:

�� x y

z

t


cos sen 0 0

sen cos 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Rµ

ν

θ θθ θ

− =

Podemos assim compor transformações. Por exemplo, para um sistema que não está se movendo na direção do eixo � em relação a outro sistema, nós primeiramente fazemos uma rotação tal que o novo eixo � fique na mesma direção da velocidade de translação do sistema, para em seguida aplicar a transformação de Lorentz:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

'' '

'

''

x L x

x R x

x LR x

=

=

=

O processo também pode ser realizado de forma inversa, pois não impor-ta a sequência das transformações para a invariância das leis físicas.

A equação 'x L xµ µ µ

ν= pode ser escrita na forma matricial, como uma

relação entre um vetor coluna e o produto de uma matriz por outro vetor colu-na, ou seja, como um vetor que é função linear de vetor.

Assim, por exemplo, a temperatura é um “escalar”, pois não se modifica mediante rotações. Um escalar não tem componentes, sendo composto apenas por um número.

Ainda neste caso de rotação no espaço tridimensional, a distância entre dois pontos independe da orientação do sistema, sendo, portanto, um escalar.

As componentes de um vetor “não” são quantias escalares, pois elas se modificam de um sistema para outro, conforme a orientação do sistema!

Para efeito de esclarecimento do conceito de escalar, nós poderíamos supor (apesar de absurdo) que a distância entre dois pontos no espaço fosse

�

�’ �′ �

4

�


dada pela diferença de temperatura entre eles (a primeira medida em metros e a segunda em graus Celsius). Uma vez que ambas as quantias são escalares, esta relação não dependeria da orientação dos eixos, de modo que esta seria uma relação invariante mediante qualquer rotação do sistema.

Voltando à questão do 4-vetor velocidade, sabemos que a “velocidade própria” é dada pela derivada da velocidade em relação ao “tempo próprio”:

dx dµ τ

Normalmente a velocidade relativística é chamada de “9”, porém vamos generalizar o conceito de velocidade para um 4-vetor genérico �6:

( )1 2 3 0, , ,A A A A Aµ =

A vantagem de utilizarmos os 4-vetores está no fato de que eles se trans-formam do mesmo modo como a “posição” se transforma, ou seja:

'A L Aµ µ ν

ν=

A definição de um 4-vetor está, como já falamos, baseada no fato de

que, se um 4-vetor é nulo em um dado sistema, então ele é nulo em qualquer sistema, dando-se o mesmo para qualquer igualdade entre quadrivetores. Isto é bastante útil para descrever as leis da física de uma forma igual para todos os sistemas de referência.

A forma de índices dada por ( )1 2 3 0, , ,A A A A Aµ = é chamada de

“CONTRAVARIANTE”. Existe outra forma para expressar o 4-vetor, que é chamada de “COVA-

RIANTE”, sendo dada por: ( )1 2 3 0, , ,A A A A Aµ = , na qual temos:

1 2 3 01 2 3 0; ; ; .A A A A A A A A= − = − = − = −

Portanto: ( )1 2 3 0, , ,A A A A Aµ = − − −


Disto resulta que: A Aνµ µνη= , de modo que:

11

22

33

40

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

AA

A A

A A

A A

η

− − = −

A razão para utilizarmos esta notação está no fato de que isto facilita bastante o trabalho com “escalares”. Por exemplo:

1 2 3 01 2 3 0

2 2 2 20 1 2 3

A A A A A A A A A A

A A A A A A

µµ

µµ

= + + +

= − − −

Esta forma é idêntica à do “tempo próprio” ou “distância própria”, que é dada por:

2 2 2 2 2d dt dx dy dzτ = − − −

Portanto a quantidade A Aµ

µ não se altera mediante a transformação de

Lorentz ou a transformação de rotação. Desse modo, a quantia A Aµ

µ é um

escalar, o que demonstra a utilidade da notação empregada. O comprimento do “evento” �, empregando esta notação, é dado por: �6�6.

Outra forma de escrever A Aµ

µ é: A A A Aµ µ ν

µ µνη= .

Suponhamos que temos dois 4-vetores: e A B

µ µ . Então:

0 31 20 1 2 3

0 1 2 30 1 2 3A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B

µ µµ µ= − − − = − − − =

A B A Bµ µ

µ µ∴ =


Vejamos se esta nova quantia A Bµ

µ também é invariante. Se � e � são

dois 4-vetores, então (� + �) é um 4-vetor. Portanto: (� + �)(� + �) =invariante (� − �)(� − �) =invariante Se subtrairmos a segunda da primeira, teremos:

2 2 4AA AB BA BB AA AB AB BB AB BA AB+ + + − + + − = + =

também é um invarianteAB∴ . Vamos considerar alguns 4-vetores específicos. No espaço-tempo, quando temos um pequeno deslocamento de posição,

obtemos um 4-vetor: ( ), , ,dx dx dy dz dtµ = .

Sabemos, porém, que o “tempo próprio” é dado por:

2 2 2 2 2d dt dx dy dzτ = − − − 2

d dx dxµ

µτ∴ = .

Definimos então: dx

ud

µµ

τ= (“velocidade própria” ou “4-velocidade”).

Note-se que há quatro componentes para a velocidade. Isto é estranho.

Pensamos que, quando conhecemos as três componentes espaciais da veloci-dade, então sabemos tudo sobre a velocidade. Mas isto não é verdade!

A razão para isso é que a quarta componente da velocidade é determina-da em função das três componentes espaciais. Isto acontece porque esta velo-cidade obedece a uma restrição que nos permite calcular a quarta componente, em função das outras três. Vejamos como isso acontece.

O 4-vetor u µ é um vetor unitário, pois:


2 2 2 2 2

2 21 é unitário

dx dx dt dx dy dz du u u u u

d d d d

µ µµ µ µ

µ µτ

τ τ τ τ− − −

= = = ⇒ = ⇒

Assim, uma vez que a 4-velocidade é unitária, as quatro componentes não são independentes. Temos como consequência que, para as componentes da 4-velocidade:

x

y

z

dx dx dtu

d dt d

dy dy dt dtu u V

d dt d d

dz dz dtu

d dt d

τ τ

τ τ τ

τ τ

= = = = == =

� ��

Nesta expressão, 9J< e >< se referem apenas às componentes espaciais da 4-velocidade.

Como 2

22

1d

Vdt

τ= − , então, dividindo por 2

dt , teremos:

2 2 2 2

2 2 2 21

d dx dy dz

dt dt dt dt

τ= − − −

22

2 2

2

11

11

1

d dtv

ddt v

u v vv

τ γτ

γ

⇒ = − ⇒ = =−

∴ = =−

� � �

Para a quarta componente da 4-velocidade temos:

00

2

1

1

du dtu

d d vγ

τ τ= = = =

−


**********

OBS: A expressão 21u v v= −� �

é a relação entre a velocidade “ordinária” da partícula e as três componentes espaciais da 4-velocidade, cuja quarta compo-

nente é 21 1 v− . **********

Isto nos leva agora ao conceito de “momento relativístico”. Todo objeto que tem certa “massa de repouso”, a qual chamamos de

“m”, tem um “momento” 4-vetor �6. Para podermos ter um momento que te-nha significado em todos os sistemas de referência – o que não ocorre com a definição newtoniana de massa multiplicada pela velocidade ordinária –devemos ter um momento dado pelo produto da massa pela velocidade relati-vística:

p muµ µ=

Então esta é a definição relativística do momento de um objeto de massa “=”, movendo-se com velocidade “9”. Portanto o momento relativístico, ou simplesmente momento, tem quatro componentes, sendo as três primeiras mui-to parecidas com o “momento ordinário”, quando a velocidade é pequena em comparação com a velocidade da luz, enquanto a quarta componente é a ener-gia, que, conforme já vimos, é dada pela expressão “ 2 2 2mc mv+ ” para baixas velocidades.

Vamos nos ater agora a uma lei física na sua forma “não relativística”, para tentar ver como ela deveria ser modificada, a fim de se adaptar à relativi-dade, tornando-se um invariante segundo as leis do movimento. Esta lei que iremos estudar refere-se ao movimento de uma partícula carregada através de um campo eletromagnético.

A decomposição do campo eletromagnético em campo elétrico e campo magnético não é uma decomposição “invariante”. Aquilo que em um sistema de referência é um campo magnético pode se tornar um campo elétrico combi-nado a um campo magnético em outro sistema de referência, e vice-versa.

Veremos então as equações do movimento de uma partícula carregada, expressas na forma “pré-Einstein”, movendo-se num campo eletromagnético, para descobrirmos como estas leis devem ser modificadas, para se tornarem


equações válidas segundo a teoria relativística, conservando-se invariante em todos os sistemas.

Da forma como as escreveremos agora, elas não serão as mesmas em to-dos os sistemas, porque estarão expressas com base na física “pré-Einstein”. Na verdade, foi este fato que levou Einstein a pensar que havia algo errado com a cinemática “ordinária” de uma partícula carregada.

Segundo Newton, “�< = =P<”, de modo que, para sabermos a aceleração de uma partícula, basta determinarmos a força que atua sobre ela.

Num campo eletromagnético, esta força é determinada pelo campo elé-trico “.J<(�)” e pelo campo magnético “�J<(�)”, ambos, neste caso, dados por apenas três componentes, tal como a aceleração Newtoniana.

Esta força é denominada de “Força de Lorentz” e é dada por:

( )F ma q E v B= = + ×� � ��

O primeiro termo da força, �.J<, é chamado de termo independente da ve-locidade, enquanto o segundo, qv B×

��, é denominado termo dependente da

velocidade. Se nós supusermos que não haja um campo elétrico, então, se a partícula

estiver se movendo, haverá uma força atuando nela, devida ao segundo termo. Mas isto é algo interessante, porque em algum outro sistema de referência, a velocidade da partícula pode ser nula. Neste caso, não haveria contribuição

para a força advinda do segundo termo, qv B×��

. No entanto há uma força atu-ando sobre a partícula, pois, se a partícula acelera em um sistema, então ela acelera em todos os sistemas! Concluímos então que, se num sistema há ape-nas o campo magnético “�J<(�)”, em algum outro sistema, no qual a velocidade da partícula seja zero, deve existir um campo elétrico “.J<(�)”.

Este fato é suficiente para nos mostrar que os campos elétricos e magné-ticos devem-se misturar um com o outro, quando submetidos a uma transfor-mação de Lorentz. Qual é então esta conexão entre campos elétricos e magné-ticos? A conexão se dá entre os dois através de um novo objeto, que nós cha-mamos de “TENSOR”.


Temos um objeto dado por seis componentes (“.J<(�)” e “�J<(�)”), que certamente não é um escalar (“.J<(�)” e “�J<(�)” tem três componentes cada um) e que também não é um quadrivetor. Trata-se de algo novo, que estabele-ce como estas componentes se transformam.

A fim de escrevermos o que é o campo eletromagnético do ponto de vis-ta relativístico, nós precisamos entender o conceito de “tensor”. Tensor é este novo objeto para lidar com o campo eletromagnético. Nós iremos representá-lo pela letra “/”.

Um escalar é um tensor de “ordem” zero, ou seja, é um tensor que não tem índices, uma vez que um escalar não tem componentes. Assim um escalar é o exemplo mais simples de um tensor.

Um vetor (por exemplo, um 4-vetor) é um tensor, mas é um tensor de “primeira ordem”, o que significa um objeto que tem apenas um índice, o qual pode assumir, no caso do 4-vetor, quatro valores: 0, 1, 2e3, cada um corres-pondendo a uma componente.

O termo tensor é usualmente empregado para tensores com dois ou mais índices.

O tensor mais simples é aquele formado por “dois” vetores. Vejamos um

exemplo de um tensor formado por dois 4-vetores: ( )e 0,1,2,3A Bµ ν µ ν = .

Trata-se neste caso de um objeto com 16 componentes, que é represen-tado por uma matriz “4x4”:

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

A A A A

A A A AA B

A A A A

A A A A

µ ν

=

********** OBS: Este tensor de segunda ordem pode ser visto como uma função que transforma um vetor em outro, de modo que esta função é dada pela justaposi-ção dos dois vetores �<�J< aplicada a um vetor arbitrário Q<, sendo o resutado da transformação dado pelo vetor RJJ< = �<(�J<. Q<). Esta justaposição de dois vetores (produto matricial!) é chamada “DIADE”. Assim, a díade S�<�J<T aplicada a


um vetor Q< equivale ao produto escalar de �J< por Q< multiplicado pelo vetor �<, como é demonstrado a seguir:

[ ]

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 1 1 1 2 1 3

2 2 1 2 2 2 3

3 3 1 3 2 3 3

1 1 1 2 2 1 3 3

1 1 2 2

1 2 3

1

2

3

2 2 3 3

1 1 3 2 2

; ;

. '

a b c

a b c

a b c

a a b a b a b

a a b a b a b

a a b a b a b

b c a b c a b c

b c a b c a b c

b c a

A B C

T AB A B b b b

a

b

T C a

ca

= = =

= = = =

+ +

+

+

++

=

� ��

� ��

�

( ) ( )

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

3

1

2

3 3 1 1 2 2 33 3

(

(

(

)

)

)

.

b c b c b c

b c b c b c

a

a

a

T C A

a b c b c

B C A B C

b c b c

=

+ ++ ++

∴ =

+

=� � � � ��

Este conceito se estende para mais de dois vetores justapostos (polia-des), no caso de transformações com argumentos compostos por vários veto-res.

********** Nós poderíamos tomar três vetores, obtendo assim um tensor de ordem

64. Neste caso, teríamos que representá-lo por uma matriz cúbica. O que caracteriza um tensor é a sua propriedade de se “transformar”, em

relação à mudança do sistema de referência, sempre da mesma maneira, na forma do “produto” de vetores (no caso acima o produto matricial de dois ve-tores). Vejamos como o produto de dois vetores se transforma.

**********


OBS: Se um tensor é uma transformação linear, que transforma um vetor em outro, então esta função independe do sistema de referência no qual ela se ma-nifesta, assumindo assim (tal como os vetores) diferentes componentes nos diversos sistemas, sem mudar, contudo, a sua atuação no sentido de como ela transforma um determinado vetor em outro.

********** Suponhamos que conhecemos as componentes do 4-vetor �, então as su-

as componentes em um novo sistema de referência, no qual teremos agora �′, serão dadas por:

( )'A L Aµ µ ν

ν=.

Da mesma forma, a transformação para o 4-vetor � será dada por:

( )'B L Bσ σ τ

τ=.

Vemos então que a lei de transformação para o produto “��” é dada por:

( ) ( )' 'A B L A L B L L A Bµ σ µ ν σ τ µ σ ν τ

ν τ ν τ= =

Assim, seja lá o que for um tensor, ele se transforma de acordo com um “objeto” que é composto por dois “0’s”, um para cada índice:

' 'A B L L A Bµ σ µ σ ν τ

ν τ= .

Temos então a lei geral para a transformação de um tensor de segunda

ordem:

'T L L Tµσ µ σ ντν τ=

Assim, se sabemos as componentes do tensor “/” em um sistema, então tomamos os “0” (as matrizes de transformação de Lorentz) e as aplicamos a cada índice, obtendo assim as componentes (ou índices) do tensor “/” no novo sistema de referência. Este padrão de transformação se repete para tensores de ordem maior que dois.


É “importante” lembrar que, de maneira geral: A B B Aµ σ σ µ≠ . Há dois tensores especiais de segunda ordem. Eles são chamados de ten-

sores “simétricos” e “antissimétricos”.

Tensor simétrico: T Tµν ν µ=

Tensor antissimétrico: T Tµν ν µ= −

Em termos de matrizes, eles correspondem a matrizes “simétricas” e “antissimétricas”, onde as componentes inferiores (fora da diagonal) são “iguais” ou de sinal “oposto” às das componentes superiores.

Nosso interesse agora será em relação ao tensor “antissimétrico”, que

deve ter “zeros” na diagonal, pois 0T T Tµ µ µ µ µ µ= − ⇒ = .

( )

12 13 10

12 23 20

13 23 30

10 20 30

0

0e 1, 2,3,0

0

0

T T T

T T TT

T T T

T T T

µν µ ν

−

= = − − − − −

Vemos então que um tensor simétrico possui “dez” componentes “rele-vantes”, dadas pelos elementos da diagonal e por um dos conjuntos (superior ou inferior) de elementos situados fora da diagonal.

Por outro lado, o tensor antissimétrico tem apenas “seis” elementos rele-vantes (os elementos fora da diagonal, situados acima ou abaixo dela). Este é o mesmo número de componentes do campo eletromagnético (“.J<(�)” e “�J<(�)”). Tal tipo de tensor é o único objeto, com seis componentes, que se transforma segundo a lei geral dos tensores. Isto não acontece, por exemplo, com um objeto formado por seis escalares ou pelo conjunto de um 4-vetor e dois escalares.

Assim o campo eletromagnético constitui um tensor “antissimétrico”, o qual contém seis componentes. É em função desse tensor que queremos ver como funciona a “força de Lorentz” e como ela se transforma segundo a trans-formação de Lorentz.


Vamos escrever agora a relação exata entre o “tensor antissimétrico” e as componentes do campo eletromagnético, sendo que, mais tarde, iremos de-duzir esta relação:

1 2 3 0

1 3 2 1

2 3 1 2

3 2 1 3

0 1 2 3

0 1

0 2

0 3

0 0

B B E x

B B E y

B B E z

E E E t

− → − → − → − − − →

Ou seja:

3 2 1

3 1 2

2 1 3

1 2 3

0

0

0

0

B B E

B B EF

B B E

E E E

µν

− − = − − − −

Este tensor ou matriz é representado comumente por F µν (talvez, para lembrar Faraday...).

Vamos nos concentrar apenas nas componentes magnéticas:

0

0

0

z y

z x

y x

B B

B B

B B

−

− −

deixando de lado as componentes “temporais” (Neν = 0).

Temos então um tensor com apenas três componentes relevantes, ou se-ja, um tensor tridimensional.

Assim:

12 213 3

13 312 2

23 321 1

F B F B

F B F B

F B F B

= − = = ⇒ = − = − =


Nesta segunda forma de escrever os termos deste tensor, podemos ver um padrão nos índices.

Todos eles são uma sequência “cíclica” dos números 1,2,3no sentido horário:

Com relação ao campo elétrico temos algo diferente:

10 20 301 2 3; ;F E F E F E= = = .

Ou seja, o campo corresponde ao primeiro índice do tensor �, mantendo-se o outro constante no tempo.

Vemos que o campo magnético, visto como um vetor no espaço tridi-mensional, tem uma identidade com um tensor “antissimétrico” ou com um vetor tridimensional.

Esta conexão entre tensores antissimétricos e vetores tridimensionais somente é verdadeira em três dimensões, e não em outras! Isto significa que apenas um tensor antissimétrico 3x3, de segunda ordem, tem três componentes independentes, que podem ser associadas a um vetor tridimensional. No entan-to, se tivermos um tensor 4x4, ele não poderá ser associado a um 4-vetor!

A partir deste tensor antissimétrico, do 4-vetor velocidade e do 4-vetor aceleração, escreveremos uma equação para a força de Lorentz, que se tornará invariante para todos os sistemas de referência.

1

2 3



AULA No 4

Tensor Eletromagnético – Equação de Onda

Vamos buscar entender o conceito de força, não exatamente sobre a sua

origem, mas sim sobre um mais profundo conceito de força. Há muitos tipos de força na natureza, abrangendo o tipo não-relativístico

e o tipo relativístico. Por exemplo, as leis do movimento de uma partícula car-regada, se nós ignorarmos completamente os efeitos magnéticos – os efeitos

magnéticos são eles próprios consequências do princípio da relatividade! Se a

velocidade da luz fosse infinita, não haveria efeitos magnéticos sobre uma

partícula carregada em movimento, sendo esta a razão pela qual a força

magnética é proporcional à velocidade da partícula dividida pela velocidade

da luz – então as forças serão de caráter puramente elétrico, em acordo com as leis de Newton e de Coulomb, sendo diretamente proporcionais ao produto das massas e ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância.

Esta similaridade entre força gravitacional e elétrica na física não-relativística poderia ser esperada também na física relativística, porém isso não acontece! Elas são bastante diferentes, sendo que, na verdade, as leis da gravi-tação não se estendem naturalmente no campo da física relativística, tendo que ser submetidas a uma completa modificação, para se adaptarem às condições relativísticas, o que não foi necessário fazer com as forças de natureza eletro-magnética.

Veremos então as leis das forças eletromagnéticas atuando em uma par-tícula carregada em movimento.

Sabemos que a força de Lorentz,

( )F ma q E v B= = + ×� � ��

, desconside-

rando os efeitos relativísticos, é dada, por um lado, pelas equações de Newton: �< = =P<, onde a aceleração é obtida pela derivada da velocidade, sendo a ve-locidade a derivada da posição (tudo isso em relação ao tempo normal).


Vamos nos ocupar com este termo da equação. Neste caso, a massa é um parâmetro identificado com o objeto, independente de sua velocidade e do tempo. Também na teoria da relatividade, a massa não varia com o tempo, pois sua definição é dada pela massa de “repouso” do objeto.

Podemos então, colocando a massa como constante na derivada, escrever a equação da seguinte forma: ( )F d mv dt=

�; onde =>< = �< = =V=�W�V, ou

seja: F dp dt=�

. Esta é uma definição bastante geral de força, que ultrapassa o conceito

simples da física newtoniana, sendo na verdade uma versão dela na relativida-de restrita. Esta definição está conectada ao produto da massa pela velocidade, porém, na relatividade, a velocidade não é aquela ordinária da física clássica, mas sim o 4-vetor velocidade, dado pela derivada do 4-vetor posição do espa-ço-tempo em relação ao tempo próprio.

O outro lado da equação da força de Lorentz é dado por:

( ) ( )( ), ,q E x t v B x t+ ×� ��

,

onde >< é a velocidade ordinária. Vamos ver outra interpretação para o produto vetorial. Vamos considerá-

lo como um “tensor antissimétrico”, que é obtido a partir de dois vetores. Assim, se tivermos dois vetores: �<e�J<, então teremos como tensor cor-

respondente ao produto vetorial �< × �J<: 1 1 1 2 1 3 1 1 2 1 3 1

2 1 2 2 2 3 1 2 2 2 3 2

3 1 3 2 3 3 1 3 2 3 3 3

m n n m

A B A B A B A B A B A B

A B A B A B A B A B A B A B A B

A B A B A B A B A B A B

− = −

**********

OBS: As letras gregas representam índices que variam de 0a3 (�, �, �, �), en-quanto letras latinas representam índices que variam de 1a3 (�, �, �).

********** Temos então o tensor antissimétrico:


1 2 2 1 1 3 3 1

2 1 1 2 2 3 3 2

3 1 1 3 3 2 2 3

0

0

0

A B A B A B A B

A B A B A B A B

A B A B A B A B

− − − − − −

Este tensor tem, portanto, apenas três componentes independentes, que nós podemos associar às três componentes de um vetor. Isto, porém, não signi-fica que as componentes do tensor se transformam da mesma maneira que as de um vetor. No entanto estas componentes irão se transformar como um ve-tor, se nós fizermos a correspondência correta.

Neste caso, como podemos ver, os elementos do tensor são associados às componentes do produto vetorial.

1 2 2 1 3

1 3 3 1 2

2 3 3 2 1

A B A B C

A B A B C

A B A B C

− =− = −

− =

Obtemos assim uma correspondência biunívoca entre as componentes do tensor antissimétrico m n n mA B A B− e o produto �< × �J<.

Esta ideia pode ser generalizada para dimensões superiores. Porém, em outras dimensões, um tensor antissimétrico não terá o mesmo número de com-ponentes de um vetor, sendo este um caso específico para três dimensões ape-nas. Em dimensões superiores não existe algo como o produto de dois vetores, resultando em um vetor. Mas um produto vetorial em dimensões superiores sempre resulta em um tensor antissimétrico.

Assim, a generalização do produto vetorial para outras dimensões é dada pelo “tensor antissimétrico”.

Podemos, portanto, sempre representar as componentes de um vetor pe-las componentes de um tensor antissimétrico e vice-versa.

Qual é a geometria envolvida nisto? O tensor, neste caso, tem dois índi-ces, de modo que cada componente está associada a dois eixos. A componente (�, �) do tensor antissimétrico é correspondente à componente � do vetor. Vemos então que um vetor pode ser descrito pelas componentes coplanares do produto vetorial que resulta naquele vetor ou então pelas próprias componen-tes do vetor em si.

(como já vimos, o sinal está associado ao ciclo ...3,2,1,2,3...)


Há duas formas de descrever um vetor: uma é pela “seta” que sai de um plano perpendicular, utilizando as componentes do vetor, e a outra é em ter-mos das componentes que definem este plano.

Pode-se provar que as componentes do tensor antissimétrico se trans-formam, sob uma rotação do sistema, do mesmo modo que as componentes de um vetor.

Vejamos agora o campo magnético. Por razões históricas, as componentes do vetor magnético são relaciona-

das ao tensor antissimétrico através de uma mudança extra de sinal:

12 13 3 2

12 23 3 1

13 32 2 1

0 0

0 0

0 0

B B B B

B B B B B

B B B B

− − = − = − − −

********** OBS: Esta ambiguidade para apresentar o vetor, relativa ao sinal, reflete a pos-sibilidade de podermos definir o vetor que sai do plano ou que entra no plano.

********** A força em uma partícula movendo-se em um campo magnético é dada

pelo produto vetorial �J< × �J<. Nós podemos escrever esta equação utilizando o tensor antissimétrico.

Temos então para a força de Lorentz a seguinte expressão:

( ) n nmm

f qV B=�

(considerando apenas o campo magnético).

Uma partícula carregada, movendo-se em um campo magnético, não al-tera a magnitude de sua velocidade, uma vez que a força aplicada a ela é sem-

( )( )( )

( )2 3 3 2 2 21 3 31 1 111

3 1 1 3 3 32 1 12 2 222

1 2 2 1 1 13 2 23 3 333

(soma em n=1,2,3)

n nmm

V B V B V B V B V B V B

V B V B V B V B V B V B V B V B

V B V B V B V B V B V B

× = − = + + × = − = + + ⇒ × = × = − = + +

� �

� � � �

� �

=0


pre perpendicular à sua velocidade (estamos considerando um campo magnéti-co “estático”). Assim a energia cinética da partícula permanece constante (a menos de um fator):

( )( ) 2 2 ( ) 2mm m m m m m m m

m

dVd dV V V a V V V V B V

dt dt dt= = ⇒ ∝ ×

� �

( ) 2m m n nm m

dV V V B V

dt∴ ∝

Uma vez que � é um tensor antissimétrico: 0n nm mV B V = , pois todo ter-

mo é somado ao seu elemento simétrico ( n nm m m mn nV B V V B V= − ). Assim:

( ) 0m m

dV V

dt= .

Provamos então que a magnitude da velocidade é constante. Fizemos este tipo de abordagem do problema porque nossa intenção é

generalizar o processo para quatro dimensões. Já sabemos que os campos elétricos e magnéticos se misturam diferen-

temente de acordo com o sistema de referência utilizado, dependendo da velo-cidade relativa entre os sistemas. Isto deriva do fato de assumirmos que as leis da física são as mesmas em todos os sistemas de referência.

É mais ou menos óbvio que, se tivermos um campo magnético puro em um sistema, outro sistema irá perceber, dependendo de sua velocidade, um campo magnético e um campo elétrico. Vejamos um exemplo disso.

Suponhamos um sistema no qual o campo magnético está na direção �, com uma partícula carregada que se move na direção �.

Estamos considerando movimentos não relativísticos neste caso, consi-derando também um campo uniforme. Sendo assim, a aceleração é um invari-

ante (Física Newtoniana). Então todos obser-vadores veem a mesma aceleração.

Vamos supor que o segundo observador esteja se movendo com a mesma velocidade da partícula, �J<. Para este observador, a partícula está em repouso. Porém, neste caso, ele tam-bém tem de observar a mesma aceleração para

x

y

z

�J< �J<


a partícula, sendo que esta aceleração não pode ser atribuída ao campo magné-tico, segundo o ponto de vista deste observador.

**********

OBS: Neste caso estamos considerando apenas um pequeno intervalo de tem-po, de modo que é possível considerar observador e partícula momentanea-mente com a mesma velocidade.

********** Dessa forma, este observador deve verificar outra fonte para esta acele-

ração, que, de acordo com a equação da força de Lorentz, deve vir de um campo elétrico, pois, neste sistema, a velocidade da partícula é zero.

Vemos assim que os campos elétricos e magnéticos misturam-se nos vá-rios sistemas de referência em movimento relativo entre si. Porém, para ob-termos as equações relativisticamente corretas, nós teremos que trabalhar com quadrivetores, ou 4-vetores!

Vejamos então, novamente, o que são 4-vetores e como o campo elétrico e o campo magnético são representados por eles. O objetivo é derivarmos, para o movimento, equações que permaneçam as mesmas em todos os siste-mas de referência.

Temos, para os campos elétricos e magnéticos, um total de seis compo-nentes. O único objeto, em quatro dimensões, que tem seis componentes é um tensor antissimétrico. É natural, então, que façamos uma associação entre eles.

