Estatística Econômica - Aula 1

ESTATSTICA ECONMICA AULA 1

Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo

NMEROS-NDICES Introduo

difcil acompanhar de forma sucinta a multiplicidade de atividades que existem em um sistema econmico. Se o preo de todos os bens aumentarem na mesma proporo, por exemplo, no haveria dificuldade em medir a taxa de inflao entre dois perodos consecutivos. Mas, em termos concretos, as variaes dos preos de cada bem de consumo de uma atividade econmica so diferenciadas, portanto, para se examinar com maior preciso as alteraes de um grande nmero de bens com seus distintos preos, se faz necessrio um indicador. Uma maneira de se fazer isso por intermdio dos nmeros-ndices.

Um nmero-ndice , de uma maneira geral, um valor numrico relativo, quase que sempre expresso em formato percentual, que representa uma mdia das variaes nos preos, quantidades ou valor de um ou mais itens em um dado perodo de tempo, em relao mdia correspondente para um outro perodo, denominado de perodo base. Logo, os nmeros-ndices servem para se realizar comparaes no tempo e no espao.

Pode-se dizer que os nmeros-ndices, ou simplesmente ndices, proporcionam uma ideia ou uma estimativa sobre as alteraes que incidem sobre os bens que esto sendo considerados.

Um cuidado a se tomar que, sendo os elementos utilizados para se chegar a um nmero-ndice so provenientes de uma amostra, visto que no se pode abranger uma populao inteira, esta deve ser representativa da populao, implicando, portanto, em revises peridicas dos valores envolvidos para o clculo dos nmeros-ndices.

Para se construir um nmero-ndice deve-se, ento, tomar cuidado com trs aspectos fundamentais: a escolha da amostra; a escolha do perodo base, e; a escolha do mtodo de clculo.

A escolha da amostra

Em grande parte dos trabalhos estatsticos praticamente impossvel se trabalhar com todos os elementos de uma populao. Assim, deve-se utilizar tcnicas de amostragem para definir um subconjunto da populao de interesse, uma amostra, que seja representativa para o trabalho a que se esteja propenso a pesquisar.

Para se trabalhar com preos e quantidades importante definir a amostra dos produtos a serem pesquisados, bem como a amostra de quem os fornecero os informantes. As amostras sero utilizadas ao longo de um perodo de tempo e no sofrero alteraes at que se avalie a necessidade de redefinio da amostra, fato que ocorrer, principalmente, quando se alterar o perodo-base. Escolha do perodo-base

Em primeiro lugar, deve-se ter conscincia que a escolha do perodo-base depende da finalidade do nmero-ndice que se quer obter. Se for de nosso interesse saber exclusivamente como variam os preos, ou quantidades, entre dois perodos de tempo consecutivos, toma-se como perodo-base o perodo inicial da pesquisa. Entretanto para uma srie contnua de nmeros-ndice, sejam anuais, mensais, semanais, dirios, etc., importante identificar como perodo-base um que no apresente anomalias, sendo conveniente que no seja muito distante do perodo analisado. Porm, extremamente difcil se encontrar um ano onde no ocorram fenmenos, sejam internos ou externos, que no repercutam na economia de um pas: secas, inundaes, eleies, variaes cambiais, etc.

Deve-se considerar, tambm, que o perodo-base pode ser alterado, devendo isso ser feito sempre que for constatadas mudanas acentuadas no objeto de pesquisa.

A notao mais usual, mas no nica, do perodo que se est utilizando como base : se o perodo-base for o ano de 2010, indica-se: base: 2010 = 100; se o perodo-base for o ms de fevereiro de 2010, a indicao dever ser: base: fev/2010 = 100, ou ainda; se o perodo-base for a mdia de trs anos consecutivos (2008, 2009 e 2010), tem-se: base: 2008-10 = 100.

De uma forma geral: BASE: (perodo-base) = 100, onde o valor 100 significa que o perodo-base corresponde ao ponto de partida para todos os ndices calculados. Escolha do mtodo de clculo

Existem vrios mtodos para a obteno de um nmero-ndice, devendo a escolha depender da finalidade do ndice e da disponibilidade de dados. Posteriormente sero apresentados alguns mtodos de clculo, suas finalidades e as suas restries ao seu uso.

