Exercícios – Aplicação da Equação de Navier Stokes

1) Considere um escoamento em regime permanente, incompressível, paralelo e laminar de uma película de óleo lentamente para

baixo em uma parede vertical infinita (Fig.3). A espessura da película de óleo é h, e a gravidade age na direção negativa de z. Não

há pressão aplicada impulsionando o escoamento – o óleo cai apenas por gravidade. Determine o campo de velocidade e a

velocidade média de escoamento.

Figura 1. Um filme viscoso de óleo caindo por gravidade ao longo de uma parede vertical.

b) Calcular o fluxo de massa por unidade comprimento (largura) da parede e o número de Reynolds. Dados: propriedades do óleo

(densidade 820 kg/m3, viscosidade = 0,20 Pa.s) e a espessura do óleo de que escoa na parede é de 1,7 mm.

2) Um líquido escoa numa película de espessura h em regime permanente, laminar e completamente desenvolvido, para baixo,

sobre uma superfície inclinada. Simplifique as equações de Navier-Stokes para modelar o campo de escoamento. Obtenha

expressões para o perfil de velocidade do líquido, a distribuição de tensões de cisalhamento, a vazão volumétrica e a velocidade

média. Relacione a espessura da película com a vazão volumétrica por unidade de profundidade de superfície normal ao

escoamento. Calcule a vazão volumétrica numa película de água de 1 mm de espessura sobre a superfície de 1 m de largura,

inclinada de 15º em relação à horizontal.

3) Obtenha a equação de distribuição de velocidade para um escoamento de um fluido com densidade e viscosidade constantes

entre duas placas planas paralelas, em estado estacionário e regime laminar. As duas placas podem ser consideradas fixas e com

largura infinita e a força motriz é o gradiente de pressão na direção x. Dado: a distância entre as duas placas é de 2yo.

4) Considerando o escoamento em regime permanente, incompressível, laminar de um fluido newtoniano no espaço estreito entre

duas placas paralelas infinitas (Fig.1). A placa superior está se movendo à velocidade V, e a placa inferior está fixa. A distância

entre as placas é h. Não há nenhuma outra pressão aplicada a não ser a pressão hidrostática em virtude da gravidade. Esse

escoamento é chamado de escoamento Couette. Calcule o campo de velocidade e estime a força de cisalhamento por unidade de

área agindo na placa inferior.

Figura 1. Escoamento viscoso entre duas placas infinitas, a placa superior movendo-

se e a placa inferior fixa

5) Um líquido viscoso preenche o espaço anular entre dois cilindros verticais concêntricos. O cilindro interno é estacionário e o

cilindro externo gira a velocidade constante. O escoamento é laminar. Simplifique as equações da continuidade, de Navier-Stokes

para modelar esse campo de escoamento (obter distribuição de velocidade e de tensão de cisalhamento). Dados: velocidade

angular: w; raio cilindro interno R1, raio cilindro externo R2.

6) Considere um escoamento em regime permanente, incompressível, de um fluido newtoniano em um tubo infinitamente longo

de diâmetro D ou raio R = D/2 (Fig.4). Ignoramos o efeito da gravidade.É aplicado um gradiente constante de pressão na direção

x. Deduza uma expressão para o campo de velocidade dentro do tubo e estime a força de cisalhamento viscoso por unidade de

área de superfície agindo na parede do tubo.

Figura 4. esoamento permanente laminar em um tubo longo com gradiente de pressão aplicado empurrando o fluido através do

tubo. O gradiente de pressão é usualmente causado por uma bomba e/ou gravidade.