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Fundamentos de Gestão de Carteiras
Tópicos de Resolução dos Exercícios
Raquel M. Gaspar
Janeiro 2017
Estas soluções não são isentas de erros e/ou typos. Agradece-se aos alunos que durante o
estudo identifiquem essas gralhas que as assinalem e entreguem à docente, no dia do exame,
uma lista. Obrigada!
1 – Teoria Média Variância
1.1 Rendimento e Risco
Exercício 1.1
a) A rendibilidade esperada é a soma ponderada das rendibilidades, ponderada pela probabilidade de ocorrência de cada cenário.
16% 0.25 + 12% 0.5 + 8% 0.25 = 12% ; = 6%; = 14%; = 12% .
O desvio-padrão é a raiz quadrada da soma do quadrado das rendibilidades menos a rendibilidade media, ponderado pela probabilidade.
= [(16% 12%)2 0.25 + (12% 12%)2 0.5 + (8% 12%)2 0.25]1/2 = 81/2 = 2.83%
= 21/2 = 1.41%; = 181/2 = 4.24%; = 10.71/2 = 3.27% .
b) A covariância entre os ativos 1 e 2 vem
= (16 12) (4 6) 0.25 + (12 12) (6 6) 0.5 + (8 12) (8 6) 0.25 = 4
Procedendo de igual forma para todos os pares de ativos, temos:
1 2 3 4
1 8 4 12 0
2 4 2 6 0
3 12 6 18 0
4 0 0 0 10.7 A correlação entre os ativos 1 e 2 é:
.
A matriz de correlações para todos os pares de ativos é:
1R 2R 3R 4R
2
1 2 3 4
1 1 1 1 0
2 1 1 1 0
3 1 1 1 0
4 0 0 0 1 c) Carteira Rendibilidade Esperada
A 1/2 12% + 1/2 6% = 9% B 13% C 12% D 10% E 13%
F 1/3 12% + 1/3 6% + 1/3 14% = 10.67% G 10.67% H 12.67%
I 1/4 12% + 1/4 6% + 1/4 14% + 1/4 12% = 11%
Carteira Variância
A (1/2)2 8 + (1/2)2 2 + 2 1/2 1/2 ( 4) = 0.5 B 12.5 C 4.6 D 2 E 7
F (1/3)2 8 + (1/3)2 2 + (1/3)2 18 + 2 1/3 1/3 ( 4)
+ 2 1/3 1/3 12 + 2 1/3 1/3 ( 6) = 3.6 G 2 H 6.7
I (1/4)2 8 + (1/4)2 2 + (1/4)2 18 + (1/4)2 10.7
+ 2 1/4 1/4 ( 4) + 2 1/4 1/4 12 + 2 1/4
1/4 0 + 2 1/4 1/4 ( 6) + 2 1/4 1/4 0 + 2 1/4
1/4 0 = 2.7
d) Todas as correlações são extremas, -1, 0 ou 1. Ver nos slides das aulas a representação gráfica de carteiras de 2 ativos. No caso dos 2 ativos, é importante saber não só a representação gráfica mas também a dedução analítica da expressão e interpretação. Para os casos de carteiras de 3 e 4 ativos é necessário saber que o conjunto de todas as carteiras possíveis passa a ser uma área limitada (pelo teorema do envelope) por uma hipérbole que representa-se a fronteira de carteiras eficientes.
Exercício 1.2
a) A fórmula da variância de uma carteira homogénea que consta do formulário pode ser reescrita como:
sendo a media das variâncias dos ativos individuais, a média das covariâncias entre todos
os pares de ativos e N o número de ativos da carteira.
3
Sabemos que a media das variâncias é 50, logo = 50 e como a média das covariâncias é 10
temos = 10. A variância de carteiras homogéneas para as carteiras pedidas é:
N 5 10 20 50 100
18 14 12 10.8 10.4
b) A variância da carteira de risco mínimo é igual à média das covariâncias, logo a carteira de
risco mínimo tem um risco de . Ter um risco apenas 10% superior ao
da carteira de risco mínimo é ter .
Para saber qual o número de ativos de uma carteira que respeite esta condição temos que resolver:
Logo, a carteira deverá ter pelo menos 20 ativos.
Exercício 1.3
a) Se considerarmos carteiras de apenas um ativo então média das variâncias das carteiras será
idêntica à média das variâncias dos ativos individuais, . No entanto, em carteiras
homogéneas com grande número de ativos, a variância das carteiras tenderá para a média das
covariâncias entre todos os pares de ativos da carteira, .
