FIORENTINI O Lugar Das Matematicas Na Licenciatura

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Fiorentini, Dario; de Carvalho Correa de Oliveira, Ana TeresaO Lugar das Matemticas na Licenciatura em Matemtica: que matemticas e que prticas formativas?

Boletim de Educao Matemtica, vol. 27, nm. 47, diciembre, 2013, pp. 917-938Universidade Estadual Paulista Jlio de Mesquita Filho

Rio Claro, Brasil

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Bolema, Rio Claro (SP), v. 27, n. 47, p. 917-938, dez. 2013

O Lugar das Matemticas na Licenciatura emMatemtica:

que matemticas e que prticas formativas?

The Place of Mathematics in Mathematics DegreePrograms: which mathematics and what educational

practices?

Dario Fiorentini*

Ana Teresa de Carvalho Correa de Oliveira**

Resumo

Este artigo um ensaio que tem por objetivo problematizar e discutir o lugar da matemticana formao do futuro professor, em cursos de Licenciatura em Matemtica. O ensaio organizado em torno de duas questes bsicas: de que matemtica estamos falando,quando dizemos que o professor precisa saber bem matemtica para ensin-la? Queprticas formativas podem contribuir para que o futuro professor possa se apropriardessa matemtica fundamental para seu trabalho profissional? Para respond-las, foramanalisadas e problematizadas as diferentes prticas sociais do educador matemtico,tentando perceber, nelas, indcios do tipo de saber matemtico mobilizado e requerido. Aseguir, foram trazidas algumas tentativas histricas de tratar o problema da formaomatemtica dos professores, tendo por base Felix Klein, Richard Courant e Bento deJesus Caraa, e algumas pesquisas brasileiras e internacionais que tm como foco deestudo a formao matemtica do professor. A partir desses estudos, o artigo destaca a

* Doutor em Educao pela Faculdade de Educao (FE) da Universidade de Campinas (UNICAMP),Campinas, SP, Brasil. Docente da FE/Unicamp, Campinas, SP, Brasil. Bolsista de Produtividade emPesquisa 1D do Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientfico e Tecnolgico (CNPq). Endereopara correspondncia: Rua Thomaz Alberto Whately, 123, Vila Nogueira, CEP: 13088-038,Campinas, SP, Brasil. E-mail: [email protected].** Bolsista Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientfico e Tecnolgico (CNPq) de Ps-Doutorado Junior na Universidade de Campinas (UNICAMP). Docente da Faculdade de Educao daUniversidade Federal do Rio de Janeiro (FE/UFRJ), Rio de Janeiro, RJ, Brasil. Endereo paracorrespondncia: Rua das Laranjeiras, 144, apt 301, Laranjeiras, CEP: 22240-000, Rio de Janeiro,RJ, Brasil. E-mail: [email protected].

ISSN 0103-636X


918 FIORENTINI, D.; OLIVEIRA, A. T. C. C.

existncia, na formao inicial do professor de matemtica, de uma quase tricotomiaentre formao matemtica, formao didtico-pedaggica e prtica profissional.Para romper com essa tradio tricotmica so sugeridas algumas mudanas em relao prtica e pesquisa sobre formao de professores tais como: a formao do professorde matemtica deve orientar-se pelas diferentes prticas sociais do educador matemtico;adotar, na formao inicial, prticas e projetos nos quais os licenciandos possam integrar,fazendo contrastes, problematizaes e investigaes sobre as relaes entre suaformao matemtica na licenciatura, sua formao didtico-pedaggica relacionada aocontedo, e a complexidade das prticas escolares.

Palavras-chave: Licenciatura em Matemtica. Prticas Formativas. Formao Matemtica.Saberes da Docncia.

Abstract

This article is an essay that aims to problematize and discuss the place of mathematics inMathematics Teacher Degree programs. It is organized around two basic questions:what are we talking about when we refer to mathematics that teachers need to know wellfor teaching? Which educational practices can contribute to the appropriation of thisfundamental mathematics by future teachers for their professional work? To find theanswers, different social practices of mathematics educators were problematized seekingclues in those practices regarding the kind of mathematical knowledge required andmobilized in their work. After that, some historical attempts to address the problem ofmathematical education of teachers were reviewed, with Felix Klein, Richard Courantand Bento de Jesus Caraa as references, and some Brazilian and international researchregarding the training of mathematics teachers. Based on these studies, this articlehighlights the existence, in the initial training of mathematics teachers, of a quasitrichotomy among academic mathematics, didactic-pedagogic content and teachingpractice in schools. To break with this trichotomic tradition some changes are suggestedregarding the practice and research on teacher education. For example, teacher trainingin mathematics must be guided by the different social practices of mathematics educators.These practices can to be adopted in training and projects in which undergraduates canto be integrated, making contrasts, discussions and investigations about the relationshipsamong their undergraduate training in mathematics, their pedagogical-didactic trainingrelated to the content, and the complexity of school practices.

Keywords: Mathematics Degree. Mathematics Teacher Education. Educational Practices.Mathematics for Teaching.

1 Introduo

Os cursos de licenciatura em geral, isto , no s de matemtica, tm

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sido alvo de inmeras crticas, tanto da parte de pesquisadores como deprofessores formadores, de egressos e de licenciandos. Essas crticas referem-se aos currculos, sobretudo s disciplinas especficas, s metodologias de ensinodas aulas, ao distanciamento ou desconexo entre as prticas de formao e asprticas de ensinar e aprender na escola bsica, falta de dilogo ou inter-relao entre as disciplinas especficas e as de formao didtico-pedaggica1,ao isolamento do estgio, entre outras.

