Mecnica dos fluidos e Hidrulica
Professor: Dr. Ricardo Cardoso de Oliveira [email protected]
Esttica dos fluidos
1. Teorema de Stevin
A diferena de presso entre dois pontos de um fluido em
repouso igual ao produto do peso especfico do fluido pela
diferena de cotas dos dois pontos.
Demonstrao: Considere um recipiente que contm um fluido e dois pontos genricos M e N. Por esses pontos, considere um cilindro, cuja rea da base dA, em torno do eixo MN.
Oriente o eixo de MN de N para M, e considere o ngulo formado com a horizontal. Sejam as cotas dos pontos N e M, respectivamente. Assim,
= = sen()
Por hiptese o fluido est em repouso, logo a resultante das foras
que atuam no cilindro em qualquer direo deve ser nula (2 Lei de
Newton). As foras que agem so:
= no ponto N;
= no ponto M;
= na superfcie lateral;
= Peso do fluido contido no cilindro = Volume de fluido Peso especfico = ;
Vamos projetar todas as foras na direo do eixo NM. As foras
que agem na superfcie lateral tero componentes nulas sobre o
eixo NM.
= 0 (fluido em repouso)
= 0
= 0
= 0
= 0
=
= . = .
importante destacar que:
(i) Na diferena de presso entre dois pontos no
interessa a distncia entre eles, mas a diferena de
cotas;
(ii) A presso dos pontos num mesmo plano ou nvel
horizontal a mesma;
(iii) O formato do recipiente no importante para o
clculo da presso em algum ponto
(iv) Se a presso na superfcie livre de um lquido contido num
recipiente for nula, a presso num ponto profundidade h dentro
do lquido ser dada por:
=
(v) Nos gases, como o peso especfico pequeno, se a diferena
de cota entre dois pontos no muito grande, pode-se desprezar
a diferena de presso entre eles.
Exemplo 1: Um reservatrio aberto em sua superfcie possui 8 m
de profundidade e contm gua, determine a presso hidrosttica
no fundo do mesmo.
Exemplo 2: As estruturas apresentadas abaixo esto cheias de
gua. As reas das sees transversais indicadas (metade da
altura) so 2 m2, 10 m2 e 12 m2, para as estruturas I, II e III,
respectivamente. Sabendo-se que a presso relativa no ponto MI
2000 Pa, determine as presses relativas, em Pa, nos pontos
MII e MIII.
2. Lei de Pascal
A presso aplicada num ponto de um fluido em repouso
transmite-se integralmente a todos os pontos do fluido.
Em (a), o fluido apresenta uma superfcie livre
atmosfera e supe-se que as presses nos pontos indicados sejam: 1 = 1 /
2 , 2 = 2 /2 , 3 = 3 /
2 e 4 =4 /2.
Ao aplicar a fora de 100N, por meio do mbolo, tem-se
um acrscimo de presso de 20 /2 e passamos a ter os seguintes valores:
1 = 21 /2
2 = 22 /2
3 = 23 /2
4 = 24 /2.
Exemplo 3: A figura mostra, esquematicamente, uma prensa
hidrulica. Os dois mbolos tm, respectivamente, as reas de
1 = 10 2e 2 = 100
2. Se for aplicada uma fora de 200 N
no mbolo (1), qual ser a fora transmitida em (2)?
3. Carga de presso
Segue do Teorema de Stevin que a altura e a
presso mantm uma relao constante para um mesmo
fluido:
=
Essa altura, que, multiplicada pelo peso especfico
do fluido, reproduz a presso num certo ponto e chamada
de carga de presso.
Segue, para o recipiente acima, que:
= . = .
No caso de um conduto fechado, como
apresentado abaixo:
Abrindo-se um orifcio no contudo, verifica-se que, se a
presso interna for maior que a externa, um jato de lquido ser
lanada para cima.
Se esse jato for canalizado por meio de um tubo de vidro,
verifica-se que o mesmo subir at uma altura h. Essa coluna de
lquido dever equilibrar exatamente a presso P do conduto.
Assim,
=
4. Escalas de presso
Presso absoluta: medida em relao ao vcuo ou zero absoluto;
Presso efetiva: medida adotando-se a presso atmosfrica como referncia;
Pabs = Patm + Pef
5. O barmetro
A presso atmosfrica medida pelo barmetro. Se
um tubo cheio de lquido, fechado na extremidade inferior e
aberto na superior, for virado dentro de uma vasilha do
mesmo lquido, ele descer at certa posio e nela
permanecer em equilbrio.
Como as presses no ponto A e no ponto 0 so iguais,
segue que: = =
Experimento de Torricelli
Exemplo 4: (CESPE UnB) Um manmetro diferencial de mercrio ( = 13.600 kg/m3), como o esquematizado na figura abaixo, foi conectado a uma tubulao por onde flui ar
para a medio da presso interna. Considerando que a
presso atmosfrica local de 100 kPa e que a diferena de
nvel de mercrio observada de 25 mm e adotando g = 10
m/s2, a presso absoluta na tubulao, em kPa, igual a
(A) 101.