1 2 3 0

3 2 11

3 1 22

2 1 33

1 2 30

0

0(Tensor do Campo Eletromagnético)

0

0

B B E

B B EF

B B E

E E E

µν

−

− =

− − − −

********** OBS: Adotamos aqui a notação na qual o índice do tensor varia da seguinte forma: NO = 1,2,3,0.

**********


Podemos ver que o tensor contém, como uma sua sub-matriz, o tensor magnético, assinalado pela linha pontilhada.

Este é o objeto que deverá definir as forças atuando em uma partícula movendo-se num campo magnético.

Vejamos agora qual a lei apropriada para a “força”, de acordo com a teo-ria da relatividade.

Vamos começar pela ideia de aceleração. Nós já vimos o conceito do 4-vetor velocidade:

( )2

, , ,

onde: 1 1 (considerando 1)

x y z

dxu v v v

d

dtv c

d

µµ γ γ γ γ

τ

γτ

= →

= = − =

O momento é definido por: p muµ µ= . Com isso obtemos a generaliza-

ção da força definida por Newton: “Força Relativística” =dp

d

µ

τ(Força de

Minkowiski). Teremos então para a força de Lorentz a seguinte expressão:

dpqf

d

µµ

τ=

Vamos agora provar que “ 0f uµ

µ = ”. Trata-se de uma expressão análo-

ga àquela vista por nós, na qual a força atuando em uma partícula carregada, movendo-se em um campo magnético, é perpendicular à velocidade. Como já

vimos: 1u uµ

µ = , portanto:

( ) 0 0 2 0

( )0 0

du dud duu u u u u

d d d d

d muu f u

d

µµ µµ µ µ

µ µ

µ µ µµ

τ τ τ τ

τ

= ⇒ + = ⇒ =

∴ = ⇔ =


Assim, vemos que, neste sentido dado pelo conceito de quadrivetor, a força é perpendicular à velocidade. Para satisfazer esta condição, nós utiliza-mos um “pequeno truque”, tal como foi feito com o campo magnético em forma de tensor antissimétrico, de modo que, ao ser multiplicado por �Z e �[ o produto �Z�Z[�[ se anula. Da mesma forma fazemos para a “força”, de modo que:

0dp

qF u f f u qu F u f ud

µµν µ µ µν µ

ν µ ν µ µτ= = ⇒ = ⇒ =

Esta é então uma forma para satisfazer a condição: 0f uµ

µ = .

Vamos verificar que essa forma adotada para a força de Lorentz é ade-quada para velocidades não relativísticas:

( )

( ) ( ) ( )2 3 3 2

x xx xy xz xt

y z t

xx

x x

dp dpqF u q F u F u F u

d dt

dpq u B u B qE q v B q E

d

νντ

τ

≅ = = + + ⇒

≅ − + + = × +� ��

********** OBS: Usamos aqui a notação de índices 1,2,3e0 ou �, �, �e� indiferente-mente.

********** Vejamos agora como tudo funciona para condições relativísticas:

( ) ( ) 2(onde =1 1 )x xdp dp

q v B q E vd dt

γ γ γ γτ

= = × + −� ��

Cancelando o fator “L”, obtemos exatamente a equação de Lorentz. A única diferença está na definição do momento, o qual contém em si o fator “L”, relacionado aos efeitos relativísticos.

Podemos escrever esta equação da seguinte forma:


( ) ( ) ( )d mvq v B q E

d

γτ

= × +� ��

.

Com isso, verificamos que a equação relativística para a força eletro-

magnética sobre uma partícula carregada é dada por:

dpqF u

d

µµν

ντ=

********** OBS: É interessante observar a forma matricial da expressão para a equação relativística da força de Lorentz, em especial o termo temporal (Energia,

0pε = ):

0

0

0

0

x z y x x

y z x y y

z y x z z

x y z

p B B E v dqEv

p B B E vd d dtq qEv

dd dp B B E vqEv

dtE E E

γ εγ γγ ε γετ τγ

ε γ

− = − = ⇒ = ⇒ − ∴ = − − −

Vemos, portanto, que o termo temporal estabelece a relação entre a potência e a variação de energia da partícula!

**********

Vejamos agora como o tensor eletromagnético se transforma com as equações de transformação de Lorentz. A forma mais simples de vermos como isso se passa é considerarmos a transformação do produto de dois vetores. To-dos os tensores se transformam da mesma maneira, portanto, se soubermos como se faz uma transformação simples, saberemos tudo que precisamos.

Suponhamos que o sistema de referência em movimento (representado por “plicas”) está com velocidade �. As equações de transformação de Lo-rentz, obedecida pelos 4-vetores são:


( ) ( )( ) ( )( )( )

0 0 1

1 1 0

2 2

3 3

'

'

'

'

x x V x

x x V x

x x

x x

γ

γ

= −

= −

=

=

Façamos agora um tensor composto de dois 4-vetores: \6 e]6 , equiva-lente ao tensor eletromagnético, observando como eles se transformam como produto. Para isso, vamos nos concentrar na transformação da componente do campo elétrico na direção �:

( ) ( )01 0 1' ' ' 'x xE F E Q R= ⇔ =

Aplicando a transformação de 4-vetor a � e �, teremos:

( ) ( ) ( )( ) ( )

0 1 0 1 1 0

0 1 2 0 1 0 0 1 1 2 1 0

'

' ( )

Q R Q VQ R VR

Q R Q R VQ R VQ R V Q R

γ γ

γ

= − −

= − − +

Podemos deduzir então qual a expressão para a transformação de (�AI)′: ( ) ( )( )201 01 00 11 10 2'F F VF VF V F γ= − − +

Mas �6^ é antissimétrico, portanto: �66 = 0 e �6^ = −�^6 Daí obtemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )01 2

01 01 2 2 01 012

1' 1 ' '

1x x

F VF F V F F E E

Vγ

−= − = ∴ = ⇔ =

−

Isto significa que, se tivermos um campo elétrico na direção de �, então o observador movendo-se nesta direção verá a mesma componente que o ob-servador em repouso. Este mesmo resultado é válido também para um campo magnético ao longo do qual o observador se movimente.


Vejamos agora a transformação para a componente do campo elétrico perpendicular à direção do movimento:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

02 0 2 0 1 2

02 0 2 1 2

02 02 12

' '

'

' 'y y z

F Q R Q VQ R

F Q R VQ R

F F VF E E VB

γ

γ

γ γ

= = −

= −

= − ⇒ = −

Se a velocidade for pequena, então L ≅ 1, de modo que o campo visto pelo observador em movimento apresenta também um campo magnético na direção �.

De modo análogo, nós podemos calcular a transformação para todas as componentes, verificando que as equações permanecem as mesmas em todos os sistemas de referência.

********** OBS: Uma forma de verificar a origem do Tensor Eletromagnético é através do Potencial Vetor para o campo magnético e elétrico:

( ). 0 . .

0

B B A B A

BE A E A E A

t t t t

E At

φ

φ

∇ = ⇒ ∇ = ∇ ∇× ∴ = ∇×

∂ ∂ ∂ ∂ ∇× = − = −∇× ⇒∇× + = ⇒ + = −∇ ∂ ∂ ∂ ∂

∂∴ = −∇ −

∂

� ��

� � ��

��

Se observarmos que a forma genérica da componente do campo magné-tico é dada pela expressão: i j k k jB A A= ∂ − ∂ , a qual apresenta uma subtração

de termos simétricos, então é fácil verificar que o Tensor Eletromagnético é dado pela seguinte expressão matricial:


0

0

0

0

z y x

z

t

x x

t x y z x y zy

x y

yy

z z

x z

x y z

AA

B B E

B B E

B B E

E E E

A AA

A

φ

φ

−∂ ∂ −∂ ∂ ∂ ∂ − =

−

− − − − −

∂

∂

**********

Vamos ver um pouco o assunto de “ondas” em um campo “escalar” ` (escalar significa uma só componente). A derivada do campo, da mesma ma-neira que já vimos, é dada por:

, , ,x y z txµ

φ φ φ φ φ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ∂ ∂ ∂ ∂∂

Esta derivada do campo constitui as quatro componentes “covariantes” de um quadrivetor, ou seja, elas se transformam seguindo a mesma regra do 4-

vetor 7�6 ( )1 2 3 0, , ,dx dx dx dx dxµ = − − −

, numa forma ligeiramente diferen-

te. **********

OBS: A natureza de 4-vetor deste objeto , , ,x y z t

φ φ φ φ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

é explicada pela

regra da cadeia aplicada à transformação de Lorentz. Para ver isso, considere-mos as seguintes relações na transformação de Lorentz:

( )( )

' ' ; '

' ; ''t x

x t

t t v x t t v

x x vx x v t

γ γ γγ γγ

= − ∂ = ∂ = −⇒ ∂ = ∂ = −= −

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )' ' '

' ' '

' ' '

', , , , , ,

t t t x t t x

x t x x x t x

Lox

rentzz xy x tt t

t x

vy z

v

x x v

vφ φφ φ φ φ γ φ φ

γ γ

γ γ

γ φ φ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ⇔ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ − ∂⇒

∂ ⇔ ∂ ∂ + ∂ ∂ = − ∂ + ∂

∴ → ∂ − ∂

−

∂ ∂ ∂


Desta expressão para a transformação das componentes segundo Lo-rentz, podemos concluir, então, que o objeto constitui um 4-vetor.

********** Uma vez que tenhamos as equações de transformação entre as coordena-

das de dois sistemas, �6 e (�′)6, nós podemos determinar, a partir das deriva-das do campo em relação às coordenadas de um sistema, �6, as derivadas do campo em relação ao outro sistema, (�′)6, através da regra da cadeia para as derivadas:

( )( ) ( )

'soma no ídice

'

x

x xx

ν

µ ν µφ φ ν

∂∂ ∂=

∂ ∂∂ .

Então a expressão ( )1 2 3 0, , , ,Ax

µ µµφ φ φ φ φ φ∂

= ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂∂

, representa as

componentes “covariantes” de um 4-vetor. As componentes “contravariantes” deste vetor são dadas por:

( )1 2 3 0, , ,Aµ µφ φ φ φ φ= ∂ = −∂ −∂ −∂ ∂

.

Quando derivamos algum objeto (escalar, vetor ou tensor), nós obtemos um tensor acrescido de um novo sub-índice. Por exemplo:

( )V xT

x

µµ

νν

∂=

∂

Vejamos agora quais são os invariantes da equação de onda. Se a equação de onda tiver uma forma que iguala um escalar a zero, en-

tão, uma vez que um escalar é sempre o mesmo em todos os sistemas, esta forma de equação de onda será invariante.

As equações de onda, pela sua própria natureza, envolvem derivadas de segunda ordem (acelerações). O típico exemplo de uma equação de onda pode

ser dado por: 0µµφ∂ ∂ = . Na verdade, esta é a única forma envolvendo deri-

vadas de segunda ordem pela qual podemos expressar a equação na forma de um escalar. Veremos o que esta expressão significa em detalhes:


2 2 2 2

2 2 2 20

dt dx dy dz

µµ

φ φ φ φφ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ = − − − =

Com esta equação de onda simples, podemos estudar o fenômeno e compreender a forma invariante das Equações de Maxwell.



AULA No 5

Equações de Maxwell em forma tensorial – Equação da Continuidade

4-vetor Densidade de Corrente

Antes de prosseguirmos com a Teoria da Relatividade, observando as

consequências da Transformação de Lorentz, vamos estudar as Equações de Maxwell para o eletromagnetismo, a fim de verificar a sua compatibilidade com a invariância da velocidade da luz, conforme Einstein previu e supôs que acontecesse na Teoria da Relatividade.

Sabemos que os campos elétricos e magnéticos exercem forças sobre partículas eletricamente carregadas. A equação que descreve esta interação é

dada por: ( )F q E V B= + ×� � � �

. No entanto ainda nos falta aquilo que determina o

campo elétrico e magnético ao longo do espaço. As equações que determinam a distribuição destes campos no espaço são

as chamadas Equações de Maxwell. Estas equações nos dizem como as partí-culas carregadas afetam o campo eletromagnético, complementando a equação dada acima, que descreve como o campo eletromagnético afeta as partículas carregadas.

Esta reciprocidade é natural, uma vez que, se um campo eletromagnético pode alterar o movimento de uma partícula carregada, modificando sua ener-gia e momento, devemos esperar que uma partícula carregada também possa, como numa espécie de “ação-reação”, alterar a energia de um campo eletro-magnético ou modificar o momento de uma onda eletromagnética.

A pergunta básica de nossa aula é saber se as leis da física, neste caso as leis do eletromagnetismo, são as mesmas em todos os sistemas de referência.

Toda a teoria da relatividade está relacionada com a luz. Se as Equações de Maxwell descrevem a luz, estabelecendo a sua velocidade como uma onda eletromagnética, e as Equações de Maxwell são as mesmas em todos os siste-mas de referência, então é bastante razoável supor que a velocidade da luz será a mesma em todos os sistemas de referência. Este foi justamente o grande


q

.J<

quebra-cabeça que Einstein resolveu, imaginando como obter uma descrição das leis da natureza de tal modo que a luz se mova com a mesma velocidade em todos os sistemas de referência.

Isto significa que as leis da física devem ser as mesmas em todos os sis-temas de referência, ou seja, as equações da física devem ser expressas em termos de quantidades que possuem leis definidas de transformação, quando se muda de um sistema para o outro, quantidades tais como escalares, vetores, quadrivetores, tensores, etc.

Vamos ver qual a forma assumida pela equação da força ( Fµ ) sobre

uma partícula carregada em movimento num capo eletromagnético, quando ela é expressa na forma “covariante”, ou seja, numa forma que é sempre a “mes-ma” em qualquer sistema de referência. A expressão para esta lei é dada por:

F q uµ µνν= F

onde µνF é o “Tensor de Campo” (Tensor Eletromagnético). Trata-se de um tensor antissimétrico, que é aplicado ao quadrivetor “velocidade” (9).

Deste modo, a equação da força de Lorentz é escrita em uma forma que se manifesta sempre igual em todos os sistemas de referência.

Este é, portanto, o nosso objetivo: escrever as equações da física, em particular as Equações de Maxwell, em uma forma “invariante” para todos os sistemas de referência, o que significa escrevê-las utilizando escalares, vetores, quadrivetores, tensores, etc.

Vamos ver que tipo de efeito uma carga pode exercer sobre um campo eletromagnéti-co. Nós sabemos que uma carga elétrica “�” cria um campo elétrico ao seu redor.

Também sabemos que, se uma corrente passa por um fio, é criado um campo magnéti-co ao redor do fio:

a �J<


Estes são exemplos de como as cargas criam campos eletromagnéticos. Suponhamos que nós movimentamos rapidamente a posição da carga �.

Então o campo terá de se rearranjar para refletir a nova posição da carga. Po-rém isso não pode ocorrer instantaneamente, porque nenhum efeito pode ser percebido antes que a luz seja transmitida da origem da perturbação até à posi-ção do efeito.

Para se rearranjar, o campo espalha uma onda de deformação do campo. Portanto, logo após deslocarmos a carga, o campo próximo dela já está rear-ranjado, porém, a grandes distâncias, o campo ainda corresponde à posição original da carga. À medida que o tempo passa, a onda de rearranjo do campo se propaga, refazendo o campo para a condição correspondente à nova posição da carga.

Se nós movermos a carga para frente e para trás instantaneamente, esta-remos emitindo uma “onda eletromagnética”, exatamente como um raio de luz. É desta forma que funciona uma antena emissora de ondas de rádio, fa-zendo oscilar uma carga elétrica em sua estrutura. Tudo isso também é verda-de para as variações de corrente através de um fio, sendo que, neste caso, o rearranjo será do campo magnético. Se nós repentinamente revertermos a cor-rente no fio, o campo magnético terá de se inverter, mas esta inversão não po-de ser instantânea, de modo que a alteração irá se propagar pelo espaço ao longo do tempo, para refletir a nova direção da corrente, e esta propagação se dará, de acordo com Einstein, na velocidade da luz.

Estes fenômenos representam a física básica que queremos descrever com as equações de Maxwell.

Vamos antes recordar alguns tópicos. Vejamos primeiro as equações de campo.

O primeiro exemplo é dado por um campo escalar, condição na qual o campo não tem associado a ele (como ocorre, por exemplo, com vetores e ten-sores) nenhum índice.

********** OBS: Para se ter uma ideia de “tensor”, nós podemos vê-lo como um “opera-dor” que transforma um vetor em outro ou em um escalar, segundo uma de-terminada lei, associada a este tensor. Trata-se de conceito equivalente ao de


uma “função”, de modo que o tensor estabelece um relacionamento entre dois vetores ou um vetor e um escalar, o que, por si só, independe do sistema de referência. Sendo assim, uma vez estabelecida esta função, ou seja, uma vez dado um determinado tensor, estamos interessados em como aquele tensor pode ser representado nos diversos sistemas. Daí o termo “tensor”, que pode ser entendido como um operador ou uma função aplicada a um vetor, sendo este operador independente do sistema de referência escolhido.

********** Para o campo escalar, portanto, temos uma determinada quantidade as-

sociada a cada ponto do espaço, ( ),x tφ , sendo, neste caso, a equação de onda

dada pela expressão: 0 ( , , , )t x y zµµ φ µ∂ ∂ = = .

Estamos lidando aqui com a notação “tensorial” correspondente à Trans-formação de Lorentz, cujo efeito, ao mudarmos do índice inferior para o supe-

rior ( µµ∂ → ∂ ), é a troca do sinal das componentes �, �, e�, de modo que

(consideramos aqui a velocidade da luz c=1):

2 2 2 2t x y z

µµ

φ φ φ φφ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ = − − −

∂ ∂ ∂ ∂

Vamos considerar a onda se propagando ao longo do eixo �. Isto signifi-ca que ` depende somente de � e de �. Então nossa equação será:

2 20

t z

φ φ∂ ∂− =

∂ ∂

Há duas soluções básicas para esta equação:

( ) ( ) ( )F e lembrando que 1z t G z t c− + =

Nestas soluções, �eb são duas funções quaisquer, sendo que � se des-loca no sentido positivo do eixo � e b no sentido negativo.

Em particular, temos como solução a função simples:

( )cosF A k z t= −


Da mesma forma, podemos ter: ( )senF A k z t= − , sendo que, variando c e �, podemos modificar a frequência e a amplitude da onda. Vejamos também alguma matemática, começando pelo produto vetorial

de dois vetores. Dados dois vetores ordinários (tridimensionais), �<e�J<, o seu produto vetorial é um vetor definido da seguinte maneira:

( )( )( )

y z z yx

z x x zy

x y y xz

B A B A B A

B A B A B A

B A B A B A

× = −

× = −

× = −

��

��

��

Outra forma de multiplicar dois vetores entre si é através do produto es-calar, que tem como resultado um escalar e cujo valor é dado por:

x x y y z zA B A B A B A B⋅ = + +� �

.

Temos ainda dois conceitos envolvendo vetores: “ROTACIONAL” e “DIVERGENTE”.

O “rotacional” é obtido através do produto vetorial entre um “pseudo” vetor ∇

�, dado pelos “operadores” derivativos nas três direções ( , ,x y z∂ ∂ ∂ ), e

o vetor em questão:

( )( )( )( )

onde , ,

y z z yx

x y z z x x zy

x y y zz

B B B

B B B B

B B B

∇ × = ∂ − ∂∇ × ∇ = ∂ ∂ ∂ ∴ ∇ × = ∂ − ∂ ∇ × = ∂ − ∂

� �

� � � � �

� �

O “divergente” é dado pelo produto escalar entre B∇ ⋅� �

:

x x y y z zB B B B∇⋅ = ∂ + ∂ + ∂� �

(Note-se que a sequência é sempre cíclica, …�, �, �, �, �, �, �, � …).


De uma maneira simplista, um campo vetorial tem “divergência”, quan-do ele demonstra possuir “FONTES”:

Da mesma forma, um campo vetorial tem “ROTACIONAL”, quando ele

demonstra possuir “CIRCUITOS FECHADOS”: Neste caso, dá-se assim como no campo magnético gerado por uma cor-

rente elétrica. Nosso objetivo agora é escrever, utilizando estas ferramentas, as Equa-

ções de Maxwell, para buscar entender como elas permanecem as mesmas em todos os sistemas de referência.

Para o campo magnético temos:

0

tB E

B

∇ × = ∂∇ ⋅ =

� � �

� �

Isto significa que o campo magnético não tem fontes, como acontece com o campo elétrico.

Para o campo elétrico, temos: 0

tE B

E

∇ × = −∂∇ ⋅ =

� �

� �

Estas equações são as equações básicas de Maxwell, quando não há a presença de nenhuma carga ou corrente! São as chamadas Equações de Maxwell para o vácuo.

Tal como uma carga...


Se houver carga envolvida, então teremos E ρ∇ ⋅ =� �

(densidade espacial

de carga). Se houver correntes, teremos tB E j∇× = ∂ +� � � �

, onde e< é a densidade

de corrente. Queremos nos concentrar no caso em que f = e< = 0, para tentar com-

preender porque estas equações são as mesmas em todos os sistemas de refe-rência. Este é o nosso quebra-cabeça, pois, como veremos, estas equações im-plicam na propagação de ondas eletromagnéticas sempre com a mesma velo-cidade, igual à da luz, independente do sistema de referência.

Vejamos, então, se podemos reformular estas equações, de modo que elas permaneçam as mesmas para os observadores de todos os sistemas.

Devemos ter em mente, primeiramente, que os campos elétricos e mag-néticos se combinam juntos em um tensor antissimétrico:

Quando nos referimos ao elemento −.? , utilizamos a notação:

01 tx=F F

Há também outro tensor, “ �F ”, que é obtido de F , substituindo cam-pos magnéticos por elétricos e campos elétricos pelo negativo dos campos magnéticos: ;E B B E→ − → :

0

0(TENSOR ELETROMAGNÉTICO)

0

0

t x y z

x y zt

x x z y

y y z x

zz y z

E E E

E B BF

E B B

E B B

µν

− − − + − + = + + − + − +

0

0

0

0

t x y z

x y zt

x x z y

y y z x

zz y z

B B B

B E E

B E E

B E E

µν

+ + + − − + = − + − − − +

�F


Estas duas matrizes se transformam como tensores, quando submetidas a

uma transformação de Lorentz. **********

OBS: Uma vez que o Tensor Eletromagnético (conforme já vimos anterior-mente) pode ser visto como a composição simétrica da subtração do produto de dois quadrivetores, dados pelo operador D e pelo potencial vetor A :

;

t

x x

y y

z z

A

A

A

φ−∂ ∂ = = ∂

∂

D A

segundo a expressão: T T= −F D A AD (“T” refere-se ao vetor transposto), e uma vez que cada um destes vetores se transforma segundo Lorentz, de acordo com a expressão:

' '

' '

T T T

T T T

= Λ = Λ ⇒ = Λ = Λ

A A A A

D D D D

Onde Λ é o tensor de transformação de Minkowiski. Podemos ver que a transformação do tensor F será dada por:

( )' ' ' '

'

T T T T T T

T T T T

= − = Λ Λ − Λ Λ =

= Λ − Λ ∴ = Λ Λ

F D A A D' D A A D

D A A D F F

********** Se nós conseguirmos reescrever as Equações de Maxwell através destes

tensores, então provaremos que estas equações são as mesmas em todos os sistemas de referência.

Uma vez que as Equações de Maxwell só apresentam derivadas de pri-meira ordem, vamos verificar o que representa a seguinte equação:


0x

µν∂=

∂F

Vemos que esta expressão representa quatro equações. Estas quatro equações, como veremos, representam as quatro equações expressa por:

0

tB E

E

∇ × = ∂∇ ⋅ =

� � �

� �

**********

OBS: 0E∇ ⋅ =� �

constitui uma equação e tB E∇× = ∂� � �

constitui as outras três

equações, cada uma correspondendo a uma componente. **********

Vamos verificar se isto é verdadeiro:

( )0 =z 0tz xz yz zzt y y z t z x y y xE B Bν∂ + ∂ + ∂ +∂ = ⇒ ∂ + ∂ −∂ =F F F F

Esta é a equação correspondente à equação da componente � em

tB E∇× = ∂� � �

. O mesmo acontece para as demais componentes, como é fácil

verificar. Vejamos agora o resultado para a componente em �:

0 0tt xt yt ztt x y z t x t y t zE E E∂ + ∂ + ∂ + ∂ = ⇒ ∂ + ∂ −∂ =F F F F

Esta equação equivale a 0E∇ ⋅ =� �

. Com isso, vemos que quatro das oito equações de Maxwell tem uma

forma covariante (a mesma em qualquer sistema) relativística, dada por quatro equações vetoriais.

Isto significa que, se fizermos a transformação das coordenadas dos campos elétricos e magnéticos, segundo a Transformação de Lorentz, obtere-mos no final as mesmas quatro equações vetoriais.

Com relação à outra metade das Equações de Maxwell, vemos que elas

têm uma forma parecida, podendo ser expressas por: 0x

µν∂=

∂�F , como é fácil

verificar!


Apesar de comporem uma forma concisa e elegante para as Equações de Maxwell, a importância destas expressões está no fato de representarem rela-ções entre quadrivetores, utilizando tensores, de modo que tudo permanece invariante em relação à transformação de Lorentz, para os diversos sistemas de referência. Com isso, verificamos que as Equações de Maxwell, sem a presen-ça de cargas e correntes, são relativisticamente invariantes.

********** OBS: É possível ver esta invariância de um modo simplista, utilizando a forma básica da equação de onda para a luz e a regra da cadeia para a Transformação de Lorentz (conforme já vimos):

2 22 2

2 2

2

( ) ( )

' ' ' '( ) ( )

' ' ' '

c cx x t tx t

x t x tc

x x x t x t x t t t

φ φ φ φ

φ φ φ φ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ⇒ =

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⇒ + = +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

22

22

( ) ( )' ' ' '

( ) ( )' ' ' '

vc v

x x t t x tc

vc v

x x t t t xc

φ φ φ φγ γ γ γ


∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⇒ − = − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⇒ − = −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

22 2

' '

' ' ' ' ' '

' '

' ' ' ' ' '

v x v tc

x x t x t x t xc c

x tv v

x t x t t t x t



∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⇒ − + − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

22 2 2

( ( ) ( )( ))' ' ' ' ' '

( )( ) ( )' ' ' ' ' '

v v vc

x x t t x tc c c

v v vx t x t t x

φ φ φ φγ γ γ γ γ γ

φ φ φ φγ γ γ γ γ γ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⇒ − + − − =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= − − + −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂


2 2 2 2 22 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 22 2 2 2 2

2 2

2 2 22 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 22

2 2 2 2 2

( )' ' ' '' '

' ' ' '' '

( ) ( )' '

1

' ' ' '

v v vc

x t x tx c c c t

v v vx t x tx t

vc v

x t c

cx c t x t



φ φγ γ γ γ

φ φ φ φ

∂ ∂ ∂ ∂⇒ − − + =

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

= − + + −∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

∂ ∂⇒ − = −

∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂⇒ = ⇒ =

∂ ∂ ∂ ∂

Nas passagens acima, utilizamos as seguintes relações, deduzidas a par-tir da Transformação de Lorentz:

( )2 2

'

' '

''

'

t

x

x

t

t

v vt t x t

c c

xx x vt

x v

γ

γ γ

γγγ

∂ = = − ∂ = −

⇒ ∂ == −

∂ = −

********** Agora que sabemos que as Equações de Maxwell são invariantes, veja-

mos os tipos de campos determinados por elas. Sabemos que as equações de onda envolvem derivadas de segunda or-

dem. Veremos então que as Equações de Maxwell, as oito equações relacio-nando .J< e �J< entre si, equivalem a equações de segunda ordem apenas em .J< e �J<. Vamos começar tentando isolar o campo elétrico .J<, derivando em relação

ao tempo a equação tB E∇× = ∂� � �

:

2

2

E B

tt

∂ ∂= ∇×

∂∂

� ��

mas ( )2

2t

EE B E

t

∂∇ × = −∂ ∴ = −∇× ∇×

∂

��

.


Esta é uma equação vetorial, abrangendo todas as componentes. Vamos tomar a componente na direção �:

( ) y z z yx

E E E∇ × = ∂ − ∂�

[ ( )] ( ) ( )x y z z yE E E∇ × ∇ × = ∂ ∇ × − ∂ ∇ ×� � �

( )( )

( ) ( ) ( )

( )

z x x zy

x y y xz

y x y y x z z x x zx

xy y yy x zz x xz zx

E E E

E E E

E E E E E

E E E E E

∇× = ∂ − ∂

∇× = ∂ − ∂

⇒ ∇× ∇ × = ∂ ∂ − ∂ − ∂ ∂ − ∂

∇× ∇ × = ∂ − ∂ − ∂ + ∂

�

�

�

�

Se acrescentarmos ao resultado o termo xx x xx xE E∂ −∂ , obtemos:

( ) ( )( )

2 2 2 2

2 2 2 2

. 0

x x x y y z z xx x yy x zz xx

x x x x

E

E E E E E E E

E E E E

t x y z

∇ =

∇ × ∇ × = ∂ ∂ + ∂ + ∂ − ∂ − ∂ − ∂

∂ ∂ ∂ ∂∴ = + +

∂ ∂ ∂ ∂

�

��

Chegamos assim à equação de onda tradicional, aplicada neste caso à componente .? do campo elétrico. Esta equação aceita como solução a fun-ção: ( )cosx xE E z t= − .


z

x

y

Este tipo de onda é chamado de “Onda Polarizada”. Neste caso, polari-

zada ao longo do eixo �: Em relação ao campo magnético, podemos utilizar a equação:

tE B∇× = −∂� �

.

