Exercicio de Nada Presta

RACIOCNIO LGICO QUANTITATIVO DIRETO AO PONTO PROFESSOR: GUILHERME NEVES

Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 1

Aula 5 Parte 2PORCENTAGEM ................................................................................................................................................. 2

Razo e Proporo........................................................................................................................................... 37

GRANDEZAS DIRETAMENTE/INVERSAMENTE PROPORCIONAIS ..................................................................... 59

Regra de Trs................................................................................................................................................... 61

Relao das questes comentadas ................................................................................................................. 75

Gabaritos ......................................................................................................................................................... 94



PORCENTAGEM

As razes de denominador 100 so chamadas taxas percentuais, razes centesimais, percentagem ou porcentagem.

Em geral, podemos trocar o denominador 100 pelo smbolo % (por cento).

Ou seja,

100%

Podemos expressar as porcentagens sob a forma decimal (taxa unitria). Para obter a taxa unitria, basta dividir o numerador por 100.

80%80

1000,8

47%47

1000,47

100%100100

1

280%280100

2,8

1 Percentual de um valor

Para calcular x% de um valor, basta multiplicar o valor pelo nmero x/100.

Exemplo: Calcular 30% de 500.

Resoluo

30% 500 30

Exemplo: Calcular 20% de 30% de 40% de 1.000.

100 500 150

Resoluo

20100

30

100

40100

1.000

Neste caso, podemos simplificar as fraes. 20/100 pode ser simplificado por 20, tornando-se 1/5. 30/100 pode ser simplificado por 10, tornando-se 3/10. 40/100 pode ser simplificado por 20, tornando-se 2/5.

15

3

10

25

1.000250

246.000

Portanto, 20% de 30% de 40% de 1.000 igual a 24.



2 Transformao de uma frao ordinria em taxa percentual

Este tpico importante, pois quando queremos expressar algum crescimento ou desconto, sempre o fazemos em termos percentuais.

Para transformar uma frao ordinria qualquer em taxa percentual, basta multiplic-la por 100%.

Exemplo: Transformar a frao 5/2 em taxa percentual.

Resoluo

52

52

100%500

2% 250%

Exemplo: Transformar a frao 3/8 em taxa percentual.

Resoluo

% % , %

Exemplo: Transformar o nmero 0,4 em forma de taxa percentual.

Resoluo

, , % %

Lembre-se que para multiplicar um nmero decimal por 100 basta deslocar a vrgula duas casas decimais para a direita. Se no houver casas decimais, ento deveremos adicionar zeros a direita.

3 Variao Percentual

i) Imagine a seguinte situao. Voc pretende comprar um computador que custa R$ 1.500,00. Como bom comprador, pergunta ao vendedor se existe algum tipo de ajudinha se voc efetuar o pagamento em dinheiro vivo. O vendedor ento informa que se o pagamento for feito assim, haver um desconto de R$ 300,00. Ou seja, voc pagar apenas R$ 1.200,00. timo negcio...!!

ii) Imagine agora outra situao. Voc pretende comprar um automvel no valor de R$ 80.000,00. Como bom comprador, pergunta ao vendedor se existe algum tipo de ajudinha se voc efetuar o pagamento em dinheiro vivo. O vendedor ento informa que se o pagamento for feito assim, haver um desconto de R$ 300,00. Ou seja, voc pagar apenas R$ 79.700,00. timo negcio!?

Em valores absolutos, o desconto do valor do computador foi igual ao desconto do valor do automvel. Qual dos dois descontos foi mais significativo em relao ao valor inicial do objeto? Obviamente um desconto de R$ 300,00 em um produto que custa R$ 1.500,00 bem mais representativo do que um desconto de R$ 300,00 em um produto que custa R$ 80.000,00.

Pois bem, a maneira de comparar esses descontos a chamada variao percentual.

Definio



A razo entre a diferena de valores (valor final menos o valor inicial) e o preo inicial, expressa em forma de porcentagem, chamada variao percentual.

Generalizemos: Considere um objeto com valor inicial na data 0 e valor final em uma data futura . A variao percentual dessa grandeza entre as datas consideradas o nmero (expresso em porcentagem) dado por:

Voltemos aos nossos exemplos:

i) 1.500,00 e 1.200,00

Assim, a taxa percentual :

1.200 1.5001.500

3001.500

Devemos escrever i em forma percentual. Vimos anteriormente que temos que multiplicar a frao por 100%.

3001.500

3001.500

100% 20%

ii) 80.000,00 e 79.700,00

Assim, a taxa percentual :

79.700 80.00080.000

30080.000

Devemos escrever i em forma percentual. Vimos anteriormente que temos que multiplicar a frao por 100%.

30080.000

30080.000

100% 0,375%

Observe que o desconto no pagamento do computador foi de 20% e o desconto no pagamento do carro foi de apenas 0,375%. Apesar de os valores absolutos dos descontos terem sido iguais, percentualmente a diferena foi gritante.

Exemplo: Guilherme decidiu comprar uma televiso no valor de R$ 1.200,00. Esperou o seu salrio entrar no incio do ms, para que ficasse mais folgado. Quando ento foi loja efetuar o pagamento, soube que o preo da televiso tinha subido para R$ 1.500,00. Qual foi o percentual de aumento no preo da televiso?

Ateno!

Se , a taxa percentual de crescimento.

Se , o mdulo da taxa percentual de decrescimento (desconto).



1.500 1.2001.200

3001.200

3001.200

100% 25%

Portanto, o aumento foi de 25%.

Vamos comparar o que aconteceu no caso do computador e no caso da televiso.

i) O computador custava R$ 1.500,00 e sofreu um desconto de 20%. Assim, o valor pago foi de R$ 1.200,00.

ii) A televiso custava R$ 1.200,00 e sofreu um aumento de 25%. Assim, o valor pago foi de R$ 1.500,00.

4 Variaes percentuais sucessivas

Suponha que uma mercadoria recebeu um desconto de 30%. Se voc fosse pagar essa mercadoria sem o desconto, voc iria desembolsar 100%. Porm, com o desconto concedido, voc ir pagar 100% - 30% = 70%. Assim, para calcular o valor aps o desconto, devemos multiplicar o valor original por 70%=70/100.

Em geral, ao diminuir p%, para calcular o valor final, devemos multiplicar por 100% - p%.

Da mesma forma, para aumentar p% de certo valor, devemos multiplic-lo por 100% + p%. Por exemplo, se uma mercadoria aumenta 20%, voc ir pagar 100% + 20% = 120%.

Exemplo: Uma mercadoria custa R$ 300,00. Em uma primeira ocasio, sofreu um aumento de 40%. Dois meses depois, a loja anunciou uma liquidao e a mercadoria sofreu um desconto de 25%. Qual o valor final da mercadoria? Qual a variao percentual acumulada?

Resoluo

Quando a mercadoria sofre um aumento de 40%, o cliente alm de ter que pagar os 100% (valor da mercadoria) ter que pagar os 40% de aumento. Pagar, portanto, 140% do valor da mercadoria. Dessa forma, a mercadoria, aps o aumento, vale:

140% $300,00140100

300 420 .

A mercadoria (que agora vale R$ 420,00) sofre um desconto de 25%. Voc no pagar o valor total da mercadoria (100%), j que foi concedido um desconto. O cliente pagar 100% - 25% = 75% do valor da mercadoria. Dessa forma, a mercadoria, aps o desconto, vale:

75% $ 420,0075

Portanto, o valor final da mercadoria igual a R$ 315,00.

100 420 $ 315,00

Poderamos ter efetuado este clculo de uma maneira mais objetiva. Toma-se o valor da mercadoria e multiplica-se pelas taxas de aumentos e de descontos.

Assim,



300 140100

75

100315 .

Inicialmente a mercadoria valia R$ 300,00 e aps as variaes seu valor de R$ 315,00. Ou seja:

300 315

A taxa de variao acumulada de:

315 300300

15300

15300

100% 5%

Assim, o aumento de 40% seguido do desconto de 25% equivale a um nico aumento de 5%.

Vamos agora resolver algumas questes para sedimentar os conhecimentos.

1. (BB 2010/FCC) As estatsticas da Campanha Nacional de Preveno ao Cncer de Pele, organizada h 11 anos pela Sociedade Brasileira de Dermatologia, revelam que o brasileiro no se protege adequadamente do sol: 70% dos entrevistados afirmaram no usar qualquer tipo de proteo solar, nem mesmo quando vo praia (adaptado de www.sbd.org.br). Se foram entrevistadas 34 430 pessoas, o nmero delas que usam protetor solar (A) 24 101 (B) 15 307 (C) 13 725 (D) 12 483 (E) 10 329

Resoluo

O texto informou que 70% dos entrevistados afirmaram no usar qualquer tipo de proteo solar. Como o total de pessoas corresponde a 100%, ento 30% dos entrevistados usam protetor solar. Devemos calcular 30% de 34.430 pessoas.

30% 34.43030

100 34.430

Observe que no precisamos efetuar este clculo completamente. O nmero 100 que est no denominador pode ser simplificado. Ficamos com:

310

34.430 3 3.443

Imagine que voc estivesse efetuando esta multiplicao na hora da prova.

3.443 3

Comeamos multiplicando o algarismo das unidades.

3.443



3 9

Neste momento, j podemos marcar a alternativa E, pois a nica que termina em 9.

Letra E.

De fato, 3 3.443 10.329.

2. (TRE AC 2010/FCC) Relativamente ao total de registros de candidaturas protocolados certo ms por trs Tcnicos Judicirios, sabe-se que: 8/15 foi protocolado por Alcilia, 5/12 por Berenice e os demais por Otaclio. Assim sendo, a quantidade protocolada por Otaclio corresponde a que parte do total de registros protocolados nesse ms?

a) 5% b) 12,5% c) 15% d) 17,5% e) 20%

Resoluo

Alcilia protocolou 8/15 do total de registros e Berenice protocolou 5/12. Juntas, elas protocolaram:

815

512

32 2560

5760

O que significa 57/60?

Significa que elas dividiram o trabalho total em 60 partes e protocolaram 57 destas 60 partes. Portanto, ainda faltam ser protocoladas 3 das 60 partes. Esta parte ser feita por Otaclio.

360

120

Para transformar esta frao ordinria em porcentagem, devemos multiplic-la por 100%.