Neste artigo, pretendemos problematizar e discutir o lugar da matemticana formao do futuro professor, em cursos de Licenciatura em Matemtica.Um dos problemas centrais que pretendemos discutir diz respeito seguintepergunta: de que matemtica estamos falando, quando dizemos que o professorprecisa saber bem a matemtica para ensin-la? A segunda pergunta, decorrenteda primeira, : que prticas formativas podem contribuir para o futuro professorse apropriar dessa matemtica fundamental para seu trabalho profissional? Parano correr o risco de idealizar uma formao matemtica baseada na matemticaacadmica e cientfica, iniciamos este artigo problematizando as diferentes prticassociais do educador matemtico, tentando perceber nelas indcios do tipo desaber matemtico mobilizado e requerido.

A seguir, trazemos algumas tentativas histricas de tratar o problema daformao matemtica dos professores e algumas pesquisas brasileiras que tmcomo foco de estudo a formao matemtica do professor. Conclumos o texto,fazendo uma sntese das reflexes e anlises desenvolvidas e apresentamosalguns encaminhamentos para a mudana da prtica e da pesquisa sobreformao de professores.

2 As prticas do educador matemtico e a suposta formao matemticarequerida

Para pensar e discutir o lugar da matemtica nos cursos de licenciatura,ou melhor, das matemticas na formao inicial do professor de matemtica,podemos, primeiramente, analisar o papel social da licenciatura na formao do

O Lugar das Matemticas na Licenciatura em Matemtica: que matemticas e que prticas...

1 Quando utilizamos a expresso composta didtico-pedaggica queremos dizer, tendo por baseFiorentini (2005, p. 108), que a Didtica busca explorar as relaes professor-aluno-contedo(como enfatiza a didtica francesa) e centra foco no processo de ensinar e aprender um contedo e,tambm, no que antecede essa prtica (planejamento) e a sucede (avaliao). A Pedagogia, por suavez, se preocupa com o sentido formativo ou educativo do que ensinamos e aprendemos; com asconsequncias da ao didtica, em termos de formao e desenvolvimento humano do sujeito. APedagogia, portanto, governa e vetoriza a ao didtica, pois d sentido a essa ao, preocupando-se com questes tais como: por que, para que e para quem ensinamos?.



professor. De modo semelhante ao que acontece com os cursos de medicina, deodontologia, de engenharia etc, a licenciatura tambm um cursoprofissionalizante. Assim, a licenciatura em matemtica visa formar o profissionalda educao matemtica. Para pensar a formao necessria ou fundamentalpara esse profissional, cabe, antes, analisar e discutir a prtica social do educadormatemtico, pondo em evidncia os saberes mobilizados e requeridos por essaprtica. Por outro lado, h diferentes concepes e interpretaes do que sejaessa prtica e a respectiva formao profissional que ela requer. Assim, cadamodo de interpretar e conceber essa prtica social demanda a projeo de umaformao profissional que seja a mais coerente possvel com essa concepo.

Dentre as mltiplas interpretaes e concepes de prtica do educadormatemtico, destacamos trs perspectivas, radicalmente distintas, e que tmforte impacto no modo de organizar o processo de formao ou aprendizagemprofissional.

A primeira perspectiva parte do princpio que a prtica do professorde matemtica pode ser vista como essencialmente prtica, bastando a ele apenaso domnio do conhecimento matemtico que o objeto de ensino e aprendizagem.Entende que a arte de ensinar se aprende ensinando, isto , na prtica, nohavendo necessidade de uma formao formal ou terica acerca das relaesentre matemtica, aluno e professor. Nesse contexto, a aprendizagem docenteapresenta-se bastante artesanal, sendo fortemente influenciada pela tradio doensinar e aprender nas escolas ou de estabelecer relao com o conhecimentomatemtico. Essa tradio didtico-pedaggica, em matemtica, geralmentemarcada pelo paradigma do exerccio e por uma abordagem mais algortmica ousinttica do que semntica (de produo e negociao de significados) dosprocedimentos e ideias da matemtica escolar. O lugar da matemtica, nessaconcepo de prtica de formao docente, central e majoritrio, porm maisvoltado ao conhecimento matemtico clssico em sua tradio platnica eeuclidiana e, s vezes, formalista estrutural, conforme Fiorentini (1994) do queum saber problematizado e vetorizado (isto voltado e direcionado) formaomatemtica e didtico-pedaggica do professor da escola bsica. Alm disso,as disciplinas didtico-pedaggicas ocupam um lugar secundrio, pois priorizamaspectos genricos das cincias da educao (psicologia da educao, Filosofiae histria da educao, sociologia da educao, estrutura e funcionamento doensino etc), no situando-as ou focalizando-as nas prticas de ensinar e aprendera matemtica da escola bsica.

A segunda perspectiva v a prtica de ensino da matemtica como

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campo de aplicao de conhecimentos produzidos, sistematicamente, pelapesquisa acadmica. Para essa concepo de prtica, faz-se necessrio o futuroprofessor ter, primeiramente, uma slida imerso terica tanto em termos deconhecimentos matemticos quanto das cincias educativas e dos processosmetodolgicos de ensino da matemtica (enfatizando mais a dimenso didticado que a pedaggica). A aplicao desses conhecimentos na prtica educativaviria somente mais tarde, mediante um processo de treinamento profissional. Oscursos de licenciatura, sob o modelo 3 + 1, se assentam sobre essa concepode prtica, sendo o ltimo ano destinado ao treinamento ou aplicao do quefoi aprendido nos anos anteriores. O lugar da matemtica nessa concepo deprtica e de formao docente continua sendo considerado central e fundamental,porm, ainda fortemente distanciado das prticas escolares, pois a aplicaodesses conhecimentos passa por um processo de racionalidade tcnica e/ou detransposio didtica do saber sbio ou cientfico para o saber a ser ensinadoe, finalmente, em objeto de ensino, conforme teorizao de Chevallard (1991).Em sntese, nessa concepo de prtica pedaggica do educador matemtico,s existe a Matemtica (com letra maiscula), aquela que vem dos matemticosprofissionais, mas que pode ser transposta/adaptada para o contexto de ensino eaprendizagem. Alm disso, nessa perspectiva, o processo formativo enfatizamais a dimenso tcnica e didtica (relaes entre professor-aluno-contedo emtodos de ensino) do que a pedaggica (o sentido, a relevncia e asconsequncias do que ensinamos).

