FORMULRIO

O formulrio abaixo figurar, tal como est, nos enunciados das provas de Fsica Geral, no necessitando o aluno de trazer o mesmo para a prova. esperado que o aluno saiba o contexto de aplicao das frmulas e o significado de todos os smbolos.

2 2 2

2 3 2 2 2

; ; ; cos ; sin

4Crculo: ; 2 Esfera: ; 4 Cilindro: ; 2 2

3

; ; ; ;

final inicial x y z x y z

med med med

G G G A A A A A A A A A A B AB A B AB

A R P R V R A R V R h A R Rh

r dr distncia vv v s s v v a

t dt t

= = + + = + + = =

= = = = = = +

= = = = = =

I J K n

2

2

0 0

00

2 2

0 0 0 0

;

1D: 1D:

1 1

2 2

; 1 rot 2 rad

; ;

;

med

med

dv d ra

t dt dt

a cte a ctev cte v cte

v v at v v atx x vtr r vt

r r v t at x x v t at

d

R d Rd

vdt t

d

dt t

= =

= =

= = = + = +

= += + = + + = + +

= =

=

= = =

= =

0

022

0 0

22

2

; ; ;

1;

2

; ; 9,8 m/s ; ; ;

1; ; ( ) ; ; ;

2

t r

g s e N k c N centrip

xf p

c p C C pg exi

cter Fcte

R tt

vt ta R a

R

vF ma F mg g f F f F F m

R

dEW F r E mv E F x dx F E mgh F

dx

= = =

= + = + = = + += =

= = = = =

= = = = =

I

2

, ,

11 2 -2

2 2

12 2 -1 -2 9

0

0

1;

2

; ; ; ; ;

; ;

; ; ; 6,67 10 N.m .kg ;

18,85 10 C .N .m ; 9,0 10 N

4

last x p elast

m c p tot c C p NC m med

ext

G G pG G g

e

kx E kx

EE E E W E W E W E F v

t

p mv I F t I p

Mm M MF G V G E mV G a g G

r r r

k

= =

= + = = = = =

= = =

= = = = =

= = =

P P

2 -2

1 2

2 2

2

0 . . 1 2

. 1 2

2

. 1 2

. 1 2

.m .C

; ; ; ; ;

1 1 1 1; ; ; ;

2

1 1 1; ; ; ; ; ;

i ie e e i e e e pe e

i ii i

pe cond eq par

eq serie

Joule eq s

eq p

q q q q VF k r E k r F qE V k E qV E

r r r s

Aq CV C E CV C C C

d C C C

LV RI R I IV RI R R R

A R r R R R

= = = = = =

= = = = + + = + +

= = = = = = + + = + ++

P P

( ) ( )

002

resistncia : se corrente e circulao resp. /; 0

f.e.m. : se circulao resp. do plo /

; ; ; ;

; 4

4

entrada saidamalha

B B

V IRI I V

V

mvF qv B F I L B R NIA B A A

q B

I ds rdB

r

= = =

= + +

= = = = =

= =

n

7 -2 0 0 0 1 2

0

2 2

max

10 N.A ; ; ; ;2 2 2

; ; ; cos

1; ; ( ) ; tg ; cos

; ; ;2 2

fio circ solen

B Bmed B B

A

L CL C L C

e e e e med e e

I II IB B B nI F L

d R d

dN N B dA BA

t dt

X X RX L X Z R X X

C R Z

I RI V V ZI I V

Z

= = = =

= = = =

= = = + = =

= = = =

P

Resumo de frmula, equaes e dedues Fundamentos de Fsica I Halliday, Resnick, Walker Resumo de Alyson Prado

Wolf Acadmico de Engenharia Mecnica UEM

CAPTULO 02 MOVIMENTO RETILNEO

Acelerao constante: um caso especial

CAPTULO 03 VETORES

Assunto tratado de maneira mais completa em livros de geometria analtica.

CAPTULO 04 MOVIMENTO EM DUAS E TRS DIMENSES

A direo da velocidade instantnea de uma partcula sempre tangente trajetria

da partcula na posio da partcula.

Movimento de projteis

Movimento Circular Uniforme

Movimento relativo

Para constante, temos:

CAPTULOS 05 E 06 FORA E MOVIMENTO

Primeira Lei de Newton: Se nenhuma fora resultante atua sobre um corpo ( ),

sua velocidade no pode mudar, ou seja, o corpo no pode sofrer uma acelerao.

Segunda Lei de Newton:

Terceira Lei de Newton: Quando dois corpos interagem, as foras que cada corpo

exerce sobre o outro so sempre iguais em mdulo e tm sentidos opostos.

Fora de atrito

(i) se v = 0, a fora possui o mesmo mdulo que a fora aplicada sobre o corpo.

(ii) se v = 0 e o corpo est na eminncia de movimento, diz-se que atingiu um valor

mximo, cujo mdulo determinado por

(iii) se v 0, ento

Fora de arrasto

Resumo de frmula, equaes e dedues Fundamentos de Fsica I Halliday, Resnick, Walker Resumo de Alyson Prado

Wolf Acadmico de Engenharia Mecnica UEM

Fora centrpeta

CAPTULO 07 ENERGIA CINTICA E TRABALHO

Energia cintica, potencial gravitacional e trabalho.

Trabalho da fora elstica

Se um bloco que est preso a uma mola se encontra em repouso antes e depois de um

deslocamento, o trabalho realizado sobre o bloco pela fora aplicada responsvel pelo

deslocamento o negativo do trabalho realizado sobre o bloco pela fora elstica.

Trabalho de uma fora genrica

Se a velocidade de um corpo realizando trabalho possuir mesmo mdulo em dois

pontos diferentes, ento K ser nulo, logo, o trabalho realizado pela fora resultante

entre esses dois pontos ser nulo.

Potncia

CAPTULO 08 ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAO DA ENERGIA

Trabalho e Energia Potencial

Independncia da Trajetria para o Trabalho de Foras Conservativas

- O trabalho total realizado por uma fora conservativa sobre uma partcula que se

move ao longo de qualquer percurso fechado nulo.

- O trabalho realizado por uma fora conservativa sobre uma partcula que se move

entre dois pontos no depende da trajetria seguida pela partcula.

Energia Potencial Gravitacional

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Wolf Acadmico de Engenharia Mecnica UEM

Energia Potencial Elstica

Conservao da Energia Mecnica

Clculo da Fora

Trabalho Realizado por uma Fora Externa sobre um Sistema

- Trabalho a energia transferida para um sistema ou de um sistema atravs de uma

fora externa que age sobre o sistema.

Ausncia de atrito: Presena de atrito:

Potncia

CAPTULO 09 CENTRO DE MASSA E MOMENTO LINEAR

Sistemas de Partculas

Corpos Macios

Para um corpo de densidade constante, tem-se:

A Segunda Lei de Newton para um Sistema de Partculas

Momento Linear

Momento Linear de um Sistema de Partculas

Coliso e Impulso

Colises em srie

Conservao do Momento Linear

Se , ento

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Momento e Energia Cintica em Colises

- Coliso elstica: a energia cintica total do sistema conservada.

- Coliso inelstica: a energia cintica total do sistema no conservada.

- Coliso perfeitamente inelstica: ocorre quando a perda de energia cintica do

sistema mxima, ou seja, os dois corpos permanecem juntos.

Colises Inelsticas em uma dimenso

- Coliso inelstica unidimensional

- Coliso perfeitamente inelstica unidimensional

Para o corpo 2 inicialmente em repouso, temos:

Colises Elsticas em uma dimenso

- Para o corpo 2 inicialmente em repouso, temos:

Para m1 = m2, v1f = 0 e v2f = v1i.

Para , tem-se que v1f = - v1i e v2f = (2m1/m2)v1i.

Para , tem-se que v1f = v1i e v2f = 2v1i

- Para o corpo 2 inicialmente em movimento, temos:

Colises em duas dimenses1

Para colises elsticas, tem-se tambm:

Sistema de massa varivel

CAPTULO 10 ROTAO

Para acelerao angular constante, tem-se:

Energia Cintica de Rotao

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Torque

CAPTULO 11 ROLAMENTO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR

O rolamento como uma combinao de translao e rotao

A energia cintica do rolamento

As foras do rolamento

Rolando para baixo em uma rampa

O Ioi

Momento angular

Momento angular de um corpo rgido girando em torno de um eixo fixo

Actividades AF 3_1 1. Considere as seguintes afirmaes produzidas por estudantes acerca da energia.

A. Energia uma fora natural e tambm um facto indispensvel vida. B. Energia o petrleo, o carvo e os outros combustveis. C. Energia uma fora, um poder, que permite aos seres terem movimento e vida e pode ser transmitida. D. Energia o alimento dos seres vivos que lhes d fora e os faz viver. E. Energia uma fora que existe em todos os corpos do Universo, que os transforma, que os cria, que os mata. de origem desconhecida. F. A energia uma fora que serve para accionar diversos mecanismos. G. A energia o resultado de reaces qumicas naturais ou provocadas

artificialmente.

Indique, uma a uma, se correcta ou incorrecta, criticando-a.

2. Um estudante afirmou que se sente bem na praia pois sabe-lhe bem receber o calor do Sol. cientificamente correcta esta afirmao? Fundamente.

4. Converta: 4.1. 1 000 J em cal 4.2. 1 000 J em kcal 4.3. 2,11 106 J em BTU 5. Determine quantas grandes calorias : 5.1. correspondem a 10 kJ; 5.2. correspondem a 1 megajoule (1 MJ)

6. Considere a seguinte afirmao:

Uma pilha contm materiais com energia elctrica. Critique esta afirmao.

7. Informe-se sobre o funcionamento de um central termoelctrica.Que transformaes de energia ocorrem numa central termoelctrica? 8. Informe-se sobre o funcionamento de um central hidroelctrica.Que transformaes de energia ocorrem numa central hidroelctrica?

3. A figura representa uma bala a mover-se a altssima velocidade que perfurou uma ma sem que esta tenha sado do seu suporte. A bala tem a massa 100 g e a sua velocidade de 400 m/s. 3.1. Qual a energia cintica da bala? 3.2. Explique fisicamente o facto de a ma no ser empurrada pela bala e cair do suporte.

12. Analise o mapa conceptual da pgina seguinte . 12.1 Que formas de energia so referidas? 12.2 De que depende a energia cintica de um corpo? 12.3 De que depende a energia potencial gravtica de um sistema de corpos? 12.4 De que depende a energia potencial elstica? 13. Complete o mapa conceptual, indicando uma posio e ligaes que faam sentido, para os seguintes conceitos: 13.1 Energia sonora. 13.2 Energia transportada pela corrente elctrica. 13.3 Energia nuclear.

9. Um corpo com a massa de 100 g e o peso de 1,0 N foi deixado cair de uma altura 0,5 m, a partir do repouso. 9.1. Qual foi o trabalho realizado pela fora gravtica? 9.2. O trabalho mede uma transformao de energia que ocorreu. Que transformao foi essa? 9.3. Qual a velocidade com que o corpo chegou ao fim da queda? 10. Com uma fora de 600 N empurrou-se um carro ao longo de uma distncia de 5 m. O carro moveu-se horizontalmente. 10.1. Qual foi o trabalho realizado pela fora? 10.2. Que significa o valor obtido na alnea anterior? 10.3. Que tipo de energia foi adquirida peo carro e qual o seu valor? Fundamente. 11. Um corpo de massa 2,0 kg sobe um plano inclinado de altura 2,0 m e comprimento 4,0 m com velocidade constante. O atrito e a resistncia do ar so desprezveis. Considere o valor da acelerao da gravidade igual a 10 m/s2 11.1. Que caractersticas tem a fora aplicada no corpo paralela ao plano e que faz subir o corpo? Justifique. 11.2. Qual o trabalho realizado pela fora referida

14. Um pequeno carro com massa 1,0 kg lanado numa pista horizontal com uma velocidade

de 1,0 m/s, acabando por parar ao fim de 10 s devido fora de atrito que se supe constante ao longo do movimento.