120

100% 5%

Letra A

3. (MPE-RS 2010/FCC) Devido a uma promoo, um televisor est sendo vendido com 12% de desconto sobre o preo normal. Cludio, funcionrio da loja, est interessado em comprar o televisor. Sabendo que, como funcionrio da loja, ele tem direito a 25% de desconto sobre o preo promocional, o desconto que Cludio ter sobre o preo normal do televisor, caso decida adquiri-lo, ser de

a) 37% b) 36% c) 35%



d) 34% e) 33%

Resoluo

Temos dois descontos sucessivos: 12% (devemos multiplicar por 100% - 12% = 88%) e 25% (devemos multiplicar por 100% - 25% = 75%).

Sempre que no for dada uma referncia inicial, vale a pena utilizar o valor 100. Ento, vamos supor que o valor inicial do produto fosse igual a 100. O valor final aps os descontos ser de:

100 88

100 75

100

A frao 75% pode ser simplificada por 25, obtendo, ento, a frao 3/4.

O primeiro 100 pode cortar com o segundo 100 que est no denominador.

88 34 66

Ora, se o produto custava R$ 100,00 e agora custa R$ 66,00, porque houve um desconto de 34%.

Letra D

Esta a vantagem de utilizar o valor inicial 100. A diferena entre os valores j a taxa percentual.

4. (MPE-RS 2010/FCC) A empresa X possui 60 funcionrios, dos quais 15% so mulheres. De acordo com uma lei aprovada recentemente, toda empresa do ramo onde atua a empresa X dever ter, no mnimo, 40% de mulheres entre seus funcionrios. Para que a empresa X se adapte nova lei sem demitir nenhum de seus atuais funcionrios e no contratando novos funcionrios homens, ela dever admitir um nmero de mulheres, no mnimo, igual a

a) 25 b) 22 c) 20 d) 18 e) 15

Resoluo

Sabemos que dos 60 funcionrios, 15% so mulheres.

15% 6015

100 60 9

Assim, h um total de 51 homens (60 9 = 51).



Vamos considerar que sero admitidas novas mulheres. Assim, o total de funcionrios da empresa ser igual a 60 e o total de funcionrias ser igual a 9 . Queremos que essas 9 mulheres representem 40% do total de funcionrios.

9 40%

9 40% 60

940

100 60

9 0,4 60

9 24 0,4

0,4 24 9

0,6 15

150,6

25

Portanto, devero ser admitidas 25 mulheres.

Letra A

5. (TRE-AC 2010/FCC) Na ltima eleio, ao elaborar o relatrio sobre o comparecimento dos eleitores inscritos numa Seo Eleitoral, o presidente da mesa de trabalhos observou que 40% do total de inscritos haviam votado pela manh e 75% do nmero restante no perodo da tarde. Considerando que foi constatada a ausncia de 27 eleitores, o total de inscritos nessa Seo era

a) 108 b) 125 c) 150 d) 172 e) 180

Resoluo

Vamos considerar que h um total de inscritos. Como 40% deste total votaram pela manh, ento ainda faltam votar 60% dos inscritos (100% - 40% = 60%).

: 60%

Destas pessoas que faltam votar, 75% votaram no perodo da tarde. Portanto, ainda faltam votar 25% das pessoas restantes.

: 25% 60%

Foi constatada a ausncia de 27 eleitores. Portanto:

25% 60% 27



25100

60

100 27

0,25 0,6 27

0,15 27

270,15

180

O total de inscritos igual a 180.

Letra E

6. (PROMINP 2006/CESGRANRIO) Na Copa do Mundo de Futebol de 2002, havia, na seleo brasileira, 10 jogadores que atuavam no exterior. Em 2006, esse nmero subiu para 21. Qual o percentual de aumento do nmero de jogadores que atuam no exterior convocados para a seleo brasileira, de 2002 para 2006? (A) 210% (B) 150% (C) 110% (D) 21% (E) 11%

Resoluo

Para calcular a taxa percentual de aumento, basta aplicar a frmula que vimos anteriormente.

Inicialmente (em 2002) eram 10 jogadores atuando no exterior. No final (em 2006) eram 21 jogadores atuando no exterior.

21 1010

1110

100% 110%

Letra C

7. (Agente Administrativo DNOCS 2010/FCC) Das 96 pessoas que participaram de uma festa de confraternizao dos funcionrios do Departamento Nacional de Obras Contra as Secas, sabe-se que 75% eram do sexo masculino. Se, num dado momento antes do trmino da festa, foi constatado que a porcentagem dos homens havia se reduzido a 60% do total das pessoas presentes, enquanto que o nmero de mulheres permaneceu inalterado, at o final da festa, ento a quantidade de homens que haviam se retirado era

(A) 36. (B) 38. (C) 40. (D) 42.



(E) 44.

Resoluo

A quantidade de mulheres constante. Se no incio 75% das pessoas presentes na confraternizao eram homens, ento 25% eram mulheres.

25% 9625

100 9614 96 24

Ento, no incio da festa havia 96 24 72 .

Antes do trmino da festa, o percentual de homens se reduziu a 60%. Ento as mulheres correspondem a 40% do total de pessoas na festa. Como o nmero de mulheres permaneceu constante, ento estes 40% correspondem a 24 pessoas.

Porcentagem Pessoas 40% 24 60%

Vamos calcular quantos homens estavam presentes no final da festa.

Aumentando o percentual, aumenta-se o nmero de pessoas. As grandezas (porcentagem e nmero de pessoas) so diretamente proporcionais (vamos estudar detalhadamente as regras de trs ainda nesta aula...).

4060

24

23

24

2 3 24

2 72

722 36

Tnhamos inicialmente 72 homens. Como no final ficaram 36 homens, ento o nmero de homens que saiu igual a:

72 36 36

Letra A

8. (TRT 4 Regio 2006/FCC) Considere que em certo ms 76% das aes distribudas em uma vara trabalhista referiam-se ao reconhecimento de vnculo empregatcio e que, destas, 20% tinham origem na rea de indstria, 25% na de comrcio e as 209 aes restantes, na rea de



servios. Nessas condies, o nmero de aes distribudas e NO referentes ao reconhecimento de vnculo empregatcio era (A) 240 (B) 216 (C) 186 (D))120 (E) 108

Resoluo

Vamos considerar que o total de aes distribudas na vara trabalhista seja igual a .

76% das aes distribudas referiam-se ao reconhecimento de vnculo empregatcio. Portanto, 100% 76% 24% NO so referentes ao reconhecimento de vnculo empregatcio.

As aes distribudas que se referem ao reconhecimento de vnculo empregatcio so dividas em trs grupos:

Origem na rea de indstria: 20% Origem na rea de comrcio: 25% Origem na rea de servios: 209 aes

Como as reas de indstria e comrcio totalizam 45%, ento as aes que tm origem na rea de servio totalizam 55% (100% - 45%).

Assim: 55% 76% 209

55100

76

100 209

0,418 209

2090,418

Para efetuar tal diviso, devemos igualar a quantidade de casas decimais e depois apagar as vrgulas.

x aes

76% so referentes aoreconhecimento de vnculo

empregatcio

Indtria: 20% de76%

Comrcio: 25% de 76%

Servios: 55% de 76%24% no so referentes aoreconhecimento de vnculo

empregatcio



209,0000,418

209.000418

500

O problema pede o nmero de aes distribudas e NO referentes ao reconhecimento de vnculo empregatcio.

24% 24

100 500 120

Letra D

9. (METRO-SP 2007/FCC) Em um relatrio sobre as atividades desenvolvidas em um dado ms pelos funcionrios lotados em certa estao do Metr, foi registrado que: 25% do total de funcionrios eram do sexo feminino e que, destes, 45% haviam cumprido horas-extras; 60% do nmero de funcionrios do sexo masculino cumpriram horas-extras; 70 funcionrios no cumpriram horas-extras. Com base nessas informaes, nesse ms, o total de funcionrios lotados em tal estao era (A) 120 (B) 150 (C) 160 (D) 180 (E) 190

Resoluo

Vamos considerar que h funcionrios. Sabemos que 25% so mulheres e, portanto, 75% so homens. Podemos escrever:

0,250,75

O enunciado informou que 45% das mulheres cumpriram horas-extras. Desta forma, conclumos que 55% (= 100% - 45%) no cumpriram horas-extras.

No cumpriram horas extras: 55% das mulheres , .

Sabemos tambm que 60% dos homens cumpriram horas-extras. Assim, 40% (=100% - 60%) no cumpriram horas-extras.

No cumpriram horas extras: 40% dos homens , .

Como 70 funcionrios no cumpriram horas-extras, ento:

, ,

Vamos substituir 0,25 0,75 .



, , , ,, ,

,

,

Letra C

10. (METRO-SP 2007/FCC) Sabe-se que a rea de uma superfcie retangular calculada pelo produto , em que C e L so as respectivas medidas do comprimento e da largura do retngulo, numa dada unidade. Suponha que a plataforma de embarque nos trens que servem certa estao do Metr tenha a forma de um retngulo e que, aps uma reforma, uma de suas dimenses foi diminuda em 20%, enquanto que a outra foi acrescida de 20%. Nessas condies, correto afirmar que, aps a reforma, a rea da superfcie original (A) no foi alterada. (B) foi aumentada em 2,4%. (C) foi diminuda de 2,4%. (D) foi aumentada de 4%. (E) foi diminuda de 4%.

Resoluo

Vamos considerar que o comprimento seja igual a 10 e a largura tambm seja igual a 10. Assim, a rea da superfcie igual a 10 10 100.

Diminuindo 20% do comprimento (o comprimento agora mede 8) e aumentando 20% da largura (a largura agora mede 12), a rea ser igual a 8 12 96.

Resumindo: originalmente a rea era de 100 e foi reduzida para 96, diminuindo, portanto, 4%.

Letra E

Vamos agora resolver algebricamente esta questo.

A rea o produto do comprimento pela largura.

Ao reduzir o comprimento em 20%, devemos multiplic-lo por 100% - 20% = 80%. Ao aumentar a largura em 20%, devemos multiplic-la por 100% + 20% = 120%. Assim, a nova rea ser igual a:

80100

120100 0,96

96100

Ou seja, rea final igual a rea inicial multiplicada por 96%. Significando uma diminuio de 4%.



