Faculdade de Engenharia

Integrais Duplos

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AM2

AMAT1 – integrais definidos simples

Problema:

Considerar:

Se

então f é integrável e

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Integrais duplos

Problema:

Considerar:

Calcular

SA

dxdyyxgdxdyyxf ,,

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Considerar:

AM2

Integrais duplos

onde

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Seja:

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Integrais duplos

Então:

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Se

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Integrais duplos

f é integrável e dxdyfA

Considerando diferentes partições, seja:

Supremo de das somas inferiores (para diferentes partições)

Ínfimo das somas superiores (para diferentes partições)

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Integrais duplos – alguns teoremas

1.

2.

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Integrais duplos – teorema de Fubini

NOTAS

xdyyxfd

c

,

ydxyxfb

a

,

(é função de x apenas)

(é função de y apenas)

A opção por uma determinada ordem de integração depende da região e da função

1.

2.

3.

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Integrais duplos – teorema de Fubini

Exemplo

Calcular onde

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Integrais duplos – parametrização da região

para cada x entre a e b, tem-se xyx 21

para cada y entre c e d, tem-se xxx 21

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Integrais duplos – parametrização da região

b) Indique os limites de integração de quando

Exemplo

D

dxdyyxf ,

xyxxyxD ,20:, 2Seja

a) Esboce a região D

i. a integração é feita primeiro em x

ii. a integração é feita primeiro em y

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Integrais Duplos – cálculo de áreas e volumes

Se , então é a área de A 1, yxf AA

dxdydxdyyxf ,

Se , então é o volume do sólido de base A e altura

definida por f

0, yxf dxdyyxfA

,

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Integrais duplos – exercícios

Faculdade de EngenhariaIntegrais duplos – exercícios

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Integrais Duplos – mudança de variável

b

a

dxxf

Mudança de variável em integrais simples:

bg

ag

duugugf '11

xgu

dxxgdu ' duugduxg

dx '1

'1

ugx 1

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Integrais Duplos – mudança de variável

2

1

221 dxx

Exemplo – integral simples

313

21

21 1

3

23

1

2

duuduu

xu 21

2,1x

ou

xu 21 1,3 u

dxdu 221

dudx

3

132121

1

3

21

3

22

1

2

duudududxudxx

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Integrais Duplos – mudança de variável

Seja

yx,

D

dxdyyxfI ,

Para calcular este integral fazendo a mudança de variável

vu,(antigas) (novas)

deverá ser definida a FVVV que define as variáveis antigas à custa das novas:

vugvugyxvuDEG

,,,,,:

21

e atender a que: dudvvuJGdxdy ,det

ED

dudvvuJGvugvugfdxdyyxfI ,det,,,, 21

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Integrais duplos – mudança de variável

Exemplos

Determine a relação entre as áreas elementares em coordenadas cartesianas e polares

1.

2.

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Integrais duplos – exercícios