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São Paulo 2017
AILTON DIAS DA CRUZ
ESTUDO REFERENTE AO DIMENSIONAMENTO DE VIGAS ISOSTÁTICAS DE CONCRETO ARMADO
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA PARA O DIMENSIONAMENTO DE VIGAS ISOSTÁTICAS DE CONCRETO ARMADO, SEGUNDO
AS LITERATURAS E NBR 6118/14
Cidade Ano
ESTUDO REFERENTE AO DIMENSIONAMENTO DE VIGAS ISOSTÁTICAS DE CONCRETO ARMADO
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA PARA O DIMENSIONAMENTO DE VIGAS ISOSTÁTICAS DE CONCRETO ARMADO, SEGUNDO
AS LITERATURAS E NBR 6118/14
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à Instituição Anhanguera (Campus Marte), como requisito parcial para obtenção do título de graduado em Engenharia Civil.
Orientador: Professora Nelma Almeida Cunha
AILTON DIAS DA CRUZ
São Paulo
2017
AILTON DIAS DA CRUZ
ESTUDO REFERENTE AO DIMENSIONAMENTO DE VIGAS ISOSTÁTICAS DE CONCRETO ARMADO
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA PARA O DIMENSIONAMENTO DE VIGAS ISOSTÁTICAS DE CONCRETO ARMADO, SEGUNDO
AS LITERATURAS E NBR 6118/14
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à Instituição Anhanguera (Campus Marte), como requisito parcial para obtenção do título de graduado em Engenharia Civil.
Orientador: Professora Nelma Almeida Cunha
BANCA EXAMINADORA
Prof (ª) Eng.ª Tiely Zurlo Mognhol
Prof.(ª). Eng.ª Nelma Almeida Cunha
Prof (ª) Eng.ª Christiane Maria Helena Alletti
São Paulo, 20 de Novembro de 2017.
Dedico este trabalho aos meus pais
Alfredo e Maria, por me incentivarem a
estudar e me criarem com muito amor e
carinho.
AGRADECIMENTOS
A Deus, pela oportunidade de viver.
A Santo Expedito e à Nossa Senhora Aparecida que me guiaram
espiritualmente durante o curso.
Meu amigo Paulo Aparecido dos Santos, que me inspirou com sua história de
vida e assim, me incentivou para sempre seguir adiante com o curso.
À minha namorada e futura esposa Aliny Dantas, pela compreensão nos
momentos em que tive que dedicar tempo aos estudos.
À Professora e orientadora Nelma Almeida da Cunha, que me auxiliou no
direcionamento do trabalho.
Ao meu chefe, Eng.º Darci Noboro Inonhe, pela compreensão e auxílio durante
o curso.
Especialmente, aos meus amigos: Alexandre Bettiol, Eraldo dos Santos, Haline
Brasil, Jose Mateus e Rafael Correa, pela amizade, pelos estudos durante inúmeros
finais de semana, pela parceria durante o curso e pela seriedade nos projetos
desenvolvidos em grupo.
DIAS DA CRUZ, Ailton. Estudo referente ao dimensionamento de vigas isostáticas de concreto armado: Revisão bibliográfica para o dimensionamento de vigas isostáticas de concreto armado, segundo as Literaturas e NBR 6118/2014. 2017. 54 páginas. Trabalho de Conclusão de Curso de Engenharia Civil – Universidade Anhanguera, São Paulo, 2017.
RESUMO
O trabalho tem como objetivo geral auxiliar os Engenheiros Civis recém-formados, sem experiência e que muitas vezes encontram dificuldades no campo de trabalho quanto ao dimensionamento de vigas isostáticas de concreto armado. Será demonstrada uma revisão dos principais conceitos, através de um levantamento bibliográfico, contendo estudos sobre o funcionamento do concreto armado dentro de uma viga, onde foi verificado que embora sejam materiais diferentes, trabalham como se fosse apenas um material, o efeito da aderência mediante ao carregamento, demonstrando os estádios conforme o aumento da carga, domínios de deformação, que representam as diversas formas de ruína da seção da viga, que permitiu verificar a melhor condição para o aproveitamento dos materiais (concreto e aço), os modelos de cálculo, com fórmulas disponibilizadas pela literatura bem como as fórmulas aprimoradas na NBR 6118/2014, onde se encontra o roteiro para o dimensionamento à cortante, utilizando-se o modelo de cálculo 1, que assume que as fissuras se apresentam em 45° na seção transversal das vigas.
Palavras-chave: Aderência; Domínios; Flexão; Cisalhamento; Dimensionamento.
.
DIAS DA CRUZ, Ailton. Study on the dimensioning of reinforced concrete beams: bibliographical review for the size of isostic beams of armed concrete, like
literatures and nbr 6118/14. 54 pages. Completion of course work– Anhanguera University, São Paulo, 2017.
ABSTRACT
The general objective of the work is to assist the newly formed Civil Engineers, who are inexperienced and who often encounter difficulties in the field of work in the dimensioning of isostatic reinforced concrete beams. It will be demonstrated a review of the main concepts, through a bibliographical survey, containing studies on the operation of reinforced concrete inside a beam, where it was verified that although they are different materials, they work as if it were just a material, the effect of the adhesion through loading, showing the stages according to the increase of load, areas of deformation, representing the various forms of ruin of the section of the beam, which allowed to verify the best condition for the use of the materials (concrete and steel), the calculation models, with formulas provided by the literature as well as the improved formulas in NBR 6118/2014, where the roadmap for shear design is found, using the calculation model 1, which assumes that the cracks appear at 45 ° in the cross section of the beams .
