Exp1_Teoria - Erros e Medidas

Universidade Federal de PernambucoDepartamento de Fsica CCEN

Fsica Experimental 1

Apostila 1: Medidas e incertezas

Resumo

Esta apostila apresenta as ideias e objetivos que determinam como expressar resultados de

medidas. Introduzimos aqui os conceitos de algarismos significativos e de incerteza, em especial

aquela associada ao instrumento de medida. Apresentamos regras de propagacao de incertezas.

Sumario

1 O que significa medir uma grandeza? 2

2 Medida e incerteza 3

2.1 Notacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Regras de arredondamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Notacao cientfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Incerteza e compatibilidade entre medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Leitura de instrumentos de medida e incerteza 8

3.1 Exemplos de leitura instrumental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Propagacao de incertezas 13

4.1 Propagacao de incertezas na soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2 Composicao de fontes independentes de incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.3 Propagacao de incertezas por linearizacao a derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . 18

Apendice A Paqumetro 22

Apendice B Micrometro 24


1 O que significa medir uma grandeza?

Voce certamente ja sabe de forma intuitiva o que significa medir grandezas fsicas. De maneira

formal, uma medicao consiste quase sempre em comparar duas quantidades de uma mesma grandeza

(comprimentos, massas, tempos etc), sendo uma delas definida como um padrao.

O padrao e a convencao a definir a quantidade unitaria de certa grandeza, recebendo sua unidade

uma nomenclatura especial (e.g. metro, grama, segundo etc). Para comparar algo a convencao aceita

(i.e. medir), utiliza-se um instrumento calibrado pelo padrao de medida.

Por exemplo, quando afirmamos que um objeto possui 2 kg de massa, queremos dizer que, dentro

de certa precisao, sua massa corresponde a duas massas-padrao, cuja unidade de medida no sistema

adotado e o quilograma, denotada pelo smbolo kg.

Em toda medida e fundamental o uso da unidade da grandeza correspondente, uma

vez que padroes dependem de convencoes. A convencao mais utilizada atualmente e o Sistema

Internacional de unidades (SI), ou sistema metrico. A tabela 1 mostra algumas unidades do SI.

Grandeza Nome Smbolo

Comprimento Metro m

Massa Quilograma kg

Tempo Segundo s

Temperatura Kelvin K

Tabela 1: Exemplos de unidades adotadas no SI.

A maior parte das grandezas envolvidas na descricao dos fenomenos estudados em Fsica Geral 1

e 2 pode ser expressa a partir de apenas tres grandezas fundamentais: tempo, comprimento e massa.

Para lhe dar uma nocao de como sao definidas as unidades no SI, explicitamos algumas abaixo:

Segundo: o tempo que um isotopo especfico do atomo de cesio leva para realizar 9 192 631 770oscilacoes entre duas configuracoes eletronicas internas definidas.

Metro: a distancia percorrida pela luz no vacuo na fracao de 1 / 299 729 458 de um segundo(i.e. a velocidade da luz e definida como exatamente 299 729 458 m/s).

Quilograma: a massa de um cilindro de platina-irdio depositado no Biro Internacional de Pesose Medidas, em Sevres, Franca.

Um bom padrao de medida e hoje entendido como algo robusto que pode ser verificado com alta

precisao atraves de experimentos locais em qualquer parte do mundo.

Da a preferencia por padroes definidos por constantes fundamentais da natureza, como a veloci-

dade da luz, ou quantidades adimensionais, como o numero de oscilacoes de um atomo.

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2 Medida e incerteza

Uma medida determina o valor de uma grandeza fsica nas unidades convencionadas.

Presume-se que, independentemente do ato de medir, exista um valor verdadeiro associado a

grandeza, e que a medida seja um processo de mera extracao dessa informacao.

O valor verdadeiro e o ideal do romantismo experimental: possui precisao infinita e, por isso,

jamais pode ser atingido. Afinal, toda valor medido deve possuir um numero finito de algarismos (caso

contrario, precisaramos de memoria infinita para denota-lo, alem de outros problemas), implicando

numa duvida fundamental sobre onde exatamente esta o valor verdadeiro.

Como nao podemos evitar essa fonte de duvida, precisamos ser realistas e inclui-la como algo

intrnseco a todo resultado de medida: toda medida deve, entao, possuir uma incerteza. Isso

implica que, ao contrario do nosso ideal de valor verdadeiro, uma medida real nao e representada por

um valor pontual, mas por um intervalo!

A incerteza denota o intervalo de confianca em que o(a) experimentador(a) garante como

correto o resultado da medida, ou, de forma complementar, o quanto o valor mais confiavel obtido

pela medida pode diferir do valor verdadeiro. A incerteza e sempre denotada por um numero positivo.

Para expressar corretamente o resultado de uma medida, e preciso fornecer, alem

do valor obtido para a grandeza, tambem sua incerteza e sua unidade de medida. Isso

ocorre porque o resultado de uma medida nao e um valor pontual, mas um intervalo.

2.1 Notacao

A notacao e uma forma economica de comunicar todas as informacoes relevantes de um

resultado de medida. Ela reune em poucos smbolos o valor mais confiavel da grandeza, sua

incerteza e sua unidade.

O valor mais confiavel representa nossa melhor estimativa para o valor verdadeiro, sendo a

primeira informacao a aparecer na notacao. A incerteza, colocada apos o simpatico smbolo ,denota o quanto esse valor pode variar para mais ou para menos.

Tomemos como exemplo a grandeza m, cujo resultado de medida seria denotado assim:

m = M M . (1)

Na notacao acima, M e o valor mais confiavel (e.g. a leitura do instrumento de medida), e M ,

sua incerteza, representa o quanto esse valor pode ter sido subestimado ou superestimado.

Em outras palavras, a Eq. (1) comunica que m vale com alta confianca algo entre M M eM + M , sendo o numero M a estimativa mais razoavel da grandeza m na opiniao de quem realizou

a medida. O resultado de medida e sempre um intervalo finito com tamanho nao-nulo.

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Mas aqui voce ja comeca a perceber a terminologia que confunde os nao-iniciados na arte da

medida: quanto e alta confianca? Ou: o que e razoavel? Tudo isso ficara mais claro na Apostila

2, quando utilizaremos distribuicoes de probabilidade para dar sentido estatstico a essas afirmacoes.

Por enquanto, basta voce usar o bom senso (ooops, mais um conceito difcil de definir...) tendo

sempre em mente os princpios guiadores da tarefa de medir coisas: fornecer resultados claros

e com informacao completa tal que outras pessoas possam repetir seu experimento e

obter resultados compatveis com o seu.

Pode ocorrer em alguns casos de a incerteza ser assimetrica em torno do valor de maior confianca,

caso em que a expressao acima deve ser escrita como

m = M+M+M . (2)

Isso significa que o valor mais confiavel para m continua a ser M , no entanto a incerteza da medida

permite que o valor verdadeiro da grandeza esteja com alta confiabilidade entre MM e M+M+ .

2.1.1 Numero de algarismos significativos

A incerteza na medicao implica que nao faz sentido representar resultados de medida por valores

numericos com tantos algarismos quanto se queiram: a precisao numerica so possui significado

se compatvel com a precisao da medida.

