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EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Capítulo 5Capítulo 5
ESTABILIDADE DE PLACAS
EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Placas RetangularesPlacas Retangulares
EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Placas – CaracterísticasPlacas – Características
Colunas: Flexão pode ser considerada num único plano M, w, etc – Funções de uma única variável (x) Equações diferenciais ordinárias Carga de flambagem é a carga de falha
Placas: Flexão em dois planos M, w, etc – Funções de duas variáveis (x, y) Equações diferenciais parciais Carga de Flambagem não é a carga de falha
É necessário analisar o comportamento de placas após a flambagem para a determinação da carga de falha
EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Teorias de PlacasTeorias de Placas
Placas Espessas: se a espessura é considerável, deformações de cisalhamento são da mesma ordem de grandeza das deformações de flexão devendo, portanto, ser consideradas na análise.
Placas Finas: quando a espessura é pequena se comparada às outras dimensões, as deformações de cisalhamento podem ser desprezadas na análise.
Membranas: quando a placa é muito fina, a rigidez em flexão tende a zero e cargas transversais têm de ser resistida quase que exclusivamente pela ação de membrana.
EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Placas Finas - Teoria de Pequenas DeflexõesPlacas Finas - Teoria de Pequenas Deflexões
EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Teoria de Placas Finas - HipótesesTeoria de Placas Finas - Hipóteses 1. As deformações de cisalhamento xz e yz são desprezíveis, a linhas
normais à superfície média antes da flexão permanecem retas e normais à superfície média durante a flexão.
2. A tensão normal e a deformação correspondente z são
desprezíveis e, portanto, a deflexão transversal de qualquer ponto (x, y, z) é igual à deflexão transversal do ponto correspondente (x, y, 0) na superfície média.
3. As deflexões transversais da placa são pequenas quando comparadas à espessura. Em consequência, a extensibilidade da superfície média pode ser desprezada; isto é, a ação de membrana resultante da flexão é desprezível quando comparada com a ação da flexão propriamente dita.
4. O material da placa é homogêneo, isotrópico e segue a lei de Hooke.
EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Forças no Plano de um Elemento de PlacaForças no Plano de um Elemento de Placa
EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Momentos e Forças TransversaisMomentos e Forças Transversais
EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Equilíbrio de um Elemento de PlacaEquilíbrio de um Elemento de Placa
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x
Mxyyx
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Uma equação e 4 incógnitas
Mx, My, Mxy e w
EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Relações entre Momentos e DeslocamentosRelações entre Momentos e Deslocamentos
2
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t
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xx zdzM
2
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D
EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Equação de Equilíbrio para o Estudo da EstabilidadeEquação de Equilíbrio para o Estudo da Estabilidade
0222
2
2
2
2
2
22
2
2
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Nyw
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Estabilidade
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Condições de Contorno (borda x = constante)Condições de Contorno (borda x = constante)
00
xw
w ;
00 2
2
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2
yw
xw
w ;
; 0120 2
3
3
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yxw
xw
yw
xw
a) engaste – deslocamento e rotação nulas:
b) apoio simples – deslocamento e momento fletor Mx nulos,
c) livre – momento fletor e cisalhamento efetivo nulos:
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Compressão Axial Uniforme – Carga CríticaCompressão Axial Uniforme – Carga Crítica
00 2
2
2
2
yw
xw
w ;
em x = 0, a
00 2
2
2
2
xw
yw
w ;
em y = 0, b
Tendo em vista a condição de que a deflexão ao longo de cada uma das bordas é nula, é evidente que
em x = 0 , a e em y = 0 , b 02
2
yw
02
2
xw
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Compressão Axial Uniforme – Carga CríticaCompressão Axial Uniforme – Carga Crítica
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4
4
