Exercicios Basicos de Matematica

EXERCÍCIOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA

2 EXERCÍCIOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA - PROF. MARCO ANTONIO

1. NÚMEROS INTEIROS Efetuar:

1) =+− 712 2) =−− 418 3) =−−− 81320 4) =+− 7615 5) =⋅ 417 6) =−÷ )5(200 7) =÷−⋅ )256()322( 8) =⋅+ 2514 9) =+÷ 6216 10) =+÷ )62(16 11) =÷−÷+÷ 50236728 12) =60 13) =4121 14) =− 25 15) =− 2)5( 16) =−−÷ )12(10 2 17) =610 18) =+ 78 1010 19) =+ 6436 20) =+ 6436 21) =⋅164 22) =⋅ 164 23) =− 10 24) =⋅−+ 6253169144 25) =+ 3 149 26) =− 46 1664 27) =⋅+⋅ 7 1283252 28) =⋅−⋅ 35 3435324 29) =⋅−⋅ 44 40966100008

2. NÚMEROS FRACIONÁRIOS Simplificar:

Exemplo: 45

312315

1215

224230

2430

=÷÷

==÷÷

=

30) =12400

31) =75015000

32) =360240

Escreva em forma de fração mista o

número 745

eiraparte int63745

→ 736

745

=∴

Escreva em forma de fração mista os números:

33) =58

34) =7111

35) =13528

Escreva em forma de fração imprópria o

número 728

758

7256

7278

728 =

+=

+⋅=

36) =324

37) =8310

38) =25238

Efetuar:

39) =+−718

712

71

40) =+− 241

85

41) =+−52325

21



Efetuar: 4021

5873

57

83

=⋅⋅

=⋅

42) =⋅94

32

43) =⋅⋅⋅1512

3145

72

Efetuar: 6320

9754

95

74

59

74

=⋅⋅

=⋅=⋅

44) =÷21

73

45) =−÷29

41

21

46) =÷−74

212

Efetuar: 8125

25

25

52

3

333

==

=

−

47) =

3

53

48) =

÷

−2

31

723

49) =

+

−

−−

2

11 231

Efetuar: 74

74

4916

2

2

==

50) =92

51) =3

6427

52) =−

356

3. FRAÇÕES DECIMAIS E NÚMEROS DECIMAIS

Exemplo: Transformar em fração decimal o número decimal 03,0

100303,0 =

Transformar em fração decimal os números decimais:

53) 4,0 54) 47,241 55) 1020304,0

Exemplo: Transformar em número decimal

fração decimal 017,0100017

=

56) 10253

57) 000.000.10

890047

58) 000.000.100

314159265

Exemplo: Efetuar 7,3 x 85,0

Efetuar: 59) 40002,0 × 60) 2,117,43 × 61) 17,01009,0 ×

Exemplo: Efetuar 2,0036,0 ÷

7,3 x 85,0 185 296 145,3

00018,0160020036020036200,0036,02,0036,0

,Portanto 18,02,0036,0 =÷



Efetuar:

62) 6,12:75,15 63) 1000:01,0 64) 8:0024,816

4. EQUAÇÃO DO 1º GRAU Resolver em ℜ a equação: )4(225 −=− xx

( )223663

82258225)4(225

−=⇒=∴−

=

−=−=−−=−−=−

Sxx

xxxxxxx

Resolver em ℜ as equaçôes:

65) 2)1(13 −=−x

66) 152

31

−=+

−− xx

67) A soma de dois números inteiros é 48. Determine-os sabendo que um deles é igual ao triplo do outro.

68) Um número inteiro, somado com sua quarta parte e somado com seu dobro é igual a 650. Calcule o triplo do quadrado desse número.

69) A soma de quatro números inteiros e consecutivos é igual a 90. Determine-os.

