1

MECÂNICA

Mecânica Clássica Cinemática – Movimento em uma dimensão Posição e deslocamento Velocidade Aceleração

222

MECÂNICAEntender o movimento é um dos objetivos da Física

A Mecânica estuda o movimento e as suas causas

3

Mecânica Clássica

formulou as leis fundamentais do movimento

As contribuições mais importantes para a Mecânica Clássica foram dadas por Isaac Newton (1642-1727)

foi um dos criadores do cálculo diferencial e integral

As leis de Newton não podem ser aplicadas:

• na dinâmica de sistemas muito pequenos (física quântica)

• em situações que envolvem velocidades próximas da velocidade da luz, que é 299 792 458 m/s 300 000 km/s (relatividade)

444

MECÂNICA CLÁSSICA

CINEMÁTICA

DINAMICA

estuda os movimentos sem levar em conta as causas do movimento

estuda as forças e os movimentos originados por essas forças

Força

(Mecânica Newtoniana)

555

CINEMÁTICA

Movimento em uma dimensão

O movimento representa uma mudança contínua da posição de um corpo

O movimento ao longo do eixo x (orientado)

Todo movimento é definido em relação à um referencial

x x

Utilizaremos o MODELO DE PARTÍCULA porque o tamanho do corpo real não tem consequência na análise do seu movimento

666

Um corpo é localizado pela sua posição ao longo de um eixo orientado,

relativamente a um ponto de referência (o observador), em geral a

origem (x = 0)

Posição

-3 -2 -1 0 1 2 3 x (m)

777

Deslocamento

O deslocamento unidimensional de um objeto num intervalo de tempo

(tf - ti) é a diferença entre a posição final (xf ) no instante tf e a posição

inicial (xi) no instante ti

Exemplo 1

Corrida de 100 m

x = xf - xi

t = tf – ti

deslocamento

intervalo de tempo

888

Exemplo 2. Corrida de 100 metros. O corredor parte de xi= 0 m para xf= 100 m.

x = xf - xi = 100 m - 0 = 100 m

Exemplo 3. Uma pessoa a andar se desloca do ponto xi= 200 m para xf= 100 m.

x = xf - xi = 100 - 200 = - 100 m

O deslocamento do corredor é

O deslocamento da pessoa é

999

Velocidade média

A velocidade média é a distância x = xf - xi percorrida pela partícula

num intervalo de tempo t = tf - ti

x

t

Temos a noção intuitiva de velocidade como sendo o espaço percorrido por um corpo num certo tempo

t

xvm

xfxi

tfti

t

xv

ou

1010

posição x como uma função do tempo t

x

t

x1

x2

t1 t2 t

x

Deslocamento : x = xf - xi

t

xv

declive de uma secanteVelocidade média:

1111

A velocidade média nos dá informações sobre um intervalo de tempo

• Se movimento à esquerda, ou no sentido de decréscimo de x)

• Se movimento para a direita, ou no sentido de crescimento de x

00 m vx

00 m vx

m

11h 20.0t

m 5x m/h 25

h 0.20

m 5mv

t

xv

121212

Exemplo 4. Na corrida de 100 m, o corredor nos primeiros 5.01 s, percorre 40 m e depois percorre 60 m. O tempo total da corrida é de 10.5 s. Determinar : a) a velocidade média do corredor até o instante de 5.01 s . b) a velocidade média do corredor após este instante e até o final da corrida. c) a velocidade média do corredor em todo o intervalo do tempo de duração da corrida.

a) De 0 a 5.01 s : x = xf - xi= 40 - 0 = 40 m e t = tf – ti= 5.01 s- 0 = 5.01 s

m/s 0.8s 01.5

m 40

t

xvm

b) De 5.01 a 10.5 s:

c) Em todo o intervalo (de 0 a 10.5 s) :

x = xf - xi= 100 m – 40 m = 60 m e t = tf – ti= 10.5 s - 5.01 s = 5.49 s

m/s 9.10s 49.5

m 60

t

xvm

x = xf - xi= 100 m – 0 = 100 m e t = tf – ti= 10.5 s – 0 m = 10.5 s

m/s 5.9s 0.51

m 100

t

xvm

131313

Exemplo 5. Uma partícula em movimento ao longo do eixo x está localizada no ponto xi = 12 m em ti= 1 s e no ponto xf = 4 m em tf = 3 s. Encontre o deslocamento e a velocidade média da partícula durante esse intervalo de tempo.

x = xf - xi= 4 m – 12 m = - 8 m e t = tf – ti= 3 s – 1 s = 2 s

m/s 4s 2

m 8

t

xvm A partícula se moveu para a esquerda com essa

velocidade

Exemplo 5. É apresentado na Figura 1 o gráfico do deslocamento versus tempo para uma certa partícula em movimento ao longo do eixo x. Encontre a velocidade média nos intervalos de tempo (a) 0 a 2 s, (b) 0 a 4s, (c) 2 s a 4 s, (d) 4 s a 7 s, (e) 0 a 8 s.