14.1. Qual o trabalho realizado pela fora de atrito durante o percurso do carro sobre a pista? 14.2. Qual a potncia que deveria desenvolver um motor colocado no carro, de modo que este se movimentasse ao longo de toda a pista com a mesma velocidade com que lanado nela? 15. Com que velocidade deve ser lanada uma pedra verticalmente de baixo para cima para que, na ausncia de resistncia do ar, ela atinja a altura h num local onde a acelerao da gravidade g?

A. v = gh B. v = 2gh C. v = gh D. v = 2gh

16. Trs projcteis A, B e C, da mesma massa, so lanados de um mesmo lugar no solo com a mesma rapidez inicial v (em m/s) segundo ngulos de lanamento com a horizontal de 30, 45 e 60, respectivamente. Considerando desprezvel a resistncia do ar, que relao de grandeza h entre as velocidades dos projcteis quando esto mesma altura h do solo?

A. vA < vB < vC B. vA > vB > vC C. vA = vB = vC D. vA = vC < vB

17. Considere um sistema formado por duas partculas (1 e 2) nas seguintes situaes:

1 situao: As duas partculas esto superfcie da Terra, sob a aco da gravidade. 2 situao: As duas partculas esto numa situao (no espao, por exemplo) em que todas

as aces de outros corpos sobre elas se podem desprezar. Em qual (ou quais) das duas situaes se conserva o momento linear do sistema formado pelas partculas 1 e 2?

A. Em ambas as situaes B. Na 1 situao C. Na 2 situao D. Em nenhuma das situaes

18. Uma bola cai de uma altura de 2,00 m sobre uma superfcie horizontal e devolvida por esta at uma altura de 1,00 m. A massa da bola 100 g. A durao do choque com a referida superfcie 0,01 s. Qual a fora mdia de interaco entre a bola e a superfcie? 19. Apresente uma fundamentao para o facto de o trabalho realizado por uma fora que provoca um movimento circular e uniforme ser nulo? 20. Um bloco em repouso explode originando trs pedaos. Dois dos pedaos, de massa igual, deslocam-se aps a exploso em direces perpendiculares, com velocidades de 30 m/s. O terceiro pedao, de massa igual a trs vezes a massa de qualquer dos outros, que velocidade adquire aps a exploso?

Resoluo das actividades 3_1

1. Todas as afirmaes so incorretas. De forma breve:

A. Confuso energia-fora e viso naturalista da energia. B. Substantificao da energia e confuso energia-combustvel. C. Confuso energia-fora e associao de toda a energia ao movimento. D. Substantificao da energia e confuso energia-alimento. E. Confuso energia fora e energia como causa de as coisas sucerem como sucedem. F. Confuso energia fora e viso mecanicista d energia. G. Viso limitativa da energia cingindo-a forma qumica.

2. A afirmao incorrecta. O Sol emite luz, no emite calor. A luz um forma de energia-

energia luminosa ou radiante que, ao incidir numa pessoa, vai transformar-se em energia interna, tal como se ele estivesse a receber calor por exemplo de um cobertor elctrico. O efeito o mesmo aumento da energia intern, mas os processos ue conduzem ao efeito so diferentes.

3.

3.1. A energia cintica : Ec = m v2 = 0,1 kg (4 102 m/s)2 =8 103 J

3.2. A bala no cai devido inrcia. Estando em repouso tende a permanecer em repouso e a passagem da bala pela ma foi to rpida que no deu tempo para a mao vencer a inrcia e ser arrastada.

4. 4.1. 1000 / 4,184 cal = 239 cal 4.2. 1000 / 4184 kcal = 0,239 kcal 4.3. 2,11 106 / 1,05435 103 BTU = 2,00 103 BTU 5. 5.1. 10000 / 4184 Cal = 2,39 Cal 5.2. 1 000 000 / 4184 Cal = 239 Cal

6. A afirmao incorrecta. Se, ao ligarmos a pilha a um circuito, assistimos a manifestaes

de energia neste, porque a pilha j tem energia, pois a energia no surge do nada. Porm, a energia elctrica no circuito est associada corrente elctrica, ou seja ao movimento dos electres de conduo da corrrente, e , pois energia cintica. A energia ds substncias da pilha , pelo conrrio, uma forma de energia potencial acumulada nos sistemas de materiais que a compem. A energia elctrica manifestada no circuito acaba portanto por resultar de reaces qumicas entre as substncias qumicas que constituem a pilha. Essas substncias possuem energia qumica, no energia elctrica. A pilha, como geradorm acaba por ser um sistema que transforma energia qumica em energia elctrica.

7. Numa central termoelctrica entram combustveis (carvo, por exemplo), que, ao serem

queimados, sofrem reaces qumicas que libertam energia. A energia transfere-se para o vapor de gua, deste para os geradores de corrente elctrica e, a seguir, para a corrente nos fios. O combustvel, juntamente com o oxignio, constitui um sistema com energia qumica (eneria potencial). Quando ocorre a combusto h uma libertao de calor (energia em trnsito da caldeira de combusto para o vapor de gua que vai accionar as turbinas. Aqui a energia cintica do vapor transferida para as turbinas e destas para os alterndores ue convertem a energia mecnic cintica em energia elctrica. Esta propagada atravs das redes elctricas para os locais de consumo.

8. Numa central hidroelctrica o desnvel entre o orifcio de sada da gua para a conduta de

escoamento e a turbinas confere gua energia potencial gravitacional que transformada em energia cintica da gua, quando a gua cai, ao longo da conduta. Essa enegia cintica transfere-se para a turbina e desta para o alternador que a transforma em energia elctrica propagada depois atravs dos fios para os locais de consumo.

9. Tem-se

Fg = 1,0 N e r = 0,5 m.

9.1. O trabalho realizado foi w = Fg r = 1,0 N 0,5 m = 0,5 J. 9.2. Este trabalho mede a energia potencial gravtica que se transformou em energi cintica. 9.3 A energia cntica , portanto, igual a 0,5 J. De Ec = m v2 conclumos que v2 = 2 Ec /m = 1,0 /0,10 = 10 m2/s2. Extraindo a raz quadrada obtm-se:

v = 3,2 m/s 10. Tem-se

F = 600 N e r = 5 m. 10.1. O trabalho realizado foi

w = F r = 600 N 5 m = 3000 J. 10.2. O valor do trabalho, 3000 J, significa que foi transferida uma energia de 3000 J para o sistema carro-Terra. 10.3. Como o movimento horizontal no h variao de energia potencial gravtica e toda essa energia transferida no valor de 300 J fica no carro na forma de energia cinticase desprezarmos a energia dissipada nos atritos e na resistncia do ar. 11. Tem-se

m = 2,0 kg, h = 2,0 m, l = 4,0 m e g = 10 m/s2. 11.1 Sabemos que a soma vectorial da fora gravtica com a reaco do plano uma fora

paralela ao plano, descendente, de intensidade Fg . h/l = Fg . sin

onde = ngulo de inclinao do plano. Esta soma , pois

20 N 2,0 m/4,0 m = 10 N Para que o corpo suba a velocidade constante h que aplicar-lhe uma fora simtrica desta

intensidade 10 N, direco paralela ao plano e sentido ascendente. 11.2. O trabalho dado neste caso por

w = F r = 10 N 4,0 m = 40 J.

11.3. Esse trabalho mede a energia transferida do corpo ou sistema que exerce a fora de

arrastamento do corpo para o sistema corpo-Terra. Neste caso, como no h variao da energia cintica do copo, uma vez que a sua velocidade no varia, essa energia toda convertida em energia potencial grvtica.

11.4. A energia potencial gravtica dada por 11.5.

Ep = m.g.h = 2,0 kg 10 m/s2 2,0 m = 40 J Verifica-se que esta energia potencial igual ao trabalho pelas razes apontadas na alnea anterior.

12 12.1. Energias cintica e potencial e, dentro das energias potenciais, a potencial gravtica, a potencial elstica e a potencial qumica. 12.2. Da massa e da velocidade. 12.3. Da posio relativa dos corpos e da massa destes. 12.4. Da deformao dos corpos e da sua elasticidade. 13. 13.1. Tenha em conta que se trata de uma energia do movimento (portanto cintica) vibratrio dos corpos elsticos (lminas metlicas, ar, etc) que portanto depende da elasticidade destes. 13.2. Tenha em conta que se trata de energia dos electres em movimento (portanto cintica). 13.3. Tenha em conta que uma forma de energia acumulada (portanto potencial) nos ncleos e que como toda a forma de energia potencial depende da posio relativa das partculas que interactuam. 14. 14.1. O trabalho realizado, entre dois pontos da trajectria de uma partcula, pela fora resultante que actua sobre ela, sempre igual variao da energia cintica da partcula entre esses dois pontos. No caso descrito a fora resultante a fora de atrito e a variao da energia cintica dada por

)(21 22

ifc vvmE = onde vi e vf so, respectivamente, as velocidades inicial e final da partcula. Do enunciado sabemos que a velocidade final nula e a inicial 1 m/s . Logo a variao de energia cintica e o trabalho da fora de atrito valem 0,5 J. O trabalho negativo porque a fora de atrito se ope sempre ao deslocamento. 14.2. Para que o carro se desloque com velocidade constante, o motor tem de exercer sobre ele uma fora com o mesmo mdulo e direco da fora de atrito e de sentido contrrio. O mdulo da fora de atrito pode ser calculado a partir dos dados do problema. Para isso comeamos por calcular a acelerao do movimento sem o motor. Nesse caso a velocidade v dada, em funo do tempo t, por

v = v0 a t em que a a acelerao do movimento e v0 a velocidade inicial com que o carro lanado na pista. Como ao fim de 10 s o carro acaba por parar, vem que

a = v0/t = 1,0 m.s -1/10 s = 0,1 m/s2 Sendo m a massa do carro, o mdulo da fora de atrito

F = ma = 1,0 kg 0,1 m/s2 = 0,1 N, que tambm o mdulo da fora exercida pelo motor se o carro mantiver a sua velocidade constante . A potncia associada a uma fora que actua sobre um corpo que se move com velocidade v P = F v. Logo, neste caso a potncia exercida pelo motor

P = 0,1 N 1,0 m/s = 0,1 W.