5. PORCENTAGEM

100% xx =

Exemplo: Calcular 80%25 de

20804180

1002580%25 =⋅=⋅=de

Calcular:

70) 10%20 de 71) 180%30 de

72) %20%15 de 73) ( )2%20

74) %81 75) %64%30 de

76) 00,450$%8%2 deRde



6. REGRA DE TRÊS Regra de Três Simples e Direta Exemplo: Uma secretária ganha R$2.100,00 por 10 dias de trabalho. Quanto ganhará trabalhando 14 dias? Resolução: Sendo x o salário que receberá por 14dias, temos:

14102100

=x

21001410 ⋅=⋅ x

940.2940.210400.29

=∴== xx

Resposta: A secretária receberá R$2.940,00 Regra de Três Simples e Inversa Exemplo: Sabendo-se que 144 funcionários realizam um serviço em 8 dias, determine quantos funcionários serão necessários para realizar o mesmo serviço em 9 dias. Resolução: Sendo x o número de funcionários necessários para realizar o serviço em 9 dias, temos:

1289152.1152.19

89144

=∴=∴=∴= xxxx

Resposta: Serão necessários 128 funcionários. 77) Um operário ganha R$1.800,00 por

12 dias de trabalho. Determine quanto receberá se trabalhar 8 dias?

78) Um caminhão com velocidade de 90Km/h, demora 6 horas para percorrer o trajeto entre duas cidades. Determine quanto tempo demorará para percorrer a mesma distância caso trafegue à 150Km/h.

79) Considere uma roda de 42 dentes que engrena com outra de 35 dentes. Quantas voltas dará esta última quando a primeira der 245 voltas?

80) Um pintor pinta 5 paredes em 19 manhãs. Quantas paredes irá pintar se trabalhar 76 manhãs?

Salário Dias

2100 10

x 14

Funcionários Dias

144 8

x 9

Funcionários Dias

144 9

x 8



7. POTENCIAÇÃO Potência de expoente inteiro Qualquer que seja um número a , definimos: Ampliando a definição, colocando:

aa =1 e 10 =a . Para 0≠a e n inteiro positivo, definimos

na− pela relação: n

nn

aaa

==− 11

Se existem nm aa , e mb no conjunto dos números reais, valem as propriedades: Calcular o valor de cada expressão:

81) ( ) ( ) 234 212 −−−−

82) ( ) 23

232 −

−

−−

−

83) ( ) 13

1,021 −

−

−

−

84) ( ) ( )56 22 −−− 85) ( ) 33 22 −− 86) ( ) 44 33 −−

87) ( ) ( ) ( ) ( )2

023

27321

−−+−⋅−−− −

88) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1070106105

103102101100

11111111

−−+−−−−+−−−+−

Efetuar as operações com potências redutíveis à mesma base.

89) ( ) ( )4826 7:7:7:7 −−−−

90) ( )433 5:54

91) ( ) ( ) 32462 3:3:3 −−

92) ( ) ( ) 132132 25:5:62512525 −−⋅⋅

93) 22

49:71:

713427

−−

⋅⋅

94) ( ) ( ) 12326 ::: −−−− aaaa , 0≠a Reduzir cada expressão a uma única potência:

95) 4

312

21256816

−−

⋅⋅⋅

96) 26

2 24331729 ⋅

−⋅−

97) 2

21025

+

⋅

aa

98) xx

x−

⋅

⋅

71

3431492

Simplificar cada fração:

99) 101011

101112

333333

++−−

100) nn

nnn

33333

2

11

−++

+

+−

101) ( )( )100100

100100

2244

−+−+

102) ( ) 323

545100

50

−−⋅−⋅

naaaaan ,.... ⋅⋅⋅⋅= inteiro, n 2≥ n fatores a

( )( )

0,

0,:

≠

=

⋅=⋅

=

≠=

=⋅

⋅

−

+

bba

ba

baba

aa

aaaaaaa

m

m

m

mmm

pmpm

nmnm

nmnm



8. RAIZ N-ÉZIMA No conjunto dos números reais, temos situações distintas conforme n seja par ou impar.

a) Para n par: se 0<a , não existe raiz n-ésima de a ; se 0=a , a única raiz n-ésima é zero; se 0>a , existem duas raízes n-ésimas de a , uma positiva e a outra negativa, indicadas respectivamente

por,

nn aoua1

e

−− nn aoua

1

.

b) Para n impar:

qualquer que seja o número real a , existe uma única raiz n-ésima, que é

indicada por

naouan1

.

Se existem m a , m b , m na e m n a no conjunto dos números reais, valem as propriedades:

9. POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL

Exercícios referentes aos itens 8 e 9.