11. (METRO-SP 2010/FCC) Especialistas dizem que, em um carro bicombustvel (lcool e gasolina), o uso de lcool s vantajoso se o quociente do preo por litro de lcool pelo do de gasolina for, no mximo, igual a 70%. Se o preo do litro da gasolina R$ 2,60, ento NO vantajoso usar lcool quando o preo por litro de lcool (A) no mximo de R$ 1,70. (B) superior a R$ 1,82. (C) est compreendido entre R$ 1,79 e R$ 1,86. (D) igual a R$ 1,78. (E) menor que R$ 1,80.

Resoluo

Os especialistas dizem que o uso de lcool s vantajoso se o quociente do preo por litro de lcool pelo do de gasolina for, no mximo, igual a 70%. Podemos concluir que o uso de lcool NO vantajoso usar lcool se o referido quociente for maior que 70%.

70%

0,70

0,70

0,70 2,60

1,82

Assim, no vantajoso usar lcool se o preo do seu litro for maior que R$ 1,82.

Letra B

12. (METRO-SP 2010/FCC) A rea de um crculo igual ao produto do nmero pelo quadrado da medida do seu raio. Se a razo entre os raios de dois crculos concntricos 4, ento a rea do menor quantos por cento da rea do maior? (A) 25%. (B) 12,5%. (C) 6,25%. (D) 4%. (E) 3,25%.

Resoluo

Vamos considerar que o raio do crculo menor igual a e a raio do crculo maior igual a . A razo entre os raios igual a 4, portanto:

4 4



Para saber a porcentagem pedida, devemos dividir a rea do menor pela rea do maior (posteriormente, estudaremos reas de figuras planas detalhadamente).

Podemos cortar com .

4

14

116 0,0625 6,25%

Letra C

13. (ESAF-AFC/CGU-2004) Durante uma viagem para visitar familiares com diferentes hbitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanas em seu peso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez Alice ganhar 20% de peso. Aps, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rgido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice tambm emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, aps essas visitas a esses quatro familiares, com relao ao peso imediatamente anterior ao incio dessa seqncia de visitas, ficou:

a) exatamente igual b) 5% maior c) 5% menor d) 10% menor e) 10% maior

Resoluo

Suponha que Alice tinha 100 kg antes das mudanas em seu peso.

Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. Se ela perdeu 20% de peso, ento para calcular o peso que ela ficou aps essa mudana, devemos multiplicar o valor original por 100% - 20% = 80% = 80/100.

A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez Alice ganhar 20% de peso. Se ela ganhou 20% de peso, para calcular o seu peso final, devemos multiplicar o valor por 100% + 20% = 120% = 120/100.

Aps, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rgido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice tambm emagreceu, perdendo 25% de peso. Se ela perdeu 25% de peso, devemos multiplicar o valor do peso por 100% - 25% = 75% = 75/100.

Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. Devemos multiplicar por 100% + 25% = 125% = 125/100.



Assim, o peso final de Alice ser calculado da seguinte maneira:

Seu peso final ser:

100 80

100 120100

75100

125100 90

Ento, j que Alice possua 100 kg, ficou com um peso 10% menor.

Letra D

14. (Agente Executivo SUSEP 2006/ESAF) Um indivduo tinha uma dvida de R$ 1.200,00 trs meses atrs. Considerando que o valor dessa dvida hoje R$ 1.440,00, calcule a porcentagem de aumento da dvida no perodo.

a) 12% b) 15% c) 20% d) 25% e) 30%

Resoluo

Para qualquer questo em que precisemos calcular o aumento ou desconto percentual, dados o valor inicial e o final, podemos utilizar a seguinte frmula:

Valor inicial: R$ 1200,00

Valor final: R$ 1440,00

Diferena entre os valores: R$ 1440,00 R$ 1200,00 = R$ 240,00.

2401200 100%

24012 % 20%

Letra C

15. (Agente de Fiscalizao Judiciria TJSP 2010/VUNESP) Renato foi abastecer seu carro. A bomba de combustvel forneceu 25 litros em 2 minutos e 20 segundos, com um fluxo de combustvel constante. Ento, houve um problema nessa bomba e o frentista pediu para Renato continuar abastecendo em outra bomba, mais adiante. A 2. bomba forneceu 26 litros em 2 minutos e 40 segundos, tambm com fluxo constante. O fluxo de combustvel dessa 2. bomba, em relao 1., foi (A) 9% menor. (B) 5% menor. (C) 2% maior. (D) 4% maior. (E) 10% maior.



Resoluo

Vamos transformar os tempos para segundos, lembrando que um minuto equivale a 60 segundos.

A primeira bomba forneceu 25 litros em 2 minutos e 20 segundos.

2 min 20 2 60 20 140

Portanto, o fluxo da primeira bomba foi de 25 litros/140 s.

A segunda bomba forneceu 26 litros em 2 minutos e 40 segundos.

2 min 40 2 60 40 160

Portanto, o fluxo da primeira bomba foi de 26 litros/160 s.

A variao percentual dada por:

26160

25140

25140

Para dividir duas fraes, devemos repetir o numerador e multiplicar pelo inverso do denominador. Assim,

26160

25140

14025

26160

14025

25140

14025

3.6404.000 1 0,91 1 0,09 9%

Letra A

16. (Assistente Administrativo CRP 4 2006/CETRO) Para obter um nmero 20% maior que ele prprio, devo multiplic-lo pela frao:

(A) Dois teros (B) Cinco quartos (C) Seis quintos (D) Sete quintos (E) Oito sextos

Resoluo



Vimos anteriormente que para dar um aumento de 20%, devemos multiplicar o valor por 100% + 20% = 120% = 120/100.

Simplificando a frao 120/100 obtemos 6/5.

Letra C

17. (Fiscal do trabalho 2003/ESAF) Uma estranha clnica veterinria atende apenas ces e gatos. Dos ces hospedados, 90% agem como ces e 10% agem como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem como ces. Observou-se que 20% de todos os animais hospedados nessa estranha clnica agem como gatos e que os 80% restantes agem como ces. Sabendo-se que na clnica veterinria esto hospedados 10 gatos, o nmero de ces hospedados nessa estranha clnica : a) 50 b) 10 c) 20 d) 40 e) 70

Resoluo:

Na clnica temos 10 gatos. 90% destes agem como gatos e 10% agem como ces. Logo:

Nove gatos agem como gatos e um gato age como co.

Vamos considerar que h ces na clnica. Destes, 90% agem como ces e 10% agem como gatos. Logo:

0,9 ces agem com ces e 0,1 ces agem como gatos Em resumo, temos:

Nove gatos e , ces agem como gatos. Um gato e 0,9 ces agem como ces. H 10 gatos e ces. Desta forma, o total de animais igual a 10 .

Sabemos pelo enunciado que 20% dos animais desta clnica agem como gatos. Assim:

20%

20% 10 9 0,1

0,20 10 9 0,1

2 0,2 9 0,1

0,2 0,1 9 2



0,1 7

70,1 70

H 70 ces.

Letra E

18. (Casa da Moeda do Brasil 2009/CESGRANRIO) Essa semana, o Banco Central lanou campanha para que a populao use mais moeda e aprenda a identificar notas falsas. Este ano, at agosto, foram apreendidas 251 mil notas falsas, totalizando R$12.386.000,00. Desse valor, cerca de 10% correspondiam a notas de 20 reais.

O Globo, 24 out. 2009 (Adaptado).

De acordo com essas informaes, quantas notas falsas de 20 reais foram apreendidas at agosto desse ano? (A) Menos de 20 mil (B) Entre 20 mil e 40 mil (C) Entre 40 mil e 60 mil (D) Entre 60 mil e 80 mil (E) Mais de 80 mil

Resoluo Vamos, inicialmente, calcular 10% do valor total apreendido.

10% $ 12.386.000,0010

100 12.386.000,00 $ 1.238.600,00

Esse valor corresponde ao total apreendido com notas de R$ 20,00. Para saber a quantidade de notas de R$ 20,00, basta dividir o valor total apreendido por 20.

1.238.60020 61.930 $ 20,00

Letra D

19. (Casa da Moeda do Brasil 2009/CESGRANRIO) Um comerciante aumentou em 20% o preo de suas mercadorias. Com isso, as vendas diminuram, e ele resolveu oferecer aos clientes um desconto de 30% sobre o preo com aumento. Desse modo, qual , em reais, o preo com desconto de uma mercadoria que inicialmente custava R$ 200,00? (A) 144,00 (B) 168,00 (C) 180,00 (D) 188,00 (E) 196,00



Resoluo

Em geral, ao diminuir p%, para calcular o valor final, devemos multiplicar por 100% - p%.

Da mesma forma, para aumentar p% de certo valor, devemos multiplic-lo por 100% + p%.

Assim, quando o comerciante aumenta o preo da mercadoria em 20%, devemos multiplicar o seu valor por 100% + 20% = 120%.

Em seguida, quando o comerciante d um desconto de 30% sobre o preo, devemos multiplicar o valor por 100% - 30% = 70%.

O valor final ser igual a:

200 120100

70100 168

Letra B

20. (PROMINP 2009/CESGRANRIO) Paulo aproveitou uma promoo e comprou por R$ 1.280,00 um computador novo, vendido com 20% de desconto. Qual era, em reais, o preo desse computador sem o desconto?

(A) 1.420,00 (B) 1.488,00 (C) 1.536,00 (D) 1.580,00 (E) 1.600,00

Resoluo

Vamos supor que o preo do computador, inicialmente, fosse de reais. Quando ocorre a promoo com 20% de desconto, devemos multiplicar o valor do computador por 100% - 20% = 80%.

80

100 1.280

O 100 que est dividindo passa para o segundo membro multiplicando. O 80 que est multiplicando passa para o segundo membro dividindo.

1.280 100

Inicialmente, o computador valia R$ 1.600,00.

80 1.600

Letra E



21. (Agente Administrativo CRF-SP 2009/VUNESP) Um grupo de amigos foi a um restaurante, e a conta apresentada pelos servios tinha a seguinte descrio:

Ao conferirem a conta, perceberam que os 3 ltimos itens no haviam sido consumidos e pediram para o garom refazer a conta, calculando novamente o que havia sido consumido e recalculando tambm o valor do servio, que corresponde a 10% do valor do que foi consumido. Desse modo, o valor total que seria cobrado a mais, incluindo o servio, representa, em relao ao valor total da conta correta, (A) 28%. (B) 36%. (C) 38%. (D) 40%. (E) 42%.

