ELEMENTOS ORGÂNICOS DE MÁQUINAS ELEMENTOS ORGÂNICOS DE MÁQUINAS

GUILHERME N. LIMA

Flambagem Flambagem

GUILHERME N. LIMA

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Coluna de Euler

𝑃𝑐𝑟 =𝜋²𝐸 𝐼

𝑙2

𝐼 = 𝐴 𝐾2 A = área K = Raio de Giração

𝑃𝑐𝑟𝐴

=𝜋²𝐸

𝑙𝑘

2 Assim: EQUAÇÃO DE EULER

𝑙

𝑘 = Razão de Esbelteza

Índice de Esbeltez

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Coluna de Euler

Tipos de Colunas:

1) Longas com carregamento central 2) Comprimento Intermediário com carregamento central 3) Com carregamento excêntrico 4) Curtas com carregamento excêntrico

Os tipos de COLUNAS são classificadas usando ao invés do comprimento real da coluna !! 𝑙

𝑘

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Coluna de Euler

Neste estado,

𝑃𝑐𝑟

𝐴= Carga por unidade de área necessária para

a coluna entrar em equilíbrio instável.

Qualquer pequena tortuosidade do membro Qualquer pequeno movimento do suporte Qualquer pequeno movimento de carga

= COLAPSO

𝑃𝑐𝑟 depende apenas de 𝐸 e 𝑙

𝑘 assim, uma coluna “de Euler” feita de um aço

liga de alta resistência NÃO é mais forte que uma de aço baixo carbono. Pois 𝐸 é o mesmo para ambas.

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Coluna de Euler

As cargas críticas 𝑃𝑐𝑟 para diferentes tipos de extremidades, podem ser obtidas por comparação:

1 2 3 4

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Coluna de Euler

1 𝑃𝑐𝑟 = 𝜋2𝐸 𝐼

𝑙2

2 O trecho entre os pontos de inflexão A e B exibem a mesma curva

do caso , assim: Substituímos l por 𝑙 2 : 1

𝑃𝑐𝑟 = 𝜋2𝐸 𝐼

𝑙

2

2 = 4 𝜋2 𝐸 𝐼

𝑙2

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Coluna de Euler

3

𝑃𝑐𝑟 = 𝜋2𝐸 𝐼

2 𝑙 2=

𝜋2 𝐸 𝐼

4 𝑙2

4 Substituindo l por 0,707 . l temos:

𝑃𝑐𝑟 = 𝜋2𝐸 𝐼

0,707 .𝑙 2 = 2 𝜋2 𝐸 𝐼

𝑙2

No caso onde um extremo é livre, pode-se observar que a curvatura da barra apresenta um perfil que representa metade da Curvatura exibida no caso : Assim, podemos substituir l por 2l.

3

1

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Coluna de Euler

Os 4 casos podem ser combinados se introduzirmos uma constante de condição de extremidade C :

𝑃𝑐𝑟 = 𝐶 𝜋2𝐸 𝐼

𝑙 2

𝑃𝑐𝑟𝐴

= 𝐶 𝜋2𝐸

𝑙𝑘

2

Assim, os valores teóricos de C seriam: 1

4 , 1 , 2 e 4

Na prática, fixar extremidades ao ponto de usar C=2 ou C=4 é impossível, mesmo ao soldar. Os projetos conservadores nunca usam C > 1 mas, se conhecermos com exatidão a carga atuante, podemos assumir C=1,2 para os casos e 2 3

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Coluna de Euler

Condição de Extremidade da Coluna

Constante C

Teórico Conservador Recomendado

FIXA – LIVRE 14 1

4 14

ARTICULADA - ARTICULADA 1 1 1

FIXA – ARTICULADA 2 1 1,2*

FIXA - FIXA 4 1 1,2*

Tabela 5.2 C para Colunas de Euler

* Supõe-se fixação parcial

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Coluna de Euler

>> TESTES DE COMPRESSÃO <<

Se usarmos: 𝑃𝑐𝑟𝐴

= 𝐶 𝜋2𝐸

𝑙𝑘

2

para traçar 𝑃𝑐𝑟

𝐴 em função de

𝑙𝑘 , obtemos a curva PQR:

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Coluna de Euler

COMPRESSÃO PURA

COMPRESSÃO PURA

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Coluna de Euler

A curva P - Q - R, tal como mostrada sugere cobrir todo intervalo de problemas de compressão, desde o membro mais curto ao mais longo

Ao se introduzir Sy, entende-se que esbeltezas abaixo de 𝑙

𝑘 𝑄 garantem colunas sob

compressão pura e acima deste, como colunas de Euler

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Coluna de Euler

REGIÃO DE FALHAS

Porém, testes revelam falhas de colunas com esbelteza abaixo e nas circunjacências do ponto Q.

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Coluna de Euler

Uma falha de coluna é sempre: • Repentina • Total Perigosa • Inesperada

Vigas avisam que vão falhar, colunas não!

Por isso, quando a esbelteza se aproxima de 𝑙

𝑘 𝑄, nem os métodos de compressão

Simples, nem o método de Euler devem ser usados.

O que fazer então?

Resposta:

• Escolher um ponto T

• Tal que 𝑙

𝑘 1 corresponda ao ponto T

• Usar Euler somente se a esbelteza real for maior que𝑙

𝑘 1

• Usar o método de J.B Johnson se a esbelteza é menor ou igual a 𝑙

𝑘 1

A seleção do ponto T é feita para: 𝑃𝑐𝑟𝐴

= 𝑆𝑦

2

Utilizando: 𝑃𝑐𝑟𝐴

= 𝐶 𝜋2𝐸

𝑙𝑘

2 Temos: 𝑙

𝑘1

=2 𝜋2𝐶 𝐸

𝑆𝑦

12

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Métodos de Projeto

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Coluna de J.B. Johnson

Johnson desenvolveu a forma parabólica para lidar com colunas de esbelteza

abaixo de𝑙

𝑘 1

A forma geral da parábola de Johnson é:

𝑃𝑐𝑟𝐴

= 𝑎 − 𝑏 𝑙

𝑘

2

Onde a e b são constantes avaliadas ajustando a parábola à curva de Euler

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Coluna de Euler

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Coluna de Euler

Se a parábola for iniciada em Sy,

b=𝑆𝑦

2𝜋

2 .

1

𝐶 𝐸

a = Sy

Assim,

𝑃𝑐𝑟𝐴

= 𝑆𝑦 − 𝑆𝑦

2𝜋 .𝑙

𝑘

2

. 1

𝐶 𝐸

𝑙

𝑘 ≤

𝑙

𝑘1

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Exercícios

1 lbf = 4.448222 N 1 ft = 304,8 mm