Calcular o valor de: 103) 543 3281125 −−+− 104) 93 1008,021,1 −+−−

105) 435 6253433125 −−−− 106) 43 1619664 −+−

107) 4222 +++

108) 4222

109) 1018135 +++

110) 3 4 4 1662359 +−− Efetuar as operações indicadas 111) 86727123 +−+ 112) 633 2513540 −+ 113) 444 768243875.1 −+

114) ( )2633 648162 −+ Escrever sob a forma de um único radical

115) 3 555

116) 3 4 3777

Raiz n-ésima ( n inteiro, 2≥n ) de um número a é um número x tal que axn = .

( )nmm n

m ppm

pm npm n

mmm

mmm

aa

aa

peiropaa

bbaba

baba

⋅

⋅

=

=

≥=

≠=

⋅=⋅

1,int,

0,::

Sejam um número real a e uma fração

irredutível nm , com m inteiro e n natural,

2≥n . Definimos:

n mnm

aa = para 0>a ou para 0<a e n ímpar

00 =nm

para 0>nm



Efetuar as operações indicadas 117) 3 2:8 118) 6724 ⋅ 119) 3 122 ⋅ 120) 46 12:72 121) ( )( ) ( )2523623632 +−++

122) ( )( ) ( )225552352 +−−+

123) 333 22132523 −⋅−⋅+

124) 2321321 ⋅++⋅−+ Racionalizar o denominador de cada fração:

125) 5 86

126) 4 24310

127) 3 20010

128) 2

2

129) 3 2

1

130) 55

1

131) 3 77

7

Efetuar as operações indicadas

132) 63 125,0816 ⋅

133) ( ) 105 16:42 ⋅

134) 3

33

2225,0 −

135) 0,: 3 4 34 3 2 >xxxx Obter o radical equivalente:

136) 32

5

137) 54

10

138) 35

7

139) 43

6−

140) ( )31

6−

141) 32

75 −

−

142) ( )53

2−

143) 65

32

144) 23

32 −

Calcular o valor de cada expressão:

145) 25,032

625343 −

146) 31

52

832−

+

147) ( )31

41

216625 −−−

148) 31

41

6481−

+ Reduzir cada expressão a uma única potência

149) ( ) 5,0332

3:33 −−

⋅

150) ( )5,0332

121

55:555 −− ⋅

⋅⋅

151) ( ) ( ) 5,145,024 7:7:7 −−−



152) ( ) 21

432

31

66 −−⋅

153) 5,05,0

5,05,05,05,0

222222

++++

154) ( ) ( )5,05,05,05,02 333:3 ++ 10. PRODUTOS NOTÁVEIS Desenvolver:

155) )23(5 −x 156) )48(7 52 xxx −−

157) ( ) ( )baba 523 −⋅+ 158) ( )254 +m

159) ( )22 35 −− xy 160) ( )352 yx + 161) ( )342 73 ba − 162) ( )243 zyx ++

163)

−

+

3636yxyx

164) ( )( )11 −− −+ xxxx

165)

+⋅

−

32

7732 2552 xyyx

166) ( )( )1212 33 −−+− xx

167) ( )( )627627 −+ 168) ( )( )33223322 +− Racionalizar o denominador de cada fração:

169) 324

6−

170) 3223

6+

171) 222

2−

172) 5327

53−

Desenvolver: 173) ( )234 35 yx +

174) 232

46

+yx

175) ( )222 −+ xx 176) ( )256 yx +−

177) ( )253 +

178) ( )223 47 yx −

Lembrar os desenvolvimentos: ( )

( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) bcacabcbacba

babababababababababbaaba

babbaaba

bababa

bababa

bababaacabcba

222

33

33

2

2

2222

3322

3322

32233

32233

222

222

22

+++++=++

−=++−

+=+−+

−+−=−

+++=+

+−=−

++=+

−=−⋅+

+=+

Em geral, temos: ( )( )( )( ) 333

333

222

222

baba

baba

baba

baba

−≠−

+≠+

−≠−

+≠+



179) 223

46

−yx

180) ( )255 −− xx

181) ( )227 − Efetuar as operações indicadas: 182) ( ) ( )22 2323 −−+ xx 183) ( ) ( ) ( )2353535 −−−+ xxx

184) ( ) ( ) ( )32232233252

−+−−

185)