Como ( )cosx xE E z t= − , só teremos componentes em � para esta equa-

ção (.@ = 0,.g = 0). Isto significa apenas a componente do rotacional em �.

( ) z x t yy

E E B∇× = ∂ = −∂�

Uma vez que as Equações de Maxwell são invariantes em todos os sis-temas, mediante a transformação de Lorentz, todos os sistemas obterão os mesmos resultados, obtendo uma onda que se propaga pelo espaço com uma velocidade �, a mesma para todos observadores.

x

y

z

�@�@

�@

.?

.?

.?

.?


Vejamos o que acontece com as Equações de Maxwell na presença de cargas e correntes, concentrando-nos na questão mais importante, que é saber se elas permanecem invariantes segundo a transformação de Lorentz, em todos os sistemas de referência. Nestas condições, as Equações de Maxwell são mo-dificadas para:

0

tB E j

B

∇× = ∂ +∇ ⋅ =

� � � �

� � tE B

E ρ

∇ × = −∂∇ ⋅ =

� �

� �

O termo ρ é a densidade de carga espacial (a carga por unidade de vo-

lume), que pode ser uma função do tempo e da posição no espaço:

( ),dq

x tdV

ρ= .

Assim a carga contida em uma determinada região do espaço, de volume “�”, será dada pela expressão:

V

Q dVρ= ∫ .

A lei empírica da conservação da carga estabelece que não há variação de carga sem que haja um “fluxo” de carga associado a esta variação. Portanto toda variação de carga acarreta a geração de um fluxo de carga.

Esta lei é expressa pela equação da continuidade, utilizando o conceito de “corrente”.

Imaginemos uma pequena área no espaço, chamando-a de “7h”, associ-ando com este elemento de área um vetor cuja magnitude é a própria área e

cuja direção é perpendicular à área. Podemos perguntar qual é a carga que passa

através desta superfície por unidade de tempo: carga

área×tempoj= , sendo “i” o vetor que define a

densidade de corrente (corrente por unidade de área) em um determinado ponto.

7h<


Vamos considerar uma região do espaço envolvida por uma superfície de volume �.

A superfície é toda ela di-

vidida em superfícies elementa-res 7h. Supondo que haja um fluxo de corrente na superfície desta região, qual é a sua relação com a quantidade de carga conti-da na região?

A única maneira para a carga variar dentro da superfície é por meio de

um fluxo através da superfície. Assim, se tivermos um fluxo líquido para fora da superfície, então a carga interna deverá sofrer um decréscimo.

Considerando que 7h aponta para fora da superfície, teremos:

VV

dq ddV j d

dt dt

ρ σ⌠⌡

= = − ⋅∫

Segundo o teorema de Gauss, obtemos:

Superfície VolumeVolume

dj d j dV dV

dt

ρσ ⌠⌡

⋅ = ∇ ⋅ =∫ ∫

********** OBS: O divergente de um campo vetorial, j∇ ⋅

�, é o fluxo líquido relativo a

um elemento infinitesimal de volume. Se supusermos este elemento de volume como um “cubo”, podemos ver que a composição formada por diversos cubos resulta no fluxo líquido da superfície externa da região composta pelos cubos, pois todas as superfícies internas de contato entre os cubos elementares possu-em um fluxo entrando em relação a um cubo e um fluxo de igual magnitude saindo em relação ao cubo adjacente, anulando assim todo o fluxo nas superfí-cies internas:

7h<

�


Uma vez que a equação é válida para qual-quer região do espaço, então:

ou 0t x x y y z z

dj j j j

dt

ρ ρ∇ ⋅ = − ∂ + ∂ + ∂ + ∂ =

Esta equação é válida em todos os sistemas de referência. Dessa forma, (f, i? , i@, ig) forma um quadrivetor: i6 = (f, i? , i@ , ig).

Note-se que, partindo da métrica fundamen-

tal do espaço-tempo relativístico, d dt dx dy dzτ = − − − , e dividindo por dτ , chegamos à expressão invariante do 4-vetor da velocidade relativística, 1 .x y zv v vγ= − − − Multiplicando esta expressão pela densidade de carga em

repouso, fA, (quantia invariante!), obtemos: 0 0 0 0 0x y zv v vρ γρ ρ ρ ρ= − − − .

Mas 0γρ ρ= e 0 i iv jρ = , portanto: 0 x y zj jv jvρ ρ= − − − , que obedece à

transformação de Lorentz e constitui, portanto, um invariante. **********

Com isso, a equação da continuidade assume uma forma bem simples:

0 ( , , , )j t x y zµµ µ∂ = =

Isto não é de surpreender, pois a corrente expressa a velocidade da carga e a velocidade é um quadrivetor, ou seja, transforma-se de acordo com a trans-formação de Lorentz.

Portanto temos:

0

t

t

E BE

B B E j

ρ ∇ × = −∂∇ ⋅ = ∇ ⋅ = ∇ × = ∂ +

� � ��

� � � � � �

Este conjunto de equações pode ser expresso na forma de uma “equação

vetorial covariante”, da seguinte forma:


jµν µµ∂ =FFFF

Vamos verificar a validade desta formulação para as equações:

t

E

B E j

ρ∇ ⋅ =∇ × = ∂ +

� �

� � � �

t t tt xt yt zt

t x y z

x x y y z z

j

E E E E

µµ ρ ρ

ρ ρ

∂ = = ⇔ ∂ + ∂ + ∂ + ∂ =

∴ ∂ + ∂ + ∂ = ⇔ ∇ ⋅ =

F F F F F�

( ) t x x y z z y t x xx

xx t x y z z y x y z z y t x x

B E j B B E j

j E B B j B B E jµ

µ

∇ × = ∂ + ⇒ ∂ − ∂ = ∂ +

∂ = ⇒ − ∂ + ∂ − ∂ = ⇒ ∂ − ∂ = ∂ +F

�

Vimos, então, que as equações do eletromagnetismo podem ser expres-

sas como “equações tensoriais”, as quais têm a mesma forma em todos os sis-temas de referência. Vimos também que as leis do eletromagnetismo levam à obtenção de ondas eletromagnéticas que se deslocam com a velocidade da luz em qualquer sistema de referência, sob a transformação de Lorentz.


�6 + 7�6 78 �6 �6

�


AULA No 06

Noções de Cosmologia – Métrica – Constante de Hubble

Vamos entrar superficialmente no campo da Relatividade Geral, para

vermos o que é Cosmologia e o que de fato é o espaço-tempo. Abordaremos o espaço-tempo em expansão, que não pode ser descrito pela relatividade restri-ta, pois requer uma estrutura mais complexa, dada pela Relatividade Geral.

A Teoria da Relatividade Restrita pode ser resumida por uma ideia mui-to simples, dada pela “geometria do espaço-tempo”, determinada pela distân-cia entre dois eventos vizinhos no espaço-tempo. Este é um fato geral da Ge-ometria de Riemann (Geometria Riemanniana), segundo a qual, se soubermos a distância entre dois pontos vizinhos do espaço, então podemos, em princípio, reconstruir “toda” a geometria do espaço em questão.

Na Relatividade Restrita, esta distância

é representada pela expressão: 2 2 2 2 2

d dt dx dy dzτ = − − − ,

ou 2d dx dx

µµτ = ,

ou ainda 2d dx dxµµµντ η= .

Sendo que µνη representa uma matriz simples, dada por:

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

µνη

− = − −

Um dos princípios da Relatividade Restrita é que a distância ou “Tempo Próprio”, 78, deve ser um invariante, de modo que todos os observadores, ape-


ds � (cm)

� (m)

�′

�′ �+′ �I′

�I′ �+′ $I

$+ 7�

sar de verem diferentes componentes para 78, irão ver o mesmo 78, segundo a transformação de Lorentz, que é de fato, como se pode provar, a única trans-formação que mantém invariante o “Tempo Próprio” (78). Nestas condições, então, segue o princípio de que todas as leis da física devem ser idênticas em todos em todos os sistemas de referência, segundo a Transformação de Lo-rentz.

Nem todas as distâncias, porém, são expressas da mesma forma. Por exemplo:

No plano, a rotação simples não altera a forma da distância “7�”. No en-

tanto, se fizermos uma transformação na qual alteramos a escala de um dos eixos, tomando, por exemplo, � em metros e � em centímetros, então a distân-cia 7� entre dois pontos não terá mais a mesma forma “7�+ + 7�+”, mas terá que receber um fator de conversão para obter uma unidade comum.

( )( )

2 2 2 4 2

2 2 4 2 2

10

10

ds cm dx dy

ds m dx dy−

⇒ = +

= +

Nós poderíamos também escolher coordenadas “não” ortogonais: Certamente, neste caso, 7�+ ≠ 7�′+ + 7�′+.

Assim, teríamos uma distância acrescentada de fatores, contando também com um termo extra, que contém o produto “7�′7�′”, de modo que:

7�+ = P7�′+ + j7�′+ + �7�′7�’.

Rotação Simples 7�+ = 7�+ + 7�+

�

�


Nós poderíamos escrever esta equação de outra forma: 7�+ = PII7�′+ + P++7�′+ + PI+7�&7�& + P+I7�′7�′.

Sendo que, neste caso, PI+ = P+I = 1/2, de modo que assim poderíamos ex-

pressar os coeficientes por uma matriz, chamada de “MÉTRICA”:

11 12

21 22

a a

a a

.

Esta matriz contém completamente as propriedades “métricas” deste sistema de coordenadas.

Se estamos lidando com um espaço ordinário (plano) e com uma escala uni-forme para cada uma das coordenadas diagonais, então os coeficientes da matriz mé-trica serão simplesmente constantes. É lógico que, se utilizarmos coordenadas com escala variável, por exemplo, coordenadas “curvas”, os coeficientes da matriz métrica não serão mais constantes, tornando-se funções das coordenadas utilizadas, conforme o ponto em questão:

Métrica:

( ) ( )( ) ( )

11 12

21 22

', ' ', '

', ' ', '

a x y a x y

a x y a x y

Independente do tipo de coordenadas e, portanto, da métrica utilizada, a geo-

metria básica do plano é determinada pela “fórmula da distância” entre todos os pares de pontos vizinhos.

A mesma coisa é válida para a teoria da relatividade especial, de modo que, se utilizarmos coordenadas cuja transformação se dá segundo as equações de Lorentz, então o tempo próprio 78 (distância ou métrica) permanece invariante.

Assim, se utilizarmos um sistema de coordenadas arbitrário, a fórmula geral para a distância (métrica) ou tempo próprio será:

�

�

�′

�′


;

4

∅

( )2d g x dx dxµ νµντ =

Esta é a forma geral da expressão para a distância, de modo que, se conhecer-

mos a métrica “ gµν ”, então conheceremos a geometria do espaço-tempo. Porém a

geometria do espaço-tempo não determina necessariamente a respectiva métrica, pois, para cada sistema de coordenadas, teremos uma métrica diferente, ainda que perma-neçamos no mesmo espaço.

Vamos voltar agora ao espaço ordinário, mas a um espaço ordinário “curvo”. Vejamos primeiramente o que a palavra “curvo” não significa!

Se nós tomarmos uma folha de papel, colocada sobre uma mesa, então todos concordam que temos uma superfície plana. Assim a relação entre os pontos desta superfície, formando figuras e linhas, é determinada pela distância métrica entre os pontos vizinhos. Se nós curvarmos a folha de papel, sem esticar ou contrair seus es-paços, ela não representará uma superfície curva!

Quando modificamos a forma da folha de papel, sem esticar ou contrair suas dimensões, nós não alteramos a distância entre seus pontos vizinhos (sua métrica), ou seja, não alteramos a distância ao longo do papel. Um inseto que se deslocasse sobre uma linha no papel iria andar a mesma distância, independente de curvarmos ou não a folha, de modo que ele não seria capaz de perceber que curvamos a folha de papel, pois “todas as relações geométricas” permaneceriam inalteradas. Com isso, queremos demonstrar o que não é curvatura, matematicamente falando.

Curvatura é uma forma que não pode ser planificada sem sofrer uma deforma-ção. Uma superfície curva não pode ser esticada ou contraída sem ser deformada, ou seja, sem sofrer uma modificação na distância entre seus pontos vizinhos (na sua mé-trica). Esta é então a distinção entre dobrar (entortar) e curvar uma superfície.

Uma esfera é um exemplo muito bom de superfície curva. Nós não podemos planificar a esfera sem estica-la e contraí-la. Esta é a razão pela qual os mapas apre-

sentam distorções da superfície terrestre, sendo esta distorção dependente da projeção utilizada.

Nós podemos colocar coordenadas na superfí-cie esférica:

Desse modo, podemos expressar a distância

entre pontos vizinhos com estas coordenadas. No entanto, seja qual for o sistema de coordenadas que


empreguemos, nenhum deles poderá ser reduzido a uma matriz de coeficientes cons-tantes. Necessariamente a métrica terá componentes que serão uma função da posição no espaço.

Na verdade, este é o teste que define se uma superfície é ou não curva. Assim,

se houver um sistema de coordenadas no qual a métrica tem seus componentes cons-tantes, então a superfície não é curva. Em outras palavras, se encontrarmos para a superfície uma métrica de coeficientes constantes, então a superfície é “plana”.

Vamos ver um exemplo de coordenadas que podemos utilizar no plano. Trata-se das coordenadas polares, dadas pela distância do ponto à origem e pelo ângulo desta distância:

Neste caso teremos: 7�+ = 7;+ + ;+74, ou

2

1 0

0g

rµν

=

.

Este é, então, um exemplo de coordenadas cuja métrica tem componentes de-

pendentes da posição. Neste caso, porém, nós podemos encontrar uma transformação para um sistema de coordenadas cuja métrica tem apenas componentes constantes:

2 2 2cos 1 0

sen 0 1

x rds dx dy g

y rµν

θθ

= ⇒ = + ∴ = =

Se, no entanto, tomarmos (em particular) uma esfera de raio unitário, teremos a

seguinte condição: Ao longo da coordenada 4, encontramo-nos sobre um círculo máximo de raio

unitário. Portanto o intervalo 74 corresponde à distância percorrida na superfície. Por outro lado, com relação à coordenada ∅, vemos que, para um mesmo intervalo 7∅, correspondem distâncias diferentes, que diminuem à medida que nos aproximamos dos polos. Na verdade, a distância correspondente a 7∅ é uma função de 4, dada por “sen474”.

4

; 7;


74 7∅

C B

A

Constatamos, então, que a distância entre pontos vizinhos na superfície da esfe-ra é dada por:

7�+ = 74+ + sen+474+

Isto resulta na seguinte métrica para a su-

perfície esférica:

2

1 0

0 senµνη

θ

=

No caso da esfera não ser unitária, teríamos

como métrica a expressão: 7�+ = ;+74+ + ;+sen+474+, ou:

2

2 2

0

0 sen

r

rµνη

θ

=

Esta métrica não pode ser planificada. Não há nenhum sistema de coordenadas

no qual os coeficientes da métrica sejam apenas constantes. O fato de esta superfície ser verdadeiramente curva poderia ser observado por

criaturas que vivessem imersas no mundo bidimensional da superfície esférica, mes-mo não sendo possível para elas saírem do seu mundo! Por exemplo, elas iriam cons-tatar que a soma dos ângulos internos de um triângulo não seria 180o, como se pode observar no triângulo abaixo, construído sobre a superfície esférica, cuja soma dos ângulos seria maior do que 180o.

Dessa maneira, mesmo sem sair da superfície esférica, elas poderiam saber que seu mundo é curvo.

Todos estes conceitos são verdadeiros também para o espaço-tempo, e este foi o novo ingrediente introduzido por Einstein na Teoria da Relatividade Generalizada. Com isso, ele viu que a métrica do espaço-tempo (o “tempo próprio”) poderia ser representada por um tensor métrico que varia ao longo da posição no espaço-tempo.


Porém a novidade era que o espaço-tempo pode ser curvado, de modo que, nes-ta condição, não há nenhum sistema de coordenadas que possa tornar constantes as componentes do tensor métrico.

Não vamos, aqui, nos aprofundar na Relatividade Geral, mas apenas ver alguns exemplos que se aplicam à Cosmologia.

O tipo de cosmologia que iremos ver aqui é daquele independente do tempo, ou seja, que não varia de lugar para lugar no espaço de uma maneira geral, considerando o espaço homogêneo.

Portanto, como um todo, o universo é considerado homogêneo. Isto não signi-fica, porém, que ele seja plano (isto é, que não seja curvado!). Por exemplo, a superfí-cie da esfera é homogênea, apresentando as mesmas características em toda a superfí-cie. No entanto é uma superfície curva.

Portanto, de acordo com as observações feitas até agora pela ciência, o univer-so é homogêneo ao longo do espaço.

Outro fato da cosmologia é que o espaço, em grande escala (escala astronômi-ca), é plano, ou seja, não é curvo. Isto significa que, num dado instante de tempo, a soma dos ângulos de um triângulo é de 180o, mantendo as relações geométricas de um espaço plano (euclidiano).

Assim o espaço é “homogêneo e plano”, porém depende do tempo. Se seguir-mos dois pontos no espaço (no caso de duas galáxias), veremos que a distância entre elas aumenta com o tempo.

Esta característica é descrita pelo “tempo próprio” no espaço-tempo, utilizan-do-se as mesmas coordenadas que utilizamos até aqui: (�, �, �, �). Trata-se da mesma estrutura da Relatividade Restrita, exceto pelo fato de que o tensor métrico é um pou-co mais complicado.

Uma vez que o universo é homogêneo e plano, devemos encontrar, em qual-quer instante de tempo, um sistema de coordenadas cujo tensor métrico possua coefi-cientes constantes para as componentes espaciais. No entanto a escala de medida con-tém um fator que depende do tempo, pois, se estamos medindo uma distância com unidades determinadas, por exemplo, pela distância entre duas galáxias vizinhas, o número de unidades permanece constante, mas a distância total, uma vez que a dis-tância entre duas galáxias vizinhas aumenta com o tempo, também irá aumentar com o tempo. Disto resulta para a expressão da métrica:

opq =orq + s(r)q(−otq − ouq − ovq)


Nesta expressão, temos o fator P(�)+, que é chamado de fator de escala e que representa os efeitos da expansão do universo na unidade de escala. Vemos então que temos um determinado fator de escala em cada tempo.

Vamos considerar duas galáxias separadas por um intervalo ∆� ao longo da co-ordenada �. Notemos que ∆� não é a distância entre as galáxias, mas sim o intervalo da coordenada � que corresponde a esta distância num determinado instante, sendo que esta relação varia ao longo do tempo.

Por exemplo, suponhamos que a distância entre as duas galáxias é de quatro unidades de escala, onde cada unidade deve ser multiplicada pelo fator de escala P(�):

Então a distância R será dada

por:

w = s(r)∆t

Assim a velocidade com que elas se afastam uma da outra é dada pela derivada de R em relação ao tempo. Note-se que ∆� permanece sempre constante!

( ) (velocidade de afastamento)V D a t x= = ∆ →� �

Podemos escrever esta expressão de outro modo:

( )( ) ( ) ( )

( )a t a t

a t x Da t a t

∆ =� �

�

O termo ( )( )

a t

a t

� é chamado de “Expansão de Hublle” ou “Constante de Hublle”,

apesar de não se tratar de uma constante de maneira geral:

( )( )

. ( )a t

V D D H LeideHubllea t

= =�

Assim a velocidade de afastamento entre duas galáxias é proporcional à distân-

cia entre elas, multiplicada pelo fator de Hublle. Na relatividade, o intervalo de tempo próprio da luz é zero:

∆� = 4

�I = 1 �+ = 5


op = z ⟹orq − otq = z

Sabemos que essa condição é verdadeira também na Relatividade Geral. Assim teremos, para a equação do movimemto de um raio de luz, a seguinte expressão:

( ) dt a t dx=

ou: ( )

dtdx

a t= .

Isto significa que, para percorrer o mesmo intervalo da escala “∆�”, será neces-sário um intervalo de tempo maior, devido ao fator de expansão de Hublle. Esta é a geometria básica da Cosmologia.

Vamos ver agora, em um exemplo, como o fator de Hublle varia com o tempo. Se a velocidade de afastamento das galáxias fosse constante, então o tempo re-

troativo correspondente ao instante em que estas galáxias estavam sobrepostas seria dado pela expressão:

1D Dt

V H D H∆ = = =

Assim, vemos que este intervalo de tempo não depende da distância entre as galáxias, mas é uma constante, dado pelo inverso da constante de Hublle.

Nós podemos medir, aproximadamente, como o fator de Hublle varia no tem-po, através de medidas astronômicas e estimativas, mas o método empregado é mais sofisticado.

Vejamos qual a variação prevista para o fator de Hublle, segundo a física new-toniana básica, com relação à gravitação.

Considerando o universo homogêneo, podemos imaginar as galáxias espaçadas em certo volume, como as partículas de um gás, mas cujo movimento se dá apenas no sentido de expansão do volume do gás.

Apesar de a expansão do universo, como veremos, ser independente da posição no espaço, vamos tomar um sistema de referência para analisar o fenômeno.

Todas as galáxias exercem atração sobre a galáxia na coordenada �. Se nós tivermos uma distribuição esfericamente simétrica de massas, então a força exercida sobre uma determinada massa é devida somente ao total da massa conti-da na esfera cujo centro está no sistema de refe-rência e cujo raio é dado pela distância do cen-tro ou origem do sistema de referência até à

� = 0

P�


posição da massa em questão. Todas as massas situadas fora desta esfera, não contri-buem para a força exercida sobre aquela massa. Além disso, também segundo New-ton, a força exercida sobre aquela massa é exatamente a mesma daquela força exerci-da por uma partícula situada no centro do sistema de referência, cuja massa seja igual àquela contida na esfera referida.

Portanto, para estudarmos o movimento da galáxia na posição �, basta estu-darmos um problema fictício, no qual toda a massa contida na esfera de raio � está concentrada na origem do sistema.



AULA NO 7

(Curvaturas do espaço – Equações de expansão – Energia do Vácuo)

Como já vimos, até aonde a ciência alcançou, o espaço astronômico é

“plano” e “homogêneo”, porém encontra-se em expansão. Deste modo, a equação para o tempo próprio é dada por:

( )( )2 2 2 2 2 2d dt a t dx dy dzτ = − + +

Podemos considerar, nesta equação, que P(�) tem dimensão de espaço e as coordenadas 7�, 7�e7� são adimensionais, ou então que 7�, 7�e7� tem dimensão espacial e P(�) é adimensional, sendo que a primeira interpretação é a mais usual.

Vamos ver qual a dinâmica da expansão do universo, observado as equações que P(�) obedece. A Teoria da Relatividade Geral permite que o espaço seja curvo. Uma vez que o espaço é homogêneo, hé três tipos de espa-ço curvo que são homogêneos.

Vejamos com mais detalhes o conceito de “esfera”.

Um círculo é dado pela equação: 2 2 2x y r+ = .

A circunferência é uma “bola” de uma dimensão, ou “esfera-1”. O círcu-lo é uma “bola” de duas dimensões, ou “esfera-2”. Na equação 2 2 2

x y r+ = , temos uma esfera cuja superfície é esfera-2 e cujo interior é esfera-3. Esta ideia pode se expandir para quatro dimensões, onde teremos uma superfície esfera-3 e um interior esfera-4!

A superfície esférica, como já vimos, é ho-

mogênea. Porém, além disso, ela é também isotró-pica, pois, em qualquer ponto da superfície, as di-reções são equivalentes:


Portanto a homogeneidade não exige que o espaço seja plano. Nó pode-

ríamos então inventar uma cosmologia cujo espaço fosse substituído por um espaço esférico, de modo que a expansão corresponderia à expansão de uma esfera.

A regra para a propagação da luz estabelece que 78 = 0, ou seja, 7�+ − 7�+ = 0. Esta lei se aplica também à Relatividade Geral:

( ) ( )0

dxd dt a t dx a t

dtτ = ⇒ = ∴ =

Assim, neste sistema de coordenadas, o número de unidades percorridas em um intervalo de tempo diminui ao longo do tempo. Isto significa que a unidade de � corresponde a distâncias cada vez maiores ao longo do tempo.

Em uma superfície esférica temos uma curvatura positiva. Isto significa que um triângulo sobre a superfície terá a soma de seus ângulos internos sem-pre maior do que 180o. Este conceito é válido para esferas de qualquer número de dimensões.

Também existem superfícies com curvatura “negativa”. Um exemplo bi-dimensional para isso seria a superfície de uma “sela”. Neste caso, a soma dos ângulos internos de um triângulo seria menor do que 180o.

Trata-se de uma superfície homogênea, uniforme e isotrópica. Temos assim três tipos de espaços para usar como modelo, porém, se-

gundo os dados obtidos pela ciência até agora, tudo indica que se trata de um espaço plano.

Vejamos então a equação que governa a expansão do univer-so.

Conforme já vimos, a força que atua em uma galáxia, situada a uma distância � do nosso sistema de referência é equivalente à força exercida por toda a massa contida

R M m x ] = �P(�)


na esfera de raio �, concentrada na origem da esfera, não havendo qualquer contribuição das massas situadas “fora” desta esfera:

A energia da massa em � é dada pela energia potencial mais a cinética:

21tan

2

m ME mV G cons te

R= − =

Vamos analisar o caso para energia total “zero”. Isto significa que o ob-jeto tem exatamente a velocidade de escape.

É importante notar que, dentro da esfera, sempre permanece o mesmo número de elementos, de modo que a massa não varia com a expansão do universo. Assim, o que varia com o tempo é a densidade volumétrica de maté-ria (f) no universo.

22

3

3

142

4 2 33

GmMmV

V GRR

RM R

ρ πρ π

=⇒ =

=

Pela lei de Hubble:

2 2 2

2

1 4 8

2 3 3

8

3

a GV H R R H R G R H

a

a G

a

ππ ρ ρ

π ρ

= = ⇒ = ⇒ =

∴ =

�

�

Vejamos como f varia. Uma vez que o número de partículas num volu-me do universo não varia, mas o que varia é apenas o volume, então a densi-dade tem de diminuir ao longo do tempo.

Assim a densidade será dada por: 3

constante

aρ = , sendo que nesta ex-

pressão, a constante pode ser determinada pela relação:


( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

3

3 3

3

3

hojeconstantehoje

hojehoje

hojehoje

a

a a

at

a

ρρρ

ρ ρ

= ⇒ =

∴ =

Podemos então escrever:

( ) ( )( )

2 23

3 3

hoje8hoje

3

aa G a K

a aa t a

π ρ = ∴ =

� �

Resolvendo esta equação:

( ) ( )

2 1 2 1 2

2 33 21 2 1 2 1 2 1 3 2 3

0 0

2 3 1 33 2 3

2 3

3 2

3 8hoje

2 3

a t

K Ka a K a

a a

aa da K dt K t a K t

Ga a hoje t

π ρ

−= ⇒ = =

⇒ = ⇒ = ⇒ =

∴ =

∫ ∫

� �

Esta é então a lei de expansão do universo segundo as equações de New-ton, para a condição de energia “zero”. Vemos que o fator de expansão cresce com a potência “2/3” do tempo neste caso.

Podemos ver também que: 2 3 1 3

1

2constante. constante.

3

2 2

3 3

a t a t

at H

a t

−

−

= ⇒ =

∴ = ⇒ =

�

�

Para o caso da energia total positiva (velocidade acima daquela de esca-pe), teremos uma curvatura negativa para a estrutura da cosmologia, com ex-pansão infinita.

Para o caso de energia negativa (velocidade abaixo daquela de escape), teremos uma curvatura positiva. Isto significa que o universo irá se expandir até certo ponto e, depois, colapsar, contraindo-se novamente.

Estes fatos decorrem das equações de Einstein para a Relatividade Geral.


ENERGIA TOTAL CURVATURA VELOCIDADE

(relativa à velocidade de escape)

POSITIVA NEGATIVA MAIOR ZERO PLANO IGUAL

NEGATIVA POSITIVA MENOR Há algumas falhas no equacionamento que fizemos até aqui, pois nós as-

sumimos um modelo particular para a densidade de energia e para o modo como ela varia no tempo. Nós consideramos que, num determinado volume, há uma quantidade fixa de massa, de modo que ela permanece a mesma, en-quanto o volume cresce. Nesta condição, a densidade diminui em proporção inversa a “P(�)G”. Esta condição, porém, não é uma condição necessária. Por exemplo, suponhamos que, dentro de uma determinada “caixa” do espaço, tenhamos fótons com todos os tipos de comprimento de onda. Uma vez que massa é energia, estamos interessados na quantidade de energia contida nesta caixa, à medida que ela se expande.

A relação entre a energia de um fóton e a sua frequência, dada pela ex-pressão . = ℎO. Esta relação pode ser escrita em função do comprimento de

onda: c

E hλ

=

Se expandirmos a caixa, o comprimento de onda do fóton aumenta, di-minuindo assim a sua energia. O fenômeno é análogo àquele observado na vibração da corda de um violão à medida que aumentamos o espaço para a corda vibrar, afastando o ponto no qual pressionamos os dedos, o que corres-ponde a sons menos agudos ou de menor frequência ou de maior comprimento de onda.

Assim o número de fótons permanece constante dentro da caixa, à medi-da que ela se expande, porém a energia decresce, devido ao aumento do com-primento de onda da cada fóton. Com isso, a densidade de energia irá diminuir ainda mais rapidamente do que se os fótons permanecessem com a mesma energia, de modo que, agora, a densidade de energia passa a variar com o in-verso da quarta potência de P(�) (esta relação pode ser demonstrada).