USOS DAS ESTATSTICAS DE PREOS E DE QUANTIDADES

As estatsticas de preos e de quantidades so utilizadas com mltiplas finalidades, relacionadas tanto com o funcionamento do sistema econmico e com a formulao de polticas econmicas de longo prazo, assim como para anlises de desempenho da economia.

Os ndices de preos so muito utilizados para ajustar contratos, salrios, penses, impostos e uma gama de outras transaes econmicas. Assim, so necessrios diversos tipos de ndices, cada um com uma finalidade diferente.

Tanto os ndices de preos como os de quantidade so largamente utilizados, no curto prazo, como elementos de decises cotidianas, seja por homens de negcios seja por governantes, para acompanhar a atuao da economia. Assim, as relaes recprocas entre os dados de preos, os dados de transaes econmicas e os dados de quantidades so evidentes:



as estatsticas integradas de preos e quantidades e os dados sobre valores so essenciais para uma avaliao adequada da economia.

Em relao a prazos mais longos, as estatsticas de preos e quantidade e os clculos em preos constantes dos componentes das contas sociais so sumamente importantes para as anlises da atuao do sistema econmico. Para este fim, necessita-se de um sistema amplo de estatsticas de preos e quantidades que deve estar plenamente integrado s contas e balanos nacionais.

Portanto, evidente que as estatsticas de preos e quantidades so instrumentos para finalidades mltiplas, atendendo s necessidades dos governos e das empresas em seus processos decisrios e, por outra parte, proporcionando a base para a compreenso do comportamento dos preos, das quantidades produzidas e do emprego e sua relao com a poltica econmica. APLICAES EM OUTRAS REAS DO CONHECIMENTO

A utilizao de nmeros-ndices muito comum entre economistas, mas tambm utilizada em outra reas com uma sofisticao menor.

Atualmente est se tornando muito comum profissionais das mais diversas reas (administradores, engenheiros, socilogos, psiclogos, mdicos, etc.), necessitarem analisar situaes onde a comparao entre grupos de dados fundamental. Para tanto, utilizam-se de nmeros-ndice, tambm denominados como ndices de desempenho que se tornaram importantssimos para avaliar diferentes situaes que se apresentem. NMEROS-NDICES SIMPLES Nmeros-ndices relativos simples

Dados dois nmeros reais a e b, denomina-se nmeros relativos, ou simplesmente relativos, aos nmeros a

a= 1e

b

a, se a for escolhido como unidade ou base. Da mesma forma, se b for escolhido como unidade ou base, ter-se-, ento, os

relativos b

b= 1 e

a

b .

conveniente salientar que a escolha da base pode no recair necessariamente sobre um dos dois valores envolvidos, mas pode envolver qualquer outro valor, tal como, por exemplo, a mdia entre os dois valores.

Doravante denominaremos apenas de relativos aos nmeros-ndices relativos simples.

Tipos de relativos

Pode-se ter relativos de diversos tipos de nmeros relativos, mas os mais comuns so: relativos de preos; relativos de quantidade, e; relativos de valor.

Relativo de preo ou preo relativo

Seja p0 o preo de um determinado artigo no tempo t = 0 e pt o preo, deste mesmo artigo, no tempo t. Define-se preo relativo de um artigo a no tempo t, com base no tempo t = 0, como sendo o quociente:

p 0, t( ) =ptp0

: na forma unitria, e; , na forma percentual.

onde:

p0 preo do artigo no perodo-base pt preo do artigo em um perodo qualquer. Exemplos

1) em 2003, o litro de leite custava R$ 0,80 e, em 2004, R$ 1,00. Determine o relativo de preo do litro de leite no ano de 2004 com base no ano de 2003.

Soluo:

p 0, t( ) =ptp0 p 2003, 2004( ) =

1,00

0,80 p 2003, 2004( ) = 1,25 ou p 0, t( ) =

ptp0 p 2003, 2004( ) = 125%

Resposta: o preo do litro de leite no ano de 2004 25% maior do que no ano de 2003.

2) Em 2003, o litro de leite custava R$ 0,80 e, em 2004, R$ 1,00. Determine o relativo de preo do litro de leite no ano de 2003 com base no ano de 2004.