Assim sendo, a “fracção da variância da carteira que pode ser diversificado através de uma
carteira suficientemente grande” é dada pelo seguinte rácio:
É este rácio que em Itália é de 60% e na Bélgica 80%.
b) Igualando o rácio acima às percentagens dadas e resolvendo em ordem a temos
para os ativos italianos e para os belgas.
Como a medias das variâncias individuais, , em qualquer dos países é de 50, temos que a
covariância média em Itália é de e na Bélgica de
. Como temos as variâncias médias e covariâncias médias dos
dois países basta-nos utilizar a fórmula da variância de carteiras homogéneas para obter:
Número de Ativos (N) Itália : Bélgica :
5 26 18 20 21.5 12
4
100 20.3 10.4
Exercício 1.4
Como vimos no Exercício 1.2 uma fórmula alternativa de escrever a variância de carteiras
homogéneas é .
Da análise da tabela sabemos a variância média, e a covariância média,
já que há medida que o número de ativos aumenta temos .
Com estes dados sabemos, e para descobrir o número de activos da carteira com variância média inferior a 8 temos que resolver:
Assim sendo, o número mínimo de ativos é 42.
Exercício 1.5
À partida sabemos que e . Também nos é dito que os activos A e B estão
combinados de forma a anular o risco da carteira. Ora, isso diz-nos que AB=-1. Então, o peso de cada ativo na carteira vai ser:
Como , temos
Ou seja, xA=62,5% e xB=37,5%, dado que nos interessa a solução em que xA > 0 e xB > 0.
2 46.619p
7.058ij2lim p ij
N
5
1.2 Oportunidades de Investimento e Fronteiras Eficientes
Exercício 1.6
a) Do Exercício 1.1 temos , , e
. Também sabemos que .
Logo, o conjunto de oportunidades de investimento é composto por dois segmentos de recta. Analiticamente temos: Graficamente temos:
A solução final, vem:
b) A carteira que tem risco mínimo é uma carteira que tem risco nulo, ou seja, .
Graficamente (ver gráfico acima) corresponde ao ponto C. Portanto, temos que:
Logo, a carteira é composta em 33% pelo activo 1 e em 67% do activo 2. A rendibilidade esperada vai ser de:
c) As carteiras situadas no segmento de recta CB dominam as carteiras situadas no segmento de recta AC porque perante duas carteiras com o mesmo risco, os investidores preferem a carteira com maior taxa de rentabilidade esperada. Assim, as carteiras eficientes são as que se situam no segmento de recta CB.
1 12%R 2 6%R
0p
B
A
C = 8%
6
Exercício 1.7
a) Para resolver esta alínea vamos começar por determinar as rendibilidades esperadas, as variâncias e a covariância. Assim, temos que:
Daqui pode-se ver que as rendibilidades dos dois ativos estão positiva e perfeitamente correlacionadas, de modo que o conjunto de oportunidades de investimento, combinando os
ativos 1 e 2, é dado por uma recta que passa nos pontos e .
Analiticamente temos: Graficamente temos:
b) Admitindo que não há operações de short-selling, pode-se ver no gráfico anterior que a carteira com risco mínimo vai ser constituída somente pelo ativo 2. Consequentemente
Se admitirmos operações de short-selling, i.e., se admitirmos endividamento, vamos ter:
c) Como é sabido a fronteira eficiente coincide com o conjunto de oportunidades de investimento e como é dito no enunciado os investidores preferem mais rendimento a menos e
1 1
2 2
120 14 8 14%
31
16 12 8 12%3
R E R
R E R
( 24,14) ( 32 / 3,12)
2 p 232
12%, ( rendimento esperado) , (risco)3
pR R
Graficamente, temos que:
2
1
8%
%122 R
%141 R
2 1
pR
p
8%
7
são avessos ao risco. Então as carteiras eficientes são todas as carteiras que estão situadas na
recta .
Exercício 1.8
Como vimos no Exercício 1.7 o conjunto de oportunidades de investimento gerado por dois ativos positiva e negativamente correlacionados é dado por duas rectas. Para derivar as equações, comecemos pela equação do desvio-padrão nesse caso.
Substituindo agora o na fórmula da rendibilidade esperada de uma carteira de dois ativos
temos:
O primeiro termo do lado direito da equação é a ordenada na origem, enquanto o segundo representa do declive, que, tanto pode ser positivo quanto negativo, dando origem às duas rectas esperadas.
Exercício 1.9
a) Ver slides das aulas e resoluções anteriores. b) (i) Quando ρ é 1, a combinação menos arriscadas dos ativos 1 e 2 é investir 100% no ativo 2
(assumindo que não há short sales). Logo . O risco desta carteira é obviamente
equivalente ao risco do próprio ativo dois .