15. A opo correcta B. Pela lei da conservao da energia mecnica:

Ec (baixo) + Ep (baixo) = Ec (cima) + Ep (cima) Substituindo as expresses das energias e considerando para nvel zero da energia potencial a posio de lanamento, vem:

m v2 + 0 = 0 + mgh De aqui conclui-se que

16. A opo corecta C. Verifica-se a lei da conservao da energia mecnica Como, partida todos os projcteis tm a mesma energia cintica (mesma massa e rapidez) e a mesma energia potencial (nvel zero de energia potencial), ou seja, partida:

Ec = constante e Ep = constante, para todos os projcteis, conclumos que a energia mecnica igual para todos os projcteis e ter de se manter invarivel ao longo do percurso. Ento, quando os projcteis esto mesma altura,

Ep = mgh = constante (para todos eles), a energia cintica, Ec = m v2, ter de ser tambm constante para todos eles. Logo, a rapidez ser a mesma para todos os projcteis. 17. A variao do momento linear total ao longo do tempo igual soma de todas as foras que actuam no sistema e tm origem fora dele (foras exteriores). Por isso num sistema isolado, i.e. em que as interaces com o exterior se podem desprezar, no existem foras exteriores a actuar sobre o sistema e, portanto, o seu momento linear conserva-se. Sendo assim, na 2 situao o momento linear conserva-se. Na 1 situao, como consideramos que o sistema apenas formado pelas partculas 1 e 2 e como a Terra actua em ambas atravs da aco da gravidade, existem foras exteriores ao sistema cuja soma no nula. Logo, o momento linear do sistema no se conserva. Consequentemente, a resposta correcta C. Note que se na 1 situao considerssemos que o sistema era formado pela Terra e pelas partculas 1 e 2, as foras que eram exteriores (exercidas pela Terra sobre o sistema das partculas 1 e 2) agora j passavam a foras interiores, por a Terra fazer parte deste novo sistema. Ento, se pudssemos desprezar as aces de todos os outros corpos exteriores a este sistema partcula 1 + partcula 2 + Terra, ento o momento linear total deste sistema conservar-se-ia.

ghv 2=

18. Quer na queda da bola quer na subida posterior vlida a relao v2 = 2 g h que se obtm igualando a energia cintica no ponto mais baixo (ao chegar ao solo e ao abandonar a seguir o solo), pois a a energia potencial considera-se nula, com a energia potencial gravtica no ponto mais alto (de que a bola parte e onde depois chega), pois a a energia cintica nula. No fundo basta recorrer expresso da conservao da energia mecnica. Recorrendo referida expresso com h = 2,00 m, obtm-se o valor da velocidade no final da descida, cuja componente vy = - 6,26 m/s (negativa por ter sentido oposto ao eixo dos yy vertical e para cima. Recorrendo mesma expresso com h = 1,00 m, obtm-se o valor da velocidade no incio da subida, cuja componente vy = + 6,26 m/s (positiva por ter o sentido ascendente igual ao do eixo dos yy). Agora resta aplicar a relao de igualdade entre impulso da fora no solo e variao da quantidade de movimento:

Fy (mdia). t = m (vy- vy)

Efectuando os clculos obtm-se Fy = 105 N. 19. O trabalho realizado por uma fora que leva uma partcula de A para B , em geral, dado por um limite de uma soma de um nmero muito grande de deslocamentos elementares rdF r

r ao longo da trajectria quando esse nmero vai crescer para infinito (matematicamente traduz-se por um integral ( =

B

A

rdFW rr

). Se considerarmos o caso do

movimento circular e uniforme a fora Fr

que actua na partcula em cada ponto da trajectria e o deslocamento elementar (infinitesimal) rdr com origem nesse ponto so sempre perpendiculares,r em todos os pontos da trajectria. Ento cada trabalho elementar rdF r

r nulo, e portanto a sua soma tem de ser nula. 20 uma velocidade de mdulo 14 ms-1 e cuja direco forma um ngulo de 135 com a direco de um dos blocos e um ngulo de 135 com a direco do outro bloco: Tem-se, sendo m a massa igual dos dois blocos 1 e 2, v a velocidade do bloco 3, e 3 m a massa deste bloco 3, as quantidades de movimento sero:

p1 = 30 m , p2 = 30 m , p3 = 3 m v Como a diagonal do rectngulo igual raz quadrada da soma dos quadrados dos lados, para que a quantidade de movimento continue a ser nula j que o era de incio, teremos:

Elevando ambos os membros ao quadrado e simplificando, acabamos por obter

v = 14 m/s .

( ) ( )22 30303 mmmv +=

ACTIVIDADEAF2_11.Nassituaes acima colocadas os respectivos corpos podem considerar-se partculas? 2. 2.1 Verifique que a posio do projctil representado na figura do texto satisfaz as equaes paramtricas

x = 25 t (SI) e y = 9,49 t 4,9 t2 2.2. Em que instante que o referido projctil passa n posio representada? 3. Suponhamos agora que o deslocamento ocorre da posio xi = + 50,0 m para a posio xf = + 20,0 m.

3.1. Caracterize o deslocamento. 3.2. Qual a componente escalar do deslocamento no eixo Ox? 3.3. Compare o valor do deslocamento com o valor do espao percorrido. 4. A tabela que se segue refere-se variao da posio de uma partcula que se move rectilineamente: Tempo t (s) 0 5 10 15 20 25 30 Posio x(m) 0 10 20 20 25 15 50 Vamos admitir que entre os instantes tabelados o movimento foi sempre regular, isto , a posio variou regularmente. 4.1. Construa um grfico correspondente funo x = x (t), colocando a varivel tempo no eixo das abcissas (o eixo geralmente atribudo varivel independente) e a varivel posio no eixo das ordenadas (o eixo da varivel dependente). 4.2. O grfico poder corresponder a um situao real de movimento? Justifique. 4.3. Como evoluiu a posio da partcula? 5. Relativamente ao movimento a que se refere a tabela da questo anterior, determine a rapidez mdia da partcula entre os instantes 10 s e 25 s. 6. Se a posio de uma pequena esfera obedecer equao horria

s = 3 + 20.t 2.t2 (SI) qual a rapidez da esfera no instantes 2 s?

7. Considere novamente o movimento a que se refere a tabela da questo 4 e os instantes 10 s e 25 s: 7.1. Determine o valor do deslocamento entre esses instantes. 7.2. Caracterize esse deslocamento. 7.3 Detemine o valor da velocidade mdia da partcula entre esses instantes. 8. Analise a seguinte situao em que uma sonda espacial gira em torno da Terra. 9. Considere uma bola de 1,0 kg parada sobre uma mesa. 9.1. Caracterize o par de foras de interaco que actuam no sistem bola-mesa. 9.2. Que foras actuam na bola? Que intensidade tm, recordando de estudos elementares que o peso de um corpo dado pelo produto P = m.g (simplifique o valor de g para 10 m/s2). 9.3. Estas duas foras so um par aco-reaco? 9.4. Represente as foras na bola e as foras no par aco-reaco. 10. Suponha que x(t) a posio, no instante t, de uma partcula que descreve um movimento

rectilneo. Qual dos movimentos a seguir representados um movimento rectilneo em que a acelerao constante?

A. x(t) = 3t4 2t2 B. x(t) = 2t3 5 C. x(t) = 3t2 2t D. x(t) = 2t-4

11. Suponha que conhece a velocidade constante de um movimento rectilneo. Para conseguir

descrever completamente este movimento (i.e. determinar a posio da partcula em qualquer instante), necessita de conhecer mais alguma grandeza? Justifique.

8.1 Caracterize as foras que actuam . 8.2 A Terra move-se ao encontro da sonda? Justifique.

12. Nas situaes (I) e (II) temos o mesmo corpo de massa 1,00 kg ligado a um fio de massa desprezvel e sobre a mesma mesa. Em (I) puxou-se o fio com uma fora de 5,0 N exercida com a mo e em (II) ligou-se o corpo a um outro corpo de massa 0,50 kg (peso 5,0 N).

12.1. Compare as aceleraes do corpo de massa 10 kg nas duas situaes.

Situao(I) Situao(II)1,00kg5,0N1,00kg 12.2. Qual a intensidade da fora de tenso do fio que liga os corpos de massas 1,00 kg e

0,50 kg na situao (II)? 13. Porque que quase no podemos andar numa superfcie polida (cho envernizado ou uma

pista de gelo, por exemplo)? 14. Uma carruagem s se pe em movimento, mesmo num troo de linha horizontal, quando se

aplica nela uma fora muito intensa (a fora de quatro ou cinco homens pode no ser suficiente). Porm, uma vez posta em movimento, para manter a carruagem em movimento j suficiente uma fora de menor intensidade (um ou dois homens so suficientes). A que se deve esta diferena?

15. Se, num combate de boxe, fosse possvel somar as intensidades das foras aplicadas nos

dois contendores pelos golpes certeiros, e o vencedor fosse quem somasse mais, a luta terminaria empatada. Fundamente esta afirmao.

16. Trs pessoas fazem um mesmo percurso rectilneo. A figura mostra a coordenada x de cada

pessoa, num certo referencial.

5,0N

16.1 Qual das pessoas se deslocou em sentido oposto ao das outras? 16.2 A origem do referencial coincide com a posio inicial de que pessoa? 16.3 Que pessoas tm a mesma velocidade? Justificar. 16.4 Qual das pessoas tem maior rapidez? Justificar. 16.5 Caracterizar os deslocamentos das trs pessoas entre t = 0 s e t = 5 s. 16.6 Caracterizar as velocidades das trs pessoas entre t = 0 s e t = 5 s. 16.7 Qual o valor da resultante das foras que actuou em cada pessoa?

17. Num automvel, a velocidade variou regularmente de 80 km/h para 30 km/h durante 1,0 min. Qual o valor da acelerao ou seja a componente escalar da acelerao num ponto qualquer do percurso entretanto efectuado, se considerarmos um eixo Ox sobre a trajectria e tendo por sentido positivo o sentido do movimento?

19. Os trs blocos da figura, de massa igual, m = 1,0 kg, so empurrados horizontalmente por uma fora de intensidade constante 30 N. Consideram-se desprezveis quaisquer atritos.

19.1. Com que acelerao se desloca o conjunto dos blocos? 19.2. Mostrar que a resultante das foras no bloco A tem a intensidade de 10 N. 19.3. Caracterizar as foras que se exercem no bloco A. 19.4. Caracterizar as foras que se exercem no bloco B. 19.5. Caracterizar as foras que se exercem no bloco C. 19.6. Quando se empurra uma fila de objectos encostados uns aos outros, qual deles submetido a foras de maior intensidade? Porqu? 20. Dois corpos A e B so ligados por um fio de massa desprezvel e inextensvel, assentes sobre planos inclinados de atrito desprezvel, como mostra a figura seguinte. Considere o valor da acelerao da gravidade g = 10 m/s2 e despreze os atritos e a massa da roldana.

20.1. Determine a intensidade da resultante das foras gravtica e de reaco do plano exercidas no corpo A. 20.2. Determine a intensidade da resultante das foras gravtica e de reaco do plano exercidas no corpo B. 20.3. Qual o sentido do movimento de cada um dos corpos? Justifique. 20.4. Com que acelerao se move o sistema ligado dos dois corpos?

18. Duas balas so lanadas para o ar, uma obliquamente e outra verticalmente, conforme se indica na figura. Esto representadas as balas e vectores aplicados em cada uma delas. Quais dos vectores representam as foras que actuam nas balas durante o seu movimento, depois de terem sido lanadas?

RESPOSTAS QA2_1

1. O ciclista pode considerar-se partcula, a Terra sim se estivermos apenas interessados no seu movimento de translao, mas o atleta no pois o movimento das partes do corpo no pode neste caso ser ignorado.

2.

2.1. Substituindo o valor da abcissa obtm-se t = 0,1 s. Substituindo agora o vlor de t na outra equao paramtrica, obtemos o vlor da ordend do projctil.

2.2. O instante , pois, t = 0,1 s.

3.

3.1. O deslocamento um vector com a direco do eixo Ox e o sentido negativo deste. 3.2.

x = xf - xi = (+ 20,0 m) (+ 50,0 m) = - 30,0 m 3.2. Como o deslocamento se efectua no sentido negativo do eixo Ox, o valor do deslocamento deu negativo, 30,0 m, mas o espao percorrido positivo, + 30,0 m. 4. 4.1.