Soluo:

p 0, t( ) =ptp0.100



p 0, t( ) =ptp0 p 2004, 2003( ) =

0,80

1,00 p 2004, 2003( ) = 0,80 ou p 0, t( ) =

ptp0 p 2004, 2003( ) = 80%

Resposta: o preo do litro de leite no ano de 2003 custava 20% a menos do que o seu preo no ano de 2004 (100%

80%).

3) Um determinado produto custava R$ 38,00 em 2010 e passou a custar R$ 42,75 em 2011. Estabelea o ndice de preo relativo, em formato percentual, deste produto, em relao ao ano de 2010. Interprete o resultado.

Soluo:

p 0, t( ) =ptp0.100 p 2010, 2011( ) =

42,75

38,00 p 2010, 2011( ) = 112,5%

Resposta: o ndice de preo do produto em questo, tomando o ano de 2010 como perodo bsico, de 112,5%, ou seja, o produto teve um aumento de 12,5% no seu preo do ano de 2010 para o ano de 2011.

4) Os valores do salrio mnimo brasileiro, vigentes no ms de dezembro de cada um dos anos da pesquisa, esto apresentados na tabela abaixo:

Ano Valor em Reais 2006 350,00 2007 380,00 2008 415,00 2009 465,00 2010 510,00 2011 545,00

Tomando por base o ano de 2006, determinar os relativos correspondentes aos anos de 2008 e de 2011. Interprete os

resultados obtidos. Soluo: Como o ano base o ano de 2006 pa = 350,00. Assim:

para o ano de 2008, tem-se:

p 0, t( ) =ptp0.100 p 2006, 2008( ) =

415,00

350,00.100 p 2006, 2008( ) = 118,57142857...% p 2006, 2008( ) = 118,57%

para o ano de 2011, tem-se:

p 0, t( ) =ptp0.100 p 2006, 2011( ) =

545,00

350,00.100 p 2006, 2011( ) = 155,71428571...% p 2006, 2011( ) = 155,71%

Resposta: os preos relativos dos anos de 2008 e de 2011, tomando-se por base o ano de 2006, correspondem 118,57% e 155,71% do valor deste, com arredondamento para duas casas depois da vrgula. O salrio mnimo do ano de 2008 18,57% maior que o do ano de 2006, e o do ano de 2011 55,71% maior que o do ano de 2006.

Relativo de quantidade ou de volume

Seja q0 a quantidade produzida de um determinado artigo a no tempo t = 0 e qt a quantidade produzida, deste mesmo artigo, no tempo t. A quantidade relativa produzida (ou vendida, ou consumida, ou exportada, etc.) Desse artigo no tempo t em relao ao tempo 0 definida como sendo:

q 0, t( ) =qtq0

: na forma unitria, e , na forma percentual.

onde:

q0 preo do artigo no perodo-base qt preo do artigo em um perodo qualquer.

Exemplo

Considere que na tabela abaixo encontram-se os dados referentes produo de bicicletas de um determinado modelo por uma determinada indstria, no perodo compreendido entre os anos de 2006 e 2011 (dados fictcios).

Anos Produo (em milhares de unidades) 2006 30,172 2007 20,144 2008 18,280 2009 25,320 2010 28,500 2011 12,230

q 0, t( ) =qtq0.100



Determinar as quantidades relativas da produo dessa indstria tomando-se por base o ano de 2009. Soluo: Para encontrar o solicitado, deve-se dividir a produo de cada ano pelo valor da produo do ano tomado como base,

ou seja, do ano de 2009. Assim, obtm-se: a) para o ano de 2006:

q 0, t( ) =qtq0 q 2009, 2006( ) =

30,172

25,320 q 2009, 2006( ) = 1,191627172 ou q 2009, 2006( ) = 119,16%

b) para o ano de 2007:

q 0, t( ) =qtq0 q 2009, 2007( ) =

20,144

25,320 q 2009, 2007( ) = 0,795576619 ou q 2009, 2007( ) = 79,56%

c) para o ano de 2008:

q 0, t( ) =qtq0 q 2009, 2008( ) =

18,280

25,320 q 2009, 2008( ) = 0,721958926 ou q 2009, 2008( ) = 72,20%

d) para o ano de 2007:

q 0, t( ) =qtq0 q 2009, 2009( ) =

25,320

25,320 q 2009, 2009( ) = 1 ou q 2009, 2007( ) = 100%

e) para o ano de 2010:

q 0, t( ) =qtq0 q 2009, 2010( ) =

28,500

25,320 q 2009, 2010( ) = 1,125592417 ou q 2009, 2010( ) = 112,56%

f) para o ano de 2011:

q 0, t( ) =qtq0 q 2009, 2011( ) =

12,230

25,320 q 2009, 2011( ) = 0,483017378 ou q 2009, 2011( ) = 48,30%

Pode-se, se preferir ou se for mais adequado, colocar os resultados obtidos em formato tabular. Assim:

Anos Quantidades relativas

(Ano base: 2009) Formato unitrio

Quantidades relativas (Ano base: 2009)

Formato percentual 2006 1,191627172 119,16 2007 0,795576619 79,56 2008 0,721958926 72,20 2009 1 100 2010 1,125592417 112,56 2011 0,483017378 48,30

Relativo de valor ou valor relativo

Seja p o preo de um artigo a e q a quantidade produzida deste mesmo artigo. Denomina-se valor total, ou simplesmente valor, ao produto v = p . q.

Define-se, tambm, valor relativo de um artigo a no tempo t, com base no tempo t = 0, como sendo o quociente:

v 0, t( ) =vtv0 v 0, t( ) =

pt .qtp0.q0

: na forma unitria, e; , na forma percentual.

Pode-se, tambm, caracterizar o relativo de valor como sendo o produto do relativo de preo pelo relativo de

quantidade:

v 0, t( ) =vtv0 v 0, t( ) =

pt .qtp0.q0

v 0, t( ) = p 0, t( ).q 0, t( )

Onde: p0 preo do artigo no perodo-base; pt preo do artigo em um perodo qualquer; q0 quantidade do artigo no perodo-base, e; qt quantidade do artigo em um perodo qualquer.

Exemplo

Considere os dados (fictcios) relativos s vendas realizadas por uma determinada indstria no perodo de 2006 a 2011 constantes na tabela dada a seguir:

Anos Preo (em Reais) Quantidade

(em centenas) 2006 50,00 1,4 2007 80,00 1,7

v 0, t( ) =vtv0

. 100 v 0, t( ) =pt .qtp0.q0

. 100



2008 110,00 1,3 2009 90,00 2,1 2010 130,00 2,5 2011 160,00 1,8

Tomando por base os dados fornecidos, determine os ndices relativos de valor sendo o perodo-base o ano de 2009. Soluo: a) para o ano de 2006:

v 0, t( ) =vtv0 v 0, t( ) =

pt .qtp0.q0

v 2009, 2006( ) =50,00.1,490,00.2,1

v 2009, 2006( ) = 0,37037037 v 2009, 2006( ) = 37,04%

b) para o ano de 2007:

v 0, t( ) =vtv0 v 0, t( ) =

pt .qtp0.q0

v 2009, 2007( ) =80,00.1,790,00.2,1

v 2009, 2007( ) = 0,719576719 v 2009, 2007( ) = 71,96%

c) para o ano de 2008:

v 0, t( ) =vtv0 v 0, t( ) =

pt .qtp0.q0

v 2009, 2008( ) =110,00.1,390,00.2,1

v 2009, 2008( ) = 0,756613757 v 2009, 2008( ) = 75,66%

d) para o ano de 2009:

v 0, t( ) =vtv0 v 0, t( ) =

pt .qtp0.q0

v 2009, 2009( ) =90,00.2,190,00.2,1

v 2009, 2009( ) = 1 v 2009, 2009( ) = 100%

e) para o ano de 2010:

v 0, t( ) =vtv0 v 0, t( ) =

pt .qtp0.q0

v 2009, 2010( ) =130,00.2,590,00.2,1

v 2009, 2010( ) = 1,71957672 v 2009, 2010( ) = 171,96%

f) para o ano de 2011:

v 0, t( ) =vtv0 v 0, t( ) =

pt .qtp0.q0

v 2009, 2011( ) =160,00.1,890,00.2,1

v 2009, 2011( ) = 1,523809524 v 2009, 2011( ) = 152,38%

Ou, colocando em formato tabular:

Anos ndice relativo de valor (em formato unitrio) ndice relativo de valor

(em formato percentual) 2006 0,370370370 37,04 2007 0,719576720 71,96 2008 0,756613757 75,66 2009 1 100 2010 1,719576720 171,96 2011 1,523809524 152,38

APRESENTAO DOS RELATIVOS

Os relativos de preos, quantidade e valor so, normalmente, apresentados em sequncias que podem ser: de base fixa, e; de base mvel.

Relativos de base fixa

Considerem-se os valores x0 ; x1 ; x2 ; ...; xn como sendo os preos (ou quantidades ou valores) de um artigo a nas pocas t = 0; t = 1 ; t = 2 ; ... ; t . As razes quocientes :

x0x0;x1x0;x2x0;;

xnx0

so os relativos de base fixa, em t = 0, do artigo a nos tempos t = 0; t = 1 ; t = 2 ; ... ; t .

Assim, possvel montar uma tabela indicativa da situao exposta:

Anos Preos Relativos (base t = 0)

0 x0 x0x0



1 x1 x1x0

... ... ...

t xt xtx0

Exemplo Um determinado produto apresentou evoluo de seu preo conforme o exposto a seguir:

2006 R$ 200,00 ; 2007 R$ 250,00 ; 2008 R$ 300,00 ; 2009 R$ 500,00 ; 2010 R$ 550,00. Com os dados, construa uma tabela de preos relativos, primeiro no formato unitrio, tomando por base o ano de 2007,

e , depois, no formato percentual, tomando por base o ano de 2006. Soluo: a) tabela de relativos no formato unitrio:

Anos Preos (em Reais) Relativos

(base t = 2007)

2006 200,00 200,00

250,00= 0,80

2007 250,00 250,00

250,00= 1,00

2008 300,00 300,00

250,00= 1,20

2009 500,00 500,00

250,00= 2,00

2010 550,00 550,00

250,00= 2,20

Obs.: na coluna dos relativos apresenta-se, normalmente, apenas os resultados, ocultando-se os clculos realizados

para obt-los. Neste exemplo os clculos aparecem para que seja fcil visualizar como se obtiveram os resultados apresentados.

b) tabela de relativos no formato percentual:


(base t = 2006)

2006 200,00 200,00

200,00.100 = 100

2007 250,00 250,00

200,00.100 = 125

2008 300,00 300,00

200,00.100 = 150

2009 500,00 500,00

200,00.100 = 250

2010 550,00 550,00

200,00.100 = 275

Pelos dois item do exemplo dado possvel se perceber que: 1) no primeiro item, o preo do produto examinado em 2007 era 20% maior que o preo do mesmo artigo em 2008:

1 0,80 = 0,20 ou 20%. 2) nesse mesmo item, o preo do produto em 2010 era 120% maior que o preo de 2007:

2,20 1 = 1,20 ou 120%. 3) no segundo item, o preo do produto em 2009 era 150% maior que o seu preo em 2006:

250% - 100% = 150%. 4) tambm no segundo item, o preo do produto em questo ficou 125% mais caro do ano de 2008 para o ano de 2010:

275% - 150% = 125%.



Obs.: Quando os relativos so apresentados em sries, por meio de tabelas, o smbolo de porcentagem normalmente no escrito. Deve-se tomar cuidado para perceber que os relativos esto no formato percentual pelos valores apresentados.

Relativos de base mvel

A sequncia de relativos de base mvel, tambm denominados de relativos em cadeia; de nmeros elo ou de elos de relativos, obtida de modo bastante semelhante ao dos relativos de base fixa. A nica diferena que, neste caso, so sucessivamente os valores x0 , x1 , x2 , ... , xn 1 , nos tempos t = 0; t = 1 ; t = 2 ; ... ; t, as bases.