Key-words: Adherence; Domains; Flexion; Shear; Sizing.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura 1- Variação de tensões na armadura de tração ............................................. 16 Figura 2- Desenvolvimento das tensões σₑ, σb e 1ד em um prisma de concreto armado fissurado (Estádio II), submetido à tração centrada ..................................... 16
Figura 3- Variação das tensões σₑ, σb e ד 1 ............................................................. 19 Figura 4- Os tipos de esforços nas estruturas ........................................................... 20 Figura 5- Viga Isostática ............................................................................................ 21 Figura 6- Aumento de carga, submetendo a viga ao estádio II e cortes das respectivas tensões transversais .............................................................................. 22 Figura 7- Aumento de carga, submetendo a viga a fissurar deste a aplicação das cargas pontuais até os apoios e cortes das respectivas tensões transversais ......... 22
Figura 8-Trajetória das tensões principais de uma viga ............................................ 24 Figura 9-Diagrama simplificado de tensão- deformação do aço ............................... 25 Figura 10- Diagrama Tensão- Deformação para aços de armaduras passivas ........ 26 Figura 11- Diagrama tensão- deformação idealizado ................................................ 27
Figura 12 - Diagrama efeito Rüsch ............................................................................ 28
Figura 13- Diagrama de deformação 𝜺 proporcional à distância das seções em relação à Linha Neutra .............................................................................................. 29
Figura 14- Valores de deformação para 𝛆𝐬 𝐞 𝛆𝐜 ........................................................ 31 Figura 15 - Diagrama prático de distribuição das tensões na seção comprimida ..... 32
Figura 16- Diagrama domínios .................................................................................. 33 Figura 17- Reta a: Seção completamente tracionada, sem cortar a Linha Neutra .... 33
Figura 18- Domínio 1: Seções tracionadas, com aproveitamento máximo da tração do aço, sem ultrapassar a linha neutra e, portanto, sem a participação do concreto 34
Figura 19- Domínio 2: Seções comprimidas e tracionadas, com aproveitamento máximo da tração do aço e variação da compressão do concreto ............................ 34
Figura 20- Domínio 3: Seções comprimidas e tracionadas, com aproveitamento máximo da tração do aço e da compressão do concreto .......................................... 35 Figura 21- Domínio 4: Seção comprimida com deformação máxima, seção tracionada com magnitude proporcional ao início do escoamento do aço ................ 35
PRINCIPAIS INDICAÇÕES
Єbz- Deformação do concreto à tração
P- Carga/Peso
Zₑ- Tração no aço
Fₑ- Seção transversal da armadura
Fyd – Resistência de cálculo do aço
Fyk – Resistência característica do aço
єₑₒ- Deformação do aço à tração
E- Módulo de elasticidade
GPa – Giga Pascal
σₑ- Tensão no aço
Zƅ- Tensão no concreto
Tensão de aderência -1ד
β ד 1- Resistência de aderência entre o aço e o concreto
σb- Tensão no concreto
βbZ- Resistência a tração do concreto
Zb,r- Força de tração através de fissuração
Fbn’- Resistência à tração através da fissuração
Q- Força cortante
γm – Coeficiente de ponderador do aço
FbD- Zona de compressão de concreto
σc= Tensão de compressão aplicada;
fcd= Tensão de cálculo (80 % da resistência à compressão);
εc2= Deformação específica de encurtamento do concreto;
εcu= Deformação específica de encurtamento do concreto na ruptura;
γc= Coeficiente ponderador do concreto
fcm = Resistência do concreto à ruptura
fck = Resistência característica do concreto à compressão
fcd = Resistência de cálculo do concreto à compressão
h = Altura da viga;
d= altura últil da viga (altura da primeira seção comprimida até o eixo da barra de
aço da armadura de tração);
LN= Linha Neutra;
C.G.= Centro de gravidade;
Nu= Eixo da seção transversal (momento nulo);
Mu= Momento da seção transversal, gerado pela força de compressão;
εs= Deformação máxima do aço à tração.
𝜎𝑠= Tensão no aço
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ................................................................................................... 11
1.1 JUSTIFICATIVA ................................................................................................ 12
1.2 OBJETIVO GERAL ........................................................................................... 12
1.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS .............................................................................. 12
2. METODOLOGIA ................................................................................................ 13
3. CONCEITOS DE ADERÊNCIA .......................................................................... 14
3.1. VIGAS ISOSTÁTICAS SUBMETIDAS À FLEXÃO E À FORÇA CORTANTE .. 20
3.2. APROFUNDAMENTO SOBRE OS CONCEITOS DE TRAÇÃO E CISALHAMENTO EM VIGAS ISOSTÁTICAS .......................................................... 22
4. DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO ........................................................................ 32
5. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO .................................................................... 36
6. DIMENSIONAMENTO À CORTANTE ............................................................... 39
CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................................... 44
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 46
ANEXOS ................................................................................................................... 48
11
1. INTRODUÇÃO
Com o passar dos anos o aprofundamento dos estudos permitiu que os
elementos estruturais de concreto armado ficassem mais esbeltos, respeitando as
características necessárias para o funcionamento do sistema estrutural e
consequentemente reduzindo os custos com material. Essas reduções nas
dimensões dos elementos estruturais de concreto armado podem ser percebidas,
intuitivamente, ao se observar e comparar as construções antigas (edifícios, pontes
e residências), como as do centro de São Paulo, que contém pilares robustos e
vigas com dimensões exageradamente superiores ao necessário, com as
construções atuais. Diante dessa evolução que aliou a otimização de tempo com a
estética e o custo, passou-se a ser fundamental que o Engenheiro Civil tivesse
conhecimento dos principais conceitos quanto ao combate aos esforços solicitantes
oriundos das cargas aplicadas nas vigas de concreto armado, de forma a estar
preparado tecnicamente, assim, oferecendo ao seu contratante a melhor solução
mesclada ao menor custo.
Este trabalho faz uma revisão bibliográfica utilizando as Literaturas Clássicas,
de autores renomados, sobre o comportamento de vigas isostáticas de concreto
armado, compreendendo os conceitos básicos do funcionamento do concreto e do
aço na peça bem como os critérios a serem seguidos para o dimensionamento.
O tema foi escolhido para auxiliar o recém- formado, que, com sua falta de
experiência, sofrerá impacto quando for solicitado para o dimensionamento de vigas
isostáticas, sem ajuda de software, o que muitas vezes acontece em campo, na
obra, fora do escritório, longe do computador, com o Contratante precisando de uma
rápida resposta, ou para a verificação de uma mudança no projeto, verificação de
custo ou alteração quanto à ocupação de uma laje, o que fatalmente mudará o
projeto estrutural, consequentemente alterando as dimensões das vigas de concreto
armado.
Portanto, é necessário que o recém- formado esteja preparado para
dimensionar essas vigas de forma precisa, sem medo, sem dúvida, utilizando os
conceitos que serão revisados nesse trabalho.
12
1.1 JUSTIFICATIVA
A importância deste trabalho é despertar a sagacidade no recém- formado
fazendo com que ele possa revisar o que já aprendeu durante o curso e consiga
desenvolver em campo, diante de situações as quais terá de utilizar desses
conhecimentos. Este trabalho conta, além dos conceitos básicos, segundo as
Literaturas, com a demonstração dos critérios para o dimensionamento de vigas de
concreto armado conforme a NBR 6118/2014, onde existem formulas e coeficientes
para a praticidade dos cálculos, além de ser a norma vigente para esta atividade.
Os avanços tecnológicos permitem que o Engenheiro Civil tenha a
comodidade de obter dimensões precisas de vigas de concreto armado mediante
algumas informações básicas que ele próprio transmite a um software, assim,
conseguindo de forma rápida e automática o dimensionamento das peças.
Alguns profissionais, principalmente nos recém- formados, acabam deixando
de se interessar pelos princípios básicos que compõem o dimensionamento de vigas
de concreto armado, fazendo-o de forma automatizada e não sabendo lidar
diretamente em situações de manifestações de comportamentos inadequados,
percebidos a olho nu, como fissuras, trincas ou torção, e situações onde se
necessita calcular rapidamente as dimensões de vigas de concreto armado,
isostáticas, para a verificação de um orçamento ou de uma sobrecarga no projeto
(mudança de finalidade do uso).
1.2 OBJETIVO GERAL
O trabalho tem como objetivo específico revisar os critérios para o
dimensionamento estrutural de vigas isostáticas de concreto armado, partindo dos
conceitos básicos, segundo as Literaturas Clássicas.
1.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Os objetivos específicos são:
13
a) Revisar os conceitos de aderência e ancoragem, que permitem ao concreto
e o aço trabalharem como se fossem um só material;
b) Compreender os efeitos de tração e cisalhamento, oriundos da flexão e
força cortante, respectivamente;
c) Descrever os conceitos de domínios;
d) Discutir como a NBR 6118/14 aprimorou as diretrizes encontradas na
Literatura.
2. METODOLOGIA
Quanto à metodologia, foram estudados e apresentados os principais
conceitos teóricos pesquisados e interpretados conforme as evoluções bibliográficas.