Figura 1

141414

(b) 0 a 4 s

x = xf - xi= 5 m - 0 = 5 m

t = tf – ti= 4 s - 0 s = 4 s

m/s 2.1s 4

m 5

t

xvm

(c) 2 s a 4 s

x = xf - xi= 5 m – 10 m = - 5 m

t = tf – ti= 4 s - 2 s = 2 s

m/s 5.2s 2

m 5

t

xvm

(a) 0 a 2 s

x = xf - xi= 10 m - 0 = 10 m

t = tf – ti= 2 s - 0 s = 2 s

m/s 5s 2

m 10

t

xvm

151515

(d) 4 s a 7 s

x = xf – xi = - 5 m - 5 m = - 10 m

t = tf – ti = 7 s - 4 s = 3 s

m/s 3.3s 3

m 01

t

xvm

(e) 0 a 8 s

x = xf – xi = 0 - 0 = 0

t = tf – ti = 8 s - 0 = 3 s

0s 8

0

t

xvm

161616

Velocidade instantânea

É a velocidade que a partícula tem a cada instante

A velocidade instantânea é a derivada da posição (x) em relação ao tempo (t)

xevv

Velocidade na direção x:x

xe t

dt

dx

t

xv

t

0

lim

1717

Velocidade instantânea é a média sobre um intervalo de tempo infinitesimal :

vdt

dx

t

xtttf

and 0 , i

v é o declive da tangente para o gráfico x versus t

Fisicamente , v é a taxa de variação de x, dx/dt.

dt

dx

t

xv

t

0

lim

x

tt

18

0

)(tf

dt

tdgb

dt

tdfa

)()()()( tgbtfa

dt

tdf )(

constantea

nt 1nnt

tsin t cos

tcos t sinte te

tln 1t

ALGUMAS DERIVADAS IMPORTANTES

191919

Entretanto, elas podem ser bastante diferentes !

Em algumas situações

Velocidade escalar média

A velocidade escalar média é uma forma diferente de descrever a rapidez com que uma partícula se move. Ela envolve apenas a distância percorrida, independentemente da direção e sentido:

tvem

totaldistância

mem vv

O P

Exemplo: A partícula parte de O, em ritmo constante, atinge P:

20

Exemplo 6: A partícula parte de O, em ritmo constante, atinge P e retorna a O, depois de decorrido um tempo total e ter percorrido uma distância total L1t

Neste caso: 0mv1t

Lvem e

t

x

1t21t

2

L

O P

2121

A velocidade escalar é o módulo da velocidade; ela é destituída de qualquer indicação de direção e sentido

Velocidade escalar

Exemplo 7: O velocímetro de um carro marca a velocidade escalar instantânea e não a velocidade, já que ele não pode determinar a direção e o sentido

2222

Movimento retilíneo uniforme

Chama-se movimento retilíneo uniforme ao movimento em que a velocidade é constante

é a posição da partícula no instante inicial t = t0

é a velocidade com que a partícula se desloca

a equação do movimento retilíneo uniforme

Equação horária

é constante

0

0

tt

xtxv

0x

v

v

Para t0 = 0 temos

tvxtx 0

22a equaçãoPara t0 0 temos )( 00 ttvxtx

23

Diagrama do movimento de um carro com velocidade constante

A seta vermelha indica o vetor velocidade

2424

x

t t

v

Graficamente temos

Equação da Recta

tvxtx 0

Velocidade constante

cv

constante cv

Espaço variável

00

24

0x

Movimento retilíneo uniforme MRU

Recta paralela ao eixo do tempo

25

Exemplo 8

26

)( 00 ttvxtx

Este é o problema inverso.

v(t–t0) é a área sob a curva da velocidade em função do tempo (v = constante )

onde v(t) é a velocidade instantânea em t.

ttvx )(t

)(tv

t0

v

Cálculo de x(t) a partir de v(t) para o MRU

272727

Exemplo 9. O treinador de uma corredora determina sua velocidade enquanto ela corre a uma taxa constante. O treinador inicia o cronómetro no momento em que ela passa por ele e pára o cronómetro depois da corredora passar por outro ponto a 20 m de distância. O intervalo de tempo indicado no cronómetro é de 4.4 s. a) Qual é a velocidade da corredora? b) Qual é a posição da corredora 10 s após ter passado pelo treinador?

m/s 5.4s 4.4

0-m 200

t

xxv

a) Qual é a velocidade da corredora?

00 x t = 4.4 st0=0tvxx 0

b) Qual é a posição da corredora 10 s após ter passado pelo treinador?

m 45s) m/s)(10 5.4(00 tvxx

282828

Exemplo 10. Encontre a velocidade instantânea da partícula descrita na Figura 1 nos seguintes instantes: (a) t = 1.0 s, (b) t = 3.0 s, (c) t= 4.5 s, e (d) t= 7.5 s.