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w em x = 0 , a em y = 0 , b
, m = 1, 2, 3, ... n = 1, 2, 3, ... sensen),(1 1 b
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0 sensen224224
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am
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bn
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am
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am
A xmn
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Compressão Uniforme – Coeficiente de FlambagemCompressão Uniforme – Coeficiente de Flambagem
, onde
2
2
bDk
N x
22
mban
amb
k
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Flambagem de Placas - Fórmula GeralFlambagem de Placas - Fórmula Geral
22
2
2
112
bt
KEbtkE
ecr
2
2
112 e
kK
a) Regime Elástico
k (ou K) disponível em gráficos ou tabelas em função de:
a) tipo de carregamento
b) condições de contorno
c) alongamento a/b
tbDk
t
N crxcr 2
2
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Flambagem de Placas - Fórmula GeralFlambagem de Placas - Fórmula Geral
b) Regime Inelástico
2
2
2
112
btkE
ecr
elásticocrcr
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Flambagem de Placas - Fórmula GeralFlambagem de Placas - Fórmula Geral
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Flambagem de Placas - Fórmula GeralFlambagem de Placas - Fórmula Geral
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Flambagem de Placas - Fórmula GeralFlambagem de Placas - Fórmula Geral
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Compressão UniformeCompressão UniformeBordas Carregadas Simplesmente Apoiadas
02 2
2
4
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22
4
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4
xw
D
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xw x 02
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xw
w em x = 0 , a
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EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Compressão UniformeCompressão Uniforme
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Cby
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2
c
112
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Ek e
Bordas Carregadas Simplesmente Apoiadas
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Compressão UniformeCompressão UniformeBordas Carregadas Simplesmente Apoiadas
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Compressão UniformeCompressão Uniforme
; 0120,0
2
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3
3
,02
2
2
2
bybyyx
wyw
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02tanh2tan 22 qp
Placa-Coluna
22 abmp 22 abmq
; ; 01200)0( 2
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Flange
EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Placa Coluna – Tensão CríticaPlaca Coluna – Tensão Crítica
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Placa Coluna – Tensão CríticaPlaca Coluna – Tensão Crítica
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Flange – Coeficiente de FlambagemFlange – Coeficiente de Flambagem
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Compressão Axial – Várias Condições de ContornoCompressão Axial – Várias Condições de Contorno
EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Compressão Axial – Restrição ElásticaCompressão Axial – Restrição Elástica
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Compressão Axial – Restrição ElásticaCompressão Axial – Restrição Elástica
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Compressão Axial – Restrição ElásticaCompressão Axial – Restrição Elástica
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Compressão Axial – Restrição ElásticaCompressão Axial – Restrição Elástica
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ExemploExemplo
O revestimento de 0.080 in de espessura, manufaturado de liga de magnésio HK31A-H24 (E = 6500 ksi, 0.7 = 17.3 ksi, n = 6.2, e = 0.3) de
uma fuselagem é dividido, por reforçadores de seção transversal em Z, em painéis longos de 4 in de largura. Determine a tensão de flambagem em compressão destes painéis.
Solução:
Tendo sido dado que o painel está apoiado em reforçadores com seção transversal em Z, pode-se utilizar a Fig. 5.13 para a obtenção de um valor mais preciso do coeficiente de flambagem em comparação com o valor conservativo, k = 4, correspondente à placa simplesmente apoiada nos bordos descarregados. Para b/t = 4.0 / 0.08 = 50 a curva inferior da Fig. 5.13 fornece k = 5.2 .