Inicialmente, foram compreendidos os conceitos sobre aderência, desencadeando a
compreensão sobre ancoragem, onde foram utilizados como material de consulta a
Literatura Clássica, escritas por Leonhardt, Monnig (2008) e Botelho (2013). Foi
realizada revisão dos fenômenos físicos que se apresentam internamente nas vigas,
como as tensões de tração e compressão, que resultam em ações que originam os
comportamentos a serem combatidos. Para tanto, foi apresentado um conteúdo
explicativo, utilizando novamente a Literatura Clássica Leonhardt e Monnig (2008) e
Botelho (2013), além de notas de aula e materiais disponíveis na internet, para
consulta, como Almeida (2002) e Bastos (2008), onde o conteúdo apresentado
explorou as bases teóricas e mostrou os motivos pelos quais as vigas possuem
“reações internas”, e o argumento é que essas reações internas são o princípio de
todos os comportamentos subsequentes. Utilizando mais uma vez a Literatura
Clássica, como Rüsch (1981), foram revistos e compreendidos os conceitos de
deformação do aço e do concreto, bem como foram explicados à respeito da
minoração da resistência desses materiais, utilizando notas de aula, apostilas e
outros materiais disponíveis na internet, como: Fernandes (2006), Almeida (2006),
Bastos (2006), Araújo (2001), Pinheiro, Muzardo e Santos (2003), além da NBR
6118/2014 que traz a simplificação desses conceitos de tensão e deformação,
inclusive, os valores dos coeficientes de minoração. Foram ainda discutidos os
domínios 2 e 3, onde se verificou o aproveitamento dos materiais e abordou-se o
conceito de Linha Neutra, utilizando da NBR 6118/2014, notas de aula de Melges
14
(2002) e Bastos (2006) como principais fontes de pesquisa. Ao final do trabalho,
novamente utilizou-se a NBR 6118/2014 para a compreensão do dimensionamento
de vigas de concreto armado, utilizando suas equações básicas e as estudando de
forma a concluir o raciocínio desta Revisão de Literatura.
3. CONCEITOS DE ADERÊNCIA
A aderência permite que concreto e aço trabalhem em harmonia, ou seja, o
conceito de concreto armado é funcional quando os dois materiais trabalham de
forma a se complementarem. O concreto fissura quando submetido às tensões de
tração uma vez que seu módulo de deformação a esta tensão é pequeno, com valor
aproximado de 0,15 a 0,25.10-³. Portanto, nas vigas de concreto armado o aço
trabalha auxiliando o concreto, absorvendo as tensões de tração e assim minorando
a tendência de rompimento por alongamento. O conceito de aderência é distinguido
em dois Estádios: Estádio I, onde até determinado carregamento, o concreto
consegue se alongar e garantir a absorção da tração a qual está sendo submetido e
Estádio II, onde a tensão de tração é aumentada, logo, aumentam-se as fissuras no
concreto e a armadura passa a absorver, sozinha, a tensão de tração (LEONHARDT
e MÖNNIG, 2008).
Aprofundando o conceito de aderência, segundo Leonhardt e Mönnig (2008),
a figura 1 demonstra uma barra de concreto armado, solicitada nas extremidades da
barra de aço no eixo da peça de concreto, pelas forças de tração P. A força de
tração no aço é representada por Zₑ. Portanto, a força de tração no concreto possui
a mesma magnitude que a força de tração do aço.
Segundo Leonhardt e Mönnig (2008), a razão entre a força de tração e a
seção transversal na armadura longitudinal resulta na tensão no aço, portanto:
σₑₒ= Zₑ/Fₑ. equação (1)
Onde:
σₑₒ= Tensão do aço;
Zₑ= Força de tração;
15
Fₑ.= Seção transversal da armadura.
O alongamento correspondente é:
єₑₒ= σₑₒ/E equação (2)
Onde:
єₑₒ= Alongamento/deformação do aço;
σₑₒ= Tensão do aço;
E= Módulo de elasticidade do aço.
Como já dito anteriormente, até determinado carregamento, a aderência
permite que a deformação trassiva do concreto tenha um módulo compatível para
absorver as tensões de tração, conforme mostrado na figura 2, entre os
comprimentos ℓₑ. Essa condição faz com que σₑ e єₑ diminuam, devido à
contribuição do concreto, apresentando uma força de tração Zƅ com σₑ e єₑ
correspondentes.
Portanto, em certo comprimento ℓₑ de introdução de carga os alongamentos,
ou seja, as deformações dos dois materiais (concreto e aço) são iguais
(LEONHARDT E MÖNNIG, 2008).
As tensões de aderência são representadas por 1ד e estão dispostas na
superfície da armadura ao longo dos comprimentos ℓₑ, e suas variações não são
conhecidas exatamente.
Dentro dessa condição exposta na figura 2, tem-se ainda a representação do
gráfico das tensões de aderência, onde a mesma cresce rapidamente a partir do
início do comprimento ℓₑ, atingindo seu módulo máximo de resistência β ד 1 mediante
valores elevados de σₑ.
Quando σₑ e σb não mais variam (entre os comprimentos ℓₑ do gráfico de 1ד)
a tensão de aderência não mais atua. Portanto, ambos os materiais comportam-se
de forma elástica até certo valor de carga, gerando tensões baixas σb <βbZ,
resultando no Estádio I (LEONHARDT E MÖNNIG, 2008).
16
Figura 1- Variação de tensões na armadura de tração
Fonte: Leonhardt e Mönnig, (2008, p. 46).
Variação de tensões na armadura de tração, compressão do concreto e de
aderência entre o concreto e o aço em um prisma de concreto armado não fissurado
(Estádio I), submetido à tração centrada. Segundo Leonhardt e Mönnig (2008),
quanto ao Estádio II é caracterizado pela apresentação de fissuras em um ponto
fraco da estrutura do concreto. Segundo Leonhardt (2008), isso ocorre devido ao
aumento do carregamento, que faz com que a tensão de tração do concreto seja
superior ao seu módulo de resistência à tração, ou seja: P/Fі ≥ βbZ. O exemplo será
mostrado na figura 3, a seguir:
Figura 2- Desenvolvimento das tensões σₑ, σb e 1ד em um prisma de concreto
armado fissurado (Estádio II), submetido à tração centrada
Fonte: Leonhardt e Mönnig (2008, p.47)
17
No estádio II, a fissuração faz com que a barra de aço absorva as forças de
tração, portanto:
Zb,r = βbZ.Fbn’, equação (3)
Onde:
Zb,r= Força de tração através de fissuração;
βbZ= Resistência a tração do concreto;
Fbn= Resistência à tração através da fissuração
Portanto, a tensão do aço cresce repentinamente para:
σₑₒ= P/Fₑ equação (4)
Onde:
σₑₒ= Tensão no aço;
P= Força;
Fₑ= Seção transversal da armadura
É possível verificar que o conceito de aderência manifesta-se na fissura
através de curvas distribuídas sobre outros comprimentos de introdução de carga ℓₑ,
onde atuarão tensões de aderência 1ד, as quais, porém, mudam de direção e de
sinal na fissura (LEONHARDT E MÖNNIG, 2008).
De acordo com Leonhardt e Mönnig (2008), conforme o crescimento da carga,
outras fissuras aparecem, com distâncias determinadas em função das
características de aderência, visto que, após uma fissura, surge um comprimento de
introdução de carga necessário para transmitir o esforço de tração Zb,r capaz de
causar nova fissuração.