Na terceira perspectiva, a prtica pedaggica da matemtica vistacomo prtica social, sendo constituda de saberes e relaes complexas quenecessitam ser estudadas, analisadas, problematizadas, compreendidas econtinuamente transformadas. Isso requer uma prtica formativa que tenha comoeixo principal de estudo e problematizao as mltiplas atividades profissionaisdo educador matemtico. Ele pode atuar como professor de matemtica naescola bsica ou no ensino superior. Pode atuar como formador de professoresque ensinam matemtica, tanto na formao inicial como na continuada. Podedesenvolver pesquisas relacionadas, direta ou indiretamente, ao ensino e aprendizagem matemtica em diferentes contextos e prticas. Pode, tambm,atuar como autor ou editor de manuais didticos ou paradidticos para o ensinoda matemtica. Pode ser produtor de softwares, jogos ou materiais manipulativospara uso no ensino de matemtica. Pode ser monitor ou tutor de ensino distncia,envolvendo atividades de aprendizagem matemtica. Pode atuar como professorparticular de matemtica, dando suporte aos alunos com dificuldades de




aprendizagem matemtica nas escolas. Pode, ainda, atuar na educao informal,em ONGs ou cursinhos alternativos, entre outras possibilidades.

Em todas essas prticas sociais, a matemtica est, direta ouindiretamente, presente. Essa matemtica, entretanto, nunca aparece hermticae isolada em relao a outros saberes e campos disciplinares. No faz sentidofalar de uma Matemtica (com letra maiscula), mas de matemtica (com letraminscula) ou ento de matemticas, pois as matemticas so mltiplas,dependendo do contexto de prtica social, como nos mostra Vilela (2007), emsua tese de doutorado. Nesse sentido, a matemtica enquanto prtica social doeducador matemtico sempre um saber de relao (CHARLOT, 2001). Emrelao com o mundo, consigo mesmo, com outros sujeitos, sobretudo em situaode produo e negociao de significados nos processos de comunicao, deensino e aprendizagem ou de uso/explorao de procedimentos matemticos.Ou seja, a matemtica em ao do educador matemtico est, sempre, situadaem uma prtica social concreta, na qual ganha sentido e forma/contedo prprios,sendo reconhecida e validada no/pelo trabalho.

Para perceber e compreender essa matemtica enquanto saber derelao ou situada nos processos interativos de aprendizagem, os futurosprofessores poderiam, ainda na licenciatura, aprender a partir da anlise deprticas de sala de aula ou prticas narradas por professores. Para exemplificaressa possibilidade, trazemos, aqui, a anlise de um episdio de sala de aulanarrado por Fernandes (2006), que surgiu em um contexto de aula exploratrio-investigativa, na qual foram desenvolvidas atividades abertas, exploratrias eno diretivas do pensamento do aluno, e que permite mltiplas possibilidades detratamento e significao. A atividade consistia na explorao da sequnciafractal do tringulo de Sierspinski e da qual resultou o seguinte dilogo emuma classe do 7o ano (FERNANDES, 2006, p. 218)2:

Figura 1 A sequncia fractal do tringulo de SierspinskiFonte: Fernandes (2006)

2 O professor solicitava na parte escrita da tarefa entregue aos alunos: (1) construam o prximotringulo da sequncia; (2) observem e descrevam o que acontece com a transformao dos tringulosdessa sequncia; (3) encontrem a relao entre os tringulos (existentes ou faltantes) e sua posioda sequncia; (4) escrevam, com suas palavras, o padro que descreve a sequncia.

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Lia: Professor, esse tringulo acaba?Lo: No acaba!Prof: Lia, por que acaba? Me explica?Lia: Acaba porque vai chegar a uma hora em que eu no consigo desenhar mais

o tringulo menor?!Lo: Mas eu posso ampliar, colocar uma lente de aumento...Lia: No d, vai ficar todo furadinho!!!Lo: D porque eu posso fazer no computador. D porque se eu fizer um tringulo

bem porcaria eu consigo fazer mais trs porcariazinhas e tirar uma porcariazinha!!Lia: No d! Professor, fala pra ele que no d!Lo: Fala para ela que d! Que nunca acaba!Prof: (Dirigindo-se para toda a classe) O que vocs acham, acaba ou no acaba

o tringulo?

Ao analisar esse episdio tendo por base Potari e Jaworski (2002) ,Fiorentini (2012) destacou o papel mediador do professor. A sensibilidade doprofessor para com os alunos evidenciada ao perceber e valorizar os sentidosque os alunos atribuam situao matemtica, pois o professor no esperavaque os alunos fossem explorar noes relativas a infinitsimos ou limite dasequncia. A sensibilidade do professor, entretanto, resulta tambm de seuconhecimento de Geometria, que foi desenvolvido na licenciatura sob umaperspectiva investigativa e mediada pela escrita reflexiva, conforme pesquisade Freitas (2006). Alm disso, sua sensibilidade e seu saber didtico-pedaggicotambm manifestam-se na forma como elaborou a tarefa ou situao-problema.A abertura da segunda questo evidencia uma concepo de problema norotineiro e no fechado. Isso o predisps a estar atento ao imprevisvel, ao noesperado. O modo como administrou a aprendizagem tem a ver com uma posturaproblematizadora e exploratrio-investigativa que comeou a construir nos anosfinais da licenciatura, quando realizou, em seu estgio na prtica escolar, umprojeto investigativo sobre investigaes matemticas, envolvendo ensino-aprendizagem de lgebra (FERNANDES; FIORENTINI; CRISTOVO, 2006),tendo contado com a interlocuo do Grupo de Sbado e da trade colaborativaformada pelo formador da universidade (Fiorentini), pela supervisora da escola(Cristovo) e pelo prprio estagirio (Fernandes).