Os algarismos que de fato guardam sentido sao chamados algarismos significativos. E mesmo

um erro muito comum expressar o valor de medidas com mais algarismos do que permitido por sua

incerteza ou pelo contexto: a forma correta de escrita deve indicar ate que casa decimal o

valor numerico da grandeza e confiavel.

Tomemos um exemplo corriqueiro. E comum encontrar placas informativas de altitude de cidades

num formato tal como 729,8756 m com relacao ao nvel do mar. A notacao utilizada aponta

nada menos do que 7 algarismos significativos.

Faz sentido empregar tal precisao nesse caso? Claro que nao! Bem, a medida em si certamente

nao possui precisao de 0,1 mm (o diametro de um fio de cabelo!) em 730 m; alem disso (e mais

importante), a propria ideia nao faz sentido, pois a altitude de uma cidade inteira varia muito

mais do que isso em seu interior. Para uma placa desse tipo, seria ja exagerado denotar a altitude

como 730 m, sendo mais razoavel escreve-la simplesmente como 0,7 km ou 0,73 km.

Quando nao explicitada, a incerteza numa medida deve ser entendida como igual a uma unidade

em seu algarismo de menor valor no posicionamento decimal1. No entanto, iremos expressar

incertezas explicitamente na maior parte das vezes, e voce deve tentar fazer isso sempre.

1Segundo o exemplo acima, a notacao empregada na placa nos leva a entender a altitude da cidade como sendo

igual a 729,87560,0001 m, claramente um absurdo.

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2.1.2 Numero de algarismos significativos na incerteza

A mesma filosofia do que possui ou nao significado deve ser utilizada para escolher o numero de

algarismos usados para denotar a propria incerteza. Por exemplo, nao faria sentido escrever

730,4 8,3 m, (3)

tendo em vista o significado dos algarismos representados: se o algarismo 0 ja esta incerto em ate

8 unidades, qual e o sentido de dizer que ha 3 unidades de incerteza no algarismo a sua direita, que

possui valor posicional 10 vezes menor? Como o erro no algarismo mais a direita esta contido muitas

vezes no erro do algarismo mais a esquerda, nao faz sentido denota-lo.

Como regra geral, convencionamos neste curso utilizar apenas 1 algarismo significa-

tivo na incerteza.

No entanto, apesar de nossa convencao, um caso especial digno de nota ocorre quando a incerteza

possui 1 ou 2 como primeiro algarismo, caso em que e correto denotar a incerteza com dois

algarismos significativos. Por exemplo, apesar de neste curso perferirmos a forma

730 3 m (4)

em lugar de

730,0 2,8 m, (5)

ambas estao corretas e sao encontradas na literatura cientfica.

A escolha por dois algarismos significativos visa evitar que a imprecisao da incerteza seja excessiva

nesses casos especiais. Por exemplo, se = 2 m, utilizar apenas 1 algarismo na notacao indicaria

implicitamente que a incerteza poderia ser qualquer coisa entre = 1 m e = 3 m, i.e. uma

variacao de 50%.

O problema esta nesse valor de imprecisao ser excessivo quando comparado aos casos em que

o algarismo mais a esquerda e maior do que 3, implicando em falta de uniformidade. De fato,

se tivessemos = 8 m, a mesma regra implica dizer que algo entre = 7 m e = 9 m seria

aceitavel: nesses casos, porem, a imprecisao da incerteza e de apenas 10%.

Assim, a convencao de se utilizar apenas 1 algarismo significativo na incerteza torna o erro relativo

na incerteza irrealisticamente grande nos casos em que o primeiro algarismo de e 1 ou 2.

Para evitar ser tao pessimista, denota-se a o segundo algarismo da incerteza.

No exemplo acima, se a incerteza de medida passa a ser enunciada como = 2,1 m, entende-se

agora que esse valor poderia ser facilmente = 2,0 m ou = 2,2 m, algo incerto em 5%.Assim, a inclusao do segundo algarismo torna mais uniforme a imprecisao relativa da incerteza

em todo o intervalo de valores admitidos.

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2.1.3 Numero de algarismos significativos no valor mais confiavel

Em todos os exemplos acima, o valor mais confiavel foi denotado com o mesmo numero de

casas decimais da incerteza. O motivo disso e o fato central de que a incerteza fornece a

precisao do valor mais confiavel.

Para se convencer disso, analise com cuidado o significado da notacao: cada algarismo da incerteza

se refere ao algarismo na posicao decimal correspondente do valor mais confiavel, e portanto nao faz

sentido denotar um sem o outro!

A incerteza determina como o valor confiavel deve ser escrito: em outras palavras, a incerteza

fornece o numero de algarismos significativos do valor mais confiavel.

Como consequencia, note que na Eq. (5) fomos obrigados a manter o algarismo 0 (zero) a direita

da vrgula na notacao do valor mais confiavel, pois e tambem significativo. Em resultados de

medida, zeros colocados depois da vrgula possuem significado!

2.2 Regras de arredondamento

Regras de arredondamento sao utilizadas para eliminar da notacao algarismos sem significado,

tornando-a clara e sucinta: so se enuncia aquilo garantido como significativo e nada mais.

Vamos adotar as normas da Associacao Brasileira de Normas Tecnicas (ABNT) para os arredon-

damentos numericos, que sao de fato bem intuitivas. A incerteza deve ser arredondada pelas mesmas

regras ate atingir 1 algarismo significativo, de acordo com a convencao adotada neste curso.

Regra 1 - Quando o algarismo a ser desprezado for inferior a 5, mantem-se o algarismo a sua

esquerda inalterado. Ou seja, arredonda-se para baixo. Exemplos:

l = 3,4745 0,0320 m l = 3, 47 0,03 m,

t = 1,11238 0,00533 s t = 1, 112 0,005 s,

m = 9,49075 1,11111 kg m = 9 1 kg.

(6)

Regra 2 - Quando o algarismo a ser desprezado for superior a 5 ou igual a 5 seguido por um

algarismo diferente de zero, soma-se a unidade ao algarismo anterior. Ou seja, arredonda-se para

cima. Exemplos:

l = 3,4751 0,0290 m l = 3, 48 0,03 m,

t = 1,11260 0,00483 s t = 1, 113 0,005 s,

m = 9,51075 0,96315 kg m = 10 1 kg.

(7)

6


Regra 3 - Quando o algarismo a ser desprezado for igual a 5 seguido de zeros (ainda que implcitos),

aplica-se a seguinte convencao: se o algarismo anterior for mpar, acrescenta-se uma unidade a ele;

se for par, permanece inalterado.

O arredondamento tem efeito nulo sobre o resultado numerico da medida, uma vez que os alga-

rismos desprezados nao sao confiaveis.

2.3 Notacao cientfica

A notacao cientfica e uma forma de representacao exponencial de numeros, dada explicitamente

por M 10p, em que M e a mantissa (por vezes convencionada como um numero entre 1 e 10) e pe a ordem de grandeza do numero.

Esse tipo de notacao e usado para acomodar de forma compacta numeros muito grandes (e.g.

200 000 000 000 = 2 1011) ou muito pequenos (e.g. 0,000 000 000 03 = 3 1011). Sua vantagem comrelacao a representacao decimal convencional e eliminar ambiguidades ou mesmo equvocos de

notacao relacionados ao numero de algarismos significativos.