0

10

20 2025

15

50

0

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15 20 25 30 35

Posio

(m)

Tempo(s)

4.2. No. Trata-se de uma soluo ideal. As variaes de posio nas situes reais no podem ocorrer desta forma descontnua, como por exemplo sucede aos 25 s. A posio estava a decrescer ao mesmo ritmo dos 20 s aos 25 s e instantneamente passou a crescer ao mesmo ritmo dos 25 s aos 30 s. Nenhum prtcul real pode ir a um ritmo constante num sentido e instantaneamente mudar de sentido. 4.3. Basta fazer-se uma leitura simples do grfico posio-tempo:

- o carro andou 20 m para a frente da posio inicial entre o instante inicial e o instante 10 s; - instantaneamente (situao ideal!) parou; - manteve-se parado os 5 s que decorreram entre os instantes 10s e 15 s, na posio + 20 m; - andou a seguir 5 m para a frente entre os instantes 15 s e 20 s atingindo a posio + 25 m; - instantaneamente (situao ideal!) passou a recuar, deslocando-se 10 m para trs entre as posies + 25 m e + 15 m em 5 s; - instantaneamente (situao ideal!) passou a avanar novamente, andando 35 m para a frente deslocando-se da posio + 15 m a + 50 m em 5 s.

5. Tem-se, que entre as posies referentes aos 10 s e aos 25 s, a patcula percorreu uma distncia total:

s = 0 m (dos 10 s aos 15 s) + 25 m 20 m (dos 15 s aos 20 s) +

+15 m 25 m (dos 20 s aos 25 s) = 0 m + 5 m + 10 m = 15 m

Como a rapidez mdia dada por

vem neste caso

rapidez mdia = 15 m / 15 s = 1,0 m/s

6. Tem-se

v = = 20 - 4.t (em m/s)

pelo que a rapidez aos 2 s v = 20 - 2 2 = 16 m/s

7.

7.1. As posies inicial e final consideradas so as seguintes

x10 = 20 m e x25 = 15 m

Portanto o valor do deslocamente :

x = x25 - x10 = 15 m 20 m = - 5 m 7.2. Trata-se de um vector com mdulo 20 m, assente no eixo Ox e com o sentido negativo desse eixo.

7.3. O valor da velocidade mdia pode-se calcular por:

Neste cso obtm-se 5 m / 15 s = - 0,33 m/s

8.

8.1. Actuam duas foras gravitacionais simtricas, uma aplicada na sonda e outra na Terra. Qualquer delas tem uma intensidade igual ao peso da sonda no local onde se situa. 8.2. Teoricamente, pode-se dizer que devido a este par de foras, cada uma a actuar no seu corpo, a sonda atrada gravitacionalmente para a Terra e, simultaneamente, atrai a Terra. Pode dizer-se portanto que a Terra tambm cai para a sonda Na prtica a Terra tambm solicitada a cair para o corpo, uma vez que igualmente actuada por uma fora gravitacional da mesma intensidade. Porm, este movimento da Terra totalmente desprezvel, devido ao elevado valor da massa da Terra (e, por isso, da sua inrcia) e ao facto de ela ser solicitada a mover-se de todos os lados...

9.

9.1. A duas foras so as seguintes: uma exercida pela bola na mesa, dirigida verticalmente para baixo e outra exercida pela mesa na bola, verticalmente para cima. As duas foras tm igual intensidade.

9.2. Na bola actuam duas foras: uma fora gravitacional de 10 N (1,0 kg 10 m/s2), dirigida para baixo; uma fora exercida pela mesa, dirigida para cima, igualmente de 10 N.

9.3. Estas foras no constituem um par aco-reaco, uma vez que esto aplicadas no mesmo corpo. A fora que faz par aco-reaco com a fora exercida na bola pela mesa a fora que a bola exerce na mesa. 9.4.

10. Um movimento rectilneo uniformemente acelerado caracteriza-se por ter uma acelerao constante (e diferente de zero). A acelerao , por definio, a derivada da velocidade em ordem ao tempo. A velocidade, por sua vez, a derivada da posio x em ordem ao tempo Derivando duas vezes em ordem ao tempo as equaes dos movimentos representados, apenas no caso C se obtm uma constante diferente de zero. Logo, a resposta correcta C.

Note que todos os movimentos rectilneos em que a posio depende do tempo atravs de um polinmio de grau 2 so uniformemente acelerados. Qual dos movimentos representados rectilneo e uniforme (velocidade constante)?

11. Se o movimento rectilneo tem velocidade constante sabemos que o grfico da posio x em funo do tempo t uma linha recta. O que no sabemos se tal recta passa pela origem (para t = 0 s x = 0 m) ou no (para t = 0 s x 0). Portanto no fundo temos de conhecer alm da velocidade, tambm a posio inicil da partcula.

12.

12.1. A acelerao menor na situao II. Com efeito, nesta situao, a fora de 5,0 N arrasta o corpo da mesa e o prprio corpo suspenso. Logo, neste caso a massa a arrastar maior, portanto a inrcia maior, por isso menor a acelerao.

12.2. O fio, tenso, exerce uma fora de tenso no corpo de 1,0 kg na mesa. Essa fora potente (o fio puxa o corpo para a frente). O mesmo fio exerce um fora no corpo suspenso que resistente (puxa-o par trs medida que este solicitdo a mover-se pelo seu prprio peso. Dada a massa desprezvel do fio, estas foras de tenso podem considerar-se do mesmo mdulo. Vejamos porqu.

A fora de tenso do fio no bloco suspenso tem a mesma intensidade da fora com que o bloco suspenso puxa o fio, Ffio/bloco suspenso. Porqu? So um par aco-reaco.

A fora de tenso com que o fio puxa o bloco da mesa tem a mesma intensidade da fora que o bloco da mesa exerce no fio, Ffio/bloco da mesa. Porqu? So um par aco-reaco.

Ffio/bloco suspenso - Ffio/bloco da mesa = mfio acelerao

Como consideramos mfio nula ambos os membros da iguldde so nulos, as foras do primeiro membro so iguais em mdulo e os seus pares (as tenses do fio de um lado e do outro) tambm iguais em mdulo. Ambs tm a mesma intensidade que representmos por T.

A lei fundamental aplicada ao corpo na mesa de massa 1,00 kg pode traduzir-se assim:

T = m. a = 1,00 kg a m/s2

A lei fundamental aplicada ao corpo de massa 0,50 kg pode traduzir-s deste modo:

5,0 N - T = m. a = 0,50 kg a m/s2

A resoluo deste sistema de duas equaes a duas incgnitas, a e T, d-nos a soluo:

T = 3,33 N

13. No havendo atrito no conseguimos que os nossos ps exeram foras de aco no cho com componentes dirigidas para trs. Em consequncia, no so desencadeadas reaces do cho sobre ns dirgidas para diante. Ora s estas componentes horizontais para a frente das foras exercidas pelo cho em ns podem produzir aceleraes em ns e colocar-nos em movimento.

14. Deve-se inrcia. No primeiro caso a carruagem tem uma grande inrcia de repouso, pois a sua massa enorme, e exige-se uma grande fora para a acelerar. No segundo caso, com a carruagem a mover-se, ela tem uma grande inrcia de movimento, pois a sua massa enorme, e tem a tendncia natural para manter a sua velocidade com resultante de foras nula. A fora que se exige para a manter em movimento apenas a estritamente necessria para equilibrar os atritos e resistncia do ar.

15. Esta afirmao fundamenta-se na lei da aco-reaco. Em qualquer dos contactos de um dos combatentes no outro, independentemente da fora envolvida, h duas foras simtricas, ou seja de igual intensidade, a actuar cada uma delas em cada um deles. Ambos esto pois sujeitos a foras de igual intensidade. A diferena est na resistncia do material onde a fora actua (face, punho, olhos, trax, etc.) mas isso no est contemplado nesta questo!...

16.

16.1. A

16.2. B

16.3. B e C, porque o declive da linha recta no grfico (t,x) o mesmo.

16.4. A, porque independentemente o facto de se mover em sentido contrrio, ele percorre maior distncia por unidade de tempo, j que a linha do grfico est mais inclinada.

16.5. Deslocamento de A - direco: a de Ox; sentido: negativo de Ox; magnitude: 15 m. Deslocamentos de B e C - direco: a de Ox; sentido: positivo de Ox; magnitude: 10 m. 16.6. Velocidade de A - direco: a de Ox; sentido: negativo de Ox; magnitude: 3 m/s. Velocidades de B e C - direco: a de Ox; sentido: negativo de Ox; magnitude: 2 m/s. 16.7. As resulatntes das foras so todas nulas porque as velocidades das pessoas so constantes.

17. - 0,23 m/s2.

18. So os vectores 2 e 4, respectivamente para a bola lanada verticalmente e obliquamente.

19.

19.1. 30 N = 3,0 kg a, o que implica que a = 10 m/s2. 19.2. Fres = 1,0 kg 10 m/s2 = 10 N 19.3. Dsignando por FA/B a intensidade da fora exercida em A pelo corpo B, vem

30 N FA/B = 10 N Portanto FA/B = 20 N

19.4. Fora exercida em B por A = FB/A = 20 N Fora exercida em B por C = FB/C = 10 N 19.5. Fora exercida em C por B = FC/B = 10 N 19.6. O primeiro, ou seja o que est em contacto com a fora exterior que empurra (ou puxa), porque esta se vai repartindo pelos diferentes blocos. 20 20.1. 3,4 N 20.2. 5,0 N 20.3. Move-se para o lado de B porque a fora resultante das duas anteriores aponta para esse lado. 20.4.

5,0 N T = 1,0 a T - 3,4 N = 1,0 kg a Este sistema permite-nos obter a = 0,8 m/s2

ACTIVIDADES FORMATIVAS AF2.2

1. Uma partcula descreveu uma semicircunferncia de raio 0,40 m em 2,0 s com rapidez constante .Considera-se um referencial com origem no centro da semicircunferncia. 1.1. Que tipo de movimento teve a partcula? 1.2. Qual foi a distncia percorrida dos 0 s aos 2,0 s? 1.3. Caracterize o deslocamento da partcula no referido intervalo de tempo. 1.3. Caracterize o deslocamento da partcula do instante inicial ao instante 1,0 s. 1.4. Qual foi a distncia percorrida pela partcula ao fim de 1,0 s.

2. Um carrinho partiu da posio x0 = 0 m e do repouso, seguindo por um trilho rectilneo com

uma acelerao constante de 2 m/s2. Ao fim de 4,0 s estava na posio x4 = 16 m. 2.1. Classifique este tipo de movimento. 2.2. Baseando-se no conceito de acelerao determine a velocidade do carrinho na referida

posio aos 4 s. 2.3. Mostre que velocidade atingida pelo carrinho na referida posio est relacionada com

a acelerao e a distncia percorrida atravs da expresso v2 = 2.a.s

3. Um carro move-se numa estrada recta e horizontal no sentido de Norte para Sul, a 80 km/h,

durante 20 s. 3.1. Qual a rapidez do carro em m/s? 3.2. Qual o mdulo da velocidade em m/s? 3.3. Que distncia percorre durante os 20 s? 3.4. Qual o valor da velocidade (componente escalar da velocidade) do carro num eixo com

a orientao Sul-Norte? 4. Um carro desloca-se em linha recta a 50 km/h no sentido positivo de um eixo Ox. Quando o

carro se encontra na origem do eixo Ox, comea-se a contar o tempo. 4.1. Escreva a equao das posies do carro no referencial indicado, em unidades SI. 4.2. Escreva a equao que permite calcular a distncia percorrida ao fim de t segundos, em

unidades SI. 4.3. Esquematize os grficos (t, x) e (t, s). 4.4. Determine a posio do carro ao fim de 10 s, a partir da equao das posies e a partir

do grfico (t, x). 4.5. Considere agora um outro eixo de referncia com a origem na posio 10 m antes da

posio onde se iniciou a contagem do tempo. Qual , neste novo referencial, a equao das posies?

5. Na figura esto representadas graficamente as posies de duas partculas, A e B, que se movem sem colidir ao longo do eixo dos xx de um referencial.