Segundo Leonhardt e Mönnig (2008), quando há o carregamento de uma
viga, o concreto na zona tracionada fica solicitado, enquanto a tensão no bordo σbZ
não atinge a resistência à tração oriunda da flexão, ou seja, σbZ < βbZ, portanto,
nessas condições tem-se a viga de concreto armado trabalhando no Estádio I, onde
também tem-se a condição onde as deformações do concreto e é equivalente à
18
deformação do aço, ou seja, os dois elementos submetidos a determinado
carregamento, são iguais.
À medida que aumenta o momento fletor, aumentarão também as tensões no
aço e no concreto. Tensões de aderência surgem, visto que haverá a ação conjunta
do concreto e do aço, no instante em que ambos os materiais são exigidos para
trabalharem como se fossem um só. As tensões de aderência principais estarão
diretamente relacionadas com a força cortante, Q, a qual será revista no decorrer
deste trabalho (LEONHARD e MÖNNING, 2008).
Segundo Leonhard e Mönning (2008), quanto ao estádio II, ocorrerá fissura
de flexão na região de maior momento. Portanto, a seção efetiva é constituída
apenas pela zona de compressão FbD e pelas barras de aço, conforme exposto na
figura 3, a seguir.
20
Variação das tensões σₑ, σb e 1ד, em uma viga de concreto armado, nos
estádios I e II.
3.1. VIGAS ISOSTÁTICAS SUBMETIDAS À FLEXÃO E À FORÇA CORTANTE
De acordo com Botelho (2013) e Hibbeller (2007), as tensões de
cisalhamento, também conhecidas como tangenciais, ocorrem nas estruturas que
sofrem flexão, e seus valores dependem da seção e de cada ponto nessa sessão.
Essas tensões variam inversamente às de compressão e tração. São máximas no
centro e nulas nas bordas da seção.
Quanto à flexão, Botelho define que as forças que atuam no plano, que
contém um eixo de uma barra que vence um vão, definem o momento fletor.
Figura 4- Os tipos de esforços nas estruturas
Fonte: Botelho (2013, p.13)
De acordo com Leonhardt e Mönnig (2008), para vigas bi apoiadas,
devidamente constituídas de barras de aço para o combate aos esforços de tração,
oriundos da flexão e estribos, que fazem o combate ao cisalhamento, oriundo da
força cortante, tem-se que comportar-se-ão de maneira que, quando submetidas a
um carregamento pontual, simétrico, porém com valor pequeno de carga, haverá
absorção da tensão pelo concreto, portanto, o concreto será capaz de resistir à
21
tensão de tração conforme a respectiva deformação. Nessa configuração, a viga
estará trabalhando no Estádio 1. As trajetórias das linhas das tensões principais de
tração e compressão serão mostradas na figura 5. A figura 6 mostra que, conforme o
aumento da carga aumenta-se as tensões, tanto de tração quanto de compressão,
e, desta forma, o concreto não absorverá as tensões de tração. A viga será fissurada
e através das fissuras as tensões de tração serão transmitidas para o aço,
caracterizando o trabalho da viga no Estádio II, conforme já explicado no item
anterior. As fissuras surgirão entre as cargas pontuais, enquanto entre as cargas
pontuais e o apoio não haverá fissuras, portanto, o trecho encontra-se no Estádio 1.
Entretanto, se aumentar o valor da carga, o trecho entre o apoio e a carga pontual
também será fissurado, e as fissuras se apresentarão inclinadas e aproximadamente
perpendiculares à direção das tensões principais de tração, conforme a figura 7. A
região do apoio é isenta de fissuras até a ocorrência de ruptura.
Figura 5- Viga Isostática
Fonte: Leonhardt e Mönnig (2008,p.64)
Viga Isostática, contendo armaduras para combate à tração e ao
cisalhamento e trajetórias das linhas das tensões principais.
22
Figura 6- Aumento de carga, submetendo a viga ao estádio II e cortes das respectivas tensões transversais
Fonte: Leonhardt e Monnig (2008, p.64)
Figura 7- Aumento de carga, submetendo a viga a fissurar deste a aplicação das
cargas pontuais até os apoios e cortes das respectivas tensões transversais
Fonte: Leonhardt e Monnig (2008, p.64)
3.2. APROFUNDAMENTO SOBRE OS CONCEITOS DE TRAÇÃO E
CISALHAMENTO EM VIGAS ISOSTÁTICAS
Diante das condições estabelecidas para a caracterização dos Estádios (I e
II), no Estádio 1, a Lei de Hooke prevalece devido à máxima tensão de compressão
23
(σc) não exigir o estágio de compressão plástica dos materiais, desta forma, não
haverá surgimento de fissuras (LEONHARDT E MÖNNIG, 2008).
A trajetória das tensões de compressão e tração se apresentem de forma
paralela ao eixo longitudinal da viga, no trecho de flexão pura, o que se justifica pelo
fato da resistência à tração do concreto estar absorvendo a tensão de tração de
forma que seu módulo de elasticidade seja compatível com as solicitações
(LEONHARDT E MÖNNIG, 2008).
Nos demais trechos, as trajetórias das tensões de compressão e tração
apresentar-se-ão de forma quase perpendicular em relação ao eixo longitudinal
devido a influência dos esforços cortantes. Já no Estádio II, surgirão as primeiras
fissuras de flexão no trecho de máximo momento fletor, devido ao concreto atingir
seu estágio plástico e assim, não mais absorvendo a tensão de tração a qual está
sendo submetido (LEONHARDT E MÖNNIG, 2008).
A direção das fissuras encontrar-se-ão perpendiculares às trajetórias das
tensões de tração e compressão, logo, haverão tensões verticais no trecho de flexão
pura (onde não há carregamento pontual) bem como fissuras inclinadas nos demais
trechos, dessa forma, fazendo jus ao conceito abordado neste parágrafo
(LEONHARDT E MÖNNIG, 2008).
Quanto ao ângulo de inclinação das tensões principais, será 45º (na altura da
linha neutra) em relação ao eixo longitudinal, no Estádio I, enquanto que nas regiões
próximas aos apoios, as trajetórias das tensões principais ficarão inclinadas, devido
influência das forças cortantes, entretanto, haverá a manutenção da
perpendicularidade entre as trajetórias (BASTOS; LEONHARDT; MÖNNING, 2008).
BASTOS (2008), sugere que as fissuras inclinadas seja, chamadas de
“fissuras de flexão com cortante”, uma vez que essas fissuras são oriundas das
forças cortantes agindo em conjunto com os momentos fletores. (LEONHARD,
2008), na Literatura Clássica, batizou as fissuras de “fissuras de cisalhamento”.
24
Figura 8-Trajetória das tensões principais de uma viga
Fonte: Leonhardt e Monnig (2008, p. 69)
Trajetória das tensões principais de uma viga bi apoiada no estádio I sob
carregamento uniformemente distribuído.