Figura 1

(a) t = 1.0 s

tvxx 0

Sabemos que entre 0 e 2 s a velocidade é constantex0 = 0 t0 = 0 x = 10 m t = 2 s

m/s 0.5

s 2

0-m 100

t

xxv

(b) t = 3.0 s

)( 00 ttvxx

x0 = 10 m t0 = 2 s x = 5 m t = 4 s

m/s 5.2s 2- s 4

m 10-m 5

0

0

tt

xxv

292929

(c) t = 4.5 s

(d) t = 7.5 s

v= 0

)( 00 ttvxx

x0 = - 5 m t0 = 7s x = 0 m t = 8 s

m/s 5s 7- s 8

m) (-5 - 0

0

0

tt

xxv

303030

Aceleração média

Quando a velocidade da partícula se altera,

diz-se que a partícula está acelerada

t

va x

m

A aceleração média é a variação da velocidade num intervalo de tempo t

if

if

tt

vva

mou

xv

t

va x

ou a notação

313131

Exemplo 11. Considere o movimento do carro da Figura 2. Para os dados apresentados na Figura 2, calcule a aceleração média do carro.

Figura 2

if

if

tt

vvam

2m/s 5.70s 0.2

m/s 30m/s 15

A velocidade escalar diminui com o tempo

a

a

v

O carro está desacelerando

323232

Aceleração instantânea

Em algumas situações a aceleração média pode variar em intervalos de tempo diferentes

portanto é útil definir a aceleração instantânea

xeaa

Aceleração na direção xx

xe

2

2

dt

xd

dt

dx

dt

d

dt

dva

dt

dv

t

va

t

0

lim

33

ALGUMAS INTEGRAIS IMPORTANTES

)(tf

)()( tGbtFa )()( tgbtfa dttftF )(

1, ntn1/1 nt n

tsin /cos t

tcos /sin tte /te

tln1t

atconstantea

(Uma constante arbitrária deve ser adicionada a cada uma dessas integrais)

343434

Movimento retilíneo uniformemente variado

Um movimento é uniformemente variado quando a aceleração é constante

• se a velocidade da partícula aumenta com o tempo o movimento é uniformemente acelerado

• se a velocidade da partícula diminui com o tempo o movimento é uniformemente retardado

é a velocidade da partícula em t = 0

a é a aceleração da partícula

a é constante

atvtv 0

0v

0

0

tt

vtva

para t0 = 0 temos

a equaçãoPara t0 0 temos )( 00 ttavtv

35

Substituindo

obtemos

Integrando:

200 2

1attvxtx

dt

dxtv

dtatdtvdxatvdt

dx 00

tdtadtvdx 0

Obtemos:

atvtv 0em

36

Exemplo 12

a seta superior indica o vetor velocidade e a seta inferior, o vetor aceleração constante

Diagrama de movimento para um carro cuja aceleração é constante na direção de sua velocidade

Diagrama do movimento para um carro cuja aceleração é constante na direção oposta à velocidade em cada instante

37

38383838

v

0 t t

a

Graficamente temos

Equação da recta

tavtv 0

Aceleração constante

a

constante a

Velocidade variável

0v

0 t

x

Espaço variável

0

0x

200 2

1attvxtx

Parábola

Movimento retilíneo uniformemente variado MRUV

39

Exemplo 13: Aceleração positiva

40

Exemplo 14: Aceleração negativa

41

)(tv

)(tv

t

No limite N e t0:

0t it

Área

v(ti)

0t t

Dividimos o intervalo (t-t0) num número grande N de pequenos intervalos t

Cálculo de x(t) a partir de v(t) para o MRUV

ttvx )(

ttvx ii )(Área dum retângulo i

ixxxxxtxtx N3210 ...)()(

Somando a área de todos os retângulos:

que corresponde a área sob a curva.

t

'')()(0

0 dttvtxtxt

t

''0

dttvdxxt

t

i e

42

dt

tdxtv

)()(

• A velocidade é obtida derivando-se a posição em relação ao tempo

Assim

geometricamente, a velocidade é o coeficiente angular da reta tangente à curva da posição versus tempo no instante considerado.

• O deslocamento é obtido pela integração da velocidade

geometricamente, o deslocamento é a área sob a curva da função velocidade versus tempo.

(a velocidade é a derivada em ordem ao tempo da posição)

t

t

tdtvxtx0

)()( 0

43

Exemplo 15. Um avião parte do repouso e acelera em linha reta no chão antes de levantar voo. Percorre 600 m em 12 s. a) Qual é a aceleração do avião? b) Qual é a velocidade do avião ao fim de 12 s?

a) Qual é a aceleração do avião?

200 2

1attvxx 0 0 x 0 0 v (parte do repouso)

2

2

1atx

Substituindo os valores na equação0 0 x 0 0 v

2

222m/s 3.8

s 144

m 1200

s 12

m 60022

t

xa

b) Qual é a velocidade do avião ao fim de 12 s?

atvv 00 0 v (parte do repouso)

m/s 100s 12m/s 3.8 2 atv