6. Um carro a 100 km/h trava e pra em 10 s. Caracterize a acelerao do carro, supondo que

ela constante e que o movimento rectilneo. 7. Duas partculas, A e B, iniciaram um movimento rectilneo vertical no mesmo instante,

partindo de posies diferentes. Os respectivos grficos tempo-velocidade esto representados na figura seguinte:

7.1. Qual das partculas foi deixada cair sem velocidade inicial? E qual delas foi lanada para cima, com uma

certa velocidade inicial? 7.2. Qual o valor da acelerao da partcula A? E da partcula B? 7.3. Em que instante atinge a altura mxima a partcula que foi lanada para cima? 7.4. Qual a distncia percorrida por cada uma das partculas entre 0 s e 3 s? 7.5. Escreva as equaes das velocidades de ambas as partculas.

8. Numa corrida de 100 m, um atleta chega meta fazendo a marca de 10,2 s. Admita que o

atleta acelerou uniformemente durante os 2,0 s iniciais da corrida at atingir uma velocidade constante at ao final. 8.1. Calcule a magnitude da acelerao do atleta nos dois primeiros segundos. 8.2. Calcule a velocidade mxima do atleta. 8.3. Esboce os grficos v(t) e a(t).

5.1 Escreva a equao das posies da partcula A. 5.2 Escreva a equao das posies da partcula B. 5.3 Partindo das expresses anteriores, determine quando e onde as duas partculas se encontram. 5.4 Confirme os valores anteriores por leitura directa no grfico.

9. Suponha que x(t) a posio, no instante t, de uma partcula que descreve um movimento rectilneo. 9.1. Qual dos movimentos a seguir representados um movimento rectilneo uniformemente variado?

A. x(t) = 3t4 2t2 B. x(t) = 2t3 5 C. x(t) = 3t2 2t D. x(t) = 2t-4

9.2. Qual a acelerao da partcula? 9.3 Qual a equao das velocidades da partcula? 9.4. Em que sentido se move a partcula no instante inicial?

10. Uma esfera lanada verticalmente de baixo para cima. No preciso instante em que atinge o ponto mais alto, que caractersticas tm a sua velocidade e a sua acelerao?

A A velocidade nula e a acelerao nula. B A velocidade para cima e a acelerao para baixo. C A velocidade nula e a acelerao para baixo. D A velocidade nula e a acelerao para cima.

11. Uma bola projectada verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 20 m s-1. Considerar desprezvel a resistncia do ar e g =10 m s-2. 11.1 Qual a altura mxima que a bola atinge? 11.2 Em que instante a bola atinge a posio a metade da altura mxima? 11.3 Esboar o grfico vy(t). 11.4 Esboar o grfico ay(t). 11.5 Esboar o grfico v(t). 11.6 Esboar o grfico a(t). 11.7 Esboar o grfico y(t). 12. Como se caracteriza a trajectria e o mdulo da velocidade de um movimento curvilneo com acelerao tangencial nula e acelerao normal constante? Justifique. 13. Uma partcula descreve um movimento circular e uniforme de raio R com velocidade linear

de mdulo v. Qual o perodo T de rotao da partcula?

A. T = v/R B. T = v / (2R) C. T = R/v D. T = 2R/v

14. Um automvel move-se numa pista circular de 1,0 km de raio. Parte do repouso

e desloca-se com acelerao tangencial constante, atingindo uma velocidade de mdulo 30,0 m/s no fim da primeira volta.

14.1. Qual o valor da acelerao normal no final da primeira volta? 14.2. Qual o valor da acelerao tangencial do movimento?

15. O vector posio de uma partcula, de massa 0,5 kg, que se move num plano, relativamente a um determinado referencial, dado, em funo do tempo, por

yx ututrGGG 32 54 +=

em que t expresso em segundos e a posio em metros. Determine a fora que actua sobre a partcula no instante 4,0 s.

16. Considere o seguinte dispositivo sob a aco da gravidade (g = 10 m/s2). As

massas dos corpos A e B so iguais a 4,0 kg. As massas das roldanas e dos fios so desprezveis.

16.1. Quanto pesam os corpos A e B? 16.2 Determine as aceleraes dos corpos A e B e as foras de tenso nos fios no caso em que no existe quaisquer atritos.

B

A

RESOLUO DAS ACTIVIDADES 2.2

1 1.1. Teve um mvimento circular e uniforme, circular porque a trjectria circular e uniforme

porque a rapidez constante. 1.2. A distncia percorrida foi metade do permetro da circunferncia de raio r = 0,40 m:

s = (2 p r)/2 = 3,14 0,40 = 1,26 m 1.3. O deslocamento efectudo tem o mdulo ou magnitude de 0,80 m (o dobro do raio). A

direco do deslocamento a direco do eixo dos xx e o sentido negativo do eixo Ox. O deslocamento teve origem no ponto de coordenadas x = + 0,40 m e y = 0,00m e terminou no ponto de coordenadas x = 0,40 m e y = 0,00 m. O valor (projeco) do deslocamento ocorrido no eixo Ox foi, portanto, - 0,80 m.

1.4. Ao fim de 1,0 s a partcula percorreu 1/4 da circunferncia. O deslocamento efectuado o vector que une o ponto inicial de coordenadas (0,40 m; 0,00 m) ao ponto de coordenadas (0,00 m; 0,40 m). Pode medir-se a magnitude desse vector utilizando o teorema de Pitgoras:

m 56,040,040,0 22 =+ 1.5. Ao fim de 1,0 s, a partcula percorreu 1/4 da circunferncia:

s = (2 r)/4 = 0,63 m

2. 2.1. Trata-se de um movimento rectilneo uniformemente acelerado. 2.2. Dado que a acelerao traduz a variao da velocidade por unidade de tempo, o facto de ela

ser 2,0 m/s2 significa que a velocidade aumentou de 2,0 m/s em cada segundo, sendo pois de 2,0 m/s ao fim de 1 s, 4,0 m/s ao fim de 2 s, 6,0 m/s o fim de 3 s e 8,0 m/s ao fim de 4 s.

2.3. Se em linh recta o mvel foi da posio 0 m posio 16 m, percoreu uma distncia 16 m. Sendo ento, aos 4 s, v = 8 m/s , s = 16 m e a = 2 m/s2 (constante ao longo de todo o percurso) temos que: v2 = 64 m2/s2 e 2.a.s = 2 2 m/s2 16 m = 64 m2/s2.

3. 3.1. Como a rapidez constante, temos 80 km/h = 80 000 m / 3 600 s = 22,2 m/s. 3.2. A magnitude da velocidade igual rapidez: v = 22,2 m/s. 3.3. A distncia percorrida s = 22,2 m/s 20 s = 444 m. 3.4. Como o movimento de Norte para Sul e a orientao do eixo Sul-Norte, a componente escalar da velocidade negativa: vx = 22,2 m/s. 4. 4.1. Convertendo a velocidade em m/s temos: v = 50 km/h = 50000 m / 3600 s = 13,9 m/s.

Como o sentido do movimento coincide com o sentido de Ox, o valor da velocidade ou seja a componente escalar do correspondente vector segundo Ox vx = + 13,9 m/s. A posio do carro no instante t = 0 s coincide com a origem do referencial. Logo, x0 = 0 m. Portanto, a equao das posies do carro, em unidades SI, :

x = 0 + 13,9 t ou, simplesmente, x = 13,9 t 4.2. Como v = 13,9 m/s (e constante), tem-se, para a distncia percorrida, s, ao fim de t

segundos: s = 13,9 t (em unidades SI)

4.3.

4.4. Como x = 13,9 t vem, para t = 10 s, x10 = 13,9 m/s 10 s = 139 m . A partir do grfico temos :

4.5. No novo referencial, a posio no instante t = 0 s x0 = 10 m. Deste modo, a equao das posies neste novo referencial :

x = 10 + 13,9 t (em unidades SI)

5. Tendo em conta a equao das posies x = x0 + vx. t, temos: 5.1. xA = 8 + 2,0 t (SI) 5.2. xB = 5 t (SI) 5.3. xA = xB t = 2,7 s 6. O mdulo da velocidade do carro varia de 100 km/h = 27,8 m/s a 0 m/s. Portanto, o mdulo

dessa variao 27,8 m/s em 10 s. A acelerao tem ento por mdulo 27,8 m/s a dividir por 10 s, ou seja 2,78 m/s2. Quanto direco ela a da trajectria rectilnea. O sentido da acelerao o sentido oposto ao do movimento.

7. 7.1. Sem velocidade inicial: B

Com velocidade inicial: A 7.2. a = vy/t = 10 m/s2 7.3. t = 3 s 7.4. 45 m 7.5. A: vy = 30 10 t

B: vy = 10 t

8. 8.1. Distncia percorrida em mov. uniformemente acelerado, expressa em metros, nos primeiros

dois segundos (sendo a a magnitude da acelerao): s= 1/2 a 2,02 = 2,0 a (SI)

Rapidez ao fim de 2,0 s: v2 = at = a 2,0 = 2,0 a (SI) Distncia percorrida em mov. uniforme, expressa em metros, entre 2,0 s e 10,2 s:

s = v2 t = 2,0 a (10,2 2,0) = 16,4 a (SI) Distncia total:

2,0 a + 16,4 a = 100 Daqui tira-se: a = 5,4 m/s2 8.2. v = a t = 5,4 2,0 m/s = 10,8 m/s 8.3.

9. 9.1. A opo correcta a C De facto a equao dada em C obedece frmula geral x = x0 + v0xt + ax.t2, ou seja: uma equao do 2 grau. 9.2. Comparando a equao dada com esta expresso geral vemos que

ax.= 3 Portanto ax.= 6 m/s2. 9.3. Continuando a comparar a equao dada com a frmula geral conclui-se que

x0 = 0 m/s e v0x = -2 m/s Ento a equao das velocidades v = v0x + ax.t ser neste caso

v = -2 + 6.t (SI) 9.4. Como a velocidade inicial negativa (v0x = -2 m/s) a partcula no instante inicial move-se no sentido negativo. 10. Opo C. A velocidade nula porque o corpo tem de inverter a velocidade o que exige que pare. Mas continua sempre a ser acelerado para baixo pois continua sempre actuado pela fora-peso para baixo. Por isso ele no permanece parado. A paragem instantnea.

11. 11.1. y = 20 t 5 t2 => vy = 20 10 t Fazendo vy = 0 t = 2 s. Ora t = 2 s y2 = hmx = 20 2 5 22 = 20 m 11.2. 10 = 20 t 5 t2 t2 4 t + 2 = 0 t = 0,6 s e t = 3,4 s. Logo, t = 3,4 s 11.3.

11.4

11.5.

11.6.

11.7.

12. um movimento de trajectria circular e com velocidade de mdulo constante. Num movimento curvilneo, sendo R o raio de curvatura da trajectria e v o mdulo da velocidade, a acelerao normal

Rvan /2=

e a acelerao tangencial

dtdvat =

Se a acelerao tangencial nula, ento o mdulo da velocidade constante. Se a acelerao normal constante e o mdulo da velocidade constante ento o raio de curvatura da trajectria constante. Trajectrias com raio de curvatura constante so somente as trajectrias circulares. Um movimento curvilneo com acelerao tangencial nula e acelerao normal constante um movimento circular e uniforme.

13. A opo correcta a D.

O perodo T o tempo que a partcula demora a percorrer uma volta completa sobre a circunferncia. Durante o perodo T a partcula percorre um espao igual a 2R, com velocidade de mdulo constante v. Como o mdulo da velocidade constante podemos dizer que igual ao espao percorrido dividido pelo tempo necessrio para percorrer esse espao. Logo, v = 2R /T . E de aqui tira-se: T = 2R /v. Nota: importante que ganhe familiaridade com as noes de acelerao normal, velocidade linear, velocidade angular, perodo e frequncia num movimento circular e uniforme e que seja capaz de as relacionar.