(ii) Quando ρ é -1, é possível achar uma combinação dos dois ativos que elimina totalmente o risco. Através da fórmula da variância de dois ativos e igualando a zero, podemos facilmente descobrir que na carteira de variância mínima temos
e .
Como esta combinação elimina totalmente o risco, temos .
1X
1 20, 1X X
8
(iii) Quando ρ é 0, sabemos que existe uma combinação dos dois ativos que minimiza o risco, mas onde o risco não é 0%. Assim sendo temos que começar por escrever a fórmula do risco de uma
carteira de dois ativos .
Derivando e igualando a zero podemos achar o ponto e risco mínimo, mas mais fácil ainda é
achar o risco mínimo através da variância mínima. A variância é ,
derivando e igualando a zero temos
.
No caso concreto deste exercício, com os dados da tabela temos
e .
Para obter o risco mínimo basta substituir estes valores
.
Exercício 1.10
Se a rendibilidade do ativo sem risco for de 10% o ativo sem risco é o único ativo eficiente. O ativo 1 tem a mesma rendibilidade esperada, mas com risco e o ativo 2 tem menor rendibilidade esperada apesar de ser um ativo de risco.
Exercício 1.11
Para determinarmos a única carteira eficiente composta só por ativos de risco, temos que maximizar o índice de Sharpe de carteiras compostas pelos ativos A,B,C sujeito à restrição que a soma, em módulo, das proporções investidas nos diversos ativos tem que somar um (definição de Lintner). É sabido que das condições de primeira ordem do problema de maximização resulta o seguinte sistema:
A carteira eficiente composta só por ativos de risco, e usando a definição de Lintner para as vendas a descoberto é, para cada um dos RF sugeridos:
RF = 6% RF = 8% RF = 10%
Z1 3.510067 1.852348 0.194631
Z2 1.043624 0.526845 0.010070
Z3 0.348993 0.214765 0.080537
9
X1 0.715950 0.714100 0.682350
X2 0.212870 0.203100 0.035290
X3 0.711800 0.082790 0.282350
Carteira Eficiente (tangente)
Rendibilidade Esperada
6.105%
6.419%
11.812%
Volatilidade 0.737% 0.802% 2.971%
OBS: No ficheiro de excel estão ainda resolvidos o caso de vendas a descoberto sem qualquer
tipo de limitação.
Exercício 1.12
Uma vez que as carteiras A e B são eficientes, sabemos que se pode deduzir toda a fronteira
através de combinações de A e B. Uma vez que XB = 1 XA é fácil deduzir qual a combinação de A e B que tem variância mínima (MV). Para isso basta derivar a formula da variância da carteira em
ordem a e igualar a zero. A solução vem
A rendibilidade esperada e o risco da carteira de variância mínima são, respectivamente,
e
Para determinar a expressão algébrica da fronteira eficiente (FE) temos que considere todas as combinações de A e B, ou seja qualquer carteira p que resolva o seguinte sistema:
A FE é descrita pelo sistema acima para rendibilidades esperadas superiores à rendibilidade
esperada da carteiras de variância mínima, .
Como as vendas a descoberto não estão limitadas contínua para além do ponto de maior risco (ver representação gráfica abaixo).
AX
11 1
3GMV GMVB AX X
7.33%MVR 3.83%MV
7.33%pR
10
Representação Gráfica
1.3 Critérios de Segurança
Exercício 1.13
a) Dado que as rendibilidades das carteiras A e B que nos dão a fronteira eficiente e seguem uma distribuição normal. Então sabemos que:
Graficamente, serão todas as carteiras na parte de dentro da hipérbole (incluído a própria hipérbole) mas que verificam a restrição acima (i.e. que se encontram acima da reta
).
5% 1.0343p pR
11
b) Neste caso temos
O problema de otimização acima, é em tudo semelhante a maximizar um “Índice de Sharpe”
(para um “ ” ). Das condições de primeira ordem obtemos os pesos da carteira que
minimiza a probabilidade de retornos abaixo de 5%.
Neste caso, a carteira que minimiza a probabilidade de retornos inferiores a 5% é, então, a combinação de A e B em que se investe 71.43% em A e o resto em B.
c) O RAR (return-at-risk) associado a um é dado por
Note-se que , onde
representa a função de distribuição na Normal standardizada.
Assim a restrição é dada por .
Sabemos ainda que o verificará a restrição em igualdade no caso das distribuições
contínuas, como é o caso da distribuição Gaussiana. Logo, na realidade temos
.
--- solução incompleta ---
OBS: espera-se que o aluno saiba identificar a solução graficamente. A dedução analítica
exata é complexa e encontra-se fora do âmbito de FGC
5%fR
15%
12
d) Critério subjacente à alínea a) é o Telser, à alínea b) o de Roy e à c) o de Kataoka.
e) Caso as rendibilidades não sejam Gaussianas, as probabilidades subjecentes aos critérios não dependerão apenas da rendibilidade esperada e volatilidade, não sendo, por isso representáveis graficamente no plano da teoria média-variância.