(B) 102,3.
(C) 103,4.
(D) 104,5.
(E) 105.
6. Fluidos incompressveis e imiscveis superpostos
Em situao de equilbrio estvel, o fluido mais
denso ir para o fundo do recipiente. Assim, o clculo da
presso no interior de um desses fluidos deve levar em
conta a presena dos outros existentes sobre ele.
= + + (+) +
Exemplo 5: Um tanque fechado contm trs lquidos
imiscveis, de densidades relativas como apresentados na
figura abaixo. Desprezando o peso especfico do ar,
determine a presso na superfcie livre (A), sabendo que no
fundo (D) a presso 10 kgf/cm2. Considere os lquidos
incompressveis.
Exemplo 6: (CESPE UnB) Considere que a Lagoa Rodrigo de Freitas, no Rio de Janeiro, tenha uma
profundidade mxima de 20 m e esteja submetida a uma
presso atmosfrica mdia de 90 kPa. Nessa situao, e
assumindo que o peso especfico da gua igual seja 10.000
N/m3 e que 105Pa = 1 bar, o valor da presso absoluta em
kPa na profundidade mxima igual a:
(A) 250
(B) 270
(C) 280
(D) 290
(E)300
Exemplo 7: (CESGRANRIO) A figura abaixo ilustra um
recipiente cilndrico totalmente fechado, contendo gs e
leo. A, B e C so pontos no interior do recipiente, estando A
no seu tampo, C na sua base e B na interface gs-leo. As
densidades do leo e do gs valem, respectivamente, 0,8
g/cm3 e 0,01 g/cm3. Sabendo-se que a presso no ponto A
vale 6 kPa e que a gravidade local vale 10 m/s2, conclui-se
que a presso no ponto C, em kPa, vale
(A) 4,0
(B) 6,0
(C) 6,4
(D) 10,0
(E) 10,4
Exemplo 8: Calcular, em N/m2, a presso que exerce uma
determinada quantidade de petrleo sobre o fundo de um
poo, se a altura do petrleo no poo for igual a 10m e a
sua densidade 800 kg/m3.
Exemplo 9: No tubo em U da figura abaixo, tem-se gua e
leo em equilbrio. Sendo hA = 10cm a altura da gua,
determine a altura hB do leo, sendo dados: dgua = 1 e dleo =
0,8.
Exemplo 10: (CESGRANRIO) Em um recipiente contendo um lquido de massa especfica constante , faz-se um orifcio no ponto A e outro mais embaixo, no ponto B, por onde o lquido
escapa. Sabe-se que, no ponto B, o lquido sai com maior
velocidade do que no ponto A.
Em relao a esse fenmeno, conclui-se que
(A) a presso, no ponto A, maior do que no ponto B e, por essa
razo, a velocidade de escape menor.
(B) o fluido sai com maior velocidade no ponto B porque a energia
potencial nesse ponto maior.
(C) o fluido sai com maior velocidade no orifcio B por estar mais
prximo do fundo do recipiente e sofrer interferncia da reao
normal.
(D) esse um fenmeno que a Fsica ainda no consegue
descrever corretamente.
(E) esse fenmeno uma evidncia de que a presso hidrosttica
num lquido aumenta linearmente com a profundidade.
7. Manmetros
Manmetros so instrumentos que usam colunas de lquido para medir presso. As figuras abaixo apresentam
manmetros em U.
O fluido manomtrico empregado, em geral, o mercrio,
por apresentar alto peso especfico. Os manmetros em U ligados
a dois reservatrios, ao invs de abertos a atmosfera, so
denominados manmetros diferenciais.
A equao manomtrica uma expresso
matemtica na qual determina a presso em um reservatrio
ou a diferena de presso entre dois reservatrios.
(i) Presso no fundo do ramo esquerdo
Pfundo esquerdo = PA + A h1 h2 + h2M
(ii) Presso no fundo do ramo direito
Pfundo direito = PB + B h4 h3 + h3M
Do Teorema de Stevin a presso no plano horizontal do
fundo a mesma e, ainda, temos o sistema est em equilbrio.
Logo,
fundo esquerdo = fundo direito
PA + A h1 h2 + h2M = PB + B h4 h3 + h3M
PB = PA + A h1 h2 B h4 h3 (h3 2)M
Regra prtica
Comeando do lado esquerdo, soma-se presso
PA a presso das colunas descentes e subtrai-se aquela das
colunas ascendentes.
+ + + =
Exemplo 11: (CESGRANRIO)
A figura acima ilustra um manmetro com tubo em U, muito
utilizado para medir diferenas de presso. Considerando que os
pesos especficos dos trs fluidos envolvidos esto indicados na
figura por 1, 2, e 3, a diferena d