+−

++ 336336

Desenvolver: 186) ( )33 5+x 187) ( )325 +x

188) ( )34 4−x

189) ( )32 53 −x 190) ( )372 +x 191) ( )310−x 192) ( ) ( )25201654 2 +−+ xxx 193) ( ) ( )2510452 2 +−+ xxx 194) ( ) ( )141614 2 ++− xxx

195)

++

− 2

2 25125

55 x

xx

x

Efetuar as operações indicadas:

196)

197)

198) ( ) ( )3131 −− −−+ xxxx 199) ( ) ( )33 44 +−− xx

11. FATORAÇÃO Fatorar uma expressão algébrica significa escreve-la na forma de multiplicação. Exemplos: a) A fatoração de 252 −x é ( )( )55 −+ xx b) A fatoração de bybxayax −+− não é ( ) ( )yxbyxa −+− , pois essa expressão não

está na forma de multiplicação. A forma fatorada é ( )( )bayx +− Recordaremos os casos de fatoração através de exemplos. 1° CASO: COLOCAR O FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA Na expressão zyxyxyx 436233 211512 −+ , o fator comum a todos os termos é 323 yx (é o mínimo múltiplo comum dos termos); então:

zyxyxyx 436233 211512 −+ =( )xyzyxyx 7543 332 −+=

2° CASO: FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO Para fatorarmos bzbybxazayax +−−−+ , colocamos, em evidência, a nos três primeiros termos, b− nos três últimos e, a seguir, zyx −+ nos dois agrupamentos: Fatorar:

200) 552443 9660 xaxaxa +− 201) 321 +++ +++ nnnn xxxax 202) 4233322 yxyxyxyx −+− 203) 43445354 3010155 xaxaxaxa −−+

( )( ) ( )( )422422 22 +−+−++− xxxxxx

( )( ) ( )( )2222 yxyxyxyxyxyx ++−−+−+

( ) ( )( )( )bazyx

zyxbzyxabzbybxazayax

−−+=−+−−+=+−−−+



Simplificar cada fração

204) xxayaxyxayax2222

−+−+−−

205) xxxxxxxx

+++−+−

234

234

3° CASO: DIFERENÇA DE QUADRADOS Toda diferença de quadrados ( )22 ba − pode ser fatorada; basta lembrar que:

Exemplos: a) ( )( )yxyxyx 11911912181 22 −+=− b) c)

4° CASO: TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO

Um polinômio é quadrado perfeito se é o desenvolvimento do quadrado de outro polinômio. Para reconhecermos e fatorarmos um trinômio quadrado perfeito, basta lembrar que: ( )( ) 222

222

2

2

bababa

bababa

+−=−

++=+

Exemplos: a) ( )22 5325309 +=++ xxx b) ( )22 2742849 −=+− xxx

Fatorar no conjunto dos números reais

206) 22 4916 yx − 207) 1692 −x 208) 22 −− − yx

209) 22581

22 yx−

210) 22 16xa − 211) 335335 yxyxyxyx +−− 212) 498436 2 ++ xx 213) 22 121669 yxyx ++ 214) 93025 2 +− xx 215) xyyx 28449 22 −+

216) 96696486

4

24

−+−

xxx

217) yxyxxyxyxx

2222

2

2223

+−−+−−

5° CASO: SOMA DE CUBOS E DIFERENÇA DE CUBOS

Toda soma de cubos ( )33 ba + e toda diferença de cubos ( )33 ba − podem ser fatoradas. Basta lembrar que: Exemplos: a) ( )( )42228 2333 +−+=+=+ xxxxx b)

6° CASO: POLINÔMIO CUBO PERFEITO

Um polinômio é cubo perfeito se é o desenvolvimento do cubo de outro polinômio. Para reconhecermos e fatorarmos um polinômio cubo perfeito, basta lembrar que:

( )( ) 22 bababa −=−+

( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )( )byaxbyax

byaxbyaxbyax

+−−−+−=−−−−+−

=−−− 22

( )( )( )( )( )yxyxyx

yxyxyx−++

=−+=−22

222244

( )( )( )( ) 3322

3322

babababababababa

−=++−

+=+−+

( )( )1001010101000 2333 ++−=−=− xxxxx

( )( ) 32233

32233

33

33

babbaaba

babbaaba

−+−=−

+++=+



Exemplos: a) ( )223 52125150608 +=+++ xxxx b) ( )33223 4124864 yxyxyyxx −=−+− Fatorar no conjunto dos números reais:

218) 273 +x 219) 3364 yx + 220) 1253 −x 221) 343216 3 −x 222) 66 ax − 223) 66 ax + 224) 644812 23 +++ xxx 225) 21610818 23 +++ xxx 226) 3223 2754368 yxyyxx +++ 227) 1257515 23 −+− xxx 228) 192727 23 −+− xxx 229) 100030030 23 −+− xxx

Simplificar cada fração:

230) 33

3223 33yx

yxyyxx+

+++

231) 3223

3223 33yxyyxxyxyyxx

+−−−+−

232) 1255010

250223

3

+++−

xxxx

233) 3223

3223

33 aaxxaxaxaaxx+++−−+

12. EQUAÇÃO-PRODUTO

Sendo α e β dois números, sabemos que: Utilizando essa propriedade, poderemos, finalmente, resolver equações do tipo ( )( ) 0=++ dcxbax ou ( )( )( ) 0=+++ fexdcxbax , que denominaremos equações-produto.

Exemplos: Portanto, o conjunto solução de: ( )( )( ) 025234 =+−−− xxx é:

−−=

52;2;

43S .

Resolver as equações-produto:

234) ( )( ) 05372 =+− xx 235) ( )( ) 027113 =−−− xxx

236)

237)

13. EQUAÇÃO DO 2º GRAU As raízes de 0,02 ≠=++ acbxax , são dadas por: onde cab ⋅⋅−=∆ 42 é o discriminante. Uma equação do 2° grau 02 =++ cbxax , com ba, e c reais, admite: duas raízes reais desiguais 0>∆⇔ duas raízes reais iguais 0=∆⇔ duas raízes não-reais 0<∆⇔

00 =⇔=⋅ αβα ou 0=β

( )( )( )

−=⇔=+

=⇔=−

−=⇔=−−

⇔=+−−−

52025

202

43034

025234

xx

ouxx

ou

xx

xxx

( )( )( )( ) 017564312 =−−+−−+ xxxx

( )( )( )( )( ) 0582543234 =−−−−−− xxxxx

Equação do 2º grau com uma incógnita é toda equação redutível à equação

0,02 ≠=++ acbxax , onde x é a incógnita, e ba, e c são os coeficientes.

abx2

∆±−=



Resolver, no conjunto dos números reais, as equações completas do 2° grau:

238) 0483 2 =+− xx 239) 010197 2 =++ xx 240) 0498436 2 =+− xx 241) 0366025 2 =−+− xx 242) 0267 2 =++ xx 243) 0852 2 =−+ xx 244) 163 2 += xx 245) 044928 2 =++ xx 246) 0256 2 =++ xx 247) 2212 xx =+

Resolver, no conjunto dos números reais, as equações incompletas do 2° grau:

248) 0115 2 =+ xx 249) 02530 2 =− xx 250) 08164 2 =−x 251) 0169121 2 =+− x 252) 02516 2 =+x 253) 083 2 =−x 254) ( ) ( )10325 −=− xxxx 255) 222 xx =

Resolver, no conjunto dos números reais, as equações:

256) ( ) ( )( ) 2121234 2 =+−−+ xxx

257) 258) 259) 260) ( ) ( ) 4312 33 −=−−− xxx 261) ( ) ( ) 261212 33 =−−+ xx

Discutir, em função dos valores reais de m, o número de raízes de cada equação:

262) 0262 =−+− mxx 263) 0142 2 =−−− mxx 264) ( ) 0212 22 =−+−− mxmx 265) ( ) 032 22 =+−− mxmx

Resolver as equações, em x, com m ℜ∈

266) ( ) 032342 22 =−+−− mmxmx 267) ( ) 0122 2 =++− mxmx 268) 01264 22 =−−+− mmmxx 269) ( ) 0124244 22 =−+++− mmxmx

( )( ) ( )( )9332555 222 +−+=−+−+ xxxxxxx

( ) ( ) ( )( )727233 22 +−=−−+ xxxx

( )( ) ( )( ) ( )( )211111 222 +−−+−+=−++− xxxxxxxxx

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Exercicios Basicos de Matematica