Exercício 1.14
OBS: Ver ficheiro de excel
13
1.4 Alargamento do Universo de Seleção
Exercício 1.15
Por diversificação entende-se a combinação de títulos de risco diferente numa carteira no
sentido de manter o rendimento e diminuir o risco total da carteira.
No limite, com = -1, a diversificação é máxima porque os títulos respondem de forma inversa
ao rendimento de mercado.
Por sua vez, a diversificação internacional acontece quando o número de títulos da carteira (N)
tende para infinito. Ou seja, só assim é possível reduzir o risco da carteira a um valor mínimo
coincidente com a covariância média, porque:
Se multiplicando e dividindo por
temos:
.
E quando N o primeiro termo tende para zero e o segundo pata a covariância média, ou
seja, a variância da carteira, , tende para a covariância média.
Exercício 1.16
a) Determinemos, primeiro, as rendibilidades “brutas” (i.e. 1+rendibilidade habitual) cambiais do ponto de vista de cada um dos investidores:
Período
(1 + RX)
(Investidor Americano)
(1 + R*X)
(Investidor Inglês)
1 2.5/3 = 0.833 3/2.5 = 1.200
2 2.5/2.5 = 1.000 2.5/2.5 = 1.000
3 2/2.5 = 0.800 2.5/2 = 1.250
4 1.5/2 = 0.750 2/1.5 = 1.333
5 2.5/1.5 = 1.667 1.5/2.5 = 0.600
A rendibilidade total, para o investidor Americano, de um investimento no Reino Unido vem dada
por (1 + RX)(1 + RUK) 1.
De igual modo, a rendibilidade total para o investidor inglês, de um investimento nos Estados
Unidos, é: (1 + R*X)(1 + RUS) 1.
1N
14
Rendibilidades Totais para o Investidor Americano
Período Investimento EUA Investimento Reino Unido
1 10% (0.833)(1.05) 1 = 12.5%
2 15% (1)(0.95) 1 = 5.0%
3 5% (0.8)(1.15) 1 = 8.0%
4 12% (0.75)(1.08) 1 = 19.0%
5 6% (1.667)(1.1) 1 = 83.3%
Média 7.6% 7.76%
Rendibilidades Totais para o Investidor Inglês
Período Investimento UK Investimento EUS
1 5% (1.2)(1.1) 1 = 32.0%
2 5% (1)(1.15) 1 = 15.0%
3 15% (1.25)(0.95) 1 = 18.75%
4 8% (1.333)(1.12) 1 = 49.3%
5 10% (0.6)(1.06) 1 = 36.4%
Média 6.6% 15.73%
b) Para o Investidor Americano
Para o investidor Inglês
15
Exercício 1.17
Podemos utilizar a seguinte desigualdade
Se se verificar a desigualdade, então o investimento no estrangeiro será atrativo do ponto de vista
de um investidor americano. e são dados do enunciado.
Das tabelas obtemos:
N N,US
Austria 26.19 0.142 France 25.54 0.385 Japan 23.28 0.235 U.K. 22.01 0.564
Das tabelas podemos obter: US = 13.59. Como RF = 6%, temos:
Austria 0.305 0.129 France 0.392 0.350 Japan 0.343 0.214 U.K. 0.409 0.513 Para todos os países excepto UK, a desigualdade verifica-se pelo que, para investidor Americano,
todos os outros países são atrativos.
Exercício 1.18
Para responder temos que achar a carteira de variância mínima. Como só temos dois ativos:
sendo X1 a proporção investida no ativo 1 e X2 = 1 - X1.
Para as ações, US = 13.59, N = 16.70 e N,US = 0.423. Logo, a carteira de variância mínima é:
Para as obrigações, US = 6.92, N = 12.87 e N,US = 0.527. So the minimum-risk portfolio is:
Para os bilhetes do tesouro, US = 1.01, N = 10.01 e N,US = 0.220. So the minimum-risk portfolio is:
USR NR
N F
N
R R
22 1 2 12
1 2 21 2 1 2 122
GMVX
2
2 2
19.0 15.39 19.0 0.4230.6771 67.71%
15.39 19.0 2 15.39 19.0 0.423
GMVUSX
1 0.3229 32.29%GMV GMVN USX X
0.9924 99.24%GMVUSX
1 0.0076 0.76%GMV GMVN USX X
0.9673 96.73%GMVUSX 1 0.0327 3.27%GMV GMV
N USX X