Na notacao cientfica, o numero de algarismos da mantissa e igual ao numero de

algarismos significativos da medida.

Por exemplo, a maior distancia observavel do universo e medida como cerca de

400 000 000 000 000 000 000 000 000 m. Com esse numero nao queremos dizer que o tamanho do

universo e conhecido com precisao de metros! Nesse caso, a notacao cientfica traz a vantagem de

representar adequadamente a quantidade de algarismos significativos, como e.g. 4 1026 m, casoem que a incerteza fica implcita como afetando ja o algarismo 4. Outros exemplos:

2483 4 s (2,483 0,004) 103s,

0, 00034 7 m (3,4 0,7) 104m.(8)

Devemos empregar a notacao cientfica tambem para tornar correta a notacao da incerteza usando

apenas 1 algarismo significativo. Por exemplo, a forma correta seria escrever:

2 100 000 1 000 s (2,100 0,001) 106 s. (9)

Note que a notacao a esquerda esta incorreta se o experimento nao for capaz de justificar o fato de

a incerteza ser conhecida com 4 algarismos significativos.

Outra forma de notacao comumente encontrada explicita a incerteza como um numero entre

parenteses referente ao ultimo algarismo do valor medido, tornando a notacao mais economica:

(2,100 0,005) 106 s = 2, 100(5) 106 s. (10)

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2.4 Incerteza e compatibilidade entre medidas

A incerteza se torna essencial quando se precisa comparar resultados de medidas diferentes.

Considere um caso extremo como ilustracao. Para valores numericos ideais (infinitamente preci-

sos), provar a igualdade entre eles significar mostrar que sao, na verdade, o mesmo numero: as duas

sequencias infinitas de algarismos a definir cada numero devem coincidir perfeitamente.

Ja no caso de resultados de medida, os objetos a serem comparados (valores medidos) nao sao

dados por valores pontuais, mas por intervalos com tamanhos dados pela incerteza de medida.

Falar em infinitesimos matematicos perde o sentido nesse caso, pois a incerteza nos da um numero

tpico de algarismos para o valor da grandeza. Ir alem dessa resolucao, como vimos, e o mesmo que

adicionar algarismos sem significado ao valor mais confiavel: nao faz sentido.

E preciso entao redefinir o que se entende por valores medidos iguais ou diferentes, e considerar,

no lugar disso, a compatibilidade entre eles.

Duas medidas sao compatveis quando seus intervalos de confianca se sobrepoem,

definicao essa que substitui o conceito matematico de igualdade em nosso caso.

De maneira oposta, duas medidas sao incompatveis quando seus valores mais confiaveis

distam entre si de muitas unidades de incerteza. O significado de muitas, conforme veremos

na Apostila 2, sera tornado estatstico. Podemos dizer, de forma intuitiva, que incompatveis sao

valores medidos representados por intervalos excludentes.

Outra forma de pensar, util em alguns contextos, define compatibilidade de forma negativa: se

dois resultados de medida se sobrepoem em suas incertezas, entao nao e possvel convencer alguem

de que sao diferentes: logo, sao compatveis. E vice-versa.

3 Leitura de instrumentos de medida e incerteza

A primeira fonte de incerteza encontrada ao se fazer uma medida e consequencia da precisao do

instrumento de medida, algo intrnseco que depende da construcao e calibracao do instrumento.

Em geral, instrumentos de medida determinam um certo numero de algarismos sig-

nificativos de maneira exata e, em varios casos, permitem que o operador estime um

algarismo adicional por inspecao visual. Este ultimo e chamado de algarismo inexato ou

duvidoso, sendo definido como o algarismo no qual recai a incerteza.

Para utilizar um instrumento corretamente, devemos nos perguntar:

Quantos algarismos significativos o instrumento fornece?

Qual a incerteza inerente ao instrumento?

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A primeira questao se responde facilmente pela forma de leitura do instrumento. O numero de

algarismos significativos e simplesmente igual ao numero de algarismos que se consegue

ler a partir do instrumento.

Esse numero e igual ao numero de algarismos exatos (lidos diretamente na escala enumerada ou

mostrador do instrumento) mais o numero de algarismos duvidosos, se existirem (em geral apenas 1

ou 2 algarismos nos quais recai a incerteza).

Adotamos neste curso algumas convencoes para estabelecer a incerteza instrumental:

Se o instrumento permitir a avaliacao visual do algarismo duvidoso, a incerteza sera tomadacomo metade da menor divisao de leitura do instrumento.

Se o instrumento nao permitir a avaliacao do algarismo duvidoso, este sera considerado comoo ultimo algarismo (mais a direita) da leitura do instrumento; a incerteza sera tomada como

igual a 1 na posicao desse algarismo.

Em geral, outras fontes de incerteza irao combinar-se a incerteza inerente ao instrumento,

formando a incerteza total de medida, tratada mais adiante.

3.1 Exemplos de leitura instrumental

Exemplo 1

Considere a regua da figura 1 e um bloco retangular do qual desejamos medir o comprimento. A

mnima gradacao da regua e dada em centmetros. Isso significa que o fabricante do instrumento nos

garante leitura exata ate algarismos que denotem centmetros. Assim, objetos menores do que 1 cm

nao podem ser medidos de forma exata com esse instrumento.

Figura 1: Medida de comprimento do bloco com regua graduada em centmetros.

Vemos da figura que o comprimento do bloco vale algo entre 3 e 4 cm, afirmacao que podemos

fazer de maneira exata. Poderamos escrever como resultado da medida

L = 3,5 0,5 cm, (11)o que estaria compatvel com a observacao.

No entanto, nesse caso nos furtamos a estimar o valor mais confiavel. Alem disso, o valor encon-

trado e pessimista na incerteza, uma vez que o comprimento do bloco e certamente maior que 3,1

cm ou mesmo que 3,2 cm, e aparentemente menor que 3,5 cm.

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Em toda medida, devemos estimar o valor mais confiavel e, se necessario, tambem a incerteza.

Uma estimativa visual razoavel seria nesse caso L = 3,4 cm, podendo estar entre L = 3,3 cm e 3,5 cm.

Portanto, no limite da precisao visual, obteramos

L = 3,4 0,1 cm. (12)

Nos resultados acima, o algarismo 3 e igualmente obtido em ambos, pois e o algarismo exato do

instrumento; ja o segundo algarismo nao precisa necessariamente concordar entre as medidas pois,

sendo estimado visualmente, e o algarismo duvidoso.

Diferentes experimentadores poderiam estimar valores distintos para o algarismo duvidoso. Porem,

todas as medidas devem concordar dentro do intervalo de incerteza.

Isso de fato ocorre entre as duas medidas acima, pois seus intervalos de confianca se sobrepoem.

A diferenca fundamental entre elas e a confianca que o experimentador deposita em seu instrumento

de medida2.

O primeiro resultado e mais conservador, pois da preferencia a permanecer dentro de margem

mais segura de incerteza, enquanto o segundo utiliza o instrumento de medida ao limite, de forma

a dele extrair o valor mais preciso possvel. A escolha da margem de incerteza depende muito dos

objetivos da medida, e ambas as formas acima estariam corretas dentro do contexto apropriado.

Neste curso, vamos adotar o criterio conservador, tomando como incerteza da medida o valor

igual a metade do intervalo de menor divisao do instrumento.