14. 14.1. A acelerao normal relaciona-se sempre, em cada instante, com o mdulo da velocidade linear v e com o raio R da trajectria circular por,

Rvan

2=

Como v = 30 m/s e r = 1000 m, substituindo estes valores na expresso anterior, conclui-se que a acelerao normal 0,9 m/s2. 14.2. A acelerao tangencial, at , a taxa de variao da rapidez v do automvel, sendo por isso

traduzida pela derivada dtdv

. Como, segundo o problema, esta taxa de variao de v constante,

isso significa que a rapidez v cresce regularmente de 0 a 30,0 m/s. A rapidez v, em cada instante, indica-nos por sua vez a taxa de variao da distncia percorrida pelo automvel, sendo por isso

dada pela derivada dtds

. Estamos, pois, num situao paralela que vimos no movimento

rectilneo uniformemente acelerado. Neste, a acelerao coincidia com a sua componente tangencial, pois a componente normal ou centrpeta era nula (a velocidade nesse movimento no varia em direco). Se no movimeno rectilneo uniformemente acelerado podemos calcular a distncia percorrida sobre a trajectria a partir do repouso pela expresso

2

21 tas =

e a rapidez v pela expreso v = a t

porque o valor da acelerao a constante, neste caso e em todos os casos em que o valor da acelerao tangencial at constante, podemos determinar a distncia percorrida sobre a trajectria, s, ao fim de um tempo t por,

2

21 ttas =

e a rapidez ou mdulo da velocidade linear pela expresso

ttav = Elevando ao quadrado a segunda destas expresses, resolvendo a equao obtida em ordem a t2 e substituindo na primeira equao, obtm-se

sv

ta 2

2=

Como conhecemos a velocidade ao fim de uma volta (30,0 m/s) e o espao percorrido ao fim dessa volta (2R) podemos calcular a acelerao tangencial obtendo-se, at = 0,07 m/s2. 15. A expresso que o problema fornece

yx ututrGGG 32 54 +=

a do vector-posio, rG (vector que une a origem O do referencial Oxy posio da partcula) dado como uma funo do tempo. De facto, o vector-posio, rG suge como a soma das suas componentes vectoriais, segundo os eixos Ox e Oy, ambas funes da vaerivel tempo. Os vectores xu

Ge yuG

so os vectores unitrios (mdulo =1), tambm chmados versores, dos eixos. A velocidade ou vector-velocidade a derivada deste vector posio em ordem ao tempo, ou seja:

yx ututvGGG 2158 +=

A acelerao ou vector acelerao a derivada deste vector em ordem ao tempo, ou seja:

yx utuaGGG 308 +=

Para calcular a fora que actua sobre esta partcula utiliza-se a relao entre a acelerao e a fora ( ) yxyx utuutuamF GGGGGG 15 43085,0 +=+== (N)

Para calcular a fora no instante 4,0 s basta substituir t por 4,0 s. Obtm-se:

yx uuFGGG 60 4 += (N)

Esta expresso informa tudo o que h a saber acerca da acelerao.

16. 16.1. Sendo o peso de um corpo a fora que lhe imprime a acelerao da gravidade quando cai, tem-se

P = m.g = 4,0 kg 10 m/s2 = 40 N 16.2. Neste dispositivo o corpo A arrastado pelo fio de um distncia s de 0 a t segundos. Neste mesmo intervalo de tempo, a roldana e o corpo B s caem de uma distncia s/2, porque, nessas condies, os extemos do dimetro da roldana onde o fio enrola descem ambos s/2, e s/2 + s/2 vai dar a distncia s de arrasto de A. A consequncia que as aceleraes do corpo A, aA, e do corpo B, aB, relacionam-se por

aA= 2.aB. Sendo TA a fora de tenso do fio que puxa o corpo A, e m a massa do corpo A, temos, pela lei fundamental aplicada ao corpo A

TA= m aA (1) Para o corpo B esta mesma lei traduz-se por

-TB +mg = m aB (2) em que TB a fora de tenso do fio no corpo B. Como TB = 2 TA , obtm-se de (1) e (2),

g- 2 aA = aB Dada a relao entre as aceleraes dos dois corpos obtm-se,

aA = g/5 ; aB = 2g/5 Ou seja, aA = 2,0 m/s2 e aB = 3,9 m/s2 . O clculo das foras de tenso efectuado utilizando (1) e (2), obtendo-se

TB = 15,7 N e TA = 7,8 N.

Fsica Geral 21048

1/3

Verso:13-Dez-08

Fsica Geral 21048

ACTIVIDADES FORMATIVAS 4

Electromagnetismo

1. Uma carga de 1 C colocada no ponto P da

figura ao lado. As cargas em A, B e C esto fixas.

As distncias AB = 3 m e BP = 4 m so iguais a,

respectivamente, BC e CP.

a. Caracterize o campo eltrico que a carga em

P cria em A, B e C.

b. Que energia teramos que fornecer carga

no ponto P para a levar desse ponto at ao

infinito?

c. Imagine que as quatro cargas esto dentro

de uma esfera de vidro. Qual o fluxo do

campo eltrico atravs dessa esfera?

2. Considere o condensador da figura ao lado.

Trace as linhas de fora do campo elctrico

entre as placas e as curvas equipotenciais.

Ignore os efeitos das bordas.

3. Um solenide de 1 cm de comprimento e 200 espiras percorrido por uma corrente de 5 A,

sendo que o campo magntico dentro dele gerado toma a direco

ze . Nesse solenide entra

um electro entra com velocidade 8(2 10 )m/s

xv e=

. Qual a componente magntica da fora

de Lorentz que actua no electro entrada no solenide?

4. Um aquecedor consome 2000 W de potncia. O fio eltrico que o liga tomada composto por

dois condutores revestidos por camadas de plstico com 0,6 mm de espessura. Calcule a fora

exercida por metro sobre o plstico do revestimento.

5. Considere o circuito eltrico abaixo. A potncia dissipada na casa de 20 W.

+

+

+

+

_

_

_

_

3 m C

3 C

B

-2 C

P

1 C

4 m

A

1 C

Fsica Geral 21048

2/3

Verso:13-Dez-08

a. Calcule a potncia dissipada por efeito de Joule nas resistncias R1, R2 e R3 e a tenso V aos

terminais do gerador.

b. Suponha que a resistncia R3 falha, deixando de passar corrente por ela. Recalcule as

quantidades da pergunta 1, exigindo que a potncia dissipada na casa continue a ser 20 W.

c. Suponha que, alm da resistncia R3, a resistncia R2 falha tambm. Re-calcule as quantidades

da pergunta 1, exigindo novamente que a potncia dissipada na casa continue nos 20 W.

6. O circuito do problema anterior representa um modelo prottipo de produo e distribuio de

eletricidade, a nvel local ou nacional. O gerador toma o papel de central de produo. As trs

resistncias em paralelo, R1, R2 e R3, representam uma rede eltrica, ou seja, vrios caminhos

por onde a eletricidade pode ir da central at aos consumidores, os quais so representados pela

resistncia Rc (a casa). O facto da potncia dissipada em Rc ser sempre de 20 W significa que a

procura dos consumidores constante e que, consequentemente, a central e a rede tm que

disponibilizar tanta energia quanta a que os consumidores exigem. A supresso das resistncias

R2 e R3 representa o acontecimento de anomalias na rede (pequena anomalia: R3 fora de servio,

grande anomalia: ambas R2 e R3 fora de servio). Discuta com os seus colegas no frum

moderado pelos estudantes as seguintes questes:

a. Olhando ao modelo, que vantagens v em transportar eletricidade por redes? E que custos,

fsicos e econmicos, tem esse transporte?

b. Que consequncias espera, ao nvel da central, da rede e dos consumidores, de uma pequena

anomalia na prpria rede? E de uma grande?

c. Se, no caso de uma anomalia, a central no tiver potncia de reserva (ou seja, no puder

aumentar a potncia que produz), que acontecer aos consumidores?

7. Uma central hidroelctrica gera a potncia de 400 MW. A energia elctrica produzida

transportada tenso de 100 kV por um cabo de alumnio, com 10 cm de dimetro, at uma

subestao abaixadora, situada a 200 km de distncia da central, onde depois dividida pelos

consumidores. Tratando o problema como se tratasse de corrente contnua, calcule:

a. A potncia perdida por dissipao em calor (efeito de Joule) durante o transporte. O que

aconteceria a esta perda se a tenso de transporte casse para metade?

R1 = 3

R2 = 3

R3 = 3

Rc = 5

I1

I2

I3

Ic

P = 20 W

~ V

Fsica Geral 21048

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Verso:13-Dez-08

b. Caracterize o campo magntico a 50 m de distncia do cabo. Compare a sua intensidade com

a do campo magntico terrestre em Portugal, que de 44 x 10-6

T.

c. Na central, a eletricidade obtida de um gerador eltrico, um aparelho que transforma

energia mecnica em energia eltrica. Faa uma pesquisa na internet para saber como

funciona uma central hidroelctrica e, baseado nesta, explique de onde que vem a energia

mecnica para o gerador e como que este a transforma em energia eltrica.

Dados: 8

alumnio alumnio1/ 2,65 10 m

= =

8. Considere o circuito eltrico da figura abaixo.

a. Calcule a capacitncia, resistncia e indutncia equivalentes.

b. Calcule a intensidade de corrente no circuito simplificado, a potncia dissipada e o ngulo de

fase entre a tenso e a corrente. Sugesto: usando a alnea anterior, reduza este circuito a um

circuito RLC comum.

~

C1 = 5 F

E = 220 V

f = 50 Hz

L2 = 2 H

L1 = 1 H

C2 = 1 F R1 = 30

R2 = 20 R3 = 20

I = ?

Fsica Geral 21048

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Verso:13-Dez-08

Fsica Geral 21048

ORIENTAES DE RESPOSTA

s

ACTIVIDADES FORMATIVAS 4

Electromagnetismo

1. (Distribuio de cargas.)

a. O campo eltrico criado pela carga P dado pela Lei de Coulomb, 2

0

1

4PQE rd

=

, com r o

vector unitrio na direo do ponto distncia d. O campo crido no ponto B simples de

calcular, dado que a direo BP vertical, logo expressa pelo vector unitrio ye

. Temos ento

8

2

0

1 1( ) V/m 5,625 10 V/m

4 ( )y y

PB

E e ed

= =

. Note-se que o campo aponta para cima,

no sentido da carga em P, porque essa a conveno para o sentido do campo de uma carga negativa. Nos pontos A e C o campo tem componentes segundo os eixos x e y. Pelo teorema

de Pitgoras, as distncias AP e CP so 2 24 3 5AP CPd d= = + = e a magnitude do vector

8

2

0

1 1 V/m 3,6 10 V/m

4 5E

= =

. O ngulo entre os segmentos AB e BP tal que

sin( ) 4 / 5 = (logo cos( ) 3 / 5 = ) e o vector unitrio em A, na direo e sentido de P,

cos( ) sin( )r x ye e e = +

. Em A o campo ento 83,6 10 (cos( ) sin( ) ) V/mx yE e e = +

.

Em C s muda a direo e sentido do vector unitrio re

, mantendo-se a magnitude do campo.

Por simetria, temos 83,6 10 ( cos( ) sin( ) ) V/mx yE e e = +

.

b. Neste sistema actuam apenas foras eltricas. A energia a fornecer carga no ponto P para a levar at ao infinito ter que compensar o trabalho das foras eltricas nesse deslocamento. Como as foras eltricas so conservativas, o trabalho depende apenas dos pontos finais e iniciais, e no da trajectria. O trabalho (livro de texto, p.251)

1 C

( ) ( )e e P PP P

W F dr qE dr q V V V V

=

= = = =

.