Resoluo

O valor que seria cobrado a mais corresponde a 20 35 45 100 reais. Devemos ainda acrescentar a taxa de 10% de servio.

10% 100,0010

Desta forma, o valor total cobrado a mais igual a 110 reais.

100 100 10

A conta correta a seguinte:

Produto Consumido Valor (R$) A 110,00 B 80,00 C 60,00

Subtotal 110,00 80,00 60,00 25010% (servio) 10% de 250 = 25 reais



Total da conta 250 25 275

Desse modo, o valor total que seria cobrado a mais, incluindo o servio, representa, em relao ao valor total da conta correta,

110275 0,4 40%

Letra D

22. (PROMINP 2009/CESGRANRIO) (...) estamos nos tornando uma sociedade cada vez mais em rede; atualmente 82 em cada 100 lares nos EUA tm acesso Internet, um aumento de 11% desde 2006.

O Globo Digital, 03 nov. 2008. (Adaptado)

Considerando-se as informaes apresentadas no texto acima, a quantidade de lares norte americanos que tinham acesso Internet em 2006 era de, aproximadamente,

(A) 67% (B) 68% (C) 71% (D) 74% (E) 77%

Resoluo

Vamos considerar que, em cada 100 lares, x tinham acesso Internet em 2006. Como houve um aumento de 11%, ento devemos multiplicar este valor por 100% + 11% = 111%.

111100 82

82 100111 73,87

Este valor indica que, em 2006, aproximadamente 74 em cada 100 lares nos EUA tinham acesso Internet.

Letra D

23. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Um tcnico em informtica resolveu reajustar o valor de seus servios em 30%, mas, para os clientes antigos, manteve o preo sem reajuste. Em relao ao novo preo, os clientes antigos tero, aproximadamente, um desconto de (A) 17% (B) 23% (C) 27%



(D) 30% (E) 33%

Resoluo

Vamos supor que o preo do servio do tcnico, inicialmente, fosse de R$ 100,00. Quando ele resolve reajustar o valor dos seus servios em 30%, ele passa a cobrar R$ 130,00.

O preo agora de R$ 130,00 e ele far o servio por R$ 100,00 para seus clientes antigos. Para calcular a taxa de desconto, devemos utilizar a frmula ensinada anteriormente.

100 130130

30130 100% 23%

Letra B

24. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Da receita de certa editora, 20% correspondem s vendas on-line e o restante, s vendas em livrarias. Essa editora tem como meta dobrar o faturamento das vendas on-line e aumentar em 50% o faturamento das vendas em livrarias. Se essa meta for cumprida, que parcela da receita total dessa editora as vendas on-line passaro a representar? (A) 25% (B) 30% (C) 35% (D) 40% (E) 45%

Resoluo

Vamos considerar que a receita da editora seja de R$ 100,00. Desta forma, R$ 20,00 correspondem s vendas on-line e R$ 80,00 s vendas em livrarias.

Dobrando o faturamento das vendas on-line, temos um total de R$ 40,00 correspondentes s esse tipo de venda.

Vamos aumentar em 50% o faturamento das vendas em livrarias. Como 50% de R$ 80,00 igual a R$ 40,00, ento o faturando deste tipo de venda ser de R$ 120,00 (80 +40).

O faturamento total agora de R$ 40,00 + R$ 120,00 = R$ 160,00.

Para saber a parcela representativa das vendas on-line, devemos dividir o faturamento das vendas on-line pelo faturamento total.

40160 0,25 25%

Letra A



25. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Segundo o Cdigo Florestal Brasileiro, o percentual de mata nativa que o proprietrio de um imvel rural obrigado a preservar varia de acordo com a regio. Na Amaznia, esse percentual de 80%. J, no Cerrado, de 35%. Duas propriedades, A e C, a primeira na Amaznia e a segunda, no Cerrado, tm a mesma rea de mata nativa preservada. Se a rea total da propriedade A 315 ha, qual , em ha, a rea total da propriedade C? (A) 505 (B) 630 (C) 720 (D) 904 (E) 1.102

Resoluo

A rea total da propriedade A de 315 hectares. Segundo o Cdigo Florestal Brasileiro, o percentual de mata nativa que os proprietrios de imveis rurais devem preservar na Amaznia de 80%.

Portanto, a rea preservada na propriedade A deve ser de:

80% 31580

100 315 0,8 315 252

De acordo com o enunciado, esta rea preservada na propriedade A igual a rea preservada na propriedade C.

252

Vamos considerar que a rea total da propriedade C seja de hectares. De acordo com o Cdigo Florestal Brasileiro, o percentual de mata nativa que os proprietrios de imveis rurais devem preservar no Cerrado de 35%. Portanto:

35% 25235

100 252

O 100 que est dividindo passa multiplicando e o 35 que est multiplicando passa dividindo.

252 10035

720 Letra C

26. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Durante o primeiro semestre de 2009, as montadoras de veculos venderam, no Brasil, 1,45 milho de automveis. Nos primeiros seis meses de 2010, as vendas foram ainda maiores, registrando um crescimento de 9% em relao ao mesmo perodo do ano anterior. Quantos milhes de automveis, aproximadamente, foram vendidos no Brasil, no primeiro semestre de 2010?



(A) 1,64 (B) 1,58 (C) 1,52 (D) 1,48 (E) 1,30

Resoluo

Para aumentar a quantidade de veculos vendidos em 9%, devemos multiplicar a quantidade por 100% + 9% = 109%.

1,45 109100 1,5805

Letra B

(TJBA 2003/CESPE-UnB)

Os dados acima representam a evoluo da quantidade de processos analisados em uma repartio pblica e do nmero de servidores que analisaram esses processos, em uma semana de expediente. A produtividade em um dia o resultado do quociente entre a quantidade de processos analisados naquele dia e a quantidade de servidores que analisaram esses processos. Com base nesses dados, julgue os seguintes itens.

27. Na sexta-feira, o nmero de servidores que analisaram processos aumentou mais de 50% em relao ao nmero dos que fizeram essa atividade na segunda-feira.

Resoluo



Foram 5 funcionrios na segunda-feira e 8 funcionrios na sexta-feira. O percentual de aumento :

8 55 0,6 60%

O item est certo.

28. Na sexta-feira, a produtividade foi 80% maior que na segunda-feira.

Resoluo

quantidade de processos analisadosquantidade de servidores que analisaram esses processos

Na segunda-feira, 75 processos foram analisados por 5 funcionrios. A produtividade da segunda-feira igual a:

755 15 /

Na sexta-feira, 216 processos foram analisados por 8 funcionrios. A produtividade da sexta-feira igual a:

2168 27 /

O percentual de aumento dado por:

27 1515

1215 0,8 80%

O item est certo.

(PMAC 2009/CESPE-UnB) O tiro certeiro da lei

Em So Paulo, o ndice de homicdios caiu drasticamente graas tambm lei que restringiu o acesso s armas de fogo. Depois dessa lei, o nmero de homicdios na capital paulista diminuiu em 61% nos assassinatos premeditados e em 27% nos assassinatos cometidos por impulso. Esses nmeros comparam o nmero de assassinatos ocorridos em 2003 com a mdia de homicdios ocorridos em 2006 e 2007, na capital paulista. Nos homicdios ocorridos na capital paulista, enquanto o uso de armas de fogo diminuiu, o de facas e outros instrumentos aumentou:



Com relao ao texto acima e considerando que a mdia de homicdios em 2006/2007, na capital paulista, tenha sido 30% superior quantidade de homicdios ocorridos em 2003 nessa mesma cidade, julgue os itens seguintes.

29. Na situao apresentada, a quantidade de homicdios com o uso de armas de fogo em 2003 foi superior mdia dos homicdios em 2006/2007 praticados com o uso desse tipo de instrumento.

Resoluo

Sem perda de generalidade, vamos supor que o nmero de homicdios em 2003 foi igual a 100. Como a quantidade de homicdios em 2006/2007 foi 30% maior, conclumos que a quantidade de homicdios neste perodo foi igual a 130.

Em 2003, 89% dos homicdios foram ocorridos com armas de fogo. Desta forma, 89 homicdios foram ocorridos com armas de fogo (89% de 100).

Em 2006/2007, 66% dos homicdios foram ocorridos com armas de fogo. Como foram 130 homicdios:

66% 13066

100 130 85,8 .

Conclumos que a quantidade de homicdios com o uso de armas de fogo em 2003 foi superior mdia dos homicdios em 2006/2007 praticados com o uso desse tipo de instrumento.

O item est certo.

30. A mdia em 2006/2007 da quantidade de homicdios com o uso de arma branca foi superior ao triplo dessas ocorrncias em 2003.

Resoluo

Vamos utilizar o mesmo raciocnio do item anterior. Vamos supor que foram 100 homicdios no ano de 2003. Consequentemente, 130 homicdios em 2006/2007.



De acordo com a tabela, em 2003, 7% dos homicdios foram ocorridos com armas brancas. Portanto, apenas 7 homicdios com armas brancas (7% de 100).

Em 2006/2007, o percentual de homicdios com armas brancas foi 17%. Como foram 130 homicdios:

17% 13017

100 130 22,1 .

A mdia em 2006/2007 da quantidade de homicdios com o uso de arma branca foi superior ao triplo dessas ocorrncias em 2003.

Como o triplo de 7 21 e 22,1>21, o item est certo.

(PMAC 2009/CESPE-UnB) A poluio dos carros paulistanos

So Paulo comeou neste ano a fazer a inspeo ambiental dos veculos registrados na cidade. Os movidos a dsel so os primeiros.

Veja os nmeros dos veculos na capital paulista:

veculos registrados: 6,1 milhes;

est fora de circulao ou trafega irregularmente: 1,5 milho;

movidos a dsel: 800.000;

cumprem os limites de emisso de poluentes: 20% dos veculos inspecionados.

Idem, p. 63 (com adaptaes).

Tendo o texto acima como referncia, julgue os itens seguintes.