Com este novo modelo, se refizermos os nossos cálculos, iremos conclu-ir que P(�) é proporcional à raiz quadrada do tempo: P(�)α�I/+.


Isto significa que, nestas condições, o universo se expande com uma ve-locidade menos do que no modelo anterior. A resposta depende, portanto, da natureza da energia.

Nos primórdios do universo, a maior parte da energia estava na forma de fótons.

Da mesma forma que a expansão da “caixa” diminui a energia dos fó-tons, o inverso ocorre com a sua contração, condição na qual a energia dos fótons aumenta.

Assim, se tivermos partículas e fótons na caixa, então, à medida em que a caixa for sendo diminuída, haverá um ponto no qual a energia dominante será dada pelos fótons. Deste modo, no passado remoto, quando o universo era algumas dezenas de milhares de vezes menor do que hoje, a forma dominante de energia era dada pelos fótons, e não pelas partículas com massa. Nesse pe-ríodo, a expansão do universo se dava com uma velocidade proporcional à raiz quadrada do tempo (P(�)α�I/+).

Hoje em dia há bastante evidências que apontam para este fato. A era na qual a energia dominante era dada pelo fóton é chamada de “universo domina-do por radiação” (P(�)α�I/+), enquanto a outra é chamada de “universo do-minado pela matéria” (P(�)α�+/G).

Há ainda um outro exemplo muito importante, que é a “energia do vá-cuo”. Vamos nos referir a apenas um fato sobre este tipo de energia, sem nos aprofundarmos no assunto. A energia do vácuo é um componente da energia que não se dilui com a expansão do universo. Trata-se de uma propriedade do espaço em si (do espaço vazio!), de modo que não importa como o universo se expande, a energia do vácuo permanece sempre a mesma. Esta energia consti-tui “70%” da energia do universo! Esta é, portanto, a energia dominante atu-almente.

Uma vez que esta energia é constante em relação à expansão do univer-so, ela não era relevante nos primórdios do universo, quando as dimensões eram menores. À medida que o universo se expandiu, ela foi assumindo pro-porções cada vez maiores, pois as demais energias foram diminuindo.

Vejamos como a equação da expansão do universo, se modifica com este novo fator constante:


( ) ( )

21 2

constante constante

8 1 8

3 3

a G da G

a a dt

π πρ ρ = ⇒ =

�

1 2

1 2

8

3

8

3G

t

da Ga

dt

a e

πρ

π ρ

⇒ =

∴ =

Tem-se assim uma energia que se expande exponencialmente. De acordo com o seu valor atual, estima-se que esta energia “dobre” a cada 10 bilhões de anos. Trata-se de dados experimentais, que ainda não têm uma explicação ci-entífica.

Estes são os principais aspectos e ferramentas da cosmologia.

*************************

OBS: Considerando-nos como centro do universo e considerando que, na tran-sição do domínio da radiação para o domínio da matéria na expansão do uni-verso, existe uma superfície correspondente à “última” radiação, podemos concluir que a velocidade com que esta superfície se afasta do centro aumenta com o tempo. Sendo assim, podemos concluir que, hoje, o desvio em direção ao infravermelho dos fóton emitidos a partir desta superfície (efeito Doppler) são mais intensos do que, por exemplo, na nossa pré-história. Se voltássemos alguns bilhões de anos no tempo, veríamos que os fótons emitidos a partir da superfície de “última radiação” teriam comprimento de onda menor (menos infravermelhos) do que os verificados hoje em dia. Assim, à medida que o tempo passa, os fóton que detectamos, originados nesta superfície, tem com-primentos de onda cada vez mais longos, uma vez que eles se originam em uma superfície que se afasta cada vez mais rapidamente do centro, à medida que o tempo passa.

*************************

Teoria de Campo 207 Notas das aulas do Prof. Susskind – Universidade de Stanford

TEORIA DE CAMPO E RELATIVIDADE

AULA N

O 1

Transformação de Lorentz através de funções hiperbólicas – Tempo próprio.

Vamos analisar a “Teoria de Campo Clássica”, estudando o campo ele-

tromagnético, o campo gravitacional e outros campos existentes na natureza, que se propagam no espaço, com a característica de “ondas”.

Um dos princípios fundamentais e mais abrangente da Teoria de Campo é o Princípio da Relatividade, neste caso a Relatividade Especial ou Restrita, que chamaremos apenas de Princípio da Relatividade.

O Princípio da relatividade remonta mais ao passado, não tendo sido uma invenção de Einstein, pois já era conhecido pelos pioneiros da Física (Ga-lileu, Newton, etc.). Este princípio começa com a ideia de um “referencial inercial”, que é um referencial no qual as equações de Newton são satisfeitas.

Um referencial deste tipo não é de modo algum único. Ele envolve a ideia de um sistema de coordenadas (�, �, �) no espaço, sendo que este sistema pode estar parado ou em movimento uniforme em relação a algum ponto, seja ele qual for. Se estivermos em um sistema inercial, então qualquer outro sis-tema referencial que esteja em movimento uniforme em relação a tal sistema será também um sistema inercial.

De acordo com Newton, as leis da Física são as mesmas em qualquer re-ferencial inercial. Um exemplo simples é imaginarmos uma pessoa fazendo malabarismos, embarcada em um trem, de modo que, quando o trem estivesse viajando, ela começasse a praticar malabarismos com algumas bolas, manten-do-as alternadamente no ar. Certamente esta pessoa não teria de fazer qualquer alteração na sua técnica habitual, como, por exemplo, antecipar movimentos para compensar o movimento do trem. As leis do malabarismo são as mesmas em qualquer referencial inercial. Da mesma forma, as leis da Mecânica e as leis newtonianas da gravitação são as mesmas em qualquer referencial inercial.

Mas como isto se aplica em relação às leis dos fenômenos eletromagné-ticos? Neste ponto houve um conflito! Este conflito adveio das Equações de


Maxwell para os campos eletromagnéticos, as quais estabelecem como as on-das eletromagnéticas se propagam (ondas de luz, radio, etc.). O dilema funda-mental estava no fato de que, conforme as Equações de Maxwell, a luz se pro-paga com uma determinada velocidade e que, admitindo-se as leis do eletro-magnetismo estabelecidas pelas Equações de Maxwell como leis da Física também, a velocidade da luz (3. 10~=/�), deveria ser a mesma em todos os referenciais inerciais. Assim, considerando as leis de Maxwell como verdadei-ras leis da natureza, então, pelo princípio da relatividade, a velocidade da luz deve ser a mesma em qualquer referencial inercial!

Mas este era justamente o ponto difícil de “engolir”, pois, intuitivamen-te, se imaginarmos que seguimos um raio de luz, correndo atrás dele com a metade da velocidade da luz, esperaríamos ver este raio de luz movendo-se mais lentamente em relação a nós, da mesma forma como esperaríamos o efei-to contrário, se corrêssemos na direção oposta ao raio!

Assim, dado que as leis da Física são as mesmas em todos os sistemas inerciais, há uma contradição flagrante entre as leis estabelecidas por Maxwell (velocidade constante da luz) e as equações de Newton (velocidades relativas que se somam e se subtraem). Qual delas é verdadeiramente uma lei da nature-za?

Na verdade, ambas são leis verdadeiras da natureza. O que de fato era necessário modificar era o nosso conceito de velocidade, espaço e tempo, bem como a forma como nós os medimos!

Vamos pegar um atalho para apresentar a teoria da relatividade, adotan-do uma visão mais matemática do assunto, levando em consideração as propri-edades que envolvem as transformações de coordenadas. Porém, agora, as coordenadas não são mais apenas (�, �, �), mas envolvem também o tempo: “�”. Portanto qualquer evento é caracterizado por quatro coordenadas: (�, �, �, �).

Por enquanto, vamos nos concentrar apenas nas coordenas � e �, o que seria apropriado para um movimento ao longo da direção � apenas. Vamos representar um sistema inercial num gráfico espaço-tempo:

Vamos imaginar um observador em movimento em relação a este siste-ma, movendo-se com velocidade >, na direção �, de modo que, no tempo “0”, as origens de ambos os sistemas coincidem. Então, segundo o referencia (�, �),


a posição da origem do observador em movimento é dada por � = >�. Para o observador em movimento no referencial (�&, �&), a descrição da coordenada de sua origem é simplesmente �& = 0. Para um determinado ponto $, a relação entre as coordenadas para ambos ob-servadores será dada pela expressão: � = �& + >� ou �& = � − >�.

Até que Einstein estabelecesse a Teoria da Relatividade, todos conside-ravam o tempo absolutamente. Newton considerava o tempo absoluto e uni-versal (tempo divino).

Neste sentido, a transformação entre os dois sistemas, segundo Newton, seria dada por:

'

'

x x vt

t t

= − =

Vamos examinar o movimento de um raio de luz movendo-se na direção �, partindo da origem. Segundo Maxwell, a velocidade da luz é constante e dada por: “�”.

( )' '

x c t

x c t v t x c v t

= = − ⇒ = −

Esta seria a forma clássica de transformação das coordenadas, segundo a qual as Equações de Maxwell “não” poderiam ser verdadeiras leis da natureza, no sentido de não serem as mesmas em todos os sistemas inerciais, pois preci-sariam de uma correção na velocidade da luz para cada sistema.

>� P

�

�

�′ �


Porém é um fato experimental que não há necessidade de nenhuma cor-reção na velocidade da luz para qualquer sistema inercial em movimento! Este fato foi estabelecido pelo famoso experimento de Michelson e Morley.

Foi Einstein quem propôs a validade das equações de Maxwell em qual-quer sistema inercial, impondo as necessárias modificações às equações de Newton, que deveriam sofrer alguns ajustes, a fim de se tornarem compatíveis com esta invariância da velocidade da luz. Focando-se apenas nas duas equa-ções de transformação das coordenadas e fazendo brilhantes “experimentos mentais”, ele chegou à formulação da “Transformação de Lorentz”.

Nós veremos a transformação de Lorentz de uma forma mais matemáti-ca. Para isso, vamos começar observando o problema da rotação de um siste-ma de coordenadas.

-------------------------------------------------------------------------------------

OBS: Toda a trigonometria pode ser derivada a partir da formulação de ��W4 e �V�4 em termos de números complexos:

�V�4 = ��+ ou �� = cos4 + � sin 4

��W4 = ��+� �� = cos 4 − � sin 4

-------------------------------------------------------------------------------------


��W4

�V�4

−1

−1

1

1

Quando fazemos uma transformação por rotação como esta, algo perma-nece “INVARIANTE”, e este invariante é a distância entre dois pontos quais-quer e, portanto, entre o ponto $ e a origem do sistema. Vamos chamar esta distância de “�”. Então teremos:

Isto está implícito na transformação, pois:

( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 22 2 2

2 2 2 2

' ' cos sen 2 cos sen sen

cos 2 cos sen

sen cos sen cos' '

' '

x y x y xy x

y xy

yx y x

x y x y

θ θ θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ θ

+ = + + + +

−

⇒ + + ++ =

∴ + = +

-------------------------------------------------------------------------------------

OBS: "��W" e "�V�" são funções circula-res, pois podem ser descritas pelo círcu-lo unitário.

------------------------------------------------------------------------------------- Sabemos então que a transformação de Newton está errada. Porém de-

vemos nos certificar que a modificação introduzida por Einstein não altera as situações nas quais as equações de Newton constituem uma boa aproximação!

As modificações de Einstein são importantes, quando os sistemas de re-ferência se movem a velocidades comparáveis à da luz.

Até o começo do Século XX, não se pensava em velocidades superiores a 160 km/h, pois não se tinha esta experiência de modo controlado, sendo que, para todos os efeitos, a velocidade da luz era considerada instantânea.

s+ = x+ + y+ s&+ = x&+ + y&+ �+ = �&+


As equações de Newton são muito boas aproximações para sistemas de baixa velocidade. Porém, segundo estas transformações, a velocidade da luz se modifica com a variação da velocidade do sistema. Vamos ver então o que significa uma fórmula de transformação melhor, que não modifique a veloci-dade da luz. Vamos primeiramente atribuir à velocidade da luz o valor unitário (� = 1). Isto significa apenas uma mudança conveniente de unidades de espa-ço e tempo! Por exemplo, se usarmos o “ano-luz” para a unidade de distância, utilizaremos a unidade “ano” para o tempo. Se utilizarmos a unidade “segun-do-luz” para a distância, então usaremos a unidade “segundo” para o tempo, e assim por diante. Para baixas velocidades, este não é um sistema prático, mas, para partículas de alta velocidade, por exemplo, é um sistema adequado.

Assim, um raio de luz, movendo-se no sentido de � (� = ��), seria ex-presso por � = � (� = 1), enquanto um raio de luz movendo-se na direção −� seria representado por � = −� (� = 1). Uma expressão que abrangeria tanto um raio de luz na direção � como na direção −� seria dada por:

2 2 x tx t

x t

== ⇒ = −

.

Esta equação é uma condição necessária e suficiente para descrever o movimento de um raio de luz que se move a partir da origem tanto para a es-querda como para a direita.

Supondo que pudéssemos achar uma transformação que tivesse a propri-edade peculiar de manter “INVARIANTE” a relação �+ = �+, ou seja, uma transformação na qual a quantia �+ − �+ tenha sempre valor nulo, então esta seria uma condição necessária e suficiente para descrever o movimento de um raio de luz nos diversos sistemas de referência.

Portanto uma transformação com a propriedade de que: 2 2 2 20 ' ' 0x t x t− = ⇔ − = , faria ambos os observadores concordarem em

relação ao fato do raio de luz se mover com a mesma velocidade “� = 1”. Certamente esta condição não é satisfeita pela transformação clássica

(Galileu/Newton). Para achar a transformação com esta propriedade, vamos impor uma

condição ainda mais forte, fazendo que: �′+ − �′+ = �+ − �+, e procurar uma transformação que satisfaça esta condição.


Se olharmos para a transformação por rotação, já vista por nós, veremos que ela praticamente satisfaz esta condição, exceto pelo sinal positivo: �′+ + �′+ = �+ + �+. Para conseguirmos ajustar esta diferença de comporta-mento da transformação, basta substituirmos as funções circulares “��W” e “�V�” pelas funções “hiperbólicas” “��Wℎ” e “�V�ℎ”. Com isto obteremos a transformação de Lorentz.

-------------------------------------------------------------------------------------

OBS: “Funções Hiperbólicas”: Para este tipo de função, o argumento trigonométrico usual “θ” é substi-

tuído por “�”, o qual pode assumir qualquer valor no campo dos números Complexos. As funções básicas são definidas por:

Com estas definições obtemos:

2 2

2 2

cosh cosh senh senh cosh senh

cosh senh 1

w we e w w w w w w

w w

− = − + −

∴ − =

“Funções Hiperbólicas”

senh1 (bissetriz de 45 )

coshww

w

→∞→ °

-------------------------------------------------------------------------------------

cosh� = �� + ��2

sinh� = ��+

�� = cosh� + sinh� �� = cosh� − sinh�

45° cosh �

senh �


Esta relação entre os quadrados de “�V�ℎ” e “��Wℎ” com o sinal negati-vo (�V�ℎ+� − ��Wℎ+� = 1) nos dá uma boa pista da transformação que pro-curamos! Vamos tentar um palpite, para verificarmos depois se ele está cor-reto:

Neste caso, “�” constitui um parâmetro da transformação, assim como “4” era o parâmetro (ângulo) da rotação. Conforme veremos, o parâmetro “�” está ligado à velocidade relativa entre os sistemas.

( ) ( )

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

' cosh senh 2 cosh senh

' senh cosh 2 cosh senh

' ' cosh senh cosh senh

' '

x x w t w xt w w

t x w t w xt w w

x t x w w t w w

x t x t

= + −

= + −

⇒ − = − − −

∴ − = −

Esta é justamente a transformação que procuramos!

------------------------------------------------------------------------------------- OBS: Certamente Maxwell sabia que suas equações não eram consistentes com a relatividade newtoniana. Porém ele imaginava a propagação da luz co-mo algo parecido com a propagação de ondas na água. Nestes casos, quando nos movemos em relação ao meio de propagação da onda, realmente observa-mos velocidades diferentes para as ondas. Assim, Maxwell pensou num meio material de propagação da luz, sendo que este particular meio constituía um sistema inercial em repouso “absoluto”, em relação ao qual a velocidade da luz era exatamente 3 × 10~=/�. Para ele, então, suas equações estavam de acordo com um sistema referencial no qual aquele material especial para a propagação da luz (o chamado “ETER”) estava em repouso. Portanto Maxwell não imagi-nava que suas equações fossem equações universais da Física. Neste sentido, Michelson-Morley fizeram um experimento no qual eles medi-am a velocidade da luz no mesmo sentido e no sentido oposto ao da translação da Terra, sendo que o resultado não apresentou qualquer diferença, provando

�& = � cosh� + � sinh� �& = −� sinh� + � cosh�


assim que a velocidade da luz é sempre a mesma, independente da direção do movimento da Terra. Com isso, não houve salvação para o conceito de “ETER” como meio material de propagação da luz. A solução foi dada então por Einstein, com um novo conceito para o espaço-tempo.

------------------------------------------------------------------------------------- Voltando à questão da transformação, vamos verificar a ligação do pa-

râmetro � com a velocidade relativa entre os sistemas. A reta � = �� representa a traje-

tória da origem do sistema em movi-mento relativo (�&, �&) com velocidade � em relação ao sistema (�, �).

�& = 0 → � = �� ∴ � cosh� = � sinh� senh

cosh

wx t

w⇒ = .

Mas � = ��, portanto a velocidade � do sistema (�&, �&) será dada por:

senh

cosh

wV

w= .

Vamos expressar � em função da velocidade relativa �: �+ = ��Z�� = ��I�� ⟹�+�V�ℎ+� = �V�ℎ+� − 1

⟹�V�ℎ+�(1 − �+) = 1

�

�


∴ cosh� = I√I�-� ⟹ sinh� = � cosh� = �√I�-� Então obtemos para a transformação desejada:

Para colocar a velocidade da luz de volta nas equações, basta fazermos

uma análise dimensional de cada um dos termos: �1 − �+ �+⁄ → “1” não tem dimensão, portanto temos de dividir �+ por �+. (� − ��) → “�” é o tempo, portanto temos que dividir �� por �+. Então chegamos à TRANSFORMAÇÃO DE LORENTZ:

Embora estas equações sejam mais conhecidas, é mais comum a sua uti-

lização na forma hiperbólica, que facilita a manipulação algébrica. Por exem-plo, (trata-se de um bom exercício para fixar as ideias) torna-se fácil determi-nar a relação de composição de duas transformações de Lorentz, na qual o sistema “2” move-se com velocidade � em relação ao sistema “1” e o sistema “3” move-se com velocidade 5 em relação ao sistema “2”, sendo que deseja-mos determinar a relação de transformação do sistema “3” para o sistema “1”. Neste caso, utilizando a representação hiperbólica, os “ângulos” hiperbólicos

�′ = � − >�√1 − �+ �′ = � − >�√1 − �+

�′ = � − ��1 − �+ �+⁄

�′ = � −�� +⁄�1 − �+ �+⁄


resultam somados, e não as velocidades! Basta um pouco de trigonometria hiperbólica!

------------------------------------------------------------------------------------- OBS: Para pequenos “�”, ��Wℎ� ≅ �. Portanto, neste caso, � ≅ �/�, de modo que a composição soma-se como velocidade. Para velocidades compa-ráveis à da luz, a soma da composição é dada pela soma dos ângulos hiperbó-licos.

------------------------------------------------------------------------------------- Vamos verificar se a transformação de Lorentz é compatível com as

equações de transformação de Newton para baixas velocidades. Neste caso, o termo �+/�+ torna-se desprezível, de modo que a transformação se reduz a:

'

'

x x vt

t t

= − =

, confirmando a condição de compatibilidade.

OBS: No referencial "′, em movimento em relação ao referencial ", a condi-ção �& = 0 exprime todos os pontos de �′ no instante �& = 0 (pontos sincroni-zados no referencial "′), Isto significa que, para o sistema ", teremos:

2

Vt x

c=

ou, considerando � = 1, t V x= .

Vemos então que, para ",

cada ponto sincronizado no ins-tante �& = 0 em relação a "′ ocor-re num instante diferente!

Existe assim uma diferença entre os dois sistemas, " e "′, a respeito do que é e do que não é simultâneo, e este foi o grande “nó” desatado por Einstein, que percebeu haver para o conceito de

�

�

"


7� 7�

�

�

7�+ = 7�+ + 7�+

“simultaneidade” diferentes significados, de acordo com os diferentes sistemas de referência.

-------------------------------------------------------------------------------------

OBS: No caso da rotação do sistema de coordenadas, se nós quisermos expres-sar � e � em função de �′ e �′, basta substituir “4” por “– 4”, ou seja, fazer a rotação no sentido contrário! Então obtemos:

Analogamente, podemos expressar a transformação de Lorentz, obtendo � e � em função de �′ e �′, trocando � por –�!

------------------------------------------------------------------------------------- Vamos falar agora do “Tempo Próprio”. Na geometria do plano, podemos pensar no comprimento de uma linha

como sendo composto pela soma de elementos infinitesimais:

�& = � cos 4 + � sin 4 �& = −� sin 4 + � cos4 � = �′ cos(−4) + �′ sin(−4) � = −�′ sin(−4) + �′ cos(−4)

� = �& cos 4 − �′ sin 4 � = �′ sin 4 + �′ cos 4


�

�

�

�

� = �A

O ponto fundamental neste conceito de com-primento é que a distância do segmento “7�” não varia com a mudança de coordenadas!

Esta mesma ideia é válida para a Relativida-

de, onde a distância da trajetória é medida no espa-ço-tempo:

Se considerarmos uma partícula em repouso,

ela estará em movimento ao longo do tempo: Portanto existe uma “distância” também entre pontos situados ao longo

do eixo “�”, ou seja, entre pontos situados na mesma posição do espaço. Mas como podemos caracterizar a distância entre dois eventos que ocor-

rem no mesmo lugar? Nós utilizamos um relógio, e não uma régua! Esta é a noção de distância no espaço-tempo, mesmo quando não há movimento no espaço!

Vejamos agora um corpo movendo-se no espaço-tempo, carregando consigo um relógio.

O tempo medido por um relógio em movimento é muito mais semelhante a uma distância medida por uma régua ao longo de uma curva. Em particular, esta distância não deve depender da escolha de coordenadas, por-que trata-se de um fenômeno que é independente das coordenadas e que tem a ver apenas com o relógio em si.

7�

7�

�

�

78+ = 7�+ − 7�+


A quantia infinitesimal “INVARIANTE” neste caso é dada por: 7�+ − 7�+ = 7�′+ − 7�′+ Isto sugere que a distância neste caso seja dada por:

2 2 (TEMPO PRÓPRIO)d dt dxτ = −

O “tempo próprio”(τ ), portanto, é o tempo medido por um relógio mo-

vendo-se ao longo de uma trajetória. Pode-se ver assim que, dependendo da trajetória seguida, o tempo medido pelo relógio em movimento (tempo pró-prio) pode ser diferente.

Para trajetórias mais “longas” no espaço-tempo, resulta, em razão do si-

nal negativo na expressão do tempo próprio, 78+ = 7�+ − 7�+, que o tempo próprio será menor do que aquele medido nas trajetórias mais “curtas”.

1 2

�

� O tempo próprio da traje-tória “2” é menor do que

o da trajetória “1”.



AULA NO 2

Mínima Ação para a Onda – Equação de Onda – Lagrangeano para a Onda Conforme vimos na última aula, o tempo próprio é dado pela expressão

2 2 2d dx dyτ = + , tendo restado a questão a respeito da origem do sinal negati-vo!

Sabemos que o ponto central da transformação de Lorentz é a conserva-ção da quantidade 2 2

dt dx− , ou seja, da constância da velocidade da luz. Por-tanto, da transformação de Lorentz, resulta que:

2 2 2 2 2 2 2 2' ' ' 't x t x dt dx dt dx− = − ⇒ − = −

A ideia de tempo próprio, como uma distância ao longo de uma trajetó-

ria no espaço-tempo, deve ser invariante em relação a uma transformação de coordenadas. Isto significa que o tempo próprio deve ser uma quantia com um significado físico, ou seja, não deve depender do particular sistema de referên-cia escolhido.

A quantidade 2 2dt dx+ não é um invariante, de acordo com a transfor-

mação de Lorentz! Portanto a quantidade invariante na Transformação de Lo-

rentz é: 2 2 2 2' 'dt dx dt dx− = − , que é uma imposição da invariância da veloci-dade da luz:

2 2 2' ' oux c t x c t x c t= ⇒ = = . Vamos então entrar na “TEORIA DE CAMPO”. O que são campos? Campos são “coisas” que ocupam um lugar no espaço-tempo, por exem-

plo: campos elétricos, magnéticos, gravitacionais, etc. Estes campos variam de lugar para lugar e de tempo para tempo, sendo descritos por equações estabe-lecidas nas dimensões espaço-tempo.


A teoria clássica do campo é uma combinação de duas disciplinas bási-cas: a Teoria da Relatividade e a Teoria da Mecânica Clássica.

Um dos modos de descrever os princípios da Mecânica Clássica é atra-vés do Princípio da Mínima Ação, o qual iremos rever agora.

Para descrevermos um determinado sistema físico, nós empregamos um particular sistema de coordenadas, que identificamos usualmente com a locali-zação das partículas constituintes. Mas esta correlação não precisa ocorrer necessariamente de uma única forma, pois o conjunto de coordenadas pode ser qualquer conjunto que descreva o comportamento do sistema físico, podendo elas descrever em particular os valores de um campo ao longo do espaço. Seja qual for o conjunto destas coordenadas, que descrevem a configuração de um sistema, nós a chamamos de “coordenadas generalizadas” e as representamos pela letra “�”.

Nas condições comuns, se tivermos “W” partículas, todas elas se movi-mentando em apenas uma dimensão, teremos então W coordenadas �. Se as W partículas se movimentassem no espaço, teremos 3W coordenadas para o sis-tema. Assim o número de coordenadas não expressa necessariamente a dimen-são na qual o sistema se movimenta, mas apenas o número de coordenadas que descrevem a configuração do sistema (“Graus de Liberdade”). Não há restri-ções para este número, que poderíamos inclusive imaginar como infinito.

Além das coordenadas, precisamos também, a fim de prever o compor-tamento do sistema, das respectivas velocidades, ou seja, da razão de variação dos �′� em relação tempo (derivada no tempo):

( ) ( );i iq t q t �

Todas as leis básicas da Física que conhecemos (Newton, Einstein,

Maxwell) podem ser obtidas através do Princípio da Mínima Ação (vamos abreviar este princípio pelas letras “PMA”).

Para facilitar a visualização, representamos o PMA por um gráfico no qual o tempo é o eixo vertical e as coordenadas estão todas no plano horizon-tal:


Para as condições iniciais do sistema, teríamos um ponto � no espaço W-dimensional, de coorde-nada “��” e de velocidade inicial “��”.

O PMA diz que a trajetória de um sistema, ou seja, a história do sistema, começando em alguma configuração “�” [o termo confi-guração refere-se apenas ao con-junto de coordenadas “��” do sis-tema, e não às suas velocidades

“��”, ou seja, refere-se apenas à localização do sistema] e terminando após determinado intervalo de tempo, em uma outra configuração “Q”, satisfaz a condição de corresponder a um “mínimo” de uma quantidade chamada “AÇÃO”, que é construída como uma função dos “�&�” e dos “�� ′�” ao longo da trajetória percorrida pelo sistema, sendo calculada pela sua totalização ao longo de todo o percurso.

A forma da Ação é sempre dada pela expressão:

( )2

1

A= ,t

i i

t

q q dt∫ �L

onde o integrando, ( ),i iq q�L , é chamado de “LAGRANGEANO”.

Assim, dentre todas as trajetórias que passam pelos pontos (Configura-ção) � e Q, aquela que minimiza a Ação será a trajetória percorrida pelo sis-tema.

Tipicamente (mas não sempre!), o Lagrangeano é dado por:

Energia Cinética

Energia Potencial

TT U

U

→= − → →

L

� �+ Q

� ��

�Z �I �I


onde 5 sempre depende apenas dos “�&�”, enquanto / pode depender tanto dos “�&�” como dos “�� ′�”.

Se os “�&�” representarem pontos movendo-se ao longo de uma reta, en-tão cada “�” representará simplesmente a posição do ponto ao longo da reta, enquanto os “�� ′�” darão as respectivas velocidades, de modo que a energia

cinética será dada por 21 2 im q� , sendo que a energia potencial irá, de maneira

geral, depender da posição de todas as partículas do sistema. Assim teremos:

( )20 1

1onde , ,...,

2 i i ni

m q U q q q q q− →∑ �L= .