A tabela a seguir descreve como se deve montar uma sequncia de relativos de base mvel:


(base mvel) 0 x0 ------

1 x1 x1x0

2 x2 x2x1

... ... ...

t xt xtxt1

Exemplos 1) Um determinado produto apresentou evoluo de seu preo conforme o exposto a seguir:

2006 R$ 200,00 ; 2007 R$ 250,00 ; 2008 R$ 300,00 ; 2009 R$ 500,00 ; 2010 R$ 550,00. Com os dados, construa uma tabela de preos relativos, de base mvel, no formato unitrio, e determine qual o percentual de aumento de preo do ano de 2008 para 2009.

Soluo:


(base mvel) 2006 200,00 -------

2007 250,00 250,00

200,00= 1,25

2008 300,00 300,00

250,00= 1,20

2009 500,00 500,00

300,00= 1,67

2010 550,00 550,00

500,00= 1,10

Resposta: o relativo de preo do ano de 2009 em relao ao ano de 2008 igual a 1,67 (o valor exato 1,666666667),

o que significa que de um ano para o outro houve um aumento de 66,6666667% no preo do produto. Obs.: Caso um resultado da diviso for um nmero infinito, pode-se fixar o nmero de casas depois da vrgula, utilizando as regras de arredondamento, desde que nos clculos intermedirios que se faam necessrios seja utilizado o nmero sem arredondamento, procedimento utilizado para fornecer a resposta do exemplo.

2) As quantidades produzidas de um certo produto esto relacionadas a seguir:

2006: 500 toneladas 2007: 750 toneladas 2008: 840 toneladas 2009: 1050 toneladas 2010: 945 toneladas. Com base nesses dados, construa uma tabela de quantidades relativas, de base mvel, no formato percentual, determinando o aumento percentual da produo do ano de 2010 em relao ao ano de 2009.

Soluo:

Anos Produo

(em toneladas)

Relativos (base mvel)

2006 500 -------

2007 750 750

500= 1,50 = 150



2008 840 840

750= 1,12 = 112

2009 1050 1050

840= 1,25 = 125

2010 945 945

1050= 0,90 = 90

Resposta: o relativo de quantidade que relaciona os anos de 2009 e de 2010 igual a 90%, ou seja, a produo do ano

de 2010 foi equivalente a 90% da produo do ano de 2009.

3) Calcular os relativos de preos em cadeia elos de relativos a partir dos dados sobre as vendas realizadas por uma indstria no perodo de 2006 a 2011, constantes na tabela a seguir:

Anos Preo (em Reais) 2006 50,00 2007 80,00 2008 110,00 2009 90,00 2010 130,00 2011 160,00

Soluo: Calculando-se os relativos de preo:

p 2006/2007( ) =p2007p2006

p 2006/2007( ) =80,00

50,00 p 2006/2007( ) = 1,6 ;

p 2007/2008( ) =p2008p2007

p 2007/2008( ) =110,00

80,00 p 2007/2008( ) = 1,375 ;

p 2008/2009( ) =p2009p2008

p 2008/2009( ) =90,00

110,00 p 2008/2009( ) = 0,818181818

p 2009/2010( ) =p2010p2009

p 2009/2010( ) =130,00

90,00 p 2009/2010( ) = 1,444444444

p 2010/2011( ) =p2011p2010

p 2010/2011( ) =160,00

130,00 p 2010/2011( ) = 1,230769231

Fazendo o processo de encadeamento para calcular os relativos em cadeia, com base na ano de 2006: p2006/2011 = p2006/2007 . p2007/2008 . p2008/2009 . p2009/2010 . p2010/2011 p2006/2011 = 1,6 . 1,375 . 0,818181818 . 1,444444444 . 1,230769231 p2006/2011 = 3,199999999 Pode-se, se preferir, colocar os resultados em formato tabular:

Anos Preo (em Reais) pt t1

p2006 2011 (formato unitrio)

p2006 2011 (formato percentual)

2006 50,00 ---- 1 100 2007 80,00 1,6 1,6 160 2008 110,00 1,375 2,2 220 2009 90,00 0,818181818 1,799999999 179,9999999 2010 130,00 1,444444444 2,599999999 259,9999999 2011 160,00 1,230769231 3,199999999 319,9999999

Resposta: o relativo de preos em cadeia procurado igual a 3,2 (formato unitrio) ou 320% (formato percentual).

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Estatística Econômica - Aula 1