Veja que a negociao de significados entre Lia e Lo, poderia,simplesmente, ser afunilada pelo professor, dizendo que Lo estava certo e Liaestava errada e, assim, interromperia o processo de negociao de significados.Ou poderia dizer que aquilo no era pertinente atividade ou, ainda, que isso




seria tratado mais tarde quando ingressassem no Ensino Mdio ou no EnsinoSuperior. O professor, ao contrrio, procurou tirar proveito da situao. Isto ,ao perceber a riqueza pedaggica do episdio em relao ao desafio matemticoproposto, administrou a aprendizagem emergente, de modo que toda a classepudesse participar dessa experincia educativa (FIORENTINI, 2012).

Em sntese, esse caso pe em destaque no apenas o pensamentomatemtico dos alunos em ao e em processo de desenvolvimento, mas tambmo saber profissional do professor no contexto da prtica profissional. Um saberque se mostra complexo, entretecendo aspectos conceituais (fractais, sequncias,infinitsimos, limite) do campo da matemtica e aspectos didtico-pedaggicos,sobretudo ao elaborar a tarefa, ao mediar a gesto da aprendizagem e asensibilidade para com os alunos. Isso demanda, em sua formao, umacompreenso profunda e diversificada da matemtica enquanto saber de relao.

3 Em defesa de uma compreenso profunda e diversificada da matemticado professor

Considerando a matemtica do professor como saber de relao,podemos afirmar que ela difere epistemolgica e metodologicamente damatemtica do matemtico acadmico, embora haja muitos aspectos e elementosem comum. Apoiados em Shulman (1986), podemos afirmar que o sabermatemtico que o licenciando precisa conhecer para ser um bom professor dematemtica no o mesmo que requer o bacharel para ser um matemtico bemsucedido. No estamos, com essa afirmao, querendo defender uma matemticamais simples ou superficial para o professor. Ao contrrio, defendemos que oprofessor de matemtica precisa conhecer, com profundidade e diversidade,a matemtica enquanto prtica social e que diz respeito no apenas ao campocientfico, mas, sobretudo, matemtica escolar e s mltiplas matemticaspresentes e mobilizadas/produzidas nas diferentes prticas cotidianas. O domniodesses conhecimentos certamente proporcionar condies para o professorexplorar e desenvolver, em aula, uma matemtica significativa, isto , umamatemtica que faa sentido aos alunos, ao seu desenvolvimento intelectual,sendo capaz de estabelecer interlocuo/conexo entre a matemtica mobilizada/produzida pelos alunos e aquela historicamente produzida pela humanidade.

Quando nos referimos necessidade de o professor conhecer comprofundidade as matemticas, especialmente a escolar, queremos dizer queno basta o professor dominar procedimentos matemticos e saber utiliz-los

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em demonstraes ou na resoluo de exerccios e problemas. Para a docnciaem matemtica importante que o professor saiba justificar esses procedimentos,conhea outros procedimentos histrico-culturalmente produzidos, conhea osconceitos e ideias atuais, bem como a evoluo histrica dos mesmos. Porexemplo, a demonstrao tem um papel central na produo do conhecimentomatemtico. Ela faz parte da investigao matemtica. A demonstrao nadamais do que a tentativa do matemtico justificar ou provar, com recursoslgico-matemticos, que uma conjetura vlida. O professor precisa saber queuma demonstrao no deve ser, necessariamente, sempre formal e fazer partede um sistema axiomtico. A exigncia de rigor formal pode ser danosa, impedindoque o estudante (e, aqui, inclumos o futuro professor) possa fruir, explorar eexperienciar o processo de criao da matemtica. H diversos modos deconstruir provas ou justificativas para as conjeturas. Alunos do ensino fundamentalpodem fazer pequenas demonstraes isto , construir justificativas eargumentaes no formais e que podem ser aceitas como vlidas no contextode uma comunidade de aprendizagem matemtica de sala de aula do EnsinoFundamental. Mas no suficiente o futuro professor conhecer teoricamente,ou a partir da didtica da matemtica, como podem ser e funcionar asdemonstraes em um ambiente exploratrio-investigativo com a matemtica. preciso que ele possa experienciar o processo de explorao e investigaonas disciplinas matemticas da licenciatura, tais como: teoria dos nmeros, clculodiferencial e integral, lgebra, anlise, geometria, fractais, teoria dos grafos etc.

Em relao diversidade, queremos destacar que o conhecimentomatemtico do professor no se limita aos aspectos conceituais, procedimentaise atitudinais da matemtica escolar ou acadmica. A compreenso da matemtica,enquanto objeto de ensino e aprendizagem, implica, tambm, conhecer suaepistemologia e histria, sua arqueologia e genealogia, sua linguagem e semiosee sua dimenso poltico-pedaggica no desenvolvimento das pessoas e da culturahumana. A matemtica tambm precisa ser compreendida em sua relao como mundo, enquanto instrumento de leitura e compreenso da realidade e deinterveno social, o que implica uma anlise crtica desse conhecimento.Skovsmose (2005) considera que o conhecimento e o desenvolvimento doconhecimento so processos sociais carregados de valores que, dependendo domodo como so mobilizados e empregados, podem contribuir tanto para aemancipao dos sujeitos quanto para sua excluso social. Nesse sentido, aeducao matemtica possui uma natureza crtica que traz incerteza sobre seupapel social e poltico. Essas questes precisam ser tratadas e exploradas na




formao inicial do professor, e esto estreitamente relacionadas com a dimensopedaggica (relativa aos valores e finalidades da ao educativa).

Alm disso, em qualquer formao matemtica que acontea nos cursosde Clculo, Anlise ou lgebra, o futuro professor no apenas aprende umacerta matemtica, como esperado pelo formador, mas aprende, tambm, ummodo de estabelecer relao com o conhecimento; internaliza, igualmente, ummodo de conceb-lo, de trat-lo e de avali-lo no processo de ensino eaprendizagem.