ksi 2.110.408.0
91.01265002.5
)1(12
222
2
2
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ecr
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Coeficiente de Flambagem - Carga Axial VariávelCoeficiente de Flambagem - Carga Axial Variável
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Energia de Deformação de Placa em FlexãoEnergia de Deformação de Placa em Flexão
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UV xyyyxxyyxx 222 122
21
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2
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21 xw
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2222
2
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2
122
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Potencial das Cargas Aplicadas no Plano da PlacaPotencial das Cargas Aplicadas no Plano da Placa
y, v
x, u
Ny
Ny
Nx Nx
dx
dy dxxu
dyyv
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dxNdyyv
dxNdxxu
dyNVA xyA xyA yA x
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dx
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Nxy
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Nxy
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2
21
22
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Método de Rayleigh-Ritz – Placa em FlexãoMétodo de Rayleigh-Ritz – Placa em Flexão
y
b
a
xNx= Nxo(y/b)Nx= Nxo(y/b)
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82sensen
2
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Método de Rayleigh-Ritz – Placa em FlexãoMétodo de Rayleigh-Ritz – Placa em Flexão
ímparp) (n
pnpn
npA
mbak
mbak
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, 08
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2222202
xx kk
(kx0)cr = 7.8
mba
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; 2
22
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)1(2)1(2
EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Placa em FlexãoPlaca em Flexão
2
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2
112
btEk
e
b
cr
fbx tyffc 1
= b/c.
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Coeficientes de Flambagem - FlexãoCoeficientes de Flambagem - Flexão
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Coeficientes de Flambagem - FlexãoCoeficientes de Flambagem - Flexão
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ExemploExemplo Uma placa 6 x 3 x 0.06 in , simplesmente apoiada nos quatro bordos, manufaturada de liga de alumínio 7075-T6 a temperatura ambiente (E = 10500 ksi) está sujeita a tensões de compressão longitudinal, fc, e de flexão no plano da placa, fb, na razão fc / fb = 0.5 . (a) Qual a tensão de compressão na flambagem? (b) se fc = 13ksi, fb = 26 ksi, qual é a margem de segurança?A questão será resolvida através do uso da Fig. 5-19. Esta figura fornece curvas para o coeficiente de flambagem em flexão, kb, em função de a/b e , onde = b/c, c = (1 + fc / fb) , onde é a distância do bordo descarregado da placa ao eixo elástico. Neste caso, = b/2. Desta forma, c = (1 + 0.5)b / 2 , de modo que = 2 / 1.5 = 1.33. Para este valor de e a/b = 6/3 =2, a Fig. 15-19 fornece kb = 11.
yy y
ksi 8.41306.0
91.0121050011
)1(12
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2
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0
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ffffffff 07.01-139.13
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ccrc fFMS
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Coeficientes de Flambagem - FlexãoCoeficientes de Flambagem - Flexão
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Coeficientes de Flambagem - FlexãoCoeficientes de Flambagem - Flexão
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Método de Galerkin – Placas sob CisalhamentoMétodo de Galerkin – Placas sob Cisalhamento
a
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Método de Galerkin – Placas sob CisalhamentoMétodo de Galerkin – Placas sob Cisalhamento
1.11128
9160
64964
964
4
449432
9432
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2
2
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2
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s
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kk
k
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bak
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1512
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810264
0
4415384
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190
9
128011
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2
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2
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s
ss
s
s
k
kk
k
k
Modo simétrico: A11 e A22 para a = b
Modo simétrico: A11 , A13 e A22
EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Método de Galerkin – Placas sob CisalhamentoMétodo de Galerkin – Placas sob Cisalhamento
A solução essencialmente exata para este caso é dada pela Ref. 5.7. Para a placa quadrada o modo que prevalece é o simétrico e (ks)cr = 9.35, onde os 10 primeiros termos da função de deflexão
assumida foram utilizados para convergência satisfatória. Nesta referência é mostrado também que o coeficiente crítico para flambagem anti-simétrica é e (ks)cr = 11.63 (anti-simétrico). A
referência indica também que para a>b:
1 a/b 2 modo simétrico governa2 a/b 3.5 modo anti-simétrico governa3.5 a/b ... modo simétrico governa
e assim por diante. Quando a/b aumenta é cada vez mais difícil distinguir a diferença em magnitude entre os coeficientes obtidos para flambagem simétrica e anti-simétrica. De fato, quanto a placa é infinitamente longa o coeficiente de flambagem independe de considerações de simetria.
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Coeficiente de Flambagem - CisalhamentoCoeficiente de Flambagem - Cisalhamento
2
2
2
112
btEk
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s
cr