O potencial no infinito zero. No ponto P, o potencial gerado pelas 3 cargas em A, B e C e

9 9

, , , , 0 0

1 1 1 2 3 69 10 J 2,7 10 J

4 4 5 4 5 20i

P i

i A B C i A B C i

qV V

d = =

= = = + + = =

.

Fsica Geral 21048

2/4

Verso:13-Dez-08

O potencial em P repulsivo e as foras eltricas realizam um trabalho 92,7 10 J para afastar a carga em P. Assim, no h que fornecer energia carga para a afastar. Ao invs,

recebemos 92,7 10 J de energia nesse afastamento.

c. O clculo do fluxo uma mera aplicao da lei de Gauss:

100 0S/ (1 1 2 3)C / 3,77 10 VmiiE dS Q = = = + + =

.

2. No interior do condensador, o campo constante. No exterior, se ignorarmos o efeito das bordas, nulo. O campo eltrico toma a direo perpendicular s placas; representado na figura ao lado por vectores (as setas) de igual comprimento, direo e sentido. As equipotenciais so linhas perpendiculares ao campo em cada ponto, representadas direita a vermelho tracejado.

3. Pela lei de Ampre, o que o campo magntico dentro dele do solenide tem a magnitude

7

0

200(4 10 5) T 0,12566 T

0,01B nI = = = . O campo magntico ento o vector

(0,12566 T) zB e=

. A componente magntica da fora de Lorentz simplesmente F qv B=

(produto vectorial!), que, no nosso caso,

19 8( 1,602 10 C) (2 10 m/s) (0,12566 T) ( ) (4,026 N)

y

x z y

e

F e e e

=

= =

.

4. A fora por metro pode ser calculada pela expresso 0 1 22

I IF

d

= , deduzida da lei de Biot-

Savaart. Basta-nos apenas saber o valor das correntes. Ora dissipar 2000 W sob a tenso de 220 V requer uma intensidade de / 9,091 AI P V= = . As correntes so ento 9,091 A (fio de entrada) e 9,091 A no sentido contrrio (fio de sada os eletres no desaparecem no aquecedor!) Como cada condutor revestido por 0,6 mm de plstico, esto distncia de 1,2 mm e a fora por

metro de 2

7

3

9,0912 10 N 0,01377 N

1,2 10F = =

. A fora repulsiva, pois as correntes

circulam em sentidos opostos. Esta fora bastante baixa, embora possa subir consideravelmente em caso de curto-circuito.

5. (Circuito modelo)

a. Se em Rc se dissipa 20 W, a intensidade de corrente que passa nessa resistncia de 2 / 2 Ac cP RI I P R= = = . A resistncia equivalente da associao R1, R2, R3 de

eq 1R = , logo a queda de tenso neste grupo de eq 2 VcV R I= = . As correntes I1, I2 e I3

so portanto de 1 2 3 2 V /3 2 /3 AI I I= = = = e a potncia dissipada por efeito de Joule

+

+

+

+

_

_

_

_

Fsica Geral 21048

3/4

Verso:13-Dez-08

nestas resistncias de 2 2 2 22Joule 1 1 2 2 3 3 33 3 ( ) W 4 WP R I R I R I= + + = = . A tenso que o

gerador deve fornecer de total eq c( ) 2 V 12 VcV R I R R= = + = .

b. Neste caso temos eq 3 / 2R = e 1 2 1 AI I= = . A potncia dissipada na associao sobe para 2 2 2

Joule 1 1 2 2 2 3 1 J 6 WP R I R I= + = = , tal como a tenso que o gerador tem que fornecer

para manter o status quo na resistncia Rc, a qual passa a ser de 13 V.

c. fcil de ver agora que Joule 3 WP = e 16 VV = .

6. (Rede eltrica.)

a. As vantagens principais so baixar as perdas por efeito de Joule e oferecer caminhos alternativos ao transporte de energia. Se um caminho falhar, outros podem ser usados sem que o consumidor final sinta qualquer perda de potncia. O custo principalmente econmico, dado que preciso haver mais linhas.

b. Uma pequena anomalia exige que a central debite mais potncia, para compensar o que as perdas acrescidas por efeito de Joule no transporte. Uma grande anomalia sobrecarrega tanto o gerador como os condutores em funcionamento normal.

c. Se a central no puder debitar mais potncia, os consumidores sentiro uma queda de tenso. Se houver sobrecarga, mais e mais condutores podem falhar e o sistema pode colapsar. Numa rede nacional, o colapso chama-se blackout.

7. (Central hidroelctrica.)

a. Transportar 400 MW a 100 kV requer uma intensidade de / 4000 AI P V= = . A resistncia

do condutor al2diam

al 2

0,6748( )

RA

= = =

ll e a dissipao por efeito de Joule

2

Joule 10,8 MWP RI= = (cerca de 2,7% da potncia transportada). O transporte a metade da

tenso necessitaria de uma corrente de 8000 A, que levaria a perdas de 43,2 MW (10,8% da potncia). A tenso o maior possvel precisamente para reduzir as perdas de transporte.

b. Podemos considerar o problema como campo magntico criado pela corrente que percorre um fio infinito, caso em que podemos usar a lei de Ampre. O campo ento

7 60 40002 10 T 16 10 T2 50

IB

d

= = = . A direo do campo magntico tangente a

uma circunferncia centrada no cabo e cujo plano perpendicular ao mesmo e o sentido dado pelo produto vectorial da corrente pelo vector tangente unitrio. Comparado com o campo magntico terreste, o campo a 50 m do cabo cerca de 1/3 do terrestre, que j de si bastante fraco.

c. Numa barragem, a gua da albufeira feita passar por turbinas. Estas transformam a energia potencial gravtica da gua em energia cintica. As turbinas esto ligadas a um gerador, que recebe essa energia cintica e, usando o princpio da induo electromagntica, a transforma em energia eltrica.

8. (Circuito RLC.)

Fsica Geral 21048

4/4

Verso:13-Dez-08

a. Basta aplicar as regras de associao de elementos de circuitos. Temos 1 2 6eqC C C F= + = ,

1 21/ 1/ 1/ 2 / 3 Heq eqL L L L= + = e 1

1 2 3(1/ 1/ ) 40eqR R R R= + + = .

b. Para a intensidade de corrente, h que determinar a impedncia total. No condensador

temos 6

1 1530,5

(2 50) 6 10c

eq

XC

= = =

e nas bobinas temos L eqX L=

(2 50) 2 / 3 209,4= = . A impedncia 2 2( ) 323,58eq L cZ R X X= + = . Da lei de

Ohm para corrente alternada, temos a intensidade de / 0,68 AI V Z= = . A potncia s dissipada nos elementos resistivos, onde se perdem 2 40 0,68 A 27,2 WP RI= = = .

Finalmente, o ngulo de fase entre a tenso e corrente de 1

taneq

eq

L

R R C

=

oarctan( 8,0275 rad) 89,87 = ; circuito capacitivo. (Nota: o livro de texto define este ngulo entre corrente e tenso, ao invs. Da o sinal do ngulo ser o contrrio.)

Ministrio da Cincia, Tecnologia e Ensino Superior -1-

Nome:............................................................................................................

B.I. :.................................... N de Estudante: ...............................

Curso: ..........................................................................................................

Turma: ..................

Unidade Curricular: FSICA GERAL

Cdigo: 21048 Data: 17 fevereiro 2011

Assinatura do Vigilante: ............................................................................

Classificao

( ) Assinatura do Docente:

....................................................

Leia com ateno o que se segue antes de iniciar a sua prova:

Verifique se o enunciado desta prova possui, para alm desta folha de rosto, mais 6 pginas, numeradas de 2 a 7, terminando com a palavra FIM.

Este p-flio consta de duas partes: a primeira constituda por 5 questes de escolha mltipla (em que apenas uma das respostas correcta). A segunda composta por 3 questes estruturadas de produo de resposta.

Em cada questo de escolha mltipla: - dever assinalar com uma cruz um e um s quadrado, o que se referir alternativa

que considerar correcta; - se assinalar mais de uma alternativa, a resposta ser considerada nula, ainda que

uma das alternativas assinaladas esteja correcta; - se pretender mudar a opo escolhida, acabe de preencher o respectivo quadrado

com a tinta da caneta de modo a que a cruz deixe de se notar e coloque uma outra cruz no quadrado que corresponde opo correcta.

Recomenda-se que: - leia com muita ateno as questes e seleccione bem os dados e incgnitas antes de

responder; - responda primeiro s questes que julgar mais acessveis, e s depois s questes que

considerar mais difceis; - reveja as resolues cuidadosamente antes de entregar a prova.

O tempo disponvel para resoluo da prova 90 minutos.

Pode utilizar a sua mquina de calcular mas no pode emprest-la a qualquer dos seus colegas.

Os parmetros valorizados nas respostas livres so: - o rigor cientfico do raciocnio usado; - o rigor dos clculos efectuados; - a expresso correcta dos resultados (os valores numricos apenas com os algarismos

significativos e com as unidades adequadas).

Ministrio da Cincia, Tecnologia e Ensino Superior -2-

FORMULRIO E VALORES DE CONSTANTES FSICAS 2 11 2 -2

7 -2 12 2 -1 -2 9 2 -20 0

0

00

20 0

9,8 m/s ; 6,67 10 N.m .kg14 10 N.A ; 8,85 10 C .N .m ; 9 10 N.m .C

4

; ; ; ;

;12

e

med

g G

k

dr ds r dvv v v a F ma

dt dt t dt

a ctev cte

v v atx x vt

x x v t at

pi pi

= =

= = = =

= = = = =

=

= = +

= += + +

02

0 1/ 2

2. . ,

;

;

ln(2);1 2 2( , ) sen( ) ; ; ; ; ; /

sen sen ' ; sen sen ;

1 ; ; ; ;2

N T

t

corda

i i r r

c m c p F conserv p F ext NC

ctev R

tv dv

a aR dt

N N e T

x t A t kx vT T k v Tf T

ci i n n nv

E mv E E E W F r W E W

pi pi

=

== +

= =

= =

= + = = = = =

= = =

= = + = = =

. . 2

2. 0

int1 22 2

0

; ; ; ;

; ; ; ;

1; ; ; sen( )2

; ; ; ;

m

at e e at c c G G pg

ext

elast p elast

ie e e i e E E

i i S

E

Mm MF N F N F G r V G E mghrr

dLp mv p F t L r p M r F Mdt

kF kx E kx x A tm

qq q qF k r E k r F qE E dSr r

V

= = = =

= = = = =

= = = = +

= = = = =

( )2 2

0

0 0 0 0 1 2

0 0

; ; ;

1; ; ; ; ;2

;

; ; ;4 2 2 2

; ; ;

ie e pe e e

i i

cond Joule

dx fio circ

Bind B

S

L

q Vk E qV E V Er d

AQ CV C E CV V RI R P RId A

F q E v B F I BI II IB I dx i r B B F

d R ddB d I B nI B dSdt

X L

pi pi pi

= = = =

= = = = = =

= + =

= = = =

= = = =

=

l

l

l

2 2

0

1; ; ( ) ; tg

; ; ;2 2

L CC L C

e e e e med e e

X XX Z R X XC R

I RI V V ZI P I VZ

= = + =

= = = =

Ministrio da Cincia, Tecnologia e Ensino Superior -3-

Cotao

0,8 val

0,8 val

0,8 val

PARTE I

1. Um laboratrio recebe um artefacto para datao por carbono 14. Os tcnicos analisam a atividade radiativa do instrumento e estimam para este quantidades iniciais e atuais de 14C de 1,1 mg e 0,71 mg, respetivamente. O 14C tem um perodo de semidesintegrao de 5730 anos. A que Era dever pertencer o artefacto?