31. Mais de 25% dos veculos registrados na capital paulista esto fora de circulao ou trafegam irregularmente.

Resoluo

So 6,1 milhes de carros registrados. Vejamos quanto 25% deste valor:

25100 6,1 1,525

Como 1,5 milho carros trafegam irregularmente ou esto fora de circulao (1,5



32. Menos de 3/4 dos veculos registrados na capital paulista circulam regularmente.

Resoluo

34 0,75 75%

Vamos reescrever o item.

Menos de 75% dos veculos registrados na capital paulista circulam regularmente.

Como menos de 25% dos carros andam irregularmente ou esto fora de circulao (questo 11), ento mais de 75% dos veculos circulam regularmente.

O item est errado.

33. Suponha que 32% dos veculos registrados na cidade de So Paulo passaram pela inspeo ambiental. Nesse caso, mais de 400.000 dos veculos registrados na capital paulista cumprem os limites de emisso de poluentes.

Resoluo

Devemos calcular 32% do total de veculos registrados na cidade de So Paulo.

32% 6,1 32

100 6,1 1,952

Temos 1,952 milho de carros inspecionados.

O texto nos informou que cumprem os limites de emisso de poluentes: 20% dos veculos inspecionados.

Vamos calcular 20% de 1,952 milho.

Observe que 1,952 milho igual a 1.952.000 carros.

20

O item est errado.

100 1.952.000 390.400

34. Se 3/32 dos veculos registrados na cidade de So Paulo esto fora de circulao, ento mais de 14% dos veculos registrados esto trafegando irregularmente.



Resoluo

So 6,1 milhes de veculos registrados na cidade de So Paulo.

332 6,1 571.875

O texto informou: est fora de circulao ou trafega irregularmente: 1,5 milho;

Portanto, 1.500.000 571.875 928.125 .

Vamos calcular 14% do total de carros:

14100 6.100.000 854.000

Como 928.125>854.000, conclumos que mais de 14% dos veculos registrados esto trafegando irregularmente.

O item est certo.

(PMCE 2008/CESPE-UnB) Turismo no Brasil: tomado pela informalidade

O turismo brasileiro atravessa um perodo de franca expanso. Entre 2002 e 2006, o nmero de pessoas que trabalham nesse setor aumentou 14% e chegou a 1,869 milho. Cerca de 60% desse contingente de trabalhadores est no mercado informal, sem carteira assinada. A estatstica faz parte de um estudo realizado pelo Instituto de Pesquisa Econmica Aplicada (IPEA). O quadro abaixo mostra a distribuio espacial da ocupao do setor de turismo no Brasil, no ano de 2006.

Segundo o estudo, as atividades ligadas ao turismo com maior ndice de trabalhadores formais so as de hotelaria, pousadas e locao de veculos, enquanto alimentao, cultura e lazer so as atividades com maior ndice de trabalhadores informais.

Veja. Ed. n. 2.065, 18/6/2008, p. 59 (com adaptaes).



Tendo o texto acima como referncia, julgue os itens que se seguem.

35. Infere-se do texto que em 2002 havia mais de 1,65 milho de trabalhadores no setor de turismo no Brasil.

Resoluo

Digamos que o nmero de trabalhadores em 2002 no setor de turismo foi igual a . Se no perodo houve um aumento de 14%, devemos multiplicar por 114%. Este valor final igual a 1,869 milho.

114100 1,869

100114 1,869 1,639

Portanto, em 2002 havia menos de 1,65 milho de trabalhadores no setor de turismo no Brasil. O item est errado.

36. Em termos percentuais, se 25% dos trabalhadores informais do setor de turismo no Nordeste deixarem a informalidade, a porcentagem dos informais no Nordeste ser inferior porcentagem dos informais no Sudeste.

Resoluo

Se 25% dos trabalhadores informais do setor de turismo no Nordeste deixarem a informalidade, restaro apenas 75% dos trabalhadores informais. Como os trabalhadores informais no Nordeste correspondem a 72% dos empregos no setor, teremos que calcular 75% de 72%.

75% 72% 0,75 72% 54%

Como a porcentagem dos informais no Sudeste igual a 52%, o item est errado.

37. Considerando que, na regio Norte, em 2007, a quantidade de trabalhadores ligados ao turismo tenha crescido 10% com relao a 2006 e que as quantidades totais desses trabalhadores com empregos informais e formais sejam nmeros diretamente proporcionais queles de 2006, nessa situao, em 2007, na regio Norte, havia mais de 38.000 trabalhadores ligados ao turismo com emprego formal e menos de 110.000 com emprego informal.

Resoluo



Havia, em 2006, um total de 135.000 trabalhadores no setor de turismo na regio Norte. A quantidade de trabalhadores no setor de turismo no ano de 2007 cresceu 10% em relao a 2006. Como 10% de 135.000 igual a 13.500, conclumos que a quantidade de trabalhadores no setor na regio Norte no ano de 2007 igual a 148.500 (135.000+13.500).

As quantidades totais desses trabalhadores com empregos informais e formais sejam nmeros diretamente proporcionais queles de 2006: 74% e 26%, respectivamente.

74% 148.50074

100 148.500 109.890

26% 148.50026

100 148.500 38.610

O item est certo.

38. Das 5 regies brasileiras, aquela que apresenta a maior diferena percentual entre o nmero de trabalhadores do setor de turismo com emprego informal e o nmero de trabalhadores com emprego formal a regio Nordeste.

Resoluo

Sudeste:

Sul:

52% 48% 4%

52% 48% 4%

Centro-Oeste:

Nordeste:

54% 46% 8%

Norte:

72% 28% 44%

74% 26% 48%

O item est errado. Das 5 regies brasileiras, aquela que apresenta a maior diferena percentual entre o nmero de trabalhadores do setor de turismo com emprego informal e o nmero de trabalhadores com emprego formal a regio Norte.

39. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) O consumo de energia eltrica na casa de Regina, em novembro de 2009, aumentou em 30% em relao ao de outubro, por causa do calor. Entretanto, em dezembro, Regina reparou que o consumo de energia eltrica diminuiu 10% em relao ao ms anterior. Ento, o consumo de dezembro em relao ao de outubro maior em:

a) 15% b) 17% c) 18%



d) 20% e) 22%

Resoluo

Vamos colocar um valor de referncia inicial (outubro) igual a 100. Temos um aumento de 30%, portanto devemos multiplicar por 100% + 30% = 130%. Em seguida temos uma diminuio de 10% e devemos multiplicar por 100% - 10% = 90%.

100 130100

90100 117

Como o valor inicial do consumo em outubro foi igual a 100 e o consumo em dezembro foi igual a 117, o aumento foi de 17%.

Letra B

40. (Cmara Municipal de Vassouras 2006/CEPERJ) Em uma loja de roupas, as vendas em fevereiro superaram as de janeiro em 20% e as vendas em maro superaram as de fevereiro em 60%. De janeiro a maro, o aumento nas vendas desta loja foi de:

A) 80% B) 86% C) 92% D) 120%

Resoluo

Temos dois aumentos sucessivos: 20% (devemos multiplicar por 100% + 20% = 120%) e 60% (devemos multiplicar por 100% + 60% = 160%).

Sempre que no for dado uma referncia inicial, vale a pena utilizar o valor 100. Ento, vamos supor que o valor inicial das vendas em janeiro foi igual a 100. O valor das vendas em maro ser igual a:

100 120100

160100 192

Temos, portanto, um aumento de 92%.

Letra C

41. (Cmara Municipal de Vassouras 2006/CEPERJ) Dois descontos sucessivos de 30% e 40% so equivalentes a um nico desconto de:

A) 58% B) 62% C) 66% D) 70%

Resoluo



Temos agora dois descontos sucessivos. Vamos adotar a mesma estratgia de utilizar o valor inicial igual a 100.

Para calcular o valor final depois do desconto de 30%, devemos multiplicar o valor inicial por 100% - 30% = 70%. Da mesma maneira, para dar o desconto de 40%, devemos multiplicar o valor por 100% - 40% = 60%.

100 70

100 60

100 42

Ora, se uma hipottica mercadoria custava 100 e agora custa 42, ento o desconto total dado foi de 100 42 = 58.

Desta forma, o desconto percentual foi de 58% (porque o valor inicial igual a 100).

Letra A

42. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Durante a noite, o dono de uma loja aumentou todos os preos em 20% e, no dia seguinte, anunciou um desconto de 30% em todos os produtos. O desconto real que ele est oferecendo de:

a) 10% b) 12% c) 14% d) 16% e) 18%

Resoluo

Continuando com a mesma estratgia. Digamos que todos os preos sejam iguais a 100. O dono da loja aumentou os preos em 20% (devemos multiplicar por 100% + 20% = 120%) e em seguida anunciou um desconto de 30% (devemos multiplicar por 100% - 30% = 70%).

100 120100

70100 84

Ora, se as mercadorias custavam 100 e agora custam 84, ento o desconto dado foi de 100 84 = 16. Como o valor inicial adotado foi igual a 100, o desconto percentual de 16%.

Letra D

43. (SEE/RJ 2007/CEPERJ) Em uma semana, as aes de certa companhia valorizaram 20% e, na semana seguinte, desvalorizaram 20%. O valor das aes :

A) o mesmo que o valor inicial B) maior em 2% que o valor inicial C) menor em 2% que o valor inicial D) maior em 4% que o valor inicial E) menor em 4% que o valor inicial



Resoluo

Vamos assumir que o valor inicial das aes igual a 100. Se as aes valorizaram 20%, devemos multiplicar o valor de cada ao por 100% + 20% = 120%. Com a desvalorizao de 20%, devemos multiplicar por 100% - 20% = 80%.

100 120100

80100 96

Ora, se as aes valiam 100 e agora valem 96, elas desvalorizaram 4%.

Letra E

44. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Um trabalhador gasta com o aluguel de sua casa 25% do seu salrio. Se o salrio corrigido com um aumento de 25% e o aluguel com um aumento de 35%, ento o novo aluguel passar a consumir a seguinte porcentagem do novo salrio do trabalhador:

a) 25% b) 35% c) 27% d) 37% e) 50%

Resoluo

Digamos que o salrio inicial do trabalhador igual a 100. Como o aluguel consome 25% do seu salrio, ento o aluguel igual a 25.

O salrio aumentou 25%. Devemos, ento, multiplicar o salrio por 100% + 25% = 125%.