De acordo com Almeida (2002), a análise de uma viga de concreto armado
em relação ao Estado Limite Último tem como objetivo averiguar se a peça,
mediante ao carregamento majorado, possui características que a permitem reagir
de forma a combater essas solicitações, considerando sua resistência de cálculo
minorada. O autor, explica que o Estado Limite Último poderá ser atingido na seção
de concreto armado, mediante as seguintes condições:
a) Estado de deformação plástica excessiva: Ocorre quando não há a
quantidade suficiente de aço na seção tracionada, permitindo o escoamento
(deformação plástica) fixado em 1%.
b) Estados de ruptura: Ocorre por esmagamento em peças submetidas à
flexão simples ou flexão composta, que não chegarão ao estágio de plasticidade,
desta forma, havendo compressão do concreto atingindo um módulo de
encurtamento de até 0,35%.
Segundo Fernandes (2006), pode-se adotar o simplificado, onde para aços
que possuam ou não possuam patamar para escoamento, será adotado um
diagrama binário retilíneo, composto pela reta de Hooke além de outra reta, paralela
25
ao eixo que representa as deformações, onde a ordenada significa à resistência
característica, que é denominada com fyk, tratando-se assim da resistência do aço
tanto à tração quanto à compressão. Esse diagrama tem sua utilização indicada pela
NBR 6118/2014, item 8.3.6, que diz que o valor de Fyk é de 0,2%.
Figura 9-Diagrama simplificado de tensão- deformação do aço
Fonte: Fernandes (2006, p. 5); UNICAMP
Segundo Almeida (2006), o alongamento do aço é limitado em 1% na parte
correspondente à tração, portanto, considera-se esse limite de alongamento como o
máximo para a ruptura, ou seja, é limite da deformação plástica excessiva. Quanto à
compressão, considera-se o auxílio do concreto comprimido, onde seu encurtamento
máximo está limitado em 0,35 %, portanto, esse é o módulo de deformação do
concreto comprimido máximo para a ruptura, e consequentemente o limite da
deformação plástica excessiva, o que será considerado para o aço também, já que
entende-se que concreto e aço estarão trabalhando como se fossem apenas um só
material.
Segundo a NBR 6118/2014, para os módulos de elasticidade, na falta de
ensaios, pode-se admitir 210 GPa para aços que compõem a armadura passiva.
Segundo Leonhardt e Moning (2008), o módulo de Elasticidade E para, os
aços aplicados ao concreto, têm valor de 210 GPa, portanto, a deformação do aço
está diretamente relacionada a limitação à magnitude do módulo de elasticidade.
De acordo com Bastos (2006), o diagrama simplificado indicado pela NBR
6118/2014, item 8.3.6, para calcular o combate à tração nos Estados Limites de
26
serviço e último, possui: a resistência característica, representada por fyk bem como
a resistência de cálculo fyd, que trata-se da magnitude do combate ao efeito de
flexão, porém, de forma minorada, ou seja, a resistência real (característica) é
minorada a favor da segurança.
Figura 10- Diagrama Tensão- Deformação para aços de armaduras passivas
Fonte: NBR 6118/2014, p. 29
Onde:
Fyk é a resistência característica do aço;
Fyd é a resistência de calculo do aço.
Segundo a NBR 6118/2014, a diminuição proposita da resistência à tração,
utilizando-se de coeficiente minorador do aço, permite que haja um patamar de
escoamento, como já dito anteriormente, a favor da segurança, ou seja, o
dimensionamento é feito baseando-se em uma resistência menor do que a
declarada pelo aço. Essa minoração é possível através da seguinte equação:
𝐹𝑦𝑑 =𝐹𝑦𝑘
𝛾𝑚 equação (5)
Onde:
Fyd= Resistência de cálculo do aço;
Fyk= Resistência característica do aço;
γm= Coeficiente de minoração, valor de 1,15.
Segundo Fernandes (2006), existem condições para que se distribuam as
tensões nas seções de flexão e compressão, próximo do limite de ruptura, portanto,
serão relevantes características como: a profundidade da Linha Neutra, a velocidade
27
de na qual a carga foi aplicada, o clima (por conta dos efeitos da temperatura), entre
outros.
Portanto, Fernandes (2006) explica que é quase impossível uma distribuição
única de tensões que corresponda exatamente a todas as situações possíveis.
Portanto, mediante ao efeito Rush, que será explicado no próximo tópico, adota-se o
diagrama indicado pela NBR 6118/2014, item 8.2.10.1:
Figura 11- Diagrama tensão- deformação idealizado
Fonte: NBR 6118/2014, p.26
Onde:
σc = Tensão de compressão aplicada;
0,85 fcd= Tensão de cálculo (80 % da resistência à compressão);
εc2= Deformação específica de encurtamento do concreto no início do
patamar plástico, equivalente a 0,02%;
εcu= Deformação específica de encurtamento do concreto na ruptura,
equivalente a 0,35%.
De acordo com a NBR 6118/2014, o valor de fcd é definido pela seguinte
equação:
𝑓𝑐𝑑 =𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐 equação (6)
Onde:
fck= Resistência característica do concreto à compressão
28
γc= Coeficiente ponderador, equivalente às combinações normais, portanto
1,4.
De acordo com Rüsch (1981), o concreto passa por um processo de perda de
resistência sob uma carga de longa duração. Entretanto, o concreto passa por um
processo de ganho de resistência conforme o passar dos dias, o que gerará conflito
entre a perda de resistência causada pela carga de longa duração e o ganho de
resistência proveniente das reações internas do concreto, que aumenta sua
resistência com o passar do tempo.
No ensaio rápido, o concreto é levado à ruína após pouco tempo do início do
carregamento. Entretanto, se houver redução na velocidade da carga, ou seja,
houver um pouco mais de tempo de ensaio, ocorre a diminuição da resistência do
concreto.
Diante dessas condições, a resistência do concreto atinge um valor mínimo,
onde o valor dependerá da idade da aplicação da carga, conforme o diagrama a
seguir (ARAÚJO, 2001):
Figura 12 - Diagrama efeito Rüsch
Fonte: Fernandes (2006, p.13); UNICAMP
Portanto, conforme o diagrama acima, se o corpo de prova, durante o ensaio,
for carregado rapidamente até o ponto A e a tensão do carregamento for mantida
constante, a deformação aumentará de forma que atingirá o limite da resistência à
29
compressão, consequentemente, rompendo o corpo de prova. A tensão de ruptura
será inferior à resistência fcm, a qual obteve-se no ensaio convencional, ou seja, no
ensaio rápido. Se a tensão do carregamento for mantida constante até o ponto B,
porém, aplicada em um maior intervalo de tempo, ocorrerá o aumento das
deformações até a estabilização, sendo que não haverá rompimento do corpo de
prova, uma vez que a tensão de compressão será inferior à tensão de ruptura.
(ARAÚJO, 2001).
Portanto, o projeto deve ser elaborado de forma que seja respeitado o limite
de tensão de compressão aplicado ao concreto, com valor de 80% de sua
resistência fck, representada na NBR 6118/2014 por 0,85 fck, a qual é chamada de
resistência de cálculo fcd. (RÜSCH, 1981 e NBR 6118/2014).
