Estruturas reticuladas simples Problema · Para terminar o problema é possível verificar o equilibro global tal como na Estática. Problema Para a viga em baixo calcule a reacção

Sebenta de Disciplina DCR, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2017

Estruturas reticuladas simples

Problema

Calcule todas as reacções externas. As forças aplicadas actuam no meio das barras.

Resolução

(verificação da estatia: Estática)

HA: libertação e a introdução da reacção incógnita

1. Separação em corpos e posições dos CIRs conhecidas

Para clarificar melhor, as rectas que apenas indicam uma posição do CIR algures nessa recta,

serão designadas com o respectivo CIR entre parenteses, ou seja (CIR).

2. Teoremas e determinação dos restantes CIRs

A

C B

m3 4

4

P

P

A

C B

AH

1CIR

12CIR2CIR

AH

I

II

1CIR

12CIR2CIR

AH

I

II 1CIR1CIR


3. Escolha do movimento. No caso das estruturas reticuladas torna-se mais vantajoso arbitrar

um ângulo de rotação de um dos corpos, por exemplo 1 , e graficamente representar a

relação que define os outros ângulos de rotação. Apenas depois relacionar os vários ângulos

de rotação entre si. Mais correcto seria usar 1d para sublinhar que a rotação é virtual e

infinitesimal, mas desde que estar claro da resolução que os ângulos introduzidos são

infinitesimais, pode-se simplificar para 1 . Não é muito vantajoso simplificar para “1”

infinitesimal como no caso das vigas, porque não será fácil deduzir directamente os valores

dos outros ângulos. Recorda-se que o campo do deslocamento virtual apenas tem que verificar

as condições impostas pelos apoios e que não está provocado pelas forças aplicadas.

Para obter a posição deformada dos corpos rectos, basta encontrar a nova posição das

extremidades e liga-las com uma recta. A posição das extremidades encontra-se usando as

regras de marcação dos deslocamentos virtuais. Sublinha-se que cada corpo pode ter apenas

um ângulo de rotação e este tem que se manter na representação de todos os pontos que

pertencem a este corpo. Se for necessário representar outros pontos além das extremidades,

aplica-se novamente a regra de marcação dos deslocamentos virtuais, como mostra a figura

abaixo, no entanto sabe-se que a parte do corpo que era recta vai se manter recta na posição

deformada.

4. Relação entre os ângulos de rotação

O mecanismo tem 1GDL cinemática e por isso tem que existir apenas um parâmetro que

define o movimento, e por isso os ângulos introduzidos são dependentes:

1 23 4

como se verifica usando o deslocamento do ponto comum dos 2 corpos (do ponto que separa

os movimentos, 12CIR ).

12CIR

2CIR

AH

1CIR

1

1 2

12CIR

2CIR

AH

1CIR

1

1 2

1


5. Trabalho virtual

Aplicando as regras de expressão do trabalho virtual, verifica-se que a posição deformada

serviu apenas para a determinação das relações entre os ângulos de rotação, mas para o

cálculo do trabalho virtual era completamente desnecessária.

É suficiente saber a posição dos CIRs absolutos, os sentidos das rotações e a ligação dentre os

ângulos. O trabalho exprime-se na estrutura não deformada.

1 1 21,5 4 2 0AP H P

Na relação acima somam-se os trabalhos de cada força na forma dos trabalhos dos momentos.

Os momentos das forças calculam se relativamente ao CIR do corpo onde a força actua. O sinal

do trabalho define-se comparando os sentidos de rotação dos momentos e dos ângulos de

rotação dos corpos: sentidos iguais indicam sinal positivo, sentidos opostos indicam o sinal

negativo. Realça-se mais uma vez, que este trabalho dos momentos nos ângulos de rotação

equivale ao trabalho das forças nos deslocamentos. Na figura da deformada verifica-se que o

deslocamento no local da reacção equivale a 14 (sentido igual ao da reacção), o

deslocamento no local da força do corpo II equivale a 22 (sentido oposto ao da força), e

para a força do corpo I basta imaginar a força na sua linha de acção em cima, e o

deslocamento virá 11,5 (sentido oposto ao da força). Recorda-se mais uma vez que esta

passagem da força ao longo da linha de acção é permitida e que desta maneira evitam-se as

projecções resultantes da aplicação do produto interno que define o trabalho.

