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Faculdade de Engenharia
FRVV – série de Taylor 22, xyyxz
Faculdade de Engenharia
AM2
Aproximação linear de funções
1. FRVR
:gSeja 0xdiferenciável em xg
0x
g
x 000 ' xxxgxgxg
0xgNa vizinhança de tem-se0x
2. FRVV
nf :Seja diferenciável emf
000 XXXfXfXf
Na vizinhança de tem-se0X
0X
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Série de Taylor
• consiste numa série de potências com coeficientes relacionados com as derivadas de uma função num ponto
• muito usada nos diversos domínios da engenharia para aproximar o comportamento de funções na vizinhança de um ponto
• no caso de FRVV, a expressão da série de Taylor envolve derivadas cruzadas de diferentes ordens
NOTA: nAf :Seja abertoA
,ix
f ,
jxf
ji xxf
2existem e são contínuas ji
entãoij xx
f
2
existe ejiij xx
fxxf
22
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AM2
Teorema de Taylor
Seja
n
iii
XiN xx
xfXfXP
1
00
0
n
jijjii
Xji
xxxxxxf
1,
002
021
0
1,,
0
1
1101
!1
NN
N N
ii
n
iiii
Xii
N
xxxxxx
fN
e 0lim
00 XX
XRNXX
Faculdade de Engenharia
AM2
Teorema de Taylor
Seja
n
iii
XiN xx
xfXfXP
1
00
0
n
jijjii
Xji
xxxxxxf
1,
002
021
0
1,,
0
1
1101
!1
NN
N N
ii
n
iiii
Xii
N
xxxxxx
fN
e
0
1,,
0
~
1
11
11
11
11!1
1
NN
N N
ii
n
iiii
Xii
N
N xxxxxxf
NXR
1,0,~ 00 XXXX
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Série de Taylor – n=1, N geral
Seja
000 ' xxxfxfxPN 3002
00 '''61''
21 xxxfxxxf
NN xxxfN 00!1
If : abertoI
diferenciável N+1 vezes
Ix 0
f
xPxf N
N
k
kkN xxxf
kxfxP
1000 !
1
onde
então
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Série de Taylor – n=1
Exemplo
N
k
kkN xxxf
kxfxP
1000 !
1
Determine o polinómio de Taylor de grau 3 da função em torno de xexf
a)
b)
0x
1x
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Série de Taylor – n=1
Exercícios
N
k
kkN xxxf
kxfxP
1000 !
1
Determine os seguintes polinómios de Taylor
0,,sin 07 xPxxfa)
b)
c)
d)
0,,1
104
xP
xxf
0,,cos 07 xPxxf
0,,1 02 xPxxf
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Série de Taylor – n=1
Exemplo
N
k
kkN xxxf
kxfxP
1000 !
1
-0.5 0 0.5 1 1.5 2-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
ln(1+x)P1P2
P3
P4
N
k
kk
N xk
xP1
11
)1ln( xxf 00 x
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Série de Taylor – n geral, N=1
Seja nAf : abertoA
diferenciável N+1 vezes
AX 0
f
XPXf 1
onde
então
n
iii
Xi
xxxfXfXP
1
001
0
000 XXXfXf
aproximação de por é uma aproximação linear Xf XP1
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Série de Taylor – n=2, N=2
Seja 2: Af abertoA
diferenciável N+1 vezes
AyxX 000 ,f
XPXf 2
onde
então
000
2 XXXfXfXP
2002
2
000
22
002
2
21
21 yyX
yfyyxxX
yxfxxX
xf
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AM2
Nota – Matriz Hessiana para n=2
Seja 2: Af abertoAtem derivadas parciais de 2ª ordem contínuas numa vizinhança de
AyxX 000 ,f
02
2
0
2
0
2
02
2
0
Xy
fXyxf
XxyfX
xf
XfH
0X
matriz real e simétrica
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Série de Taylor – n=2, N=2 (usando matriz Hessiana na notação)
Seja 2: Af abertoA
diferenciável N+1 vezes
AyxX 000 ,f
XPXf 2
onde
então
0002 XXXfXfXP 00021 XXXXX f
T H
e
0
00 yy
xxXX
000 yyxxXX T
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Série de Taylor – n=2, N=2
Exemplo
Determine o polinómio de Taylor de grau 2 da função em
torno de
yxeyxf cos,
0,00 X
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AM2
Nota – Matriz Hessiana para n geral
Seja nAf : abertoAtem derivadas parciais de 2ª ordem contínuas numa vizinhança de
AX 0
f 0X
matriz real e simétrica
Faculdade de Engenharia
AM2
Série de Taylor – n geral, N=2
Seja nAf : abertoA
diferenciável N+1 vezes
AX 0
f
XPXf 2
onde
então
0002 XXXfXfXP 000
21 XXXXX f
T H
e
0
011
0
nn xx
xxXX
0011
0nn
T xxxxXX
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AM2
Série de Taylor – exercícios