Segundo Almeida (2002), existem condições que determinam as hipóteses de
cálculo no estado limite último de ruptura ou de deformação plástica excessiva, são
elas:
a) Não há deformação das seções transversais mediante o carregamento
que geram as solicitações normais;
As deformações ε das fibras de uma seção trabalham em harmonia em
relação às suas distâncias da Linha Neutra, ou seja, a deformação é proporcional e,
portanto, o diagrama de tensões na seção transversal é retilíneo, conforme mostra o
diagrama a seguir:
Figura 13- Diagrama de deformação 𝜺 proporcional à distância das seções em relação à Linha Neutra
Fonte: Notas de aula (Professor Luiz Carlos de Almeida; UNICAMP, 2002, p.8)
30
O diagrama acima representa a deformação das seções acontecendo
proporcionalmente às suas respectivas distâncias da linha neutra, onde:
h = Altura da viga;
d= altura últil da viga (altura da primeira seção comprimida até o eixo da barra
de aço da armadura de tração);
LN= Linha Neutra;
C. G.= Centro de gravidade;
Nu= Eixo da seção transversal (momento nulo);
Mu= Momento da seção transversal, gerado pela força de compressão;
εcu= Deformação máxima do concreto à compressão;
εs= Deformação máxima do aço à tração.
b) Despreza- se à resistência à tração do concreto;
c) Admite-se aderência perfeita entre o concreto e o aço, portanto,
trabalhando como se fossem apenas um único material;
d) O alongamento máximo específico εs permitido, adotado
convencionalmente, na armadura de tração é de 1%;
e) O encurtamento máximo da seção menos comprimida é de 0,35% e na
borda mais comprimida é 0,20%, com distância fixada a 3/7 da altura total da seção,
conforme o diagrama a seguir;
31
Figura 14- Valores de deformação para 𝛆𝐬 𝐞 𝛆𝐜
Fonte: Notas de aula (Professor Luiz Carlos de Almeida; UNICAMP, 2002, p.9)
f) Segundo Almeida (2002), o carregamento distribuído das tensões na
seção transversal ocorre conforme um diagrama parábola retângulo, tendo como
base o diagrama tensão-deformação simplificado, adotado para o concreto.
Entretanto, permite-se utilizar, no lugar do diagrama, um retângulo de altura 𝑦= 0,8 x,
com uma tensão de 0,85 𝑓𝑐𝑑 (equivalente a 80% da resistência do concreto),
considerando que a partir dessa borda comprimida não ocorra diminuição na largura
da seção medida paralelamente à linha neutra, portanto, representa-se conforme o a
figura a seguir:
32
Figura 15 - Diagrama prático de distribuição das tensões na seção comprimida
Fonte: Notas de aula (Professor Luiz Carlos de Almeida; UNICAMP, 2002, p10)
4. DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO
Segundo Melges (2002), a definição de domínio é o modo como a seção está
se deformando no Estado Limite Último, trabalhando para suportar determinado
carregamento (esforço solicitante). Considerando que há momentos fletores atuando
nas seções, o material deve se deformar e gerar tensões que combatam esses
momentos fletores, de forma a gerarem o equilíbrio estático. Melges explica que
conhecendo como a seção está se deformando é possível determinar o quanto a
seção transversal de concreto armado resiste e ainda calcular a armadura
necessária para combater os esforços de tração, ou compressão (em caso de
armadura dupla).
Existem limitações fixadas pelos domínios, onde cada domínio representa o
comportamento do material de maneira que este esteja se deformando de uma
maneira limitada, ou seja, dentro de uma condição fixada para o Estado Limite
Último (MELGES, 2002).
A NBR 6118/2014 indica o diagrama referente aos domínios.
33
Figura 16- Diagrama domínios
Fonte: NBR 6118/2014, p. 122
O diagrama dos domínios possui as seguintes definições para as retas:
Reta a: Ocorre apenas alongamento, ou seja, tração da seção, pois a linha A
não ultrapassa a Linha Neutra. (MELGES, 2002).
Figura 17- Reta a: Seção completamente tracionada, sem cortar a Linha Neutra
Fonte: Notas de aula (Professor Dr. Paulo Sérgio S. Bastos; UNESP, 2015, p.13)
34
Domínio 1 (reta 1): Ocorre apenas participação da seção alongada, onde há o
aproveitamento do aço, porém, nenhuma participação da zona comprimida
tampouco da Linha Neutra. Isso ocorre quando a força de tração não é aplicada no
centro de gravidade da seção transversal (BASTOS, 2002).
Figura 18- Domínio 1: Seções tracionadas, com aproveitamento máximo da tração do aço, sem ultrapassar a linha neutra e, portanto, sem a participação do concreto
Fonte: Notas de aula (Professor Dr. Paulo Sérgio S. Bastos; UNESP, 2015, p.14)
Domínio 2 (reta 2): A situação é quase ideal, visto que a seção tracionada
encontra-se em 0,01% enquanto a seção comprimida, ou seja, do concreto, varia
entre 0,2% e 0,35%. Portanto, não há o aproveitamento máximo dos materiais
(MELGES, 2002).
Figura 19- Domínio 2: Seções comprimidas e tracionadas, com aproveitamento máximo da tração do aço e variação da compressão do concreto
Fonte: Notas de aula (Professor Dr. Paulo Sérgio S. Bastos; UNESP, 2015, p. 26)
35
Domínio 3 (reta 3): A situação é bastante favorável, ideal, visto que ocorre
participação da zona tracionada e da zona comprimida. A reta ultrapassa a linha
neutra e os dois materiais atingem seus respectivos módulos de deformação
máxima, sendo o aço 0,01% e o concreto 0,35 % (MELGES, 2002).
Figura 20- Domínio 3: Seções comprimidas e tracionadas, com aproveitamento máximo da tração do aço e da compressão do concreto
Fonte: Notas de aula (Professor Dr. Paulo Sérgio S. Bastos; UNESP, 2015, p.26)
Domínio 4 (reta 4): Ocorre a compressão máxima permitida da zona
comprimida, portanto, 0,35 %, porém, a zona tracionada é solicitada apenas um
valor mínimo, que representa apenas o início do escoamento do aço. Portanto, é
inviável visto do ponto de vista econômico (BASTOS 2002).
Figura 21- Domínio 4: Seção comprimida com deformação máxima, seção tracionada com magnitude proporcional ao início do escoamento do aço
Fonte: Notas de aula (Professor Dr. Paulo Sérgio S. Bastos; UNESP, 2015. p.27)
36
5. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO
O primeiro passo para o dimensionamento é definir a altura da viga. A forma
mais usual para a definição da altura de uma viga é dividir o vão entre os pilares por
dez, em caso de tramos intermediários ou doze, em caso de vigas bi apoiadas
(PINHEIRO, 2003).
hest = l/10 equação (7)
Onde:
l= Corresponde ao comprimento do vão;
O segundo passo é o cálculo da flecha, que é definida como a deformação de
um elemento estrutural (RÜSCH, 1981).
Segundo Carvalho (2007), os valores dos deslocamentos e rotações deverão
ser determinados por meio de modelos que considerem a rigidez efetiva das seções
da peça estrutural, ou seja, que considerem a presença da armadura, a existência
de fissuras no concreto ao longo dessa armadura e as deformações diferidas no
tempo. Os resultados deverão então ser comparados com a tabela 13.3, da NBR
6118/14 conforme Anexo A.
Segundo Buchaim (2011), a seguinte equação poderá ser usada para cálculo
da flecha do sistema:
5𝑞𝑙4
384𝐸𝐼 equação (8)
Onde:
q= carregamento distribuído agindo sobre a viga, incluindo peso próprio;
L= Comprimento da viga (vão);
E= Módulo de elasticidade do concreto, dado pela fórmula indicada no item
8.2.8, da NBR 6118/2014:
∝ 𝐸. 5600√𝐹𝐶𝐾 equação (8.1)
37
Sendo:
∝= 1,0 para granito. Esse valor de alpha varia conforme o agregado;
FCK = Resistência característica do concreto.