Esta é a estrutura básica da Mecânica Clássica, dada pelo PMA. Como já vimo anteriormente, a trajetória que minimiza a Ação é deter-

minada pelas Equações de Euler-Lagrange, que conectam a trajetória como um todo ao seu comportamento “local” na forma diferencial do PMA:

i i

d

dt q q

∂ ∂= ∂ ∂ �

L L

"Momento Canônico conjugado à coordenada "i i

i

qq

∂= Π →

∂ �L

Para o caso mencionado acima teremos:

( ) ( )i i i i

i i i i

d d U Um q m q F m a

dt q dt q q q

∂ ∂ ∂ ∂= = = − ⇒ = − → = ∂ ∂ ∂ ∂

� ��

�

L L

A teoria de campo é a teoria na qual os “graus de liberdade” são os

“campos” que preenchem o espaço, sendo que estes campos também variam


com o tempo. Vamos, porém, nos concentrar no modo pelo qual estes campos preenchem o espaço.

Os “�&�” são os diferentes valores assumidos pelo campo ao longo do espaço.

Na teoria de campo, a posição no espaço define apenas a posição, não sendo ela mesma um grau de liberdade, mas somente uma” referência” à po-sição daquele “grau de liberdade”.

Vamos trabalhar em cima de um exemplo da teoria de campo desde o seu início, para vermos como ele pode ser derivado a partir do PMA. Trata-se de um sistema mecânico simples, que, quando é expandido para um limite, transforma-se em teoria de campo. O sistema é uma coleção de molas conec-tadas entre si, formando uma “corda” (tal como uma corda de violão). A corda tem as suas duas extremidades presas a dois pontos fixos.

Vamos assumir, neste nosso exemplo, que não há oscilações longitudi-nais na corda, mas apenas transversais. Começamos, então, considerando a corda como um conjunto de molas conectadas entre si. Isto significa uma cole-ção de massas pontuais que se movimentam verticalmente, cada uma tendo uma mola ligando-a às suas duas massa vizinhas.

No limite, tomando uma quantidade infinita de massas “infinitesimais”,

esta corda se transforma em um campo, ou seja, em um modelo matemático

para o campo. Vamos definir uma variável para cada massa, dada pela distância de sua

posição em relação à horizontal definida pelos dois pontos � e b, denominan-do a esta distância por “��”.

� b

��


Busquemos agora descrever o comportamento da corda através do PMA, usando as Equações de Euler-Lagrange. Vejamos então como podemos cons-truir uma função para a Ação desse sistema.

Chamaremos o eixo horizontal de “�”. Note que � determina um ponto específico da corda, mas não é ele próprio uma coordenada do sistema (��). Vamos assumir também que a distância horizontal entre as massas é constante e dada por “�”. Será através da redução de “B” para zero que passaremos ao modelo de campo.

Com relação à massa de cada partícula, se nós a definíssemos como “1(”, por exemplo, então à medida que fôssemos acrescentando mais e mais massas, fazendo � tender a zero, a massa total da corda tenderia para infinito! Portanto a massa de uma partícula não pode ser mantida fixa em relação nú-mero de pontos do sistema. Devemos, portanto, reduzir a massa de cada partí-cula à medida que aumentamos o número de pontos do sistema. Vamos assu-mir, neste caso em particular, que a massa de cada partícula é proporcional a � (densidade linear constante!), considerando neste caso a massa de cada partí-cula igual a: “h. �” (h → densidade linear de massa).

A energia cinética é a energia dada pelo movimento ao longo da coorde-nada vertical ��:

2 2

2 2i i

i ii i

T mϕ ϕσ ε= =∑ ∑ (“h” → densidade linear de massa).

À medida que inserimos mais e mais partículas, esta soma irá se trans-

formar em uma integral:

� b

�� =�

� � �


∆��

�(�)

( ) ( )0

lim i ix i

f x dx f x x∆ →

= ∆∑∫ .

Portanto, no caso limite teremos:

2 2( )( 0)

( )

2 2dxi

xi

xT dx

εε ϕ ϕσ σ→∆ →

⌠⌡

= →∑� �

A energia potencial de uma mola é proporcional ao quadrado do deslo-

camento da mola em relação à sua posição de equilíbrio. A única interação de cada partícula deste sistema é apenas com as suas duas partículas vizinhas imediatas, que definem o deslocamento das duas molas às quais ela está co-nectada e, portanto, a força sobre a partícula em questão.

Quando movimentamos verticalmente uma das massas, as molas são es-ticadas por uma quantidade proporcional, “numa aproximação de primeira ordem”, à diferença entre as coordenadas das massas de seus extremos:

( )1mola i iϕ ϕ+∆ ∝ −

Assim a energia potencial da mola é proporcional ao quadrado da dife-rença entre as coordenadas:

( )21mola i iU ϕ ϕ+∆ ∝ −

�� I


A fórmula usual da energia da mola contém a constante da mola (�) di-

vidida por dois: 21

2U K x= .

O mesmo raciocínio utilizado para o acréscimo de massas nos leva a concluir que o “�” de “cada pequena mola” deve ser inversamente proporcio-nal a ε .

-------------------------------------------------------------------------------------

OBS: Se tivermos uma mola de comprimento 0, esticada por um comprimento ∆0:

e considerarmos que ela é equivalente a duas molas em série, de comprimento

0/2, deslocadas cada uma por ∆0/2, então teremos: '2

LF K L K

∆= ∆ = . Isto

significa que a constante da nova mola (0/2) tem um valor duas vezes maior do que a mola inteira (0), pois, para igualar a mesma força, porém com apenas a metade do deslocamento, a constante deve dobrar de valor. Com isso, vemos que podemos definir uma nova constante “c” para a mola, se definirmos a

força como sendo proporcional a L L∆ , de modo que: L

F kL

∆= . Assim, te-

mos uma constante inerente à mola em si, independente de seu comprimento. -------------------------------------------------------------------------------------

Obtemos desse modo, para a energia potencial de uma partícula da nossa

corda, a expressão:

( )211

2i i

iU kϕ ϕ

ε+ −

=

0 ∆0

F K L= ∆


Vamos substituir esta constante “c” por “h�+”, onde h é a densidade li-near de massa (no final, veremos a razão para esta escolha!):

( )2

212i i i

i

cU

σ ϕ ϕε += −∑

. Com isso, temos os elementos para escrever o Lagrangeano da nossa

corda, com o qual poderemos obter as Equações de Euler-Lagrange para cada uma das partículas da corda:

( )2

22

2 2i ii i

cσ ε σϕ ϕε

= − ∆∑ ∑�L

1onde ( )i i iϕ ϕ ϕ+∆ = −

Vamosobterasequaçõesdomovimento(Euler-Lagrange).Prafaci-litaracompreensão,foquemos(arbitrariamente)anossaatençãonapar-tículadecoordenada“ 7ϕ ”:

( )

deduzindo-se7 pelo padrão

7

7 77 7

i

i

d d

dt dt

σ ε ϕ σ ε ϕϕ ϕ

σ ε ϕ σ ε ϕϕ ϕ

∂ ∂= → =

∂ ∂

∂ ∂= = = ∂ ∂

� ��

� ��

L L

L L

( ) ( )

22 2

7 7 8 7 7 6para 2

cU

σϕ ϕ ϕ ϕ ϕε ⇒ = − + −


( )( ) ( )

[ ]

( ) ( )

( ) ( )

2

8 7 7 67 7

2

8 7 67

2

7 8 7 67

8 7 7 627

7 7

2 1 22

2

U c

U c

U c

Uc

σ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ε

σ ϕ ϕ ϕϕ ε

σ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ε

ϕ ϕ ϕ ϕσ σ ε ϕ

ϕ ε ε ϕ

∂ −∂ = = − − − + − ∂ ∂

∂− = − − + −

∂

∂ − = − − + − ∂

− −∂ ∂− = + = = ∂ ∂

��

L

L

Vemos então que o padrão geral para esta última fórmula será dado por:

( ) ( )

( )

( )

1 12

1

22 22 21

2 20

i i i ii

i i i

i i ii i

c

cc c

xε

ϕ ϕ ϕ ϕε ϕ

ε ε

ϕ ϕ ϕε ε

ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕε ε ε

+ −

+

+→

− −= +

− ∆=

∆ − ∆ ∆ ∂ = ⇒ = → ∂

��

��

No limite, teremos:

2 2

22 2

0 , ondek

c ct x

ϕ ϕσ

∂ ∂− = = ∂ ∂

.

É possível, por uma análise dimensional, constatar que “�” tem a dimen-

são de “velocidade”:


( )

22

2 2

velocidade

F k L L k ML L Lk ML T

M L MT T

k L

M T

σ σ= ∆

⇒ = ⇒ = ==

∴ →

Certamente, neste caso, � não é a velocidade da luz. Porém, conforme a

equação obtida, derivamos a velocidade de propagação do movimento através

da corda k

cσ

=

.

Este é o modelo da forma como se propagam as ondas segundo a teoria clássica de campo na mecânica.

Vejamos como o Lagrangeano deste sistema é expresso, quando passa-mos para o caso limite, fazendo 0ε → :

( )2

22

2 2i ii i

cσ ε σϕ ϕε

= − ∆∑ ∑�L

Para a energia cinética / de L teremos:

2 202 2

G

F

i ii

T T dxεσ σϕ ε ϕ

→= → =∑ ∫� �

Para a energia potencial 5 de L , teremos:

22

2i

i

cU

ϕσε

∆= ∑

Neste caso, para transformar o termo da somatória em uma “derivada ao quadrado”, precisamos dividir o termo por ε . Porém, para transformarmos a


somatória em uma integral, precisamos multiplicar toda a somatória por ε . Então basta multiplicar a expressão por ε ε !

2 22 2

02 2

G

F

i

i

c cU U dx

xεϕσ σ ϕεε →

⌠⌡

∆ ∂ = → = ∂ ∑

2 22

2

G

F

c dxt x

σ ϕ ϕ⌠⌡

∂ ∂ ∴ = − ∂ ∂ L

Desenhando o diagrama espaço-tempo, obtemos:

No tempo �I, teremos, para “cada” � entre � e b, um valor definido para �(�). É com estes valores variando ao longo do tempo que calcularemos a

Ação:

2

1

2 22

2

G

F

t

t

Ação A c dx dtt x

σ ϕ ϕ⌠⌠ ⌡

⌡

∂ ∂ = = − ∂ ∂

�

� �+

�I � b

�¶�Z·¸

��Z��·¸


É muito importante notar a simetria entre “tempo” e “espaço” na equa-ção da Ação.

O assunto que nos interessa agora é a propagação da luz. Vamos traba-lhar, portanto, com sistemas nos quais a velocidade da luz é unitária (� = 1), atendo-nos apenas à estrutura da equação da Ação, independente do particular meio de propagação (h):

2

1

2 21

2

G

F

t

t

A dx dtt x

ϕ ϕ⌠⌠ ⌡

⌡

∂ ∂ = − ∂ ∂

Com isso, começamos a ver uma “estrutura” mais generalizada nesta

equação, na qual aparece a energia cinética 2

t

ϕ∂ ∂

menos a energia potencial

2

x

ϕ∂ ∂

, formando o respectivo Lagrangeano.



AULA NO 03

Invariância das Leis da Natureza – Tensores e quadri-vetores – Lagrangeano da Onda

Vamos falar a respeito da invariância das leis da natureza segundo as vá-

rias operações de transformação entre sistemas, tendo em vista a Transforma-ção de Lorentz. Vejamos qual é a estratégia para produzir leis que parecem as mesmas em todos os sistemas de referência.

A estratégia consiste em expressar estas leis numa forma que não depen-da da escolha do sistema de coordenadas, para então eleger um sistema especí-fico e reescrever as leis numa linguagem apropriada para o novo sistema ado-tado.

Por exemplo, a menor distância entre dois pontos (que é a definição de uma linha reta) não depende de nenhum particular sistema de referência. Uma consequência desta propriedade, na Física, é que o raio de luz percorre (no vácuo) uma linha reta no espaço, perfazendo o trajeto correspondente à menor distância entre os dois pontos. A generalização desta propriedade da luz, quando o trajeto passa por vários meios, estabelece que o tempo gasto pela luz para ir de um ponto a outro é sempre o “menor possível”. Ao expressar estas leis, não utilizamos “nenhuma” definição especial do sistema de coordenadas. Tais leis foram expressas de uma forma independente do sistema de coordena-das. Podemos, no entanto, tomar um sistema em particular, para desenvolver estas leis matematicamente e resolver algumas equações.

Se considerarmos a luz propagando-se no vácuo, então o menor caminho é dado por uma reta. Neste caso, portanto, podemos escolher um sistema re-tangular de coordenadas.

Imaginamos um trajeto percorrido por uma trajetória qualquer. Dividin-do a trajetória em pequenos segmentos, cada um deles é caracterizado por um deslocamento composto por 7� e 7�. O comprimento da trajetória é a soma de todos os segmentos entre os pontos � e �:


7� = �7�+ + 7�+

Este elemento de distância 7� não depende da orientação dos eixos. Vejamos um exemplo para a aplicação deste conceito. O comprimento

de uma trajetória é dado por:

� = ¹ º1 + »7�7�¼+ 7�½

�

Com essa expressão, podemos tentar achar qual a trajetória de menor

comprimento que liga os dois pontos � e �. Este é um problema bastante simi-lar ao “Princípio da Mínima Ação” (PMA), segundo o qual a trajetória de uma partícula no espaço-tempo minimiza a Ação.

O principal ponto nesta questão está no fato de nós expressarmos a lei original sem nos referirmos a nenhum sistema de coordenadas (comprimento de uma trajetória), sendo esta a razão pela qual podemos ter certeza de que, quando introduzirmos um sistema de coordenadas, a resposta será independen-te do sistema particular em questão!

Quando enunciamos esta lei, o fator matemático fundamental para a sua expressão foi a relação pitagórica do elemento de distância com os elementos de coordenadas do sistema: 7�+ = 7�+ + 7�+.

Esta expressão para o elemento de distância é ela própria um exemplo de invariância, segundo a qual a distância entre dois pontos vizinhos não depende (é invariante) do sistema de coordenadas escolhido.

7� 7� 7�

�

�

�

�


�& = � cosh� − � sinh�

�& = −� sinh� + � cosh�

Uma das maneiras de confirmar esta propriedade é fazer uma rotação do sistema de coordenadas e constatar que a lei de transformação de coordenadas por rotação é uma lei que mantém inalterada a expressão para o elemento de distância:

Na verdade, qualquer quantidade que se transforma do mesmo modo

como � e � será, na soma dos quadrados de suas componentes, uma quantida-de invariante.

Esta é então a estratégia com a qual procuramos meios para construir quantidades que são invariantes em relação à operação na qual estamos inte-ressados, para expressá-la [talvez segundo o “Princípio da Mínima Ação” (PMA)] de uma forma independente do sistema de coordenadas.

Voltemos à transformação de Lorentz:

As componentes �′ e �′ simplesmente não se alteram (simetria de rotação em torno do eixo �): �& = � e �& = �.

Quando levamos em consideração as quatro coordenadas (�, �, �, �), a

quantidade invariante passa a ser:�+ − (�+ + �+ + �+), onde �+ + �+ + �+ é a distância no espaço.

7� 7�

7�

�

�

�′ 7� 7�′

7�′ �′

7�+ = 7�+ + 7�+ = 7�′+ + 7�′+


Portanto�+ − (�+ + �+ + �+) é a quantidade conservada numa trans-formação de Lorentz seguida por uma rotação, uma vez que na rotação do sis-tema de coordenadas a distância no espaço é invariante.

Qualquer quantidade que, numa transformação de Lorentz combinada com uma rotação, transforma-se do mesmo modo que (�, �, �, �) também será conservada, condição da qual surge o conceito de 4-vetor. Assim, a quantia conservada segundo a transformação de Lorentz é dada por:

�+ − �+ − �+ − �+ No caso de uma trajetória, teremos no elemento infinitesimal desta quan-

tidade o 4-vetor (7�, 7�, 7�, 7�), sendo que a quantidade invariante será: 7�+ − 7�+ − 7�+ − 7�+

Se integrarmos esta quantia ao longo de uma trajetória no espaço-tempo,

obteremos o “tempo próprio”, que é um invariante sob a transformação de Lorentz e de rotações.

Uma forma de invariante mais simples do que um 4-vetor é um escalar. Um escalar é uma quantia que tem o mesmo valor em todos os sistemas de referência.

Por exemplo, a “carga elétrica” é um escalar (invariante). Outro exemplo é o “tempo próprio”. Ambos exemplos segundo a Transformação de Lorentz e de rotações.

Se nós pudermos construir nossas leis da natureza através de invariantes, então estas leis da natureza serão invariantes.

Vamos denominar o 4-vetor de maneira geral, com suas quatro compo-nentes, através da simbologia: 7�6 = (7�, 7�, 7�, 7�) → �6.

Teremos então, por analogia: 7�6 = (7�, −7�, −7�, −7�) Assim, toda vez que tomarmos um 4-vetor e modificarmos o sinal das

componentes “espaciais”, esta operação corresponde a “levantar” ou “abaixar” o índice “N” daquele 4-vetor: 7�6 = (7�, 7�, 7�, 7�)

7�6 = (7�, −7�, −7�, −7�)


Trata-se apenas de uma notação convencional e conveniente. Com este recurso, podemos escrever a expressão para o “tempo próprio” de outra forma:

2 2 2 2d dx dx dt dx dy dzµ

µµ

τ = = − − −∑

--------------------------------------------------------------------------------------- OBS: Segundo a notação proposta por Einstein, toda vez que um índice apare-cer repetido duas vezes em uma expressão, subentende-se aquela expressão somada em todos os valores correspondentes àquele índice. Assim:

d dx dx dx dxµ µµ µ

µτ = =∑

--------------------------------------------------------------------------------------- Temos, portanto:

2 2 2 2

d dt dt dx dx dy dy dz dz

d dx dx dt dx dy dzµ

µ

τ

τ

= − − −

= = − − −

De modo semelhante, um dado 4-vetor �6 irá diferir do 4-vetor �6 ape-

nas pelo sinal das componentes espaciais. Portanto a quantia formada pelo produto �6�6 será, de maneira análoga a 7�67�6, um invariante segundo a transformação de Lorentz e de rotação.

Começamos assim a elaborar um conjunto de regras para construir inva-riantes, através da utilização de índices superiores e inferiores que se contraba-lançam entre si.

Na verdade, isso é bem geral. Suponhamos que nós tenhamos dois qua-drivetores: �6 e �6. Então nós podemos formar uma nova quantia:

�6�6 = �¾�¾ − �?�? − �@�@ − �g�g


Esta quantia é análoga ao produto escalar entre dois vetores, exceto pelo sinal negativo nas componentes espaciais, devido à presença do índice inferior em �. Na verdade, esta quantia é a mesma quantia dada por:

�6�6 = �6�6

Este produto escalar é, portanto, um invariante segundo a transformação de Lorentz.

Começamos assim a criar um novo vocabulário para formar quantidades invariantes. Se nós tivermos um 4-vetor – que, como sabemos, deve transfor-mar-se segundo as regras já vistas (Lorentz e rotação) em relação ao índice superior e inferior – e tivermos outra quantidade �, que não sabemos se é ou não um 4-vetor, há um teste para descobrirmos a natureza de �, dado pelo fato de que, se o produto escalar de � por � (�6�6) for um invariante, então � será um 4-vetor.

Vamos analisar agora outro objeto. Suponhamos uma determinada quan-tia escalar, como, por exemplo, a temperatura em três dimensões, ou algum outro valor que é uma função da posição ao longo do espaço. Surge aqui a ideia de “campo” no espaço! Alguns campos podem ser vetoriais, como, por exemplo, a distribuição do “vento” no espaço tridimensional da atmosfera.

Imaginemos agora que temos um escalar “φ ” segundo as transforma-

ções de Lorentz: ( )xµφ , onde �6 representa as quatro componentes: (�, �, �, �).

Isto significa que todos (de modo independente do sistema de referência)

irão medir o mesmo valor para o campo ( )xµφ – 4 dimensões.

Não é muito simples de achar exemplos de escalares relativísticos! Mas o conceito é simples, significando que, independente da rotação do sistema ou do seu movimento relativo, o valor do campo escalar será sempre o mesmo!

Nós podemos tomar as derivadas de um escalar em relação às diferentes dimensões. Por exemplo, podemos diferenciar um escalar em relação ao tem-

po: ( )

t

x

t

µφ φ∂=

∂, que é uma das componentes da quantidade em questão. Há

também as outras três derivadas:


2

1

7�6

( )x

x

x

µφ φ∂=

∂;

( )y

x

y

µφ φ∂=

∂;

( )z

x

z

µφ φ∂=

∂.

Esta quantia pode se representada então por: ( )x

x

µ

µµφ φ∂ =∂

, tratando-se

de um objeto com três componentes espaciais e uma componente temporal. Certamente, a quantidade µφ é um 4-vetor. No entanto surge a dúvida se

ela tem um índice inferior ou superior! Como convenção, quando temos a mu-dança do sinal das dimensões espaciais, estamos diante de um 4-vetor com índice inferior. Portanto, neste caso, o índice é de fato inferior!

A nomenclatura utilizada para objetos com índices inferiores é de “COVARIANTE”, enquanto para aqueles com índices superiores é de “CONTRAVARIANTE”.

Portanto ( )x

x

µ

µµφ φ∂ =∂

é um 4-vetor “COVARIANTE” (índice inferior).

Vamos provar isso: Se nós pudermos achar um 4-vetor contravariante, cujo produto escalar

com o 4-vetor µφ seja invariante, então provaremos que µφ é um 4-vetor co-

variante. Vamos considerar dois pontos vizinhos no espaço-tempo, separados pelo

intervalo dxµ :

→ dx µ é um quadrivetor conhecido e contravariante.

Multiplicando xµφ∂

∂ por dx

µ , obtemos:

2 1 constantedxx

µµ

φ φ φ∂= − =

∂!


Portanto dxx

µµ

φ∂∂

é um invariante. Mas, uma vez que dxµ é um 4-vetor

contravariante, então xµφ∂

∂ é um 4-vetor covariante.

Resulta, portanto, que dxµ e

xµφ∂

∂ são dois 4-vetores. Assim podemos

criar o 4-vetor covariante 7�6, mudando o sinal das componentes espaciais de

dxµ . Da mesma forma, podemos criar uma versão contravariante de µφ , tro-

cando o sinal de suas componentes espaciais e obtendo assim µφ :

( )( )

, , , ,

, , ,

t x y z

t x y z

µ

µ

φ φ φ φ φ

φ φ φ φ φ

= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= ∂ ∂ −∂ ∂ −∂ ∂ −∂ ∂

Se multiplicarmos µφ por µφ , obteremos:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2t x y z

µµφ φ φ φ φ φ= ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ .

Todos os observadores medirão o mesmo valor para o escalar dado por µ

µφ φ . A notação adotada para esta expressão do invariante é:

µµ φ φ∂ ∂ .

O que estamos fazendo é desenvolver regras de cálculo para construir “INVARIANTES” com relação à transformação de coordenadas!

Vimos então que, a partir de um campo escalar φ , podemos obter um

4-vetor: xµφ∂

∂, µ φ∂ , µφ (notações equivalentes para sua expressão “covarian-

te”), ou xµ

φ∂∂

, µ φ∂ , µφ (notações equivalentes para sua expressão para sua

expressão “contravariante”).


Devemos nos lembrar de que, neste sistema de coordenadas, a velocida-de da luz foi considerada “unitária”, podendo ser recuperada depois, através de uma análise dimensional.

Vamos voltar ao problema de uma corda vibrando transversalmente, en-tre dois pontos fixos, onde achamos, através de uma aproximação limite, o campo:

( )xφ : ( )0i xεφ φ→

→ .

Vimos também, neste problema, uma função para o valor da Ação. O valor desta função em termos discretos é dado por:

( )

2

1

2 22

1

Lagrangeano

2 2

t

ii i

i

t

cA dt

ε φϕ ϕ

ε +

⌠⌡

= − −

∑��

.

Quando tomamos o limite da expressão para 0ε → , vimos que as equa-ções do movimento, segundo as equações de Euler-Lagrange (fazendo � = 1), reduziram-se a:

2 2

2 20

t x

φ φ∂ ∂− =

∂ ∂,

onde 2

2t

φ∂∂

é simplesmente a aceleração do próprio campo. Nós também vimos

o que acontece ao Lagrangeano, quando levamos as equações para o mesmo limite 0ε → :

2 2

0

1

2

G

F

dxt xεφ φ

→

⌠⌡

∂ ∂ → − ∂ ∂ L

sendo que nesta expressão tomamos � = 1.


Portanto o Lagrangeano é uma integral no “espaço”, enquanto a Ação constitui uma integral no “tempo”, resultando assim:

2

1

2 21

2

tG

Ft

A dxdtt x

φ φ⌠⌠ ⌡

⌡

∂ ∂ = − ∂ ∂

Trata-se de uma integral estendida no espaço e no tempo:

Temos assim uma integral no

espaço cujo valor é integrado ao lon-go do tempo, para determinar a “Ação”.

Podemos ver que o Lagrangeano tem a mesma forma do invariante µ

µφ φ (considerando � = 1), cujo valor independe do sistema de coordenadas

segundo a Transformação de Lorentz. E o fato de que o Lagrangeano toma esta forma particular, como um in-

variante segundo a transformação de Lorentz, não é uma simples coincidência. Isto quer dizer que as equações do movimento são invariantes com respeito à transformação de Lorentz!

Vamos representar o Lagrangeano obtido através do limite de 0ε → pe-la letra “L”:

( ) ( )0lim iL dxµε

φ φ→

= = ∂∫L L

A quantia ( )µφ∂L é chamada de densidade de Lagrangeano, que é inte-

grada ao longo do espaço.

F G

�I �+

x

t

7�

7�


Então temos a Ação, que é dada por:

( )A dxdtµφ= ∂∫ ∫L .

Podemos imaginar a densidade de Lagrangeano, então, como a “densi-

dade de ação” por unidade de volume no espaço-tempo. Assim, integrando a densidade de ação ao longo do espaço-tempo, obtemos como resultado a “Ação”!

Se a densidade de Lagrangeano é um escalar, então as equações do mo-vimento, segundo a transformação de Lorentz, são invariantes.

Alguns detalhes lógicos não foram considerados aqui, mas a ideia prin-cipal deve estar clara, com relação a como construir leis da natureza invarian-tes a partir de princípios invariantes.

Vamos agora supor que, em vez de expressar a onda através de um cam-po vibrante ao longo de uma única dimensão, desejamos expressá-la no espaço completo: x, y e z.

A estratégia é bastante clara. Tudo que temos de fazer, para encontrar uma descrição invariante segundo uma transformação de Lorentz, no espaço quadridimensional, é completar o restante da expressão:

412

A d xµµφ φ= ∂ ∂∫

Esta é a forma compacta para a expressão da “AÇÃO”:

( )2 2 2 212 x y ztA dxdy dzdtφ φ φ φ= − − −∫

Assim, a Ação é ela mesma invariante, independendo do sistema de refe-

rência. Portanto a minimização da Ação também não depende do sistema de referência. O mínimo é obtido da mesma forma como fizemos para a ação no caso de um sistema de partículas, quando supusemos uma variação infinitesi-


mal na trajetória verdadeira e consideramos que, no ponto de mínimo, esta variação deve ser nula. Esta condição, então, nos levou a uma equação dife-rencial local (Euler-Lagrange), que nos dava a equação do movimento do sis-tema.

Portanto nossa estratégia será a mesma, porém aplicada a uma região do espaço-tempo. Se nós queremos saber qual o campo cuja história no tempo minimiza a Ação, nós podemos supor conhecida a solução do problema em um pequeno contorno da região do espaço-tempo (a solução na “FRONTEIRA” desta pequena região do espaço-tempo). Então precisamos simplesmente mi-nimizar a Ação nesta pequena região (dentro desta região), submetendo-nos à condição estabelecida na fronteira desta região. Assim obteremos as equações diferenciais para o movimento do campo.



AULA NO 04

Equação de Onda – Lagrangeano para ondas – Simetrias e Leis de

conservação A teoria clássica do campo é um caso especial da mecânica clássica.

Sendo assim, devemos encará-la como um exemplo expressivo das leis da me-cânica clássica.

Vamos fazer uma pequena revisão da mecânica clássica, para então apli-cá-la à teoria de campo, tendo em mente um objetivo particular, que é a cone-xão entre "simetrias" e "leis de conservação", cujo papel é especialmente inte-ressante e primordial em relação à "teoria relativística do campo".

Para o nosso propósito, vamos considerar apenas o movimento de uma partícula isolada, movendo-se somente numa direção, cuja equação do movi-mento é dada por: ( )x t .

Graficamente, podemos representar a trajetória da partícula por:

Esta trajetória minimiza a quan-

tia denominada “Ação”:

( )2

1

,t

tA L x x dt= ∫ �

Assim, mantendo-se os dois pontos extremos em t1 e t2 fixos (condições

iniciais), a trajetória descrita pela partícula irá assumir um valor mínimo para a Ação em relação a todas as outras trajetórias possíveis para a partícula.

t1

t2 f(x)


Portanto, ao fazermos qualquer pequena variação na trajetória real da partícula, a ação deve sofrer um pequeno acréscimo. Porém a condição de que a ação deve aumentar com qualquer variação da trajetória equivale à condição de que a ação não sofre variação, pois, quando minimizamos uma função, pro-curamos uma variação de primeira ordem nula. Por exemplo, para uma função de apenas uma variável, seu ponto de mínimo estará situado sobre a horizontal tangente à função no seu ponto de mínimo.

Apesar de, no caso da nossa trajetória, a minimização ser uma função de toda a trajetória, e não apenas de um ponto, a variação da função no seu ponto de mínimo também deve ser nula.