A modelagem matemtica e a educao estatstica podem ajudar acompreender e problematizar a relao da matemtica com a sociedade e arealidade. Ainda nesse sentido, e considerando a formao de professores,Mizukami e Reali (2002) defende que a formao matemtica deve continuarpossibilitando aos futuros professores o acesso aos conhecimentos acadmicose s teorias, no como fins em si mesmos, mas como ferramentas intelectuaiscapazes de enriquecer seu pensamento e sua ao, alm de instru-los na anlisee sntese da realidade pedaggica.

Os matemticos que ensinam matemtica no ensino superior, sobretudonos cursos de licenciatura e bacharelado em matemtica, costumam dizer,enfaticamente, que os alunos desses cursos precisam ter um domnio slido doconhecimento matemtico. Ns questionamos o uso do adjetivo slido paraqualificar a formao matemtica do professor, pois o termo slido lembrarigidez e imobilidade; isto , algo que por ser estruturado e pleno ,simultaneamente, pronto, acabado ou cristalizado, no abrindo espao para oaluno explorar, interpretar, investigar e criar. Essa adjetivao prpria de umaconcepo de matemtica que privilegia o rigor, a preciso e sua consistncialgica e, portanto, livre de contradies, dvidas e incertezas, caractersticasinerentes matemtica real, tanto aquela que acontece em sala de aula, quandoos jovens estabelecem significao a ela, quanto aquela em processo de criao/produo pelos matemticos (FIORENTINI, 2005, p. 109).

4 Tentativas histricas de enfrentar o problema da formao matemticado professor

Felix Klein (1849-1925) foi um dos pioneiros na tentativa de enfrentar oproblema da formao matemtica do professor secundrio. Alm de escrevero programa Erlangen sobre geometria pelas transformaes, interligando ateoria dos grupos com as geometrias, foi professor na Univesidade de Gottingen,

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tendo se notabilizado em fazer com que seus futuros professores do ensinosecundrio percebessem, como relata Veloso (2004), que a

[...] matemtica no um conjunto de temas isolados, masum organismo vivo. Interessava-se profundamente peloensino de matemtica nas escolas secundrias, tanto noque diz respeito aos contedos a ensinar, como no melhormodo de o fazer. [...] Procurou reduzir a distncia entre asescolas e a universidade, para tirar as escolas da letargia datradio [...] e transformar a atitude e o tipo de ensinouniversitrio (VELOSO, 2004, p. 58).

Em 1908, Felix Klein publicou o livro Elementary Mathematics from anAdvanced Standpoint, no qual denunciava, em sua introduo, que os professoresmatemticos da universidade estavam preocupados exclusivamente com a suacincia, sem pensar sequer um momento nas necessidades das escolas, semmesmo se preocuparem em estabelecer ligaes com a matemtica escolar(KLEIN, 1908, apud VELOSO, 2004, p. 59). Assim, o professor, aps concluiro curso de matemtica e iniciar a docncia na escola, sentia-se incapaz e semajuda, de descobrir qualquer ligao entre esta tarefa e a matemticauniversitria (KLEIN, 1908, apud VELOSO, 2004, p. 59). O resultado dissoera o abandono do que havia aprendido na universidade, recaindo rapidamenteno modo tradicional de ensinar. A publicao do livro, portanto, visava enfrentaresse problema, deixando claro o objetivo de mostrar: As conexes mtuasentre os problemas dos vrios domnios (lgebra, teoria dos nmeros, teoria dasfunes, geometria...), coisa que no feita suficientemente nas aulas habituaise, em especial, salientar as relaes entre estes problemas e os da matemticaescolar (KLEIN, 1908, apud VELOSO, 2004, p. 59).

Richard Courant (1888-1972) foi o sucessor de Felix Klein naUnivesidade de Gottingen, dando continuidade ao projeto de Klein, tendo publicadoWhat is Mathematics, livro se tornou mundialmente famoso, tendo tido grandesucesso editorial. No livro, Courant tentou popularizar e contextualizar os mtodose conceitos fundamentais da matemtica. Um outro livro que tambm se tornouclebre foi o Differential and Integral Calculus (1934), um dos mais importanteslivros didticos sobre clculo e anlise real do sculo XX. Essa obra tambmdeu continuidade ao Projeto Klein, tendo dado destaque especial origem eevoluo dos conceitos fundamentais do Clculo, sem seguir uma abordagemformal ou axiomtica do Clculo, predominando um texto dissertativo e, porvezes, narrativo, e sem as tradicionais listas de exerccios.




Bento de Jesus Caraa (1901-1948) foi outro autor que procurou rompercom a viso de matemtica como geralmente aparece exposta nos livros deensino, como coisa criada, como um todo harmonioso e sem contradies [...](CARAA, 1958, p. xiii). Em suas publicaes Conceitos Fundamentais daMatemtca (CARAA, 1958) e Lies de lgebra e Anlise (CARAA, 1957) tentou mostrar a matemtica como ela foi sendo elaborada, evidenciando suashesitaes, dvidas, contradies que s um longo trabalho de reflexo eapuramento conseguiu eliminar, at que surjam outras dvidas e contradies[...]. A matemtica, assim abordada, mostra-se como um organismo vivo,impregnado de condio humana, com suas foras e suas fraquezas e subordinados grandes necessidades do homem na sua luta pelo entendimento e pelalibertao aparecendo, assim, como um grande captulo da vida humana social(CARAA, 1958, p. xiii).