Devemos ainda assim estimar o algarismo duvidoso, a fim de estabelecer o valor mais confiavel

possvel da medida. Assim, o resultado dessa medida conforme convencionado neste curso seria

L = 3,4 0,5 cm. (13)

Vemos que a incerteza de medida adotada e conservadora, pois denota ser o comprimento real do

bloco algo entre 2,9 cm e 3,9 cm, sendo que temos certeza do valor com maior precisao do que isso.

Nossa convencao busca simplificar a atribuicao de incerteza instrumental que, como dito, sempre

guarda certa subjetividade para medidas tomadas visualmente. Embora ela possa parecer pessimista

para uma regua graduada em centmetro, a verdade e que para gradacoes mais finas nao seria possvel

estimar visualmente o algarismo duvidoso com tanta precisao, e nossa regra seria menos pessimista.

Note que todas as medidas acima foram enunciadas com dois algarismos significativos, uma vez

que esse e o limite do instrumento para objetos com dimensoes de centmetros.

2Note que o instrumento de medida e na verdade formado pelo uso composto da regua e do instrumento humano

de visao! Por isso a incerteza pode variar de pessoa para pessoa.

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Exemplo 2

Considere agora outra regua, graduada em milmetros, conforme ilustra a figura 2, e o mesmo

bloco do exemplo anterior. Como a resolucao oferecida pela escala graduada da regua e maior, o

resultado de medida deve possuir incerteza menor, pois o algarismo duvidoso do exemplo 1 passa a

ser um algarismo exato nesse caso.

Figura 2: Medida de comprimento do bloco com regua graduada em milmetros.

A melhor leitura do valor medido, como ja discutido, deve ser o numero de unidades lido direta-

mente no instrumento acrescido de uma estimativa visual para a quantidade extra que se encontra

entre marcacoes do instrumento.

Inspecao direta do instrumento nos fornece o comprimento L do bloco entre 3,4 cm e 3,5 cm.

Sendo a menor divisao do instrumento igual a 1 mm, convencionamos associar 0,5 mm como incerteza

instrumental. Supondo que o experimentador estime o algarismo duvidoso como sendo 6, sua melhor

resposta para o comprimento do bloco seria

L = 3,46 0,05 cm.

Note que agora a medida fornece tres algarismos significativos (sendo dois deles exatos) como

consequencia da maior precisao instrumental disponvel.

Exemplo 3

Vamos investigar neste exemplo o caso em que o instrumento de medida nao permite ao ex-

perimentador a estimativa do algarismo duvidoso. Nessas situacoes, o algarismo duvidoso e dado

diretamente a partir da resolucao do mostrador do instrumento.

Figura 3: Mostrador de balanca eletronica.

Considere uma balanca eletronica a medir o valor de uma massa, conforme mostrado na figura 3.

Seu mostrador indica 71 kg. Neste caso, nao ha como fazer estimativas de algarismos adicionais alem

dos impressos na tela, e a incerteza do instrumento e providenciada em seu manual. Na ausencia do

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manual, cabe ser pessimista e tomar como incerteza da medida a resolucao do mostrador que, neste

caso, e de 1 kg. O resultado da medida e

m = 71 1 kg.

Dois algarismos significativos sao fornecidos pelo instrumento. O algarismo duvidoso e nesse caso o

ultimo algarismo fornecido, sem a possibilidade de estimativas adicionais.

Figura 4: Mostrador de balanca digital.

Suponha que a leitura no painel de uma balanca mais precisa fosse 71,0 kg, como indicado na

figura 4. Ao contrario do que pode parecer a primeira vista, o zero colocado apos a vrgula nao

e desnecessario, mas possui significado experimental: o instrumento nos indica que, dentro de sua

incerteza de 0,1 kg, aquele algarismo e de fato medido como nulo. Sendo assim, o resultado de medida

passa a ser

m = (71,0 0,1) kg,com 3 algarismos significativos, sendo 1 duvidoso.

Finalmente, uma balanca mecanica, com leitura por ponteiro, possuindo a mesma escala de divisao

da balanca digital anterior (0,1 kg), permitiria ainda a estimativa de um algarismo significativo

adicional. O valor convencionado da incerteza e metade da menor divisao da balanca, ou seja, 0,05

kg nesse caso. Supondo que o experimentador tenha atribudo o valor 0 para o algarismo duvidoso

disponvel, o resultado da medida seria

m = (71,00 0,05) kg,

com 4 algarismos significativos, dos quais 1 e duvidoso.

Exemplo 4

Pode ocorrer de o mostrador de um instrumento eletronico apresentar leituras variaveis no tempo.

No exemplo acima, a balanca poderia comecar mostrando o valor 71,0 kg para, um segundo depois,

pular para 71,3 kg, retornando mais tarde a leitura 71,0 kg.

Nesse caso, fica a criterio do experimentador decidir como interpretar a leitura do instrumento,

sempre tendo em mente que o objetivo da medida e obter o valor mais confiavel da grandeza dentro

de uma faixa especificada de incerteza.

Algumas pessoas decidiriam tomar a media dos valores extremos e colocar a incerteza como

metade do intervalo de variacao da leitura, como 71,15 0,15 kg, o que poderia se tornar 71,2 0,2 kg (note que o arredondamento da incerteza ficou tambem a criterio do experimentador). Outras

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poderiam notar que o mostrador fica mais tempo no valor 71,0 kg do que em 71,3 kg, e por isso

escolheriam ser mais conservadoras deixando de confiar na ultima casa decimal do instrumento para

escrever simplesmente 71 1 kg.

Em geral, esse tipo de detalhe depende de especificidades de funcionamento do instrumento, e

deve ser checado no manual do equipamento se necessario. Todas as formas de expressao comentadas

estariam corretas se justificadas e serviriam a propositos diferentes.

4 Propagacao de incertezas

Em varias situacoes nao e possvel medir diretamente a grandeza de interesse. Nesse caso, o

caminho e inferir seu valor a partir de medidas das grandezas de que depende (medida indireta).

A incerteza da grandeza inferida e obtida pela propagacao das incertezas das grandezas medidas.

Por exemplo: como medir uma componente da forca agindo sobre um corpo utilizando apenas

instrumentos capazes de medir massa e aceleracao? A resposta obvia e empregar a 2a lei de

Newton, que relaciona essas tres grandezas. A incerteza no valor da forca, obtida indiretamente,

dependera de quao precisas sao as medidas de massa e aceleracao.

Antes de comecar o tratamento mais rigoroso, podemos estabelecer uma regra simples mas po-

derosa para a propagacao de incertezas: quando uma grandeza e inferida a partir de outras, ela

nao pode ser mais precisa do que a mais imprecisa das grandezas de que depende; caso contrario,

poderamos usar esse truque para aumentar ao infinito a precisao de qualquer medida!

Esse raciocnio indica que o numero de algarismos significativos (precisao da medida) nao

pode aumentar, mas apenas se manter ou diminuir, na inferencia de novas grandezas.

Atencao: note que o numero de casas decimais e irrelevante, pois depende da escolha de

posicionamento da vrgula (tornado arbitrario pela notacao cientfica!). O que importa e mesmo o

numero de algarismos significativos.