Assim, para determinarmos o mínimo de uma função, devemos exigir que a variação da função ( ( )f xδ ) deva ser nula para qualquer variação de

x ( xδ ). Se nós tivermos, por exemplo, uma função de duas variáveis: ( ),f x y , a

condição para o ponto de mínimo será: 0 , 0f f

x y

∂ ∂= =

∂ ∂. Esta condição pode

ser expressa por:

0f f

f x yx y

δ δ δ∂ ∂= + =

∂ ∂

( )0

df x

dx=

0f

f x fx

δ δ δ∂= ⇒ =

∂f(x)


No caso da trajetória que minimiza a Ação, queremos explorar o com-portamento de trajetórias vizinhas à trajetória real da partícula, requerendo que a mudança na Ação seja nula, quando fazemos uma pequena variação na traje-tória real ( )x̂ t :

( )2

1

, 0t

tL x x dtδ =∫ �

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) ( )

ˆx t x t f t

x t f x

x t f t

ε

δ ε

δ ε

= +

=

∴ = ��

( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 1

,t t t

t t t

L L L LL x x dt x x dt f t f t dt

x x x xδ δ δ ε∂ ∂ ∂ ∂ = + = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∫ ∫ ∫ ��

� �

( ) ( ) ( )

( )

2 2

1 1

2

1

integrandopor partes

,

0

t t

t t

t

t

L d LL x x dt f t f t dt

x dt x

L d Lf t dt

x dt x

δ ε

ε

∂ ∂ → = − = ∂ ∂

∂ ∂ = − = ∂ ∂

∫ ∫

∫

��

�

Uma vez que ( )f t é arbitrária:

0 "LAGRANGEANO"L d L

x dt x

∂ ∂ − = ∂ ∂ �

( )x̂ t

( )f t

t


Para o caso de várias coordenadas generalizadas, a equação pode ser es-crita na seguinte forma:

0i i

d L L

dt q q

∂ ∂− = ∂ ∂ �

“EQUAÇÕES DE EULER-LAGRANGE”

Vamos generalizar isto para a teoria de campo, que é um caso especial

daquele já visto, onde as várias coordenadas correspondem aos valores do campo em diferentes posições do espaço.

Conforme já vimos em nosso exemplo, onde dividimos uma mola em diversas molas menores, o campo assume um valor que é uma função contínua da posição, à medida que a divisão da mola tende para infinito.

Vamos enfatizar que ( )xφ não se refere à posição no espaço, mas sim

ao valor assumido pelo campo em um determinado ponto do espaço. Quando passamos à condição limite, todas as somas de energia cinética e

potencial transformam-se em integrais, de modo que teremos para a expressão do Lagrangeano, no caso mais geral:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 3, , , ,t x y z

L x x x x x d xφ φ φ φ φ= ∫L

Nesta expressão, “L” significa a densidade espacial do Lagrangeano,

sendo que temos as seguintes possíveis notações para as derivadas:

t tt

φφ φ φ∂= = ∂ =

∂� , além disso, usamos 3d x dxdy dz= .


Nós podemos chamar estas derivadas do campo no Lagrangeano de µφ ,

onde o índice µ varia de 0 a 3, correspondendo às coordenadas t, x, y, e z. Um típico Lagrangeano pode ser formado pela metade da diferença entre

a derivada no tempo e a soma das derivadas no espaço, ou seja, pela metade da diferença entre a energia cinética e a energia potencial:

:

� ( )2 2 2 2 2 2 21

2 t x y z

Energia EnergiaCinética Potencial

c c cφ φ φ φ

→ − + +

��L

A expressão também poderia conter termos em φ , por exemplo, no caso

da energia potencial devido à gravidade, dependente da altura que a mola vi-brante se encontra. Assim, poderíamos ter, como expressão para o Lagrangea-no, a seguinte expressão:

( )( )2 2 2 2 2 2 31

2 t x y zL c d xφ φ φ φ µ φ= − + + −∫ ,

onde o termo dependente de φ foi feito igual a 2φ , para tornar mais simples a expressão.

Para obtermos a ação, temos que realizar uma segunda integral, agora ao longo do tempo:

( )( )2

1

2 2 2 2 2 2 31

2

t

t x y zt

A c d x dtφ φ φ φ µ φ = − + + −

∫ ∫

ou

( )( )2 2 2 2 2 2 41

2 t x y zA c d xφ φ φ φ µ φ= − + + −∫

onde 4d x refere-se à integração no espaço-tempo.


Qual é então a condição para o campo ser invariante, segundo a trans-formação de Lorentz?

Para trabalharmos agora, consideraremos o campo como um escalar. Mas devemos ter em mente que ele pode representar um vetor, um tensor, etc.

Se a densidade de Lagrangeano for um escalar, isto significa que a ação não depende da transformação de Lorentz, de modo que as equações de campo serão invariantes segundo a transformação de Lorentz.

O nosso Lagrangeano pode ser expresso da seguinte forma:

( )( )( )( )( )

21; onde

2

t x y z

t x y z

c

c

µµµ µ

φ φ φ φ φφ φ µ φ

φ φ φ φ φ

∂ = − + +∂ ∂ − ∂ = + + +

Vejamos agora quais são as equações de Euler-Lagrange que obtemos a

partir deste Lagrangeano. Neste caso, a nossa dificuldade é maior, pois o La-grangeano depende do espaço e do tempo, envolvendo derivadas parciais, ou equações de onda.

Vejamos como é possível minimizar a ação neste caso do campo.

2 41

2 2A d xµ

µµφ φ φ = ∂ ∂ −

∫

Vamos supor que ( )ˆ ,x tφ seja a solução para a minimização da ação.

Acrescentemos a esta solução uma pequena variação, de maneira análoga à já feita anteriormente:

( ) ( ) ( )ˆ, , ,x t x t f x tφ φ ε= +

Coloquemos a imposição de que, para qualquer variação em torno de

( )ˆ ,x tφ , a variação da Ação deve ser nula:

0 (Valor estacionário)Aδ =


( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 4

Somaem

, ,,

, 0,,

x t f x tf x t

A f x t d xf x txx t

xµ µµ µ

µ

δφ εδ ε

φ φδφ ε

= ∂∂ ∂

⇒ = + = ∂ ∂ ∂ ∂= ∂

∫��

L L

Integrando por partes:

( ) ( )

( )

( )

4

4

, , 0

, 0

Como , é arbitrária: 0

A f x t f x t d xx

A f x t d xx

f x tx

µ µ

µ µ

µ µ

δ εφ φ

δφ φ

φ φ

∂ ∂ ∂= − = ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= − = ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂− = ∂ ∂ ∂

∫

∫

L L

L L

L L

Estas são as equações de Euler-Lagrange para o movimento do campo.

Vejamos como elas se aplicam ao exemplo de Lagrangeano:

2 0t x y z

ct φ φ φ φ φ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− + + − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

L L L L L

ou:

( )2 0tt xx yy zz

cφ φ φ φ µ φ− + + + =

Por enquanto, vamos “desconsiderar o termo µφ ”, o qual iremos estudar no final do curso.

Portanto a equação obtida será dada por:

( )2 0tt xx yy zz

cφ φ φ φ− + + =


Esta é a equação que descreve a propagação da luz e de qualquer campo que se propague na velocidade da luz.

Vamos nos concentrar nesta equação apenas na dimensão x. Isto poderia, por exemplo, representar uma onda plana, cuja variação só depende do deslo-camento na direção do eixo x.

Nestas condições, a equação de onda será dada por: 2 2

22 2

0ct x

φ φ∂ ∂− =

∂ ∂ .

Há dois tipos de solução para esta equação:

( ) ( ) ( ) ( )e , ou seja:f x ct f x ct f x ct f x ctφ φ φ= − = + = − + +

Estas duas funções representam funções movendo-se para a direita

( )( )f x ct− e para a esquerda ( )( )g x ct+ , ao longo do eixo �. Neste caso, a

forma das funções não se altera, apenas se desloca ao longo do eixo �.

----------------------------------------------------------------------------------------------

OBS: Se na equação de onda estivesse presente o termo µφ , então a forma de onda não permaneceria constante. A equação de onda sem o termo µφ é cha-mada de equação de onda destituída de massa.

----------------------------------------------------------------------------------------------


A equação de onda com ou sem o termo de massa ( µφ ) é uma equação diferencial linear (não apresenta produtos ou potências que envolvam a função em si e suas derivadas).

Para as equações diferenciais lineares, as soluções podem ser somadas, sendo que a somatória permanece também uma solução. Da mesma forma, qualquer combinação linear de soluções permanece também uma solução.

Em relação ao Lagrangeano, o que faz as equações de onda resultarem lineares é o fato de que os termos do Lagrangeano são quadráticos, de modo que suas derivadas são lineares. Por exemplo, na partícula livre, o Lagrangea-no é proporcional a 2x� , o que resulta em 0x =�� , (linear!).

Outro exemplo seria o oscilador harmônico, onde o Lagrangeano é dado

por: 2 21 1

2 2m x k x−� , de onde resulta a equação linear do movimento: x k x= −�� .

Vamos nos concentrar agora na teoria que liga as “simetrias” às “leis de conservação”.

Para simplificar, separaremos as leis de conservação em dois tipos: con-servação de energia e os demais tipos de conservação.

A conservação de energia está ligada à simetria de translação ao longo do tempo, ou seja, à invariância da Ação em relação à translação no tempo. A maioria dos problemas na física apresentam simetria no tempo. A dedução desta relação entre simetria no tempo e a conservação de energia já foi vista no curso de Mecânica Clássica.

O Lagrangeano, em sua forma simples, é composto pelos quadrados das derivadas no tempo (velocidades), que chamamos de “termos cinéticos”. Por

exemplo, na onda, o termo: 21

2eK φ= � , é chamado de energia cinética, que se

refere à derivada do valor do campo em relação ao tempo em um dado ponto do espaço, e não ao movimento da onda em si mesma.

Os termos que não dependem da derivada no tempo são chamados “po-tenciais”:

221

2 2U µ

φφ µ= ∂ +.


No caso da onda na mola contínua, a soma desses termos se reduz a uma integral:

22 3 2 31

;2 2eK d x U d xµ

φφ φ µ

= = ∂ +

∫ ∫�

O Lagrangeano é dado pela diferença entre os termos eEK U , mas a

conservação da energia é dada pela soma dos dois. Assim, de maneira geral, a energia tem uma característica positiva, a não ser para o caso nulo.

Há também outros tipos de conservação. Suponhamos que o Lagrangea-no não se modifique com uma transformação infinitesimal em suas coordena-das [ ( )i i iq q f qε→ + ], então teremos uma simetria em relação ao desloca-

mento no espaço. No caso, por exemplo, de dois corpos ligados por uma mola, teremos:

Nestas condições, se fizermos: x x

y y

εε

→ + → +

, então as derivadas de x e y

não se alteram, como não se altera também a diferença entre x e y, indicando com isso a simetria do sistema.

Outra simetria seria, por exemplo, em relação a uma rotação do sistema. Para vermos como a conservação está ligada à simetria, devemos recor-

dar que o momento canônico conjugado à variável iq é dado por:

i

i

L

q

∂Π =

∂ �

Deste modo que a equação de Euler-Lagrange do movimento pode ser escrita como:

i

i

d L

dt q

∂Π =

∂

( )2 2

2

1 22 2 2

x y km m x y⇒ + − −� �


Para o caso da transformação de coordenadas: ( )i i iq q f qε→ + , onde

haja simetria, ou seja, a variação do Lagrangeano ( Lδ ) seja nula em relação à variação de iq ( )( )if qε , resulta que:

( )( ) 0i i i i i

i i ii

L d dL q q f q

q dt dtδ δ δ ε∂

= = Π = Π =∂∑ ∑ ∑

Portanto: ( )( ) 0i i

i

df q

dtεΠ =∑ , ou, uma vez que ( )if q não depende do

tempo e que ε é uma constante, então:

( )( ) ( )0 constante no tempoi i i i

i i

df q f q

dtΠ = ⇒ Π =∑ ∑

Deste modo que esta somatória é uma quantidade conservada ao longo do tempo.

No caso da mola, por exemplo, temos:

( )( ) 1 2

1

1

x

i i x y

y

x fp f m x m y p p

y f

δ ε

δ ε

= = ∴ = + = += =

∑ � �

Portanto o momento total é conservado. No caso da onda, em vez de termos as coordenadas iq , temos o campo

ao longo do espaço: ( )xφ . Assim, obtemos de maneira análoga:

( ) ( )i

i

L Lx

q xφφ

∂ ∂Π = ↔ = Π

∂ ∂ ��

Portanto, neste caso da onda em uma única dimensão, teremos para o Lagrangeano:

( )( )22 21

2 xL c dxφ φ= − ∂∫ �


Se fizermos uma mudança de coordenadas do tipo ( ) ( )x xφ φ ε→ + ,

onde ( ) 1i if q = , resulta para a quantia conservada a expressão:

( )dx x dxφ φΠ =∫ ∫ � .

Com isso, o valor desta integral não se altera à medida que a onda se movimenta.

Se houvesse no Lagrangeano o termo 2µφ , esta simetria não seria ob-servada.



AULA NO 05

Lagrangeano do campo contínuo – Momento da onda – Quantia conservada

no campo

O mais familiar e mais simples exemplo de momento na Mecânica Clás-

sica é dado por: p mv=

Em relação ao Lagrangeano, temos um novo conceito para o momento, que é chamado de momento canônico conjugado à coordenada iq :

i

i

L

q

∂Π =

∂ �.

Resulta assim, como já vimos antes, que o momento é um caso de quan-tia conservada devido a uma simetria de translação. Neste aspecto, o momento pode diferir daquele aspecto usual p mv= , por exemplo, no caso da partícula carregada movendo-se em um campo magnético, cujo momento canônico é dado por:

( )Vetor Potencialmv e A v AΠ = + ⋅ →� ��

Para o caso da equação de onda, o Lagrangeano é dado por:

22 222 3

Densidade de Lagrangeano

2 2 2 2yx zL c d x

φφ φφ

→

= − + +

∫�

��L

O momento do campo não é um vetor no espaço, não estando ligado a uma direção como o momento comum. Trata-se de uma quantia escalar, defi-

nida como a derivada do Lagrangeano em relação a φ� . Trata-se, portanto, de um novo conceito, que não tem nada a ver com a simetria de translação:


( )3"Momento do Campo" OBS: L d xφ

∂Π = → =

∂ ∫�

LL

Como já vimos, nas translações simétricas, a quantia conservada é dada por:

( )i i

i

f qΠ∑

No caso do campo contínuo, esta quantia passa a ser dada por:

( ) ( )( )22 21

2 xx dx dx c dx dxφ φ φ φφ φ

∂ ∂ Π = = − ∂ = ∂ ∂ ∫ ∫ ∫ ∫� ��

��

L

L

Como já vimos, quando o sistema é simétrico em relação ao tempo, en-tão haverá conservação da energia. Vamos considerar a energia para a teoria do campo simples numa única dimensão, com um Lagrangeano dado por:

( )( )( )

22 2

2 2 2

1

21

2

t x

t x

L dxc

E c dx

φ φ

φ φ

= −

= +

∫

∫

Consideremos apenas a solução da equação de onda movendo-se para a direita: ( )F x ctφ = − .

( )

( )

2 2 2

Fazendo-

1

1

2

x ct u

F u Fc

t u t u

F u F

x u x u

F F FE c c dx c dx

u u u

φ

φ=

∂ ∂ ∂ ∂ = = − ∂ ∂ ∂ ∂→∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∴ = + = ∂ ∂ ∂ ∫ ∫

Para a solução movendo-se à esquerda, ( )F x ctφ = + , teremos:


( ) 2F u F Fc E c dx

t u t u u

φ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = ∴ =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∫

Com isso, obtemos a mesma expressão para a energia. Portanto as ondas, tanto para a direita como para a esquerda, possuem as mesmas energias, o que é natural.

Vejamos agora o conceito de momento linear para o campo. Não se trata agora do momento conjugado, mas sim daquele momento que, ao atingir al-gum obstáculo, ira fazê-lo movimentar-se. Neste caso, o momento linear da onda movendo-se para a direita terá sinal oposto (sentido contrário) ao da onda movendo-se para a esquerda. Trata-se de uma parte do momento ordinário, porém carregado por ondas. Na mecânica quântica é a parte do momento car-regado pelo fóton.

O momento ordinário está relacionado com a invariância segundo a translação no espaço. Podemos então perguntar se o Lagrangeano do campo é invariante com relação à translação no espaço e, sendo este o caso, qual é a quantidade conservada.

Vamos imaginar que nós temos uma equação do campo ( )xφ e que essa

função seja deslocada ao longo do eixo x:

Pela própria figura, é bastante óbvio que a integral do Lagrangeano não

deve se alterar. Se fizermos x x ε→ − , isto significa deslocarmos ( )xφ para a

direita por um intervalo ε .

( )xφ( )xφ ε−


( ) ( ) ( ) ( )x

x x x x xdx

x x xεφ ε φ φ φφ φ φδφ

ε ε =−∆− − + ∆ −∆ ∆ ∂= → = ⇒ = −

∆ −∆ ∂

Trata-se, portanto, de uma translação análoga àquela que já vimos em

( )i i iq q f qε→ + , onde ( )if q é representado por x

φ∂∂

. Temos então que a

quantidade conservada será dada por:

p f dx dx dx p dxx x x t

φφφ φ φ φ

φ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= Π = − Π = − ∴ = −∂ ∂ ∂ ∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫�

L

Esta é então a quantidade conservada pela transformação invariante no espaço.

Vamos supor que o nosso sistema fosse uma combinação de partículas e de ondas, por exemplo, radiação eletromagnética e partículas carregadas. Se nós deslocássemos todas as ondas por um pequeno intervalo ε , mantendo sem alteração a posição das partículas, não teríamos mais uma quantidade conser-vada. Porém, se deslocarmos tanto as ondas como as partículas, então o La-grangeano não se alteraria e o momento total seria conservado, tendo contri-buições advindas das partículas e das ondas.

Calculemos então o momento de nossa onda ( )F x ctφ = − , que se mo-

ve para a direita e onde fizemos ( ) , com F u u x c tφ = = − :

2 2

( )F F

p c dx c dxu u

∂ ∂ = − − = ∂ ∂ ∫ ∫

No caso da onda para a esquerda, ( )F x ctφ = + :

2F

p c dxu

∂ = − ∂ ∫

Conforme esperado, os momentos têm sinais opostos. Vemos também

uma relação simples entre a energia e o momento da onda: E c p= . Verifi-

camos assim a lei da conservação do momento linear.


Vamos ver agora outra quantidade conservada, que está associada a um particular tipo de campo. Este campo é definido por valores complexos. Um “campo complexo” é dado pela soma de um “campo real” com outro “campo real”, multiplicado pelo número imaginário “i”. Nosso campo será então:

*1 2 1 2

1 2

i i

ix x xµ µ µ

φ φ φ φ φ φφ φ φ= + ⇒ = −

∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂

Vamos escrever o Lagrangeano para este campo complexo:

( ) ( )

( )

2 2 2 3 2 2 2 31 1 1 2 2 2

* * * 3

1 1

2 21

2

x x

x x

L d x d x

L d x

φ φ µφ φ φ µφ

φφ φ φ µφ φ

= − ∂ − + − ∂ −

∴ = − ∂ ∂ −

∫ ∫

∫

� �

� �

Este Lagrangeano tem as simetrias já vistas por nós em relação ao tempo e ao espaço (energia e momento). Mas ele tem também uma nova simetria, relacionada a uma nova quantidade conservada, que tem grande importância na Física de Partículas e na Mecânica Quântica.

Se multiplicarmos φ por ie ε , onde ε é um número real, o que significa

rotacionar φ por um ângulo ,ε teremos uma transformação do campo que apresentará simetria:


Como aproximação de primeira ordem, temos que 1ie i

ε ε≅ + (para ε

pequeno). Além disso, o fato de multiplicarmos φ por ie

ε não modifica os

produtos * * *, ex xφ φ φ φ φ φ� � , pois . 1i ie e

ε ε− = . Então teremos:

( ) ( )( ) ( )* * * * * *

1 .

1 .

i

i

e i i

e i i

ε

ε

δφ φ φ φ ε φ ε φ

δφ φ φ φ ε φ ε φ−

= − ≅ + − =

= − ≅ − − = −

Uma vez que o Lagrangeano não se altera, temos a conservação de uma quantia. Vejamos qual é esta quantia.

*

*

*;

2 2φ φφ φ

φ φ∂ ∂

Π = = Π = =∂ ∂

� �

� �

L L

Como ( )iδφ ε φ≅ e ( )* *iδφ ε φ≅ − , então f iφ φ= e **

f iφ

φ= − .

Assim, a quantia conservada será:

( )* *

* *3 3

2 2f f d x i d xφ φ φ φ

φ φφ φ⌠

⌠ ⌡⌡

Π + Π = −

��

Portanto a quantidade conservada é dada pela expressão:

* *3

2 2i d x

φ φ φ φ⌠⌡

−

� �

Esta quantia é a carga elétrica do campo. Vamos assim, aos poucos, che-gando às ideias da Teoria Quântica do Campo.

Como já vimos, cada tipo de partícula é um quantum de algum campo. Fótons são quantas de um campo eletromagnético, que são campos reais, e não complexos. O elétron também é o quantum de um campo, não do tipo de cam-po que estamos acostumados a conceber, ou que possamos facilmente medir com um detector de campo no laboratório, mas ainda assim os elétrons são o quantum de um campo. Não se trata de campos que exercem força no elétron, mas sim do quantum de campo que constituiu o elétron em si mesmo. Outras


partículas que possuem carga também são quantum de campos, sendo todas elas (que possuem carga) formadas por campos complexos, como os que aca-bamos de ver.

A expressão que obtivemos nos dá a carga elétrica carregada pelo cam-po. Vemos então que a expressão, no seu integrando, contém a densidade de carga, que deve ser integrada no espaço, para se obter a carga elétrica.

Podemos imaginar assim um campo se movendo em uma dada direção, como uma carga elétrica, que, ao interagir com campo elétrico, pode ser espa-lhada ou desviada.

O movimento dos pacotes de onda destes campos pode seguir trajetórias similares àquelas percorridas por partículas carregadas em movimento num campo eletromagnético. Tudo isto será estudado mais a fundo na Mecânica Quântica.

Podemos imaginar um campo complexo como a representação da vibra-ção de uma corda livre para se movimentar em duas direções:

De modo que a componente 1φ descreveria o movimento da corda na di-

reção x e a componente 2φ , na direção y. Assim o movimento seria descrito

completamente pelo campo complexo 1 2iφ φ φ= + . Neste caso, a densidade de

carga representaria o momento angular de um ponto da corda, de modo que o momento angular total (dado por uma integral!) permanece constante, como, por exemplo, no momento da corda na brincadeira de “pula-corda”.

x

y



AULA NO 06

Conservação da carga – 4-vetor “j” – Equação da continuidade –

Momento Angular e Carga

Vamos falar sobre a conservação da carga. Para que possamos verificar a conservação da carga, temos que limitar o

espaço de verificação desta lei, a fim de controlar, através da detecção da en-trada e saída de cargas daquele volume, a quantidade total de cargas nele con-tida.

Assim a ideia de conservação cargas é algo mais do que a simples conta algébrica do total de cargas no universo, envolvendo o conceito de fluxo, de modo que, se uma carga desaparece de um dado sistema, sua passagem é de-tectada através da fronteira deste sistema. Portanto a ideia de conservação “lo-cal” da carga elétrica está associada à corrente ou fluxo de carga pela fronteira que delimita aquele local. Então, se uma carga desaparece nessa sala, é porque houve uma corrente através de suas paredes, conduzindo esta carga para fora. A formalização matemática deste conceito é feita da seguinte maneira:

Temos primeiramente a ideia de densidade de carga, relacionada à quan-tidade de carga existente em um dado ponto ou região do espaço. Sua defini-ção pode ser feita, observando-se uma pequena caixa num espaço de lado ε e contendo uma carga q:

( ) ( )3densidade ,

qx tρ ρ ρ

ε= →

A densidade pode variar no espaço e no tempo.


Em uma região arbitrária do espaço, a quantidade total de carga contida nela será dada por:

O outro conceito empregado é o de “fluxo de carga”. O fluxo de carga é definido pela “corrente”. Estamos pensando aqui não em correntes passando por um fio, mas sim em cargas, nuvens de cargas, fluindo através do espaço. Para quantificar a ideia de corrente ou fluxo, delimitamos uma pequena área quadrada no espaço (como uma janela) e perguntamos qual a quantidade de carga que passa pela janela por unidade de tempo.

Assim a quantidade de carga que passa pela janela dependerá do tempo que esperamos à corrente passar e do tamanho da janela. Quanto maior o tem-po ou a janela, maior será a quantidade de carga total que passará pela janela.

A carga é uma quantia escalar, porém a corrente, tal como o vento, é as-sociada a uma determinada direção. Se, por exemplo, a janela estiver deitada em relação ao movimento das cargas, nenhuma carga passará através dela.

Portanto o fluxo é uma quantia vetorial. Se orientarmos a nossa janela de modo que o eixo x seja perpendicular a ela, deixando assim que a janela fique

orientada no sentido de x, então a quantia q

A t∆, para a janela na direção x, é

definida como a componente x da corrente ou o fluxo de cargas na direção x.

Volume


Analogamente, define-se yj e zj .

-----------------------------------------------------------------------------------------

OBS: Representam as componentes de “j” nas direções x, y e z com índi-ces superiores , ,x y zj j j (Notação ten-sorial).

-----------------------------------------------------------------------------------------

O fluxo através da borda de uma região deve compensar a variação de cargas nesta região. Isto pode ser expresso matematicamente, tomando um pequeno cubo como unidade de controle de volume, na qual iremos determinar os fluxos correspondentes às três direções:

x


( )2 x

II t jε→ ∆ : quantidade de cargas que “entra” na caixa neste interva-

lo de tempo e através desta área.

( )( )2 x

IIII t jε→ ∆ − : quantidade de cargas que “sai” na caixa neste inter-

valo de tempo e através desta área.

--------------------------------------------------------------------------------------------

OBS: O fluxo entrando na região delimitada está sendo considerado aqui como positivo. Ao contrário, de sinal negativo, para o fluxo saindo da região.

--------------------------------------------------------------------------------------------

Então a mudança na quantidade de carga dentro da caixa no intervalo de tempo t∆ é dada por:

( ) ( )( )2 x x

I IIt j jε∆ −

Isto se refere apenas à direção x. O mesmo raciocínio se aplica para as

outras direções, que chamaremos de yj e zj :

Então as contribuições das direções y e z para o fluxo de cargas entrando no volume são respectivamente:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2ey y z z

III IV V VIt j j t j jε ε∆ − ∆ −

Portanto a quantidade total de carga entrando no volume durante o inter-valo de tempo t∆ será:


( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ){ }2 x x y y z z

I II III IV V VIt j j j j j jε∆ − + − + −

Dividindo esta expressão por t∆ , obtemos a razão do aumento da carga no volume por unidade de tempo:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ){ }2 x x y y z z

I II III IV V VI

dq j j j j j j

dtε= − + − + −

Fazendo a caixa diminuir sempre mais de tamanho, a variação de j ao longo de ε irá se aproximar da derivada de j ao longo da direção correspon-

dente: ( ) ( )( )x

x x

I II

jj j

xε∂− = −

∂. Portanto:

2 3x y z x y zdq j j j j j j

dt x y z x y zε ε ε ε ε ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= − − − = − + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Se dividirmos a equação por 3ε (volume da caixa), ficaremos com

3

d q

dt ε

na esquerda, que, quando 0ε → , é a razão de variação da densidade

de carga na caixa, ou seja: d

dt

ρ, pois

3 0d q d

dt dtερ

ε → →

.

Desse modo, teremos:

x y zd j j j

dt x y z

ρ ∂ ∂ ∂= − + + ∂ ∂ ∂ .

Chegamos assim à “EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE”:

. 0jt

ρ∂+ ∇ =

∂

�

.

Onde . j∇�

é o divergente de j, ou seja: .x y zj j j

jx y z

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂

�.


Esta equação relaciona a variação da carga no volume com o fluxo atra-vés da fronteira do volume. Este é o significado profundo de conservação de uma quantia.

Vamos escrever esta equação em uma forma diferente. Como já vimos antes, podemos nos referir às variáveis t, x, y e z como

0 1 2 3, , e x x x x , o que pode ser resumido pela expressão: xµ . Vamos chamar

então as variáveis da seguinte forma: 0 1 2 3; ; ;x y zj j j j j j jρ = = = = .

É possível representar então a equação da continuidade pela expressão:

0j

x

µ

µ

∂=

∂

Podemos ver através desta equação que jµ é um tipo de quadrivetor (4-vetor), pois esta equação deve ter o mesmo significado em qualquer outro sistema de referência.

A dedução desta equação não dependeu do particular sistema de referên-cia utilizado, tendo sido feita de uma forma geral. A única maneira para esta equação permanecer invariável é dada pela condição de que jµ se transforme segundo um quadrivetor. E é isto o que de fato acontece!

Temos então uma nova versão para a conservação da carga, expressa em termos de uma equação de continuidade invariante segundo a transformação de Lorentz.

Esse é o princípio pelo qual uma carga não pode desaparecer de um lu-gar e aparecer em outro, sem que haja um fluxo de cargas na região de frontei-ra!