Substituindo a relação entre os ângulos

1 1 1

3 31,5 4 2 0

4 4A AP H P H P

2CIR

AH

1CIR 2

1

P

P

2CIR

AH

1CIR 2

1

PP


VA: libertação e a introdução da reacção incógnita



3. Escolha do movimento.

Neste caso é mais fácil começar pela rotação do corpo II. O corpo I faz apenas translação

porque o seu CIR está no infinito. A direcção da translação é perpendicular à direcção da recta

que indica a posição do CIR no infinito.


Neste caso basta relacionar o deslocamento do corpo I com a rotação do corpo II:

1 24u

A

C B

AV

1CIR

12CIR2CIR

I

II

AV

1CIR

12CIR2CIR

I

II 1CIR

1,CIR

AV

AV

12CIR

2CIR21u


5. Trabalho virtual

1 1 22 0AP u V u P

Substituindo

1 1 1

1 32 0

4 2A APu V u Pu V P

HB: libertação e a introdução da reacção incógnita



2CIR2P

P1u

AV

A

C B

BH

1CIR

12CIR

2CIRI

II

BH

1CIR

12CIR

2CIRI

II

BH

2CIR

2CIR




Como já explicado anteriormente, seria mais vantajoso determinar esta relação numa das

projecções. Os comprimentos necessários são definidos no enunciado para a projecção na

horizontal:

1 23 4

Para a projecção na vertical é necessário determinar a altura em falta usando a semelhas dos

triângulos 4

3 4

x , depois

1 2

164

3 , que naturalmente representa a mesma relação como a anterior

1CIR

12CIR BH

2CIR

2

1

2

1CIR

12CIR BH

2CIR

2

1

2

1 2

2

16

3

1


5. Trabalho virtual

1 2 2

161,5 2 0

3BP H P

Substituindo

2 2 2

3 4 16 32 0

2 3 3 4B BP H P H P

VB: libertação e a introdução da reacção incógnita



1CIR

12CIR BH

2CIR

1

2

16

3

P

P

A

C B

BV

1CIR

12CIR

2CIR

I

II

BV

1CIR

12 2CIR CIR

2CIR

I

II

BV

2CIR



Deduziu-se no ponto anterior que o corpo I tem 2 pontos que correspondem aos CIRs

absolutos, o que impede qualquer movimento, e por isso o corpo I está fixo.


Neste caso há apenas 1 parâmetro

5. Trabalho virtual (não é necessário introduzir a carga aos corpos sem movimento)

2 2

14 2 0

2B BV P V P

Para terminar o problema é possível verificar o equilibro global tal como na Estática.

Problema

Para a viga em baixo calcule a reacção do momento na ligação externa e interna

fixo

2CIR

BV

2

fixo

2CIR

BV2

P

1

2P

P

P

3

2P

3

4P

3

4P

2kNm

1 3 m

5kN/m

1

A B

C


Recorda-se que uma viga semelhante foi resolvida na parte das vigas de Gerber. A diferença

era na inclinação do encastramento deslizante. Ver-se-á em seguida que esta viga não tem os

CIRs no seu eixo e por isso está inserida na parte das estruturas reticuladas.

Resolução

MA: libertação e a introdução da reacção incógnita



Na determinação acima usou-se o primeiro teorema. Realça-se que para unir um ponto (neste

caso 1CIR ) com outro que está posicionado no infinito numa certa direcção, é necessário

traçar uma recta paralela com a recta que define esta direcção pelo este ponto (neste caso

1CIR ).


AM

1CIR12,CIR

2CIRI II

2CIR

2CIR

AM

AM

1CIR12,CIR

2CIRI II

1CIR

12,CIR

2CIR

AM



Visto o CIR relativo encontrar-se no infinito, as partes deformadas têm que se manter paralelas

e por isso os dois ângulos de rotação são iguais incluindo o sentido. Nota-se que a componente

vertical do deslocamento do corpo II no lugar do encastramento é 3 e por isso os corpos

continuam paralelos.