Portanto, a precisao de uma grandeza composta deve estar limitada pela mais im-

precisa das grandezas de que depende. Seguindo esse princpio geral, tratemos alguns casos

particulares de relacoes comuns entre grandezas.

Multiplicacao

Uma forma bastante comum de se determinar uma grandeza de forma indireta e medir outras

grandezas cujo produto fornece a grandeza procurada.

Seguindo o preceito geral descrito acima, podemos estimar a incerteza da grandeza composta

simplesmente mantendo seu valor com o mesmo numero aproximado de algarismos significativos da

mais imprecisa das grandezas medidas.

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*

* Isto , o erro percentual da grandeza-produto deve estar limitado pelo maior erro percentual dentre as grandezas-fatores.


Por exemplo, suponhamos que a massa da partcula seja medida como m = 0,9 kg, e sua ace-

leracao, como a = 1,23 m/s2. Supoe-se que esses valores possuam a ultima casa indicada como

incerta em uma unidade, conforme convencao adotada, sendo explicitamente m = 0,9 0,1 kg ea = 1,23 0,01 m/s2.

Nesse caso, a magnitude da forca, calculada pela multiplicacao, resultaria F = 1,107 N. No

entanto, sabemos que conhece-la com 4 algarismos significativos e certamente muito otimista,

pois a massa e determinada com apenas 1 algarismo significativo.

Devemos esperar que o valor calculado da forca so tenha 1 ou 2 algarismos significativos, devendo

ser escrito como 1 N ou 1,1 N. Para escolher entre elas, notemos que a primeira forma implica

imprecisao quase total, i.e. 100%, dado que seu valor seria implicitamente entendido como F =

1 1 N (ou seja, entre 0 N e 2 N). A segunda forma deve ser entao a mais apropriada nesse caso,ou seja, F = 1,1 0,1 N. Nesse caso, a imprecisao e de aproximadamente 10%, compatvel coma incerteza relativa inicial na massa.

A contagem de algarismos significativos e um metodo grosseiro de estimativa da incerteza, e serve

mais para detetar inconsistencias de resultados do que para calcular propriamente as incertezas.

Um metodo mais confiavel, embora ainda ligeiramente grosseiro, de se calcular a incerteza, cha-

mado aqui coloquialmente de metodo trabalhoso, e determinar os valores maximo e mnimo

da grandeza compatveis com o intervalo de incerteza das quantidades medidas.

No exemplo acima, o valor mnimo inferido para a magnitude da forca ocorre quando massa e

aceleracao sao mnimas dentro da incerteza, ou seja, para mmin = m m = 0,8 kg e amin =aa = 1,22 m/s2, com o que obtemos Fmin = 0,96 N. Repetindo o mesmo procedimento para seuvalor maximo, obtemos Fmax = mmax amax = 1,24 N. Sendo o valor mais confiavel da forca dadopor F = m a = 1,107 N, podemos estimar a incerteza na forca como F = (Fmax Fmin)/2 =0, 14 N (note que tambem podemos calcular F como F = Fmax F = F Fmin). O resultadoobtido fica denotado como F = 1,10,2 N, em que arredondamos a incerteza de forma pessimista.

Conforme veremos, essa forma de estimativa da incerteza e pessimista, pois supoe estarem ambas

as grandezas maximamente erradas ao mesmo tempo, o que nao e provavel.

Soma

Um caso mais problematico ocorre nas operacoes de soma com numeros possuindo incerteza,

sendo esse um topico bastante conhecido em computacao. Similarmente a situacao experimental, a

representacao de um numero no computador so pode ser realizada dentro de certa precisao.

No caso do computador, esse numero e limitado em ultima instancia pela quantidade de memoria

alocada na representacao do numero, enquanto em fsica experimental ele e limitado pela incerteza

da medida. Para procedermos com a soma, devemos identificar as posicoes decimais dos algarismos

duvidosos de cada parcela e soma-las ate a posicao decimal do algarismo menos confiavel entre eles.

14


Por exemplo, suponhamos que precisemos somar os numeros 12,8 e 146. Apesar de ambos

possurem tres algarismos significativos, o numero 146 nao possui definido o algarismo na primeira

posicao decimal apos a vrgula, sendo sua incerteza implcita de uma unidade ja no algarismo 6,

seu algarismo duvidoso. Portanto, o algarismo duvidoso do numero 12,8 (no caso, 8), por possuir

posicao decimal de maior precisao, perde significado no resultado da soma.

Devemos considerar, na verdade, a soma de 13 e 146, em que ambos os numeros devem ser arre-

dondados antes de realizada a operacao de soma. A resposta confiavel seria 159, com incerteza

implcita de 1 no ultimo algarismo e herdada essencialmente do numero 146. Note como o resul-

tado mudaria bastante de significado caso o numero a ser somado fosse 146,0 (quatro algarismos

significativos). Nesse caso, nao haveria grande perda de precisao na soma, sendo o resultado

confiavel dado por 158,8.

Note que resultados de somas podem ficar indefinidos por conta da incerteza!

Um exemplo de situacao patologica ocorre na soma dos numeros 12,12 e 12,12. Apesar decada parcela ser conhecida com quatro algarismos significativos, obtemos algo indefinido como

resultado, pois a soma fica indeterminada dentro da incerteza. A forma correta de representar

o resultado dessa soma e 12,12 + (12,12) = 0,00 0,01. Nesse exemplo, passamos de um erroinicial de 1 parte em 10 mil (ou seja, 4 algarismos significativos) para indefinicao total.

O significado da notacao do exemplo acima e que podemos afirmar o resultado como compatvel

com zero dentro da incerteza. Em outras palavras, nao ha precisao sequer para apontar a

ordem de grandeza do valor mais confiavel, mas apenas para afirmar que esta entre 0,01 e 0,01 (aincerteza).

Nesse caso, toda a informacao reside na incerteza, que denota a confianca com que

podemos afirmar o valor zero como resultado.

Resultado similar seria obtido ao se tentar medir o diametro de um fio de cabelo com uma regua

milimetrada, por exemplo. O valor medido nao possuiria qualquer algarismo significativo, o que pode

ser visto facilmente em notacao cientfica, na qual seria representado como (0 5) 101 mm. Aprecisao da medida so permite visualizar um zero a esquerda.

A operacao de soma sempre resulta em valores relativamente mais imprecisos. Por isso, e mais

preciso medir diretamente grandezas compostas por somas sempre que possvel.

4.1 Propagacao de incertezas na soma

Vimos que, na soma de duas grandezas, a incerteza do resultado deve ser maior que a incerteza

absoluta com que cada parcela e conhecida. No caso mais pessimista, a incerteza do resultado sera

a soma das incertezas de cada parcela.

15


Conceitualmente, somar as incertezas de todas as parcelas significaria esperar que todos os valores

somados estivessem ao mesmo tempo no limite superior (ou inferior) de seus intervalos de confianca.

Se as medidas forem independentes e descorrelacionadas, e pouco provavel que isso ocorra.

E mais plausvel esperar que poucos valores se encontrem nos limites superior ou inferior de seus

intervalos de confianca; uma fracao maior das medidas deve estar equivocada por e.g. metade da

incerteza, tanto acima quanto abaixo do valor verdadeiro; mas a maior fracao delas deve se concentrar

nas proximidades dos valores verdadeiros.