100 125

O aluguel sofreu um aumento de 35%. Devemos, portanto, multiplic-lo por 100% + 35%

100 125

= 135%.

25 135100 33,75

Para saber qual a porcentagem do salrio consumida pelo aluguel, devemos dividir o valor do aluguel pelo salrio do trabalhador e multiplicar por 100% (sempre que quisermos transformar uma frao em porcentagem devemos multiplicar por 100%).

33,75125 100%

3.375125 % 27%

Letra C

45. (SEE/RJ 2007/CEPERJ) Pedro investiu certa quantia comprando aes de uma indstria. No final do primeiro ano, ele verificou que as aes tinham valorizado 25%, mas



no final do ano seguinte ele disse: Puxa, eu tenho hoje o dobro do dinheiro que investi. A valorizao dessas aes no segundo ano foi de:

A) 50% B) 55% C) 60% D) 70% E) 75%

Resoluo

Digamos que o valor inicial das aes de Pedro igual a 100. Se elas valorizaram 25%, devemos multiplicar seu valor por 100% + 25% = 125%.

100 125

No final do ano seguinte ele disse: Puxa, eu tenho hoje o dobro do dinheiro que investi.

100 125

Ora, como o valor inicial era igual a 100 e seu valor foi dobrado, ento o valor final igual a 200.

Queremos saber a valorizao das aes no segundo ano. O valor inicial das aes no segundo ano era igual a 125. Para calcular a variao percentual utilizaremos a seguinte frmula:

100%

Valor inicial: R$ 125,00.

Valor final: R$ 200,00 .

Diferena entre os valores: 200 125 = 75

75125 100%

7.500125 % 60%

Letra C

Razo e Proporo

Vamos comear com algumas definies formais que sero fundamentais para um bom entendimento das resolues das questes.

Razo de um nmero a para um nmero b, sendo b diferente de zero, o quociente de apor b.



Ento quando aparecer a palavra razo, devemos sempre nos lembrar que haver uma diviso!!

Denotamos por a : b = a / b a razo entre os nmeros a e b. O nmero a chamado de antecedente e o nmero b de consequente.

O conceito de razo nos permite fazer comparaes de grandeza entre dois nmeros.

H, por exemplo, um tipo especial de razo: a escala.

A escala a relao entre as distncias representadas num mapa e as correspondentes distncias reais. Escala a razo entre a medida no desenho e o correspondente na medida real.

realdesenhodoMedida

MedidaEscala =

Desta forma, quando voc l em um mapa que a escala de 1 : 100, isto significa que para cada unidade de comprimento no desenho, teremos 100 unidades de comprimento na realidade.

Escala = 1 :100

Isto significa que:

1 centmetro no desenho equivale a 100 centmetros na realidade.

1 decmetro no desenho equivale a 100 decmetros na realidade.

1 metro no desenho equivale a 100 metros na realidade.

E assim por diante...

Proporo a igualdade entre duas razes. A proporo entre dc e

ba a igualdade:

dc

ba= . Podemos escrever

/ /

Com a notao da esquerda, dizemos que a e c so os antecedentes; b e d so os consequentes.

Com a notao da direita, dizemos que a e d so os extremos, e que b e c so os meios.

Em toda proporo, vlida a seguinte propriedade (chamada de Propriedade Fundamental das Propores): o produto dos meios igual ao produto dos extremos.



Por exemplo,

46

812 6 8 4 12 48

importantssima a seguinte propriedade: A soma dos antecedentes est para a soma dos consequentes assim como qualquer antecedente est para o seu consequente.

Por exemplo,

46

812

4 86 12

1218

Ou seja, podemos prolongar toda proporo, somando os numeradores das fraes e somando os denominadores. Utilizaremos diversas vezes esta propriedade na resoluo de questes envolvendo diviso proporcional.

Isso o bsico que devemos saber para resolver questes sobre razes, propores e diviso proporcional. Ao longo da resoluo das questes, colocarei mais algumas propriedades e definies.

Vamos ver alguns exemplos para, em seguida, resolvermos questes de concursos recentes.

Exemplo: A definio de densidade demogrfica dada pela razo entre o nmero de habitantes de uma regio e a rea dessa regio. Pedro fez uma pesquisa, em sua cidade, para calcular qual seria a densidade demogrfica da regio onde mora. Ele conseguiu, junto prefeitura, as seguintes informaes: a rea da cidade era de 2.651 km2 e a quantidade de pessoas que residiam na localidade era de 151.107 habitantes. De posse dessas informaes, ele concluiu que a densidade demogrfica de sua cidade de:

Resoluo

O enunciado informou que a definio de densidade demogrfica dada pela razo entre o nmero de habitantes de uma regio e a rea dessa regio.

Vimos anteriormente que a palavra RAZO tem o mesmo significado de quociente (diviso)!!!

151.107 2.651

57 /



Exemplo: Em uma fbrica trabalham 216 funcionrios, sendo que 135 so do sexo masculino e 81 pertencem ao sexo feminino. Calcule a razo entre o nmero de funcionrios do sexo masculino e o nmero do sexo feminino.

Resoluo

Para calcular a razo entre o nmero de funcionrios do sexo masculino e o nmero do sexo feminino basta dividir o nmero de homens pelo nmero de mulheres.

13581

4527

159

53

A frao 135/81 foi simplificada por 3, por 3, e por 3. Se voc j tivesse percebido que 135 e 81 so divisveis por 27, poderia ter simplificado direto.

Exemplo: Em uma proporo contnua, a terceira proporcional dos nmeros 1 e 5 igual a:

Resoluo

Uma proporo contnua quando os meios so iguais. Ou seja, uma proporo do tipo

E o nmero c chamado de terceira proporcional dos nmeros a e b.

Assim,

15

5

1 5 5

25

Portanto, 25 a terceira proporcional dos nmeros 1 e 5.

O momento oportuno para lembrar que na proporo

O nmero d a quarta proporcional dos nmeros a, b, c.



Exemplo: A razo entre dois segmentos de reta x e y 2/5, ento a razo entre o quntuplo do segmento x e a metade do segmento y igual a:

Resoluo

Pelo enunciado, podemos escrever que

25

Queremos calcular a seguinte razo:

5

2

Lembre-se que para dividir fraes, repetimos a frao do numerador, invertemos a frao do denominador e multiplicamos. Dessa forma,

5

25

210 10

25

205 4

Exemplo: Na proporo x/y = 2/5. Sabendo-se que x+y=49, o valor de x e y ser de:

Resoluo

25

Dica: prefervel que voc coloque as incgnitas no numerador e os nmeros no denominador. Voc poder fazendo isso trocando os meios de lugar, ou trocando os extremos. Por exemplo, podemos trocar o y com o 2. Essa troca vlida porque o produto dos meios igual ao produto dos extremos, e a ordem dos fatores no altera o produto.

Assim, a mesma proporo pode ser escrita como

2

Vamos agora utilizar uma propriedade que mencionei anteriormente.

5

Podemos prolongar toda proporo, somando os numeradores das fraes e somando os denominadores.

2 5 2 5497 7

Dessa forma,

2 7 14 5 7 35



Exemplo: Considere dois nmeros x e y que sejam diretamente proporcionais a 8 e 3 e cuja diferena entre eles seja 60. Determine o valor de ( x + y ).

Resoluo

Se os nmeros x e y so diretamente proporcionais a 8 e 3, podemos escrever

8 3

E da mesma forma que podemos prolongar a proporo somando os numeradores e os denominadores, podemos tambm subtrair. Assim,

8 3 8 3605 12

8 12 96 3 12 36

Portanto,

96 36 132

Exemplo: Em uma festa, a razo entre o nmero de moas e o de rapazes, de 3/2. A porcentagem de rapazes na festa :

Resoluo

Se a razo entre o nmero de moas e o de rapazes 3/2, ento

32

Falamos anteriormente que prefervel que voc coloque as incgnitas no numerador e os nmeros no denominador. Voc poder fazendo isso trocando os meios de lugar, ou trocando os extremos.

3 2

Queremos saber o percentual de rapazes. Podemos supor que o total de pessoas igual a 100. Se o total de pessoas (m+r) for igual a 100, ento quantos sero rapazes?

3 2 3 2100

5 20

2 20 40

Ou seja, se fossem 100 pessoas no total, 40 seriam rapazes. Portanto, o percentual de rapazes 40%.



Exemplo: Se a razo entre dois nmeros 5 e a soma entre eles 30, pode-se afirmar que a diferena entre eles :

Resoluo

Sejam x e y os nmeros.

5 5

Como a soma deles 30,

30

Vamos substituir por 5 .

5 30 6 30 5

Como 5 , 5 5 25

A diferena entre eles 25 5 = 20.

Exemplo: Paulo tem trs filhos, Rodrigo de 15 anos, Ricardo de 20 anos e Renato de 25 anos. Paulo pretende dividir R$ 3.000,00 para os trs filhos em valores proporcionais as suas idades. correto afirmar que o valor que Rodrigo deve receber :

Resoluo

Queremos dividir R$ 3.000,00 em trs partes diretamente proporcionais a 15, 20 e 25 anos, que so as idades de Rodrigo, Ricardo e Renato, respectivamente.

Assim,

15 20 25

Obviamente 3.000.

Assim, somando os numeradores e somando os denominadores, podemos prolongar a proporo.

15 20 25 15 20 253.000

60 50

Temos ento:

15 50 15 50 750



Exemplo: Trs tcnicos receberam, ao todo, por um servio R$3.540,00. Um deles trabalhou 2 dias, o outro 4 dias e o outro 6 dias. Sabendo-se que a diviso do valor proporcional ao tempo que cada um trabalhou, o tcnico que trabalhou mais dias recebeu:

Resoluo

Devemos dividir R$ 3.540,00 em partes diretamente proporcionais a 2,4 e 6 dias. Assim, temos a seguinte proporo:

2 4 6

Obviamente, a soma das trs partes (a+b+c) igual a R$ 3.540,00. Dessa forma,

2 4 6 2 4 63.540

12 295

O tcnico que mais trabalhou (6 dias) recebeu

6 295 6 295 1.770

Exemplo: Uma gratificao de R$ 5.280,00 ser dividida entre trs funcionrios de uma empresa na razo direta do nmero de filhos e na razo inversa das idades de cada um. Andr tem 30 anos e possui 2 filhos; Bruno com 36 anos tem 3 filhos e Carlos tem 48 anos e 6 filhos. correto que o mais velho receber:

Resoluo

Temos agora uma diviso diretamente proporcional ao nmero de filhos e inversamente proporcional s idades.

