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Faculdade de Engenharia
FRVV – cálculo diferencial 22, xyyxz
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AM2
Cálculo diferencial em Rn – derivadas direccionais
Aonde é um conjunto aberto XfX
Af n
:Seja
Objetivo:Estudar o comportamento de perto de quando varia ao longo de uma dada direção
Xf AX 0 X
0Xu
0Xf
x
y
yxf ,
nu
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Cálculo diferencial em Rn – derivadas direcionais
Objetivo:Estudar o comportamento de perto de quando varia ao longo de uma dada direçãocom
Xf AX 0X nu
0Xu
0Xf
x
y
yxf ,
1u
X varia ao longo de u utXtX 0
onde TTtAtX ,,
TTtutXftXf ,,0
Derivada direcional de relativamente a no ponto :f u 0X
se limite existir e for número real
depende apenas de t
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Cálculo diferencial em Rn – derivadas direcionais
Exemplo
Calcular a derivada de em segundo a direção de para
0Xfu
22, yxyxf
1,10 X
1,1 u
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Cálculo diferencial em Rn – derivadas direcionais
Exemplo
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Cálculo diferencial em Rn – derivadas parciais
0Xu
0Xf
x
y
yxf ,
derivada parcial de
f uQuando coincide com um dos vetores de base canónica de Rn , a derivada de relativamente a é designada por derivada parcial
u
f
ii xf
ef
quando 0,...,0,1,0,...,0 ieu
se niii xxxxxX ,...,,,,..., 111 pode ainda escrever-se
uf
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Cálculo diferencial em Rn – derivadas parciais
Exemplo
Seja 22, yyxyxf
0,0xf
Calcule
a)
b) 0,1yf
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Cálculo diferencial em Rn – derivadas parciais
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Cálculo diferencial em Rn – derivadas parciais
Exemplo
Calcule as derivadas parciais de
yxeyxf2
, a)
b) 432, zyxyxf
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Cálculo diferencial em Rn – gradiente
XfXAf n
:Seja
Define-se o vetor gradiente de em como
001
0 ,, XxfX
xfXf
n
f AX 0
o gradiente só existe se existirem todas as derivadas parciais
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Cálculo diferencial em Rn – gradiente
Exemplo
Calcular para 2,1f 22, yyxyxf
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Cálculo diferencial em Rn – exercícios
1 – b) c) d)2 – a) b) extra)3 – a)
extra) repita b) com
22,
22u
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Cálculo diferencial em Rn – exercícios
5 – b)6 – extra) a)
extra) xyxxf 65 4
e 32 43 yxxf