Nesse caso, devemos compor as incertezas levando em conta as diferentes probabilidades de

magnitude de erro afetando uma fracao das parcelas.

Ja sabemos que a incerteza na grandeza inferida deve ser maior que a maior incerteza dentre todas

as parcelas, pois a quantidade final nao pode ser conhecida de maneira mais precisa que nenhuma de

suas parcelas. Porem, ela deve ser menor que a soma de todas as incertezas, como vimos.

O valor mais provavel da incerteza estara entre esses dois extremos. A forma rigorosa de se

propagar incertezas supoe que se referem num certo sentido a distribuicoes de probabilidade,

como veremos em maior detalhe na Apostila 2.

Considere duas grandezas quaisquer medidas com valores m1 = M1 + M1 e m2 = M2 + M2 . O

valor mais confiavel da grandeza compostam = M+M , inferido a partir da soma comom = m1+m2,

deve ser dado obviamente por

M = M1 +M2. (14)

Ja sua incerteza deve ser propagada por uma regra de composicao triangular3

(M )2 = (M1)

2 + (M2)2. (15)

De fato, essa expressao limita M inferiormente pela grandeza de maior incerteza, por ser uma

soma de quadrados. Se M1 ? M2 , entao M M1 (demonstre!).

Por outro lado, se as duas incertezas sao parecidas (M1 M2), entao a Eq. (15) fornece algomais otimista do que a soma das incertezas, pois obtemos M

2 M1 < M1 + M2 (demonstre!).

Note que a incerteza se calcula da mesma forma para uma soma entre numeros com sinais opostos.

Se, por exemplo, vale que m1 > 0 e m2 < 0, a resposta seria m = |M1| |M2| ?(M1)

2 + (M2)2,

sem mudanca no calculo da incerteza.

Assim, o valor obtido da grandeza m a partir de medidas diretas de M1 e M2 e

m = (M1 +M2)?(M1)

2 + (M2)2, (16)

expressao na qual ja aparecem o valor mais provavel e sua incerteza.

3O motivo dessa forma para composicao de incertezas advem da suposicao de que cada fonte de incerteza seja

independente das demais e represente uma distribuicao gaussiana de probabilidade. A composicao de varios processos

desse tipo fornece como resultado um novo processo gaussiano cuja variancia e a soma das variancias de todos os

processos subjacentes. Veremos esses conceitos em mais detalhe na Apostila 2.

16


Retornando ao exemplo da ultima secao, podemos calcular agora a incerteza na soma de 12,8

e 146 de maneira mais sistematica. Tomando m1 = 12,8 0,1 e m2 = 146 1, obtemos M =12,8 + 146 = 158,8 e M =

?(0,1)2 + (1)2 1,005. Devemos novamente manter apenas 1

algarismo significativo na incerteza e adequar a ela a resposta do valor mais provavel, e portanto

M = 1 pelas regras de arredondamento; obtemos como resultado m = 159 1.

Note que no exemplo acima a incerteza do numero 12,8, por ser muito menor que aquela do

numero 146, nao contribui efetivamente para a incerteza do resultado final.

Como regra informal, na propagacao das incertezas de uma soma, podemos desprezar

de incio incertezas menores que a metade da maior das incertezas das parcelas.

Para um numero qualquer de parcelas, a Eq. (15) se generaliza facilmente. Seja a grandeza

m = M + M composta por N parcelas mk = Mk + Mk , com ndice k = 1, 2, 3, . . . , N . Temos entao

(M )2 = (M1)

2 + (M2)2 + + (MN )2 =

?

k

(Mk)2. (17)

A propagacao de incerteza de soma se da essencialmente pela soma dos quadrados

das incertezas de todas as parcelas, outra propriedade de processos gaussianos.

4.2 Composicao de fontes independentes de incerteza

A mesma regra de propagacao da soma vale para compor fontes independentes de incerteza

a afetar a medida de uma unica grandeza.

Pelos mesmos argumentos, supomos nesse caso que cada processo a contribuir para a incerteza

da medida e independente dos demais, obedecendo estatstica gaussiana. A incerteza total e obtida

pela aplicacao da Eq. (15) utilizando M1 e M2 como as incertezas respectivas de cada processo.

Por exemplo, suponhamos que ao medir o bloco da figura 1 descubramos que rugosidades em sua

superfcie fazem com que a medida de comprimento varie de acordo com o local onde se coloca

a regua. Comparando varias medidas em posicoes diferentes, percebemos que o comprimento

medido varia por ate 3 mm. Nesse caso, a incerteza da medida do bloco e composta por duas

fontes de incerteza: a leitura da regua e a rugosidade da superfcie do bloco.

Poderamos reescrever o valor do comprimento do bloco como L = 3,40,50,3 cm, dessa formaespecificando cada fonte de incerteza. Poderamos tambem compo-las a fim de obter a incerteza

total da medida do bloco. Usando a Eq. (15), obtemos L =?0,52 + 0,32 = 0,6, com o que o

resultado da medida seria modificado para L = 3,4 0,6 cm.

De maneira analoga, N fontes independentes de incerteza resultarao na incerteza total dada pelo

mesmo tipo de soma triangular da Eq. (17).

17


4.3 Propagacao de incertezas por linearizacao a derivadas parciais

A forma mais geral de inferir grandezas consiste em atribuir uma funcao generica ligando uma

grandeza a outra. A incerteza da grandeza inferida pode ser obtida pelo intervalo de variacao de

seu valor mais confiavel causada pelas incertezas das grandezas medidas.

Uma forma de determinar esse intervalo e considerar como o valor de uma funcao responde

a pequenas variacoes independentes em seus argumentos. Essa aproximacao linear e realizada

expandindo a funcao em primeira ordem no entorno do valor mais confiavel da grandeza inferida.

Funcoes de uma variavel e incerteza relativa

Considere uma funcao bem comportada f(x) qualquer. Buscamos saber quanto seu valor muda

conforme seu argumento x varia por uma quantidade x.

Com isso queremos determinar o quanto a incerteza x influencia o valor da grandeza composta

f(x). Se a variacao x for relativamente pequena, podemos expandir a funcao em primeira ordem

em torno de x usando a aproximacao linear pela derivada,

f(x + x) f(x) +df(x)

dx x. (18)

Portanto, chegamos a incerteza de f(x), dada pelo intervalo de variacao, como

f = |f(x + x) f(x)| =????df(x)

dx

???? x, (19)

na qual tomamos o modulo para impor o fato de que a incerteza e sempre positiva.

A expressao acima e ilustrada de forma grafica na figura 5. Note como a derivada no ponto x

fornece a relacao de proporcionalidade entre as incertezas x e f no entorno de uma regiao pequena.

Figura 5: Propagacao de incerteza pela derivada. Os intervalos de variacao x e f fazem as vezes

de incertezas na grandeza medida x e na grandeza inferida f , respectivamente

18


Tomemos um exemplo. Gostaramos de medir a area de um ladrilho quadrado, e para isso

medimos o comprimento de um de seus lados como l = 414 cm. Alem disso, verificamos dentroda precisao experimental que todos os seus lados possuem o mesmo comprimento. A area do

ladrilho e calculada como A = l2. Usando a Eq. (19), sua incerteza e dada por

A =d

dl(l2) l = 2ll. (20)

Substituindo o valor medido e aplicando as convencoes de notacao, obtemos a area A = (1,7 0,3) 103 cm2 (voce encontrou esse resultado?).