Em divises desse tipo, a proporo tomar a seguinte forma:

No nosso exemplo, a diviso ser diretamente proporcional a 2, 3 e 6 (ficam no numerador) e ser inversamente proporcional a 30, 36 e 48 (ficam no denominador).

230

336

648

Podemos simplificar as fraes:

115

112

18



Podemos facilitar nossas vidas adotando o seguinte procedimento:

Sempre que numa proporo houver fraes nos denominadores, devemos calcular o m.m.c dos denominadores das fraes.

No caso, o m.m.c. entre 8,12 e 15 igual a 120. Devemos agora dividir 120 por 15 e multiplicar por 1. Devemos dividir 120 por 12 e multiplicar por 1. Devemos dividir 120 por 8 e multiplicar por 1.

8 10 15

Agora temos uma proporo muito parecida com s dos quesitos anteriores. Devemos somar os numeradores e os denominadores.

8 10 15 8 10 155.280

33 160

O mais velho, Carlos, receber:

15 160 15 160 2.400

46. (TRE AC 2010/FCC) Suponha que, para transportar as urnas eletrnicas usadas em uma eleio foi utilizada uma viatura do TRE do Estado do Acre. Na ocasio, o motorista responsvel pela conduo de tal viatura consultou um mapa feito na escala 1 : 20 000 000, ou seja, 1 unidade de medida no mapa correspondem a 20 000 000 unidades de medida real. Se nesse mapa o municpio de Rio Branco distava 1,19 cm do de Brasilia e o municpio de Tarauac distava 2,27 cm do de Rio Branco, quantos quilmetros a viatura deve ter percorrido no trajeto: Rio Branco Brasilia Rio Branco Tarauac Rio Branco?

a) 1.482 b) 1.384 c) 1.146 d) 930 e) 692

Resoluo

No mapa, o trajeto indicado d um total de:

1,19 1,19 2,27 2,27 6,92

Esta a medida do desenho.

Sabemos que:



120.000.000

6,92

Portanto:

6,92 20.000.000 138.400.000

Pelo tipo de nmero, comeando por 1384 s podemos marcar a alternativa B (pois ele quer a resposta em quilmetros). Vamos transformao.

Como 1 metro equivale a 100 cm, para transformar aquela medida para metros devemos dividir por 100 (cortar dois zeros).

1.384.000

Para transformar de metro para quilmetro, devemos dividir por 1000 (cortar trs zeros), j que 1 km = 1.000 m.

1.384

Letra B

47. (MPE-RS 2010/FCC) A tabela a seguir mostra as participaes dos trs scios de uma empresa na composio de suas aes.

Os lucros da empresa em determinado ano, que totalizaram R$ 560.000,00, foram divididos entre os trs scios proporcionalmente quantidade de aes que cada um possui. Assim, a scia Maria Oliveira recebeu nessa diviso

a) R$ 17.500,00 b) R$ 56.000,00 c) R$ 112.000,00 d) R$ 140.000,00 e) R$ 175.000,00

Resoluo

As divises foram feitas em partes diretamente proporcionais. Vamos denominar os lucros de cada scio com a letra inicial do nome de cada um.



15.000 10.000

Vamos simplificar os denominadores por 1.000.

7.000

15 10 7

Agora temos uma proporo muito parecida com s dos quesitos anteriores. Devemos somar os numeradores e os denominadores.

15 10 7 15 10 7560.000

32 17.500

A parte de Maria Oliveira ser igual a:

10 17.500 175.000

Letra E

48. (TRF 5 Regio 2008/FCC) A razo entre as idades de dois tcnicos igual a 5/9. Se a soma dessas idades igual a 70 anos, quantos anos o mais jovem tem a menos que o mais velho?

a) 15 b) 18 c) 20 d) 22 e) 25

Resoluo

Vamos considerar que a idade do mais novo igual a e a idade do mais velho igual a . A razo entre essas idades igual a 5/9.

59

Falamos anteriormente que prefervel que voc coloque as incgnitas no numerador e os nmeros no denominador. Voc poder fazendo isso trocando os meios de lugar, ou trocando os extremos.

5 9

A soma das idades igual a 70 anos. Vamos ento prolongar a proporo somando os numeradores e somando os denominadores.

5 9 5 97014 5

Portanto:



5 5 25

9 5 45

A idade do mais novo 25 e a idade do mais velho 45.

A diferena entre as idades igual a 20 anos.

Letra C

49. (FCC-TRF-1a-Regio 2001) Dois funcionrios de uma Repartio Pblica foram incumbidos de arquivar 164 processos e dividiram esse total na razo direta de suas respectivas idades e inversa de seus respectivos tempos de servio pblico. Se um deles tem 27 anos e 3 anos de tempo de servio e o outro 42 anos e est h 9 anos no servio pblico, ento a diferena positiva entre os nmeros de processos que cada um arquivou

(A) 48 (B) 50 (C) 52 (D) 54 (E) 56

Resoluo

Temos uma diviso diretamente proporcional s idades e diviso inversamente proporcional aos tempos de servios.

A proporo ter a seguinte forma:

27 4293

a b=

O m.m.c entre 3 e 9 igual a 9. Para facilitar nossas vidas, devemos dividir 9 por 3 e multiplicar por 27, resultando 81. Devemos dividir 9 por 9 e multiplicar por 42, resultando 42.

164 481 42 81 42 123 3a b a b+

= = = =+



481 1083442 563

108 56 52

a

b

a b

= =

= =

= =Letra C

50. (SUSEP 2010/ESAF) Um pai deseja dividir uma fazenda de 500 alqueires entre seus trs filhos, na razo direta da quantidade de filhos que cada um tem e na razo inversa de suas rendas. Sabendo-se que a renda do filho mais velho duas vezes a renda do filho mais novo e que a renda do filho do meio trs vezes a renda do mais novo, e que, alm disso, o filho mais velho tem trs filhos, o filho do meio tem dois filhos e o filho mais novo tem dois filhos, quantos alqueires receber o filho do meio?

a) 80 b) 100 c) 120 d) 160 e) 180

Resoluo

Digamos que a renda do filho mais novo seja igual a 1. Portanto a renda do filho mais velho ser igual a 2 e a renda do filho do meio ser igual a 3.

Temos a seguinte proporo:

O mnimo mltiplo comum entre 2, 3 e 1 igual a 6. Podemos desenvolver a proporo da seguinte maneira: dividimos pelo denominador e multiplicamos pelo numerador (com as fraes que se encontram no denominador). Por exemplo, olhe para a primeira frao: 3/2. Dividimos 6 (m.m.c.) por 2 e multiplicamos por 3. Obtemos o nmero 9. A segunda frao: 6 dividido por 3, vezes 2: obtemos o nmero 4. Finalmente a ltima frao: 6 dividido por 1, vezes 2: obtemos o nmero 12. A proporo ficar:

Temos uma diviso diretamente proporcional aos nmeros 9, 4 e 12.



Assim, o filho do meio receber 4 x 20 = 80 alqueires.

Letra A

51. (Pref. de So Paulo 2008/FCC) Lourival e Juvenal so funcionrios da Prefeitura Municipal de So Paulo h 8 e 12 anos, respectivamente. Eles foram incumbidos de inspecionar as instalaes de 75 estabelecimentos comerciais ao longo de certa semana e decidiram dividir esse total entre si, em partes inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de servio na Prefeitura. Com base nessas informaes, correto afirmar que coube a Lourival inspecionar

(A) 50 estabelecimentos. (B) 15 estabelecimentos a menos do que Juvenal. (C) 20 estabelecimentos a mais do que Juvenal. (D) 40% do total de estabelecimentos. (E) 60% do total de estabelecimentos.

Resoluo

Vamos considerar que Lourival inspecionar estabelecimentos e Juvenal inspecionar estabelecimentos.

J que a diviso ser em partes inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de servio na Prefeitura, a proporo ficar assim:

18

112

Vamos adotar a mesma estratgia da questo anterior. O mnimo mltiplo comum entre 8 e 12 igual a 24. Olhe para as fraes dos denominadores. Devemos dividir 24 por 8 e 24 por 12. A proporo ficar assim:

3 2

Aplicando a propriedade das propores. Devemos somar os numeradores e somar os denominadores. Lembre-se que o total de estabelecimentos inspecionados igual a 75.

3 2 3 2755 15

3 15 452 15 30

Desta forma, Lourival inspecionou 45 estabelecimentos e Juvenal inspecionou 30 estabelecimentos.



Vamos agora analisar as alternativas:

correto afirmar que coube a Lourival inspecionar:

(A) 50 estabelecimentos (FALSO)

(B) 15 estabelecimentos a menos do que Juvenal (FALSO, pois foram 15 estabelecimentos a mais do que Juvenal).

(C) 20 estabelecimentos a mais do que Juvenal (FALSO, pois foram 15 estabelecimentos a mais do que Juvenal).

(D) 40% do total de estabelecimentos. (FALSO, pois 40% de 75 igual a 30).

(E) 60% do total de estabelecimentos (VERDADEIRO, pois 60% de 75 igual a 45).

Resposta: Letra E

52. (Agente de Estao METRO-SP 2007/FCC) Certo dia, trs funcionrios da Companhia do Metropolitano de So Paulo foram incumbidos de distribuir folhetos informativos contendo orientaes aos usurios dos trens. Para executar tal tarefa, eles dividiram o total de folhetos entre si, em partes inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de servio no Metr: 2 anos, 9 anos e 12 anos. Se o que trabalha h 9 anos ficou com 288 folhetos, a soma das quantidades com que os outros dois ficaram foi (A) 448 (B) 630 (C) 954 (D) 1 512 (E) 1 640

Resoluo

Vamos considerar que as quantidades de folhetos de cada um dos funcionrios so iguais a , , (em ordem crescente do tempo de servio).

J que a diviso inversamente proporcional ao tempo de servio, ento a proporo ficar assim:

12

19

112

O mnimo mltiplo comum entre 2, 9 e 12 igual a 36. Devemos dividir 36 por 2, por 9 e por 12, obtendo 18, 4 e 3, respectivamente.