Um sculo depois do trabalho de Flix Klein, o que mudou em relao formao matemtica do professor nos cursos de licenciatura em matemtica?As pesquisas e nossas experincias dizem que avanamos muito pouco. Astentativas de mudana curricular, com a introduo de disciplinas novas, visandotrabalhar uma matemtica mais viva, exploratria, problematizadora das ideiase relaes matemticas... nem sempre funciona na prtica. Trazemos aqui ocaso da Licenciatura Noturna em Matemtica, da Unicamp, que introduziu, nofinal dos anos 80, em sua grade curricular a disciplina Geometrias noeuclidianas. A ementa sugeria uma explorao histrica, experimental einvestigativa das vrias geometrias no euclidianas, a partir da negao do 5Postulado de Euclides. E, assim foi feito, enquanto Beatriz DAmbrosio assumiua disciplina, sendo apontada pelos futuros professores como uma disciplinaimportante e contributiva para sua prtica na educao bsica. Entretanto, coma mudana de Beatriz para os Estados Unidos, docentes da matemtica puraassumiram a disciplina e passaram a trabalh-la formalmente sob um enfoquealgbrico e axiomtico. E, pouco tempo depois, a disciplina seria excluda dagrade curricular, tendo em vista sua pouca importncia formao do professorde matemtica.

Mais recentemente, a partir do final dos anos de 1980, Deborah Ballvem se destacando internacionalmente como uma das principais pesquisadorasem Educao Matemtica, preocupada com a formao matemtica e didtico-pedaggica do professor de matemtica. A partir de estudos e pesquisas quevem realizando na Universidade de Michigan, aponta o distanciamento entre a

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prtica e a formao necessria ao professor de matemtica. Para ela, emborao conhecimento do assunto a ser ensinado seja um componente essencial doconhecimento dos professores, a preparao dos professores para o ensino dessesassuntos raramente o foco central de qualquer fase do processo de formao.Em vez disso, todos parecem entender, equivocadamente, que isso vaiacontecer em outro lugar, ficando a cargo do professor, em sua prtica. Contudo,Ball (1990) refora a ideia de que o aumento do conhecimento matemtico dosprofessores no garante melhoria da aprendizagem dos alunos. Os professoresprecisam ampliar e melhorar a sua compreenso da matemtica para poderensin-la bem, isto , no basta saber fazer matemtica ou resolver exerccios eproblemas para ensin-la, necessrio, tambm, ter um saber sobre esseconhecimento.

A pesquisadora apresenta trs grandes problemas a ser enfrentados, naformao docente. O primeiro consiste em identificar o conhecimento decontedo que importa para o ensino; o segundo consiste em considerar como talconhecimento tem que ser estudado e compreendido para ser ensinado; o terceiroconsiste em criar oportunidades de aprendizagem do contedo de forma acapacitar os futuros professores no somente a ter domnio do conhecimentodesses contedos, mas, tambm, saber utiliz-los em contextos variados de prtica(BALL, 2000).

Fazendo uma sntese livre e apropriativa dos vrios trabalhos de Ball,depreendemos que a formao matemtica na licenciatura deveria contemplare promover uma prtica educativa relativa a trs perpectivas desse conhecimento:conhecimento sobre a matemtica (como cultura e disciplina cientfica em suasmltiplas dimenses), conhecimento substantivo da matemtica (isto conheceros princpios, fundamentos e procedimentos dos vrios campos da matemtica esuas respectivas prticas) e conhecimento atitudinal (postura critica e afetivaperante o saber matemtico e suas diferentes formas de abord-lo).

Por fim, fazendo referncias s pesquisas internacionais sobre formaode professores, em geral percebemos que esse problema no exclusivo daeducao matemtica. Marcelo Garcia (1999, p. 85) nos mostra que as pesquisasso recorrentes em evidenciar que as atitudes e conhecimentos veiculadospelos programas de formao inicial tm escassas probabilidades de seremincorporados no repertrio cognitivo dos futuros professores, que acabamconfirmando e reforando o que j haviam experimentado como estudantes.




5 Alguns estudos brasileiros sobre a formao matemtica na Licenciatura

O balano feito, em 2002, pelo GEPFPM3, sobre dissertaes e tesesrelativas formao de professores que ensinam matemtica, j apontava paraa escassez de pesquisas (KOGA, 1998; BONETE, 2000; REIS, 2001) que tinhamcomo foco de estudo a formao matemtica nos cursos de licenciatura emmatemtica. Koga (1998), ao investigar a importncia da disciplina de Clculona formao do professor, tendo por base entrevistas e anlise de documentos,encontrou pouca relevncia dessa disciplina formao matemtica do professordo ensino bsico. Concluiu pela defesa de uma formao matemtica diferencialpara o professor, isto , distinta do bacharelado. Reis (2001) investigou o papeldo ensino de Clculo e Anlise na formao do professor, a partir de um estudohistrico-epistemolgico destas disciplinas, mediante entrevistas com professoresautores sobre o ensino destas disciplinas e anlise de alguns manuais didticosproduzidos ou recomendados pelos entrevistados. Concluiu que estas disciplinaspodem ser relevantes formao matemtica do professor, desde que sejamdesenvolvidas sob uma abordagem que rompa com sua tradio tcnico-formale procedimental-rigorosa, e que tenham como objetivo educativo uma formaomatemtica relevante para a prtica na escola bsica, isto , que privilegia maiso contedo (conceitos e significados) das ideias matemticas do que sua forma(sintaxe, procedimentos formais e rigorosos). O estudo de Bonete (2000), poroutro lado, destaca/mostra a importncia, para a formao matemtica doprofessor da escola bsica, de realizar um trabalho adequado na formao inicialem reas de conhecimento pouco desenvolvidas como, por exemplo, asgeometrias no euclidianas (FIORENTINI et al., 2002).

O balano destaca, tambm, outros resultados e contribuies paracompreender e enfrentar o problema da formao matemtica e didtico-pedaggica do professor de matemtica, tais como:

(1) investir numa formao matemtica mais ampliada ou diversificadado formador de professores que atua em disciplinas de formao matemtica.Que essa formao no seja estritamente tcnico-formal, mas tambmexploratria e investigativa em relao matemtica pura e aplicada, envolvendoestudos de natureza histrica, filosfica, epistemolgica e didtico-pedaggica,relacionados ao saber matemtico em diferentes contextos ou prticas sociais(principal referncia: tese de Gonalves (2000));

3 Grupo Interinstitucional de Estudo, Pesquisa sobre Formao de Professores de Matemtica,envolvendo Unicamp, UFSCar, UNESP e USF.