Notemos algo peculiar no exemplo acima. Ao dividirmos a incerteza na medida de comprimento

por seu valor mais confiavel, verificamos que a incerteza relativa na medida de comprimento

e aproximadamente l/l = 0,1, ou seja, ela possui incerteza percentual de 10%. Ja para a area

inferida, o mesmo calculo revela uma incerteza percentual de 20% (A/A = 0,2): nesse caso, a

incerteza relativa dobra no processo de propagacao.

Vejamos porque isso acontece. Voltando a Eq. (20), notamos que ela pode ser reescrita dividindo

seus dois membros pela expressao da area, de onde obtemos

AA

=2lll2

= AA

= 2ll. (21)

Portanto, a incerteza relativa dobra por causa da dependencia quadratica de A em l.

Para qualquer funcao f(x) dada por uma potencia de x, obteramos em geral

f(x) = xn = ff

= nxx. (22)

Da mesma forma, se n < 1 a incerteza percentual diminui na grandeza composta.

Qualquer que seja a dependencia funcional bem comportada de f em x, a Eq. (19) pode ser

empregada para propagacao de incerteza, assim como o metodo grafico equivalente da figura 5.

Funcoes de multiplas variaveis e derivadas parciais

Consideremos agora uma grandeza inferida a partir de duas outras grandezas que podem ser

medidas diretamente. Consideramos novamente essas medidas independentes, ou seja, a medida de

uma delas nao influencia o resultado de medida da outra.

Representamos a grandeza inferida por uma funcao de duas variaveis f(x, y). Se x e y sao variaveis

independentes, a expansao linear se generaliza para

f = |f(x + x, y + y) f(x, y)| ????f(x, y)

x

???? x +????f(x, y)

y

???? y. (23)

Lembre-se de que a derivada parcial de f(x, y) com relacao a x, denotada por f(x,y)x

e calculada

como a derivada comum com relacao a x considerando y constante, e vice-versa para f(x,y)y

.

19


Voltemos ao exemplo da secao 4, em que se buscava determinar a forca agindo sobre um corpo a

partir de medidas diretas de sua massa e aceleracao. As derivadas parciais relevantes sao nesse

caso Fm = a eFa = m. Usando a Eq. (23), obtemos

F =F

a a +

F

m m = ma + am. (24)

Dividindo os dois membros da equacao pela expressao da forca, encontramos para a incerteza

relativaFF

=aa

+mm

. (25)

Ou seja, a incerteza relativa da grandeza inferida seria dada no caso pessimista pela soma das

incertezas relativas das grandezas medidas diretamente.

Ja vimos esse tipo de composicao de incertezas na secao. 4.1. Essa e a forma pessimista de

se estimar a incerteza na grandeza inferida, uma vez que e pouco provavel que todas as grandezas

independentes das quais depende desviem maximamente ao mesmo tempo de seus valores verdadeiros.

A diferenca com relacao a discussao anterior e que a expressao acima considera a incerteza relativa

no lugar da incerteza absoluta. Devemos interpretar a Eq. (23) num sentido estatstico, tal como

fizemos para a propagacao da soma de grandezas.

A forma mais adequada de se calcular a incerteza final e supor que cada argumento da funcao

contribui com erro relativo independente e, de acordo com argumentos estatsticos, soma-los de

maneira triangular.

Portanto, a incerteza relativa da grandeza composta deve ser calculada como

(f )2 =

?f(x, y)

x x?2

+

?f(x, y)

y y?2

, (26)

valida no limite de pequenas incertezas relativas.

Assim, para grandezas calculadas atraves de multiplicacoes e operacoes afins, a incerteza rela-

tiva so pode aumentar ou se manter constante conforme mais fontes de incerteza sao

includas. Analogamente ao caso da propagacao de incerteza da soma, a incerteza relativa final

e maior que a mais incerta das incertezas relativas que a compoem.

Aplicando a Eq. (26) ao exemplo anterior, obtemos a incerteza relativa da forca como

?FF

?2=?aa

?2+?mm

?2 F =

??aa

?2+?mm

?2F. (27)

Usando os valores do exemplo da secao 4, a incerteza relativa da massa seria m/m 0,1 (i.e.10%), enquanto da aceleracao seria a/a 0,01 (i.e. 1%). Como a/a ? m/m, a incerteza daforca e quase toda devida a incerteza na massa.

Usando a Eq. (19), obtemos F /F = 0,1, i.e. F = 0,12 N. Note que esse valor e ligeiramente

menor do que encontrado na secao 4, embora concordem no algarismo significativo, mostrando

que o calculo de incerteza conforme realizado naquela secao era de fato conservador.

20


A Eq. (26) se generaliza facilmente para uma grandeza inferida a partir de um numero qualquer

de grandezas que podem ser medidas diretamente.

Consideremos a funcao f(x1, x2, . . . , xN ) para representar essa grandeza, com argumentos inde-

pendentes. Generalizando a Eq. (23), a incerteza em f e calculada como

(f )2 =

?

x1f x1

?2+

?

x2f x2

?2+ +

?

xNf xN

?2

=N?

k=1

?

xkf(x1, x2, . . . , xN ) xk

?2(28)

Dividindo a equacao acima pela expressao de f(x1, x2, . . . , xN ), determinamos o peso com que

as incertezas relativas parciais contribuem para a incerteza da grandeza inferida.

Queremos encontrar a densidade de um solido cubico a partir da medida de sua massa M =

1,02 0,01 kg e do comprimento de um de seus lados, L = 25,0 0,01 cm. Sabemos que:

=M

L3=

M=

1

L3.

L= 3M

L4.

(29)

Note que a derivada parcial L e negativa, indicando que os sentidos de variacao de e L sao

opostos (e.g. e superestimado quando L e subestimado), e que isso nao afeta a incerteza total.

Usando a Eq. (26),

()2 =

?1

L3M

?2+

?3M

L4L

?2. (30)

Ja poderamos substituir os valores medidos de M , L, M e L nessa expressao para obter .

No entanto, prosseguir com a divisao dos dois membros da equacao por nos permite determinar

a importancia de cada grandeza em . Obtemos

?

?2=?MM

?2+?3LL

?2. (31)

A grandeza L contribui com peso tres vezes maior na incerteza final. O motivo estatstico para

isso e o fato de que sua incerteza aparece tres vezes na expressao e de forma correlacionada.

Segundo os valores dados, as incertezas percentuais de M e L sao, respectivamente, 1% e 0,4%.

Normalmente, seguindo a regra informal da secao 4.1, poderamos desprezar a contribuicao de L,

com relacao a M , pois L < M/2. Entretanto, como L contribui com potencia 3 na expressao

de , sua incerteza se torna mais importante. Obtemos = 2%, isto e, = 65 1 kg/m3.

Note que, caso o valor de alguma incerteza relativa seja muito grande, a propagacao por expansao

linear nao sera precisa no calculo da incerteza final. Nesse caso, podemos expandir a funcao ate ordens

mais altas, ou utilizar o metodo trabalhoso (mais conservador) da secao 4 para estimar a incerteza.