I= Momento de inércia, dado para a seguinte equação, que é voltada apenas
para elementos retangulares (BOTELHO, 2013); (HIBBELER 2007):
𝐼 = 𝑏. ℎ³/12 equação (8.2)
Onde:
b= Largura da viga;
h= Altura da viga, definida conforme a equação 7.
Segundo Carvalho (2007), após o cálculo da flecha do sistema, é necessário
comparar o resultado obtido com tabela 13.3, da NBR 6118, que contém os valores
admissíveis para as flechas, o que está diretamente relacionado ao tamanho do vão.
Se o valor da flecha do sistema for inferior ao admissível, considera-se a viga
aceitável para o Estado Limite de Serviço, caso contrário, será necessário aumentar
a altura da viga ou escolher um concreto com maior resistência à compressão.
Segundo Pinheiro (2003), o terceiro passo, após a verificação das flechas é
calcular o momento fletor máximo, que é chamado de momento característico (mk),
onde em vigas isostáticas ou pórticos é dado pela fórmula de Hibbeler:
𝑀𝑚𝑎𝑥 = 𝑞𝑙²/8 equação (9)
Onde:
q= carga distribuída na viga;
l= comprimento da viga.
Após o cálculo do momento fletor máximo, calcula-se então o momento de
cálculo. O momento de cálculo (Md) é calculado com o propósito de majorar a
tendência à flexão, onde o resultado é multiplicado pelo coeficiente 1,4, assim,
favorecendo a segurança, pois o dimensionamento de área de aço para o combate à
flexão será feito dentro dessa “margem de segurança” (PINHEIRO, 2003).
𝑀𝑑 = 𝑀𝑘. 1,4 equação (10)
38
Onde:
Mk= Momento característico;
Pinheiro, Muzardo e Santos (2003) orientam que após o cálculo do momento
de cálculo (Md), calcula-se o coeficiente KC, onde, através de seu resultado, será
possível conhecer a profundidade da Linha Neutra (LN), assim, verificando-se em
qual domínio a viga calculada estará trabalhando.
Bastos (2006), Melges (2002), conforme já explicado anteriormente,
concordam que os melhores domínios de deformação para se trabalhar são os
domínios 2 e 3, onde haverá aproveitamento dos dois materiais, concreto e aço, bem
como a viga “avisará”, fissurando em caso de uma ruptura.
Segundo Pinheiro (2003), o KC poderá ser calculado com a seguinte
equação:
𝐾𝐶 = 𝑏𝑤. 𝑑2/𝑚𝑑 equação (11)
Onde:
bw= Largura da viga;
d= Altura útil, onde desconta-se o cobrimento da altura total da viga.
md= momento de cálculo
Segundo Pinheiro (2003), após o cálculo do KC, é necessário acessar a
tabela A2, anexo B, onde o valor de KC estará relacionado a profundidade da Linha
Neutra, dada pela seguinte equação:
𝛽𝑥 = 𝑥/𝑑 equação (12)
Onde:
X= Distância da borda mais comprimida da seção até a seção menos
comprimida;
d= altura útil.
Segundo Bastos (2006), autor da tabela prática, o resultado da profundidade
da Linha Neutra levará imediatamente a um valor de KS, onde será obtido um
coeficiente a ser utilizado para cálculo da área de aço necessária para o combate à
flexão. A tabela A2, anexo B, também mostrará o domínio o qual a viga estará
39
trabalhando, onde a percepção do Engenheiro o levará a entender quais as
condições de segurança o elemento estrutural estará submetido.
Segundo Pinheiro (2003), a equação para o cálculo da área de aço é a
seguinte:
𝐴𝑠 = 𝐾𝑆. 𝑀𝑑/𝑑 equação (13)
Onde:
KS= coeficiente de ajuste;
Md= Momento de cálculo;
d= altura útil.
Após o cálculo da área de aço, é necessária a comparação com a área de
aço mínima, dada pela NBR 6118/2014 (CARVALHO, 2007).
6. DIMENSIONAMENTO À CORTANTE
Segundo Carvalho (2007), que apresenta em sua Literatura o
dimensionamento à cortante conforme a NBR 6118/2014, para o dimensionamento à
cortante devem ser seguidos os seguintes passos:
Primeiramente, deve-se procurar pelo resultado da cortante da viga, para
posterior verificação do esmagamento de bielas (CARVALHO, 2007 E NBR
6118/2014).
Segundo a NBR 6118/2014, que aprimorou e transformou em fórmulas
práticas os conceitos demonstrados pela Literatura, inicia-se a verificação do estado
limite ultimo, pelo cálculo da resistência, dado pela seguinte equação:
𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2 equação (14)
Onde:
Vsd= Força cortante solicitante de cálculo, na seção;
VRd2= É a força resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais
comprimidas de concreto, de acordo com os modelos.
40
Sendo que:
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑3 = 𝑉𝐶 + 𝑉𝑠𝑤 equação (14.1)
Onde:
VRd3= É a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração
diagonal, onde Vc é a parcela de força cortante absorvida por mecanismos
complementares ao da treliça e Vsw a parcela resistida pela armadura transversal.
Vc= É a parcela da força cortante resistida por mecanismos complementares
ao modelo treliça;
Vsw= Parcela da força cortante resistida pela armadura transversal.
Segundo Carvalho (2007), usualmente usa-se o modelo de cálculo I, indicado
na NBR 6118/2014, que admite diagonais de compressão inclinadas de θ = 45°, em
relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural e admite ainda que a parcela
complementar Vc tenha valor constante, independentemente de Vsd.
Segundo Carvalho (2007), a verificação das bielas é dada pela seguinte
equação:
VRd2= 0,27.αv2.fcd.bw.d equação (14.2)
Onde:
αv2= (1-fck/250), e FCK expresso em Mpa (Megapascal);
Fcd= Resistência de cálculo do concreto;
Bw= Largura da viga;
d= Altura útil.
Segundo Carvalho (2007), o resultado de VRd2 deve ser superior ou igual ao
valor da cortante, demonstrando assim que o não haverá esmagamento das bielas,
41
onde a força cortante resistente de cálculo será suficiente para combater à
compressão da seção, explicando a equação 14.
Considerando que deve-se calcular também a cortante de maneira que esta
também seja inferior a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração
diagonal, conforme a equação 14.1. O valor de Vc pode ser obtido conforme a
seguinte equação (PINHEIRO, 2003); (CARVALHO 2007); (NBR 6118/2014):
𝑉𝑐 = 0,6. 𝑓𝑐𝑡𝑑. 𝑏𝑤. 𝑑 equação (15)
Onde:
Vc= Parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao
da treliça;
Fctd= Resistência do concreto à tração de cálculo, onde:
𝐹𝑐𝑡𝑑 = 0,7. 𝑓𝑐𝑡, 𝑚/1,4 equação (15.1)
Onde:
Fct,m =Resistência média à tração direta., dado pela seguinte equação:
𝐹𝑐𝑡, 𝑚 = 0,3. ∛𝑓𝑐𝑘² equação (15.2)
Segundo Carvalho (2007) e a NBR 6118/2014, após o cálculo do valor de a
força cortante, é possível calcular a parcela da força cortante resistida pela armadura
transversal, uma vez que o valor da força cortante pode ser igualado com a força
cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal, de forma que a
incógnita passe a ser Vsw (parcela da força cortante resistida pela armadura
transversal).