5. Trabalho virtual

2 10 15 1,5 0 10,5kNmA AM M

MC: libertação e a introdução da reacção incógnita

1. Separação em corpos e posições dos CIRs

1CIR

2CIR

AM

2kNm 15kN10kN

1CIR

12,CIR

2CIR

3

AM

CMCM

2CIR

,I fixo II

CMCM

2CIR

2CIR



3. Trabalho virtual (não é necessário aplicar a carga aos corpos sem movimento)

15 1,5 0 22,5kNmC CM M

Problema

Determine as relações entre as rotações de corpos dos mecanismos apresentados e esboce

um dos campos de deslocamentos virtuais.

Resolução

Caso 1


CMCM

2CIR

2CIR

I II12,CIR

1CIR

III 3CIR

13CIR

A CD

E

F

B

m

2 3

4

2 2 A CD

E

F

B

m

2 3

4

2 2

15kNCM

2CIR



Os dois restantes CIRs foram determinados usando o primeiro teorema. O 3CIR tem lugar

geométrico no corpo I mas num ponto que está sobreposto com o corpo, ou seja não fixa o

corpo I.


Começa-se por rodar o corpo I, o corpo II tem que se manter paralelo, ou seja 1 2 . A

nova posição do 13CIR define o deslocamento de um dos pontos do corpo III. Assim pode

determinar-se o 3 da relação

1 35 3 .

Caso 2


2CIR

I II12,CIR

1CIR

III 3CIR

13CIR

2CIR3CIR

12,CIR

1CIR13CIR

2CIR3CIR1

23

3

2CIR

I II

12,CIR

1CIR

III 3CIR

13CIR



Os dois restantes CIRs foram determinados usando o primeiro teorema.


Começa se por rodar o corpo I, o corpo II tem que se manter paralelo, ou seja 1 2 . A

nova posição do 13CIR define o deslocamento de um dos pontos do corpo III. Assim pode

determinar-se o 3 da relação

1 35 3 . Nota-se que as relações são iguais como no caso

anterior, no entanto a posição dos CIRs não é.

Dois corpos ligados pelas barras paralelas

Problema

Determine a posição dos CIRs e um campo de deslocamentos virtuais

Resolução

1. Separação em corpos

I

II

III

IV

12,CIR

2CIR

I II1CIR

III 3CIR

13CIR

2CIR

3CIR

2CIR

12,CIR

1CIR

13CIR

2CIR

3CIR1

2

3

3

2


2. CIRs

Corpo I tem apoio fixo que define o CIR absoluto neste lugar

Corpo II tem apoio móvel que define o CIR algures na recta perpendicular ao movimento

As rótulas internas correspondem aos CIRs relativos

O segundo teorema indica que o CIR12 está no infinito na direcção das barras rotuladas

O CIR2 pode determinar-se do primeiro teorema

Os corpos I e II vão rodar pelo mesmo ângulo no mesmo sentido.

Não é necessário, mas há possibilidade de encontrar os CIRs das barras paralelas, usando o

primeiro teorema.

I

II

III

IV1CIR

2CIR

13CIR23CIR

14CIR24CIR

III

III

IV1CIR

2CIR

13CIR23CIR

14CIR24CIR

12CIR

12CIR 12,CIR

III

III

IV1CIR

2CIR

13CIR23CIR

14CIR24CIR

12CIR

12CIR 12,CIR

III

III

IV1CIR

2CIR

13CIR23CIR

14CIR24CIR

4CIR

3CIR


Para determinar um dos campos de deslocamentos virtuais, começa-se por rodar o corpo I

(setas azuis). A rotação do corpo II é igual (setas vermelhas). Isso define a posição das rótulas e

conseguintemente a posição dos corpos III (violeto) e IV (verde). A relação entre os ângulos

poderá ser determinada usando os CIRs absolutos dos corpos III e IV.