21


Apendice A Paqumetro

O paqumetro e um instrumento especializado em medir objetos pequenos de maneira versatil e

precisa4. Sua maior aplicacao reside em medidas de diametros internos e externos, comprimentos de

objetos, profundidade de rebaixos etc.

Todos esses tipos de medidas podem ser lidos em um sistema formado por duas escalas: a escala

principal, denotada no corpo fixo do instrumento, e a escala auxiliar, gravada na peca movel a que

chamamos vernier ou nonio.

Figura 6: Paqumetro.

Para atingir resolucao melhor do que 1 mm, o paqumetro faz uso da escala auxiliar em combinacao

com a escala principal, atingindo resolucao cerca de dez vezes maior do que disponvel fazendo uso

apenas de sua escala principal. Vejamos como funciona o paqumetro e como utilizar o vernier para

conseguir medidas de maior precisao.

A leitura do instrumento ate o algarismo do milmetro e realizada observando-se onde a marcacao

0 do vernier se localiza com relacao a escala localizada no corpo fixo do instrumento, no mesmo

esprito da leitura de uma regua comum.

Vemos na figura 7 a escala principal em detalhe. Pela marcacao 0 do vernier, a leitura direta da

escala principal nos fornece o valor 87 mm. Portanto, seguindo as convencoes das secoes anteriores,

poderamos estimar o algarismo duvidoso como sendo talvez 7, e dessa forma denotar o resultado de

medida como 87,7 0,5 mm usando o paqumetro como se fosse uma regua.

Observemos agora o vernier em mais detalhe. Pela figura 7, vemos que ele possui 10 divisoes,

cada qual correspondendo a um numero de 0 a 10, conforme indicado em sua escala. Pela construcao

do paqumetro, essa escala e calibrada para representar no total 1 mm, de forma que sua menor

divisao deve corresponder a 0,1 mm.

Portanto, a escala do vernier fornece o proximo algarismo significativo. Para identifica-lo, deve-

mos observar qual de suas marcacoes melhor coincide com uma marcacao qualquer da escala principal,

4Applets em http://www.stefanelli.eng.br/webpage/metrologia/p-paquimetro-nonio-milimetro-05.html.

22


Figura 7: Detalhe do vernier.

e ler seu valor correspondente no vernier. No exemplo da figura, essa marcacao se refere ao algarismo

8 no vernier. Assim, o valor medido nesse caso seria

L = 87,8 0,1 mm.

Note que a medida final e bem mais precisa do que o valor anteriormente obtido utilizando o

paqumetro como se fosse uma regua.

No paqumetro nao temos como estimar visualmente o algarismo duvidoso, e a incerteza do

paqumetro reside no ultimo algarismo que ele nos fornece de forma direta (conforme a regra es-

tabelecida anteriormente). Tomamos assim a incerteza do instrumento como igual a sua menor

divisao, tornando-se o ultimo algarismo lido, na verdade, o algarismo duvidoso.

Figura 8: Detalhe do vernier.

Vejamos um outro exemplo a seguir. Na figura 8, temos um vernier com 20 divisoes na escala

auxiliar, diminuindo a incerteza da medida por um fator 2 (ja que a escala do vernier continua

representando 1 mm em sua totalidade). Seguindo o mesmo procedimento, obtemos o valor 76 mm

a partir da escala principal, e, identificando a marcacao do vernier que melhor coincide com a escala

principal como correspondendo ao algarismo 9, podemos escrever como resposta final o valor

L = 76,90 0,05 mm.

Como nao e possvel estimar visualmente o ultimo algarismo, mantemos seu valor conforme lido

diretamente da escala do vernier, com incerteza dada por sua menor divisao.

23


Apendice B Micrometro

O micrometro, ou parafuso micrometrico, e constitudo por um parafuso de passo constante bem

preciso. Uma rotacao completa do parafuso corresponde a um deslocamento de um passo. Ele e

usado para medir dimensoes com resolucoes da ordem de 10 m.

Apesar de apresentar uma resolucao maior que o paqumetro, o micrometro mostra-se um instru-

mento bem menos versatil. As dimensoes medidas nao podem passar de alguns centmetros e devem

corresponder sempre a diametros externos. A figura 9 ilustra um micrometro com a nomenclatura

de suas parte.

Figura 9: Micrometro.

Para iniciar a utilizacao do instrumento, e necessario determinar a correcao do zero de sua escala,

lida a partir do tambor. Para tanto, gira-se o parafuso micrometrico ate que as superfcies de fuso e

batente se encostem. Para medir a dimensao de um objeto, repete-se o procedimento com o mesmo

localizado entre fuso e batente.

Atencao: Caso o zero na escala do tambor nao coincida com o zero da escala linear quando fuso

e batente se encostam, o valor lido deve ser usado para corrigir todas as medidas efetuadas com o

micrometro em questao.

A maioria dos micrometros possui uma catraca, localizada na extremidade do parafuso, cuja

funcao e aliviar pressao excessiva que o operador possa exercer, evitando deformar o objeto a ser

medido ou danificar o instrumento por tensoes mecanicas excessivas.

A dimensao do objeto e lida a partir de duas escalas, como ilustrado em detalhe na figura 10.

A primeira escala, expressa em milmetros, se localiza na bainha e e responsavel para leitura com

precisao de 0,5 milmetro; a segunda escala, de maior precisao, se encontra inscrita no tambor.

A marcacao graduada localizada na bainha e geralmente subdividida em intervalos mnimos de

24


1 ou 0,5 mm. As marcacoes dos milmetros partem da linha da escala num sentido, enquanto as

marcacoes de meio milmetro, quando existentes, partem no outro. Sua leitura e realizada diretamente

pelo numero indicado pelo corte que o tambor cria na escala subjacente. Ou seja, a parte visvel da

escala da bainha denota o valor da medida.

Figura 10: Detalhe das escalas de leitura na bainha e no tambor.

O tambor, que se encontra fixo ao parafuso, proporciona a leitura dos demais algarismos. O

princpio de funcionamento do micrometro consiste em dividir o deslocamento de um passo do pa-

rafuso por um numero N de divisoes (normalmente, N = 50 ou 100), no movimento circular do

tambor. Sua menor divisao corresponde a 0,01 mm.

A leitura do numero do tambor e realizada de forma similar, pelo ponto em que sua escala

numerada e cortada pela linha horizontal inscrita na bainha. Isso permite ler dois algarismos exatos

no tambor e estimar o algarismo duvidoso.

O resultado final da medida e a soma das leituras das duas escalas.

No exemplo da figura 10, a leitura da escala em milmetros proporciona o valor 17,5 mm. Ja a

escala do tambor prove a leitura do numero 32, que deve ser entendido como 0,32 mm. O algarismo

duvidoso pode ser estimado como 0, fornecendo portanto a leitura 0,320 mm na escala mais fina, que

fornece a incerteza. Assim, o resultado da medida e a soma desses numeros,

L = 17,820 0,005 mm,

em que a incerteza de leitura foi tomada, de acordo com a convencao estabelecida, em metade da

menor divisao de leitura da escala mais fina (tambor).

Questoes sobre o material didatico devem ser enderecadas no momento ao Prof. Eduardo O.

Dias, no e-mail [email protected].

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Documents

Exp1_Teoria - Erros e Medidas