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(2) constituir grupos colaborativos de formadores de professores paraestudar, analisar, discutir e projetar prticas inovadoras no ensino de disciplinastais como Clculo, Anlise, lgebra, Geometria etc, tendo como norte a formaomatemtica e pedaggica mais apropriada do professor de matemtica da escolabsica (Principais referncias: teses de Souza Jr. (2000) e Gurios (2002));

(3) constituir um grupo de formadores de professores realmentepreocupados e engajados com o projeto pedaggico da licenciatura. Que talgrupo seja heterogneo, congregando educadores matemticos e matemticosde modo que possam, conjuntamente, pensar e avaliar os rumos do curso e suacontribuio para a formao do professor de matemtica (Principais referncias:tese de Carneiro (1999) e dissertao de Martins (2001)) (FIORENTINI et al.,2002).

Mais recentemente, surgiram outras pesquisas relevantes compreensoda problemtica da formao matemtica do professor de matemtica.Destacamos, entre outras, as teses de doutorado de Moreira (2004) e Resende(2007). No pretendemos, neste momento, fazer uma anlise desses estudos.Queremos, apenas, salientar a importncia e a contribuio que esse tipo deestudo traz compreenso da problemtica em questo.

Moreira (2004), por exemplo, refora o problema da desarticulao entrea formao especfica, a formao pedaggica e a prtica profissional naeducao bsica, sendo esta uma questo apontada recorrentemente em estudossobre as licenciaturas. Nos estudos que toma como apoio, Moreira consideraque, de forma preponderante, a formao de contedo parece ser entendidacomo um bloco de disciplinas autnomas e isoladas, na grade dos cursos delicenciatura, no havendo diferenciao no trabalho realizado nessas disciplinas,em se tratando de licenciatura ou bacharelado.

O excesso de formalidade, a supervalorizao do saber acadmico nasua forma abstrata, em contraste com as formas que o conhecimento matemticoadquire no processo de aprendizagem no contexto escolar, certamente criaobstculos ao bom desempenho do professor na prtica escolar. No se trata dedesvalorizar o conhecimento acadmico nem de reduzi-lo, mas, sim, dereconhecer a necessidade de o professor desenvolver um repertrio de estratgiase recursos vinculados ao processo de construo escolar do saber matemtico.A matemtica acadmica, predominante nos cursos de licenciatura, distancia osfuturos professores dos modos prprios de crianas e jovens da escola bsicafazerem matemtica, de mobiliz-la e comunic-la, sendo essa uma etapafundamental formao matemtica dos alunos (MOREIRA, 2004).




A abordagem de Moreira nos leva a reforar a ideia de que o saberdocente composto de saberes de diferentes naturezas. E o saber do contedoda disciplina, embora importante, apenas um dentre outros. Mas os formadoresde professores precisam, tambm, reconhecer que esse saber disciplinar no sereduz imagem e semelhana do saber acadmico e cientfico.

Em sntese, Moreira e David (2005, p. 45), ao assumir a naturezadiferencial entre a matemtica acadmica e a matemtica escolar, defende umainterlocuo mais problematizadora entre essas duas matemticas. Nesse sentido,apresenta e desenvolve uma concepo de formao matemtica do professor,tendo como referncia a prtica profissional na educao bsica. Uma concepoque situa o processo de formao do professor a partir do reconhecimento deuma tenso e no identidade entre educao matemtica escolar e ensinoda matemtica acadmica elementar. Nesse contexto, e considerando,especificamente, o caso do ensino dos nmeros reais, o futuro professor precisaconhecer, tambm, seus processos e significados formais no para depoistransp-los didaticamente a seus alunos da escola bsica, mas, para discuti-los eanalis-los criticamente, avaliando seus limites e possibilidades enquanto objetosde ensino. O professor, desse modo, qualifica-se para, com mais autonomia,explorar e problematizar as formas conceituais pedagogicamente maissignificativas ao desenvolvimento do pensamento matemtico do cidadocontemporneo.

O estudo desenvolvido por Resende (2007), por sua vez, analisa o papelda disciplina Teoria dos Nmeros na formao matemtica do professor daeducao bsica, tendo como base de anlise os manuais didticos, as propostascurriculares dessa disciplina nos cursos de licenciatura e entrevistas comformadores de professores. A autora concluiu que a Teoria dos Nmeros, comotem sido tratada na maioria das universidades investigadas, no est direcionada formao do professor da escola bsica, priorizando uma abordagem axiomtica,numa linguagem predominantemente simblico-formal, com nfase nasdemonstraes. A autora sugere que esta disciplina seja redirecionada formaomatemtica do professor, sob uma abordagem mais problematizadora einvestigativa, explorando conceitos fundamentais ao ensino bsico tais como osnmeros naturais e inteiros, divisibilidade, induo matemtica, tipos dedemonstrao matemtica etc.

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6 Reflexes finais e alguns encaminhamentos para a mudana

Aps a breve exposio, em que trouxemos trabalhos relacionados formao matemtica em cursos de licenciatura em matemtica, bem comoexpressamos nossos posicionamentos acerca das questes que envolvem essescursos, retornamos s questes: que matemticas? que prticas formativas?Retornamos a elas no para, objetivamente, respond-las, mas para sintetizarmos,em torno delas, as ideias principais que orientaram nossas reflexes e anlises,aqui apresentadas.