Na projecção confirma-se que as barras que ligam os dois corpos não são paralelas na posição

deformada, porque são de comprimentos diferentes. O esboço serviria para determinar a

relação entre os ângulos, excepto dos corpos I e II, para os quais já foi determinado que rodam

pelos mesmos ângulos. Por esta razão as projecções destes corpos na posição deformada são

paralelos.

Dois corpos ligados pelas barras não-paralelas

Problema

Determine a posição dos CIRs e um campo de deslocamentos virtuais

Resolução

1. Separação em corpos

1CIR

2CIR

13CIR23CIR

14CIR

24CIR

4CIR

3CIR

I

II

III

IV


2. CIRs

Corpo I tem apoio fixo que define neste lugar o CIR absoluto

Corpo II tem apoio móvel que define o CIR algures na recta perpendicular ao movimento

As rótulas internas correspondem aos CIRs relativos

O segundo teorema permite determinar o CIR12

O CIR2 pode determinar-se do primeiro teorema

Neste caso, por coincidência, o CIR do corpo II coincide com o apoio. Não é necessário, mas há

possibilidade de encontrar os CIRs das barras que ligam os dois corpos, usando o primeiro

teorema.

I

II

III

IV1CIR

2CIR

13CIR

23CIR

14CIR24CIR

1CIR

2CIR

13CIR

23CIR

14CIR24CIR

12CIR

1CIR

2CIR

13CIR

23CIR

14CIR24CIR

12CIR

1CIR

2CIR

13CIR

23CIR

14CIR24CIR

12CIR

3CIR4CIR


A relação entre os ângulos será determinada apenas na projecção.

Os casos anteriores são importantes para perceber a resolução dos esforços internos das

treliças. Ver-se-á em seguida que neste caso a treliça separar-se-á em geral em dois corpos

grandes de formas irregulares e as ligações entre eles será efectuadas via rótula interna ou via

barras rotuladas, dependendo da estrutura e do esforço axial solicitado.

Treliças

Uma treliça é composta pelas barras rotuladas sem carga aplicada ao longo do comprimento

das barras. Assim, cada barra suporta apenas o esforço axial actuante na direcção da barra.

Para calcular este esforço numa das barras, pode proceder-se como no cálculo das reacções

internas, ou seja, visto a barra ter um esforço, retira um grau de liberdade e por isso quando

sujeita à libertação, tem que se remover por completo e substituir pelo esforço axial incógnito

na direcção da barra. Este esforço introduz-se na sua actuação positiva.

Durante o cálculo, na parte de identificação dos corpos rígidos, cada conjunto de 3 barras

rotuladas pode substitui-se por um corpo rígido, porque esta configuração não permite

rotação relativa das barras. Isso pode justificar-se na figura seguinte.

Assuma 3 barras rotuladas apoiadas pelo apoio

fixo, como na figura ao lado. É fácil de verificar

que este conjunto compõe um mecanismo com

1GDL.

A determinação dos CIRs visualiza-se na figura

seguinte. Marcando as posições conhecidas, pode

concluir-se do primeiro teorema que também o

CIR do corpo II está localizado no apoio fixo. Em

consequência, as 3 barras rodam em torno do

mesmo ponto pelo mesmo ângulo e por isso têm

comportamento de um único corpo rígido.

1CIR

2CIR

13CIR

23CIR

14CIR24CIR

12CIR

3CIR4CIR

1 3CIR CIR

23CIR

12CIR

I

II

III


Problema

Determine o esforço normal das barras CD e DJ.

Resolução

Esforço CD

1. Libertação e a introdução do esforço que se pretende calcular

2. Identificação dos corpos e a determinação dos CIRs

Foi justificado acima que cada três barras (corpos) rotuladas forma um corpo rígido. Por esta

razão todas as partes de treliça que são formadas pelos triângulos adjacentes formam um

único corpo.