Esta equação também pode ser descrita de outra forma:

0jµµ∂ =

Vamos voltar agora à derivação do Teorema de Noether em relação à conservação da carga, na teoria simplificada do campo dotado de certa sime-tria, como vimos na última aula.

O teorema nos fornece o conceito da conservação de certa quantidade, que nós chamamos de carga, sendo que esta carga é dada por uma integral ao


longo do espaço. Desse modo, fica claro que esta quantidade deve ser a densi-dade espacial de carga.

Perguntamos então se teorema também nos fornece uma noção da densi-dade de corrente j em relação à conservação de carga. O campo utilizado por nós era um campo complexo:

1 2

*1 2

i

i

φ φ φ

φ φ φ

= +

= −

Podemos imaginar este campo como

sendo formado por dois eixos no plano com-plexo, com seus valores 1φ e 2φ representa-

dos em cada eixo: A simetria aplicada será através de uma rotação deste plano complexo:


( )( )

( ) ( )( )( ) ( )

1 2

1 2 1 2 1 1 2 2

1 2 2 1

0 1 1

1

i i

i i

i

e i e

e i e i i

i e i i i i

i

ε ε

ε ε

ε

φ φ φ

ε ε φ φ ε δφ εφ

φ φ φ φ ε φ φ ε φ φ ε

φ εφ φ εφ

= +

→ ⇒ → + ∴ → + ⇒ =

+ → + + = + + − =

= − + +

( )( )

1 2 1 2

2 1 2 1

f

f

δφ εφ φ φ

δφ εφ φ φ

= − → = −∴= → =

Se multiplicarmos o campo complexo rotacionado de ie ε pelo seu con-jugado, o produto não se altera, pois: * * 2 2

1 2i ie eε εφ φ φφ φ φ− = = + .

Assim, se o Lagrangeano contiver termos como *φφ , ou ( )2*φφ , ou en-

tão qualquer função de *φφ , ele não sofrerá nenhuma alteração com a pequena

rotação ie ε no plano complexo. Desta maneira, é relativamente simples saber se o Lagrangeano é ou não invariante, observando seus termos.

Se o Lagrangeano é invariante, então existe uma simetria. Portanto há também uma lei de conservação, dada por:

( )i iQ f φ= Π∑

onde ( )i if qδφ ε= .

Para o nosso caso, teremos:

( ) ( )( ) 31 1 2 2

1 1 2 21 2

;

Q f f d xφ φ

φ φφ φ

= Π + Π

∂ ∂Π = = Π = =

∂ ∂

∫� �

� �

L L

( ) � ( )3 * * 31 2 2 1

CargaDensidade de Carga

2

iQ d x Q d xφ φ φ φ φ φ φ φ⇒ = − + ∴ = +∫ ∫� � � �

��


Isto também pode ser escrito da seguinte forma: * 3ImQ d xφφ= ∫ � , onde

“Im” significa a parte imaginária. Esta última forma de escrever a equação de conservação da carga permi-

te que nos concentremos somente no termo *φφ� durante os cálculos, para, so-mente no fim, tomarmos sua parte imaginária.

Temos então que a parte imaginária de *φφ� é a densidade de carga, cuja integral no espaço nos fornece a carga.

Chegamos assim à ideia do que seja a densidade de carga e ao conceito do quadrivetor da corrente de carga.

Para uma onda propagando-se ao longo de uma corda, a densidade de carga seria a quantidade de momento angular por unidade de comprimento, ou seja, a densidade linear de momento angular.

Esses conceitos assumem bastante importância na Mecânica Quântica. Identificar a carga como matematicamente semelhante ao momento angular atribui a ela as mesmas propriedades do momento angular, que, como já vi-mos, é quantizado em valores múltiplos de “ ”. Assim também a carga é quantizada, assumindo valores múltiplos de uma unidade fundamental. Tais propriedades advêm da semelhança, ou melhor, do isomorfismo existente na teoria de campo entre a carga e o momento angular, explicando assim a quan-tização da carga.

Voltando à densidade de carga, resulta que: ( ) ( )* *Im Im tρ φφ φ φ= = ∂� ,

onde tφ∂ é a componente covariante de um quadrivetor, pois φ é um escalar.

Com isso, podemos ver que as outras componentes covariantes desse quadri-vetor serão dadas por:

( )* 0,1,2,3

Im onde, , ,

jt x y z

µµφ φ µ

= ∂ → .

Aqui, passamos a expressar o quadrivetor nas suas componentes contra-variantes (índice superior), o que significa apenas trocar o sinal dos compo-nentes x, y e z de jµ para a transformação de Lorentz.

Vamos ver se este quadrivetor satisfaz à equação da continuidade.


Nosso fluxo de corrente é dado pelo quadrivetor jµ . Assim a única coisa que devemos verificar é se ele satisfaz a “continuidade”.

A “equação da continuidade” é sempre o centro do significado daquilo que os físicos consideram uma quantia “conservada”.

Vamos empregar novamente o Lagrangeano para o campo complexo:

( )

( ) ( )

* * * * *

* 2 *

1

21

0,1, 2,32

x x y y z zm

mµµ

φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ

φ φ φ φ µ

− ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ −

∴ ∂ ∂ − →

� �L =

L =

A equação do campo obtida a partir deste Lagrangeano é:

2 2 2 2 2 0t x y z mφ φ φ φ φ∂ − ∂ − ∂ − ∂ + =

O termo 2m φ terá um papel importante mais à frente, em relação à mas-sa de uma partícula.

A forma compacta de se escrever esta equação de campo é:

( )2 0 Equação do Movimentomµµφ φ∂ ∂ − =

Nós queremos derivar, a partir desta equação de campo, a equação da continuidade. Basta verificarmos se a equação da continuidade para j é válida, ou seja:

( )* * *0 Im 0 Imjµ µ µ µµ µ µ µφ φ φ φ φ φ ∂ = ⇔ ∂ ∂ = ⇒ ∂ ∂ + ∂ ∂

* µ

µφ φ∂ ∂ : quantia complexa multiplicada pelo seu conjugado, cujo valor

é real. Então:

( ) ( )* * 2Im Imj mµ µµ µφ φ φ φ∂ = ∂ ∂ =


Mas * 2mφ φ é uma quantia real, portanto: 0jµµ∂ =

Vamos falar um pouco mais sobre energia e momento em relação à Teo-ria da Relatividade Restrita, observando sua conexão com o termo 2m φ .

Assim como na Mecânica Clássica, o conceito de momento é dado pelo produto entre a velocidade e a massa da partícula, porém, ao invés das três componentes da velocidade, dadas pelas derivadas em cada eixo do espaço, temos a velocidade como um quadrivetor, com as derivadas tomadas em rela-ção ao tempo próprio.

Como já sabemos: ( )2 2 2 22

1d dt dx dy dz

cτ = − + + , onde τ é o “tempo

próprio”. Vamos considerar 1c = e 2 2 2 2dx dx dy dz= + +�

, então:

2 22 2

2

Retornando 2 2

2

1

11

1c

dt dxd dt dx d dt d v dt

dt

v dtd dt

c d v

c

τ τ τ

ττ

−= − ⇒ = ⇒ = −

→ = − ⇔ =

−

��

Para a velocidade dx

d

µ

τ (4-vetor), teremos as seguintes componentes pa-

ra o momento relativístico:

2 2 2

2 2 2

1 1

1 1 1

xvdt dx dx dt dx

d d dt d dtv v v

c c c

τ τ τ= ⇒ = = =

− − −

��

2 2

2 2

1;

1 1

dx v

d v v

c c

µ

τ

∴ =

− −

�


Vejamos como fica então o momento:

2

21x

dx vp m m

d v

c

τ= =

−

�

� ��

Temos com isso as quatro componentes do momento relativístico, sendo as três componentes acima relativas ao momento ordinário e a quarta compo-nente constituindo algo novo:

( )0

2

2

0 tempo

1

dt mp m p

d v

c

τ τ= = = →

−

Einstein percebeu que esta componente do momento, 0p , era a “energia cinética” da partícula.

Assim uma partícula tem quatro leis de conservação: três relativas ao momento e uma relativa à energia, que está ligada ao momento 0p pelo fator

2c :

2

2

21

mcE

v

c

= →

−

quarta componente do momento relativístico.

Quando v

c é pequeno, temos:


��

( )

12 22

2 22 2

2 2

Energia de repouso Energia

Cinética

1 12

1m : massa de repouso

2

Taylorv vmc mc

c c

E mc mv

−

− → +

⇒ = +

É interessante ver que uma partícula de massa nula, com velocidade igual à da luz, resulta em energia nula, mas que tal condição também anula o

fator 2 21 v c− , o que nos leva à condição indeterminada de zero dividido

por zero na expressão da energia. Assim não é possível estudar partículas sem massa nas expressões de energia que envolvem a velocidade da luz. Portanto, a solução é nos concentrarmos na relação entre momento e energia, livrando-nos da indeterminação associada à velocidade.

Vamos trabalhar, então, na relação entre energia e momento para uma partícula de massa “m”.

( )

2 2 42

2 2

2 4 2 22 22 2 2 2 4

2 22 22

22

22

2 2 2 2 4

1 1 1

1

11

mc m cE Ev v

m c v cc cE p c m c

v cmv m vp p

vv

cc

E p c m c

= = − − −

⇒ ⇒ − = = − = =

− −

∴ − =

�

Este resultado não nos deve surpreender. “E” e “p” são componentes de um quadrivetor, sendo que a invariância de um quadrivetor, segundo a trans-formação de Lorentz, é obtida pela diferença entre o quadrado do tempo e a soma dos quadrados no espaço ( 2 2 2 2d c dt dxτ = −

�).


Neste caso, a quantia invariante é a “massa” da partícula. Assim, se a partícula tiver massa nula, então o momento e a energia são a mesma coisa.

------------------------------------------------------------------------------------------

OBS: poderíamos ter deduzido a relação entre energia e momento fazendo 1c = , para acrescentar c apenas no final das contas, através de uma análise

dimensional:

( )2

22 22 2

2 2 222 2

222

11 11

11

m mE E m vv vE p m

mv vm vp p

vv

= = −− −⇒ ⇒ − = = − = =

−−

�

Por análise dimensional: ( )

2 2 4

2 2 2 2 422

E m cE p c m c

E pc

⇒ ∴ − =⇒

------------------------------------------------------------------------------------------

A expressão para a energia relativística é dada por: 2 4 2 2E m c p c= − ,

sendo esta uma generalização da fórmula de Einstein: 2E mc= . Com esta expressão, podemos agora estudar a energia para uma partícula

de massa nula, de modo que, fazendo a massa tender a zero, obtemos:

2 4 2 2 2 2

0mLim m c p c p c E p c

→− = ⇒ =

�

.

O valor obtido difere de um fator “2” em relação à quantia que obtería-mos classicamente para uma partícula à velocidade da luz:

21

2 2v c

pcE mv E== → = .

Iremos explorar estas propriedades mais adiante, para estudar a conexão entre “ondas” e “partículas”, observando as propriedades das ondas, como energia e momento.


Veremos então que a relação entre energia e momento de uma partícula está fortemente ligada à relação entre a frequência e o número de onda de uma onda.



AULA NO 07

Teoria de Calibre – Derivada covariante – Lagrangeano Relativístico –

Tensor Eletromagnético

Teremos hoje nosso primeiro contato com aquilo que é chamado de “Teoria do Calibre” (Gauge Theory).

Toda a moderna física de partículas, relatividade, gravitação, relativida-de geral são baseadas no Princípio da Invariância do Calibre.

Vamos começar com nosso Princípio de Calibre, ou Invariância por Ca-libre, ou ainda Simetria por Calibre, estudando um exemplo simples.

Em 1905, Einstein indicou a importância de se definir cuidadosamente a ideia de um conjunto de coordenadas de um sistema, para deixar bem claro o que significam determinados conceitos importantes, tal como, por exemplo, simultaneidade, uma vez que não é tão simples comparar dois intervalos de tempo em dois diferentes lugares ou sistemas.

Com base nessa clareza de conceitos nos diversos sistemas de coorde-nadas, ele desenvolveu a Teoria da Relatividade. Este problema de definição clara dos conceitos em relação aos sistemas de referência empregados torna-se ainda mais importante e complexo na Teoria da Relatividade Generalizada.

A quantia que estamos interessados em comparar agora, segundo dife-rentes sistemas de referência, é a “FASE” de um “campo complexo”.

Um campo complexo, como já vimos, é dado por:

1 2

*1 2

i

i

φ φ φ

φ φ φ

= +

= −

onde 1 2e φ φ são campos reais.

Outra maneira de se ver um campo complexo é associar a cada ponto do espaço um par de eixos perpendiculares, chamando um de 1φ e outro de 2φ :


Neste caso, para cada ponto do espaço, temos uma determinada direção de φ . Isto implica que podemos relacionar diferentes direções a diferentes pontos no espaço.

Por exemplo, no caso de uma corda que esteja sendo usada como “pula-corda”, a analogia com o campo complexo seria que cada ponto da corda, es-tando livre para se movimentar nas direções perpendiculares à direção da cor-da, necessitaria, para ter seu movimento descrito, não apenas a sua posição em relação aos extremos da corda, mas também o ângulo pelo qual ele está deslo-cando-se em relação, por exemplo, à vertical, bem como a distância que ele se encontra do eixo da corda.

Para isso, poderíamos

usar um número complexo para cada ponto, ou então um par de coordenadas, ou ainda um raio e um ângulo. Mas está implícito neste caso, assim como sempre se supõe ao compararmos coi-sas, que o sistema de refe-rência utilizado para medir a posição de qualquer ponto da corda, sempre permanece paralelo a si mesmo, inde-pendente de sua posição ao longo da corda.


Surge assim a questão de sabermos se o valor de um campo complexo em uma determinada posição é o mesmo ou não em outra posição do espaço. Para responder a esta questão, precisamos medir, entre outras coisas, ângulos no espaço em diferentes posições.

Como já sabemos, para algumas teorias de campo, mais especificamente aquelas que possuem o conceito de “CARGA”, existe uma “invariância” ou “simetria”.

Esta simetria corresponde à rotação

das coordenadas 1φ e 2φ , o que equivale

também a rotacionar o campo φ em si: Esta rotação pode ser sucintamente

expressa em notação complexa, dada por:

' ieθφ φ= .

Esta é uma simetria para o Lagrangeano que estudamos na última aula:

( ) ( )* 2 *10,1, 2,3

2mµ

µφ φ φ φ µ∂ ∂ − →L=

Este Lagrangeano é invariante sob esta operação de rotação, e a razão para isto é que, nele, o campo sempre aparece multiplicado pelo seu conjuga-do, de modo que o termo ie θ é multiplicado por ie θ− , deixando inalterado o resultado.

Esta mesma característica se conserva para as derivadas deφ , pois:

* *' ' 'ie

x x x x x x

θφ φ φ φ φ φ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ⇒ =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Poderíamos perguntar, agora, se este Lagrangeano permanece invariante em relação a rotações que variam ao longo do espaço.

Dizer que o Lagrangeano é invariante sob uma mudança de fase significa que um ângulo nulo de rotação não tem um sentido de invariante, pois a rota-ção é a mesma em todo o sistema. Por isso queremos saber se o Lagrangeano


permanece invariante sob uma simetria mais forte, onde a rotação do ângulo varia ao longo do espaço. Isto significa que o ângulo θ será uma função de x:

( ) ( )' '* *;i x i xe e

θ θφ φ φ φ−= =

Vemos que, agora, não temos uma rotação “rígida”, na qual “todo” o sis-tema é movido junto, mas sim uma rotação flexível, com cada ponto sendo submetido a uma diferente rotação.

A “Ação” é dada pela integral no espaço-tempo da densidade de Lagran-geano:

( )* 2 * 41

2A m d x

µµφ φ φ φ⌠

⌡

= ∂ ∂ −

Vejamos como cada termo do Lagrangeano se comporta sob este tipo de rotação:

( ) ( )2 * 2 * 2 *' ' i x i xm m e e m

θ θφ φ φ φ φ−= =

Portanto o termo 2 *m φ φ do Lagrangeano, que sofre uma “ROTAÇÃO DE FASE DEPENDENTE DA POSIÇÃO”, é invariante!

----------------------------------------------------------------------------------------------

OBS: O termo utilizado para descrever uma “ROTAÇÃO DE FASE DEPEN-DENTE DA POSIÇÃO” é dado pela expressão “TRANSFORMAÇÃO POR CALIBRE”.

----------------------------------------------------------------------------------------------

Para o termo * µµφ φ∂ ∂ teremos:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )* *

*

'

'

i x i x

i x i x

xe i e

x x x

xe i e

x x x

θ θµ µ µ

θ θµ µ µ

θφ φ φ

θφ φ φ− −

∂∂ ∂= +

∂ ∂ ∂∂∂ ∂

= −∂ ∂ ∂


Escrevendo a Ação agora em termos de 'φ e *'φ , temos:

( )* 2 * 41' ' ' '

2A m d x

µµφ φ φ φ⌠

⌡

= ∂ ∂ − ⇒

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

* * 2 * 4

* * 2 * 4

1

2i x i xx x

A i e i e m d xx x

A i x i x m d x

θ θµµ µ

µ

µ µµ µ

θ θφ φ φ φ φ φ

φ θ φ φ θ φ φ φ

−⌠⌡

⌠⌡

∂ ∂= ∂ − ∂ + − ∂ ∂

⇒ = ∂ − ∂ ∂ + ∂ −

Vemos, assim, que o Lagrangeano assume uma forma diferente, que não tem simetria no seu primeiro termo. Isto significa que, se fizermos uma rota-ção deste tipo num campo, mudaremos sua energia seu momento, obtendo novas equações de movimento a partir de um novo Lagrangeano.

Concluímos que o Lagrangeano é invariante sob uma rotação rígida, mas não sob uma transformação por calibre.

Vejamos se podemos manter o Lagrangeano invariante segundo uma transformação por calibre, acrescentando alguns campos especiais.

Vamos começar acrescentando um campo vetorial: ( )A xµ (quadrivetor).

As quatro componentes de Aµ correspondem às três componentes do

potencial vetor eletromagnético e ao potencial eletrostático, sendo esta última a componente no tempo do quadrivetor e as outras três as componentes espaci-ais.

Iremos supor que o campo Aµ , acrescentado por nós, irá sofrer, assim

como o campo em questão, transformações ao longo do espaço. As variáveis do nosso Lagrangeano serão dadas por: * '', ' e Aµφ φ .

Vamos considerar a quantidade µφ∂ substituída por: ( )i Aµ µφ φ∂ + q ,

onde “q ” representa a “carga elétrica”.

Teremos então para a Ação, expressa em termos de * '', ' e Aµφ φ :

( ) ( )*' ' 2 * 4' ' ' ' ' 'A i A i A m d xµ µµ µφ φ φ φ φ φ⌠

⌡ = ∂ + ∂ + −

q q


----------------------------------------------------------------------------------------

OBS: Esta transformação pode ser vista como a substituição da operação “ µ∂ ”

pela operação “ i Aµ µ∂ + q ”, de modo que µφ∂ se torna i Aµ µφ φ∂ + q $, sendo

esta a chamada “DERIVADA COVARIANTE”.

----------------------------------------------------------------------------------------

Substituindo ( )' i xe

θφ φ= , teremos:

( )( ) ( ){( )( ) ( ) }

( )( ) ( ){( )( ) ( ) }

*

2 * 4

* * *

2 * 4

'

'

'

'

i x

i x

i x

i x

A i x i A e

i x i A e m d x

A i x i A e

i x i A e m d x

θµ µ µ

θµ µ µ

θµ µ µ

θµ µ µ

φ θ φ φ

φ θ φ φ φ φ

φ θ φ φ

φ θ φ φ φ φ

−

⌠⌡

⌠⌡

= ∂ + ∂ +

∂ + ∂ + −

= ∂ − ∂ −

∂ + ∂ + −

q

q

q

q

( )( ){( )( ) }

* * *

2 * 4

'

'

A i x i A

i x i A m d x

µ µ µ

µ µ µ

φ θ φ φ

φ θ φ φ φ φ

⌠⌡

∴ = ∂ − ∂ −

∂ + ∂ + −

q

q

Se fizermos: ( )1'A A xµθ= − ∂

q, teremos:

( )( )( ) ( )

* * 2 * 4

*2 * 4

A i A i A m d x

A i A i A m d xµ

µ µµ µ

µ µµ

φ φ φ φ φ φ

φ φ φ φ φ φ

⌠⌡

⌠⌡

= ∂ − ∂ + −

∴ = ∂ + ∂ + −

q q

q q

Com isso, chegamos à mesma expressão inicial (a partir de * '', ' e Aµφ φ ),

só que agora expressa em termos deφ , *φ e A. Portanto, se mudarmos a forma inicial do Lagrangeano:


( ) ( )** '' ' ' ' ' ' 'i A i Aµ µµ µ µ µφ φ φ φ φ φ∂ ∂ → ∂ + ∂ +q q

o que equivale a mudar o operador:

( ) ( )( )'' i Aµ µ µφ φ∂ → ∂ + q

sendo que isto implica também que:

( ) ( )( )' ' 'i Aµ µ µφ φ∂ → ∂ + q

e se, além disso, junto com a transformação por calibre ( ( )i xe

θ ), fizermos o campo 'A se transformar segundo a expressão:

( )' 1A A xµ µ µθ= − ∂

q

o que implica que:

( )1'A A xµ µ

µθ= − ∂q

teremos no final a mesma expressão para o Lagrangeano, porém dada agora em função de φ , *φ e A.

Portanto esta nova forma de Lagrangeano permanece “invariante” se-gundo a “transformação por calibre”.

Vamos nos concentrar apenas no campo eletromagnético, quando não há cargas e correntes, ou seja, vamos ignorar φ , perguntando qual a teoria que descreve A em si mesmo. Estamos, portanto, falando de ondas eletromagnéti-cas propagando-se na ausência de cargas elétricas.

Sabemos que deve haver algum tipo de dinâmica nos campos eletromag-néticos, mesmo na ausência de cargas elétricas.

-------------------------------------------------------------------------------------------

OBS: Desenvolvendo a fórmula da “Ação” que obtivemos anteriormente, te-remos:


( )

* * 2 * 4

* * * 2 * 4

A i m d xx x

A i m d xx

µµ µ µ

µ µµ µ µ µµ

θ θφ φ φ φ φ φ

θφ φ φ φ φ φ θ θ φ φ

⌠⌡

⌠⌡

∂ ∂ = ∂ − ∂ + − ∂ ∂

∂ ∴ = ∂ ∂ + ∂ − ∂ + ∂ ∂ − ∂

Vemos surgir nesta equação a quantia ( )* *µ µφ φ φ φ∂ − ∂ , que é a corrente

j, cuja componente no tempo é a “densidade de carga” e as componentes no espaço constituem a corrente.

O Lagrangeano para a corrente num campo eletromagnético é dado por:

.A j� �

. Esta é a expressão do acoplamento entre o campo eletromagnético e a

corrente. Esta é a forma que encontramos na equação acima, considerando

“ Ax

µµ

θ∂=

∂q ”.

-------------------------------------------------------------------------------------------

A quantia φ não é considerada aqui. A quantia φ é aquilo que descreve as correntes geradas pelas cargas; é aquilo que, na Mecânica Quântica, descre-ve as partículas carregadas.

Nós sabemos que o eletromagnetismo tem um comportamento não trivi-al e interessante, mesmo quando está longe de qualquer carga. Trata-se das ondas eletromagnéticas, que se propagam através do espaço vazio.

Deve haver então alguma dinâmica para o campo eletromagnético, a qual está presente mesmo na ausência de cargas, envolvendo apenas o campo eletromagnético em si mesmo. O que então governo o campo eletromagnético em si?

Nossa intenção é manter a simetria de calibre, para tirar proveito do La-grangeano que desenvolvemos para descrever A, o qual é invariante segundo a transformação por calibre. Deste modo, devemos ter o Lagrangeano do campo eletromagnético em si também invariante segundo a transformação por calibre:

( ) invariante por calibreA →L .

Perguntamos então que tipo de combinação podemos fazer com as qua-tro componentes de A, em particular com suas derivadas, de modo que o La-


grangeano e, portanto, as combinações em si, seja invariantes por calibre, ou

seja, invariantes sob a transformação que leva: ' 1A Aµ µ µθ→ − ∂

q.

Há quatro derivadas distintas para cada componente Aµ de A, resultando

em 16 possibilidades no total: Aν µ∂ , onde e 0,1,2 e 3µ ν → (t, x, y e z).

Vejamos o que acontece a esta quantia, quando ela é submetida a uma transformação por calibre:

' 1A Aν µ ν µ µθ

∂ → ∂ − ∂

q

Isto nos trará um termo extra em 'Aν µ∂ , dado por:

1ν µθ− ∂ ∂

q.

Vemos que, ao trocarmos os índices, obtemos imediatamente:

' 1A Aµ ν µ ν νθ

∂ → ∂ − ∂

q

Isto resulta num termo extra, dado por: 1

µ νθ− ∂ ∂q

.

Fica claro, então, o que deve ser feito para a quantia não variar sob uma transformação por calibre.

Uma vez que µ ν ν µθ θ∂ ∂ = ∂ ∂ , então, se subtrairmos ' 'A Aν µ µ ν∂ − ∂ , defi-

nindo uma nova quantidade, obteremos que:

' ' 1 1A A A A A Aν µ µ ν ν µ ν µ µ ν µ ν ν µ µ νθ θ∂ − ∂ = ∂ − ∂ ∂ − ∂ + ∂ ∂ = ∂ − ∂

q q.

Portanto as quantias A Aν µ µ ν∂ − ∂ são invariantes sob a transformação

por calibre. Estas quantidades podem ser escritas na forma matricial:


0 0 0 0 0 1 1 0 0 2 2 0 0 3 3 0

1 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1

2 0 0 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 2

3 0 0 3 3 1 1 3 3 2 2 3 3 3 3 3

A A A A A A A A

A A A A A A A A

A A A A A A A A

A A A A A A A A

∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂

Vemos então que se trata de uma matriz “antissimétrica”:

01 02 03

01 12 13

02 12 23

03 13 23

0

0

0

0

F F F

F F F

F F F

F F F

− − − − − −

Temos assim apenas seis componentes independentes. Adiantamos que estas seis componentes correspondem às três componentes independentes do campo elétrico e às três componentes independentes do campo magnético.

Estas quantidades definem um tensor antissimétrico, chamado “Tensor Eletromagnético”, sendo este tensor representado por “ µνF ”.

A Aµν µ ν ν µ= ∂ −∂F

Temos assim uma quantia que é invariante sob uma transformação por calibre. Na verdade, esta é a única quantia, formada por derivadas de primeira ordem de “A”, que permanece invariante por transformação por calibre.

Os Lagrangeanos são normalmente funções das variáveis e de suas pri-meiras derivadas. Estamos falando das componentes Aµ como as variáveis.

Tudo que “não tenha” uma derivada em si (como 2, ,...A A ) não será invariante por transformação por calibre.

Como podemos fazer um Lagrangeano com termos envolvendo o qua-drado das derivadas, que seja invariante segundo uma transformação de Lo-rentz?

Para que a quantia seja invariável segundo Lorentz, basta fazermos a “contração” dos índices superiores e inferiores, o que define uma quantia esca-lar, a qual permanece invariante.


Fica claro, portanto, que a única coisa que podemos fazer neste caso é construir a quantia:

2 2E Bµνµν = −F F

Isto é uma prévia do que iremos fazer mais à frente. Resumindo. Se nós queremos manter a invariância por calibre, então

somos obrigados a introduzir uma nova variável, chamada “A”, de modo que a própria variável “A” se transforme segundo uma regra específica ( ( ) ( )' 1A A xµ µ µθ= − ∂q ), assumindo uma nova estrutura, chamada de deriva-

da covariante ( i Aµ µ∂ + q ). Descobrimos então que, se substituirmos no La-

grangeano original todas as derivadas por derivadas covariantes e, ao mesmo tempo, permitirmos que o potencial vetor “A” siga sua regra de transformação própria, então o Lagrangeano permanece invariante segundo a transformação por calibre.

É bastante interessante o fato de haver uma forma de escrever um La-grangeano ainda mais geral do que a sua forma original, de modo que ele te-nha esta propriedade de obedecer a uma simetria muito mais poderosa, na qual é possível variar a fase de ponto a ponto no espaço.

Concentrando-nos em “A” propriamente, procuramos como construir em função de “A” um Lagrangeano que fosse ele próprio invariante soba transformação por calibre. Chegamos assim às quantias que definem o tensor eletromagnético “ µνF ”, que é invariante segundo a transformação por calibre,

mas não segundo a transformação de Lorentz. No entanto, se nós contrairmos os índices de “ µνF ” (elevando-o ao quadrado), obteremos um escalar, que é

invariante segundo Lorentz, representando a quantia 2 2E B− . Isto significa

que, embora vejamos diferentes componentes de campo elétrico e magnético nos diversos sistemas de referência com diferentes velocidades de translação e diferentes direções de eixos, todos concordarão no valor da quantia 2 2

E B− . Chegamos assim a um candidato para a Ação do campo eletromagnético

em si. Não veremos agora as equações do movimento, mas simplesmente a lógica que levou à ideia de “Simetria de Calibre”.


Vejamos agora uma maneira totalmente diferente de ver o campo ele-tromagnético e suas interações com partículas.