𝑉𝑅𝑑3 − 𝑉𝑐 = 𝑉𝑠𝑤 equação (16)
42
Onde:
VRd3= força cortante resistente de cálculo;
Vc- Parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao
da treliça;
Vsw= parcela da força cortante resistida pela armadura transversal.
O ultimo passo é calcular a área de aço que irá combater o cisalhamento.
Uma vez que já se sabe o valor da parcela da força cortante resistida pela armadura
transversal (CARVALHO, 2007).
𝑉𝑠𝑤 =𝐴𝑠𝑤
𝑠. 09. 𝑑. 𝑓𝑦𝑑 (𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼) equação (17)
Vsw= parcela da força cortante resistida pela armadura transversal;
Asw= Área da seção transversal dos estribos;
S= 100 cm;
d= Altura útil;
Fyd= Resistência minorada do aço à tração, dada pela seguinte equação:
𝐹𝑦𝑑 = 𝐹𝑦𝑘/1,15 equação (17.1)
Onde:
Fyk= Resistência do aço à tração.
A área de aço, calculada anteriormente e tendo seu resultado na unidade de
cm²/m (centímetro quadrado por metro), esse resultado deverá ser comparado à
armadura mínima indicada na NBR 6118/2014, que deverá ser adotado caso a área
de aço do sistema seja inferior a indicada na norma (PINHEIRO; MUZARDO;
SANTOS, 2003); (CARVALHO, 2007).
𝜌𝑠𝑤 =𝐴𝑠𝑤
𝑏𝑤. 𝑠𝑠𝑒𝑛𝛼= 0,2 𝑓𝑐𝑡, 𝑚/𝑓𝑦𝑑. 𝑏𝑤
43
Onde:
Asw= Área da seção transversal dos estribos;
Bw= Largura da viga;
Fct,m= Resistência média à tração direta., dado pela seguinte equação;
Fyd= Resistência de cálculo do aço à tração.
44
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O trabalho permitiu revisar os conceitos aprendidos durante o curso de
engenharia civil, onde os objetivos específicos foram alcançados uma vez que os
conceitos como: aderência, estados limites, efeitos de tração (oriundos da flexão) e
cisalhamento (oriundos da força cortante), domínios de deformação e revisão da
NBR 6118/2014 foram abordados e compreendidos, de forma que ao final do
trabalho foi verificado o caminho ou o “passo a passo” para o dimensionamento à
flexão e a cortante, onde o conteúdo disponível na Literatura foi apresentado pela
NBR 6118/2014, com fórmulas aprimoradas.
No que se refere à aderência, foi concluído que o concreto possui uma
magnitude de deformação que o permite suportar tensões de tração até determinado
carregamento, onde as fissuras causadas pela tração do material não se
manifestam, o que é conhecido como Estádio I. Quando há o fissuramento do
concreto, este não mais suporta a tração, ou seja, está fissurado e o aço é quem se
encarrega de fazer a absorção da tração, onde o fenômeno é conhecido como
Estádio II.
Foi verificado que a deformação máxima do concreto tem valor corresponde a
10% da tração absorvida pelo aço, ou ainda 0,0035% da tensão aplicada à seção,
enquanto o aço absorve numa mesma seção a magnitude de 0,01%, considerando
que ambos os materiais, funcionando como se fossem um só material, estejam
trabalhando no estádio limite último, quando suas deformações estão no limite da
ruptura.
Quanto aos domínios de deformação, os estudos demonstraram que o
domínio 3 é o melhor para se tralhar, uma vez que há o aproveitamento máximo dos
dois materiais, quando o concreto e o aço estão em seus limites de deformação que
antecede à ruptura, fazendo com que, no caso a viga de concreto armado,
demonstre sinais de fissuração antes do colapso, havendo tempo de corrigir
qualquer falha e evacuar o local, além de compensar financeiramente, pois não
haverá desperdício de material, pois serão dimensionadas vigas de concreto armado
com seções menores, com a profundidade da Linha Neutra sendo monitorada,
através das tabelas abordadas no trabalho e também anexas no mesmo.
Este trabalho teve seu foco voltado para as vigas isostáticas de concreto
armado onde não foram abordados tipos de apoio, ligações ou momentos negativos.
45
Futuramente haverá a necessidade de um estudo voltado para as vigas
hiperestáticas, as quais exigem conceitos mais refinados, sendo importante para
resumir o que a Literatura apresentou ao longo dos anos, servindo como uma
ferramenta voltada para que o recém-formado possa revisar o que se aprende na
faculdade muitas vezes, pela pequena carga horária de curso, de forma muito
superficial. Este trabalho foi elaborado com essa intenção, portanto, se houver
continuidade será válido, especialmente para os recém- formados.
46
REFERÊNCIAS
Livros:
BOTELHO, Manoel Henrique Campos. Resistência dos materiais: para entender e gostar. 2ª ed., rev. atual. São Paulo: Blucher, 2013.
CARVALHO, Roberto Chust. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado: segundo a NBR 6118/2003. 3ª ed., rev. atual. São Carlos: EdUFSCar, 2007.
HIBBELER, Russell Charles. Resistência dos materiais 7ª ed.. São Paulo: Pearson, 2010.
LEONHARDT, Fritz; MÖNNIG, Eduard. Construções de Concreto, vol. 1: 1ª. ed. São Paulo: Interciência, 2008.
RÜSCH, Hubert. Concreto armado e protendido: propriedade dos materiais e dimensionamento 1ª ed., rev. atual. Rio de Janeiro: Campus,1981.
Apostilas:
ALMEIDA, Luíz Carlos. Cálculo no estado limite último: Estruturas IV– Concreto armado, set a dez de 2002. 19 f. Notas de Aula. Digitado.
ARAÚJO, José Milton De. A RESISTÊNCIA À COMPRESSÃO E CRITÉRIOS DE
RUPTURA PARA O CONCRETO. Rio Grande, 2001. (Apostila).
BASTOS, Paulo Sérgio dos Santos. Flexão Normal Simples – Vigas: Estruturas De
Concreto I, fev. a jul. de 2015. 81 f. Notas de Aula. Digitado.
BASTOS, Paulo Sérgio dos Santos. Fundamentos do concreto armado: Estruturas
De Concreto I, Ago. a Dez de 2006. 98 f. Notas de Aula. Digitado.
FERNANDES, Gilson B. Solicitações Normais Cálculo No Estado Limite Último.
Campinas, 2006. (Apostila).
47
MELGES, José Luiz Pinheiro. Estado Limite Último Do Concreto Armado
(Solicitações Normais). São Carlos, 2002. (Apostila).
PINHEIRO Libanio, MUZARDO Cassiane e SANTOS Sandro P. Vigas. Universidade
de São Paulo, 2003. (Apostila).
Artigos consultados na internet: BUCHAIM, Roberto. Deslocamentos imediatos e progressivos em vigas pré moldadas e protendidas em pré tração. Concreto Protendido, São Paulo, Disponível em: < http://site.abece.com.br/download/pdf/e-Artigo%20048-2011.pdf >. Acesso em: 15 Nov. 2017. Normas: ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto – Procedimento, NBR 6118. Rio de Janeiro, ABNT, 2014, 238p.