Depreendemos, principalmente a partir do estudo de Moreira (2004),algo que perpassa todo esse texto, que a existncia, na formao do professorde matemtica, de uma quase tricotomia entre: (1) a formao matemticavoltada quase exclusivamente matemtica acadmica, sem estabelecer relaese problematizaes com a matemtica escolar e com a perspectiva didtico-pedaggica; (2) a formao didtico-pedaggica, geralmente dissociada damatemtica acadmica e das prticas reais (vigentes ou inovadoras) de sala deaula nas escolas atuais; e (3) a prtica profissional, que trabalha umamatemtica mais alinhada a uma tradio escolar e distante da matemtica quea licenciatura privilegia e, de outro lado, que possui/desenvolve uma prticadidtico-pedaggica construda, tendo por base uma tradio pedaggica e/ou oenfrentamento consciente dos problemas e desafios das diferentes realidadescomplexas da escola brasileira. Essa problemtica nos desafia, enquantoformadores de professores de matemtica, a buscar, de um lado, novos aportestericos que possam ajudar a compreender e a problematizar essa quasetricotomia e, de outro, a criar e desenvolver estratgias e prticas que possamromper com essa tradio tricotmica da formao inicial do professor dematemtica.

Ao longo do texto, tentamos problematizar cada uma dessas dimensesda prtica formativa e profissional do professor. Membros de diferentescomunidades epistmicas tm tentado, como mostramos nesse texto, enfrentaressa problemtica, tendo desenvolvido estudos e pesquisas a respeito.

Alguns matemticos como Felix Klein, Richard Courant, Bento de JesusCaraa tentaram tratar a matemtica numa perspectiva no hermtica e formal(que escamoteia, oculta ou encobre o contedo vivo das ideais matemticas),explorando aspectos epistemolgicos, semnticos e histrico-culturais que pemem evidncia o significado e a relevncia da matemtica enquanto capital culturale instrumento de leitura, compreenso e interveno no mundo. Ou seja, essa




mudana de enfoque da formao matemtica, que interessa ao professor queensina matemtica, possibilita atingir uma dimenso mais compreensiva damatemtica no sentido de abrangente e mltiplo da matemtica enquantoconhecimento cientfico e cultura humana e que seria, como destaca DeborahBall, mais contributiva para o trabalho profissional do professor escolar queprecisa trabalhar uma matemtica de relao com o sujeito da aprendizagem,com os outros e com o mundo. Poderamos ter trazido, aqui, outra tentativahistrica (da didtica francesa) de fazer a transposio didtica do saber sbio/cientfico para o saber a ser ensinado para, ento, torn-lo objeto de ensino,como tem teorizado Chevallard (1991). Mas essa alternativa, embora tragacontribuies didticas importantes, das quais o professor pode se apropriar(sob uma perspectiva pedaggica crtica), no vem diretamente ao encontro denossa concepo de uma superao radical da tendncia tricotmica, pois oprofessor da escola bsica visto como ponto final ou de chegada desse processo,fato que o destitui de poder e autonomia de promover e construir, critica epedagogicamente, uma matemtica educativa em dilogo com a culturamatemtica historicamente produzida.

Outra comunidade epistmica a dos educadores matemticos queatuam na formao de professores. Estes, como mostram algumas pesquisasbrasileiras aqui arroladas, sobretudo o balano feito pelo GEPFPM(FIORENTINI et al. 2002), mostram que ainda temos feito e investigado muitopouco acerca do problema da formao matemtica do professor escolar. Trata-se, portanto, de um campo de estudo imenso e praticamente inexplorado pornossa comunidade. Algumas prticas ou alternativas de enfrentamento desseproblema so apontadas por esse balano, tais como constituir grupos de estudode formadores que congregam matemticos e educadores matemticospreocupados e engajados em atuar e investigar, conjuntamente, a formaodocente, tanto no que se refere formao matemtica quanto formaodidtico-pedaggica relacionada ao ensino e aprendizagem da matemtica,isto , inter-relacionando o que e o como se ensina e avalia (didtica) com asfinalidades, potencialidades e as consequncias formativas desse ensino(pedagogia).

Para uma perspectiva de mudana nos processos de formao docente,o formador emerge como figura de importncia fundamental. De acordo comFiorentini (2004), os formadores-pesquisadores deveriam constituir a base deum curso de licenciatura, podendo alimentar suas prticas a partir das pesquisasque realizam. Mas, alm disso, essas pesquisas devem voltar-se para a prpria

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prtica, para a formao que devem realizar em consonncia com a prtica dosfuturos docentes na escola bsica, que vo ensinar matemtica no EnsinoFundamental II e no Ensino Mdio. Fiorentini (2004) trata por formador-pesquisador aquele que coloca (e valoriza) a docncia como seu foco principalde prtica e estudo, sendo a pesquisa sobre a prpria prtica e tambm sobrea de outros o suporte fundamental para a docncia como formador deprofessores de matemtica.

No se trata, portanto, de apenas mudar ementas ou reestruturar gradescurriculares. So importantes os contedos da matemtica superior que compemas disciplinas de formao matemtica da licenciatura, pois amplia-se, assim, aviso dos futuros professores acerca da matemtica como campo deconhecimento. Mas, necessrio adotarmos posturas que apontem para umaviso mais integradora do curso, sem deixar de aprofundar, numa perspectivamultirrelacional, epistemolgica e histrico-cultural, o contedo especfico. Almdisso, como prope Moreira (2004), fundamental um redimensionamento daformao matemtica na licenciatura, de modo a equacionar melhor os papisda matemtica cientfica e da matemtica escolar nesse processo.

Alm disso, h necessidade de envolver, tambm, a terceira comunidadede profissionais em questo a dos professores da escola bsica no processode formao inicial dos professores. Uma prtica colaborativa e investigativaconjunta entre formadores, professores da escola bsica e futuros professores,envolvendo anlises sistemticas de problemas e prticas de ensinar e aprendermatemtica, na escola e em sala de aula, proporciona aprendizagens no apenasaos professores da escola, mas, tambm, aos formadores, que aprendem sobrea complexidade do trabalho pedaggico dos professores, em diferentes contextosde prtica docente, e sobre outras formas e dinmicas de formao docente, naqual a formao matemtica do professor desenvolve-se a partir da mobilizaoe da anlise do saber matemtico de relao que produzido e mobilizado naprtica escolar e das interaes discursivas em sala de aula.

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Submetido em Novembro de 2012.Aprovado em Janeiro de 2013.

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