A. Pr-histria (anterior a 6000 A.C.) B. Antigo Egito (entre 4000 e 700 A.C.) C. Grcia e Roma antigas (entre 700 A.C. e 400 A.D.) D. Invases brbaras (entre 400 A.D. e 800 A.D.) E. Atualidade

A.C.: Antes de Cristo A.D.: Anno Domini, i.e. depois de Cristo

2. Um condensador de placas paralelas est sujeito a uma diferena de potencial de 24 V, sendo que o campo eltrico aponta para baixo (ver figura). Entre as placas, que esto separadas de 5 mm, encontra-se uma pequena gota de leo, carregada, em repouso. Sabendo que a gota de leo tem 0,025 g de massa, qual a sua carga?

A. 51 nC

B. 20 nC

C. 5,2 nC

D. -5,2 nC

E. -51 nC

3. Um fio condutor retilneo percorrido por uma corrente de 12 A. Perpendicular a este h um campo magntico de intensidade desconhecida. A magnitude da fora magntica exercida sobre 50 cm de fio de 7,2 mN. Qual a magnitude do campo magntico?

A. 1,2 mT

B. 1,8 mT

C. 2,4 mT

D. 3,3 mT

E. 4,8 mT

E

Ministrio da Cincia, Tecnologia e Ensino Superior -4-

0,8 val

0,8 val

4. Uma bobina circular com 10 espiras e 6 cm de raio atravessada por um campo magntico homogneo, orientado paralelamente ao seu ncleo (ver figura). Esse campo, inicialmente uma magnitude de 0,1 T, sobe uniformemente para 0,4 T ao longo de 2 milisegundos. Quanto vale a fora eletromotriz induzida na bobina?

A. 1,7 V

B. 3,4 V

C. 4,6 V

D. 9,2 V

E. 17 V

5. No circuito abaixo, qual o valor da intensidade de corrente indicada?

A. 0,45 A

B. 0,68 A

C. 1,72 A

D. 2,21 A

E. 6,80 A

B

2 5

7

8

I = ?

15 V

Ministrio da Cincia, Tecnologia e Ensino Superior -5-

0,6 val

0,6 val

0,8 val

0,6 val

PARTE II

1. Uma corda de violino vibra livremente no seu tom fundamental (harmnico de ordem 1), produzindo a nota musical L, de frequncia 440 Hz. A corda tem 32 cm de comprimento e 0,67 g de massa.

a. Diga que tipo de onda se propaga na corda vibrante e justifique que o seu comprimento de onda de 64 cm.

b. Calcule a velocidade de propagao da vibrao na corda.

c. Calcule a tenso na corda. d. A perturbao na posio da corda

transmitida ao ar. Caraterize, sem efetuar clculos, o novo tipo de onda se propaga atravs do ar.

32 cm

Ministrio da Cincia, Tecnologia e Ensino Superior -6-

0,6 val

0,8 val

1,0 val

2. Considere o sistema gravitacional Terra-Lua. a. Escreva a expresso completa da fora gravtica que a Terra exerce sobre a

Lua (no necessita de substituir valores). b. Calcule a energia que seria necessria para separar a Terra da Lua. c. Calcule a posio, contada a partir do centro da Terra, do ponto de

imponderabilidade, i.e. o local onde as foras gravitacionais da Terra e da Lua se anulam.

Dados: - Massa da Terra: 5,98 1024 kg - Massa da Lua: 7,35 1022 kg - Distncia mdia Terra-Lua: 384 106 m (contado a partir do centro de cada um).

384 000 km

Ministrio da Cincia, Tecnologia e Ensino Superior -7-

3. Um caixote de 120 kg puxado por uma corda, arrastando-se sobre o cho (ver figura). A tenso mxima que a corda pode suportar sem quebrar de 950 N e o coeficiente de atrito cintico entre o caixote e o cho de 0,4.

a. Desenhe na figura as foras que atuam no caixote. b. Caraterize os pares ao-reao das foras indicadas acima. (Basta apenas

uma descrio sucinta, que inclua o ponto de aplicao.) c. Calcule a acelerao mxima que a corda pode imprimir ao caixote sem

quebrar. d. Se o caixote for arrastado por 3 metros, quanto vale o trabalho da fora de

atrito durante esse deslocamento?

Cotao

0,7 val

0,6 val

0,9 val

0,8 val

FIM

Fsica Geral 21048 Ano letivo 2010/11

Orientaes de resposta ao p-flio de 17 de fevereiro 2011

PARTE I

Problema 1 O carbono 14 um istopo radioativo que decai de acordo com a lei de decaimento usual (livro de texto, p.18), , com e as quantidades atual e inicial de 14C, respetivamente. Estritamente falando, aqui quantidade quer dizer n. de tomos de 14C, mas como todos os tomos tem a mesma massa, podemos usar massas em vez do n. de tomos. Ou seja, podemos reescrever a lei de decaimento como . Para aplicar esta lei precisamos da constante de decaimento, , a qual pode ser calculada do perodo de semidesintegrao:

ln2 ln25730 1,21 10 anos

Aplicando a lei de decaimento vem 0,71 mg1,1 mg ,

!" #$%&!'() * ln +0,711,1 , -1,21 10 anos ) . * . - 0,4378-1,21 10 anos * . 1 3620 anos.

Uma idade de 3620 anos corresponde a fabrico por volta do ano 2010 - 3620 1610 A.C., ou seja, na Era do Antigo Egito. Se o leitor obteve idades do artefacto de 2510 anos (500 A.C., Grcia/Roma antigas), ento ter porventura usado a frmula (errada) 1/'

5.

1570 anos (440 A.D., invases brbaras), ento ter usado log de base 10 na expresso ln 6,7, 8. 8330 anos (6320 A.C., pr-histria), ento ter usado log de base 10 na expresso ln 2/'

5.

0 anos (atualidade), ento ter usado (erradamente) 5730.

Problema 2 O campo eltrico entre as placas de um condensador aproximadamente constante (livro de texto, p.261-263). Para um campo constante 9 :;: ? 4800 V/m. Para a gota estar em repouso, o seu peso tem de ser compensado exatamente pela fora eltrica. Esta ltima dever apontar para cima, pelo que, de ABC D9EB (livro de texto, p.250) e de o campo apontar para baixo, a carga ter de ser negativa. A sua medida dever ser

AC AF * D9 G * D G9 * D 25 10H kg )9,8 ms4800 Vm

5,104 10K C 1 51 nC. A gota dever estar ento carregada com D -51 nC.

Problema 3 A situao a que vem descrita no livro de texto, p.280. A expresso vetorial da fora que o campo magntico exerce sobre o condutor dada por ABM NOB PEB que, em magnitude, AM NOP senR, com R o ngulo entre o fio e o campo. Isolando P e substituindo valores temos

P AMNO sen R 7,2 10S N

12 A ) 0,25 m ) sen 6V28 1,2 10S T 1,2 mT

Problema 4

A f.e.m. induzida numa espira dada pela lei de Faraday, X - YZ[Y (livro de texto, p.299). Esta uma expresso instantnea que, para uma variao do fluxo magntico uniforme, pode ser estendida para um intervalo de tempo finito: X - :Z[: . Para espiras temos ento X - :Z[: .

Calculemos ento as quantidades no nosso caso. Como o campo magntico homogneo dentro da espira, o fluxo magntico dentro da bobina simplesmente ] P^, com ^ a rea circundada pelas espiras. Para espiras circulares temos ento ] P ) V_ e vem

] Pab$#c - Pb$bdb#c ) V_ 0,4 T - 0,1 T ) V0,06 m 3,4 10S Wb A f.e.m. induzida ento

X -]. -10 )3,4 10S Wb

0,002 s 1 -17 V O sinal menos apenas quer dizer aqui que a f.e.m. ser tal que se ir opor, pela lei de Lenz (p.298), causa que lhe deu origem. A resposta ser, em mdulo, 17 V. Se respondeu 1,7 V ento esqueceu-se de multiplicar a expresso da lei de Faraday pelo n. de espiras.

Problema 5 A intensidade indicada a que sai da fonte de alimentao. Assim, para resolver o problema basta simplesmente calcular a resistncia equivalente de todo o circuito (livro de texto, p.306-7). Associando as resistncias de 5 e 7 , que esto em srie, temos _>7 5 h 7 12 . Agora, a resistncia equivalente _>7 est em paralelo com a resistncia de 8 , pelo que, associando as duas temos _>7K 6K h 8

4,8 . Esta ltima resistncia equivalente est em srie com a resistncia de 2 , pelo que a resistncia equivalente total do circuito ento de _Ci j 4,8 h2 6,8 . Aplicando a lei de Ohm encontramos uma corrente de

N k_Ci j 15 V6,8 1 2,21 A.

Se respondeu 0,68 A, ento somou todas as resistncias, sem notar que havia ramais em paralelo. Se respondeu 0,45 A, ento aplicou a lei de Ohm ao contrrio (i.e. N _/k. Se respondeu 6,8 A, ento esqueceu-se de inverter a expresso 6K h 8.

PARTE II

Problema 1 A corda de violino tem duas extremidades fixas. Trata-se pois de uma onda estacionria, transversal, em que a perturbao lm, . o deslocamento de cada ponto da corda em relao sua posio de equilbrio (livro de texto, p.44-45 e 56-60). Estando a corda a vibrar no seu harmnico principal, o comprimento de onda o dobro do comprimento da prpria corda, donde

2n 2 ) 0,32 m 0,64 m Se estivesse a vibrar no harmnico de ordem o, o comprimento de onda seria p 2n/o. A velocidade de propagao da vibrao dada por q r s, que no nosso caso

q 0,64 m ) 440 Hz 281,6 m/s A tenso na corda pode ser obtida da expresso da p.45 do livro de texto, q vrw, em que x a densidade linear de massa da corda, i.e. x ,H7!y z{,S ? 2,094 10S z{? . Isolando a tenso, temos xq 62,094 10S z{?8 ) 6281,6?& 8

166 N. A vibrao da corda causa perturbaes no ar em seu redor. Estas perturbaes so alteraes

da presso atmosfrica normal e propagam-se em todas as direes. So pois ondas sonoras; ondas longitudinais que, ao chegar ao ouvido, nos do a sensao de ouvir o som da nota a ser tocada do instrumento.

Problema 2 A fora gravitacional entre dois corpos dada pela lei da atrao universal de Newton (livro de texto, p.130-132). Para o nosso sistema, a fora que a Terra exerce sobre a Lua , na sua forma vetorial completa,

AB -|}r}~r~ com }r , }~ as massas da Terra e Lua, | a constante de gravitao universal, r~ a distncia da Terra Lua e o raio-vetor unitrio que aponta da Terra Lua. O sinal menos aparece porque a fora tem sentido contrrio ao do raio-vetor . O potencial gravitacional que a Terra causa num ponto distncia de si dado por k -| Y . Estando a Lua distncia r~, a energia potencial gravitacional do sistema ento

9 -| }rr~ ) }~ -6,67 10Nmkg )

5,98 10 kg3,84 10K m ) 7,35 10 kg

-7,635 10K J O sinal menos aparece porque o potencial atrativo. Seria pois necessrio fornecer ao sistema Terra-Lua uma energia de 9 h7,635 10K J para vencer a atrao e separar os dois corpos celestes. Por curiosidade, a energia libertada na bomba nuclear de Hiroshima foi de aproximadamente 6 10S J; quinze ordens de grandeza abaixo! As magnitudes da fora gravitacional que a Terra e Lua exercem sobre um objeto de massa em rbita as distncias r e ~ so, respetivamente,

Ar | }rr ; A~ | }~~

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