Já vimos a interação do campo eletromagnético com “ondas de campo carregadas”, onde “φ ” é uma onda de campo portando carga. As ondas deste campo constituem densidades de cargas elétricas e correntes elétricas.

Quando estudamos Mecânica Quântica, a dualidade onda-partícula nos diz que todos os campos estão associados com partículas, sendo que de fato o campo “φ ” está associado a partículas carregadas eletricamente.

No entanto nós não precisamos estudar Mecânica Quântica para descre-ver como as partículas carregadas interagem com o campo eletromagnético, pois, para isso, podemos simplesmente recorrer à descrição básica das partícu-las carregadas. Vamos nos referir então às partículas clássicas na teoria da relatividade.

O Lagrangeano para as partículas clássicas e a teoria especial da relativi-dade irão mostrar-nos a interação entre partículas carregadas e o campo ele-tromagnético. Veremos também, em particular, a ideia de invariância por cali-bre.

Vejamos a linha do universo para uma partícula no espaço-tempo: A linha do universo deve obedecer ao

Princípio da Mínima Ação. Perguntamos en-tão qual deve ser a Ação para uma partícula movendo-se no espaço-tempo, segundo a teoria da relatividade. Por enquanto, não es-tamos considerando nenhum campo, mas apenas uma partícula livre.

Ao longo da trajetória, existe apenas um invariante que se apresenta

sempre como uma Ação. A quantia natural, associada à trajetória, para consti-tuir a ação, é o cumprimento relativístico da trajetória, e a razão para isso é que se trata de um invariante. Estamos nos referindo ao tempo próprio da par-tícula ao longo da trajetória. Precisamos, no entanto, multiplicar esta quantia pela massa da partícula e, por razões de convenção, tomar o sinal negativo. Recordemos que assumimos aqui o valor � = 1.


2 2 2 2 2 2 2 2 2x xd dt dx dy dz dt d d dt dτ τ= − − − = − ⇒ = −

( )

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

x 1 ( )

x 1 x (x )

P P

x y z

P P

P P

P P

A m dt d A m v dt v v v v

A dt m dt x y z

= − − ⇒ = − − = + +

∴ = = − − = + +

∫ ∫

∫ ∫� � � � � �L

Vemos surgir assim a forma familiar do Lagrangeano, com a integral em relação ao tempo e a dependência do quadrado da velocidade. Vamos utilizar este Lagrangeano para calcular o momento da partícula.

A fórmula para o momento conjugado a “�”,( xΠ ), é dada por:

2 2

2

11

x xx x x

mv mvp p

x v v

c

∂Π = = = → =

∂ −−

�

L

A energia da partícula é dada pelo Hamiltoniano:

2

2 22

2 2 2

2

1

11 1

1

i i x y zH q x y z m v

mv m mcH m v H

v v v

c

= Π − = Π + Π + Π + −

= + − = → =− −

−

� � � �L


A questão que surge agora é o que acontece quando incluímos um cam-po eletromagnético?

Um campo eletromagnético é descrito pelo potencial vetor �. Como po-demos combinar o vetor potencial com a partícula, para construir uma Ação que envolva o movimento da partícula no campo eletromagnético?

Há uma quantia simples que podemos utilizar: dx

Ad

µ

µ τ.

Trata-se de uma quantia invariante. Devemos integrá-la, porém, em rela-ção ao tempo próprio τ , para conservar a invariância:

dxA d A dx

d

µµ

µ µττ

⌠⌡

= ∫.

Vamos acrescentar a carga elétrica a esta quantia: A dxµ

µ∫q .

Mas ainda está faltando a velocidade no Lagrangeano. Para isto, basta dividir e multiplicar por 7�.

( )

( )0

0 .

x x y y z z

dxA dt A A v A v A v dt

dt

Ação A A v dt

µ

µ⌠⌡

= + + +

⇒ = +

∫

∫� �

q q

q

Esta ação é invariante por calibre. Vamos antes ver como esta nova ação

se comporta. Suponhamos que temos uma partícula carregada movendo-se numa tra-

jetória no espaço-tempo, sob a influência de um campo eletromagnético. Haverá uma corrente, estabelecendo-se um fluxo de carga ao longo da

trajetória. Há uma densidade de carga e um fluxo de carga. O fluxo decorre do movimento da partícula carregada. Onde então está localizada a corrente? Ela está localizada onde a partícula se encontra! Assim, onde a partícula estiver, haverá uma corrente, e a densidade de carga será dada pela carga da partícula.

Temos, portanto, uma corrente ao longo da trajetória da partícula. A componente espacial da corrente (o fluxo de carga) é proporcional à velocida-


de da carga. Se a carga está parada, existe uma densidade de carga, mas não há uma corrente.

Assim, ao longo da trajetória existe um “i”, sendo que a “componente temporal” de “i” é proporcional à carga da partícula multiplicada por sua velo-cidade no ponto em que a partícula se encontra.

Vemos então que, no Lagrangeano, temos o termo .A v� �

q , onde v�

q é a

corrente, que está multiplicada escalarmente pelo potencial vetor, de maneira

análoga à equação da ação obtida anteriormente, substituindo xµ

θ∂∂

por Aµ . A

similaridade está no acoplamento entre o “potencial vetor” e a “densidade de corrente”.

Vejamos agora a invariância, segundo uma transformação por calibre, da Ação que determinamos:

Observando a Ação entre dois pontos no espaço-tempo ( 1 2eP P ), o que

significaria dizer, então, que ela é invariante segundo uma transformação por calibre?

Supondo que a Ação muda, mas não altera a maneira pela qual a partícu-la se move, isto já seria o suficiente para concluir que a Ação é invariante por calibre. Isto significa que a Ação se modifica de tal maneira sob a transforma-ção por calibre, que não altera a trajetória da partícula, sendo isto suficiente para afirmar que a Ação é invariante sob uma transformação por calibre.

Façamos então uma transformação por calibre em Aµ , dada por:

1A Aµ µ µθ→ − ∂

q

onde θ é apenas uma função arbitrária de �: ( )xθ .

A Ação passa a ter assim um termo “extra” com ela:

dxAção q A d dx

d

µµ

µ µτ θτ

⌠⌡

= − ∂∫


Porém, ( ) ( ) ( )final inicial

xdx dx x x

x

µ µµ µ

θθ θ θ⌠

⌡

∂∂ = = −

∂∫ .

Portanto este termo extra é independente da trajetória percorrida. Assim, se o termo extra, acrescido pela transformação por calibre, é independente da trajetória, então a Ação não será alterada, independendo da trajetória percorri-da. Deste ponto de vista, a alteração trazida pela transformação por calibre não irá acarretar nenhuma alteração da Ação, com relação à trajetória.

Portanto a parte que de fato influi na ação independe do termo extra acrescentado pela transformação por calibre. Concluímos então que as trans-formações de calibre são também formas importantes da invariância de calibre com relação à Ação de uma partícula carregada, movendo-se em um campo eletromagnético.

Vimos assim, sob duas perspectivas diferentes, que a transformação por calibre é uma simetria fundamental com relação à interação entre partículas carregadas e campos eletromagnéticos.



AULA NO 08

Lagrangeano Eletromagnético – Conservação da Carga

Vamos ver de onde as coisas básicas da eletrodinâmica se originam,

apontando de maneira sucinta as equações principais, que podem ser desen-volvidas mais detalhadamente sem dificuldades.

O princípio básico é sempre o mesmo: o Princípio da Mínima Ação. Po-rém, para usar este princípio, precisamos saber qual é a Ação.

A Ação é tipicamente a integral da densidade de Lagrangeano sobre todo o espaço-tempo.

Vamos relembrar alguns pontos. Suponhamos um Lagrangeano que seja composto de um conjunto de campos (chamaremos tal conjunto de “f”). Então “ af ” não se refere a um índice do espaço-tempo (não representa uma dimen-

são no índice “a”), mas representa um campo daquele conjunto. Este índice “a” pode percorrer campos de natureza bem diversa, por exemplo, à medida que “a” varia, “ af ” pode ser um campo escalar ou um campo vetorial (tal co-

mo o potencial vetor). Portanto “ af ” é uma representação bastante genérica,

representando um conjunto de campos que dependem da posição e do tempo: “ ( ),af x t ”.

Sob uma notação relativística, estes campos irão depender das quatro dimensões do espaço-tempo.

Em geral, o Lagrangeano é uma função de todos os “f” e de suas primei-ras derivadas em relação às coordenadas espaço-tempo.

A densidade do Lagrangeano é uma função que depende das derivadas

do campo em relação a xµ e do próprio campo em si: ,aa

ff

xµ

∂ ∂

L .

Por exemplo, o Lagrangeano do campo escalar que já estudamos era da-do pela diferença entre uma soma de quadrados das derivadas do campo, acrescida de um termo extra, que chamamos de termo de massa, o qual depen-


dia apenas do campo em si, sem derivadas. Esta é a forma geral do Lagrangea-no.

A Ação é a integral do Lagrangeano ao longo de todo o espaço-tempo. Mas, assim como para uma simples partícula, podemos ver as implicações do Princípio da Mínima Ação tanto de uma forma global como de uma forma local, sendo que o resultado são as equações de Euler-Lagrange para o campo.

Relembremos que as equações de Euler-Lagrange para a o movimento de um conjunto de partículas, cujo Lagrangeano é ( ),a ax x= �L L , são dadas

por:

a a

d

dt x x

∂ ∂= ∂ ∂ �

L L

.

Estas equações nada mais são do que as e equações de Newton para cada partícula do conjunto.

Vemos que há uma analogia forte entre os dois Lagrangeanos, sendo que, no primeiro caso (campo), temos um conjunto de derivadas envolvendo todas as dimensões do espaço-tempo, e não apenas a derivada no tempo.

Da mesma forma, então, as equações de Euler-Lagrange para o Lagran-

geano do campo eletromagnético ,aa

ff

xµ

∂ = ∂ L L são dadas por:

a a

d

fdx f

x

µ

µ

∂ ∂ =

∂ ∂ ∂ ∂

L L

O termo do lado esquerdo desta equação apresenta o índice µ repetido por duas vezes, o que significa, segundo a notação de Einstein, que o mesmo deve ser somado para todos os valores de µ ( 0,1,2,3µ = ).

Trata-se de uma típica equação de campo, conforme já vimos em nosso estudo do campo escalar.

Esta é a forma pela qual derivamos as equações diferenciais do movi-mento a partir do Princípio da Mínima Ação.


Estamos interessados aqui nas Equações de Maxwell. Nós já vimos as equações do movimento para um campo escalar. Vamos agora nos concentrar nas Equações de Maxwell, que são dadas por:

. . 0E B

E B B E j

ρ∇ = ∇ =

∇ × = − ∇× = +

� �

� � � � ��

----------------------------------------------------------------------------------------------

OBS: Adotamos aqui unidades racionalizada, a fim de não carregar as equa-ções com constantes.

----------------------------------------------------------------------------------------------

Existe mais uma equação que é fundamental na eletrodinâmica. As Equações de Maxwell mostram como as cargas e seus movimentos

modificam os campos eletromagnéticos. O outro lado desta questão é como o campo eletromagnético afeta as cargas, exercendo força sobre elas. Este efeito é dado pela “força de Lorentz”, cuja equação é dada por:

( )F E v B= + ×� � ��

q

Nosso objetivo, então é achar um Lagrangeano que, ao ser submetido ao Princípio da Mínima Ação, resulte nestas cinco equações do eletromagnetis-mo.

Na verdade, como três destas equações são equações vetoriais, temos um total de 11 equações.

Entre outras coisas, é o Princípio da Mínima Ação que garante a existên-cia do conceito de energia. Se na teoria das forças e dos campos eletromagné-ticos não houvesse o conceito de uma energia conservada, não haveria o con-ceito de conservação de energia para todas as outras coisas no universo, afinal tudo é composto por partículas carregadas, que interagem com campos eletro-magnéticos e gravitacionais.

A única coisa que, segundo os princípios básicos da física, garante a existência do conceito da conservação do momento e da energia é o Princípio da Mínima Ação, através da formulação do Lagrangeano para a mecânica e para os campos.


Assim é realmente importante derivar as equações da física a partir do Princípio da Mínima Ação, pois, caso isso não fosse possível, nenhuma das conexões entre simetrias e quantidades conservadas teria qualquer sentido. A conservação da energia, do momento e da carga é um conceito que depende da simetria em relação ao princípio da mínima ação.

Vamos tentar criar uma teoria do eletromagnetismo, assumindo alguns princípios básicos, na verdade dois princípios básicos.

O primeiro princípio se refere à “invariância” segundo as transformações de Lorentz (Teoria da Relatividade Restrita). Este princípio garante a veloci-dade constante da luz em todos os sistemas de referência, independente da velocidade de translação e da orientação dos eixos de cada sistema no espaço. Este é o princípio básico de simetria do espaço-tempo. O princípio de Lorentz é bastante simples do ponto de vista do Lagrangeano. A única coisa que preci-samos fazer é ter certeza de que a densidade do Lagrangeano é um escalar.

O segundo princípio, apesar de ser menos familiar, também não é difícil. Trata-se da invariância segundo a transformação por calibre. A invariância de calibre surgiu da imposição de que um determinado Lagrangeano de um cam-po escalar permanecesse invariante, quando submetido a uma modificação de fase dependente da posição no espaço. O fundamento desta condição foi que, para satisfazer esta simetria, tornou-se necessário criar um potencial vetor, �, e adotar a derivada covariante do campo:

D i Ax

µ µµφ ∂ = + ∂ q

Assim, se ao mesmo tempo que a multiplicarmos φ por ( )i xe

θ , nós trans-

formarmos �, de modo que: ' 1A A

xµ µ µ

θ∂→ −

∂q ( →q unidade de cargas elétri-

cas), então a derivada covariante não se altera. Portanto, se, ao invés de construirmos o Lagrangeano através da deriva-

da usual, utilizarmos a derivada covariante para o campo ( Dµφ ), então, fazen-

do a respectiva transformação para �, o lagrangeano será invariante por cali-bre.


A ideia do potencial vetor surgiu, neste caso, da necessidade de compen-sar as mudanças originadas pelas derivadas ordinárias do campo, a fim de sa-tisfazer o requisito de invariância de calibre. Surge então a seguinte pergunta: que tipo de Lagrangeano nós podemos construir, de tal modo que ele seja inva-riante por calibre?

Vejamos primeiramente quais os tipos de estrutura que são invariantes segundo a transformação por calibre.

A estrutura mais simples que podemos construir a partir de �, na condição de invariância por calibre, é um tensor, cuja obtenção se dá diferenciação:

Ax

µν

∂∂

ou Aν µ∂ .

----------------------------------------------------------------------------------------------

OBS: � é um quadrivetor cuja componente no tempo corresponde ao potencial elétrico. � em si mesmo não é um invariante por calibre, como é fácil verifi-car.

----------------------------------------------------------------------------------------------

Quando o tensor Aν µ∂ é submetido a uma transformação por calibre,

surge um termo extra:

21A A

x xν µ ν µ ν µ

θ∂∂ → ∂ −

∂ ∂q

Uma vez que o termo extra é simétrico em relação aos índices ν e µ ,

nós podemos criar uma nova quantia, dada por A Aν µ µ ν∂ − ∂ , que resultará no

cancelamento do termo extra. Obtemos então o seguinte objeto:

A Aνµ ν µ µ ν= ∂ − ∂F

o qual é invariante segundo uma transformação por calibre. A princípio, νµF tem 16 componentes. Porém, uma vez que ele é com-

posto por elementos antissimétricos em relação aos índices ν e µ , estas com-


ponentes ficam reduzidas apenas a 6 termos independentes. Representando na forma de uma matriz, teremos:

01 02 03

01 12 13

02 12 23

03 13 23

0

0

0

0

F F F

F F F

F F F

F F F

νµ

− = − − − − −

F

Estas componentes nada mais são do que as componentes dos campos elétricos e magnéticos.

0101 1 120 1

0202 2 230 2

3 003 3 310 3

y xx zxy

yzy xyz

x zz yzx

AA AAE BE

x x x y

AAA AE E B

x x y z

A A A AE E B

x x z x

∂∂ ∂∂ = == − = = − =∂ ∂ ∂ ∂

∂∂∂ ∂= − = = == − =∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= − = = == − =∂ ∂ ∂ ∂

F F F

F F F

F F F

Os campos elétricos envolvem as componentes no tempo, incluindo uma derivada em relação ao tempo, enquanto os campos magnéticos não envolvem componentes no tempo e não contêm uma derivada no tempo, mas apenas no espaço.

νµF é o tensor eletromagnético, sendo que a coisa importante a respeito

dele é o fato de ser um invariante segundo a transformação por calibre. Esta é a estrutura mais simples (e de fato, esta é a única estrutura) que pode ser feita a partir da primeira derivada do potencial vetor, para obedecer à invariância por calibre.

Nosso objetivo é construir o Lagrangeano eletromagnético. Os Lagrangeanos envolvem tipicamente os campos e as suas respectivas

derivadas. O potencial vetor � não é um invariante por calibre, portanto não há co-

mo colocá-lo no Lagrangeano sem romper a simetria por calibre. Por outro


lado, qualquer combinação do tensor eletromagnético pode fazer parte do La-grangeano, sem quebrar a simetria por calibre.

A invariância por calibre, portanto, não é suficiente para estabelecer qual a combinação de νµF que deve ser empregada no Lagrangeano.

Outro requisito ou princípio que deve ser obedecido é a invariância se-gundo a transformação de Lorentz. Para obedecer a esta condição, nós preci-samos de uma quantia escalar.

Mas a quantia escalar mais simples que nós podemos formar a partir do tensor eletromagnético νµF é obtida pela multiplicação dele por si mesmo, ou

seja, tomando-se o quadrado do tensor νµF , cujo resultado é a contração dos

índices em um escalar: νµνµF F .

Na verdade, por uma questão de convenção, esta quantia é multiplicada por “1/4”.

Assim, a quantia 4

νµνµF F

é invariante tanto segundo a transformação

de Lorentz como segundo a transformação por calibre, constituindo a densida-de de Lagrangeano do campo eletromagnético.

( )( )1

4 4A A A A

νµνµ µ ν ν µ

µ ν ν µ= ∂ − ∂ ∂ − ∂F F

Esta expressão envolve um conjunto de operações de quadrados de deri-vadas do potencial. Em relação a este aspecto, o Lagrangeano é bastante seme-lhante àquele já visto por nós para o campo: * µ

µφ φ∂ ∂ .

No caso do campo escalar, nós podemos acrescentar um fator extra,

chamado de fator de massa: 2 *m φ φ . No entanto, não há nada que possamos acrescentar à expressão do Lagrangeano eletromagnético que não envolva a derivada do potencial vetor, pois o vetor em si e qualquer combinação dele não é invariante por calibre.

Vejamos o que representam algumas das componentes do tensor eletro-magnético:


( ) ( )2

01 10 201 10

1 12

4 4 2x

x

EE= =F F + F F

---------------------------------------------------------------------------------------------

OBS: As componentes “espaciais” têm sinais opostos, quando os índices são opostos (superior e inferior). As componentes do tempo ( 0µ = ) têm sinais iguais.

---------------------------------------------------------------------------------------------

Podemos deduzir então que as componentes temporais do tensor eletro-magnético resultam em:

( )2 2 2 2x x x

E E E+ +.

Com relação às componentes espaciais, tendo em vista que:

( )2

12 2112 21

1

4 2z

B=F F + F F

podemos concluir que as componentes espaciais resultam em:

( )2 2 2 2x x x

B B B+ + .

Vemos então que: ( )2 21

2E Bνµ

νµ = −F F .

O termo 2E é feito de derivadas do potencial em relação ao tempo, ele-

vadas ao quadrado. Esta é justamente a forma análoga à energia cinética do Lagrangeano de um sistema de partículas. É também análoga ao termo 2φ� . Po-

demos dizer que o termo 2E é o termo referente à energia cinética, no sentido

de conter o quadrado das derivadas no tempo. O termo magnético 2

B não contém nenhuma derivada no tempo, apenas no espaço. Este é o termo análogo à energia potencial.

Vemos então que a densidade do Lagrangeano eletromagnético, 4νµ

νµF F , é formada pela diferença entre o termo correspondente à energia


cinética ( 2E ) e o termo correspondente à energia potencial ( 2

B ). Esta é jus-tamente a forma esperada para o Lagrangeano, como, por exemplo, no caso do Lagrangeano do campo escalar, onde temos:

( )( )221

, ,2

L x y zµφ φ µ= − ∂ → =�

.

Da mesma forma, por completa analogia com tudo que já vimos, pode-mos concluir que a forma para o Hamiltoniano eletromagnético deve ser dada, como de fato o é, pela soma 2 2

E B+ . Esta quantidade então, 2 2

H E B= + , representa a densidade de energia eletromagnética, cuja integral em todo o espaço representa a energia eletro-magnética total, que é a quantia conservada:

( )2 2 3Energia E B d x= +∫

Vejamos agora as equações do movimento. Considerando um termo es-pecífico do Lagrangeano eletromagnético, podemos perceber o padrão do re-sultado das equações de Euler-Lagrange.

( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2

0 1 1 00 1 1 00 1 1 0

2

0 1 1 00 1 1 0 01

0 1

1

4

1

4 2

1

2

A A A A

A AA A A A

A AA A

A

µ ν ν µµ ν ν µ= ∂ − ∂ ∂ − ∂

∂ − ∂∂ − ∂ ∂ − ∂ =

∂ ∂ − ∂= ∂ − ∂ =

∂ ∂

L

F

Com isso, podemos inferir que:

( )A

µν

ν µ

∂=

∂ ∂L

F

Dessa forma, podemos chegar às equações do movimento. Então as equações de Euler-Lagrange para o movimento são dadas por:


( )x AAµ

νν µ

∂ ∂ ∂ = ∂ ∂∂ ∂

L L

o que resulta em:

0x

µνµ

∂=

∂F

uma vez que o Lagrangeano não depende do potencial vetor em si.

Esta expressão corresponde às seguintes equações de Maxwell:

. ;E B Eρ∇ = ∇× =� � ��

.

Neste caso, o rotacional de B�

não inclui a densidade de corrente, que ainda não levamos em consideração, pois, na presença de corrente, o Lagran-geano deve ser modificado.

Vejamos uma das equações contidas na expressão da equação de Euler-Lagrange:

0 1 2 30 1 2 3 0ν ν ν ν∂ + ∂ + ∂ + ∂ =F F F F

Para 0ν = , teremos:

00 10 20 300 1 2 3 0 0yx z

EE E

x z z

∂∂ ∂∂ + ∂ + ∂ + ∂ = ⇒ + + =

∂ ∂ ∂F F F F

Assim, na ausência de cargas, esta equação representa a divergência do

campo elétrico E�

: . 0E∇ =� �

. Vejamos agora para 1ν = :

( )

01 11 21 310 1 2 3 junto com =2 e 3

0

xx

BE

B Eν

∇×

∂ + ∂ + ∂ + ∂ = → ∇× = −� ��

� � �� F F F F

Temos então que as equações de Euler-Lagrange correspondem a duas das equações de Maxwell. As outras duas equações de Maxwell correspondem


(como pode ser facilmente verificado), a “identidades”. Elas não são equações do movimento. Elas simplesmente decorrem da definição de campos elétricos e magnéticos. Elas derivam do fato de que o campo eletromagnético é definido pelo tensor A Aµ ν ν µ∂ − ∂ .

Assim, na ausência de cargas, podemos obter, a partir do Lagrangeano formado pelo quadrado do tensor eletromagnético, as equações de Maxwell.

Vamos ver agora como as correntes são levadas em consideração no La-grangeano eletromagnético.

Imaginemos que tenhamos uma corrente 4-vetor: jµ . Uma vez que a corrente faz parte das equações do movimento

( . ;E B E jρ∇ = ∇× = +� � � �� ), ela deverá fazer necessariamente parte do Lagran-

geano.

A corrente é um 4-vetor, jµ . Para contrair este 4-vetor em um escalar,

somente dispomos de outro 4-vetor: o potencial vetor Aµ . Portanto é uma boa

tentativa acrescentar o termo j Aµ

µ ao Lagrangeano eletromagnético.

4j A

νµνµ µ

µ= +F F

L

Nós estamos supondo que a corrente nos é fornecida. As coisas que são invariantes por calibre são ambíguas, pois nós pode-

mos mudá-las sem alterar nada da física em questão. As coisas que variam quando submetidas a uma transformação por cali-

bre são coisas “fisicamente” observáveis. Os “observáveis” físicos são quan-tidades invariantes segundo as transformações por calibre.

A corrente é um observável físico, sendo uma quantidade que não muda quando submetida a uma transformação por calibre.

Dado que jµ é invariante por calibre, podemos perguntar se a quantia

j Aµ

µ também é invariante por calibre? Vejamos:

Aplicando uma transformação por calibre em Aµ , teremos:


1j A j Aµ µ

µ µ µθ

→ − ∂ q

.

Portanto a mudança que ocorre é dada pelo termo: 1

µθ∂q

.

Este termo nos indica que j Aµ

µ não é invariante por calibre. Porém

j Aµ

µ compõe a densidade do Lagrangeano, de modo que este termo extra

também se refere à densidade do Lagrangeano. Observemos então como se comporta a integral deste termo extra, quan-

do estendida a todo o espaço-tempo, pois o que de fato interessa é saber se a Ação permanece invariante por calibre, quando acrescida por este termo extra. Se a ação for invariante por calibre, então a física será invariante por calibre:

Integrando a expressão 41j d x

µµθ∂∫q

por partes, teremos:

4 4

0

1 1 1j d x j j d x

µ µ µµ µθ θ θ

∞∂ = − ∂∫ ∫q q q

Assumindo que os campos e as cargas são nulos a distâncias infinitas, essa integral se reduz a:

4 41 1j d x j d x

µ µµ µθ θ∂ = − ∂∫ ∫q q

O termo jµ

µ∂ representa a “equação da continuidade”. Portanto

0jµ

µ∂ = , equação esta que corresponde à equação da conservação da carga

(continuidade):

. 0jt

ρ∂+ ∇ =

∂

� �


Vemos que, nestas condições, a quantia j Aµ

µ é invariante por calibre. É

interessante notar que a conservação da carga é uma necessidade a ser satisfei-ta, para que o Lagrangeano eletromagnético seja invariante por calibre.

Deste modo, o fato de obrigar o Lagrangeano a ser um invariante por ca-libre, resultou na necessidade da conservação da carga.

Temos então para o Lagrangeano eletromagnético:

1

4j Aµν µ

µν µ= +L F F

Se aplicarmos agora as equações de Euler-Lagrange ao Lagrangeano ele-tromagnético, veremos que haverá termos extras no lado direito da equação, resultantes da derivada em relação a Aµ . Estes termos, como pode ser facil-

mente verificado, correspondem à “densidade de carga” ( 0ou jρ ) e à densida-

de de corrente ( ou ( , , )x y zj j j j�

).

Vamos verificar a divergência de B�

através das equações de Euler-Lagrange:

( ) ( )( )

; ;

].

. 0

. 0

x y z z y y z x x z z x y y z

x x y y z z x y z z y y z x x z

z x y y z

x y z x z y y z x y x z z x y z y z

B A A B A A B A A

B B B A A A AB

A A

B A A A A A A

B

= ∂ − ∂ = ∂ − ∂ = ∂ − ∂

= ∂ + ∂ + ∂ = ∂ ∂ − ∂ + ∂ ∂ − ∂ +∇

+∂ ∂ − ∂

⇒ ∇ = ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ =

∴ ∇ =

� �

� �

� �

É interessante notar que, mesmo se não tivéssemos nos preocupado em determinar se o termo j A

µµ é ou não um invariante por calibre, a condição da

conservação da carga resultaria como consequência das equações de Euler-Lagrange. Vejamos como:


( )

1

4Lagrangeano

Euler Lagrange

j A

j

x AA

µν µµν µ

µν µµ

µνν µ

−

= +

⇒ ∂ = ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂∂ ∂

��

��

L F F

FL L

Derivando novamente esta expressão para a continuidade, obteremos:

jµν ν

ν µ ν∂ ∂ = ∂F.

No entanto: 21 12 31 131 2 2 1 1 3 3 1; ; . . . . .∂ ∂ = −∂ ∂ ∂ ∂ = −∂ ∂F F F F .

Portanto 0 0jµν ν

ν µ ν∂ ∂ = ⇒ ∂ =F . Isto significa que a carga é conser-

vada, como consequência das equações do movimento. Ficamos assim com dois argumentos independentes para a conservação

da carga. Por um lado, a invariância por calibre só se mantém se a carga for conservada. Por outro lado, a conservação da carga é uma consequência direta das equações do movimento, obtidas do Lagrangeano eletromagnético através das equações de Euler-Lagrange. Neste segundo argumento, podemos concluir que as equações de Maxwell seriam inconsistentes, se não houvesse conserva-ção da carga.

Se nós associássemos uma “corrente” correspondente a uma partícula carregada em movimento e acrescentássemos ao Lagrangeano eletromagnético desta partícula a sua energia cinética correspondente, então, aplicando as equações de Euler-Lagrange ao Lagrangeano resultante, obteríamos a equação da força de Lorentz.

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espiritualismo-cientifico.webnode.com · 2012. 8. 3. · Mecânica Clássica 1 Notas das aulas do Prof. Leonard Susskind – Universidade de Stanford MECÂNICA CLÁSSICA AULA N O