O CIR2 pode determinar-se usando o primeiro teorema

3. A relação entre os ângulos de rotação

Esta relação é mais fácil determinar em projecção

b

kNp

a a a a a a

kNq

b

kNp

a a a a a a

kNq

CDN CDN

CDNCDN

I II

2CIR1CIR

12CIR

CDNCDN

I II

2CIR

1CIR

12CIR

CDNCDN

I II

2CIR

1CIR

12CIR

b


Das relações geométricas vê-se imediatamente que os ângulos de rotação são iguais, mas

opostos. Da semelhança de triângulo determina-se a posição do CIR2, tal como indica a figura

acima.

4. Trabalho virtual

Usando as regras de determinação, basta exprimir os momentos das forças em torno dos

respectivos CIRs.

2 02

CD CD

qa pbqa pb N b N

b

Esforço DJ

1. Libertação e a introdução do esforço que se pretende calcular

2. Identificação dos corpos e a determinação dos CIRs

O CIR2 pode determinar-se usando o primeiro teorema

Mas isso não é suficiente para identificar o movimento do mecanismo

Aplicando o segundo teorema

b

kNp

a a a a a a

kNq

DJN

DJN

I II

2CIR1CIR

12CIR

III IV

13CIR 34CIR24CIR

2CIR

I II

1CIR

12CIR

III IV

13CIR 34CIR24CIR

2CIR

I II

1CIR

12CIR

III IV

13CIR 34CIR24CIR

23CIR

23CIR


encontra-se o CIR23 na intersecção da recta que une CIR12 e CIR13 e da recta que une CIR34 e

CIR24. Verifica-se que o CIR23 coincide com CIR13. Analogamente CIR24 coincide com o CIR14.

Agora é fácil aplicar o primeiro teorema

e confirmar que também o CIR3 está no mesmo sítio. Analogamente o CIR4 coincide com CIR14.

Isso fixa os corpos I e II e o único movimento verifica-se nos corpos III e IV.

3. A relação entre os ângulos de rotação

Esta relação é mais fácil determinar em projecção

Das relações geométricas vê-se imediatamente que os ângulos de rotação são iguais, mas

opostos. No entanto as forças de carga actuam somente nos corpos I e II que não sofrem

movimento e por isso não realizam trabalho. Por isso o esforço na barra é nulo. Na Estática

esta dedução fez –se imediatamente do equilíbrio no nó D.

2CIR

I II

1CIR

12CIR

III IV

13 23CIR CIR34CIR 24 14CIR CIR

2CIR

I II

1CIR

12CIR

III IV

13 23CIR CIR34CIR 24 14CIR CIR

3CIR

3CIR

,I fixo ,II fixo

12CIR

III IV

3CIR34CIR

4CIR

,I fixo ,II fixo

12CIR

III IV

3CIR34CIR

4CIR


4. Trabalho virtual

0 0DJ DJN a N

Corpos que envolvem partes que se comportam como placas rígidas

Problema

a) Confirme que a estrutura em baixo representa um mecanismo com 1 grau de liberdade

b) Determine os CIRs e uma possível posição deformada (um campo de deslocamentos

virtuais)

Resolução

a) Estática

b)

1. Separação em corpos; as 3 barras rotuladas podem considerar-se como um único corpo

2. CIRs

Os 3 corpos são ligados pelas rótulas internas que formam os CIRs relativos

Corpo I tem apoio fixo que define o CIR absoluto neste lugar

Corpo III tem encastramento deslizante que define o CIR no infinito na recta perpendicular ao

movimento

I IIIII

I IIIII

1CIR

12CIR 23CIR

3,CIR

A

C D

EF

B


Usando o primeiro teorema pode encontrar-se o CIR do corpo II

3. Determinação do deslocamento virtual: começa-se por arbitrar uma das rotações, por

exemplo do corpo I, depois as restantes rotações são dependentes da arbitrada.

I IIIII

BV

12CIR23CIR

3,CIR

2CIR

1CIR

12CIR

23CIR

3,CIR

2CIR

1

1

B BC

C

2

DD

2

2

F FE

E

Documents

Estruturas reticuladas simples Problema · Para terminar o problema é possível verificar o equilibro global tal como na Estática. Problema Para a viga em baixo calcule a reacção