18 4 3

O funcionrio que trabalha h 9 anos ficou com 288 folhetos, portanto 288.



18288

4 3

18 72 3

18 72 1.2963 72 216

Portanto, 1.512.

A soma das quantidades com que os outros dois ficaram foi 1.512.

Letra D

53. (BAHIA GAS 2010/FCC) Para realizar a partilha de uma herana de R$ 28.500,00, quatro irmos, que nasceram em dias diferentes, marcaram encontro em um sbado. O testamento determinava que eles receberiam partes diretamente proporcionais s respectivas idades, em anos completos, que nesse sbado seriam: 15, 17, 21 e 22 anos. O irmo mais novo s compareceu no domingo, um dia depois do combinado, e que era exatamente o dia de seu aniversrio. Supondo que a partilha tenha sido feita no domingo, a quantia somada que os dois irmos mais velhos deixaram de receber por conta do adiamento de um dia : (A) R$ 50,00. (B) R$ 155,00. (C) R$ 180,00. (D) R$ 205,00. (E) R$ 215,00.

Resoluo

As divises foram feitas em partes diretamente proporcionais. Se a partilha fosse feita no sbado, ento a proporo ficaria assim:

15 17 21 22

Como a herana total igual a R$ 28.500,00, ento somando os numeradores e somando os denominadores:

15 17 21 22 15 17 21 2228.500

75 380

O irmo que tem 21 anos receberia 21 380 7.980 . O irmo que tem 22 anos receberia 22 380 8.360 .



Mas a partilha foi feita no domingo, dia de aniversrio do irmo mais novo. No domingo, o irmo mais novo completou 16 anos e a partilha foi feita de acordo com a seguinte proporo:

16 17 21 22

Como a herana total igual a R$ 28.500,00, ento somando os numeradores e somando os denominadores:

16 17 21 22 16 17 21 2228.500

76 375

O irmo que tem 21 anos recebeu 21 375 7.875 .

7.980 7.875 105 .

O irmo que tem 22 anos recebeu 22 375 8.250 .

O irmo de 21 anos deixou de receber O irmo de 22 anos deixou de receber 8.360 8.250 110 .A quantia somada que os dois irmos mais velhos deixaram de receber por conta do adiamento de um dia 105 110 215 reais.

Letra E

54. (Pref. de Salvador 2008/FCC) Foi solicitada, Guarda Municipal, a distribuio de colaboradores que se responsabilizassem por aes que garantissem a preservao dos parques pblicos de trs municpios da regio metropolitana do Salvador. Fez-se a opo de distribuir os 72 colaboradores, de forma diretamente proporcional populao de cada um dos municpios.

Tabela de valores aproximados de populao

Qual o nmero de colaboradores destinados ao municpio Lauro de Freitas? (A) 36 (B) 30 (C) 26 (D) 13 (E) 10

Resoluo



Vamos considerar que os nmeros de colaboradores aos municpios de Camaari, Dias Dvila e Lauro de Freitas so iguais a , , respectivamente.

A diviso feita de forma proporcional populao de cada cidade.

180.000 50.000 130.000

Podemos simplificar a proporo dividindo todos os termos dos denominadores por 10.000 (cortar 4 zeros).

18 5 13

Vamos agora somar os numeradores e somar os denominadores.

18 5 13 18 5 137236 2

Desta forma, 13 2 26.

O municpio de Lauro de Freitas receber 26 colaboradores.

Letra C

55. (MPE-AP 2009/FCC) O dono de uma loja resolveu distribuir a quantia de R$ 3.570,00 entre seus funcionrios, como premiao. Cada um dos cinco funcionrios receber uma parte diretamente proporcional ao nmero de anos completos trabalhados na loja. A tabela mostra o nmero de anos completos trabalhados na loja pelos cinco funcionrios.

A diferena entre o prmio recebido pelo funcionrio M e o prmio recebido pelo funcionrio K, em reais, (A) 127,50 (B) 255,00 (C) 382,50 (D) 510,00 (E) 892,50

Resoluo



A diviso ser feita em partes diretamente proporcionais ao nmero de anos completos trabalhados na loja. A proporo ser a seguinte:

2 3 4 7 12

A soma das quantias recebidas pelos funcionrios igual a R$ 3.570,00.

2 3 4 7 12 2 3 4 7 123.570

28 127,5

Desta forma:

7 127,5 892,50

3 127,5 382,50

A diferena entre o prmio recebido pelo funcionrio M e o prmio recebido pelo funcionrio K, em reais, 892,50 382,50 510.

Letra D

56. (DPE-SP 2010/FCC) O oramento de um municpio para transporte pblico de R$ 770.000,00. Esse oramento ser repartido entre trs regies (A, B e C) do municpio em proporo direta ao nmero de habitantes de cada uma. Sabe-se que o nmero de habitantes da regio A o dobro da regio B, que por sua vez dobro da regio C. Nas condies dadas, as regies B e C recebero, juntas, (A) R$ 280.000,00. (B) R$ 290.000,00. (C) R$ 300.000,00. (D) R$ 310.000,00. (E) R$ 330.000,00.

Resoluo

No foi informada a populao de cada uma das regies. Apenas foi dito que o nmero de habitantes da regio A o dobro da regio B, que por sua vez dobro da regio C.

Vamos considerar que a populao da regio C seja igual a 1. Desta forma, a populao da regio B ser igual a 2 e a populao da regio A ser igual a 4.

Desta maneira, devemos dividir R$ 770.000,00 em partes diretamente proporcionais a 4,2 e 1.

4 2 1 4 2 1770.000

7 110.000

2 110.000 220.000

1 110.000 110.000



As regies B e C recebero juntas, 220.000+110.000 = 330.000 reais.

Letra E

57. (Casa da Moeda do Brasil 2009/CESGRANRIO) Ao receber seu dcimo terceiro salrio, Mrio o dividiu em duas partes, diretamente proporcionais a 4 e a 7. Ele depositou a menor parte na poupana e gastou o restante em compras de Natal. Se Mrio depositou R$ 560,00 na poupana, quanto ele recebeu de dcimo terceiro salrio, em reais? (A) 800,00 (B) 960,00 (C) 1.200,00 (D) 1.400,00 (E) 1.540,00

Resoluo

Vamos considerar que Mrio dividiu seu salrio em duas partes a e b que so diretamente proporcionais a 4 e a 7. Podemos escrever:

4 7

A menor parte (R$ 560,00) ele depositou na poupana. A menor parte aquele que est sendo dividida por 4.

5604 7

140 7

7 140

980

Assim, Mrio recebeu R$ 980,00 + R$ 560,00 = R$ 1.540,00.

Letra E

58. (PROMINP 2006/CESGRANRIO) Com o objetivo de garantir a auto-suficincia, a Petrobras vai implantar, nos prximos cinco anos, 36 grandes projetos.

Disponvel em http://www.autosuficiencia.com.br

Em 2006, est prevista a implantao de quatro plataformas, dentre elas a SSP-300 e a Golfinho Fase Um, a primeira no Campo de Piranema, SE, e a segunda, no Campo de Golfinho, ES. Juntas, estas duas plataformas tero capacidade para produzir 120 mil barris/dia. Considerando-se que as produes das plataformas Golfinho Fase Um e SSP- 300 so diretamente proporcionais a 5 e a 1, a diferena, em milhares de barris, entre suas produes dirias ser de:



(A) 20 (B) 40 (C) 60 (D) 80 (E) 90

Resoluo

Vamos considerar que a plataforma Golfinho Fase Um produza mil barris por dia e que a plataforma SSP-300 produza mil barris por dia. Estas duas quantidades so diretamente proporcionais a 5 e a 1.

5 1

Toda proporo pode ser prolongada. Para isso, basta somar os numeradores e somar os denominadores.

5 1 5 1

Como o total de barris produzidos 120 mil, ento 120.

5 1120

6 20

5 20 100

1 20 20

A diferena em milhares de barris, entre suas produes dirias ser de:

100 20 80

Letra D

59. (PROMINP 2006/CESGRANRIO) Para reduzir o consumo de energia eltrica, uma empresa instalou dois painis solares que, juntos, ocupam 560m2. Se as reas dos dois painis so diretamente proporcionais a 3 e a 1, qual a diferena, em m2, entre essas reas? (A) 140 (B) 210 (C) 280 (D) 300 (E) 320

Resoluo

Vamos considerar que as reas de cada um dos painis so iguais a x e y, respectivamente.



Estas duas reas so diretamente proporcionais a 3 e a 1. A soma das duas reas igual a 560 m.

3

Para prolongar esta proporo, devemos somar os numeradores e os denominadores.

1

Lembrando que a soma dos numeradores igual a 560.

3 1 3 1560

4 140

3 140 4201 140 140

A diferena entre as duas reas igual a 420 140 280 m.

Letra C

60. (CAERN 2010/FGV) Dividindo-se 11.700 em partes proporcionais a 1, 3 e 5, a diferena entre a maior das partes e a menor delas a) 6.500. b) 5.500. c) 5.800. d) 5.200. e) 5.000

Resoluo

Devemos dividir 11.700 em partes diretamente proporcionais a 1,3 e 5 dias. Assim, temos a seguinte proporo:

1 3 5

Obviamente, a soma das trs partes (a+b+c) igual a 11.7000. Dessa forma,

1 3 5 1 3 511.700

9 1.300

Assim:

1 1.300 1.300

3 1.300 3.900

5 1.300 6.500



A diferena entre a maior das partes e a menor delas 6.500 1.300 5.200. Letra D

GRANDEZAS DIRETAMENTE/INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Duas sequncias de nmeros so ditas diretamente proporcionais se o quociente entre os elementos correspondentes for constante.

Ou seja, as sequncias ( , , , e ( , , , so diretamente proporcionais se

O nmero k a chamada constante de proporcionalidade.

Duas sequncias de nmeros so ditas inversamente proporcionais se o produto entre os elementos correspondentes for constante.

Ou seja, as sequncias ( , , , e ( , , , so inversamente proporcionais se

O nmero k a chamada constante de proporcionalidade.

61. (AFC-STN 2000/ESAF) Em um processo de fabricao, o custo total inversamente proporcional ao quadrado das quantidades produzidas. Quando so produzidas

Documents

Exercicio de Nada Presta